第13章 10.中考热点 新教材数学活动及变式（课堂本）-【零障碍导教导学案】2025-2026学年八年级上册数学（人教版·新教材）

20 数学-八年级上册-RJ 中考热点新教材数学活动及变式 1.(新教材P19数学活动2多边形的三角剖分) 三条线段首尾顺次相接组成三角形，类似地，多条线段首尾顺次相接就组成多边形.容易发 现，三角形是最简单的多边形，那么任意一个多边形是否都能分割成三角形呢？ 把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个 三角形，叫作多边形的三角剖分，如图给出了七边形的三角剖分的几种方法， (1)试着将一个四边形、五边形、六边形进行三角剖分，分别能剖分出多少个三角形？边 形呢？ (2)将一个四边形进行三角剖分，你有多少种剖分方法？五边形呢？ 1751年，瑞土数学家欧拉(Euler,1707一1783)向德国-俄国数学家哥德巴赫(Goldbach,1690 1764)提出了一个n边形的三角剖分有多少种不同方法的问题，并归纳得出了n边形的不同三角剖 分方法数以)的公式后米数字家发夷并证明当n时，，山=请称利用上述公 式，验证你前面得到的结果，并计算六边形、七边形的三角剖分方法数： 2.(变式练习)如图，从多边形的一个顶点出发，分别连接这个多边形的其余各顶点可以把这个 多边形分成若干个三角形.过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所 得的三角形个数的和能为2025吗？若能，求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由 第十三章三角形21 (新教材P18阅读与思考节选) 为什么要证明 李明：我们观察任意一个三角形，量出它的每个内角，都能得出它的内角和等于180°，为什 么还要证明这个结论呢？ 刘老师：通过观察、试验等可以寻找规律，但是由于观察可能有误差，试验可能受干扰，考察 对象可能不具有一般性等原因，一般来说，由观察、试验等所产生的“结论”未必正确.例如，让一 个班的学生每人任意画一个三角形，再量出它的每个内角，计算三个内角的和，得到的结果未必 全是180°，可能有的会比180°大一些，有的会比180°小一些. 李明：现在我明白了，一个数学命题是否正确，需要经过理由充足、使人信服的推理论证才 能得出结论.观察、试验等是发现数学公式、定理的重要途径，而证明则是确认数学公式、定理的 必要步骤. 3.(2024·澄迈县期中)某小组利用活动课进行三角形外角知识的相关研究，制定项目式学习表 如下，请你解答问题： 任务 利用三角形的外角性质进行角度计算和结论探究 日期 2024年10月9日 知识储备 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 问题解决 如图，点D在AB上，点E在BC上，AE,CD相交于点P 题干 (1)若∠A=30°，∠B=40°，∠APC=110°，求∠C的度数； 问题 (2)试猜想∠APC与∠A+∠B+∠C之间的关系，并说明理由 22数学-八年级上册-RJ (新教材25实践活动二确定平面组合图形的重心位置) 平面组合图形由简单平面图形组成，如果能发现平面组合图形的重心位置与被分成的简单平面 图形的重心位置之间的关系，就可以确定平面组合图形的重心位置了.为了更加明确地表达位 置之间的数量关系，可以建立平面直角坐标系，用坐标来研究重心的位置， 4.任务1把一个图形分成两部分，确定这个图形的重心位置与它的两部分的重心位置之间的关系， 通过小组合作活动，选择一个已知重心位置的平面图形，将它分成已知重心位置的两部分，建 立平面直角坐标系，探究图形的重心位置与两部分的重心位置坐标之间的关系， (1)你选择的是什么图形？你是按照什么标准把图形分成两部分的？图形的重心位置和两部 分的重心位置分别位于哪里？ (2)你是如何建立平面直角坐标系的？图形的重心位置的横坐标x、纵坐标y与两部分的重 心位置的横坐标x1,x2、纵坐标y1,y2之间有什么数量关系？例如，能写成“x=( )x1+ ()x2,y=()y1+()y2”的形式吗？两者之间的关系与你选择的分割图形的 标准有关吗？如果不能发现x与x1,x2y与y1,y2之间的关系，换一种方式建立平面直角 坐标系试试看. (3)换一个标准把图形分成两部分，你能得到图形重心位置的横、纵坐标与两部分的重心位置 的横、纵坐标之间的什么数量关系？这种关系是否与前面得到的关系具有一致性？ (4)你能根据前面的探究结论，猜想这个图形的重心位置的横、纵坐标与分成的两部分的重心 位置的横、纵坐标之间的数量关系吗？如果能，你能用式子把这个关系表达出来，并进一 步验证它的正确性吗？如果不能，可能的原因是什么？ 第十三章三角形23 5.任务2确定一个工程用薄板类工件的重心位置 要求：以小组合作的形式，选择一个组合图形的薄板、薄壳工件（或工件的横截面），也可以从 下图提供的工件或横截面中选择一个，通过推理、计算确定它的重心位置， 12 cm 10cm 20 cm 土月 80 cm 30cm 30 cm “L”形角钢的横截面 “Z”形薄板 由小正方形薄板拼接成的薄板 6.(新教材P26实践活动三跳高运动员为什么采用“背越式”（选做）) 如图，当跳高运动员采用“背越式”越过横杆时，成绩往往比采用“跨越式”和“滚式”要好.试 通过查资料、讨论等小组合作活动，探究其中的原因 跨越式 滚式 背越式 24 数学-八年级上册-RJ 中考热点 数学综合与探究、项目式学习 1.探索归纳： (1)如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A,则∠1+∠2= (2)如图2，在△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后形成四边形，则∠1+∠2= (3)如图2，归纳猜想：∠1+∠2与∠A的关系是 (4)若没有剪掉∠A,而是把它折成如图3所示的形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系，并说明 理由 图1 图2 图3 2.(2024·市北区期末)【建立模型】如图1，在∠A内部有一点P,连接BP,CP,求证：∠P=∠1+ ∠A+∠2； 【尝试应用】如图2，利用上面的结论，直接写出五角星中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= 度； 【拓展创新】如图3，将五角星截去一个角后多出一个角，求LA+∠B+∠C+∠D+∠E+∠G 的度数； 【提升思维】如图4，将五角星的每个角都截去，一共得到10个角，则这10个角的和∠A+ ∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠J的度数是 度 图 图4 第十三章三角形25 3.(2024·新荣区期中)【问题呈现】 小明在学习中遇到这样一个问题： 如图1，在△ABC中，∠C>∠B,AE平分BAC,AD⊥BC于点D,猜想∠EAD与∠B,∠C之间的 数量关系 ED ED E BD 图1 图2 图 (1)小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入∠B,∠C的值求∠EAD 的值，得到几组对应值如下表： ∠B/度 10 30 30 20 20 ∠C/度 70 70 60 60 80 ∠EAD/度 30 15 20 30 上表中a= ,于是得到∠EAD与∠B,∠C之间的数量关系为 【变式应用】 (2)小明继续研究，在图2中，∠B=35°，∠C=75°，其他条件不变，若把“AD⊥BC于点D”改 为“F是线段AE上一点，FD⊥BC于点D”,求∠DFE的度数，并直接写出∠DFE与∠B, ∠C之间的数量关系， 【思维发散】 (3)小明突发奇想，交换B,C两个字母的位置，如图3，若把(2)中的“F是线段AE上一点”改 为“F是EA的延长线上一点”，其余条件不变，当∠ABC=88°，∠C=24时，∠F的度数为∠CD0的平分线， :∠ECD=7LACD=65, <C0F=号<G00=20 :∠ECD=∠F+∠CDF, ∴.∠F=∠ECD-∠CDF=45o. (2)不变化.理由如下： :∠A0B=90°， .∠CD0=90°-∠0CD, ∠ACD=180°-∠0CD. :CE是∠ACD的平分线，DF是 ∠CD0的平分线， ACD .LECD =2 =90-2<0D, LCDF-2CD0 :45-合40c0 .:∠ECD=∠F+∠CDF, .·.∠F=∠ECD-∠CDF 0-40m-(6-400 =450. 3.解：(1)∠D+∠B=2∠F.证明如下： 如图，设CD与EF相交于点H,CF与 BE相交于点G. D E B、 4入 C 根据三角形外角性质，可得 ∠D+∠1=∠EHA=∠F+∠3， ∠B+∠4=∠AGC=∠F+∠2. :∠DEA,∠BCA的平分线相交于点F, .∠1=∠2，∠3=∠4， .∠D+∠B=2∠F (2)令∠B=2k, 则∠D=4k,∠F=xk, 由(1)可得2k+4k=2x, 解得x=3. 第8课三角形单元复习 1.D 2.(1)25(2)1<a<5 3.5 4.解：(1)在△ABC中， AB=22,BC=10,AC=2m+2, .22-10<2m+2<22+10. ∴.5<m<15. (2):△ABC为等腰三角形，且当 AC=10时，10+10<22，不能组成三角 形， .AC=22 .△ABC的周长为10+22+22=54. 5.7.26.A 7.解：(1)如图所示 D A E C (2)3(3)3 8.105°9.B 10.360°360°11.135° 12.解：△ABD是直角三角形.理由如下： CE⊥AD,.∠CED=90°. ∴.∠C+∠D=90 ∠A=∠C, ..∠A+∠D=90° ..△ABD是直角三角形 13.①② 14.解：(1)① (2)如图所示.（画法不唯一） ② ③ ④ 15.解：CE平分∠ACB,FD∥EC, ∴.∠ACE=∠BCE=∠D=42°. .∠ACB=42°+42°=84°. 又.·∠A=46°， .∴.∠B=180°-84°-46° =50°. 16.解：(1).·∠B=70°，∠C=30°， .∠BAC=180°-70°-30° =80°. .·AE平分∠BAC .∴.∠BAE=40 .·AD⊥BC,∠B=70° ..∠BAD=90°-∠B=20° ∴.∠DAE=∠BAE-∠BAD 数学·八上·RJ5L☑A·参考答案 =20°. (2)能.理由如下： AE平分BAC, LBME=180°-LB-LC 2 .AD⊥BC ∴.∠BAD=90°-∠B. .∴.∠DAE=∠BAE-∠BAD _180°-∠B-LC-(90°- 2 ∠B) =∠B-LC 2 ∠B-C=40°， .∠DAE=20. 17.解：(1)∠A+∠B=∠C+∠D (2):BF平分LABD,CF平分∠DCA, .设∠ABF=∠DBF=x, ∠ACF=∠DCF=y. 由(1)中结论可得 ∠A+∠ABF=∠ACF+∠F, 即100°+x=y+∠F;① ∠D+∠DCF=∠DBF+∠F, 即100°+y=x+∠F.② ①+②，得2∠F=200°， .∠F=100°. 中考热点新教材数学活动及变式 1.解：(1)将一个四边形、五边形、六边形 进行三角剖分，分别能得到2,3,4个 三角形； 将一个n边形进行三角剖分，能得到 (n-2)个三角形. (2)依题意，得2_4×3-6 D. 3 D4=2 =4×4-6 ,D=5. D. 4 ·.将一个四边形进行三角剖分，有2 种剖分方法，将一个五边形进行三角 剖分，有5种剖分方法，同理，六边形 七边形的三角剖分方法数分别为14， 42. 2.解：能.不难发现，过n边形的一个顶 点有(n-3)条对角线， .n-3+n-2=2025, 解得n=1015. .这个多边形的边数为1015. 3.解：(1)∠A=30°，∠B=40°， ∴.∠AEC=∠A+∠B=70. .∠APC=110°， .∴.∠C=∠APC-∠AEC=40° (2)∠APC=∠A+∠B+∠C.理由如 下： ,∠AEC是△ABE的外角， .∴.∠AEC=∠A+∠B. :∠APC是△PEC的外角， .∠APC=∠AEC+∠C. .∴.∠APC=∠A+∠B+∠C. 4.解：(1)选择的图形为长方形.将长方 形沿平行于宽的方向分成左、右两个 小长方形.原长方形的重心位于其对 角线的交点处，两个小长方形的重心 分别位于其对角线的交点处.（答案不 唯一) (2)如答图1，以长方形的左下角为原 点，长边所在直线为x轴，宽边所在直 线为y轴建立平面直角坐标系. a 答图1 设长方形的长为a,宽为b,左边小长方形 的宽为c(0<c<a),则右边小长方形的宽 为a-c ∴.左边小长方形的面积为S,=bc,其重 心的坐标为（分受）月 右边小长方形的面积为S2=b(a-c), 其重心的坐标为(e+2,) 兰号) 整个长方形重心的坐标为（受，合） “t=S+S5 S1+S2 c·分+6(a-e）.a2 2 = bc+b(a-c） 这与整体重心的横坐标一致； y=9+S4 S1+S2 e,2+b(a-e） b = bc+b(a-c) 这与整体重心的纵坐标一致 S2 =a. y=sy+sya. (其中S=S,+S2) 这种关系与分割图形的标准无关，是 重心的普遍性质。 (3)如答图2，将长方形沿平行于长的方 向分成上、下两部分： V本 d a 答图2 设下部分的高度为d(0<d<b),则上 部分的高度为b-d. 同(2)可得 x=Sx+S S1+S2 ad:受+a(6-d):受 ad+a(b-d) y=Sin+Sin S1+S2 2+a(b-d).6+d ad. 2 ad+a(b-d) 这种关系与前面得到的关系具有一致 性 (4)猜想：对于任意平面图形分成两部 3 分，其整体重心的坐标为 S. x=3+3y=31+了： (重心的坐标=各部分的（面积×坐 标)之和÷总面积) 验证如下：将长方形沿一条对角线（左 下到右上)分为两个三角形， 则两个三角形的重心坐标分别为 (0*ga,0+9+）-(3号） 3,3 9,9)-(号) 1b.aab·3-a, 2 32 .x= ab+ ab 1 2、2ab·32ab·3b ab ab=2, 这与整个矩形的重心（受，受致， .猜想成立 5.解：选择由小正方形薄板拼接成的薄 板.将其划分3个长方形，并建立如答 图所示的平面直角坐标系，则这3个 长方形重心的坐标分别为(40,40)， (100,50),(140,20) 数学·八上·RJ6LZA·参考答案 y/cmA 80 80120160i/cm 答图 设重心的坐标为(x,y),则 x=80×80×40+40×10×100+40x40×140 80×80+40×100+40×40 =80000220 12000=3, y-80×80×40+40×100×50+40x40x20 80×80+40×100+40×40 12000 .由小正方形薄板拼接成的薄板重心的 坐标为停，号》) 6.解：在越过相同高度的横杆时，背越式 跳高运动员的身体可以弯曲成弓形， 使重心在背部以下的身体外，横杆的 高度在重心之上.而跨越式和滚式跳 高运动员在越过横杆时，身体大部分 在横杆之上，重心也在横杆之上且相 对更高.重心越低，运动员越过横杆所 需的能量就越少，也就更容易越过更 高的高度，有助于提高成绩.（答案不 唯一) 中考热点数学综合与探究、 项目式学习 1.解：(1)270°(2)220° (3)∠1+∠2=180°+∠A (4)∠1+∠2=2∠A.理由如下： ·.·△EFP是由△EFA折叠得到的， ..∠AFE=∠PFE, ∠AEF=∠PEF .∠1=180°-2∠AFE, ∠2=180°-2∠AEF. .∠1+∠2 =360°-2（∠AFE+∠AEF) 又：∠AFE+∠AEF=180°-∠A, .∠1+∠2=360°-2(180°-∠A) =2∠A. 2.【建立模型】证明：如图1，延长BP交 AC于点M, A 图1 .∠BPC=∠1+∠PMC ∠PMC=∠A+∠2， .∠BPC=∠1+∠A+∠2. 【尝试应用】解：如图2，设BD与CE 相交于点N, 图2 同【建立模型】，得 ∠CND=∠A+∠C+∠D. .·∠BNE=∠CND ∴.∠BNE=∠A+∠C+∠D, 在△BEN中， ∠BNE+∠B+∠E=180°， .∠A+∠C+∠D+∠B+LE= 180°. 故答案为180. 【拓展创新】解：如图3，延长CA与DG的 延长线相交于点飞， D 图3 ∠CAG=180°-∠KAG, ∠DGA=180°-∠KGA, ∴.∠CAG+∠DGA=360°-（∠KAG+ ∠KGA) 在△K4G中， ∠KAG+∠KGA=180°-∠K, .∠CAG+∠DGA=360°-(180°-∠K) =180°+∠K 同【尝试应用】，得 ∠K+∠B+∠C+∠D+∠E=180° .∠CAG+∠B+∠C+∠D+∠E+ ∠DGA=180°+∠K+∠B+∠C+ ∠D+∠E=180°+180°=360°. 【提升思维】解：由【拓展创新】得，当 五角星截去一个角后多出一个角时， 此时所有角的和的度数比五角星的内 角和多出180°， ∴.当五角星截去五个角后多出五个 角，此时所有角的和的度数为 180°+5×180°=1080°. 故答案为1080. 3解：(1)20∠EAD=(∠C-∠B) (2)如图2，过点A作AG⊥BC于点G, EDGC 图2 .·FD⊥BC,AG⊥BC ..FD∥AG .∠DFE=∠EAG. ∠B=35°，∠C=75°， .∠BAC=180°-∠B-∠C=70°， ∠BAG=90°-∠B=55. ·:AE平分∠BAC, A∠BME=LCM=7∠BAC=350 ..∠EAG=∠BAG-∠BAE=20°. .∠DFE=20° 由(I)知∠BAG=(∠C-∠B), ∠DFE=(LC-∠B), (3)如图3，过点A作AG⊥BC于点G E GBD 图 FD⊥BC,AG⊥BC, .AG∥FD. .∠EAG=∠F. 同理可得 ∠BMG=2(LABC-∠G, ∠F=(LABC-LC) =7×(80-240) =32°. 故答案为32. 第十四章全等三角形 第1课全等三角形及其性质 知识点1 完全重合形状大小 1.A2.B 知识点2 完全重合ABC DEF相等相等 3.(1)△ADC(2)ADDC (3)LDAC∠D 4.△C0 D OC CD LC D 5.证明：(1).△ABC≌△DEF, .∠B=LDEF. .AB∥DE. 数学·八上·RJ7L☑A·参考答案 (2)△ABC≌△DEF, ∴.BC=EF BE=BC-EC,CF=EF-EC, .BE=CF. 6.证明：(1)：△ABC≌△DEF, ∴.∠ACB=∠DFE .AC∥DF (2)△ABC≌△DEF, .BC=EF. .BC+CE EF +CE. 即BE=CF 7.证明：(1)：△ABC≌△ADE, .∠1=∠2. (2).∠1=∠2 .∠1+∠CAD=2+∠CAD, 即∠BAD=∠CAE. 8.证明：(1)△ABC≌△ADE, .∠BAC=∠DAE. ∴.LBAC-LDAC=∠DAE-∠DAC .∠1=∠2. (2).·△ABC≌△ADE, ∠B=LD. ·∠D+∠3=∠1+∠B, .∠1=∠3. 9.(1)4(2)389 10.解：(1)BDAD (2)△ABC≌△BAD, ∴.∠ABD=∠BAC=65 .∠CBD=∠ABD-∠ABC =65°-26°=39° ∠AEB=180°-∠BAC-∠ABD=50° 11.解：(1)由折叠可知△BDE兰△BDC, BC的对应边是BE,CD的对应边是 ED,BD的对应边是BD. (2)角平分∠A+∠ADE=∠C (3)7cm 12.(1)解：由旋转可知△EBC≌△ABD, .'EB=AB=3 cm, BD =BC=5 cm. .DE=BD-BE =2(cm). (2)证明：A,B,C三点在同一条直 线上，△EBC≌△ABD, ∴.LABD=∠CBD=90. ..BD⊥AC (3)证明：如图，延长CE交AD于点 F