专题04 全等三角形常考模型汇编（八大模型高频题型）-2025-2026学年八年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（人教版新教材）

专题04 全等三角形常考模型汇编 【题型01：平移型】..............................................................................................................1 【题型02：翻折型】..............................................................................................................3 【题型03：旋转型】..............................................................................................................6 【题型04：一线三等角型】...................................................................................................11 【题型05：手拉手模型】......................................................................................................24 【题型06：半角模型】..........................................................................................................35 【题型07：对角互补模型】..................................................................................................41 【题型08：倍长中线法模型】..............................................................................................52 【题型01：平移型】 1．如图，已知，，，，． (1)求的度数与的长； (2)求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定的应用，解此题的关键是能根据全等三角形的性质得出，，，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等，难度适中． （1）根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质得出，，即可得出答案； （2）根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴． 2．如图，点，，，在同一条直线上，，，，请写出与之间的关系，并证明你的结论． 【答案】，，理由见解析． 【分析】先证明 ，再根据全等三角形的性质得出 与 的数量关系和位置关系 ．本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理（ 等 ）和性质，以及利用角相等判定两直线平行是解题的关键． 【详解】解：，，理由如下： ，即 在和中， ， 3．如图，点、、、在同一条直线上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键，直接证明，得． 【详解】证明：在与中， ∴， ∴． 【题型02：翻折型】 1．如图，、相交于点E，，．求证． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，再根据定理即可得证． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 2．已知（如图）：点D，E分别在，上，，交于O，且，． (1)试说明：； (2)与全等吗？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)全等，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）利用全等三角形的判定证明，再利用全等三角形的性质即可证明； （2）利用全等三角形的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中 ∴， ∴． （2）解：与全等，理由如下： ∵，， ∴，即， 在和中 ∴． 3．如图，点E，F在上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．利用全等三角形的判定定理证得；然后由全等三角形的对应边相等证得． 【详解】证明：∵， ∴，即； 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）． 4．如图，在和中，，，与相交于点O．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，直接运用得到，即可得到结论． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴． 【题型03：旋转型】 1．如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 根据得到，再证明，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴． 2．如图，在中，，点是直线上的一个动点（不与重合），连接，以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)求证：； (2)当时，的位置关系是 ； (3)设．当时，请你探究与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）根据全等三角形的性质，结合三角形的内角和定理推出，即可得出结果； （3）分点在线段的延长线上，点在射线上，点在线段的延长线上，三种情况进行讨论求解即可。 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点D在线段上，时， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当点D在线段的延长线上时， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， 又∵， ∴ ∴． ③当点D在线段的延长线上时，如图所示， 同理， ∴， ∵， ∴； 综上所述，与之间的数量关系为或． 3．如图，交于点是上一点，且． (1)试说明． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质． （1）先证明，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）根据三角形的外角的性质可得，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】（1）证明： ， ， 即：， 在和中， ， ， ； （2）解： 是和的外角， ，， ， ， ， ， ， ． 