第十五章 综合与实践 最短路径问题 课时1课件2025-2026学年八年级数学人教版2024上册

该初中数学课件聚焦“将军饮马问题”这一最短路径问题，通过复习“两点之间线段最短”“垂线段最短”引入，结合古代将军饮马情境，从异侧点到同侧点逐步转化，用轴对称搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于情境化与转化思想结合，以将军饮马故事抽象数学问题（数学眼光），引导用轴对称转化同侧为异侧（数学思维），通过作图、证明及分层练习（如三角形周长最小问题）培养推理能力，课堂小结与“与古人对话”互动激发兴趣，学生能发展几何直观与创新意识，教师可提升教学效率。

15.4 综合与实践最短路径问题 课时一 将军饮马问题 2024人教版八年级（初中）数学上册 复习引入 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？ A B ① ② ③ ②最短，因为两点之间，线段最短 2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？ P l A B C D PC最短，因为垂线段最短 ∟ E 背景引入 活动一：牧民饮马问题 如图，将军从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，将军到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ C 抽象成 A B l 数学问题 实际问题 A B l 作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题. 问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在直线l上找到一个点C，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？ A l B C 根据是“两点之间，线段最短”， 可知这个交点即为所求. 连接AB,与直线l相交于一点C. 问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？ 想一想：对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？ ①利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′. 能不能把点在同侧的问题转化为点在异侧的问题呢？ 同侧的情况也能直接连接 两点吗？ ②连接AB′，与直线l 相交于点C, 则点C 即为所求． B′ A B ∟ C l B′ A B ∟ C C´ 思考：如何证明这条路径最短？ 在直线l上任意取一个点C´，连接AC´、B´C´ 总结归纳： 在解决将军饮马问题时，我们的步骤是怎样的？ 练习1.学校举办“校园打卡活动”，要求学生从教学楼前广场（点A）出发，先到操场北侧的直线跑道（直线l）完成“跑步打卡”，再前往图书馆门口（点B）提交打卡记录。问学生在直线跑道（直线l）何处打卡时路径最短，在图中画出打卡点的位置。 A B l 巩固练习 A′ ∟ C ①作出点A关于直线l的对称点A′. ②连接A′B，与直线l 相交于点C, 则点C 即为打卡点的位置． 练习2、学校举行抢零食活动，如图，操场内有一条直线l（为零食传送带），传送带一侧有M、N两个区域：M区是起点（放置基础零食），N区是终点（放置终极零食大礼包），且M、N均不在直线l上，也不重合。规则要求：小明必须从M区出发，先到传送带直线l上A、B、C、D四点其中一点取走一包指定零食（否则无法领取N区礼包），再立即前往N区。请问：小明选择传送带直线l的哪个点时，总路程最短？ M N A B C D E l M´ 任务1 如图，将军从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到A处，将军怎样走可使所走的路径最短 活动二：牧民饮马问题的拓展 A 【分析】从数学的角度看，草地边和河边可近似地分别看作直线l1和直线l2，问题转化为在直线l1上找一点B，在直线l2上找一点C，使AB+BC+AC最小 A l1 l2 A 问题解决 l1 l2 ∟ A´ ∟ A´´ C B ①作出点A关于直线l2的对称点A′. 作出点A关于直线l1的对称点A′′ ②连接A′A′′，与直线l1 相交于点B, 与直线l2 相交于点C ③由“两点之间，线段最短”可知，此时路径AB+BC+AC最小 任务2 如图，将军从C地出发，先到草地OB边某一处牧马，再到河边OA饮马，最后回到D处，将军怎样走可使所走的路径最短 活动二：牧民饮马问题的拓展 O B A C D C´ D´ F E ①作出点C关于直线l2的对称点C′. 作出点D关于直线l1的对称点D′ ②连接C′D′，与OB相交于点E, 与OA 相交于点F ③由“两点之间，线段最短”可知，此时路径CE+EF+DF最小 ∟ ∟ 巩固练习 练习3、在OA、OB分别有两个动点M、N，网格内有一固定点P，要使得△PMN周长最小，请在图中规范地做出M、N两点的位置，并说明理由 O B A P Q R ∟ ∟ M N 理由：连接PQ、PR， ∵点Q与点P关于直线OA对称， ∴OA垂直平分PQ， ∴PM＝QM， ∵点R与点P关于直线OB对称， ∴OB垂直平分PR， ∴PN＝RN， ∴PM+PN+MN＝QM+RN+MN＝QR， ∵Q、M、N、R四点在同一条直线上， ∴QM+RN+MN＝QR的值最小， ∴PM+PN+MN的值最小， ∴△PMN周长最小． 1、如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD是BC边上的中线且AD＝8，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为_________ 拓展提升 A B C D E F 9.6 A B C D E ∟ E´ F 如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝8cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若△PMN周长的最小值是8cm，则∠AOB的度数是________ A B O M N P 拓展提升 30° 课堂小结 1. 将军饮马问题的本质是利用什么数学性质来求解最短路径？ 依据：两点之间，线段最短 关键：利用轴对称实现线段的转移. 课堂小结 2. 当“家”和“军营”分别在河岸异侧和同侧时，最优饮水点的具体作图步骤是什么？ 异侧 定点 定点 动点 同侧 定点 定点 动点 与古人对话 这节课的知识大家都掌握扎实了吗？将军还在为难题发愁呢，快拿起“跨时空听筒”，把解决方案告诉他吧！ Lavf58.46.101 $