1.第十三章 三角形单元综合教学反馈-【零障碍导教导学案】2025-2026学年八年级上册数学（人教版·新教材）

综合教学反 第十三章三角形 则∠ADE+∠AED=180°-∠A. 单元综合教学反馈 又：∠ADE+∠1=∠AED+∠2=180°， 1.C2.B3.D4.B5.D6.C .∠1+∠2=180°×2-(180°-∠A)= 7.D8.D9.B10.B 360°-180+∠A=180°+∠A, D 11.1212.8013.414.75°15.5 即∠1+∠2=180°+∠A. 1 11 F22×3x4=3. (4)∠1+∠2=∠3+∠4 16解：SAc=)AB·CB 2 20.解：∠1=∠2，∠3=∠4， 28解：()∠0=90+分∠A理由如下： ∠3=∠1+∠2， =2BC·AD, :BD,CD是LABC和∠ACB的平 ∴.∠4=∠3=∠1+∠2=2∠1. 分线， .AB·CE=BC·AD,即2×3=4AD, 在△ADC中，∠DAC+∠3+∠4=180°， ABC, 条得0：号 .∠DAC+4∠1=180° 、.LDBC=2 ∠BAC=∠1+∠DAC=69°， 2∠ACB, ∠DCB 40的长为2m .∠1+180°-4∠1=69°， 解得∠1=37°. ∴.∠D=180°-（∠DBC+∠DCB) 17.解：AM⊥CD,∴.∠AMD=90°. ∴.∠DAC=∠BAC-∠1 =180°- )(LABC+∠ACB) ∠DAM=8°，∴.∠ADM=82°. =69°-37°=32° ∠ADM=∠B+∠DCB,∠B=45°， 21.解：如图， =1800 2(180°-LA) ∴.∠DCB=37°. .CD平分∠ACB, 0 ∴.∠ACB=2∠DCB=2×37°=74°. DA北 18.解：(1)设底边长为xcm 南 (2)∠D=90号4理由如下： 依题意，得x+3x+3x=21, :BD,CD是∠ABC和∠ACB外角的 解得x=3,∴.3x=9. 平分线， A岛在B岛的北偏东50°方向， .各边的长分别为3cm,9cm,9cm. 1 ∴.∠DBA=50°. ·LDBC=2∠EBC, (2)若底边长为5cm,则另外两边的 :C岛在B岛的北偏东80°方向， 长分别为8cm,8cm,可以构成三 2DcB=,∠FCB ∴.∠CBD=80° 角形； ∴.∠ABC=∠CBD-∠DBA ·.·∠EBC=∠A+∠ACB. 若腰长为5cm,则底边长为21-2×5 =80°-50°=30° ∠FCB=∠A+∠ABC, =11(cm),不能构成三角形， ,C岛在A岛的南偏东30方向， ∴.∠D=180°-（∠DBC+∠DCB) 综上所述，能围成有一边长为5cm ∴.∠CAF=30° 的等腰三角形，另外两边的长分别为 2(∠EBC+LFCB) =180 .DB∥AF,.∠FAB=∠DBA=50. 8 cm,8 cm. .∠BAC=∠FAB+∠CAF =180° 2(180+L4) 19.(1)证明：∠ACB=90°， =50°+30°=80°. .∠ACB=∠1+∠BCD =90-1∠A ∴.∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC 2 =∠A+∠B=90°. =180°-80°-30°=70°. 又∠1=∠B, 3)LD=)∠A.理由如下 答：从C岛看A,B两岛的视角∠ACB ∴.∠A+∠1=∠CDB=90° 是70°. :BD为∠ABC的平分线，CD为 ∴.CD是△ABC的高. 22.解：(1)270(2)220 ∠ACB外角的平分线， （2)解：①：S=B.c0 (3)∠1+∠2=180°+∠A.证明如下： ·∠DBC=L∠ABC, 2 如图2，设被剪去的三角形为△ADE, G C, 点D在边AB上，点E在边AC上， ∠DCE= -LACE. .LD=LDCE-∠DBC .AB·CD=AC·BC,即5CD=4×3, 第得(0-号 (LACE-LAWE) 1 ②△ABC的中线BE如图所示. 图2 数学·八上·RJ一1一LZA· 馈参考答案 第十四章全等三角形 21.(1)证明：如图，过点D作DF⊥BC于 .∠BCD+∠ACD=90°. 单元综合教学反馈 点F, .∠ACD=∠CBE. 1.B2.C3.B4.D5.A6.B 在△ACD和△CBE中， 7.C8.B9.D10.C ∠ADC=∠CEB, 11.100°12.813.6cm14.180° ∠ACD=∠CBE, 15.①②③⑤ AC=CB, 16.证明：·∠BAD=∠CAE, .∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC, .△ACD≌△CBE(AAS). BD是△ABC的角平分线， 即∠BAC=∠DAE. .AD=CE,CD=BE. .DE=DE. 在△BAC和△DAE中， ∴.AD=CD+DE=BE+DE. 1 2. ㄥC=∠E, SD=2AB·DE .DE=AD-BE. ∠BAC=∠DAE, (3)解：DE=BE-AD.证明如下： AB=AD, DF=AB:BC, 同(2)，易证△ACD≌△CBE, ∴.△BAC≌△DAE(AAS).∴.AC=AE. 即S△ABD:S△BCD=AB:BC. ∴AD=CE,CD=BE. 17.证明：AC⊥BC,BD⊥AD, (2)解：依题意，得 ∴.DE=CD-CE=BE-AD. .LC=∠D=90 SAABG=SAABD+S△BGD 第十五章轴对称 在Rt△ABD和Rt△BAC中， AR DE G DF 单元综合教学反馈 (AB=BA, 1.D2.D3.C4.C5.A6.D AD=BC, =1DE(AB+BC)=20, 7.B8.C9.B10.C ∴.Rt△ABD≌Rt△BAC(HL). 2 11.50°12.15°13.214.30°15.9 ..BD=AC. 又AB=12,BC=8,.DE=2. 18.(1)证明：ABDE, 16.解：（1)如图所示，△AB,C1即为 22.解：(1)CB一条直线DE .∠ABC=∠DEF. 所求. (2)依题意，得AB⊥BF,DG⊥BF, 在△ABC和△DEF中， ∴.∠ABC=∠EDC=90°. 6 'LABC=∠DEF, 在△ABC和△EDC中， AB=DE. 4 'LABC=∠EDC=90°， ∠A=∠D, CB=CD. D ∴.△ABC≌△DEF(ASA). ,∠ACB=∠ECD, (2)解：：△ABC≌△DEF,∴.BC=EF P123456x .BF+FC=EC+FC...BF=EC. ..△ABC≌△EDC(ASA). BE=10 m,BF=3 m, ∴.AB=ED. ∴.FC=BE-BF-EC=10-3-3=4(m). 23.(1)证明：在△ABC中，∠ACB=90°， -4 19.证明：·A0平分∠BAC,OD⊥AB, .∠ACD+∠BCE=90. ⊥5 +6 OE⊥AC, :AD⊥MN,BE⊥MN, .OD=OE,∠ODB=∠0EC=90°. ∴.∠ADC=∠CEB=90. 由图可得A(-5,-1),B1(-4,-4), 在△ODB和△OEC中， ∴.∠CBE+∠BCE=90° C(-1,1). ∠DOB=∠EOC, .LACD=∠CBE. (2)如图，连接DB1交x轴于点P,点 OD=OE, 在△ADC和△CEB中， P即为所求，由图可得P(0,0) ∠ODB=∠OEC, ∠ADC=∠CEB, 17.解：.AB=AC,∠BAC=120°， ∴.△ODB≌△OEC(ASA)..OB=OC. ∠ACD=∠CBE, ∴.∠B=∠C=(180°-120)÷2=30°. 20.∠a,线段b AC=CB. .·AE⊥AB,·.∠BAE=90° △ABC,使得∠B=La,∠C=2a, 1 ∴.△ADC≌△CEB(AAS). .BE=2AE. .AD=CE.CD=BE. .·.∠EAC=∠BAC-∠BAE BC=b 如图，△ABC即为所求 .DE=DC+CE=BE+AD =120°-90°=30°=∠C. 即DE=AD+BE. .EC=AE. (2)证明：AD⊥MN,BE⊥MN, .AE=3 cm,.'.BE=6 cm,EC=3 cm. .∠ADC=∠CEB=90° .BC=BE+EC=6+3=9(cm). ∴.∠BCD+∠CBE=90°. 18.解：DE垂直平分AB,.EA=EB. ,∠ACB=90°， .∠ABE=∠A=30°. 综合教学反馈参考答案 AB=AC,∠ABC=∠C. ∠BAC=∠EAF=90° 况讨论： 1 ∴.∠B=∠ACB=45°， ①当FD=FC时， ∠ABC=2×(180°-∠A) ∠BAE=∠CAF=90°+∠CAE. .∠BCF=30°， 1 =2×(180-30）=750 在△ACF和△ABE中， ∴.∠CDF=∠DCF=30° (AC=AB, .∠BDF=180°-∠CDF=150°； ∴.∠EBC=LABC-LABE ∠CAF=∠BAE. ②当CD=CF时，则 =75°-30°=45 AF=AE, 19.证明：△ABC是等边三角形， ∠CDF= ..△ACF≌△ABE(SAS). 2(180°-∠DCF)=750 .AB=AC,∠BAC=60. ∴.∠ACF=∠B=45°. .∠BDF=180°-∠CDF=105°； △ADE是等边三角形， .∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°. ③当DC=DF时， ∴.AD=AE,∠DAE=60. ∴.CF⊥BE 则∠CFD=∠DCF=30° ∴.∠BAC=∠DAE. (3)证明：.△ABC,△DEF都是等腰 ∴.∠BDF=LDCF+∠CFD=60°. ∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, 直角三角形， 综上所述，∠BDF的大小为150°或 即∠BAD=∠CAE. .AB=AC,AE=AF, 105或60°. 在△ABD和△ACE中， ∠BAC=∠EAF=90°. (4)解：△ABC是等边三角形，AD (AB=AC. .∴.∠BAF=∠CAE=90°+∠FAC. ∠BAD=∠CAE, 在△ACE和△ABF中， 是边BC上的高0=宁×6=3 AD=AE. AC=AB. ∠BCF=30°，∴.当DF⊥CF时，DF .△ABD≌△ACE(SAS)..BD=CE. ∠CAE=∠BAF, 20.解：(1)AD LBC,BD=DE,EF垂直 最小，最小值为D AE=AF, 平分AC, ∴.△ACE≌△ABF(SAS). 第十六章整式的乘法 .AB=AE=CE..∠CAE=∠C. ∴.∠ABF=∠ACE. 单元综合教学反馈 ∠BAE=44°， 如图3，设AC,BF相交于点H, 1.D2.A3.C4.B5.B6.C ∠AED= 2×(180°-40)=68 7.B8.D9.A10.C 11.ab312.1 ∠C=∠4ED=349 13.14 2 A(D) 14.nn+2mnm (2)由(1)知CE=AE=AB, 2 15.1557 DE=BD,..AB+BD=EC+DE=DC. 图3 16.(1)解：原式=a3++(-a2x3)÷a2 ∴.△ABC的周长为AB+BC+AC=AB+ 则∠BHC=∠ABF+∠BAC =a4-a6-2) BD+DC+AC=2DC+AC=2x5+7 =∠ACE+∠BGC. =a4-a4=0. =17(cm). .∠BGC=∠BAC=90°.∴.BF⊥CE. (2)解：原式=3a·5a-3a·2b 21.证明：(1)DE⊥AB,DF⊥BC,DE=DF, 23.(1)75° =15a2-6ab. ∴.∠ABD=∠DBC. (2)证明：·△ABC和△BEF都是等 (3)解：原式=（15x2y)÷(5xy)- 又DG∥AB,.∠ABD=LBDG. 边三角形， (10xy2)÷(5xy) .∠BDG=∠DBC.DG=BG .AB=BC,∠ABE+∠EBC=60°， =3x-2y. (2)由(1)可知∠ABD=∠DBC, BE=BF,∠CBF+∠EBC=6O°. 17.(1)解：原式=a2+10a+25-(a2-25) DE⊥AB,DF⊥BC, ∴.∠ABE=∠CBF. =a2+10a+25-a2+25 ∴.∠DEB=∠DFB=90. 在△ABE和△CBF中， =10a+50. ∴.∠EDB=∠FDB. AB=CB, (2)解：原式=2x2-xy+4xy-2y2+2y2 在△BDE和△BDF中， ∠ABE=∠CBF, =2x2+3xy ∠EBD=∠FBD, BE=BF. 18.解：原式=2(x2+y2-2y）+(-2x2+ BD=BD. ∴.△ABE≌△CBF(SAS). 3xy） 、∠EDB=∠FDB, (3)解：由(2)得△ABE≌△CBF, =2x2+2y2-4xy-2x2+3xy ∴.△BDE≌△BDF(ASA). ∴.LBCF=∠BAE. =2y2-xy. ∴.BE=BF,DE=DF .△ABC是等边三角形，AD是边BC x-3+√x+y=0, .BD垂直平分EF. 上的高， .x-3=0,x+y=0.∴x=3,y=-3. 22.(1)15° .原式=2×(-3)2-3×(-3)=27 ∠BAC=30° (2)证明：·△ABC,△DEF都是等腰 ·∠BAD= 2 19.(1)解：a+b=5,ab=4, 直角三角形， .∠BCF=30. .原式=(a+b)2-2ab ∴.AB=AC,AE=AF, 当△CDF是等腰三角形时，分三种情 =52-2×4=17. 数学·八上·RJ一2一LZA· (2)解：a+b=5,ab=4, 15.(a-b)(a2+ab+b2) 21.解：(1)(a-c)2-b2是负数.理由 ∴.原式=(a+b)2-4ab 16.(1)解：原式=x2-x+4x-4-3x 如下： =52-4×4=9. =x2-4 (a-c)2-b2=(a-c+b)(a-c-b). 20.(1)解：原式=[(a-2b)+c]2 =(x+2)(x-2). a,b,c是△ABC的三条边的长， =(a-2b)2+2(a-2b)c+c2 (2)解：原式=-3x(x2-2xy+y2) ∴.a-c+b>0,a-c-b<0. =a2-4ab+462+c2+2ac-4bc. =-3x(x-y)2. .(a-c+b)(a-c-b)<0. (2)解：原式=[(a+c)-2b]·[(a+c) 17.解：(1)依题意，得花坛的面积为2x2 .(a-c)2-b2是负数 +2b] -2y2. (2)△ABC是等边三角形.理由 =(a+c)2-(2b)2 (2)依题意，得 如下： =a2+2ac+c2-4b2. 50(2x2-2y2)=100(x+y）(x-y). .a2+c2+2b(b-a-c)=0, 21.解：(1)(40-x)(20-x)=(x2-60x+ 当x=65,y=55时， .a2+c2+2b2-2ab-2bc=0. 800)(平方米). 原式=100×(65+55)×(65-55) .(a-b)2+(b-c)2=0. 答：余下部分的面积是(x2-60x+ =120000(元). ∴.a-b=0,b-c=0..a=b=c. 800)平方米. 答：修建整个花坛需要120000元. .△ABC是等边三角形 (2)(3a+b)(4a+b)-(a+b)2 18.解：(1)当x=8,y=8时， 22.解：(1)(2a+b)(a+2b) =12a2+3ab+4ab+b2-a2-b2-2ab x2+y2=82+82=64+64=128, (2)依题意，得2(2a+b+a+2b)=54, =(11a2+5ab)(平方米). x+y=8+8=16,x-y=8-8=0, .6(a+b)=54..a+b=9. 当a=6,b=4时， .生成的密码是“128160”. 故答案为9. 11a2+5ab=11×62+5×6×4=516. (2)x2(x-2y)+xy(2x-y) (3)依题意，得5ab=90,∴.ab=18. 答：绿化面积为(11a2+5ab)平方米； =x3-2x2y+22y-xy2=x3-y2 由(2)可得a+b=9, 当a=6,b=2时，绿化面积为516平 =x(x2-y2)=x(x-y)(x+y). .a2+b2=(a+b)2-2ab=45. 方米. 当x=21,y=7时，x-y=21-7=14, ∴.图2中一张纸板A和一张纸板B 22.解：(1)原式=3×32× x+y=21+7=28, 的面积和为45cm2. .生成的密码是“282114”. 23.解：(1)原式=(mp-mq)+(ng-p) 故答案为3. 19.解：(1)(p+g)pq =m(p-q)-n(p-q） (2)a2mn=a2m·a=(a）2.a 【知识探究】分割图形如图所示. =(p-q)(m-n). =22×5=20. (2)原式=81-(4x2-12xy+9y2) 故答案为20. =81-(2x-3y)2 (3)依题意，得(xy)m=a2,（xy)”=a23, =(9+2x-3y)(9-2x+3y). (x-y)3*2=(x-y）.(x-y)20 (3)依题意，得(a2-20a+100)+(b2- =(a2)3·(a3)2 246+144)=0, =a6·a5=a2=(a4)3 .(a-10)2+(b-12)2=0. (a4)3=64=43..a4=4. (2)(x+p)(x+q）x2+(p+q)x+p9 (a-10)2≥0，(b-12)2≥0， 23.解：(1)由图可知 (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq ∴.a-10=0,b-12=0. S,=(a+2)(a+1)=a2+3a+2, (3)x2+2x-15(4)2(y-3)(y-4) ∴.a=10,b=12. S2=(5a+1)×1=5a+1, 20.解：(1)原式=x2+2xy+y2-4y2 ∴.等腰△ABC的三边长分别为10， 当a=2时， =(x+y)2-(2y)2 10,12或10,12,12. S1+S2=4+6+2+10+1=23. =(x+y+2y)(x+y-2y) (4)原式=x2+2xy-3xy+y2-3y (2)S1>S2.理由如下： =(x+3y)(x-y). =x2+2xy+y2-3xy-3y2 S1-S2=a2+3a+2-5a-1 (2)依题意，得S,=(3a+2)(2a+3) =(x+y)2-3y(x+y) =a2-2a+1=(a-1)2. =6a2+9a+4a+6 =(x+y)(x-2y). a>1,.(a-1)2>0.S1>S2 =6a2+13a+6, x>2y且y>0,.x-2y>0, 第十七章因式分解 8=4）=4o+1a, (x+y)-(x-2y)=x+y-x+2y=3y>0. 单元综合教学反馈 .∴.x+y>x-2y 1.B2.A3.A4.D5.D6.B ∴.S1-S2=(6a2+13a+6)-(4a2+17a) .'.AD=x+y,AB=x-2y. 7.C8.A9.A10.C =6a2+13a+6-4a2-17a 第十八章分式 11.(1)3a(2x-y) =2a2-4a+6 单元综合教学反馈 (2)2(a+3b)(a-3b)3a(x-y)2 =2(a2-2a+1+2) 1.C2.C3.B4.C5.B6.B 2(a0*3)月 =2(a-1)2+4 7.B8.A9.D10.D (2)(x+3)(x-1) (a-1)2≥0，.2(a-1)2+4>0. 13.8080014.0.078π .S1>S2 11.x=-212.113.12a2614.b 综合教学反馈参考答案 15号 .承包方需要支付工资为 E-2x(3+x)E-2x2-6x 800x10+800x(1+25%)×(26-10) 9-x2 9-x2 16.解：原式=1+√3-1+(-2)2+2 =8000+16000=24000(元). P是Q的“雅中式”，P关于Q的 =√3+4+2=6+√3. 答：整个工程完成后承包方需要支付 “雅中值”为2， 4a2 工资24000元. .E-2x2-6x=2(9-x2)..E=6x+18. 17.解：(1)A a2-4a-2 21.解：(1)由题意可知，每支中性笔为 :P=E=6x+186 Aa 2(a+2) (x+1.2)元. Γ9-x29-x23-x (a+2)(a-2)(a+2)(a-2) 依题意，得2112 P的值也为整数，且分式有意义， 4a-2a-4 x+1.2x 解得x=1.6. .3-x=±1或3-x=±2或3-x=±3或 (a+2)(a-2) 经检验，x=1.6是原分式方程的解. 3-x=±6且x≠±3， 2(a-2) 此时，圆珠笔的数量为 .x的值为0,1,2,4,5,6,9. (a+2)(a-2) 12÷1.6=7.5(支). ∴.符合条件的x的值之和为 圆珠笔的数量为整数，.x=1.6不 0+1+2+4+5+6+9=27. a+2 符合题意.∴淇淇说嘉嘉搞错了 (3)依题意，得 (2)当a= 1 =3时， (2)由题意可知，每支中性笔为 M-N=x-b)(x-c)-(x-a(x-5）=1, (x+m)元 A= 2 3+25 依题意，得21-1 ,解得x=3 4m 整理，得(-b-c+a+4)x+bc-5a=0. 18.（1)解：方程两边乘2(x-2),得 x+m x 中性笔和圆珠笔的单价均为整数， 由上式子恒成立，得6-c+a+4=0, lbc-5a=0, 3-2x=x-2.解得x=3 0<m<6,.m=3.∴.x=4. 消去a,得bc-5b-5c+20=0. 检龄：当时，22)0 经检验，x=4是原分式方程的解，且 符合题意 b(c-5)=5(c-4).6=5(c-4) c-5 所以，原分式方程的解为x=号 答：整数m的值为3. :a,b,c是整数， (2)解：方程两边乘(x+1)(x-1),得 2解：(1)X-1=0(2)y4=0 ∴.c-4,c-5是连续整数 当c-4=2,c-5=1时， x(x-1)+2=(x+1)(x-1) c=6,b=10,a=12,∴.a-b+c=8; 0 解得x=3. (3)原方程化为-1x+2 x+2x-1 当c-4=0,c-5=-1时， 检验：当x=3时，(x+1)(x-1)≠0. 设y=* 1 ,则原方程化为y-上=0. c=4,b=0,a=0,.a-b+c=4; 所以，原分式方程的解为x=3. x+ 当c-4=6,c-5=5时， 19.解：设乙组同学平均每小时包x个粽 方程两边乘y,得y2-1=0.解得y=±1. c=10,b=6,a=12,∴.a-b+c=16; 子，则甲组同学平均每小时包(x+ 经检验，y=±1都是方程)1=0的解 当c-4=-4,c-5=-5时， 20)个粽子. 2 c=0,b=4,a=0,∴.a-b+c=-4. 依题意，得150-120，解得x=80 当=1时，21，该方程无解， 综上所述，a-b+c的值为8或4或16 x+20x 或-4. 经检验，x=80是原分式方程的解，且 符合题意 当-1时 =-1,解得x=- 期中综合教学反馈 1.D2.A3.C4.B5.C6.C ∴.x+20=100. 经检验，x= 答：甲组同学平均每小时包100个粽 是原分式方程的解。 2 7.C8.B9.C10.A 子，乙组同学平均每小时包80个 11.4012.(-2,-9)13.70°14.120° .原分式方程的解为x= 1 粽子 2 15.5ASA 20.解：(1)设原来每天加固河堤x米，则 23.解：(1)C不是D的“雅中式”.理由 16.证明：AF=DC, 采用新的施工机器后每天加固河堤 如下： .AF+FC=DC+FC,即AC=DF (1+25%)x米. 1x2+5x+6 BCEF,∴.∠ACB=∠DFE. .·C-D= 依题意，得800,240-800 x+2x2+4x+4 在△ABC和△DEF中， 26, x(1+25%)x =x+2-(x2+5x+6) (AC=DF, 解得x=80. x2+4x+4 ∠ACB=∠DFE 经检验，x=80是原分式方程的解，且 x2+4x+4 BC=EF, =-1<0, 符合题意 x2+4x+4 .∴.△ABC≌△DEF(SAS) 答：原来每天加固河堤80米 ∴.C不是D的“雅中式”. 17.解：∠ACF=∠B+∠A,∠A=50, (2)施工800米所需时间为800÷80= E 2x (2)P-Q=g-3-x ∠ACF=105°，.∠B=55° 10(天)， 又.·∠F=25° 数学·八上·RJ一3一LZA· ∴.∠BDF=180°-∠B-∠F (AB=EF, 17.解：原式=4x2-4xy+y2-(4x2-y2) =180°-55°-25°=100°. 在△ABF和△EFD中 ∠A=∠E, =4x2-4xy+y2-4x2+y2 18.解：(1)如图所示，△A,B,C1即为所 AF=ED, =2y2-4xy. 求，41(-1,2)，C1(2,-2) .△ABF≌△EFD(SAS).∴.FB=FD. 当x=1,y=-2时， (2)存在.如图所示，作点B关于x轴 22.证明：(1).CD⊥AB, 原式=2×(-2)2-4×1×(-2)=16. 的对称点B',连接AB交x轴于点P, ∴.∠BDE=∠CDA=90 18.解：原式= x+1-x+1(x+1)2 点P即为所求 .·∠ABC=45°， (x+1)(x-1)2 .△BDC是等腰直角三角形 -2.+1_+l .BD=CD. x-12x-1 在△BDE和△CDA中， (BD=CD, 当x=5时，原式=5+13 5-12 ∠BDE=∠CDA, 19.(1)解：方程两边乘x-4, DE=DA, 得3-x-1=x-4解得x=3. ∴.△BDE≌△CDA(SAS).∴.BE=CA. 检验：当x=3时，x-4≠0. (2)由(1)知△BDE≌△CDA, 所以，原分式方程的解为x=3. ∴.∠DBE=LDCA. (2)解：设原计划每年绿化面积为x 19.(1)证明：DF平分∠CDE,∠CDE= 又：·∠DEB=∠FEC, 万平方米，则实际每年绿化面积为 120°，.∠CDF=∠EDF=60°. ∴.LCFE=180°-∠DCA-∠FEC 1.5x万平方米. :ABDF,.∠ABC=∠CDF=60. =180°-∠DBE-∠DEB 又：AB=BC, 依题意，得360.360 x1.5x 3,解得x=40. =∠BDE=90°. ∴.△ABC是等边三角形 .BF⊥CA. 经检验，x=40是原分式方程的解，且 (2)解：，BD=2cm,CD=6cm, 又，AB=BC, 符合题意. ∴.BC=CD-BD=4(cm). .F是AC的中点，即AC=2CF. .1.5x=60. .△4BC的周长为3BC=3x4=12(cm). 由(1)知BE=CA,.BE=2CF 答：实际每年绿化面积为60万平 20.(1)证明：AB=BC,∠ABC=120° 23.解：(1)①当∠A为顶角时， 方米. 1 ∠A=LC=2(180-LABC)=30 ∠B=180°-∠A180°-80 20.(1)解：如图所示，AF即为所求. 2 =50°； 2 DE垂直平分AB,∴.AD=BD. ②当∠B是顶角时， ∴.∠DBA=∠A=30°. ∠B=180°-80°-80°=20°； .∠DBC=∠ABC-∠DBA ③当∠B与∠A都是底角时， =120°-30°=90°」 ∠B=∠A=80°. .BD⊥BC 综上所述，∠B的度数为20°或50° (2)证明：：∠BAC=90°，AB=AC, (2)解：.∠DBC=90°，∠C=30°， 或80°. .∠ABC=∠C=45°， 1 BD=2 CD. 故答案为20°或50°或80° ∠CAE+∠BAE=90°. (2)如备用图所示 :AF平分∠BAC, AD=BDAD=CD=写4C 13 腰长13 2 ∠BMF= F2∠BAC=459 AC=12,.AD=4..DB=AD=4. 睡长13 21.（1)证明：：AB=AC, 用 .∠C=LBAF ∴.LABC=∠ACB. 期末综合教学反馈（一）】 ,'AE⊥BD,∴.∠ABF+∠BAE=90° DE∥AB,.∠EDC=∠ABC 1.C2.C3.C4.C5.C6.B ∴.∠ABF=∠CAE. ∴.∠EDC=∠ACB. 7.D8.D9.C10.A 又，AB=AC, 又.·∠ECD=∠ACB. 11.7.7×10-712.x(x+2)(x-2) .△ABF≌△CAE(ASA). .LEDC=∠ECD. 13.15°14.715.①②④ 21.证明：(1)AB⊥BE,DE⊥BE, .△CDE是等腰三角形. 16.证明：ABDE,.∠B=∠DEF. ∴.∠B=∠E=90°. (2)解：FB=FD.证明如下： 在△ABC和△DEF中， BF=CE :AB∥DE,∴.∠A=∠E. ∠A=∠D .BF+CF=CE+CF,BC=EF. AF=CE, AB=DE, 在Rt△ABC和Rt△DEF中， ∴.AF=ED,AF+CF=CE+CF I∠B=∠DEF (AC=DF, ∴.EF=AC=AB. .△ABC≌△DEF(ASA)..AC=DF BC=EF, 综合教学反馈参考答案 .Rt△ABC≌Rt△DEF(HL). (3)1 ∴.∠EAB=∠B=50° ∴.∠1=∠2. 期末综合教学反馈（二）】 ∴.∠AEC=∠EAB+∠B=100°. (2)由(1)可知∠1=∠2，GF=GC. 1.A2.B3.D4.B5.D6.C 21.解：(1)设购买一块该品牌香皂需要 .GH⊥BE, 7.B8.D9.C10.A x元，则购买一条该品牌毛巾需要 .HF=HC,即H是CF的中点 14.1229 (x+20)元. 1.-112.413. 22.解：(1)a2-b2=(a+b)(a-b) (2)原式=(x+y+z+x+y)(x+y+z-x-y） 15.②④ 依题意，得400=1601 +202 =(2x+2y+z）·z 16.解：（1)如图所示，△AB,C1即为 解得x=5. =z+2zx+2zy. 所求. 经检验，x=5是原分式方程的解，且 (3)①a-b=3,a2-b2=21, 符合题意 a2-b=(a+b)(a-b), .x+20=5+20=25. .21=3(a+b)..a+b=7. 答：购买一条该品牌毛巾需要25元， 2() 一块该品牌香皂需要5元 (2)设该公司可购买m条该品牌毛 43-2 10 0t20e022s 巾，则购买(2m+8)块该品牌香皂. 2 依题意，得25m+5(2m+8-m)≤670， =(+)0(+) 解得m≤21. (2)A1(3,5),C(1,3) .m的最大值为21. 4+)-24× 17.证明：·∠BCE=∠DCA, 答：该公司最多可购买21条该品牌 ∴.∠BCE+∠ECA=∠DCA+∠ECA, 毛巾 l2m4020as)+20as） 即∠ACB=∠ECD. 22.（1)证明：AB=AC 在△ACB和△ECD中， .∠ABC=LACB. 1x3x2x4x3x 5 2023 ∠A=∠E, .△ABD和△ACE为等边三角形， X…X 223341 2024 AC=EC. ∴.∠ABD=∠ACE=60°， 202520242026 (∠ACB=∠ECD, DB=AB=AC=EC. 202420252025 ∴.△ACB≌△ECD(ASA).BC=DC. ∴.∠ACE+∠ACB=∠ABD+∠ABC, 1,20261013 18.解：原式= 1a2b2\ ab 即∠BCE=∠CBD. 220252025 ab ab a+b 在△ECB和△DBC中， 23.(1)证明：CE⊥AE,BF⊥AE, a2-b2 ab ab ath=a-b. EC=DB, .∴.∠E=∠AFB=∠BAC=90° ∠BCE=∠CBD, ∴∠CAE+∠FAB=90°， 当a=2025,b=2026时， BC=CB, ∠ABF+∠FAB=90° 原式=2025-2026=-1. .△ECB≌△DBC(SAS)..BE=CD. .∠CAE=∠ABF. 19.解：设小玲步行的平均速度为 (2)证明：由(1)得△ECB≌△DBC, 在△AEC和△BFA中！ xm/min,则骑自行车的平均速度为 .∠CBE=∠BCD..BF=CF ∠E=∠AFB, 4x m/min. AB=AC,AG是BC的垂直平分线 ∠CAE=LABF, 依题意，得28002800 30 ∴.BG=CG AC=BA, 4x (3)由(2)可知，AG是BC的垂直平 .△AEC≌△BFA(AAS). 解得x=70. 分线， ∴.CE=AF,AE=BF 经检验，x=70是原分式方程的解，且 ∴.EF=AE-AF=BF-CE. 符合题意 ,AB=AC,∠BAC=a, 1 (2)证明：如图2，过点B作BT⊥AE 答：小玲步行的平均速度是 ·L∠BAG=LCAG=2∠BMC=2L 于点T, 70 m/min. ·△ABD和△ACE为等边三角形， 20.解：(1)如图所示，DE即为所求 .LADB=∠DAB=∠EAC=60°， AD=AB=AC=AE. ..∠DAC=∠EAB=60°+a. AD=AB=AC=AE, ∴，∠ABE=∠AEB=∠ADC=∠ACD 图2 .BA=BD,BT⊥AD,.AT=DT =2x(180-60-o） 同(1)可证△AEC≌△BTA, (2)如图，连接AE, ∴.CE=AT..AD=2CE. DE是AB的垂直平分线，.AE=BE =60-号 数学·八上·RJ一4一LZA· ·.∠BDC=∠ADB-∠ADC =+2.（-2y x+2y 符合题意.3x=60. =60-(60受）- x-2y 2y 2y 答：如果刘峰骑自行车每小时行 2 (2)(x-1)2+y2+4y+4=0, 20km,李明乘公交车每小时行60km, 23.解：(1)原式=n+1)2n(n+2 .(x-1)2+(y+2)2=0. 那么他们能同时到达 n(n+1)n(n+1) ∴.x-1=0,y+2=0.∴.x=1,y=-2. 22.解：(1)减小减小 n2+2n+1-n2-2n 1 n(n+1) n(n+1) ..A=- 1+2×(-2)3 (23m+1_(3m-3)+4=3+ 4 2×(-2) 4 m-1 m-1 m-1? .n>0,∴.n(n+1)>0. 18.解：依题意，得 1 小n(n+1 >0.:n+1n+2 0. (3a+b)(2a+b)-(a+b)2 当>1时，随老的增大兰的值 nn+11 =6a2+3ab+2ab+b2-a2-b2-2ab 随之减小，并无限接近0， 故答案为> =5a2+3ab(平方米). (2六级理由如下： :3+4的值也随之减小，并无限接 当a=3,b=2时， m-1 -B:m2-92m+ 5a2+3ab=5×32+3×3×2 近3. A m2+6m+92m+6 =63(平方米). 答：当m>1时，随着m的增大，3m+ -1 =（m+3)(m-3)2m+1 答：绿化面积是(5a2+3ab)平方米； 的值无限接近3. (m+3)2 2(m+3) 当a=3,b=2时，绿化面积为63 2m-62m+1 平方米. 23.解：(1)如图2，由题意可知，点B关 于直线AD的对称点为C,连接CE, 2(m+3)2(m+3) 19.解：(1)如图所示，四边形ABCD即为 PC,则PE+PB=PE+PC≥CE,当且仅 > 所求.A(-6,8),B(-3,6) = 2(m+3) 当E,P,C三点共线且CE⊥AB时， PE+PB取得最小值为CE. m>-3,. 2(m+3)<0 当CE⊥AB时，CE取得最小值， 、1 54 (3)嘉嘉两次购买该商品的平均价格 2 为ma+mb_a+b 8-7-6-5-4-3-2-101 789 小河 2m 2 元/千克)， 琪琪两次购买该商品的平均价格为 图2 图3 -(a+2)+2=6, (2)依题意，得 :△ABC是等边三角形， 2n_- 2ab (元/千克) b-2=5, .CE=AD=12. a+ a b ..atb_2ab_(a-b)2 解8=7 .PE+PB的最小值为12. (2)如图3，连接OA,分别作出点A 2a*62(a+b)>0, 20.(1)解：△CDF≌△BEF, 关于OM,ON的对称点B,C,连接BC ∴.嘉嘉两次购买该商品的平均价格 △ABD≌△ACE 分别交OM,ON于点D,E,连接AD, 高于琪琪两次购买该商品的平均 证明如下： AE,则线段AD,DE,EA之和即为所 价格. BD⊥AM,CE⊥AW, 求的最短路径. 期末综合教学反馈（三） ∴.∠CDF=∠BEF=∠BDA 由对称的性质，得 1.A2.D3.B4.C5.C6.C =∠CEA=90°. 0B=0A=0C=10km, 7.D8.C9.D10.C 又·.·∠CFD=∠BFE,CF=BF, ∠BOD=LAOD,∠COE=∠AOE, 11.2(x-1)212.613.4.814.x3y .△CDF≌△BEF(AAS)..DF=EF BD=AD.EC=EA. 15.72° ∴.DF+FB=EF+FC,即DB=EC. .·∠M0N=∠AOD+∠AOE=30°， 16.(1)解：原式=-9+1+2-3=-9. 又∠A=∠A,∠BDA=∠CEA, ∴.∠BOC=∠BOD+∠AOD+∠COE+ (2)解：方程两边乘(x-3),得 .△ABD≌△ACE(AAS). ∠A0E=60° 1+2(x-3)=-(4-x). (2)证明：由(1)可得FD=FE, .△OBC为等边三角形 解得x=1. 又FD⊥AC,FE⊥AB, .BC=OB=10 km. 检验：当x=1时，x-3≠0. .点F在∠A的平分线上 .AD+DE+EA =BD+DE+EC 所以，原分式方程的解为x=1. 21.解：能.理由如下： =BC=10(km). 17.解：(1) 设刘峰骑自行车的速度为xkm/h,则 ∴.整个过程所行的路程为10km. A=（x+2)(x-22）÷-2x 公交车的速度为3xkm/h. (x-2y)2 x-2y x-2y 依题意，得20-30,30 +2y:2 x3x十60解得x=20 x-2y（x-2y 经检验，x=20是原分式方程的解，且 综合教学反馈参考答案第十三章 三角形单元综合教学反馈 (满分：120分，时间：120分钟) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.在下列长度的四条线段中，能与长6cm,8cm的两条线段围成一个三角形的是 游 4 A.1 cm B.2cm C.13 cm D.14 cm 2.如图，是一块三角形木板ABC的残余部分，量得∠A=100°，∠B=40°，则这块三角形木板另外一个角∠C的 州 度数为 A.30° B.40 C.50° D.60° 3.(2024·白云区校级月考)下列四个图形中，线段BD是△ABC的高的是 部 4. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠CED=∠A,则△CDE为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上均有可能 型 60入 第4题 第5题 第6题 第7题 第9题 5.(2024·东莞期中)人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是 ( A.两点之间，线段最短 B.垂线段最短 C.两直线平行，内错角相等 D.三角形具有稳定性 6.(2024·中山月考)如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是( 崇 A.BF=CF B.∠C+∠CAD=90° C.∠BAF=∠CAF D.S△ABC=2 S AABF 7.如图，图中共有三角形的个数是 A.3 B.4 C.5 D.6 8.(2024·赛罕区校级期中)用下列各图表示三角形的分类，其中不正确的是 三角形 等腰 钝角 锐角 直角 三边都 三角形 直角 三角形 等腰三角形 三角形 三角形 不相等的 三角形 三角形 等边 锐角 等边三角形 钝角 角形 角形 三角形 侧 A B C D 9.如果将一副三角板按如图所示的方式叠放，那么∠1等于 ( A.120° B.1059 C.60 D.45° 農 10.在下列条件：①∠A+∠B=∠C;②∠A:∠B:∠C=1:2:3;③∠A=2∠B=3∠C;④LA=∠B=∠C中，能 确定△ABC是直角三角形的有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 数学·八上·RJ第1页（共2页）LZA· 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.若等腰三角形两边长分别为2和5，则它的周长是 12.(2024·广州期中)如图，这是一台放置在水平桌面上的电脑显示屏，将其侧面抽象成平面几何图形，测得 ∠ACD=120°，∠ABC=2∠BAC,则∠ABC= 度 B 第12题 第13题 第14题 第15题 13.如图，在△ABC中，D,E分别是BC,AD的中点，△ABC的面积为16，则△ACE的面积为 14.如图，分别过△ABC的顶点A,B作AD∥BE.若∠CAD=25°，∠EBC=80°，则∠ACB的度数为 15.如图，图中包含的直角三角形的个数是 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16.如图，AD,CE是△ABC的两条高，AB=2cm,BC=4cm,CE=3cm,求AD的长， D 17.(2024·广州开学)如图，在△ABC中，已知CD为∠ACB的平分线，AM⊥CD于点M,∠B=45°，∠BAM= 8°，求∠ACB的度数. 18.用一条长为21cm的细绳围成一个等腰三角形 (1)如果腰长是底边长的3倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边长为5℃m的等腰三角形吗？如果能，请求出另外两边的长；如果不能，请说明理由. 单元综合教学反馈—第十三章三角形 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19.如图，在△ACB中，∠ACB=90°，∠1=∠B. (1)求证：CD是△ABC的高； (2)若AC=4,BC=3,AB=5. ①求CD的长； ②作△ABC的中线BE,并求△ABE的面积 20.如图，在△ABC中，D是边BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=69°，求∠DAC的度数. 634 D C 21.如图，A岛在B岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，C岛在A岛的南偏东30°方向，从C岛 看A,B两岛的视角∠ACB是多少度？ A北 南 数学·八上·RJ第2页（共2页）LZA 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 【问题背景】学习三角形内角和定理后，我们认识到：任何一个三角形的三个内角之和都等于180°.现在请 同学们通过探索归纳，解答下列问题： 【问题引入】(1)如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中的虚线剪去∠A,则∠1+∠2= # 度 【类比探究】(2)如图2，在△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后得到一个四边形，则∠1+∠2= 度 【归纳总结】(3)根据(1)与(2)的思考和解答过程，请你猜想∠1+∠2与∠A的数量关系，并证明你的 津 4 结论 【知识拓展】(4)如图3，如果沿着剩下的四边形再剪一刀，得到∠3与∠4，那么∠1+∠2和∠3+∠4的数量 R 关系为 图 图2 图3 23.【综合与探究】 (1)如图1，BD,CD是∠ABC和∠ACB的平分线且相交于点D,请猜想∠A与∠D之间的数量关系，并说明 理由； (2)如图2，BD,CD是∠ABC和∠ACB外角的平分线且相交于点D,请猜想∠A与∠D之间的数量关系， 并说明理由； (3)如图3，BD为∠ABC的平分线，CD为∠ACB外角的平分线，它们相交于点D,请猜想∠A与∠D之间 的数量关系，并说明理由 B- 图1 图2 图3 单元综合教学反馈—第十三章三角形