寒假作业05 整式中的规律探究及新定义型问题3大必刷题型（巩固培优）七年级数学新教材苏科版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业05 整式中的规律探究及新定义型问题 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 数字型规律探究题 1．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为96，我们发现第1次输出的结果为48，第2次输出的结果为24，…，第2025次输出的结果为　1　 ． 【解答】解：第1次输出的结果为48， 第2次输出的结果为24， 第3次输出的结果为12， 第4次输出的结果为6， 第5次输出的结果为3， 第6次输出的结果为8， 第7次输出的结果为4， 第8次输出的结果为2， 第9次输出的结果为1， 第10次输出的结果为6， 第11次输出的结果为3， 第12次输出的结果为8， ……， 从第四次输出开始以6，3，8，4，2，1循环， ∵（2025﹣3）÷6＝337， ∴第2025次输出的结果为1． 故答案为：1． 2．如图所示，在这个运算程序中，若开始输入x的值为2，结果输出的是1，将第1次输出的结果1，再次输入运算程序，进行第2次运算，结果输出的是﹣2，…则第2025次输出的结果是　﹣1　 ． 【解答】解：根据题意和运算程序可以计算出前几次的输出结果如下： 第一次输出的结果为1， 第二次输出的结果为﹣2， 第三次输出的结果为﹣1， 第四次输出的结果为﹣4， 第五次输出的结果为﹣2， 第六次输出的结果为﹣1， …， 发现规律：从第二次输出结果开始，以﹣2，﹣1，﹣4依次循环出现， ∵（2025﹣1）÷3＝674……2， ∴第2025次输出的结果是﹣1． 故答案为：﹣1． 3．如果记，并且f（1）表示当x＝1时，y的值，即，同理表示当时y的值，即，…那么　　 ． 【解答】解：f（x），f（）， ∴f（x）+f（）＝1， ∴原式 ， 故答案为：． 4．7个同学照如图的样子围成一圈报数，王莉报到“7”后，由李小杰维续报“8”，像这样一直报下去，报到100的是　马方圆　 ． 【解答】解：7个同学照如图的样子围成一圈报数，王莉报到“7”后，由李小杰维续报“8”，像这样一直报下去， 100÷7＝14（轮）……2， ∴报到100的是马方圆． 故答案为：马方圆． 5．已知a1＝x（x≠0且x≠1），，，…，，若a2025的值等于7，则x的值为　　 ． 【解答】解：由题知， 因为a1＝x（x≠0且x≠1）， 所以， ， ， …， 由此可见，这列数从a1开始按x，，循环， 因为2025÷3＝675， 所以． 又因为a2025的值等于7， 所以， 解得x， 经检验x是原方程的解． 故答案为：． 6．密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．将26个英文字母a，b，c，…，z依次对应自然数1，2，3，…，26．给出密文与明文之间的关系如下：当密文中的数x为奇数时，明文对应的序号为x+1；当密文中的数x为偶数时，明文对应的序号为．例如密文“1”对应的序号为1+1＝2，译成明文为“b”；密文“12”对应的序号为，译成明文为“f”，请将密文“38，19，42，3，50”破译成用英文字母表示的明文 study ． 【解答】解：38是偶数，明文序号为，对应字母“s”； 19是奇数，明文序号为19+1＝20，对应字母“t”； 42是偶数，明文序号为，对应字母“u”； 3是奇数，明文序号为3+1＝4，对应字母“d”； 50是偶数，明文序号为，对应字母“y”． ∴密文“38，19，42，3，50”破译用英文字母表示的明文为study， 故答案为：study． 7．如图，圆的周长为4个单位长度，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示﹣1的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示﹣2的点重合…），则数轴上表示﹣2024的点与圆周上表示数字 　1　 的点重合． 【解答】解：由题知， 数轴上表示﹣1的点与圆周上表示的数字0的点重合； 数轴上表示﹣2的点与圆周上表示的数字3的点重合； 数轴上表示﹣3的点与圆周上表示的数字2的点重合； 数轴上表示﹣4的点与圆周上表示的数字1的点重合； 数轴上表示﹣5的点与圆周上表示的数字0的点重合； …， 由此可见，数轴上表示﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，﹣5，…，的点依次与圆上的数字0，3，2，1重合，且循环出现． 因为2024÷4＝506， 所以数轴上表示﹣2024的点与圆上表示数字1的点重合． 故答案为：1． 8．有一列数{﹣1，﹣2，﹣3，﹣4}，将这列数中的每个数求其相反数得到{1，2，3，4}，再分别求与1的和的倒数，得到，令这组数为{a1，a2，a3，a4}，称这为一次操作；第二次操作是将{a1，a2，a3，a4}再进行上述操作，得到{a5，a6，a7，a8}；第三次操作是将{a5，a6，a7，a8}重复上述操作，得到{a9，a10，a11，a12}；…；以此类推，则a2025＝　﹣1　 ，a1+a2+a3+…+a61＝　　 ． 【解答】解：有一列数{﹣1，﹣2，﹣3，﹣4}，将这列数中的每个数求其相反数得到{1，2，3，4}，再分别求与1的和的倒数，得到，令这组数为{a1，a2，a3，a4}，称这为一次操作；则： 根据题意得，，，， 第二次操作得，，，， 第三次操作得，，，． 观察上述规律可知，每3次操作为一循环，一个循环内共12个数． 因为2025÷12＝168⋯9， 所以a2025＝a9＝﹣1． 因为． 因为61÷12＝5⋯1， 所以， 故答案为：﹣1，． 9．一点从数轴上表示+1的点A开始移动，第一次先向左移动1个单位，再向右移动2个单位到达B点；第二次从B点先向左移动3个单位，再向右移动4个单位到达点C；第三次从点C先向左移动5个单位，再向右移动6个单位… （1）第一次移动后这个点在数轴上表示的数为　2　 ；点A与点B间的距离为　1　 ． （2）第二次移动后这个点在数轴上表示的数为　3　 ；点A与点C间的距离为　2　 ． （3）若第n次移动后到达N点则这个点在数轴上表示的数为n+1　 ；点A与点N间的距离为n ． （4）若第m次移动后这个点在数轴上表示的数为78，求m的值． 【解答】解：（1）点B表示的数为1﹣1+2＝2， AB＝2﹣1＝1， 故答案为：2，1； （2）点C表示的数为2﹣3+4＝3， AC＝3﹣1＝2， 故答案为：3，2； （3）点N表示的数为n+1， AN＝n， 故答案为：n+1，n； （4）若第m次移动后这个点在数轴上表示的数为78， ∵m+1＝78， ∴m＝77． 10．先观察下列等式，再回答问题： ①1×3+1＝22；②2×4+1＝32；③3×5+1＝42；④4×6+1＝52；… （1）写出第5个等式：　5×7+1＝62 ． （2）写出第n（n为正整数）个等式：n（n+2）+1＝（n+1）2 （3）请利用上述规律计算：． 【解答】解：（1）依照上述规律，第5个式子为5×7+1＝62， 故答案为：5×7+1＝62； （2）观察发现第n个式子为n（n+2）+1＝（n+1）2， 故答案为：n（n+2）+1＝（n+1）2； （3）原式 ． 11．折叠纸面，若在数轴上﹣1表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： （1）数轴上10表示的点与　﹣6　 表示的点重合； （2）若数轴上M，N两点之间的距离为2026（M在N的左侧），且M，N两点经折叠后重合，求M，N两点表示的数是多少？ （3）如图，边长为2的正方形有一顶点A落在数轴上表示﹣1的点处，将正方形在数轴上向右滚动（无滑动），正方形的一边与数轴重合记为滚动一次，求正方形滚动15次后，数轴上表示点A的数折叠后与哪个数重合？ 