4．【模型建立】 （1）如图1，在与中，，，，试说明：； 【模型应用】 （2）如图2，在与中，，，，、、三点在一条直线上，与交于点，且点为中点，过点作于点． ①求的度数； ②若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）① ；② 4 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）由，得，根据可证； （2）①同（1）可证，推出，通过导角可得； ②证明，可得． 【详解】（1）证明： ， ，即， 在与中， ， ； （2）解：① ， ，即， 在与中， ， ， ， ， ； ② ， ， 点为中点， ， 在与中， ， ， ． 【题型04：一线三等角型】 1．如图，，，，，垂足分别为，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，根据条件可以得出，利用得出，得出，求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴． 2．如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)与全等，线段，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用及分类讨论的思想是解题的关键． （）由速度和时间求得，进而可得，再利用两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明，由全等的性质求得，进而可得， 即； （）分两种情况讨论： 时， ， 和 时，，利用对应边相等的关系建立方程组求解即可； 【详解】（1）解：与全等，线段，理由： 当时，，， 由题意得， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：若， ∴，， ， 解得； 若， ∴，， ， 解得， 综上所述，存在或使得与全等． 3．在中，，直线经过点C，且于点D，于点E． (1)当直线绕点C旋转到图（1）的位置时， 求证：①； ②； (2)当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出，，之间的等量关系． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：全等三角形的对应边相等，同角的余角相等，解决问题的关键是根据线段的和差关系进行推导，得出结论． （1）①利用三角形内角和定理和等量代换得到，再利用“”证明三角形全等，即可解题；②利用全等三角形性质得到，，再结合等量代换即可证明； （2）由（1）①同理可证，利用全等三角形性质得到，，再结合等量代换即可证明： （3）解题方法与（2）类似． 【详解】（1）证明①在中，， ， 于D ，于E， ， ， ， ， ； ② ， ，， ； （2）证明：由（1）①同理可证， ，， ； （3）解：，理由如下： 由（1）①同理可证， ，， ． 4．如图，中，分别是边上的点，． (1)若，求证：； (2)把（1）中的条件和结论反过来，即若，则，这个命题是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了角的和差，全等三角形的判定与性质，三角形的外角与不相邻两个内角的关系，重点掌握全等三角形的判定与性质，难点作辅助线构建全等三角形． （1）证明即可； （2）过点、分别作于点M，于点N，证明，得到，再结合条件可以证明，进而得到即可求解． 【详解】（1）解：如图1所示： 由三角形的外角定理可知：， 且，， ， 在和中，， ； （2）解：成立，理由如下： 过点、分别作于点M，于点N，如图2所示： ，， ， 又， 在和中， ． ， 又， ， ， 又，． ． 即若，则此命题成立． 5．（1）问题：如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是14，求与的面积之和． 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，则，，； （2）同理（1）证明即可； （3）同理（2）可得，，则，设的底边上的高为，则的底边上的高为，，，由，可得，根据，求解作答即可． 【详解】（1）证明：直线，直线， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：结论成立；理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：同理（2）可得，， ∴， 设的底边上的高为，则的底边上的高为， ∴，， ， ∴， ∴， ∴与的面积之和为． 6．如图①，在中，，，过点C在外作直线l，于点M，于点N． (1)试说明：； (2)如图②，将（1）中条件改为（），，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由. (3)如图③，在中，点D为上一点，，，，，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)成立，见解析 (3)8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，一线三等角模型证明全等，解题关键是熟悉一线三等角模型． （1）先证明，再根据全等三角形的性质得出，，从而根据，可得； （2）先判定成立，再说理由，先证明，再根据全等三角形的性质得出，，结合，可得； （3）先证明，再根据全等三角形的性质得出，，根据，，，可求得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴， 又， ， ，， ， ； （2）成立， 理由：，， ， 又∵，， ， ，， 又， ； （3），，， ， 又，， ， ，， ，，， ． 7．已知，在中，，三点都在直线m上，且．    (1)如图①，若，则与的数量关系为 ___________，与的数量关系为 ___________； (2)如图②，判断并说明线段，与的数量关系； (3)如图③，若只保持，，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上以的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为．是否存在x，使得与全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明得； （2）由（1）同理可得，得，可得答案； （3）分或两种情形，分别根据全等三角形的性质可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）， 由（1）同理可得， ∴， ∴； （3）存在，当时， ∴， ∴，此时； 当时， ∴ ∴，， 综上：或． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 8．平面直角坐标系中，，分别在轴正半轴和轴负半轴上，在第二象限，满足：，． 已知． (1)求，的坐标； (2)求点的坐标； (3)已知是轴的正半轴上一点，，在第一象限，，，连接交轴于点，求证：． 