第14章 9.第9课 角平分线的性质（课堂本）-【零障碍导教导学案】2025-2026学年八年级上册数学（人教版·新教材）

42数学-八年级上册-RJ 第9课 角平分线的性质 新课学习多 知识点1尺规作角平分线 1.例（新教材P48思考改编）如图，用尺规作2.如图，在△ABC中，用尺规作△ABC的角平 ∠AOB的平分线OP. 分线AE. B 知识点2探究角平分线的性质 复习：点到直线的距离是指垂线段的长度 4.(新教材P49例题)如图，OC是∠A0B的平 3.如图，点P到直线1的距离是指 的 分线，点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足 分别为D,E.求证：PD=PE. 长度 D 《 B 角平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的5.如图，OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA于点 距离相等 D,PE⊥OB于点E,PE=5cm,则PD= 几何语言： cm 如图， D E -B 方法总结：我们把上图叫作“伞形图”，看到角 平分线就找“伞形图”，它要满足三个条件：一 平分两垂直 知识点3角平分线的性质的直接应用 6.(2024·中山期中)如图，在Rt△ABC中，7.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4, ∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D, BC=6,对角线BD平分∠ABC,则△BCD的 AD=3,则点D到边BC的距离是 面积为 A.2 A.15 B.3 0 B.12 C.√3 C.8 D.4 B D.6 第十四章全等三角形43 知识点4角平分线的性质的综合 8.@如图，0C是LA0B的平分线，AC10B于9.（新教材P52T1)如图，在△ABC中，AD是它 点D,BC⊥OA于点E.求证：AC=BC. 的角平分线，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC, 垂足分别为E,F.求证：EB=FC. 过天检测 及县础训练 10.(2024·东莞期中)如图，在Rt△ABC中，11.（新教材P60T14改编）如图，在△ABC中， ∠C=90°，AD平分∠CAB.若SAABD=24, AB=8,AC=6,AD是它的角平分线，则S△ABD AB=12,则CD= SAACD= D {马能力训练 12.(新教材P50T1)如图，在直线MN上求作一点P,使点P在∠AOB的内部，且点P到射线OA 和OB的距离相等. M N 还拓展训练 13.【原创】如图，在△ABC中， (1)作△ABC的角平分线BE,CF,BE与CF相交于点P; (2)连接AP,求证：SAPAR:SAPBC:SAPAC=AB:BC:AC..BE=AB+BC=AB +AD. 5.证明：(1)BD⊥AC, ∴.∠DBC=∠ABF=90°. 又：AB=DB,BF=BC, .·.△ABF≌△DBC(SAS). (2)由(1)得△ABF≌△DBC, .∠A=∠D :∠AFB=∠DFE, ∠A+∠AFB=90°， ∴∠D+∠DFE=90°. ∴.∠DEF=90°. .AE⊥CD. 6.(1)证明：在Rt△ACF和Rt△BCD中， （AF=BD, AC=BC. ..Rt△ACF≌Rt△BCD(HL). .∴.CF=CD. (2)解：AF⊥BD.理由如下： 如图，延长AF交BD于点E E 由(1)得∠CAF=∠CBD ·.:∠CAF+∠AFC=90°， ∠CFA=∠EFB, ∴.∠BEF=180°-∠EBF-∠EFB=90. 即AF⊥BD 7.证明：.·∠ADC=∠B+∠BAD =∠ADE+∠CDE, 且∠ADE=∠B, ∴.∠BAD=∠CDE. 在△BAD和△CDE中， I∠BAD=∠CDE, ∠B=∠C, BD=CE, ∴.△BAD≌△CDE(AAS). ∴.AD=DE. 8.证明：AD⊥BC, ∴.∠DAC+∠C=90°. BE⊥AC, ∴.∠EBC+∠C=90. ∴.LEBC=∠DAC, 即∠DBF=∠DAC. 又∠BDF=∠ADC=90°， DF=DC. ..△BFD≌△ACD(AAS). 9.证明：如图，在AB上取一点F,使AF= AC,连接EF. :AE,BE分别平分∠CAB和∠DBA, .∠CAE=∠FAE,∠EBF=∠EBD 在△ACE和△AFE中， (AC=AF, ∠CAE=∠FAE, AE=AE, .△ACE≌△AFE(SAS). .LC=LAFE. AC∥BD, .∠C+∠D=180. .∠AFE+∠EFB=180°， ∴∠EFB=∠D. 在△BEF和△BED中， ∠EFB=∠D, ∠EBF=∠EBD, BE=BE, .△BEF≌△BED(AAS). .BF=BD. AB=AF+BF, ∴.AB=AC+BD 10.解：(1)y=a+B.理由如下： 如图，过点P作PF∥，交ME于点F C 12, .PF∥L∥2 ∴.a=∠DPF,B=∠CPF ∴y=∠DPF+LCPF=a+B. (2)当AP=BD=3时，△ACP≌△BPD. 理由如下： :1∥L2,AC⊥MN, .BD⊥MN. ∴.∠CAP=∠PBD=90°. .AB=9,AP=3, ..BP=6...AC=BP. 在△ACP和△BPD中， AC=BP, ∠CAP=∠PBD, AP=BD. ∴.△ACP≌△BPD(SAS). .当AP=3时，△ACP≌△BPD. (3)PC⊥PD.理由如下： 数学·八上·RJ12LZA·参考答案 .·△ACP≌△BPD. .∠ACP=∠BPD. .:∠ACP+∠APC=90°， .∴.∠BPD+∠APC=90° .∴.∠CPD=90°..PC⊥PD 第9课角平分线的性质 1.解：如图所示. -B 2.解：如图所示 3.P0 4.证明OC是∠A0B的平分线， ∴.∠AOC=∠BOC .·PD⊥OA,PE⊥OB ∴.∠PD0=∠PE0=90° 在△ODP和△OEP中， (∠DOP=∠EOP, ∠PDO=∠PEO: OP=OP ∴.△ODP≌△OEP(AAS). ∴.PD=PE. 角平分线的性质： OC平分∠AOB PD⊥OAPE⊥OE PD=PE 5.56.B7.B 8.证明：OC是∠A0B的平分线， AC⊥OB,BC⊥OA, ∴.CE=CD,∠AEC=∠BDC=90° 在△AEC和△BDC中， ∠AEC=∠BDC CE=CD. ∠ACE=∠BCD, .∴.△AEC≌△BDC(ASA) .AC BC. 9.证明：，AD是△ABC的角平分线 DE⊥AB,DF⊥AC, ∴.DE=DF,∠BED=∠CFD=90° 在Rt△BED和Rt△CFD中， (BD =CD DE =DF ∴.Rt△BED≌Rt△CFD(HL). .EB=FC. 10.411.4:3 12.解：如图所示. B 13.（1)解：如图示 4 G H (2)证明：如图，过点P作PG⊥AB于 点G,PH⊥BC于点H,PI⊥AC于点 .BP,CP是△ABC的角平分线， ∴.PG=PH,PH=PI. ∴.PG=PH=PU. SanSx5Ae=(2AB:PG (2Bc·Pm34cPm） ∴.S△PMBS△PRGSAPAG=AB:BC:AC 第10课角平分线的判定 复习： AP平分∠BAC,PB⊥AB,PC⊥AC PB=PC 解：成立，可证明△PAB≌△PAC. ∠PAB=∠PAC,即AP平分∠BAC. 角平分线的判定： PB=PCPB⊥ABPC⊥AC 1.A AD=ABAD⊥CDAB⊥BC ∠1=∠2 2.解：ME⊥AB,MF⊥BC,ME=MF, .BM平分∠ABC. .LEBMLABC. .·∠ABC=70° ∠BM=子×70°=359 3.解：∠C=90°，.DC⊥BC. 又.DE⊥AB,DE=DC, ∴点D在LABC的平分线上 ∴.BD平分LABC. ∠A=40°，∴∠ABC=50° 1 ·∠DBC=2∠ABC=25 4.证明：DE⊥AB,DF⊥AC, .△BDE和△CDF是直角三角形 D是BC的中点， .BD=CD. 又，BE=CF, .Rt△BDE≌Rt△CDF(HL). ·.DE=DF 又.·DE⊥AB,DF⊥AC, .AD是△ABC的角平分线： 5.证明：CD⊥AB,BE⊥AC, .∠0DB=∠0EC=90. 在△BOD和△COE中， 1∠ODB=∠OEC, ∠BOD=∠COE. OB=OC, ..△BOD≌△COE(AAS). .0D=0E...∠1=∠2. 6.C7.A 8.证明：(1)如图，过点P作PD⊥AB, PE⊥BC,PF⊥CA,垂足分别为D,E,F D B E ·BM是△ABC的角平分线，点P在 BM上， .PD=PE. 同理PE=PF .PD=PE=PF, 即点P到三边AB,BC,CA的距离相等. (2)由(1)得点P到边AB,CA的距离 相等， .点P在∠A的平分线上. .△ABC的三条角平分线交于一点， 9.（1)证明：.·BD⊥AC,CE⊥AB, ∴.∠CD0=∠BE0=90°. 在△BOE和△COD中， ∠BEO=∠CDO, ∠BOE=∠COD, B0=C0, .∴.△BOE≌△COD(AAS) ∴.BE=CD (2)解：点0在∠BAC的平分线上.理 由如下： .·△BOE≌△COD,.OE=OD 又：OE⊥AB,OD⊥AC, .点O在LBAC的平分线上 10.证明：(1)DE⊥AB,DF⊥AC, ·.△DEB和△DFC都是直角三角形 在Rt△DEB和Rt△DFC中， (BD =CD, BE =CF, .Rt△DEB≌Rt△DFC(HL). .DE DF. .点D在∠BAC的平分线上 数学·八上·RJ13LZA·参考答案 .AD平分∠BAC (2)由(1)得DE=DF .·DE⊥AB,DF⊥AC .△ADE和△ADF都是直角三角形. 在Rt△AED和Rt△AFD中， (AD =AD, DE =DF. .∴.Rt△AED≌Rt△AFD(HL). .'AE =AF. 又：BE=CF, ∴.AB+AC=AE-BE+AF+CF =AE-CF +AE +CF =2AE. 11.解：(1)AD=AB+CD.证明如下： 如图，过点E作EF⊥AD于点F. D C B :DE平分∠ADC,EC⊥CD,EF⊥DF, ∴.EF=CE. 又：E是BC的中点， .EF=CE=BE. 在Rt△AEF和Rt△AEB中， (AE=AE, EF =EB, ∴.Rt△AEF≌Rt△AEB(HL). ∴.AB=AF 在Rt△DEF和Rt△DEC中， (DE =DE. EF =EC, ·.Rt△DEF≌Rt△DEC(HL). .CD=DF. 又：AB=AF,AD=AF+DF, .AD =AB CD. (2).·Rt△AEF≌Rt△AEB, Rt△DEF≌Rt△DEC, 'SAABE +SADGE=SAAFE +SADEF =SAADE- 由(1)可知 EF=CE=BE=CB=3×8=4, 5aE=号40：BF-7×10x4 =20. ∴.△ABE和△DCE的面积之和为 20. 微专题3三角形全等的四大 常考模型 1.证明：C是AB的中点， .AC CB.