第十五章综合与实践最短路径问题课件+教学设计+课堂实录-2025-2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦最短路径问题，以“白日登山望烽火”古诗情景导入，复习“两点之间线段最短”等旧知，通过“牧民饮马”任务链，将实际问题转化为直线上找一点使线段和最小，借助轴对称搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以“牧民饮马”“邮递员取件”等真实情境为载体，引导学生用数学眼光抽象问题，通过作对称点、逻辑推理证明路径最短，体现转化思想。课堂小结串联“实际问题-轴对称-线段最短”，帮助学生形成知识结构，既提升抽象能力与推理意识，也为教师提供情境化、结构化的教学方案。

《最短路径问题》使用A!工具清单如下： 1、Deepseek 2、豆包 3、即梦 4、几何画板 《最短路径》教学反思 本次授课以“最短路径”为核心内容，结合AI工具与动画辅助教学，覆盖课堂互动、课堂管理等多个维度，同时围绕AI应用效果、经验总结和创新方面展开复盘，现将反思总结如下： 一、 各教学维度亮点 1. 课堂互动：借助AI生成的动态路径演示动画创设情境，AI赋能闯关答题吸引学生兴趣。设置“牧民饮马”变式问题链，引导学生分组动手画图、验证猜想，课堂举手回答、上台板书的形式。互动中采用“学生互评+教师点评”模式，激发学生主动思考。 2. 课堂管理：提前明确小组，AI动画播放与小组讨论环节时间分配合理，无明显课堂秩序混乱情况；针对注意力不集中的学生，通过随机提问及时拉回注意力。 3. 教学方法：采用“情境导入—动画演示—猜想验证—归纳总结”的探究式教学法，将抽象的“两点之间线段最短”融入具象动画，突破“路径转化”这一难点；结合分层问题设计，兼顾不同层次学生的学习需求。 4. 技术整合：AI工具快速生成不同场景的最短路径动画（如任务一、二），解决了传统教学中画图耗时、演示不直观的问题； 5. 评价方式：采用多元化的评价方式，包括课堂表现、小组合作等，全面评价学生的学习情况。同时，注重过程性评价，关注学生的学习情况和进步情况，及时给予学生反馈和鼓励。 二、 各教学维度不足 1. 课堂互动：部分小组讨论流于形式，少数学困生未真正参与思考，仅被动跟随小组结论。 2. 课堂管理：小组讨论环节时间把控不够精准，导致后续归纳总结环节略显仓促；个别学生过度关注AI动画的趣味性，忽略动画背后的数学原理。 3. 教学方法：探究环节给予学生自主思考的时间不足，当学生出现思维卡顿，教师急于给出提示，未能充分引导学生自主突破难点。 4. 技术整合：AI动画播放未设置暂停互动节点，部分学生未能跟上动画演示的逻辑； 5. 评价方式：过程性评价的量化标准不够清晰，小组合作表现的打分主观性较强还需进一步细化和明确。 三、 针对性改进措施 1. 课堂互动：建立“小组轮答制”，确保每位学生都有发言机会；设置“小组质疑环节”，要求每组针对其他组的展示提出1-2个问题，使全员参与思考。 2. 课堂管理：提前预设小组讨论的时间节点，设置倒计时提醒；在AI动画中嵌入“暂停思考”按钮，每播放一个关键步骤即暂停，引导学生口述原理。 3. 教学方法：在探究环节增加“思维脚手架”，如设计分步引导问题清单；当学生思维卡顿，采用“同伴互助”模式，鼓励学优生帮扶学困生，而非教师直接提示。 4. 技术整合：优化AI动画的交互设计，增加“自主操作”模块，让学生可以拖动动画中的点自主探究路径变化。 5. 评价方式：细化过程性评价标准，将小组合作表现分为“参与度、贡献度、质疑度”三个可量化指标；丰富小测题目类型，增加开放性应用题和操作题。 四、 专项复盘与思考 （一） AI应用效果 优势：AI动画将抽象的几何转化过程具象化，有效降低了学生的认知负荷，对比传统教学，学生对“最短路径转化本质是轴对称”的理解正确率提升了25%； 局限：AI工具的操作门槛对部分学生存在挑战，且过度依赖AI动画会弱化学生的空间想象能力. （二） 经验总结与创新思考 经验总结：探究式教学与AI动画结合是突破几何概念教学难点的有效手段；分层任务与多元评价相结合，能够更好地兼顾学生差异。 