【解答】解：（1）在数轴上﹣1 表示的点与5表示的点重合， 则2， ∴数轴上10表示的点与﹣6表示的点重合． 故答案为：﹣6； （2）∵数轴上M，N两点之间的距离为2026， ∴2026÷2＝1013， ∴2+1013＝1015，2﹣1013＝﹣1011， 则点M表示的数为﹣1011，点N表示的数为1015， 答：点M表示的数是﹣1011，点N表示的数是1015； （3）因为边长为2的正方形有一顶点A落在数轴上表示﹣1的点处， 所以正方形滚动第3次和第4次时，点A落在数轴上表示7的点处， 正方形滚动第7次和第8次时，点A落在数轴上表示15的点处， 依此类推，正方形滚动15次后，顶点A落在表示﹣1+8×4＝31的点处， 此时，点A距离数轴上表示2的点的距离为 31﹣2＝29， 所以2﹣29＝﹣27， 所以正方形向右滚动15次后，数轴上表示点A的数折叠后与﹣27重合． 12．南宋时期，钱塘数学家杨辉在他不朽的著作《详解九章算法》中，系统记载了一张神奇的三角数表——杨辉三角（如图所示）．它不仅凝结了古人的数学智慧，更揭示了二项式乘方（a+b）n（n为非负整数）展开式的深邃规律．这个三角形的每个数，都等于其上方两数之和，其构造之美、规律之奇，令人叹为观止．现在，就让我们穿越千年，一同探寻这古老数表中的奥秘，解决以下问题： 此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： （1）请在图中括号内的数为　6　 ； （2）（a+b）20展开式共有　21　 项，第19项系数为　190　 ； （3）利用上面的规律计算：35﹣5×34+10×33﹣10×32+5×3﹣1． 【解答】解：（1）由“杨辉三角”可知， 每一个数是肩上的两数之和（最两侧的数除外）， 则3+3＝6， 所以括号内的数为6． 故答案为：6． （2）由题知， 因为（a+b）2展开式共有3项，（a+b）3展开式共有4项，（a+b）4展开式共有5项，…， 所以（a+b）n展开式共有（n+1）项． 当n＝20时， （a+b）20展开式共有21项． 根据“杨辉三角”中每行数的特征可知， （a+b）20展开式中第19项系数与第3项系数相等． 因为（a+b）2展开式第3项系数为1，（a+b）3展开式第3项的系数为3，（a+b）4展开式第3项的系数为6，…， 所以（a+b）n展开式第3项的系数为1+2+3+…+n﹣1． 当n＝20时， ， 所以（a+b）20展开式中第19项系数为190． 故答案为：21，190； （3）由题知， （a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5， 则令a＝3，b＝﹣1得， （3﹣1）5＝35﹣5×34+10×33﹣10×32+5×3﹣1， 所以35﹣5×34+10×33﹣10×32+5×3﹣1＝25＝32． 13．综合与实践：干支纪年法是中国自古以来一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，如甲子、乙丑． （1）小丽研究干支纪年法时发现以下天干地支表，则编号为61的是　甲子　 年； 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 …… 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 丁 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 丑 （2）小刚研究干支纪年法时发现公元4年为甲子年，请你求出公元2025年用干支纪年法表示应为哪一年？ 【解答】解：（1）干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合， ∵天干每十年为一个循环，地支每十二年为一个循环， ∴天干和地支纪年法每六十年为一个循环， ∴编号为61的是甲子年； （2）∵（2025﹣4+）÷60＝33…42，42÷10＝4…2，42÷12＝3…6， ∴公元2025年的天干为乙，地支为巳， ∴公元2025年用干支纪年法表示应为乙巳年． 题型二 图像型规律探究题 14．用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律拼出图形．拼第1个图形所用两种卡片的总数为7枚，拼第2个图形所用两种卡片的总数为12枚…若按照这样的规律拼出的第n个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多20枚，则拼第n个图形所用两种卡片的总数为　102　 ． 【解答】解：第1个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多1枚， 第2个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多2枚， 第3个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多3枚， 第4个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多4枚， 第5个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多5枚， ……， 发现规律为：第n个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多（3n+1）﹣（2n+1）＝n（枚）， 当n＝20时，所用正方形卡片为：3n+1＝3×20+1＝61（枚），所用等边三角形卡片为：2n+1＝2×20+1＝41， 所用两种卡片的总数为：61+41＝102（枚）， 故答案为：102． 15．如图，用同样大小的棋子按以下规律摆放，若第n个图中有2025枚棋子，则n的值是 　674　 ． 【解答】解：第1个图形有3×1+3＝6个棋子， 第2个图形有3×2+3＝9个棋子， 第3个图形有3×3+3＝12个棋子， 第4个图形有3×4+3＝15个棋子， …… ∴可以得到规律第k个图中有（3k+3）个棋子， ∵第n个图中有2025枚棋子， ∴3n+3＝2025， 解得n＝674， 故答案为：674． 16．如图，黑白相间且有规律排列的球．在第n个白色的球前面，黑色的球共有　　 个． 【解答】解：∵第2个白球前面是1个黑球， 第3个白球前面是1+2＝3（个）黑球， ……， 则在第n个白色的球的前面，黑色的球共有． 故答案为：． 17．用火柴按如图的方式摆六边形组成新的图形，如图①摆1个六边形的图形需要6根火柴；如图②摆2个六边形的图形需要11根火柴，如图③摆3个六边形的图形需要16根火柴，…，按此规律，摆2025个六边形的图形需要　10126　 根火柴． 【解答】解：摆1个六边形的图形需要6根火柴， 摆2个六边形的图形需要11根火柴， 摆3个六边形的图形需要16根火柴， ……， 以此类推可知，摆n个六边形的图形需要（5n+1）根火柴， ∴摆2025个六边形的图形需要5×2025+1＝10126根火柴， 故答案为：10126． 18．用黑、白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律拼成若干个图案，则第5个图案中白色地砖有　22　 块，第n个图案中白色地砖有　（4n+2）　 块． 【解答】解：第1个图案中白色地砖有6块， 第2个图案中白色地砖有10块， 第3个图案中白色地砖有14块， ⋯， 第5个图案中白色地砖有4×5+2＝22（块）， 第n个图案中白色地砖有（4n+2）块， 故答案为：22；（4n+2）． 19．如图，用火柴棒按照一定规律摆出一组图形，照此规律摆下去，图a2025比图a2024多出的火柴棒根数是　22024 ．（保留幂的形式） 【解答】解：由所给图形可知， a2﹣a1＝2，a3﹣a2＝4，a4﹣a3＝8，…， 所以． 当n＝2025时， ， 即图a2025比图a2024多出的火柴棒根数是22024． 故答案为：22024． 20．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第12种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是　26　 ． 【解答】解：观察前面三幅图可知氢原子的个数的规律： 图①有个4个氢原子， 图②有6个氢原子， 图③有8个氢原子， ……， 以此类推，可知图n中有（2+2n）个氢原子， 第12种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：2+2×12＝26个； 故答案为：26． 21．用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆放，按照这样的规律摆下去，用含n的代数式表示第n个图形需要棋子的枚数为 　3n+1　 ． 【解答】解：第1个图形需要棋子数为1+3， 第2个图形需要棋子数为1+3×2， 第3个图形需要棋子数为1+3×3， …， 所以第n个图形需要棋子数为1+3n，即3n+1． 故答案为：3n+1． 22．小明下五子棋的时候，用棋子按一定的规律摆了如下三个图案，若小明继续摆下去． （1）摆第5个图案需用 　21　 颗棋子； （2）按照此规律摆下去，摆第n个图案需要 　（4n+1）　 颗棋子（用含n的代数式表示）； （3）是否存在一个图案，所摆棋子数为113颗？若存在，求出是第几个：若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由所给图形可知， 摆第1个图案需用的棋子颗数为：5＝1×4+1； 摆第2个图案需用的棋子颗数为：9＝2×4+1； 摆第3个图案需用的棋子颗数为：13＝3×4+1； …， 所以摆第n个图案需用的棋子颗数为（4n+1）颗， 当n＝5时， 4n+1＝4×5+1＝21（颗）， 即摆第5个图案需用的棋子颗数为21颗． 故答案为：21． （2）由（1）知， 摆第n个图案需用的棋子颗数为（4n+1）颗． 故答案为：（4n+1）． （3）存在． 令4n+1＝113， 解得n＝28， 所以摆第28个图案需用的棋子颗数为113颗． 23．如图，大正方形的边长是4米，把它平均分成两份得到一个长方形①，剩下的再平均分，得到一个正方形②，按照这个方法一直分下去…把图形①至⑤都涂成阴影， （1）求阴影面积的和； （2）根据此题的简便思路，计算下题：32768+16384+⋯+16+8+4+2+1． 【解答】解：（1）大正方形的面积：4×4＝16（平方米）， ①的面积：16÷2＝8（平方米）， ②的面积：8÷2＝4（平方米）， ③的面积：4÷2＝2（平方米）， ④的面积：2÷2＝1（平方米）， ⑤的面积：1÷2＝0.5（平方米）， ①至⑤阴影面积的和： 8+4+2+1+0.5＝15.5（平方米）， 答：阴影面积的和为15.5平方米； （2）原式＝32768×2﹣1 ＝65536﹣1 ＝65535． 24．完成下列的问题． （1）在图②中用了　7　 块黑色正方形，在图③中用了　10　 块黑色正方形； （2）按如图的规律继续铺下去，那么第n个图形要用　（3n+1）　 块黑色正方形； （3）如果有足够多的白色正方形，能不能恰好用完90块黑色正方形，拼出具有以上规律的图形？如果可以请说明它是第几个图形；如果不能，说明你的理由． 【解答】解：（1）图②中用了7 块黑色正方形，在图③中用了10 块黑色正方形； 故答案为：7；10； （2）在图①中，需要黑色正方形的块数为4； 在图②中，需要黑色正方形的块数为7； 在图③中，需要黑色正方形的块数为10； 由此可以发现，第几个图形，需要黑色正方形的块数就等于3乘以几，然后加1． 所以，按如图的规律继续铺下去，那么第n个图形要用（3n+1）块黑色正方形； 故答案为：（3n+1）； （3）不能，理由为： 假设第n个图形恰好能用完90块黑色正方形，则3n+1＝90， 解得：， 因为n不是整数，所以不能． 25．【观察思考】 如图，这是由基本图形组成的一系列图案，其中第1个图案由4个基本图形组成；第2个图案由7个基本图形组成；第3个图案由10个基本图形组成；…按此规律排列下去． 【规律发现】 （1）第4个图案有　13　 个基本图形；第n（n是正整数）个图案有　3n+1　 （用含n的式子表示）个基本图形． 【规律应用】 （2）摆第33个图案需要多少个基本图形？ 【解答】解：（1）第1个图案基础图形的个数是4个； 第2个图案基础图形的个数是7个； 第3个图案基础图形的个数是10个； 第4个图案基础图形的个数是13个； ⋯⋯； 第n个图案基础图形的个数为（3n+1）个； 故答案为：13；3n+1； （2）摆第33个图案的基础图形的个数为33×3+1＝100个． 26．如图，用“8字砖”铺设地面，1块地砖有2个正方形，2块地砖拼得5个正方形，3块地砖拼得8个正方形，…，照此规律拼下去． （1）4块地砖拼得的正方形的个数为　11　 个； （2）请用含n的代数式表示n块地砖拼得的正方形的个数为　（3n﹣1）　 个； （3）若m块地砖拼得的正方形的个数是170，求m的值． 【解答】解：（1）4块地砖拼得8+3＝11个正方形； 故答案为：11； （2）发现规律：n块地砖拼得的正方形的个数为（3n﹣1）个正方形， 故答案为：（3n﹣1）； （3）由题意可知：3m﹣1＝170，解得：m＝57， ∴m的值为57． 题型三 新定义型问题 27．如果一个两位数a的个位数字不是零，且与十位数字不同，我们称这个两位数为“迥异数”．定义新运算：将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为ω（a），例如：a＝13，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和31+13＝44，和与11的商44÷11＝4，所以ω（13）＝4．根据以上定义，回答下列问题： （1）计算：ω（25）＝　7　 ． （2）设一个两位数b为“迥异数”，其个位数字为m，十位数字为n，则ω（b）＝m+n （用含m、n的式子表示）． 【解答】解：（1）根据题意直接将数值代入可得： ． 故答案为：7． （2）设一个两位数b为“迥异数”，其个位数字为m，十位数字为n，则b＝10n+m， 所以． 故答案为：m+n． 28．已知a≠0且a≠1，我们定义，记为，记为a2；…；，记为an．若将数组中的各数分别作f1的变换，得到的数组记为（a1，b1）；将（a1，b1）作f2的变换，得到的数组记为（a2，b2）；则a1+b1+a2+b2+a3+b3+…+a2025+b2025的值为　2025　 ． 【解答】解：根据题意，先计算前几组数据可得： ，，故数组； ，，故数组（a2，b2）＝（2，﹣1）； ，，故数组； ，，故数组； ∴每3次变换一个循环，且，a2+b2＝2﹣1＝1，， ∴， ∵2025÷3＝675， ∴原式＝3×675＝2025． 故答案为：2025． 29．定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取n＝26，则： 若n＝49，则第2025次“F运算”的结果是　62　 ． 【解答】解：由题知， 因为n＝49， 所以第1次“F运算”的结果是152， 第2次“F运算”的结果19， 第3次“F运算”的结果62， 第4次“F运算”的结果31， 第5次“F运算”的结果98， 第6次“F运算”的结果49 第7次“F运算”的结果152， …， 由此可见，从第1次“F运算”的结果开始按152，19，62，31，98，49循环． 因为2025÷6＝337余3， 所以第2025次“F运算”的结果62． 故答案为：62． 30．对于a、b，定义了一种新运算“◎”为：a◎．如：4◎1，1◎3． （1）计算：0◎（﹣2）＝　﹣3　 ； （2）若A＝﹣3x2+mx﹣y，B＝2nx2+3x+5y，当A＜B时，A◎B的值与字母x的取值无关，求nm的值为　　 ． 【解答】解：（1）∵0＞﹣2 ∴0◎（﹣2）． 故答案为：﹣3． （2）∵A＝﹣3x2+mx﹣y，B＝2nx2+3x+5y，A＜B， ∴A◎B ， ∵A◎B的值与字母x的取值无关， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 31．给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数a，b为“相伴有理数对”，记为（a，b）．如：，，所以数对，都是“相伴有理数对”． （1）数对，中，是“相伴有理数对”的是 　　 ； （2）若是“相伴有理数对”，求x的值； （3）若（a，b）是“相伴有理数对”，求的值． 【解答】解：（1）依题意，∵数对， ∴，故不是“相伴有理数对”； ∵数对 ∴，故是“相伴有理数对”； 故答案为： （2）∵是“相伴有理数对”， ∴ 解得x＝﹣6； （3）∵（a，b）是“相伴有理数对”， ∴a﹣b＝ab+1， 故． 32．我们定义：对于数对（a，b），若a+b＝ab，则（a，b）称为“和积等数对”．如：因为2+2＝2×2，﹣33，所以（2，2），（﹣3，）都是“和积等数对”． （1）下列数对中，是“和积等数对”的是　 　①③　 ；（填序号） ①（3，1.5）； ②（，1）； ③（，）． （2）若（﹣5，x）是“和积等数对”，求x的值； （3）若（m，n）是“和积等数对”，求代数式4[mn+m﹣2（mn﹣3）]﹣2（3m2﹣2n）+6m2的值． 【解答】解：（1）∵3+1.5＝3×1.5＝4.5， ∴数对（3，1.5）是“和积等数对”， ∵11， ∴（，1）不是“和积等数对”， ∵， ∴数对（，）是“和积等数对”， 故答案为：①③； （2）∵（﹣5，x）是“和积等数对”， ∴﹣5+x＝﹣5x， 解得：x； （3）4[mn+m﹣2（mn﹣3）]﹣2（3m2﹣2n）+6m2 ＝4mn+4m﹣8（mn﹣3）﹣6m2+4n+6m2 ＝4mn+4m﹣8mn+24﹣6m2+4n+6m2 ＝﹣4mn+4m+4n+24， ∵（m，n）是“和积等数对” ∴m+n＝mn， ∴原式＝﹣4mn+4（m+n）+24 ＝﹣4mn+4mn+24 ＝24． 33．定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“和谐数”．例如三位数143，因为4﹣3＝1，所以它是“和谐数”． （1）判断三位数375是否为“和谐数”，并说明理由； （2）设一个“和谐数”的百位、十位、个位数字分别为a，b，c，直接写出a与b，c满足的数量关系； （3）求证：任意一个“和谐数”都能被11整除． 【解答】（1）解：∵2≠3，7﹣5＝2， ∴三位数375不是“和谐数”； （2）解：a与b，c满足的数量关系：b﹣c＝a， ∵若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字， 则这个三位数叫做“和谐数”，一个“和谐数”的百位、十位、个位数字分别为a，b，c， ∴b﹣c＝a； （3）证明：设一个“和谐数”的百位、十位、个位数字分别为a，b，c， ∴100a+10b+c＝100（b﹣c）+10b+c＝110b﹣99c＝11（10b﹣9c）， ∵a、b、c为整数， ∴10b﹣9c为整数， ∴11（10b﹣9c）能被11整除， 即任意一个“和谐数”都能被11整除． 34．定义：对于一个有理数x，我们把[x]称作x的对称数．若x≥0，则[x]＝x﹣2；若x＜0，则[x]＝x+2．例：[1]＝1﹣2＝﹣1，[﹣2]＝﹣2+2． （1）则[0]＝　﹣2　 ，　　 ； （2）已知有理数a＞0，b＜0，且满足[a]＝[b]﹣1，试求代数式2（b﹣a）2的值； （3）解方程：[3x]＝2x﹣1． 【解答】解：（1）根据题中的新定义列式计算可得： [0]＝0﹣2＝﹣2，； 故答案为：﹣2，； （2）∵a＞0，b＜0， ∴[a]＝a﹣2，[b]＝b+2， ∵a﹣2＝b+2﹣1， ∴b﹣a＝﹣3， ∴2（b﹣a）2＝2×（﹣3）2＝2×9＝18； （3）当3x≥0时，方程为3x﹣2＝2x﹣1， 解得：x＝1； 当3x＜0时，方程为3x+2＝2x﹣1， 解得：x＝﹣3， 故x＝1或﹣3． 1．阅读下列材料，并解决相关的问题． 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a1，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an． 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列1，2，4，8，…为等比数列，其中a1＝1，公比为q＝2． （1）等比数列3，6，12，…的公比q为 　2　 ，第6项是 　96　 ． （2）如果一个数列a1，a2，a3，a4，…是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到：q，q，q，q． 所以：a2＝a1•q，a3＝a2•q＝（a1•q）•q＝a1•q2，a4＝a3•q＝（a1•q2）•q＝a1•q3，… 由此可得：an＝a1•qn﹣1 （用a1和q的代数式表示）． （3）对等比数列1，2，4，…，2n﹣1求和，可采用如下方法进行： 设S＝1+2+4+…+2n﹣1 ①， 则2S＝2+4+…+2n ②， ②﹣①得：S＝2n﹣1 利用上述方法计算：1+3+9+…+3n． 【解答】解：（1）q2，第6项是3×25＝96； （2）归纳总结得：an＝a1•qn﹣1； （3）设S＝1+3+9+…+3n①， 则3S＝3+9+…+3n+1②， ②﹣①得：2S＝3n+1﹣1 S． 2．给定一个十进制下的自然数x，对于x每个数位上的数，求出它除以3的余数，再把每一个余数按照原来的数位顺序排列，得到一个新的数，定义这个新数为原数x的“模三数”，记为M3（x）．如M3（7352）＝1022，M3（5483）＝2120．对于“模三数”的加法规定如下：将两数末位数（右边第一位数）对齐，从右往左依次将相应数位上的数分别相加，具体是：0与0相加得0；0与1相加得1；0与2相加得2；1与1相加得2；2与1相加得0，并向左边一位进1；2与2相加得1，并向左边一位进1．如7352，5483的“模三数”1022，2120相加的运算过程如图所示． 根据以上材料，解决下列问题： （1）填空：M3（1945）＝　1012　 ，M3（1945）+M3（80）＝　1102　 ； （2）某两位数x的十位数字比个位数字大1，且它的“模三数”末位数是a，试用含a的代数式表示x； （3）如果两个自然数的和的“模三数”与它们的“模三数”的和相等，则称这两个数满足“模三和不变”． 如M3（1247）＝1211，M3（4301）＝1001， 因为M3（1247）+M3（4301）＝2212，M3（1247+4301）＝2212， 所以M3（1247）+M3（4301）＝M3（1247+4301）， 即1247与4301满足“模三和不变”． 试判断48和56是否与31满足“模三和不变”，并直接写出所有与31满足“模三和不变”的两位数的个数． 【解答】解：（1）∵1÷3＝0…1，9÷3＝3…0，4÷3＝1…1，5÷3＝1…2， ∴M3（1945）＝1012， ∵8÷3＝2…2，0÷3＝0…0， ∴M3（80）＝20， ∴M3（1945）+M3（80）＝1012+20＝1102； 故答案为：1012；1102； （2）当x的个位数字是a时，十位数字是（a+1），x＝10（a+1）+a＝11a+10； 当x的个位数字是（a+3）时，十位数字是（a+4），x＝10（a+4）+a+3＝11a+43； 当x的个位数字是（a+6）时，十位数字是（a+7），x＝10（a+7）+a+6＝11a+76． （3）48不满足与31“模三和不变”，理由如下： 因为M3（48）+M3（31）＝20．M3（48+31）＝10， 所以M3（48）+M3（31）≠M3（48+31）， 56满足与31“模三和不变”， 理由如下： 因为M3（56）+M3（31）＝21，M3（56+31）＝21， 所以M3（56）+M3（31）＝M3（56+31）M3（31）＝01， 模三结果是00的两位数有30、33、36、39、60、63、66、69、90、93、96、99， 而00+01＝01， 模三结果是00的两位数有30、33、36、39、60、63、66、69、90、93、96、99， 而00+01＝01， 所以满足条件模三结果是00的两位数有30、33、36、60、63、66，共6个； 模三结果是01的两位数有31、34、37、61、64、67、91、94、97， 而01+01＝02， 所以满足条件模三结果是01的两位数有31、34、37、61、64、67，共6个； 模三结果是02的两位数有32、35、38、62、65、68、92、95、98， 而02+01＝10， 所以满足条件模三结果是02的两位数不存在； 模三结果是10的两位数有10、13、16、19、40、43、46、49、70、73、76、79， 而10+01＝11， 所以满足条件模三结果是10的两位数有10、13、16、40、43、46，共6个； 模三结果是11的两位数有11、14、17、41、44、47、74、77， 而11+01＝12， 所以满足条件模三结果是11的两位数有11、14、17、41、44、47，共6个； 模三结果是12的两位数有12、15、18、42、45、48、72、75、78， 而12+01＝20， 所以满足条件模三结果是12的两位数不存在； 模三结果是20的两位数有20、23、26、29、50、53、56、59、80、83、86、89， 而20+01＝21， 所以满足条件模三结果是01的两位数有20、23、26、50、53、56，共6个； 模三结果是21的两位数有21、24、27、51、54、57、81、84、87， 而21+01＝22， 所以满足条件模三结果是21的两位数有21、24、27、51、54、57，共6个； 模三结果是22的两位数有22、25、28、52、55、58、82、85、88， 而22+01＝100， 所以满足条件模三结果是22的两位数不存在； ∴与31满足“模三和不变”的两位数有6×6＝36个． 3．定义n个关于x的一次整式A1，A2，…，An，存在不等于零的数k1，k2，…，kn，使k1A1+k2A2+⋯+knAn＝a，其中a是常数，我们称这n个一次整式为常数a的“相关整式”． 例如：对于一次整式x﹣4，﹣3x+8，﹣x﹣1，存在k1＝1，k2＝﹣1，k3＝4，使（x﹣4）﹣（﹣3x+8）+4（﹣x﹣1）＝﹣16，我们就称一次整式x﹣4，﹣3x+8，﹣x﹣1为常数﹣16的“相关整式”． 数学理解 （1）若整式A1＝x，A2＝3x+1，A3＝x+4为常数a的“相关整式”，其中k1＝k2＝1，则常数a＝　﹣15　 ，k3＝　﹣4　 ； （2）若整式A1＝px+q，A2＝x+1，为常数2的“相关整式”，其中k1＝1，k2＝﹣1，k3＝3，求p，q的值； 尝试探究 （3）若整式A1＝m1x+n1，A2＝m2x+n2为常数0的“相关整式”，则等式①m1n1＝m2n2；②m1n2＝m2n1中有一个成立，判断哪一个成立，并说明理由； （4）若整式A1＝x+3，A2＝2x+6，A3＝mx+7为常数0的“相关整式”，直接写出m的值． 【解答】解：（1）根据题意可得x+3x+1+k3（x+4）＝a， 即（1+3+k3）x+1+4k3＝a， ∵整式A1＝x，A2＝3x+1，A3＝x+4为常数a的“相关整式”， ∴1+3+k3＝0，1+4k3＝a， 解得：k3＝﹣4，a＝﹣15； 故答案为：﹣15，﹣4； （2）根据题意可得， 即（p﹣1﹣2）x+q﹣1+1＝2， ∵整式A1＝px+q，A2＝x+1，为常数2的“相关整式”， ∴p﹣1﹣2＝0，q﹣1+1＝2， 解得：p＝3，q＝2； （3）②成立，理由如下： 根据题意可得k1（m1x+n1）+k2（m2x+n2）＝0， 即（k1m1+k2m2）x+k1n1+k2n2＝0， ∵整式A1＝m1x+n1，A2＝m2x+n2为常数0的“相关整式”， ∴k1m1+k2m2＝0，k1n1+k2n2＝0， ∴k1m1＝﹣k2m2，kp1＝﹣kɔn2， ∴﹣k1k2m1n2＝﹣k1k2m2n1， ∴m1n2＝m2n1； ∴②成立； （4）根据题意可得k1（x+3）+k2（2x+6）+k3（mx+7）＝0， 则（k1+2k2+mk3）x+3k1+6k2+7k3＝0， ∵整式A1＝x+3，A2＝2x+6，A3＝mx+7为常数0的“相关整式”， ∴k1+2k2+mk3＝0，3k1+6k2+7k3＝0， ∴． 4．阅读下列材料： 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a1，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an． 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列1，3，9，27，…为等比数列，其中a1＝1，公比为q＝3． 然后解决下列问题． （1）等比数列3，6，12，…的公比q为 　2　 ，第4项是 　24　 ． （2）如果已知一个等比数列的第一项（设为a1）和公比（设为q），则根据定义我们可依次写出这个数列的每一项：a1，a1q，a1•q2，a1•q3，…．由此可得第n项an＝ a1•qn﹣1 （用a1和q的代数式表示）． （3）若一等比数列的公比q＝2，第2项是10，求它的第1项与第4项． （4）已知一等比数列的第3项为12，第6项为96，求这个等比数列的第10项． 【解答】解：（1）根据题意知公比q＝6÷3＝2，第4项是12×2＝24， 故答案为：2，24； （2）根据定义我们可依次写出这个数列的每一项：a1，a1q，a1•q2，a1•q3，…．由此可得第n项an＝a1•qn﹣1， 故答案为：a1•qn﹣1； （3）根据题意知，第1项为10÷2＝5，第4项为5×23＝40； （4）根据题意知， ∴q3＝8，即q＝2， 则a1＝3， ∴这个等比数列的第10项为3×29＝1536． 5．下列图形是由一些小正方形和实心圆按一定规律排列而成的，如图所示，按此规律排列下去，第n个图形中实心圆的个数表示为K． （1）Kn＝　2（n+1）　 （用n表示）：K100＝　202　 （2）我们在用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和正整数n． 规定a☆n，例如：（﹣3）☆23． ①计算：（﹣26.6）☆10的值； ②比较：3☆n与（﹣3）☆n的大小． 【解答】解：（1）∵第1个图形中有4个实心圆，第2个图形中有6个实心圆，第3个图形中有8个实心圆，… ∴Kn＝2（n+1）；K100＝2×（100+1）＝202； （2）①（﹣26.6）☆10 ＝﹣22； ②∵n是正整数， ∴Kn＝2n+2≥4； ∴3☆n ＝3， （﹣3）☆n ＝﹣3． 所以3☆n＞（﹣3）☆n． 1．第一次用一条直径将圆周分成两个半圆（如图），在每个分点标上质数k，记2个数的和为a1；第二次将两个半圆都分成圆，在新产生的分点标上相邻的已标的观察下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得： ． 观察发现 　　 ；　　 ． 初步应用 利用（1）的结论，解决以下问题： ①把拆成两个分子为1的正的真分数之差，即　　 ； ②把拆成两个分子为1的正的真分数之和，即　　 ； 深入探究 定义“⊗”是一种新的运算，若，，，则⊗9计算的结果是 　　 ． 两个数的和的，记4个数的和为a2；第三次将四个圆都分成圆，在新产生的分点标上相邻的已标的两个数的和的，记8个数的和为a3；第四次将八个圆都分成圆，在新产生的分点标上相邻的已标的两个数的和的，记16个数的和为a4；……，如此进行了n次． ①an＝　k （用含有k，n的代数式表示）； ②若an＝4420，求的值． 【解答】解：（1）观察发现：； 11； 故答案为：；； （2）初步应用 ①； ②由 ，得， ∴，即； 故答案为：；； （3）⊗9， 故答案为：； （4）①∵a1＝2kk，a2＝4kk，a3k，a4＝10kk， …… ∴ank， 故答案为：k； ②∵k＝4420，且k为质数， 对4420分解质因数可知4420＝2×2×5×13×17， ∴k＝2×2×5×13×17， ∴k（n+1）（n+2）＝2×2×3×5×13×17＝5×51×52， ∴k＝5，n＝50， ∴an（n+1）（n+2），•， ∴（ ） （ ）． 2．幻方的历史很悠久，传统幻方最早出现在夏禹时代的“洛书”．“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，如图1所示． （1）①请你依据“洛书”把1，2，3，5，8填入如图2剩余的方格中使每横行、每竖列以及两条对角线上的数的和都是15；②把﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4填入如图2的方格中，使每横行、每竖列以及两条对角线上的数的和都相等； （2）若把2x﹣4，2x﹣3，2x﹣2，2x﹣1，2x，2x+1，2x+2，2x+3，2x+4填入如图3的方格中，使每横行、每竖列以及两条对角线上的数的和都相等，则每行的和是　6x （用含x的式子表示） （3）根据上述填数经验，请把32，34，36，38，310，312，314，316，318填入如图4的方格中，使每横行、每竖列以及两条对角线上的数的积都相等． 【解答】解：（1）如图2①和图2②所示， （2）如图3所示， ∴每行的和为：2x﹣1+2x+4+2x﹣3＝6x， 故答案为：6x； （3）如图4所示， ． 3．如图是由非负偶数排成的数阵： （1）写出图中“H”形框中七个数的和与中间数的关系； （2）在数阵中任意做一个这样的“H”形框，（1）中的关系是否仍成立？并写出理由； （3）用这样的“H”形框能框出和为2023的七个数吗？如果能，求出这七个数中间的数；如果不能，请写出理由． 【解答】解：（1）∵22+40+58+42+26+44+62＝294＝7×42， ∴图中“H”形框中七个数的和是中间数的7倍； （2）成立， 设中间数为x，则其余六个数分别为x﹣2，x+2，x﹣20，x+20，x﹣16，x+16， ∴x+x﹣2+x+2+x﹣20+x+20+x﹣16+x+16＝7x， 所以图中“H”形框中七个数的和是中间数的7倍； （3）不能， 2023÷7＝289， ∵是非负偶数数阵，而289是奇数， ∴不能框出和为2023的七个数． 4．我们把正n边形（n≥3）的各边三等分，分别以居中的那条线段为一边向外作正n边形，并去掉居中的那条线段，得到一个新的图形叫做正n边形的“扩展图形”，并将它的边数记为an．如图1，将正三角形进行上述操 作后得到其“扩展图形”，我们易得a3＝12．图2、图3、图4分别是正方形、正五边形、正六边形的“扩展图形”． （1）已知a3＝12，a4＝20，a5＝30，则图4中a6＝　42　 ． （2）根据以上规律，正n边形的“扩展图形”中an＝n（n+1）　 ．（用含n的式子表示） （3）已知，，，…，且，则n＝　99　 ． 【解答】解：（1）如图所示： （2）图4中a6＝6×7＝42，根据以上规律，正n边形的“扩展图形”中an＝n（n+1）； （3）∵，，，…，且， ∴， 解得n＝99． 故答案为：42，n（n+1）；99． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业05 整式中的规律探究及新定义型问题 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 数字型规律探究题 1．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为96，我们发现第1次输出的结果为48，第2次输出的结果为24，…，第2025次输出的结果为　　 ． 2．如图所示，在这个运算程序中，若开始输入x的值为2，结果输出的是1，将第1次输出的结果1，再次输入运算程序，进行第2次运算，结果输出的是﹣2，…则第2025次输出的结果是　　 ． 3．如果记，并且f（1）表示当x＝1时，y的值，即，同理表示当时y的值，即，…那么　　 ． 4．7个同学照如图的样子围成一圈报数，王莉报到“7”后，由李小杰维续报“8”，像这样一直报下去，报到100的是　　 ． 5．已知a1＝x（x≠0且x≠1），，，…，，若a2025的值等于7，则x的值为　　 ． 6．密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．将26个英文字母a，b，c，…，z依次对应自然数1，2，3，…，26．给出密文与明文之间的关系如下：当密文中的数x为奇数时，明文对应的序号为x+1；当密文中的数x为偶数时，明文对应的序号为．例如密文“1”对应的序号为1+1＝2，译成明文为“b”；密文“12”对应的序号为，译成明文为“f”，请将密文“38，19，42，3，50”破译成用英文字母表示的明文 ． 7．如图，圆的周长为4个单位长度，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示﹣1的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示﹣2的点重合…），则数轴上表示﹣2024的点与圆周上 表示数字　 的点重合． 8．有一列数{﹣1，﹣2，﹣3，﹣4}，将这列数中的每个数求其相反数得到{1，2，3，4}，再分别求与1的和的倒数，得到，令这组数为{a1，a2，a3，a4}，称这为一次操作；第二次操作是将{a1，a2，a3，a4}再进行上述操作，得到{a5，a6，a7，a8}；第三次操作是将{a5，a6，a7，a8}重复上述操作，得到{a9，a10，a11，a12}；…；以此类推，则a2025＝　　 ，a1+a2+a3+…+a61＝　　 ． 9．一点从数轴上表示+1的点A开始移动，第一次先向左移动1个单位，再向右移动2个单位到达B点；第二次从B点先向左移动3个单位，再向右移动4个单位到达点C；第三次从点C先向左移动5个单位，再向右移动6个单位… （1）第一次移动后这个点在数轴上表示的数为　　 ；点A与点B间的距离为　　 ． （2）第二次移动后这个点在数轴上表示的数为　　 ；点A与点C间的距离为　　 ． （3）若第n次移动后到达N点则这个点在数轴上表示的数为 　 ；点A与点N间的距离为 ． （4）若第m次移动后这个点在数轴上表示的数为78，求m的值． 10．先观察下列等式，再回答问题： ①1×3+1＝22；②2×4+1＝32；③3×5+1＝42；④4×6+1＝52；… （1）写出第5个等式：　 ． （2）写出第n（n为正整数）个等式： （3）请利用上述规律计算：． 11．折叠纸面，若在数轴上﹣1表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： （1）数轴上10表示的点与　　 表示的点重合； （2）若数轴上M，N两点之间的距离为2026（M在N的左侧），且M，N两点经折叠后重合，求M，N两点表示的数是多少？ （3）如图，边长为2的正方形有一顶点A落在数轴上表示﹣1的点处，将正方形在数轴上向右滚动（无滑动），正方形的一边与数轴重合记为滚动一次，求正方形滚动15次后，数轴上表示点A的数折叠后与哪个数重合？ 12．南宋时期，钱塘数学家杨辉在他不朽的著作《详解九章算法》中，系统记载了一张神奇的三角数表——杨辉三角（如图所示）．它不仅凝结了古人的数学智慧，更揭示了二项式乘方（a+b）n（n为非负整数）展开式的深邃规律．这个三角形的每个数，都等于其上方两数之和，其构造之美、规律之奇，令人叹为观止．现在，就让我们穿越千年，一同探寻这古老数表中的奥秘，解决以下问题： 此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： （1）请在图中括号内的数为　　 ； （2）（a+b）20展开式共有　　 项，第19项系数为　　 ； （3）利用上面的规律计算：35﹣5×34+10×33﹣10×32+5×3﹣1． 13．综合与实践：干支纪年法是中国自古以来一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，如甲子、乙丑． （1）小丽研究干支纪年法时发现以下天干地支表，则编号为61的是　　 年； 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 …… 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 丁 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 丑 （2）小刚研究干支纪年法时发现公元4年为甲子年，请你求出公元2025年用干支纪年法表示应为哪一年？ 题型二 图像型规律探究题 14．用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律拼出图形．拼第1个图形所用两种卡片的总数为7枚，拼第2个图形所用两种卡片的总数为12枚…若按照这样的规律拼出的第n个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多20枚，则拼第n个图形所用两种卡片的总数为　　 ． 15．如图，用同样大小的棋子按以下规律摆放，若第n个图中有2025枚棋子，则n的值是 　 　 ． 16．如图，黑白相间且有规律排列的球．在第n个白色的球前面，黑色的球共有　 　 个． 17．用火柴按如图的方式摆六边形组成新的图形，如图①摆1个六边形的图形需要6根火柴；如图②摆2个六边形的图形需要11根火柴，如图③摆3个六边形的图形需要16根火柴，…，按此规律，摆2025个六边形的图形需要　 　 根火柴． 18．用黑、白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律拼成若干个图案，则第5个图案中白色地砖 有　　 块，第n个图案中白色地砖有　 　 块． 19．如图，用火柴棒按照一定规律摆出一组图形，照此规律摆下去，图a2025比图a2024多出的火柴棒根数是　 ．（保留幂的形式） 20．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第12种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是　 　 ． 21．用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆放，按照这样的规律摆下去，用含n的代数式表示第n个图形需要棋子的枚数为 　 　 ． 22．小明下五子棋的时候，用棋子按一定的规律摆了如下三个图案，若小明继续摆下去． （1）摆第5个图案需用 　　 颗棋子； （2）按照此规律摆下去，摆第n个图案需要 　　 颗棋子（用含n的代数式表示）； （3）是否存在一个图案，所摆棋子数为113颗？若存在，求出是第几个：若不存在，请说明理由． 23．如图，大正方形的边长是4米，把它平均分成两份得到一个长方形①，剩下的再平均分，得到一个正方形②，按照这个方法一直分下去…把图形①至⑤都涂成阴影， （1）求阴影面积的和； （2）根据此题的简便思路，计算下题：32768+16384+⋯+16+8+4+2+1． 24．完成下列的问题． （1）在图②中用了　　 块黑色正方形，在图③中用了　　 块黑色正方形； （2）按如图的规律继续铺下去，那么第n个图形要用　　 块黑色正方形； （3）如果有足够多的白色正方形，能不能恰好用完90块黑色正方形，拼出具有以上规律的图形？如果可以请说明它是第几个图形；如果不能，说明你的理由． 25．【观察思考】 如图，这是由基本图形组成的一系列图案，其中第1个图案由4个基本图形组成；第2个图案由7个基本图形组成；第3个图案由10个基本图形组成；…按此规律排列下去． 【规律发现】 （1）第4个图案有　　 个基本图形；第n（n是正整数）个图案有 　 （用含n的式子表示）个基本图形． 【规律应用】 （2）摆第33个图案需要多少个基本图形？ 26．如图，用“8字砖”铺设地面，1块地砖有2个正方形，2块地砖拼得5个正方形，3块地砖拼得8个正方形，…，照此规律拼下去． （1）4块地砖拼得的正方形的个数为　　 个； （2）请用含n的代数式表示n块地砖拼得的正方形的个数为　 　 个； （3）若m块地砖拼得的正方形的个数是170，求m的值． 题型三 新定义型问题 27．如果一个两位数a的个位数字不是零，且与十位数字不同，我们称这个两位数为“迥异数”．定义新运算：将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为ω（a），例如：a＝13，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和31+13＝44，和与11的商44÷11＝4，所以ω（13）＝4．根据以上定义，回答下列问题： （1）计算：ω（25）＝　　 ． （2）设一个两位数b为“迥异数”，其个位数字为m，十位数字为n，则ω（b）＝m+n （用含m、n的式子表示）． 28．已知a≠0且a≠1，我们定义，记为，记为a2；…；，记为an．若将数组中的各数分别作f1的变换，得到的数组记为（a1，b1）；将（a1，b1）作f2的变换，得到的数组记为（a2，b2）；则a1+b1+a2+b2+a3+b3+…+a2025+b2025的值为　　 ． 29．定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取n＝26，则： 若n＝49，则第2025次“F运算”的结果是　　 ． 30．对于a、b，定义了一种新运算“◎”为：a◎．如：4◎1，1◎3． （1）计算：0◎（﹣2）＝　　 ； （2）若A＝﹣3x2+mx﹣y，B＝2nx2+3x+5y，当A＜B时，A◎B的值与字母x的取值无关，求nm的值为　　 ． 31．给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数a，b为“相伴有理数对”，记为（a，b）．如：，，所以数对，都是“相伴有理数对”． （1）数对，中，是“相伴有理数对”的是 　 ； （2）若是“相伴有理数对”，求x的值； （3）若（a，b）是“相伴有理数对”，求的值． 32．我们定义：对于数对（a，b），若a+b＝ab，则（a，b）称为“和积等数对”．如：因为2+2＝2×2，﹣33，所以（2，2），（﹣3，）都是“和积等数对”． （1）下列数对中，是“和积等数对”的是　 　 ；（填序号） ①（3，1.5）； ②（，1）； ③（，）． （2）若（﹣5，x）是“和积等数对”，求x的值； （3）若（m，n）是“和积等数对”，求代数式4[mn+m﹣2（mn﹣3）]﹣2（3m2﹣2n）+6m2的值． 33．定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“和谐数”．例如三位数143，因为4﹣3＝1，所以它是“和谐数”． （1）判断三位数375是否为“和谐数”，并说明理由； （2）设一个“和谐数”的百位、十位、个位数字分别为a，b，c，直接写出a与b，c满足的数量关系； （3）求证：任意一个“和谐数”都能被11整除． 34．定义：对于一个有理数x，我们把[x]称作x的对称数．若x≥0，则[x]＝x﹣2；若x＜0，则[x]＝x+2．例：[1]＝1﹣2＝﹣1，[﹣2]＝﹣2+2． （1）则[0]＝　　 ，　 　 ； （2）已知有理数a＞0，b＜0，且满足[a]＝[b]﹣1，试求代数式2（b﹣a）2的值； （3）解方程：[3x]＝2x﹣1． 1．阅读下列材料，并解决相关的问题． 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a1，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an． 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列1，2，4，8，…为等比数列，其中a1＝1，公比为q＝2． （1）等比数列3，6，12，…的公比q为 　　 ，第6项是 　　 ． （2）如果一个数列a1，a2，a3，a4，…是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到：q，q，q，q． 所以：a2＝a1•q，a3＝a2•q＝（a1•q）•q＝a1•q2，a4＝a3•q＝（a1•q2）•q＝a1•q3，… 由此可得：an＝ （用a1和q的代数式表示）． （3）对等比数列1，2，4，…，2n﹣1求和，可采用如下方法进行： 设S＝1+2+4+…+2n﹣1 ①， 则2S＝2+4+…+2n ②， ②﹣①得：S＝2n﹣1 利用上述方法计算：1+3+9+…+3n． 2．给定一个十进制下的自然数x，对于x每个数位上的数，求出它除以3的余数，再把每一个余数按照原来的数位顺序排列，得到一个新的数，定义这个新数为原数x的“模三数”，记为M3（x）．如M3（7352）＝1022，M3（5483）＝2120．对于“模三数”的加法规定如下：将两数末位数（右边第一位数）对齐，从右往左依次将相应数位上的数分别相加，具体是：0与0相加得0；0与1相加得1；0与2相加得2；1与1相加得2；2与1相加得0，并向左边一位进1；2与2相加得1，并向左边一位进1．如7352，5483的“模三数”1022，2120相加的运算过程如图所示． 根据以上材料，解决下列问题： （1）填空：M3（1945）＝　 　 ，M3（1945）+M3（80）＝　 　 ； （2）某两位数x的十位数字比个位数字大1，且它的“模三数”末位数是a，试用含a的代数式表示x； （3）如果两个自然数的和的“模三数”与它们的“模三数”的和相等，则称这两个数满足“模三和不变”． 如M3（1247）＝1211，M3（4301）＝1001， 因为M3（1247）+M3（4301）＝2212，M3（1247+4301）＝2212， 所以M3（1247）+M3（4301）＝M3（1247+4301）， 即1247与4301满足“模三和不变”． 试判断48和56是否与31满足“模三和不变”，并直接写出所有与31满足“模三和不变”的两位数的个数． 3．定义n个关于x的一次整式A1，A2，…，An，存在不等于零的数k1，k2，…，kn，使k1A1+k2A2+⋯+knAn＝a，其中a是常数，我们称这n个一次整式为常数a的“相关整式”． 例如：对于一次整式x﹣4，﹣3x+8，﹣x﹣1，存在k1＝1，k2＝﹣1，k3＝4，使（x﹣4）﹣（﹣3x+8）+4（﹣x﹣1）＝﹣16，我们就称一次整式x﹣4，﹣3x+8，﹣x﹣1为常数﹣16的“相关整式”． 数学理解 （1）若整式A1＝x，A2＝3x+1，A3＝x+4为常数a的“相关整式”，其中k1＝k2＝1，则常数a＝　　 ，k3＝　　 ； （2）若整式A1＝px+q，A2＝x+1，为常数2的“相关整式”，其中k1＝1，k2＝﹣1，k3＝3，求p，q的值； 尝试探究 （3）若整式A1＝m1x+n1，A2＝m2x+n2为常数0的“相关整式”，则等式①m1n1＝m2n2；②m1n2＝m2n1中有一个成立，判断哪一个成立，并说明理由； （4）若整式A1＝x+3，A2＝2x+6，A3＝mx+7为常数0的“相关整式”，直接写出m的值． 4．阅读下列材料： 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a1，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an． 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列1，3，9，27，…为等比数列，其中a1＝1，公比为q＝3． 然后解决下列问题． （1）等比数列3，6，12，…的公比q为 　　 ，第4项是 　 ． （2）如果已知一个等比数列的第一项（设为a1）和公比（设为q），则根据定义我们可依次写出这个数列的每一项：a1，a1q，a1•q2，a1•q3，…．由此可得第n项an＝ （用a1和q的代数式表示）． （3）若一等比数列的公比q＝2，第2项是10，求它的第1项与第4项． （4）已知一等比数列的第3项为12，第6项为96，求这个等比数列的第10项． 5．下列图形是由一些小正方形和实心圆按一定规律排列而成的，如图所示，按此规律排列下去，第n个图形中实心圆的个数表示为K． （1）Kn＝　 　 （用n表示）：K100＝　 　 （2）我们在用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和正整数n． 规定a☆n，例如：（﹣3）☆23． ①计算：（﹣26.6）☆10的值； ②比较：3☆n与（﹣3）☆n的大小． 1．第一次用一条直径将圆周分成两个半圆（如图），在每个分点标上质数k，记2个数的和为a1；第二次将两个半圆都分成圆，在新产生的分点标上相邻的已标的观察下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得： ． 观察发现 　　 ； 　 ． 初步应用 利用（1）的结论，解决以下问题： ①把拆成两个分子为1的正的真分数之差，即　 　 ； ②把拆成两个分子为1的正的真分数之和，即　 　 ； 深入探究 定义“⊗”是一种新的运算，若，，，则⊗9计算的结果是 　　 ． 两个数的和的，记4个数的和为a2；第三次将四个圆都分成圆，在新产生的分点标上相邻的已标的两个数的和的，记8个数的和为a3；第四次将八个圆都分成圆，在新产生的分点标上相邻的已标的两个数的和的，记16个数的和为a4；……，如此进行了n次． ①an＝ （用含有k，n的代数式表示）； ②若an＝4420，求的值． 2．幻方的历史很悠久，传统幻方最早出现在夏禹时代的“洛书”．“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，如图1所示． （1）①请你依据“洛书”把1，2，3，5，8填入如图2剩余的方格中使每横行、每竖列以及两条对角线上的数的和都是15；②把﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4填入如图2的方格中，使每横行、每竖列以及两条对角线上的数的和都相等； （2）若把2x﹣4，2x﹣3，2x﹣2，2x﹣1，2x，2x+1，2x+2，2x+3，2x+4填入如图3的方格中，使每横行、每竖列以及两条对角线上的数的和都相等，则每行的和是　 （用含x的式子表示） （3）根据上述填数经验，请把32，34，36，38，310，312，314，316，318填入如图4的方格中，使每横行、每竖列以及两条对角线上的数的积都相等． 3．如图是由非负偶数排成的数阵： （1）写出图中“H”形框中七个数的和与中间数的关系； （2）在数阵中任意做一个这样的“H”形框，（1）中的关系是否仍成立？并写出理由； （3）用这样的“H”形框能框出和为2023的七个数吗？如果能，求出这七个数中间的数；如果不能，请写出理由． 4．我们把正n边形（n≥3）的各边三等分，分别以居中的那条线段为一边向外作正n边形，并去掉居中的那条线段，得到一个新的图形叫做正n边形的“扩展图形”，并将它的边数记为an．如图1，将正三角形进行上述操 作后得到其“扩展图形”，我们易得a3＝12．图2、图3、图4分别是正方形、正五边形、正六边形的“扩展图形”． （1）已知a3＝12，a4＝20，a5＝30，则图4中a6＝　 　 ． （2）根据以上规律，正n边形的“扩展图形”中an＝ 　 ．（用含n的式子表示） （3）已知，，，…，且，则n＝　 　 ． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $