3.第十五章 轴对称（培优滚动练）-【零障碍导教导学案】2025-2026学年八年级上册数学（人教版·新教材）

第十五章 一轴对称及其性质 1.如图，Rt△ABC的顶点C的坐标为(1,0)，点A 在x轴的正半轴上，且AC=3.在与△ABC关于y 轴对称的△A1BC1中，点A的对应点A1的坐 标是 ( A.(0,-3) B.(-4,0) C.(-3,0) D.(0,-4) 1号袋 2号袋 B 4号袋 3号袋 第1题图 第2题图 2.如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的 阴影部分分别表示四个入球孔.若一个球按图中 所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该 球最后将落入的球袋是 () A.1号袋B.2号袋C.3号袋D.4号袋 3.如图，在Rt△ACB中，∠BAC=90°，AD⊥BC,垂 足为D,△ABD与△AB'D关于直线AD对称，点 B的对称点是B'.若∠B'AC=14°，则∠B的度 数为 A.38° B.48° C.50° D.52° ) B' 第3题图 第4题图 4.如图，在2×3的正方形网格中，有一个以格点为 顶点的三角形，此网格中所有与该三角形成轴对 称且以格点为顶点的三角形共有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=50°，D是BC 上任一点，E,F分别是点D关于AB和AC的对 称点，连接AE和AF,则∠EAF的度数是（ A.140° B.135° C.120° D.100° 数学·八上·RJ1 轴对称 二画轴对称的图形 6.如图，在3×3的正方形网格中，有三格被涂黑， 若在剩下的6个空白小方格中涂黑其中1个，使 所得的图形是轴对称图形，则可选的那个小方格 的位置有 种 7.如图，在平面直角坐标系中，点A(2,4),B(3,1), C(-2,-1). (1)在图中作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1, 并直接写出点C,的坐标； (2)求△ABC的面积； (3)点P(a,a-2)与点Q关于x轴对称，若PQ=8, 直接写出点P的坐标. A 6 54 3 2 0 B -6-5-4-3-21 456x -1 子45 6 4LZA·培优滚动练 8.(2024·广州校级期中)如图，在平面直角坐标系 xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(4,3), B(1,0),C(1,2) (1)在图中画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C', 则点A'的坐标为 (2)在y轴上取一点P,使点P到点B和点C的 距离之和最小，则点P的坐标为 (3)如果要使以B,C,D为顶点的三角形与△ABC 全等（不与△ABC重合），请直接写出所有符合 条件的点D的坐标： y 5 432 -4-3-2-10 2345 9.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶 点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A,B 都在格点上，按下列要求作图，使得所画图形的顶 点均在格点上 (1)在图1中画一个以线段AB为边的轴对称 △ABC,使其面积为2； (2)在图2中画一个以线段AB为边的轴对称四边 形ABDE,使其面积为6. 图1 图2 数学·八上·RJ1 三线段的垂直平分线的性质与判定 10.如图，已知在△ABC中，∠B=50°，P为△ABC 内一点，过点P的直线MN分别交AB,BC于点 M,N.若点M在PA的垂直平分线上，点N在 PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为( ) A.100°B.105°C.115°D.120° C B N EX 第10题图 第11题图 11.(2024·中山联考)如图，在△ABC中，∠C= 90°，AC=9,BC=12,分别以点A,B为圆心画 弧，两弧相交于点E,F,直线EF交BC于点D, 连接AD,则△ACD的周长为 A.21B.24 C.27 D.30 12.(2024·斗门区校级期中)如图，∠BAC的平分 线与BC的垂直平分线相交于点D,DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别为E,F,AB=18cm,AC= 8cm,则BE的长为 A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm A O B B E 第12题图 第13题图 13.如图，线段AB,BC的垂直平分线l1,l2相交于点 0,若∠1=37°，则∠A0C= 14.(2024·广州校级期中)如图，在△ABC中， ∠ABC的平分线与AC的垂直平分线相交于点 P,过点P作PE⊥AB交BA的延长线于点E. (1)画出△PBE关于直线PB对称的△PBF; (2)求证：AB+BC=2BE; (3)若AB=7,BC=23,求AE的长 5LZA·培优滚动练 四等腰三角形 15.如图，在△ABC中，ED∥BC,∠ABC和∠ACB的 平分线分别交ED于点G,F,若FG=3,ED=6, 则EB+DC的值为 A.7 B.8 C.9 D.10 16.（2024·珠海校级期中)小铭发现国旗上五角星 的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，他对此 三角形产生了极大兴趣并展开探究.如图，在 △ABC中，∠A=36°，AB=AC.将△ABC折叠， 使边BC落在边BA上，点C的对应点是E,折痕 交AC于点D,连接DE,DB,那么∠DBC的度数 是 17.（(2024·中山校级期中)如图，在△ABC和△ADE 中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE,连接 CD,C,D,E三点在同一条直线上，连接BD,BE. 下列四个结论：①BD=CE;②∠ACE+∠ABD= 45°；③LBAE+∠DAC=180°；④BD⊥CE,其中 正确的有 A.②③ B.①②③④ C.①③④ D.①②④ 数学·八上·RJ1 18.(2024·广州校级期中)如图，△ABC为等腰三 角形，AC=BC,△BDC和△ACE都为等边三角 形，AE与BD相交于点F,连接CF并延长，交 AB于点G求证： (1)∠FAB=∠FBA; (2)CG⊥AB. D 19.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线L1交BC 于点D,边AC的垂直平分线2交BC于点E,l, 与l2相交于点O,△ADE的周长为8cm. (1)求BC的长； (2)若∠BAC=128°，求∠DAE的度数； (3)分别连接OA,OB,OC,若△OBC的周长为 18cm,求OA的长. 6LZA·培优滚动练 20.流经官渡古镇的宝象河两岸风光旖旎，是附近居民散步休闲的好去处，为了测量宝象河平行两岸的宽 度，两个数学研究小组设计了不同的方案，如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 观测者在河南岸找到一点B,正好位于对岸树 观测者在河南岸找到一点B,正好位于对岸树A A的正南方向：从点B出发，沿着南偏西80° 的正南方向；从点B向东走到点O,在点O插上 测量 的方向走到点C,此时恰好测得∠ACB=40° 面标杆，继续向东走相同的路程，到达点C 方案 后，一直向南走到点D,使得树、标杆、人在同一 直线上 测量示意图 (1)第一小组测得BC=8m,则河宽AB为 m; (2)第二小组认为只要测得CD的长就能得到河宽AB.你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请 给出证明；如果不可行，请说明理由； (3)除上述方法外，请你运用所学知识再设计一种方案对河宽进行测量. 数学·八上·RJ17LZA·培优滚动练 21.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=30°，点P在 边BC上运动（点P不与点B,C重合），连接 AP,作∠APQ=∠B,PQ交AB于点Q. (1)当PQ∥CA时，判断△APB的形状并说明 理由. (2)在点P的运动过程中，△APQ的形状可以是 等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BQP 的度数；若不可以，请说明理由. 备用图 数学·八上·RJ1 22.(2024·广州校级期中)在等腰△ABC中，AB= AC,D为平面内一点，连接AD,BD,CD. (1)如图1，若D是△ABC内一点，且∠BAD= ∠CAD,求证：BD=CD; (2)如图2，若D是△ABC外一点，且∠ADC+ ∠ADB=180°，∠ACD=60°，猜想AB,CD和 BD之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图2，在(2)的条件下，若BD=1,AC=4, 求CD的长 D D B 图1 图2 8LZA·培优滚动练 五等边三角形 23.下列三角形： ①有两个角等于60°； ②有一个角等于60°的等腰三角形； ③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等 的三角形； ④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三 角形 其中是等边三角形的有 A.①②③ B.①②④ C.①③ D.①②③④ 24.如图，已知∠M0N=30°，点A1,A2,A,…在射线 ON上，点B1,B2,B3…在射线OM上，△A1B1A2, △A2B2A3,△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=2, 则△A,B4A,的边长是 BM B B O AA, 25.如图，在等边△ABC中，AB=8,E是BA延长线 上一点，且EA=4,D是BC上一点，且DE=EC, 则BD的长为 26.如图，△ABC是等边三角形，AQ=PQ,PR⊥AB 于点R,PS⊥AC于点S,PR=PS,则四个结论： ①点P在∠A的平分线上；②AS=AR;③QP∥ AR;④△BRP≌△QSP,正确的结论是（) A.①②③④ B.只有①② C.只有②③ D.只有①③ 数学·八上·RJ1 27.已知，在△ABC中，∠BAC=2∠B,E是AB上一 点，AE=AC,AD LCE,垂足为D,交BC于点F. (1)如图1，若∠BCE=30°，试判断△ABC的形 状，并说明理由； (2)如图2，若AD=4,求BC的长. D B 图1 图2 9LZA·培优滚动练 28.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB= 4cm,动点P,Q同时从A,B两点出发，分别在 边AB,BC上匀速移动，它们的速度分别为vp= 2cm/s,vo=1cm/s,当点P到达点B时，P,Q两 点同时停止运动，设点P的运动时间为ts. (1)当t为何值时，△PBQ为等边三角形？ (2)当t为何值时，△PBQ为直角三角形？ BO 数学·八上·RJ2 29.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,CD=AD, ∠ADC=60°，对角线BD平分∠ABC交AC于点 P,CE是∠ACB的平分线，交BD于点O. (1)请求出∠BAC的度数； (2)试用等式表示线段BE,BC,CP之间的数量 关系，并说明理由。 0LZA·培优滚动练 六最短路径问题 30.（2024·广州校级期中)如图，在等边三角形 ABC中，BD是中线，点P,Q分别在AB,AD上， 且BP=AQ=QD=1,动点E在BD上，则PE+ QE的最小值为 B∠ E B D 第30题图 第31题图 31.（2024·东莞校级期中)如图，等腰三角形ABC 的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分 线EF分别交AB,AC于点E,F.若D为底边BC 的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周 长的最小值为 32.（2024·广州校级期中)如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，AC=8,BC=6,D为AB上一动点. 把△BCD沿CD翻折得到△PCD,连接AP,当 AP取最小值时，△ACD的面积是 -B 33.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交BC 于点D,垂足为E,M为DE上任意一点，BA=3, AC=4,BC=6,则△AMC周长的最小值为（) A.7 B.6 C.9 D.10 34.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P,且 OP=15.若在OA,OB上分别有动点M,N,则 △PMN周长的最小值是 A.5 M B.15 C.20 D.30 数学·八上·RJ2 七重点压轴题 35.（2024·广州校级期中)已知△ABC是等边三角 形，E,F分别是边BC,AC上的点，AE与BF相 交于点G,且BE=CF (1)如图1，求证：△ABE≌△BCF,并直接写出 ∠AGF的度数； (2)如图2，若DF⊥AE,垂足为D,且DG=2, BF=7,求BG的长； (3)如图3，以AB为边在其左侧作等边△ABD, 连接DG,DG=10,AG=7,求BG的长 图1 图2 图3 1LZA·培优滚动练 36.（2024·香洲区联考)如图，在等边三角形ABC 中，AB=AC=BC=20厘米，CD=8厘米，点M 以6厘米/秒的速度运动.点M从点C出发，同 时点N从点B出发，设运动时间为t秒， (1)若点M在线段CB上运动，点N在线段BA 上运动，点N的运动速度与点M的运动速 度相等 ①当t=2时，△BMN和△CDM是否全等？ 请说明理由. ②求当点M,N的运动时间t为多少秒时， △BMN是一个直角三角形. (2)若点N的运动速度与点M的运动速度不相 等，点N从点B出发，点M以原来的运动速 度从点C同时出发，两点都按顺时针方向沿 △ABC的三边运动.经过50秒，点M与点N 第一次相遇，求点N的运动速度 M M 备用图 数学·八上·RJ2 37.（2024·湛江校级期中)在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥ AB交AB于点E. (1)如图1，连接EC,求证：△EBC是等边三 角形； (2)如图2，M是线段CD上一点（不与点C,D重 合)，以BM为一边，在BM下方作∠BMG= 60°，MG交DE的延长线于点G,延长ED使 得DF=DM,连接MF.请直接写出线段AD, DG,DM之间的数量关系；（不用证明） (3)如图3，N是线段AD上一点，以BN为一边 在BN下方作∠BNG=60°，NG交DE的延 长线于点G.请写出线段ND,DG,AD之间的 数量关系，并证明。 图1 图3 2LZA·培优滚动练 八中考热点数学综合与探究 38.（2024·庐江县期中)根据引入概念，理解应用概念 经历数学概念的学习过程 如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角相等，那么称这两个三角形互 概念1 为“等角三角形” 引入概念 连接不等边三角形的一个顶点和它对边上一点的线段，将不等边三角形分成两个小三 概念2 角形，若一个小三角形为等腰三角形，另一个小三角形与原来的三角形互为“等角三 角形”，我们把这条线段叫作这个三角形的“等角分割线” 问题解决 (1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,写出 图中两对“等角三角形” 任务1 ① ② D 图 理解概念 (2)如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°， 任务2 ∠B=60°.求证：CD是△ABC的“等角分割线” 图2 (3)在△ABC中，若∠A=42°，CD为△ABC的“等角分割线”，写出∠ACB可能的度数 应用概念 任务3 (写出一个即可) 数学·八上·RJ23LZA·培优滚动练∴.Rt△APG≌Rt△OPG(HL). ∴.∠PA0=∠POA ∴.∠OPD=∠PAO+∠POA =2∠PA0=L0CB. 又.∠OCB+∠OBC=90°， 且由(1)知∠OBC=∠PAO, .·.3∠PA0=90° ∴.∠PA0=30°. .∠OBC=∠PA0=30° 29.【探究问题】22不一定 450 y 图1 【拓展思考】钝角 30.解：(1)如图1，连接BP B 图1 △ABP与△CBP在边AP,CP上的 高相等， 当AP=CP=分4AC=7×7=子 .1 7 时，△ABP与△CBP面积相等. .BC=9,AB=10, .BC≠AB. ,'AP=CP,BP=BP,AB≠CB .△ABP与△CBP不全等 ∴.此时△ABP与△CBP是偏等积三 角形 故答案为子 (2).△ABD与△ACD是偏等积三 角形，且△ABD与△ACD在边BD, CD上的高相等， .BD=CD. CE∥AB,.∠E=∠BAD. 在△ECD和△ABD中， ∠E=∠BAD, ∠EDC=∠ADB, CD=BD. ∴.△ECD≌△ABD(AAS) ∴.ED=AD,EC=AB=2. ∴.AE=2AD .·AC-EC<AE<AC+EC, 且AC=6, .6-2<2AD<6+2. ∴.2<AD<4. 线段AD的长度为正整数， .AD=3. 故答案为3. (3)△ACD与△BCE是偏等积三角 形.理由如下： :∠ACB=∠DCE=90°， .∴.∠ACD+∠BCE=180° 0°<∠BCE<90°， .90°<∠ACD<180° ∴.∠ACD≠∠BCE. ·.·CA=CB,CD=CE, ∴.△ACD与△BCE不全等 如图3，过点B作BF⊥CE于点F,过 点A作AG⊥DC交DC的延长线于点 G,则LG=∠BFC=90 G 图3 .:∠ECG=180°-∠DCE=90°， ∴.∠ACG=∠BCF=90°-∠BCG. 在△ACG和△BCF中， [∠G=∠BFC, ∠ACG=∠BCF, CA=CB. .△ACG≌△BCF(AAS) ∴.AG=BF DG-CE BF. .∴.△ACD与△BCE面积相等 ,.△ACD与△BCE是偏等积三角形 31.(1)证明：.：BD⊥直线1， CE⊥直线l, .∴∠BDA=∠CEA=90° .∠BAC=90°， ∴.∠BAD+∠CAE=90 ,∠BAD+∠ABD=90°， ∴.∠CAE=∠ABD. 在△ADB和△CEA中， [∠BDA=∠AEC, ∠ABD=∠CAE. AB CA, ∴.△ADB≌△CEA(AAS) 数学·八上·RJ97LZA·参考答案 ∴.BD=AE,AD=CE. ∴.DE=AE+AD=BD+CE. (2)解：成立.证明如下： :∠BDA=∠BAC=a, ∴.LDBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE =180°-. ∴.∠DBA=∠CAE. 在△ADB和△CEA中， ∠BDA=∠AEC, ∠DBA=∠EAC, AB=CA, .∴.△ADB≌△CEA(AAS). ∴.BD=AE,AD=CE ∴.DE=AE+AD=BD+CE. (3)证明：如图3，过点E作EM⊥H皿 于点M,GN⊥HⅢ交H的延长线于 点N. H 图3 ∴.∠EMI=∠GWM=90. 由(1)和(2)的结论，可知 EM=AH=GN. .EM GN. 在△EMI和△GNI中， '∠EIM=∠GIN, ∠EMI=∠GNI, EM=GN, .∴.△EMI≌△GNI(AAS). EI=GL..I是EG的中点. 第十五章轴对称 1.B2.B3.D4.C5.A6.2 7.解：(1)如图所示，△AB,C,即为所求 C1(-2,1). A 6 5 3 2 C B -6-5-4-3-21 2 3456x -3 4 .5 .6 (2)S△ABc =5x5-7x5x2-7×5x4-7× 1×3 (3)点P的坐标为(-2，-4)或(6,4). 8.解：(1)(-4,3) 如图所示，△A'BC即为所求. y 5 5-4-3-2-0 2345 (2)(0,1) (3)(-2,3)或(-2，-1)或(4，-1) 9.解：(1)如图1所示，△ABC即为所求. (2)如图2所示，四边形ABDE即为所 求.（答案不唯一） 图1 图2 10.C11.A12.D13.74 14.(1)解：如图所示，过点P作PF⊥BC 于点F,△PBF即为所求， (2)证明：如图，连接PA,PC. AC的垂直平分线过点P, ∴.PA=PC. .·∠PEB=∠PFC=90°，PE=PF, ∴.Rt△PAE≌Rt△PCF(HL). ∴.AE=CF .∴.AB+BC=AB+BF+CF =AB+BF +AE =AB+BE +AE=2BE. (3)解：由(2)知AB+BC=2BE, .AB=7,BC=23, .∴.AB+BC=2BE=30. .BE =15...AE =BE-AB=8. 15.C16.36°17.C 18.证明：(1)AC=BC, .∠CAB=∠CBA ·:△ACE和△BDC都为等边三角形， .∴.∠CAE=∠CBD=60°. .∠CAB-∠CAE=∠CBA-∠CBD 即∠FAB=∠FBA. (2)∠FAB=∠FBA,∴.AF=BF. .·AC=BC, .CF是线段AB的垂直平分线. .CG⊥AB 19.解：(1)1垂直平分AB,2垂直平 分AC, .AD =BD,AE =CE. :△ADE的周长为8cm, .∴.BC=BD+DE+CE =AD DE+AE=8(cm). (2).AD =BD,AE=CE, .∴.∠BAD=∠ABC,∠EAC=∠ACB. ,∠BAC=128°， .∴.∠ABC+∠ACB=52° .∴.∠BAD+∠EAC=52°. ∴.∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠EAC) =76. (3)1,垂直平分AB,2垂直平 分AC, .0A=0B,0A=OC. .OA=0B=0C. ·△OBC的周长为18cm, .0B+0C+BC=18(cm). 又.BC=8cm,.OB=0C=5cm ∴.OA=5cm. 20.解：(1)依题意，得∠DBC=80°， .∠ACB=40°， .∴.∠BAC=∠DBC-∠ACB=40° .∴.∠ACB=∠BAC. .'AB =BC=8 m. 故答案为8. (2)我认为第二小组的方案可行.证 明如下： 依题意，得∠AB0=∠DC0=90°， ∠AOB=∠D0C,OB=OC, ∴.△ABO≌△DCO(ASA) ∴.AB=CD .只要测得CD的长就能得到河 宽AB. (3)如图，观察者从点B向东走到点 C,此时恰好测得∠ACB=45°. 数学·八上·RJ98L☑A·参考答案 依题意，得∠ABC=90°， 又∠ACB=45°， ∴.∠BAC=90°-∠ACB=45. .AB=BC. 即要测量河宽AB,只需要测量线段 BC的长度 21.解：(1)△APB是直角三角形.理由 如下： .·AB=AC,∠B=30°， .∠C=30°=∠B=∠APQ. PQ∥AC, ∴.∠BPQ=∠C=30. .∠APB=60 ∴.∠BAP=90 .△APB是直角三角形 (2)△APQ可以是等腰三角形， ∠B0P的度数为105°或60°.理由 如下： 当AQ=QP时， ∠QAP=∠APQ=30°， ∴.∠BQP=∠QAP+∠APQ=60°； 当AP=PQ时， ∠APQ=30°， .∠AQP=∠PAQ=75. .∠BQP=105; 当AQ=AP时， ∠AQP=∠APQ=30°， 点P不与点B,C重合， ∴此种情况不存在 综上所述，∠BQP的度数为60 或105. 22.(1)证明：在△ABD和△ACD中， (AB=AC, ∠BAD=∠CAD, AD =AD. .∴.△ABD≌△ACD(SAS). .BD =CD. (2)解：AB=CD+BD.证明如下： 如图2，延长CD至点H,使得DH= DB,连接AH. 图2 ·.∠ADC+∠ADB=180°， ∠ADC+∠ADH=180°， ..∠ADB=∠ADH. 在△ADH和△ADB中， (DH =DB. ∠ADH=∠ADB, AD=AD. .△ADH≌△ADB(SAS). .AH AB. .AB=AC,∴.AH=AC. .∠ACD=60°， .△ACH为等边三角形 ∴.CH=AH. ∴.AB=CH=CD+DH=CD+BD (3)解：由(2)得AB=CD+BD, .AB=AC,BD=1,AC=4, ·.CD=AB-BD=AC-BD=3. 23.D24.1625.426.A 27.解：(1)△4BC为直角三角形.理由 如下： .AE=AC,AD⊥CE, .∠ADC=∠CDF=90°， ∠BAC=2∠EAD=2∠CAD. 又.∠BAC=2∠B, .∴.∠BAD=∠CAD=∠B. .·∠BCE=30°，∠CDF=90°， ∴.∠AFC=90°-∠BCE=60° ∴.∠BAF=∠B=∠CAD=30° ∴.∠BCA=90 ∴.△ABC为直角三角形. (2)如图2，过点C作CG∥AB交AD 的延长线于点G, D 图2G 则LB=∠BCG, LBAF=∠CAF=∠G. .CA=CG. 又∠BAF=∠B, .∴.∠BCG=∠G. .CA=CG,FA=FB,FC=FG. .∴.AG=BC 在△ACG中，CA=CG,AG⊥CD, .AG=2AD =2DG. .BC=2AD=8. 28.解：在△ABC中， ∠C=90°，∠A=30°， .∠B=60° .4÷2=2, .0≤t≤2，BP=4-2t,BQ=t. (1)当BP=BQ时，△PBQ为等边三 角形， 即4-24=解得1=于 5当1=号时， △PBQ为等边三角形. (2)若△PBQ为直角三角形，有两种 情况： ①当∠BQP=90时，BP=2BQ, 即4-2t=2t,解得t=1; ②当∠BPQ=90时，BQ=2BP, 即1=2(4-2)，解得1=号 六当1=号或=1时， △PBQ为直角三角形 29.解：(1)CD=AD,∠ADC=60, ∴.△ACD为等边三角形 ∴.∠ACD=60° :AB∥CD, ∠BAC=∠ACD=60. (2)BC=BE+CP.理由如下： 如图，在BC上截取BF=BE,连 接OF. :BD平分∠ABC, ∴.∠EBO=∠OBF. 在△BEO和△BFO中， BE BF, ∠EBO=∠FBO, OB=OB, .·.△BEO≌△BFO(SAS). .∠BOE=∠BOF .∠BAC=60°， ∴.∠ABC+∠ACB=120° :OB,OC分别平分∠ABC,∠ACB, .∠OBC+∠OCB=60° ,∴.∠POC=∠B0E=60° 数学·八上·RJ99LZA·参考答案 ∴.∠C0F=60°. .∠C0F=∠P0C 又：0C=0C,∠0CP=∠OCF, .△CPO≌△CFO(ASA). ..CP=CF. .BC=BF+CF=BE CP. 30.331.83293.D34.B 35.(1)证明：△ABC是等边三角形， .AB=BC,∠ABC=∠C=60°. 在△ABE和△BCF中， (AB=BC, ∠ABE=∠C, BE=CF, .△ABE≌△BCF(SAS) .∠BAE=∠CBF ∴.∠AGF=∠BAE+∠ABG =∠CBF+∠ABG =∠ABC=60°. (2)解：由(1)得∠AGF=60° DF⊥AE,∴.∠DFG=30 DG=2,.GF=2DG=4. 又BF=7,BG=BF-GF=3. (3)解：如图3，延长GE至点H,使 GH=GB,连接BH. 0 图3 .∠AGF=60°， ,∴.∠BGE=∠AGF=60° ∴.△BGH为等边三角形 .BG=BH=GH,∠GBH=60° △ABD为等边三角形， ∴.AB=BD,∠ABD=60°. .∴.∠GBH=∠ABD .·∠ABH=∠GBH+∠ABG, ∠DBG=∠ABD+∠ABG, .∠DBG=∠ABH. 在△DBG和△ABH中， (DB=AB, ∠DBG=∠ABH, BG=BH, .△DBG≌△ABH(SAS) .DG=AH. AH=AG+GH,..DG=AG+BG. DG=10,AG=7, ∴.BG=DG-AG=3. 36.解：(1)①△BMN≌△CDM.理由 如下： ,点N的运动速度与点M的运动速 度相等， .当t=2时，BN=CM=12厘米. ∴BM=8厘米=CD. .·△ABC是等边三角形. ∴.∠B=∠C. .△BMN≌△CDM(SAS). ②设运动时间为t秒时，△BMN是一 个直角三角形 I.当∠NMB=90时， .∠B=60°， .∠BNM=90°-∠B=30. .BN=2BM..6t=2(20-6t). =9秒： Ⅱ.当∠BWM=90时， .∠B=60°， .∴.∠BMN=90°-∠B=30°. .BM=2BN..20-6t=2×6t. 9粉 综上所述，当：为码秒或吕秒时。 △BMN是一个直角三角形. (2)设点N的运动速度为vw.分两种 情况： I.若点M的运动速度更快， 则6×50-20=50mw, 解得vw=5.6; Ⅱ.若点N的运动速度更快， 则50w-40=6×50, 解得uw=6.8. 综上所述，点N的运动速度为5.6 厘米/秒或6.8厘米/秒. 37.(1)证明：在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，∠A=30°， LABC-6,BCAB :BD平分∠ABC, .∠CBD=∠DBA=30°=∠A. .DA DB. DE1AB,A5=B=2A级 ∴.BC=BE. .△EBC是等边三角形 (2)解：AD=DG+DM.证明如下： 由(1)，得∠DBA=∠A=30°， ∴∠ADE=∠BDE=60°，AD=BD. .∠FDM=∠ADE=60°， ∠MDB=180°-∠ADE-∠BDE =60°. 又.·DF=DM, .△FDM是等边三角形 ∴.MF=MD,∠FMD=∠F=60° ∴.∠F=∠MDB. .:∠BMG=60°， ∴.∠FMD=∠BMG, ∠FMD+∠DMG=∠BMG+∠DMG. 即∠FMG=∠DMB. .△FGM≌△DBM(ASA). .FG=DB. .AD=FG=DG+DF=DG+DM. (3)解：AD=DG-ND.证明如下： 如图3，延长BD至点H,使得DH= DN,连接NH. 图3 由(1)，得DA=DB,∠A=30. .DE⊥AB, ∴.∠ADG=∠BDG=60°. .∠HDN=∠CDB=60. .△NDH是等边三角形 .∴.NH=ND,∠H=∠HND=60° .∴.∠H=∠NDG .:∠BNG=60° .:.∠BNG=∠HND. '.∠BNG+∠BND=∠HND+LBND, 即∠DNG=∠HNB. .△DNG≌△HNB(ASA). .DG=HB. .·HB=HD+DB=ND+AD, ∴.DG=ND+AD.∴.AD=DG-ND. 38.(1)①△ABC和△ACD ②△ABC和△CBD (2)证明：在△ABC中，∠A=40°， ∠B=60°， .∴.∠ACB=180°-∠A-∠B=80°. ·CD为角平分线 数学·八上·RJ100L☑A·参考答案 LACD=LDCB=分LACB =40° ∴.∠ACD=∠DCB=∠A ∴.CD=AD 在△DBC中，∠DCB=40°， LB=60°， ..∠BDC=180°-∠DCB-∠B =80°. .∴.∠BDC=∠ACB. .·CD=AD,∠BDC=∠ACB ∠DCB=∠A,∠B=∠B, ∴CD是△ABC的“等角分割线”. (3)解：如图2，当△ACD是等腰三角 形，DA=DC时， ∠ACD=∠A=42°， .∴.∠ACB=∠BDC=42°+42° =84°； 如图3，当△ACD是等腰三角形 AD=AC时， ∠ACD=∠ADC=180°-L4 2 =69°， ∠BCD=∠A=42°， 图3 .∠ACB=∠ACD+∠BCD=111°； 当△ACD是等腰三角形，CD=AC的 情况不存在； 如图4，当△BCD是等腰三角形， DC=DB时， ∠ACD=∠BCD=∠B=46°， 图4 ..LACB=92; 如图5，当△BCD是等腰三角形， DB=CB时，∠BDC=∠BCD, 图5 设∠BDC=∠BCD=x, 则∠B=180°-2x. 则∠ACD=∠B=180°-2x. 依题意，得180°-2x+42°=x, 解得x=74. .∠ACD=180°-2x=32. .∠ACB=∠ACD+∠BCD=106°： 当△BCD是等腰三角形，CD=CB的 情况不存在. 综上所述，∠ACB的度数可能是84 或111°或92°或106°. 第十六章整式的乘法 1.12.D3.D4.D5.C 6.227.7 8.(1)解：30*=3.3°=5×8=40 (2)解：324-30=(3“)2÷(30)3 =42÷53 品 9.解：(1)a2-ba205-b25 (2)a"-b” (3)原式 =37-36+35-34+33-32+3-1+1 =4x[3-(-101x(3”-3+3 34+33-32+3-1)+1 =子×(3-1)+1 =3+3 4 10.解：(1)长方形游泳池的面积为 a(a-2b)=(a2-2ab)(m2). (2)长方形空地的面积为 (3a-5b)(a-b) =3a2-3ab-5ab+5b2 =(3a2-8ab+5b2)(m2), .休息区的面积为 (3a2-8ab+5b2)-(a2-2ab) =3a2-8ab+5b2-a2+2ab =(2a2-6ab+5b2)(m2). (3)(2a2-6ab+5b2)-(a2-2ab) =a2-4ab+5b2 =a2-4ab+462+b2 =(a-2b)2+62>0, .休息区的面积大于游泳池的面积 11.A12.C13.D14.D15.D 16.C17.0.999118.519.47 20.(n2+5n-6)21.2a2+3a-b 22.128 23.解：(1)4ab=(a+b)2-(a-b)2 (2)①(m+n)2=m2+2mn+n2, m+n=2,m2+n2=7, .4=7+2mn, 解得1=一多 故答案为一多 ②(4-x)(5-x)=6, .(4-x)2+(5-x)2 =(4-x)2+(5-x)2-2(4-x)·(5- x)+12 =[4-x-(5-x)]2+12=13. (3)各边上的四个数字的和都等 于21， 三角形三条边上的数字之和为 21×3=63. ·:三角形各圆圈的数字之和为 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45, .x+y+x+y=63-45, 化简，得x+y=9. ,A+B+C=411, 而三角形各圆圈的数字的平方和为 12+22+32+42+52+62+72+82+ 92=285, ∴.(x+y)2+x2+y2=411-285=126, 化简，得x2+y2+xy=63. x+y=9, xy=(x+y)2-(x2+y2+y) =92-63 =18. 24.解：(1)(a-b)2+4ab (2)±10 (3)①(a+b+c)2=a2+b2+c2+ 2ab +2ac +2bc.Ha+b+c=11, ab +bc ac =36, a2+b2+c2 =(a+b+c)2-2(ab+ac+bc) =112-2×36=49. ②2×4'÷8=8， .2×22÷23=23 x+2y-3z=3. .(x+2y-3z)2=x2+4y2+92+ 2(2xy-3xz-6yz）=9. 又：x2+4y2+92=51, ∴.2xy-3xz-6yz=-21. 25.解：(1)是 数学·八上·RJ101LZA·参考答案 (2)由这两个连续偶数构造的“智慧 数”是4的倍数 理由如下： :(2n+2)2-(2n)2 =(2n+2+2n)(2n+2-2n) =(4n+2)·2 =8n+4 =4(2n+1), .由这两个连续偶数构造的“智慧 数”是4的倍数. (3)S阴影 =10002-9982+9962-9942+…+ 82-62+42-22 =(1000+998)(1000-998)+ (996+994)·(996-994)+…+ (8+6)(8-6)+(4+2)·(4-2) =(1000+998+996+994+…+8+ 6+4+2)×2 =(1000+2)×500×2 2 =501000 26.解：(1)(a-b)2(a+b)2-4ab (a-b)2=(a+b)2-4ab (2)(a+b)3=a3+b3+3a2b+3ab2 (3)由(2)知 (a+b)3=a3+b3+3a2b+3ab2, a2+b3=(a+b)3-(3a2b+3ab2) =(a+b)3-3ab(a+b). .a+b=3,ab=1, .a2+63=33-3×1×3=18. 。6=9. 2 第十七章因式分解 1.B2.C3.C4.A5.A6.D 7.C 8.(1)解：原式 =(x4+y)(x4-y4) =(x+y)(x2+y2)(x2-y2) =(x+y)(x2+y2)(x+y)(x-y). (2)解：原式 =[4(a-b)+3(a+b)][4(a-b)- 3(a+b)] =(7a-b)(a-7b). (3)解：原式=m(16a2-24ab+9b2) =m(4a-3b)2. (4)解：原式 =(a2+b2-c2+a2-b2-c2)(a2+b2-