第14章 12.微专题4 巧构全等三角形解决问题（课堂本）-【零障碍导教导学案】2025-2026学年八年级上册数学（人教版·新教材）

48数学-八年级上册-RJ 微专题4巧构全等三角形解决问题 技巧1：巧用“公共边”构造全等三角形 特点：条件往往给出两组边相等，连接公共边即可得到第三组边相等，从而利用“SS$”证全等. 1.如图，在△ABC中，点D,E分别在BC,AB2.【变式】如图，AB=DC,AD=BC,DE=BF.求 上，AE=AC,DE=CD,∠C=75°，∠CDE= 证：BE=DF 145°，求∠B的度数. 技巧2：巧用“截长补短法”构造全等三角形 特点：在某一条线段上截取一条线段与特定线段相等，或将某条线段延长，使之与特定线段相等 3.如图，AB∥CD,BE平分∠ABC,CE平分4.【变式】如图，在四边形ABCD中，∠A= ∠BCD,点E在AD上.求证：BC=AB+CD. ∠BCD=90°，∠ADC=60°，AB=BC,若点E, F分别在AD,DC的延长线上，且∠EBF= 60°.求证：AE=EF+CF 第十四章全等三角形49 技巧3：巧用“倍长中线法”构造全等三角形 特点：将中线延长一倍，然后利用“SAS”判定三角形全等 5.(2024·广州期中)某数学兴趣小组在探讨全等三角形相关问题的解决方法时，发现：当条件 中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题。 (1)【问题初探】如图1，在△ABC中，AB=2,AC=6,AD为边BC上的中线，则AD的取值范围 为 (2)【类比分析】如图2，在△ABC中，∠B=90°，AB=7,AD是△ABC的中线，CE⊥BC.若CE= 11且∠ADE=90°，求AE的长. D D 图1 图2 技巧4：巧用“角平分线”构造全等三角形 特点：在处理角平分线问题时，常常要通过延长线段或截取线段，或者过角平分线上的点作角两 边的垂线段，使两个角所在的三角形全等 6.例如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，7.【变式】如图，BD是∠ABC的平分线，AD= AD⊥BE,垂足为D.求证：∠2=∠1+∠C. CD.求证：∠DAB+∠BCD=180°CD∥BE, ∴.∠ACD=∠B. 在△ACD和△CBE中， (AC=CB, ∠ACD=∠CBE, CD=BE, .∴.△ACD≌△CBE(SAS). 2.证明：AB∥DE, ∴.∠B=∠DEF 又：∠A=∠D,BC=EF, .△ABC≌△DEF(AAS). .AC=DF. 3.证明∠1+∠EAC=∠BAC, ∠EAC+∠2=∠DAE, ∠1=∠2， ∴∠BAC=LDAE. 在△ABC和△ADE中， (LBAC=∠DAE, AC=AE, T∠C=LE, .∴.△ABC≌△ADE(ASA) 4.证明：.BF=CE, .BF FC=FC+CE, 即BC=EF. ·AB⊥BE,DE⊥BE, ∴.∠ABC=∠DEF=90°. 在△ABC和△DEF中， (AB=DE, ∠ABC=∠DEF, BC=EF .△ABC≌△DEF(SAS). .∴.AC=DF 5.证明：在△ABC和△ADE中， (AB=AD. BC=DE, AC=AE. .∴.△ABC≌△ADE(SSS) .∠BAC=∠DAE ·.∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC 即∠CAE=∠BAD 6.解：.AF=DC, ∴.AF+CF=DC+CF, 即AC=DF. BC∥EF, ∴.∠ACB=∠DFE. 在△ABC和△DEF中， (AC=DF, ∠ACB=∠DFE, BC=EF. ∴.△ABC≌△DEF(SAS). ∴.∠E=∠B=84° 7.解：AB=AD+BE.证明如下： .DA⊥AB,EB⊥AB .∠A=∠B=90. 又：∠DCE=90°， ∴.∠ACD+∠BCE=90. 又：∠ADC+∠ACD=90°， .∠ADC=∠BCE. 在△ACD和△BEC中， ∠A=∠B, ∠ADC=∠BCE, CD=EC, .△ACD≌△BEC(AAS). .AD BC,AC BE. .·.AB=AC+CB=BE+AD 8.证明：∠ABC=∠D=∠1， .∠A+LABE=∠DBE+LABE. .∠A=∠DBE. 在△ABC和△BDE中， ILA=∠DBE AB=BD. I∠ABC=∠D: ∴.△ABC≌△BDE(ASA). .BC DE. 微专题4巧构全等三角形解决问题 1.解：如图，连接AD. D 由AE=AC,DE=DC,AD=AD, 可得△ADE≌△ADC(SSS). ∴.∠AED=∠C=75° .∠BDE=180°-145°=35°， ∴.∠B=75°-35°=40°. 2.证明：如图，连接BD. E 在△ABD和△CDB中. (AB=CD, AD=BC, BD DB. .∴.△ABD≌△CDB(SSS). .∠A=∠C AD=BC,DE=BF, ∴.AD+DE=BC+BF 数学·八上·J14LZA·参考答案 即AE=CF 在△EAB和△FCD中， (AE CF, ∠A=∠C, AB=CD. ..△EAB≌△FCD(SAS) ∴.BE=DF 3.证明：如图，在BC上截取BF=AB,连 接EF. B .·BE平分∠ABC,CE平分∠BCD, ·.∠ABE=∠FBE,∠FCE=∠DCE 在△ABE和△FBE中， (AB=FB. ∠ABE=∠FBE, BE BE. .∴.△ABE≌△FBE(SAS) .∠A=LBFE. AB∥CD, .∴.∠A+∠D=180° ∴.∠BFE+∠D=180. 又：∠BFE+∠CFE=180°， .∴.∠CFE=∠D. 在△FCE和△DCE中， I∠CFE=∠D, ∠FCE=∠DCE, CE=CE ..△FCE≌△DCE(AAS). .CF =CD. ∴.BC=BF+CF=AB+CD 4.证明：如图，在AE上截取AM=CF, 连接BM. 在△ABM和△CBF中， (AB=CB, ∠A=∠BCF AM=CF. .∴.△ABM≌△CBF(SAS). ..∠ABM=∠CBF,BM=BF ∠A=∠BCD=90°，∠D=60°， .∴.∠CBA=120°. .∠FBM=120. .·∠EBF=60°， .∠EBM=60°. 在△BME和△BFE中， BM=BF, ∠MBE=∠FBE, BE=BE, ∴.△BME≌△BFE(SAS). .EF EM. .AE =EF +CF 5.解：(1)如图1，延长AD到点E,使 DE=AD,连接BE. y D、 图1 AD为边BC上的中线， ∴BD=CD. 又：∠ADC=∠EDB,AD=ED, ∴.△ADC≌△EDB(SAS). .∴.EB=AC=6. 在△ABE中， BE-AB <AE<BE+AB. ∴.6-2<AE<6+2. ∴.4<2AD<8.∴.2<AD<4. 故答案为2<AD<4. (2)如图2，延长AD到点F,使DF= AD,连接CF, 图2 同理可得△ABD≌△FCD, .∠FCD=∠ABD=90°， FC=AB=7. CE⊥BC,∴.∠BCE=90°. .∴.∠FCD+∠ECD=180°， 即E,C,F三点共线。 .EF=EC+CF=11+7=18. .'∠ADE=90°， .∠FDE=90°=∠ADE. 又，DE=DE,AD=FD, .△ADE≌△FDE(SAS). .AE=FE=18. 6.证明：如图，延长AD交BC于点F. D B BE是∠ABC的平分线， .∠ABD=∠FBD. 在△ABD和△FBD中， ∠ABD=∠FBD: BD=BD ∠ADB=∠FDB=90°， ..△ABD≌△FBD(ASA) .∠2=∠DFB. 又.·∠DFB=∠1+∠C ..∠2=∠1+∠C. 7.证明：如图，作DE⊥BA于点E,DF1 BC于点F E 、D :BD是∠ABC的平分线， DE⊥BA,DF⊥BC, .DE =DF. 在Rt△ADE和Rt△CDF中， (AD=CD. DE DF, '.Rt△ADE≌Rt△CDF(HL) .∴.∠DAE=∠DCB. .·∠DAB+∠DAE=180°， ∴.∠DAB+∠BCD=180° 第11课全等三角形单元复习 1.B2.40°40°3.C4.C 5.(1)证明：：AB∥CD, ·∠BAE=∠DCF. .AF=CE. .AE=CF. 又：AB=CD, .△ABE≌△CDF(SAS). (2)解：∠BCE=30°，∠CBE=70, .∴.∠AEB=∠BCE+∠CBE=100°. ,·△ABE≌△CDF ∴.∠CFD=∠AEB=100° 6.(1)证明：∠DAC+∠ACD=∠ACD ∠BCE=90°， ∴.∠DAC=∠BCE. 在△ACD和△CBE中， LADC=∠CEB=90°， ∠DAC=∠ECB, AC =CB. 数学·八上·J15LZA·参考答案 .△ACD≌△CBE(AAS) (2)解：，△ACD≌△CBE, ∴.AD=CE,DC=EB. .'AD+BE =CE +DC=DE =6. CS0形ABD三2(BE+AD)·D正 =分x6x61吸 7.解：如图所示 A E B 8.解：(1)如图所示，射线BP即为所求 B (2)如图，过点P作PQ⊥AB于点Q BP为LABC的平分线，∠C=90°， .PO=PC=1. .△ABP的面积为 34B,P0=分x3x1=号 9.D10.611.26 12.证明：：BF⊥AC,CE⊥AB, ∴.∠BED=∠CFD=90° 又.∠BDE=∠CDF,BD=CD, .△BDE≌△CDF(AAS) ∴.DE=DF ·.点D在LBAC的平分线上. 13.证明：在△ADB和△CDB中， (AD=CD, AB=CB, BD =BD, ·.△ADB≌△CDB(SSS) .∠ABD=∠CBD. 又.OE⊥AB,OF⊥BC, .∴.OE=OF 14.解：(1)∠ABC的平分线BD如图所 示 C D (2)如图，作DH⊥AB于点H. BD平分∠ABC,DC⊥BC,DH⊥AB, ∴.CD=DH=3. .S△ABc=S△BCD+SAABD