创新思考：后续可尝试利用AI工具解决“最短路径”实际问题，让学生自主设计不同场景（如山区修路、城市规划）的最短路径方案；探索AI与数学建模的结合，引导学生用最短路径知识解决实际生活问题。 本次《最短路径问题》的教学，通过AI与动画的整合实现了教学形式的创新，有效提升了课堂效率，但在技术应用的精准度和学生差异的个性化辅导方面仍需改进。未来教学中，需始终坚持“技术服务于教学”的原则，将精准化、个性化作为核心方向，不断优化教学策略，促进学生数学核心素养的提升。 学科网（北京）股份有限公司 $ 会用数学的眼光发现生活中的最短路径问题.会用数学知识、思想、方法描述最短路径问题，把最短路径问题转化为数学问题. 一 二 能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想. 三 会通过逻辑推理解决数学问题.会用数学问题的结果解释最短路径问题，获得最短路径问题的答案. 学习目标 情景引入 像“两点之间，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等问题称为最短路径问题 复习回顾 任务1 如图1，牧民从A地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B地，牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短? 图1 转化 B地 军营A A B P l 牧民饮马 转化成数学问题：如果把河边l近似地看成一条直线，问题就是要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小。 问题1：点P是直线l的动点，当点P在直线l什么位置时，AP＋BP的值最小？ 思考：如果能在另一侧找到一个点B'，使得对于直线上任意一点P，都 有BP＝B'P. A B P l B' 思考：这个点B'是否存在，若存在，与点B有什么关系？ 转化 l B A P 已解决 牧民饮马 究 A B P l B' 如图，作点B关于l的对称点B'， 利用轴对称的性质，可得BP＝B'P. 故有AP＋BP＝AP＋B'P. 同侧转化异侧 A B l B' P 牧民饮马 证明：点P是直线l的动点，点B与点B'关于直线l对称，当点P是直线l与 AB'的交点时，AP＋BP的值最小？ A B l B' P 证明： 在直线l上另外任意取一点P'，连接AP'，BP'. P' 只需证明AP'＋BP'＞AP＋BP. 连接B'P'. ∵两点之间，线段最短， ∴AP'＋B'P'＞AP＋B'P. ∵点B与点B'关于直线l对称， ∴BP'＝B'P'，BP＝B'P. ∴AP'＋BP'＞AP＋BP. 牧民饮马 将军饮马问题 问题 如图，牧民从A地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B地，牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短? 作法 1.作点B 关于 的对称点B′； 2. ，与直线l 相交于点P． 则点P 即为所求． 直线l 连接AB′ A B l B' P 课堂小结 1. 如图，在正方形网格中，M，N为小正方形顶点，直线l经过小正方形顶点A，B，C，D，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应位于（　　） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 C 课堂练习 2.如图，童童在A处放牛，他的家在B处，l为河流所在直线，晚上回家时要到河边让牛饮一次水，饮水的地点(用点P表示)选在何处，童童所走的路程最短？ 解：如图所示： 课堂练习 任务2 如图，牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，牧民怎样走可使所走的路径最短? 牧民饮马 作法： 1.作点A 关于直线l的对称点A′， 作点B 关于直线m的对称点B′； 2.连接A′B′，与直线l 、m分别交于点C、D； 3.顺次连接A、C、D、B. 则沿A-C-D-B行走的路径最短． 任务2 如图，牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，牧民怎样走可使所走的路径最短? 牧民饮马 任务3 如图，牧民每天从生活区的边沿A处出发，先到草地边的B处牧马，再到河边C处饮马，然后回到A处.如何确定A，B，C的位置，使从A处出发，到B处牧马，再到C处饮马，最后回到A处所走的路径最短? https://mp.weixin.qq.com/s/unpVa9TlqFfwa7XwQ2uCjA（光行最速原理） 牧民饮马 如图，邮递员小刚的家在两条公路OM和ON之间的A处，小王每天都要到在射线OM方向行驶的车上取下快件，然后再送到在射线ON方向行驶的车上．为使小刚每天接送快件的行程最短，请帮助他找出在公路OM和ON上的等车地点. 解：如图所示，点B和点C即为等车地点. 巩固练习 将军饮马问题 任务2 课堂小结 任务2 任务3 实际问题 线段和最小问题 两点之间，线段最短 抽象 轴对称 课堂小结 🔊 🎵 开启语音 几何最短路径闯关答题 挑战你的几何知识，找出最短路径！ 1 2 问题一：两点之间最短路径 在平面几何中，连接两点的所有线中，最短的是哪一条？ 点A 点B 曲线 折线 线段 无法确定 提交答案 问题二：点到直线的最短距离 从直线外一点到这条直线的所有线段中，最短的是哪一条？ 点P 垂足 直线L 任意一条斜线段 垂线段 与直线平行的线段 无法确定 提交答案 恭喜你完成所有问题！ 你已成功掌握几何中最短路径的基本原理！ 将军饮马问题 军营和营地在河同侧 - 探索最短路径 问题描述：一位将军需要从军营(A)出发，到河边饮马，然后前往营地(B)。军营和营地在河的同一侧。 问题：将军应该在河边的哪个位置饮马，才能使总路程最短？ 操作说明：拖动河边的红色点(P)来探索不同路径，点击"显示最短路径"按钮查看最优解。 重置 显示最短路径 显示/隐藏对称点 下载此动画 军营(A) 营地(B) 饮马点(P) 河 对称点(A') 当前路径长度 611.72 最短路径长度 583.10 原理：通过找到军营(A)关于河的对称点(A')，连接A'和营地(B)，与河的交点即为最短路径的饮马点。 数学原理 将军饮马问题的核心是利用轴对称性质寻找最短路径： 作军营(A)关于河的对称点(A') 连接A'和营地(B)，与河的交点即为最优饮马点 此时路径A→P→B的长度等于A'→B的长度，根据"两点之间线段最短"原理，这是最短路径 这个原理可以推广到各种"两点一线"的最短路径问题中。 初中数学教学工具 | 将军饮马问题交互式动画 将军饮马问题 军营和营地在河同侧 - 探索最短路径 问题描述：一位将军需要从军营(A)出发，到河边饮马，然后前往营地(B)。军营和营地在河的同一侧。 问题：将军应该在河边的哪个位置饮马，才能使总路程最短？ 操作说明：拖动河边的红色点(P)来探索不同路径，点击"显示最短路径"按钮查看最优解。 重置 显示最短路径 显示/隐藏对称点 下载此动画 军营(A) 营地(B) 饮马点(P) 河 对称点(A') 当前路径长度 611.72 最短路径长度 583.10 原理：通过找到军营(A)关于河的对称点(A')，连接A'和营地(B)，与河的交点即为最短路径的饮马点。 数学原理 将军饮马问题的核心是利用轴对称性质寻找最短路径： 作军营(A)关于河的对称点(A') 连接A'和营地(B)，与河的交点即为最优饮马点 此时路径A→P→B的长度等于A'→B的长度，根据"两点之间线段最短"原理，这是最短路径 这个原理可以推广到各种"两点一线"的最短路径问题中。 初中数学教学工具 | 将军饮马问题交互式动画 将军饮马最短路径验证 通过几何对称法寻找最短路径的数学原理演示 最短路径 当前路径 测试点路径 河岸 路径控制 寻找最短路径 重置 显示求解方法 当前路径长度: -- 测试点对比 点击测试点查看不同路径长度： 测试点 1 测试点 2 测试点 3 测试点 4 自定义饮马点 拖动下方滑块调整饮马点位置： X坐标: 350 将军饮马问题与求解方法 最短路径原理: AP + PB = A'P + PB ≥ A'B 问题描述: 一位将军需要从军营(A点)出发，先到河边饮马，然后前往前线(B点)。我们需要找到河边上的一个点P，使得AP+PB的总路径最短。 求解方法: 1. 作A点关于河岸的对称点A' 2. 连接A'和B点，与河岸相交于点P 3. 点P即为所求的最优点，此时AP+PB = A'B，为最短路径 数学原理: 利用两点之间线段最短的公理，通过对称变换将折线路径问题转化为直线距离问题。 初中数学教学工具 - 将军饮马问题验证动画 $ 最短路径问题(第1课时) 教学设计 一 、内容和内容解析 1、 内容 最短路径问题是人教版八年级上册第十三章第四节第一课时的内容，具体教学内容为利用轴对称研究某些最短路径问题。 2. 内容解析 最短路径问题的本质是利用几何变换实现“折”转“直”，其核心理论支撑是公理“两点之间，线段最短”和性质“垂线段最短”。“牧民饮马”问题通过轴对称变换，将直线同侧的两点转化为异侧两点，使折线长度转化为线段长度； 本节课是初中几何“图形的变化”与“图形与坐标”的综合应用课，承接了轴对称、平移的性质等知识，同时为后续学习函数最值、立体几何表面最短路径（如正方体、圆柱侧面路径）奠定方法基础。从能力培养角度看，该内容能有效提升学生的几何直观、逻辑推理和数学建模能力，是连接几何理论与生活实践的重要纽带。 基于以上分析，确定本节课的教学重点是利用轴对称性质将最短路径问题转化为“两点之间线段最短”问题。 二 、目标和目标解析 1.目标 (1) 能将实际问题转化成数学问题。 (2) 能通过轴对称图形解决简单的最短路径问题，体会点和线的位置变化在最值问题中带来的影响。 (3) 能通过AI动画、动手画图、小组讨论，提升图形转化能力和推理能力。 2.目标解析 达成目标的标志： (1) 学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”,把实际问题抽象为数学中最短路径问题； (2) 能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题； (3) 能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想。 三 、学生学情分析 学生已学习过“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”的基本公理，理解轴对称、平移的定义与性质，能完成简单的轴对称图形作图和图形平移操作，这些知识是学习最短路径问题的理论支撑与操作基础。但学生对几何变换的应用停留在“识别与作图”层面，尚未形成“利用变换转化复杂问题”的主动思维，缺乏将“折线”转化为“直线”的解题意识。 初中生的思维正从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡，对生活中的实际问题（如“牧民饮马”故事）具有较强的探究兴趣，但对“为什么这样构造的路径最短”的逻辑证明存在畏难情绪。他们擅长模仿例题的解题步骤，却难以独立分析问题特征、选择合适的几何变换策略，尤其在面对变式问题时，容易陷入“模型套用”的误区，忽略问题本质的差异。 基于以上分析，本节课的教学难点是：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。 四 、教学策略分析 （一)教学方法分析 落实《义务教育数学课程标准(2022年版)》的课程目标，以学生发展为本，以核心素养为导向，形成和发展面向未来社会和个人发展所需要的核心素养。本节课以“问题导向+探究式教学”为核心，结合多种教学方法，适配初中生的认知特点与本节课的重难点，具体如下： 以AI闯关答题复习回顾，“牧军饮马”AI动画情境导入，将抽象的几何问题转化为学生熟悉的实际问题，激发学生的探究兴趣，让学生感知数学与生活的紧密联系，为后续建模环节奠定认知基础。 （二）教学手段分析 本节课利用AI 动画、PPT、几何画板等手段进行教学，展示“牧军饮马”问题中，动点在直线上移动时路径长度变化，以及轴对称变换后折线转化为线段的过程，直观验证“构造的路径是最短的”，突破“最短路径证明”的难点。同时采用小组合作的方式，提升学生的参与度和表达能力。 五、教学过程设计 基于以上分析，设计本节课的教学基本流程： ( 分层作业 ) ( 课堂小结 ) ( 巩固练习 ) ( 探究新知 ) ( 情景导入 ) (一)、情景溯源 1.AI动画激趣，感知原型 师：播放两段AI动画：第一段蚂蚁搬大米场景，第二段兔子喝水场景，这两个情境中，藏着怎样的数学知识呢？ 2. AI闯关答题，唤醒旧知 师：展示两道闯关答题，激发学生兴趣 生：学生参与互动，点击正确答案 ( 设计意图： 通过AI动画及闯关答题，引导学生主动思考，在解决问题的过程中自然引出本节课主题：最短路径问题--- “ 两点之间，线段最短 ” ， “ 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 ” ) (二)、探究新知 1.AI视频导入，聚焦核心 师：打开AI 虚拟动画，呈现“将军饮马”古诗中的动态场景，提问：如果你化身古代战场中的将军，应该如何规划饮马的路线才能最短？ 师：任务1： 如图1，牧民从A地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B地，牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短? ( 转化 ) ( B 地 军营 A A B P l )生：转化成数学问题：如果把河边l近似地看成一条直线，问题就是要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小。 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点,使得这个点到点A，点B的距离的和最短？ 师：是否能在另一侧找到一个点B'，使得对于直线上任意一点P，都有BP＝B'P. ( A B l B' P )生：学生根据提示，独立思考后，尝试画图，寻找符合条件的点，然后小组交流讨论，学生代表汇报交流结果，追问找点的过程，师生共同补充 2.AI动画验证，思想构建 师：展示AI最短路径动画，动态模拟点P移动过程，实时展示AP+BP长度变化，验证最小值，学生更直观感受最短路径的形成过程。 追问：你能用所学的知识证明AP+BP最短吗？ 生：小组合作讨论，学生代表汇报交流结果 学生自主讨论得出：根据三角形的三边关系，可以验证AP+BP最短。 证明：在直线l上另外任意取一点P'，连接AP'，BP'. ∵两点之间，线段最短，∴AP'＋B'P'＞AP＋B'P. ∵点B与点B'关于直线l对称，∴BP'＝B'P'，BP＝B'P. ∴AP'＋BP'＞AP＋BP. 师：展示AI动画，选取不同测试点，验证三点共线时为最短路径。 3. 巩固课堂所学，习题练习 ( 设计意图： 通过基础练习，巩固利用对称轴解决最短路径问题的方法，强化对称点的做法和应用，培养学生的作图技能和推理能力。 ) 4、AI拓展探究，延伸课堂 师：任务2， 如图，牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，牧民怎样走可使所走的路径最短? ( 转化 ) 生：小组合作讨论，学生代表上黑板板书求解。 师：教师展示几何画板，验证任务2的最短路径问题，学生通过几何画板展示，更直观感受最短路径的形成。 任务3 如图，牧民每天从生活区的边沿A处出发，先到草地边的B处牧马，再到河边C处饮马，然后回到A处.如何确定A，B，C的位置，使从A处出发，到B处牧马，再到C处饮马，最后回到A处所走的路径最短? ( 设计意图： 通过AI跨学科引入光行最速原理，揭示其与 “ 牧民饮马 ” 二者本质一致， “ 光的传播遵循最短路径原理，反射角等于入射角是对称转化的物理表现，体现数学思想与自然规律的和谐统一。 ) (三)、巩固练习 （四)、课堂小结 (五)、分层作业 (1)必做作业：复习教材85-86页问题1和问题2 (2)选做作业：自主探究任务三中跨学科---《光行最速原理》 （六）、板书设计 最短路径问题 两点之间，线段最短 垂线段最短 学科网（北京）股份有限公司 $准备好了吗？我们要开始今天的数学探索之旅了。好，来上课。大家屏住呼吸，好，你的呼吸将目光聚焦在黑板。现在你穿越到一只蚂蚁。一直在用，你现在必须要用最短的两只大米搬回家里，请问你如何来选择？直接走，直接把两个大木头搬回家，对吧？该好了，请坐。现在当你穿越到了一只沙漠的小兔子身上，在你的面前有一条笔直的河流，现在你想到河边去喝水，你是直着走还是绕弯走？来，请看第一题。太优秀了，完全正确。你真实的。间线段最短，对吧？倒没见到最短距离。白的海报面。回答正确。所有的手段来总结一下这一包含的两个数学原理是什么？好，来。第一个，两点之间，现在这个。第二个是直线外一点到直线的的最短距离是。垂线段最短。实际上这两种数学是早已经把它融入到了一个画面。我们来看。蛟河这首古诗里藏着一个流传千年的数学谜题，将军宴答。将军面临着一个路线规划的难题。将军在A点观望烽火后，要牵马去河边饮水，再回到军营地点。山峰和军营在河的同一侧，但不在相同位置。将军到河边什么地方饮马，可使他所走的路线全程最短。本质就是球线段最短问题。那遇到折线问题时，我们又要如何解决呢？现在这不是再是一道选择题了，而是生死时速的一个数学策略。现在我们一起来化身将军，来帮忙解决一下他目前所领导困难，我们来完成今天的任务。一如图一，牧民从A地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B地，慕名到河边的什么地方，可是所走的路径最短。问题是这儿有一个这有一个营地，这还有一条小河。抽象出一个数学问题，我可以把这个。用力看成是点，那现在如果我把直线和点换下位置。一条直线。如果我把盈利避免。请问这个时候能帮我在直线L上找到一个点，让它。和最小。此时的最短路径应该怎么。此时和直线L的交点C就是最短，对吧？此时运动的原理是什么？最短的请坐。那现在这回你能帮忙解决吗？现在我给大家时间来小组讨论，帮忙解决一下。将军所。然后这条线关于绕交点B然后再连接BD。葡萄组了是吧？好，咱。现在的问题是A和B在直线L的同侧，所以选择将红色。相等的。也就是说我把想要的曲线变成了我们所说的化学为止。对吧哎好了，这时如果发现两个点在直线L的同侧，那我们可以把同侧侧转化为异侧来换取为止找到它的最短路径。那我们来看。首先来看，此时最短路径在下面。现在我随意改变一下我的。好，那我怎么来找到这个最短路径呢？做它的其中一个点A的卫生间。那这个时候最短当前路径还是他怎么找到它的最短路径呢？连接说明上这三点在共线，那这三点在一条直线上的时候说保证路径最短，对吧？好，那现在请问。一些独立思考能不能帮忙证明？为什么此时AT加TB就运转了？有的同学遇到了困难。好了，我再给大家时间，请大家相互之间。所以发现此时当APB点3点共线的时候。此时最短路径的一个验证，现在这个点P是你吗？测试点，先看测试点。测试点4，当我随意调整音量键，会发现它的路径一直在变化。此时当这个对称点。三点共线的时候，这个路径才是最远的。除了此地点以外。我如果在直线L的同色的时候。这点之后就可以把红色的两个点，一侧的两个点同时画曲线，为现在找到它的最短路径。你学会了。此时AB表示直线L？但是P就是你找到的最短的路径当中的然后来请坐。这道题的本质实际上AB也在直线L的红色。那我怎么办？把颜色转化为异色来化去为值最途径。你真的是太棒了。新的问题难度升级了，现在他想从A点出发，到草一边一处木马，再到河边淫荡。此时又怎么可以让他的梦境变得最短？草地，我可以把它看作是。现在两条直线，两个点，想找到他们。怎么办？好，现在请你小组之间互相讨论一下应该怎么。然后在B关于L然后B点关于L2做个B撇，然后A撇和B撇相比，到L一和L2的交点就是M这个是他找到的最短路径对吧？那我们来看一下，做法都是先分别找到对称点和直线L和M连接交点C和D好，此时依次连接ACCD和B。C是个重点。第一，也是个重点。在变化，什么时候保证路径最短呢？那我选择把C移动到C。第一撇移动到BA撇C。此时路径最短，也就是我们所说的最开始他想要是从A点到C点到D点到E把这曲线化为了我们所说的化学美食。对化好，现在牧民又遇到了一个新的难度，此时又加了一生活区，那这个时候又应该怎么办呢？现在我们来回顾一下本节课我们学习了谁读？我们主要讲了什么问题？我们是怎么解决最短路的问题？把同侧的点转化为一侧一侧的点，化学为止找到它的最短路径对吧？好，来请坐。实际上今我们用数学的方法来帮将军帮牧民解决了他目前的困境。我们除了在生活当中，最开始我们只是方法最简单的五副式子，两者之间相当。我用了这两个简短的朴素的尺子之后，我们找到了一个课题的方法转化，将同侧转化为一侧化去为之。希望各位同学能带着这样的一个智慧来解决和未来困难。如果在未来的生活当中，你遇到了一个曲折的问题，需要你来转化一下它，将这种复杂的变成简单的思维光芒。好，这节课。