【答案】(1)， (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质． （1）根据非负数的性质，求出a、b的值，即可得出答案； （2）过点C作轴于F，证明，得出，，根据点C在第二象限，求出即可； （3）过点E作轴于G，证明，得出，证明，得出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∴，． （2）解：过点C作轴于F，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵点C在第二象限， ∴． （3）解：过点E作轴于G， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴． 在和中 ， ∴． ∴． 【题型05：手拉手模型】 1．如图，已知，， 相交于点M，，． (1)试说明：． (2)试说明：． (3)若 ，其他条件不变，则（1）（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)结论成立，结论不成立，见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理的综合应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键 （1）根据求得，推出，根据全等三角形的性质即可得到； （2）利用全等三角形的性质，得出，再得出，进行证明即可； （3）结论成立，结论不成立，同法可证，得出，，根据，得出与不垂直，进而可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）如图，设交于O， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）条件改为，则结论成立，结论不成立， 理由：同法可证， ∴，． ∵， ∴与不垂直， ∴结论成立，结论不成立， 2．如图，已知在和中，，，．交于O点， (1)求证：； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）由，可得，证明，根据全等三角形的性质即可得到； （2）根据全等三角形的性质求出，再根据三角形内角和定理及对顶角性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）解：∵， ， ， ， ， ． 3．（2022·青海·统考中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形. (1)问题发现： 如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；     图1 (2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.     图2 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】（1）先判断出∠BAD=∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论； （2）同（1）的方法判断出△BAD≌△CAE，得出AD=BE，∠ADC=∠BEC，最后用角的差，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵和是顶角相等的等腰三角形， ∴，，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：，， 理由如下：由（1）的方法得，， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键． 4．如图，在和中，，，．交于点， (1)求证：； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)证明见解答过程 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）由，可得，证明，根据全等三角形的性质即可得到； （2）根据全等三角形的性质求出，再根据三角形内角和定理及对顶角性质求解即可． 【详解】（1）证明：在和中，， ， 即， 在和中，， ， ； （2）解：∵， ， ， ． 5．如图，在和中，，，，，交于点E． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形的内角和与外角性质等；掌握全等三角形的判定及性质，三角形的外角性质是解题的关键． （1）由判定，即可得证； （2）先求出，，由全等三角形的性质得，由三角形的外角性质得 ，即可求解． 【详解】（1）证明： ， ， 即：， ，， （）， ； （2）解： ， ， ， ， ． 6．综合与探究 在和中，，，． 【模型呈现】 （1）如图1，A，O，D三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，设，相交于点P，，相交于点Q，若，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，M，N分别为，的中点，连接，，，试说明且． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质和三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据证明即可得； （2）设与的交点为Q，由可得，又由于，结合三角形内角和定理可得，从而可得； （3）根据证明，则可得，，进而可得，则可得． 【详解】解：（1），理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）设与的交点为Q． ∵， ∴， 在和中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， （3）证明：∵， ∴，， ∵M，N分别为，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∵， 即， ∴， 即 ∴． 7．如图1，在中，，，D是上的一点，且，连接，． (1)试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将绕点E旋转一定的角度后，仍然有，，试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化； (3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，且与交于点F，其他条件不变． ①请直接写出与的数量关系； ②你能求出与所成的较小的角的度数吗？如果能，请直接写出该角的度数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)没有发生变化 (3)①，②能， 【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握手拉手模型，是解题的关键： （1）延长交于点F，证明，得到，，推出，即可得出结论； （2）证明，得到，，推出，即可得出结论； （3）同法，证明，得到，进而求出的度数即可． 【详解】（1）解：，． 理由：延长交于点F，如图 在和中， ． ，． ， ． ， ． ， ． （2）由题意得， ． ． 在和中， ． ，． ， ． ， ． ， ． 与的位置关系和数量关系没有发生变化． （3）①，理由见②． ②能，与所成的较小的角的度数为． 和是等边三角形， ，，，． ． ． 在和中， ． ． ． 即与所成的较小的角的度数为． 【题型06：半角模型】 1．（1）如图①，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： （2）如图②，在四边形中，若，，E、F分别是边上的点，且，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）延长到点G，使，连接，可证明，则可证明，得到，，再证明，进而证明，则，据此可得结论； （2）延长到点G，使，连接，可证明，再同（1）证明即可． 【详解】解：（1）如图所示，延长到点G，使，连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ， ． （2）如图所示，延长到点G，使，连接， ，， ， 在和中， ， ∴， ，． ， ， ，即， 又， ， ， ， ． 2．【问题背景】 如图1，在四边形中，，，点分别是上的点，且，试探究之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为延长到点，使，连接，先说明，再说明，则可得到，之间的数量关系是___________． 【探索延伸】 （2）如图2，在四边形中，，点分别是上的点，若，那么上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【结论运用】 （3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东方向以海里/时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的距离海里，求此时的度数． 【答案】（1），理由见详解；（2）成立，理由见详解；（3） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，方位角的运用，掌握全等三角形的判定和性质，合理作出辅助线是关键． （1）延长到点，使得，可证，，，再证，，根据角的和差计算即可求解； （2）延长延长到点，使得，可证，，，再证，，由此即可求解； （3）如图所示，过点作轴于点，延长到点，使得，连接，同理可证，由此即可求解． 【详解】解：（1），理由如下， 如图所示，延长到点，使得， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）成立，理由如下， 如图所示，延长延长到点，使得， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴； （3）如图所示，过点作轴于点，延长到点，使得，连接， ∵舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/时的速度前进，舰艇乙在指挥中心南偏东的处， ∴，轴，则， ∴，则， ∵舰艇乙沿北偏东方向以海里/时的速度前进， ∴，（海里），（海里）， ∵轴， ∴，则， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴ （海里）， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题型07：对角互补模型】 1．已知是的平分线，P是射线上一点，点C，D分别在射线上，连接． (1)如图①，当，时，与的数量关系是______； (2)如图②，点C，D分别在射线上运动，且．当时，与在（1）问中的数量关系还成立吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键； （1）根据角平分线的性质定理即可作出判断； （2）过点P作于E，于F，如图，可得，根据补角的性质得出，证明，进而得到结论． 【详解】（1）解：是的平分线， ； 故答案为：； （2）解：成立，理由如下： 如图，过点P作于E，于F， ， ∵是的平分线， ， ，， ， 在和中 ， ． 2．如图，在四边形中，平分于． (1)求证：． (2)当时，______（直接写出结果） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上性质，正确的作出辅助线是解题的关键； （1）过点作，根据角平分线的性质可得，先根据证，再根据证明，即可证明； （2）由（1）可知，则，即可求出． 【详解】（1）证明：过点作， 平分，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 故答案为：10． 3．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教村96页的部分内容． 已知：如图．是的平分线，P是上任意一点，，，垂足分别为点D和点E． 求证：． 分析： 图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等便可证得． 【问题解决】请根据教材分析，结合图①与出证明的过程． 【类比探究】 （1）如图②，是的平分线，P是上任意一点，点M，N分别在和上，连接和，若，求证：； （2）如图③，的周长是12；、分别平分和，于点D，若的面积，则长为________． 【答案】问题解决：见解析；（1）见解析；（2）3 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形全等的判定和性质， [问题解决]利用角角边定理证明，根据全等三角形的性质证明结论； [类比探究]（1）过点P作于E，于F，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过O作与E，于F，利用角平分线的性质可得，，然后再利用面积的计算方法可得答案． 【详解】[问题解决]证明：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， , ∴()， ∴； [类比探究]（1）证明：如图②，过点P作于E，于F， ∵是的平分线，，， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）过O作与E，于F， ∵、分别平分和， ∴，， ∴， ∵的周长是， ∴ ， ∵的面积为18，且， ∴， 即， 故答案为：3． 4．如图，，在的平分线上取点B作于点C，在直线上取一动点P，在直线上取点Q使得，． (1)如图1，当点P在线段上运动时，求证：； (2)如图2，当点P在延长线上时，探究、、三条线段之间的数量关系，并说明理由； (3)当点P运动到射线上时，直接写出、、三条线段之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，需熟练掌握分类讨论的思想，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解决本题的关键． （1）作于点D，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，即可证明； （2）作于点M，分别证明，，根据全等三角形的性质解得即可； （3）分点P在线段上，点P在线段的延长线上两种情况，根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：作于点D，如图， ∵是的平分线，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下， 作于点M，如图， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：点P在线段上时，此时，如图， ∵， ∴， 由（2）可知，， ∴， 即； 点P在线段的延长线上时，此时， 作于点M，如图， ∵， ∴， 由（2）知，， ∴， 即； 综上，或． 5．在四边形中，，，过点作垂足为，且，四边形的面积为8，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．过点作交延长线于点，连接，利用证明，推出，，再利用证明，推出，再根据，利用三角形面积公式列式计算即可求解． 【详解】解：过点作交延长线于点，连接， 则， ， ． ，， ． 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ． 6．如图，平分．    (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）过点C作的延长线于点F，根据角平分线的性质可得，从而证明，可得，再由，即可得出结论； （2）由（1）可得，，，从而可证，可得，再利用等量代换即可得出结论． 【详解】（1）证明：过点C作的延长线于点F， ∵，，平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即；    （2）证明：由（1），，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的性质、全等直角三角形的判定与性质，作辅助线构造全等直角三角形是解题的关键． 【题型08：倍长中线法】 1．综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是 ___________； A．    B．    C．    D． （2）由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是 ___________． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． [初步运用] （3）如图2，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段BF的长． 【答案】（1）C；（2）；（3）5 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长到M，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：（1）∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：C； （2）∵，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）延长到M，使，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵是中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 2．【问题提出】 （1）如图①，在中，若，，AD是边上的中线，求的取值范围．小明的做法如下：如图①，延长至点，使，连接，则，依据的判定方法是_____，由三角形的三边关系可知的取值范围为_____； （2）如图②，，，，点为的中点，试说明：； 【问题解决】 （3）如图③，四边形是某公园的一片玫瑰园，对角线是中间的一条通道，现正值玫瑰盛开的旺季，为方便游客观赏，要沿对角线铺设一条小路，在两条小路的交点处修建一座观景塔（观景塔大小忽略不计），在边的中点处设置一个出入口，再沿铺设一条小路将游客分流，采购部需要知道与之间的数量关系购买原材料．按照设计要求，，，请你帮采购部探究线段与之间的数量关系（小路宽度忽略不计）． 【答案】（1），；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，平行线的判定与性质，三角形的内角和定理等知识． （1）根据可得，在中利用三角形的三边关系可求得； （2）延长至G，使，连接，先证明，得到，，再证明，即可得到； （3）延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接，先证可得，，再证明，得到，，最后证明，得到． 【详解】（1）解：延长到点E．使，连接， ∵是的中线， ∴，又， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：延长至G，使，连接，则 ∵点D为的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． （3）解：如图，延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接， ∵点F是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 (1)如图1，请写出的取值范围是 ； (2)如图2，已知中，平分，且，求证：． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形三边关系，等腰三角形的判定等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由三角形三边关系可得出答案； （2）延长到点E，使，连接，证明，得出，，证出，则可得出结论． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：； （2）证明：如图，延长到点E，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．（1）阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图1，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是 ，另外他还得到了和的位置关系是 ； （2）问题解决：如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）问题拓展：如图3，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，求和的数量关系． 【答案】（1）；；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，倍长中线法证全等，正确添加辅助线是解题的关键． （1）根据已知条件证明，得出，则； （2）延长至点，使，同（1）可得，，证明，进而证明，即可得证； （3）延长至点，使，由（1）可得，，证明 ，进而证明，即可得证． 【详解】解：（1）∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；； （2）证明：如图所示，延长至点，使， 同（1）可得 ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：如图所示，延长至点，使， 由（1）可得， ∴，， ∴， ∵， ， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 5．【问题提出】倍长中线法是一种重要的解题方法，如图①，在中，是边上的中线，若延长至点E，使，连接，可根据“”证明，则． 【解决问题】如图②，已知和中，，连接是的中点，连接，求证：． 【答案】见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握倍长中线法构造全等三角形，是解题的关键．延长至点F，使得，连接，证明，得到，再证明得到，即可得证． 【详解】证明：如图，延长至点F，使得，连接． 是的中点， ． 在和中， ， ， ， ． ， ． 在和中， ． ． 6．方法探索 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． (1)嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题．延长到点E，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围，请你根据嘉嘉的思路写出完整解答过程问题解决 (2)由第（1）问方法的启发，请解决下面问题： 如图2，在中，点D、E在上，且，过E作与相交于点F，且．求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点E，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围， （2）延长到点M，使，连接．证明，得出，得出，由可得，从而可得，故可得平分． 【详解】（1）解：是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中， ， 即， 中线的取值范围是：； （2）证明：延长到点M，使，连接． 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即平分． 1．已知满足，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在y轴上．          (1)如图①若垂直于轴，垂足为点．点坐标是，点的坐标是，且满足，请直接写出、的值以及点的坐标． (2)如图②，直角边在两坐标轴上滑动，使点在第四象限内，在滑动的过程中，当的坐标为，点的坐标为时，求的坐标； (3)如图③，直角边在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过A点作轴于F，在滑动的过程中，试猜想的值． 【答案】(1)，， (2) (3)1 【分析】（1）先根据，得出，，因为，整理得，再证明，故点的坐标为． （2）过点作轴于，与（1）同理证明，故，，因为的坐标为，点的坐标为，所以，，所以，即可作答． （3）作于E，得出，则（平行线之间距离处处相等），同理证明，整理得，即可作答． 【详解】（1）解：，，， ，， ，， ，， ， ， ∴，， ， 在和中， ， ，， ， 点的坐标为， （2）解：过点作轴于， ， ， ， 在和中， ， ∴，， 点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ， 点的坐标为， （3）解：； 如图③中，作于E， ∵， ∴ ∴（平行线之间距离处处相等） ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行线之间距离处处相等，绝对值的非负性，全等三角形的判定与性质，点的坐标，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2．在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法． 【特例分析】例如：在中，，，点是边上的中点，怎样求的取值范围呢？我们可以延长到点，使，然后连接（如图①），这样，在和中，由于，，，接下来，在中通过的长可求出的取值范围． （1）在图①中，中线的取值范围是______． 【拓展探究】 （2）应用上述方法，解决下面问题： 如图②，在中，点是边上的中点，点是边上的一点，作交边于点，连接，若，，请直接写出的取值范围． 【推广应用】 （3）如图③，在四边形中，，，点是中点，点在上，且满足，，连接、，请判断与的位置关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）；（3）；理由见解析 【分析】（1）延长到点，使，连接，由证得，得出，在中，，得出，即可得出结果； （2）延长到点，使，连接、，由证得，得出，由等腰三角形的性质得出，在中，，得出，即可得出结果； （3）延长与的延长线交于点，易证，得出，由证得，得出，，即可证得，由，得出． 【详解】（1）延长到点，使，连接，如图所示： 点是边上的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ，即， ， 故答案为：； （2）延长到点，使，连接、，如图所示： 点是边上的中点， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在中，， ，即， ； （3）；理由如下： 延长与的延长线交于点，如图所示： 点是中点， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，即：， ， ． 3．中，点、分别为线段、上两点，连接、交于点． (1)若，，如图，试说明； (2)若平分，平分，如图所示，若，则 ，并证明：． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）根据余角的性质得到，由于，即可得到结论； （2）根据角平分线的性质得到，，于是得到结论；作的平分线交于，由，得到，求得，根据角平分线的性质得到，推出，根据全等三角形的性质得到，同理，即可得到结论． 【详解】（1）解：，， ， ，， ； （2）平分，平分， ，， ； ， ； 作的平分线交于， ， ， ， 平分， ， 在与中， ， ， ， 同理， ． 故答案为： 4．已知，在四边形中，，． (1)如图1，连接．若，求证：． (2)如图2，点，分别在线段，上，且满足，求证． (3)若点在的延长线上，点在的延长线上，连接，，，仍然满足．请在图3中补全图形，根据图形直接写出与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)图见解析， 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、四边形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）延长至点，使，连接，分别证明、，根据全等三角形的性质证明； （3）在延长线上找一点，使得，连接，分别证明、，根据全等三角形的性质、四边形内角和为解答． 【详解】（1）证明：， ∴， ∵， ， 在和中， ， ； （2）证明：延长至点，使，连接，如图2， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ，， 在和中， ， ； （3）解：如图3，． 理由如下：在延长线上找一点，使得，连接， ， ， ， ， 在和中， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 全等三角形常考模型汇编 【题型01：平移型】..............................................................................................................1 【题型02：翻折型】..............................................................................................................2 【题型03：旋转型】..............................................................................................................3 【题型04：一线三等角型】...................................................................................................5 【题型05：手拉手模型】......................................................................................................9 【题型06：半角模型】..........................................................................................................13 【题型07：对角互补模型】..................................................................................................14 【题型08：倍长中线法模型】...............................................................................................16 【题型01：平移型】 1．如图，已知，，，，． (1)求的度数与的长； (2)求证：． 2．如图，点，，，在同一条直线上，，，，请写出与之间的关系，并证明你的结论． 3．如图，点、、、在同一条直线上，，，，求证：． 【题型02：翻折型】 1．如图，、相交于点E，，．求证． 2．已知（如图）：点D，E分别在，上，，交于O，且，． (1)试说明：； (2)与全等吗？为什么？ 3．如图，点E，F在上，，，，求证：． 4．如图，在和中，，，与相交于点O．求证：． 【题型03：旋转型】 1．如图，，，，求证：． 2．如图，在中，，点是直线上的一个动点（不与重合），连接，以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)求证：； (2)当时，的位置关系是 ； (3)设．当时，请你探究与之间的数量关系． 3．如图，交于点是上一点，且． (1)试说明． (2)若，求的度数． 4．【模型建立】 （1）如图1，在与中，，，，试说明：； 【模型应用】 （2）如图2，在与中，，，，、、三点在一条直线上，与交于点，且点为中点，过点作于点． ①求的度数； ②若，求的长． 【题型04：一线三等角型】 1．如图，，，，，垂足分别为，，，，求的长． 2．如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 3．在中，，直线经过点C，且于点D，于点E． (1)当直线绕点C旋转到图（1）的位置时， 求证：①； ②； (2)当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出，，之间的等量关系． 4．如图，中，分别是边上的点，． (1)若，求证：； (2)把（1）中的条件和结论反过来，即若，则，这个命题是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 5．（1）问题：如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是14，求与的面积之和． 6．如图①，在中，，，过点C在外作直线l，于点M，于点N． (1)试说明：； (2)如图②，将（1）中条件改为（），，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由. (3)如图③，在中，点D为上一点，，，，，请直接写出的长． 7．已知，在中，，三点都在直线m上，且．    (1)如图①，若，则与的数量关系为 ___________，与的数量关系为 ___________； (2)如图②，判断并说明线段，与的数量关系； (3)如图③，若只保持，，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上以的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为．是否存在x，使得与全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由． 8．平面直角坐标系中，，分别在轴正半轴和轴负半轴上，在第二象限，满足：，． 已知． (1)求，的坐标； (2)求点的坐标； (3)已知是轴的正半轴上一点，，在第一象限，，，连接交轴于点，求证：． 【题型05：手拉手模型】 1．如图，已知，， 相交于点M，，． (1)试说明：． (2)试说明：． (3)若 ，其他条件不变，则（1）（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 2．如图，已知在和中，，，．交于O点， (1)求证：； (2)当时，求的度数． 3．（2022·青海·统考中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形. (1)问题发现： 如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；     图1 (2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.     图2 4．如图，在和中，，，．交于点， (1)求证：； (2)当时，求的度数． 5．如图，在和中，，，，，交于点E． (1)求证：； (2)若，求的度数． 6．综合与探究 在和中，，，． 【模型呈现】 （1）如图1，A，O，D三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，设，相交于点P，，相交于点Q，若，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，M，N分别为，的中点，连接，，，试说明且． 7．如图1，在中，，，D是上的一点，且，连接，． (1)试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将绕点E旋转一定的角度后，仍然有，，试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化； (3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，且与交于点F，其他条件不变． ①请直接写出与的数量关系； ②你能求出与所成的较小的角的度数吗？如果能，请直接写出该角的度数；如果不能，请说明理由． 【题型06：半角模型】 1．（1）如图①，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： （2）如图②，在四边形中，若，，E、F分别是边上的点，且，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 2．【问题背景】 如图1，在四边形中，，，点分别是上的点，且，试探究之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为延长到点，使，连接，先说明，再说明，则可得到，之间的数量关系是___________． 【探索延伸】 （2）如图2，在四边形中，，点分别是上的点，若，那么上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【结论运用】 （3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东方向以海里/时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的距离海里，求此时的度数． 【题型07：对角互补模型】 1．已知是的平分线，P是射线上一点，点C，D分别在射线上，连接． (1)如图①，当，时，与的数量关系是______； (2)如图②，点C，D分别在射线上运动，且．当时，与在（1）问中的数量关系还成立吗？请说明理由． 2．如图，在四边形中，平分于． (1)求证：． (2)当时，______（直接写出结果） 3．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教村96页的部分内容． 已知：如图．是的平分线，P是上任意一点，，，垂足分别为点D和点E． 求证：． 分析： 图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等便可证得． 【问题解决】请根据教材分析，结合图①与出证明的过程． 【类比探究】 （1）如图②，是的平分线，P是上任意一点，点M，N分别在和上，连接和，若，求证：； （2）如图③，的周长是12；、分别平分和，于点D，若的面积，则长为________． 4．如图，，在的平分线上取点B作于点C，在直线上取一动点P，在直线上取点Q使得，． (1)如图1，当点P在线段上运动时，求证：； (2)如图2，当点P在延长线上时，探究、、三条线段之间的数量关系，并说明理由； (3)当点P运动到射线上时，直接写出、、三条线段之间的数量关系． 5．在四边形中，，，过点作垂足为，且，四边形的面积为8，求的长． 6．如图，平分．    (1)求证：； (2)求证：． 【题型08：倍长中线法】 1．综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是 ___________； A．    B．    C．    D． （2）由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是 ___________． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． [初步运用] （3）如图2，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段BF的长． 2．【问题提出】 （1）如图①，在中，若，，AD是边上的中线，求的取值范围．小明的做法如下：如图①，延长至点，使，连接，则，依据的判定方法是_____，由三角形的三边关系可知的取值范围为_____； （2）如图②，，，，点为的中点，试说明：； 【问题解决】 （3）如图③，四边形是某公园的一片玫瑰园，对角线是中间的一条通道，现正值玫瑰盛开的旺季，为方便游客观赏，要沿对角线铺设一条小路，在两条小路的交点处修建一座观景塔（观景塔大小忽略不计），在边的中点处设置一个出入口，再沿铺设一条小路将游客分流，采购部需要知道与之间的数量关系购买原材料．按照设计要求，，，请你帮采购部探究线段与之间的数量关系（小路宽度忽略不计）． 3．【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 (1)如图1，请写出的取值范围是 ； (2)如图2，已知中，平分，且，求证：． 4．（1）阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图1，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是 ，另外他还得到了和的位置关系是 ； （2）问题解决：如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：； （3）问题拓展：如图3，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，求和的数量关系． 5．【问题提出】倍长中线法是一种重要的解题方法，如图①，在中，是边上的中线，若延长至点E，使，连接，可根据“”证明，则． 【解决问题】如图②，已知和中，，连接是的中点，连接，求证：． 6．方法探索 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． (1)嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题．延长到点E，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围，请你根据嘉嘉的思路写出完整解答过程问题解决 (2)由第（1）问方法的启发，请解决下面问题： 如图2，在中，点D、E在上，且，过E作与相交于点F，且．求证：平分． 1．已知满足，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在y轴上．          (1)如图①若垂直于轴，垂足为点．点坐标是，点的坐标是，且满足，请直接写出、的值以及点的坐标． (2)如图②，直角边在两坐标轴上滑动，使点在第四象限内，在滑动的过程中，当的坐标为，点的坐标为时，求的坐标； (3)如图③，直角边在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过A点作轴于F，在滑动的过程中，试猜想的值． 2．在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法． 【特例分析】例如：在中，，，点是边上的中点，怎样求的取值范围呢？我们可以延长到点，使，然后连接（如图①），这样，在和中，由于，，，接下来，在中通过的长可求出的取值范围． （1）在图①中，中线的取值范围是______． 【拓展探究】 （2）应用上述方法，解决下面问题： 如图②，在中，点是边上的中点，点是边上的一点，作交边于点，连接，若，，请直接写出的取值范围． 【推广应用】 （3）如图③，在四边形中，，，点是中点，点在上，且满足，，连接、，请判断与的位置关系，并证明你的结论． 3．中，点、分别为线段、上两点，连接、交于点． (1)若，，如图，试说明； (2)若平分，平分，如图所示，若，则 ，并证明：． 4．已知，在四边形中，，． (1)如图1，连接．若，求证：． (2)如图2，点，分别在线段，上，且满足，求证． (3)若点在的延长线上，点在的延长线上，连接，，，仍然满足．请在图3中补全图形，根据图形直接写出与的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $