培优01 三角形8大题型（大单元专项训练）数学人教版2024八年级上册

专题01 三角形 目录 A题型建模・专项突破 题型一、 作图问题 1 题型二、 三角形三边关系 2 题型三、 分类讨论思想的应用 3 题型四、 三角形的面积问题 4 题型五、 三角形的中线、高和角平分线 7 题型六、 三角形的折叠问题 8 题型七、 三角形的内角和外角 9 题型八、 三角形的综合探究 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、作图问题 1．小涵求的面积时，作了边上的高，下列作图正确的是（   ） A．B．C． D． 2．如图，△ABC中BC边上的高是（    ） A．BD B．AE C．BE D．CF 3．如图，在中，关于高的说法正确的是（    ）    A．线段是边上的高 B．线段是边上的高 C．线段是边上的高 D．线段是边上的高 4．如图，在中，，点是线段上异于点和点的一点，连接，过点作交于点，过点作交于点，则下列说法中，错误的是（    ）    A．中，边上的高是 B．中，边上的高是 C．中，边上的高是 D．中，边上的高是 5．数学课上同学们用三角板作三角形的高，有四位同学的作法如下，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，边上的高线是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 故选D． 题型二、三角形三边关系 7．若一个三角形的两边长分别为3和9，则第三边长可能是（    ） A．6 B．3 C．2 D．11 8．如图，已知点是直线上的一点，点在直线的上方，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于另一点若，则的长不可能是（    ） A． B． C． D． 9．为估计池塘两岸、间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 10．如图，，两点分别位于一个池塘的两端，小丽在池塘的一侧选取点，测得，，那么，间的距离可能是（ ） A． B． C． D． 11．如图，数轴上，两点到原点的距离分别是三角形两边的长，则该三角形第三边的长可能是（   ） A．1 B．4 C．7 D．8 12．三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（   ） A．2 B．3或5 C．4或5 D．6 13．已知三角形的三边长为3，5，，则化简的结果为 ． 14．已知一个三角形的边长均为整数，且其中两条边长分别和，则第三边的长度可能是 ．（写出满足条件的一个答案即可） 15．若的两条边分别长和，第三边的长是一个奇数，则第三边长 ． 16．若三角形的三边分别为，则a的取值范围是 ． 题型三、 分类讨论思想的应用 17．等腰三角形两边的长分别为和，则这个三角形的第三边是（   ） A． B． C． D．无法确定 18．如图，这是一个三角形裁剪后剩余的部分图形，则原三角形不可能为（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 19．等腰三角形的底边长为16，则腰长的取值可以为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 20．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为（    ） A． B． C．或 D．或 21．若等腰三角形两边长为，，则周长可以是 cm． 22．已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是 ． 23．如果等腰三角形的一边长是，另一边长是，那么这个等腰三角形的周长为 ． 24．（1）等腰三角形的两边长分别为、，其周长为 ； （2）若等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长为 ． 25．已知的高与的夹角分别是和，则的度数是 ． 26．为的中线，为的高，的面积为，，，则的长为 ． 题型四、三角形的面积问题 27．如图，在中，，，分别是，，的中点，，则阴影部分的面积等于（ ） A． B． C． D． 28．如图，中，点E是上的一点，，点D是中点，若，则的值为（　　） A．9 B．12 C．18 D．24 29．如图，是的中线，是的中线，是的中线，若，则等于（　　）    A．16 B．14 C．12 D．10 30．如图，△ABC中，点D是AB边上的中点，点E是BC边上的中点，若SABC12，则图中阴影部分的面积是(　　　)    A．6 B．4 C．3 D．2 31．如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是24，则△ABE的面积是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 32．如图，是边上的点，，，设的面积为，的面积为，若的面积为12，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．不能确定 33．如图，在中，点、分别在、边上，是的中点，，与相交于点，，则的面积为（   ）    A．9 B．12 C．8 D．10 34．如图，在中，E是上的一点，，点D是的中点，设，的面积分别为，且，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 35．如图，在中，D、E、F分别是、、的中点，若的面积是40，则四边形的面积是（　　） A．10 B．12.5 C．15 D．20 36．如图是一块面积为的三角形纸板，其中点分别是线段的中点，则阴影部分的面积是 ． 37．如图，D、E分别是的边、的中点，连接、，则： ． 题型五、三角形的中线、高和角平分线 38．如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 39．已知命题：“三角形三条高线的交点一定在三角形的内部．”琪琪想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．任意三角形 40．如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 41．在中，是中线，与的周长差为7．若，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．15 42．已知是的中线，若与的周长分别为，，则 ． 43．如图，在中，于点D，平分，交于点F，，求证：． 44．如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多，的周长为，且，求的长． 45．在中： （1）如图，若，，边上的高，交于点O．求的度数； （2）若为钝角，，边上的高，所在直线交于点O，画出图形，并用量角器量一量，可知 ，用你已学过的数学知识加以说明； （3）由（1）（2）可以得到什么结论，尝试写出来． 题型六、三角形的折叠问题 46．如图，将直角三角形纸片的直角C沿折叠，点C落在纸片内部的点P处．如果，则的度数是（   ） A． B． C． D． 47．如图，在中，，，点在边上，将沿折叠，使点落在边上的点处，则的度数为 ． 48．如图，在中，，，D、E分别在、上，将沿折叠得，且满足，则 ．    49．如图，把三角形纸片折叠，使得点，点都与点重合，折痕分别为，，若，则 度． 50．如图所示，在数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片沿向上折叠，点落在点处，当时， 度． 题型七、三角形的内角和外角 51．在“三角形拼角”实验中，明明把一副三角尺按如图所示的方式放置，则（   ） A． B． C． D． 52．如图，在中，是上一点．连接．则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 53．如图，的大小等于（   ） A． B． C． D． 54．如图，从A处观测C处的仰角，从B处观测C处的仰角，从C处观测A，B两处的视角的度数是（　　） A． B． C． D． 55．一把直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 56．如图，已知直线，，，则的度数为（ ）． A． B． C． D． 57．如图，在中，D是延长线上一点，的平分线与的平分线相交于点E．当，时，的度数为 ． 58．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则 °． 题型八、 三角形的综合探究 59．已知三角形的三边长分别为3，8，． (1)求的取值范围； (2)若为偶数，则组成的三角形的周长最小是多少？ 60．（1）已知的三边长分别为a，b，c．化简：； （2）一个等腰三角形的周长为，一边长为，求另两边的长． 61．如图，中，，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，点B落到点处，恰有，求的度数． 62．如图，在中，平分交于点，点在边上，连接，已知． (1)请说明：； (2)若，，求的度数． 63．如图，在中，P是线段上的一个动点，且不与B，C重合，，． (1)已知，． ① ； ②若，则 ； (2)如图②，已知，作，试探究，，之间的关系． 1．在等腰三角形中，，若中线将该三角形的周长分为5和3两个部分，则该等腰三角形的底边长为（    ） A． B．4 C．或4 D．或4 2．如图，分别延长的边，使得．若的面积为1，则的面积为（   ） A．14 B．12 C．11 D．10 3．在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落在上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 4．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，腰的长为6，则的周长为 ． 5．如图，在中，于点，，为边上一动点，连接，则的最小值为 ． 6．如图，将长方形纸片依次折叠两次：第一次以为折痕，使点A落在上的点E处；第二次以为折痕，使点N与点E重合，点B落在点处．若，则的度数为 ． 7．如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，依此下去，若，则为 ． 8．等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是_______； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是________； (3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值． 9．已知：点在射线上，． (1)如图，若，求证：； (2)如图，若，，请探究与的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明； (3)如图，在（）的条件下，过点作交射线于点，当时，求的度数（直接写出答案即可）． 10．如图，已知直线． (1)如图，求证：． (2)如图，点在、之间，连接、，平分，平分，，求与之间的数量关系． (3)如图，点为直线，之间一点，且在内部，点为直线上一点，连接，，，当恒成立时， ______． 11．已知，点A，B分别在射线，上移动（不与点O重合），平分，平分，（或其反向延长线）与交于点C． (1)如图①，若，试猜想的度数，并直接写出结果； (2)如图②，若，问：当点A，B在射线，上运动的过程中，的度数是否改变？若不改变，求出其值（用含的式子表示）；若改变，请说明理由． 12．根据以下探究过程，完成所提出的问题． (1)探究1：如图1，在中，平分，平分，与相交于点P，若，则________度． (2)探究2：如图2，与是的两个外角，平分，平分，与相交于点P，求与的数量关系． (3)拓展：如图3，与是四边形的两个外角，平分，平分，和相交于点P，设． ①求出与α的数量关系； ②根据α的值的情况，判断的形状（按角分类）． 13．【问题情景】如图①，有一块直角三角板放置在上（点在内），三角板的两条直角边、恰好分别经过点和点． 【特例探究】 （1）若，则，，； 【类比探究】 （2）请猜想与的关系，并进行证明； 【类比延伸】 （3）如图②，改变直角三角板的放置方式，使点P在外，其两条直角边，分别经过点C和点B，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出新的结论． 14．如图，在平面直角坐标系中，点，且a，b满足，线段向上平移k个单位长度得到线段． (1)求点A，B的坐标； (2)若点P在x轴上．且，求满足条件的点P的坐标； (3)当点F，E分别为线段上任意一点时，，点G为线段与之间一点，连接， ，试猜想与的数量关系，并说明理由． 15．问题1：如图，我们将图1所示的凹四边形称为“镖形”，在“镖形”图中，与、、的数量关系为． 问题2：如图2，已知平分，平分，，，求的大小；小明认为可以利用“镖形”图的结论解决上述问题： 由问题1结论得：，所以， 即；因为分别是，的外角，所以 ，________．所以． 所以________ 所以．因为，，所以________ 请帮助小明完善上述说理过程，并尝试解决下列问题（问题1、问题2中得到的结论可以直接使用，不需说明理由）； 解决问题1：如图3，已知平分的外角，平分的外角，猜想与、的关系为什么？（四边形内角和为，可直接运用）请加以证明． 解决问题2：如图4，已知直线平分，平分的外角，，，求出为多少度？ 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形 目录 A题型建模・专项突破 题型一、 作图问题 1 题型二、 三角形三边关系 4 题型三、 分类讨论思想的应用 7 题型四、 三角形的面积问题 11 题型五、 三角形的中线、高和角平分线 19 题型六、 三角形的折叠问题 24 题型七、 三角形的内角和外角 27 题型八、 三角形的综合探究 31 B综合攻坚・能力跃升 题型一、作图问题 1．小涵求的面积时，作了边上的高，下列作图正确的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查画三角形的高，根据三角形的高线的定义，作边上的高即过点向边引垂线，垂足为即可． 【详解】解：由题意，作图正确的是： 故选D． 2．如图，△ABC中BC边上的高是（    ） A．BD B．AE C．BE D．CF 【答案】B 【分析】三角形高的定义是：从三角形的一个顶点向对边引垂线，从顶点到垂足之间的线段是三角形的高，据此可判断． 【详解】∵BC边对应的顶点是A，AE⊥BC， ∴AE是BC边上的高． 故选：B． 3．如图，在中，关于高的说法正确的是（    ）    A．线段是边上的高 B．线段是边上的高 C．线段是边上的高 D．线段是边上的高 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的高的定义．根据“三角形的一个顶点到对边的垂线段叫做三角形的高”对各选项分析判断即可求解． 【详解】解：观察图形知，，， ∴线段是边上的高，线段是边上的高，线段是边上的高， 观察四个选项，A选项符合题意． 故选：A． 4．如图，在中，，点是线段上异于点和点的一点，连接，过点作交于点，过点作交于点，则下列说法中，错误的是（    ）    A．中，边上的高是 B．中，边上的高是 C．中，边上的高是 D．中，边上的高是 【答案】C 【分析】根据三角形的高的定义进行判断即可． 【详解】解：过点作交于点，， 中，边上的高是，边上的高是， A、B两个选项说法正确，不符合题意； 交于点， 中，边上的高是，边上的高是， C选项说法错误，符合题意；D选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的高：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．注意：锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 5．数学课上同学们用三角板作三角形的高，有四位同学的作法如下，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高的定义，三角形的高的定义是从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段，由此逐项判断即可得出答案，熟练掌握三角形的高的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、不满足三角形的高的定义，故不符合题意； B、不满足三角形的高的定义，故不符合题意； C、不满足三角形的高的定义，故不符合题意； D、满足三角形的高的定义，故符合题意； 故选：D． 6．如图，在中，边上的高线是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．据此解答即可． 【详解】解：A．线段是边上的高，故不符合题意； B．线段不是任何边上的高，故不符合题意； C．线段是边上的高，故不符合题意； D．线段是边上的高，符合题意； 故选D． 题型二、三角形三边关系 7．若一个三角形的两边长分别为3和9，则第三边长可能是（    ） A．6 B．3 C．2 D．11 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系；根据三角形三边关系定理，第三边必须大于两边之差且小于两边之和． 【详解】解：设第三边长为，根据三角形三边关系： ，即． 因此，第三边长可能是11， 故选：D． 8．如图，已知点是直线上的一点，点在直线的上方，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于另一点若，则的长不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理； 三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，即可得到答案． 【详解】解：连接， 由题意得到， 由三角形三边关系定理得到， ， 的长不可能是， 故选：D． 9．为估计池塘两岸、间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，根据三边关系求出的取值范围是解题的关键． 首先确定三角形的两边是，，再根据三角形三边关系确定的取值范围，判断即可． 【详解】解：根据三角形三边关系得：， 即， 所以的距离不能是， 故选：D． 10．如图，，两点分别位于一个池塘的两端，小丽在池塘的一侧选取点，测得，，那么，间的距离可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，即可得到答案． 【详解】解：由三角形三边关系定理得到：， ， ， ，间的距离可能是． 故选：C． 11．如图，数轴上，两点到原点的距离分别是三角形两边的长，则该三角形第三边的长可能是（   ） A．1 B．4 C．7 D．8 【答案】B 【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离，三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 直接利用数轴得出三角形的两边长，进而得出第三边取值范围，进而得出答案． 【详解】解：由数轴可得：A到原点距离为2，B到原点距离为5， ∵数轴上A、B两点到原点的距离是三角形两边的长， ∴设该三角形第三边长为x， 则x的取值范围是：， ∴． 故选：B． 12．三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（   ） A．2 B．3或5 C．4或5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，设第三根小棒的长度是，根据题意，可得，再由图中挡板高度进一步确定，结合选项即可得到答案．熟记三角形三边关系是解决问题的关键． 【详解】解：有图可知，一根小棒的长度为，一根小棒的长度为， 设第三根小棒的长度是，若三根小棒可以围成三角形， 则由三角形三边关系可知， 即， 再由图中挡板高度为，则， 结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4或5， 故选：C． 13．已知三角形的三边长为3，5，，则化简的结果为 ． 【答案】8 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，此类求范围的问题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式组，然后解不等式组即可．根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；可得a的取值范围，进而得到化简结果． 【详解】解：由三角形三边关系定理得， 解得． ∴． 故答案为：8 14．已知一个三角形的边长均为整数，且其中两条边长分别和，则第三边的长度可能是 ．（写出满足条件的一个答案即可） 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边、两边之差小于第三边成为解题的关键． 先根据三角形三边关系确定第三边的取值范围，然后确定第三边可能取值即可． 【详解】解：已知三角形两条边为和，设第三边为， 则：，即 ， 因为边长为整数， 所以可以取、、、、中任意一个，比如取． 故答案为：4（不唯一）． 15．若的两条边分别长和，第三边的长是一个奇数，则第三边长 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求出第三边长的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵的两条边分别长和， ∴第三边长， ∵第三边的长是一个奇数， ∴第三边长， 故答案为：3． 16．若三角形的三边分别为，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形中任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边成为解题的关键． 根据三角形的三边关系列不等式组求解即可． 【详解】解：∵三角形的三边分别为， ∴，即． 故答案为：． 题型三、 分类讨论思想的应用 17．等腰三角形两边的长分别为和，则这个三角形的第三边是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，掌握知识点的应用是解题的关键． 分当为底边时，第三边长为和当为底边时，第三边长为两种情况，分类进行讨论即可． 【详解】解：当为底边时，第三边长为， 因为，故不能构成三角形； 当为底边时，第三边长为， 因为，故能构成三角形， 所以第三边长为， 故选：． 18．如图，这是一个三角形裁剪后剩余的部分图形，则原三角形不可能为（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查三角形的内角和定理和三角形的分类，会应用三角形的内角和定理和三角形的分类求解是解答的关键. 根据三角形的内角和定理和三角形的分类判断即可. 【详解】解：等边三角形的每一个内角均为，由图可知该三角形有一个内角为，故不可能为等边三角形，故选项D符合题意. 故选：D． 19．等腰三角形的底边长为16，则腰长的取值可以为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰定义，三角形三边关系的应用，根据三角形三边关系求解即可． 【详解】解：设腰长为，则， ． 故选：D． 20．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题考查了等腰三角形的两腰相等的性质，此题分为两种情况：是等腰三角形的底边或是等腰三角形的腰．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．同时注意三角形的三边关系． 【详解】解：当是等腰三角形的底边时，则其腰长是，能够组成三角形； 当是等腰三角形的腰时，则其底边是，能够组成三角形． 故选：C． 21．若等腰三角形两边长为，，则周长可以是 cm． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系，“分类讨论”的数学思想是解题关键．分情况讨论：腰长为，底为；腰长为，底为，先判断是否构成三角形，再计算周长即可． 【详解】解：当腰长为，底为，，不能构成三角形； 当腰长为，底为，周长． 故答案为：． 22．已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是 ． 【答案】17 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、构成三角形的条件、非负数的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据非负数的性质得到则，再分腰长为3和7两种情况，根据构成三角形的条件验证是否能构成三角形，最后根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当腰长为3时，则该等腰三角形的三边长为3，3，7， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为7时，则该等腰三角形的三边长为3，7，7， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴该等腰三角形的周长为：17． 故答案为17． 23．如果等腰三角形的一边长是，另一边长是，那么这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】/25厘米 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分腰长为和腰长为两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当腰长为时：，不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为时，，能构成三角形， 此时三角形的周长为：； 故答案为：． 24．（1）等腰三角形的两边长分别为、，其周长为 ； （2）若等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长为 ． 【答案】 32 13或14 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为时，②当腰长为时，解答出即可． （2）根据等腰三角形的性质，分为当腰长为时，腰长为时，解答出即可． 【详解】解：（1）由题意知，应分两种情况： 当腰长为时，三角形三边长为，不能构成三角形； 当腰长为时，三角形三边长为6，13，13，能构成三角形，周长． 故答案为：32． （2）∵三角形是等腰三角形，两条边长分别为和， ∴三角形三边可以是、或、， ∴三角形的周长为或， 故答案为：13或14． 25．已知的高与的夹角分别是和，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查三角形的高的特征．分两种情况讨论求解即可：①当D在线段上时，②当D在线段的延长线上时． 【详解】解：①当D在线段上时，如图1，； ②当D在线段的延长线上时，如图2，． 故答案为：或． 26．为的中线，为的高，的面积为，，，则的长为 ． 【答案】4或8/8或4 【分析】本题考查三角形的高、中线和面积，注意高可在三角形的内部和外部是解题的关键．利用面积法求出，即可求得，再分在内部和外部，求出即可． 【详解】解：为的高，的面积为12，， ， ∴， ∵为的中线， ∴， 当在内部时，如图所示： ∵， ∴； 当在外部时，如图所示： ∵， ∴； 综上分析可知：的长为4或8． 故答案为：4或8． 题型四、三角形的面积问题 27．如图，在中，，，分别是，，的中点，，则阴影部分的面积等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的面积，三角形中线的性质等知识点，根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，即可得出结果，熟练掌握三角形中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解决此题的关键． 【详解】解：∵E是的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， 故选：B． 28．如图，中，点E是上的一点，，点D是中点，若，则的值为（　　） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的面积计算．本题需先分别求出，再根据即可求出结果． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 故选：A． 29．如图，是的中线，是的中线，是的中线，若，则等于（　　）    A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】A 【分析】根据三角形中线平分三角形面积进行求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形中线与三角形的面积关系，关键是掌握三角形中线把三角形面积平分． 30．如图，△ABC中，点D是AB边上的中点，点E是BC边上的中点，若SABC12，则图中阴影部分的面积是(　　　)    A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】作交AB于点F，作交BC于点G，利用中点的性质即可求出的面积，同理可求出阴影部分面积. 【详解】解：作交AB于点F，作交BC于点G，    点D是AB边上的中点 点E是BC边上的中点 所以阴影部分的面积为3. 故选：C. 【点睛】本题考查了和中点有关的三角形的面积，灵活的利用中点的性质表示三角形的面积间的关系是解题的关键. 31．如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是24，则△ABE的面积是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据三角形的中线的性质，得△ABE的面积是△ABD的面积的一半，△ABD的面积是△ABC的面积的一半，由此即可解决问题； 【详解】解：∵AD是△ABC的中线， ∴， ∵CE是△ABD的中线， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的面积，三角形的中线的性质等知识，解题的关键是掌握三角形的中线把三角形的面积分成了相等的两部分． 32．如图，是边上的点，，，设的面积为，的面积为，若的面积为12，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了等底同高三角形的面积关系，三角形中线的性质，如果两个三角形等底同高，那么这两个三角形的面积之比等于对应的底边之比． 先根据等底同高三角形的面积关系分别求出和，再证明即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． 故选：B． 33．如图，在中，点、分别在、边上，是的中点，，与相交于点，，则的面积为（   ）    A．9 B．12 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，三角形中线平分三角形面积，据此可得，再求出，则． 【详解】解：∵是的中点，， ∴， ∵，即 ∴， ∴（等高三角形的面积之比等于底边长之比）， 故选：C． 34．如图，在中，E是上的一点，，点D是的中点，设，的面积分别为，且，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，则S△AEC=S△ABC=12，S△BCD=S△ABC=9，然后利用S△AEC-S△BCD=3即可得到答案． 【详解】解：∵EC=2BE， ∴S△AEC=S△ABC=×18=12， ∵点D是AC的中点， ∴S△BCD=S△ABC=×18=9， ∴S△AEC-S△BCD=3， 即S△ADF+S四边形CEFD-（S△BEF+S四边形CEFD）=3， ∴S△ADF-S△BEF=3． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=×底×高；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 35．如图，在中，D、E、F分别是、、的中点，若的面积是40，则四边形的面积是（　　） A．10 B．12.5 C．15 D．20 【答案】C 【分析】三角形的一条中线把原三角形分成面积相等的两个小三角形，由此可解． 【详解】解：D、E、F分别是、、的中点， ，，， ， D、F分别是、的中点， ， ， 四边形BDEF的面积， 故选C． 【点睛】本题考查三角形中线的性质，解题的关键是掌握“三角形的一条中线把原三角形分成面积相等的两个小三角形”． 36．如图是一块面积为的三角形纸板，其中点分别是线段的中点，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形面积，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 根据每条中线将三角形分为面积相等的两部分，计算即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵点D、E、F分别是线段的中点 ∴，，， ∴，，，，，， ∴被分为7个面积相同的三角形，中间阴影部分的三角形的面积是的，所以阴影部分的面积是． 故答案为：． 37．如图，D、E分别是的边、的中点，连接、，则： ． 【答案】 【分析】本题考查三角形中线的判定和性质，连接顶点和对边中点的线段是三角形的中线，中线把三角形面积分成相等的两个部分；由中线可得与面积相等，与面积相等，即的面积是面积的． 【详解】解：、分别是的边、的中点， 是的中线，是的中线， ，，     ． 故答案为： ． 题型五、三角形的中线、高和角平分线 38．如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 【答案】C 【分析】本题考查三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．利用已知条件和三角形中线即可判断出A选项的正误；利用已知条件和角平分线的定义即可判断出B选项的正误；利用角平分线的性质只能得到，但没有办法得到，可判断出C选项错误；由三角形的高线的定义，可判断D． 【详解】解：∵，即点E为中点， ∴是的中线，故A正确，不符合题意； ∵平分， ∴是的角平分线，故B正确，不符合题意； ∵平分， ∴． ∵，， ∴，故C错误，符合题意； ∵，即， ∴是的高，故D正确，不符合题意． 故选C． 39．已知命题：“三角形三条高线的交点一定在三角形的内部．”琪琪想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．任意三角形 【答案】B 【分析】本题考查了举反例证明命题是假命题，根据钝角三角形的三条高线所在直线的交点在三角形的外部进行判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、锐角三角形三条高线的交点在三角形的内部，不在外部，不符合反例要求； 、钝角三角形三条高线的交点在三角形外部，符合反例要求； 、等边三角形三条高线的交点在三角形的内部，不在外部，不符合反例要求； 、任意三角形三条高线的交点为可能为直角顶点或在三角形外部或在三角形的内部，不符合反例要求； 故选：． 40．如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是点到直线的距离，等面积法的应用，先求解，结合，从而可得答案. 【详解】解：在中，，根据三角形面积公式高， ． ，， ． ， ． ． 解得． 点到直线的距离是． 故选：A． 41．在中，是中线，与的周长差为7．若，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．15 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：是△的中线， ， 与的周长差为7， ， ， ， ， 故选：B． 42．已知是的中线，若与的周长分别为，，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形的中线的性质，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键．证明，进一步计算周长差即可. 【详解】解：如图：   是的中线， ， ∵与的周长分别为，， ①， ②， 得：， 故答案为：9． 43．如图，在中，于点D，平分，交于点F，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，与高有关的计算题，对顶角相等，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据角平分线的定义，得，结合，，故，最后根据对顶角相等，则． 【详解】证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 44．如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多，的周长为，且，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查了三角形的中线三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，以及构造二元一次方程组解决问题． 根据中线的定义得到，再根据周长之差化简可得，结合已知计算即可，然后根据的周长为，且，得到，再构造二元一次方程组求解即可． 【详解】解：是边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长多， ∴， ∵的周长为，且， ∴， ∴， 解得：， ∴的长为． 45．在中： （1）如图，若，，边上的高，交于点O．求的度数； （2）若为钝角，，边上的高，所在直线交于点O，画出图形，并用量角器量一量，可知 ，用你已学过的数学知识加以说明； （3）由（1）（2）可以得到什么结论，尝试写出来． 【答案】（1）；（2）画图见解析；；说明见解析；（3）无论是锐角还是钝角，总有 【分析】本题考查了三角形内角和定理、垂线的定义、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂线的定义得出，由三角形内角和定理得出，再根据三角形外角的定义及性质即可得出答案； （2）由垂线的定义得出，再由三角形内角和定理得出，由三角形外角的定义及性质得出，即可得解； （3）根据（1）、（2）直接得出结论即可． 【详解】（1）解：∵，边上的高，交于点O． ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图所示： ，理由如下： ∵，边上的高，所在直线交于点O， ∴， ∵，， ∴； （3）由（1）（2）可以得到结论：无论是锐角还是钝角，总有． 题型六、三角形的折叠问题 46．如图，将直角三角形纸片的直角C沿折叠，点C落在纸片内部的点P处．如果，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的折叠问题，注意折叠前后的两个图形完全重合．由折叠可得：，，再根据三角形的内角和求出，最后根据平角数为定义即可求解． 【详解】解：由翻折得到，， ，， ， ． 故选：D． 47．如图，在中，，，点在边上，将沿折叠，使点落在边上的点处，则的度数为 ． 【答案】/24度 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质，解题的关键是灵活运用所学知识进行倒角，属于中考常考题型．根据三角形内角和定理得，再根据折叠的性质得，再根据三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：，， ， 沿折叠得到， ， 是的一个外角， ． 故答案为：． 48．如图，在中，，，D、E分别在、上，将沿折叠得，且满足，则 ．    【答案】/71度 【分析】本题考查了直角三角形的性质，图形的折叠，平行线的性质，三角形的外角性质．先求出，根据折叠的性质得到，，由平行线的性质得到，，推出，然后根据平角的定义得，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 49．如图，把三角形纸片折叠，使得点，点都与点重合，折痕分别为，，若，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和，以及折叠的性质，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键． 根据三角形的内角和得到，再根据折叠的性质可得，即可求解． 【详解】解：， ， 三角形纸片折叠，使得点、都与点A重合， ， ， ， 故答案为：． 50．如图所示，在数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片沿向上折叠，点落在点处，当时， 度． 【答案】 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及平行线性质、折叠性质、外角性质等知识，熟练掌握三角形中求角度的方法是解决问题的关键．先由平行线得到，再由折叠性质得到，从而求出，再由三角形外角性质求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∵是的外角， ∴， 故答案为：． 题型七、三角形的内角和外角 51．在“三角形拼角”实验中，明明把一副三角尺按如图所示的方式放置，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的外角的性质，根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 52．如图，在中，是上一点．连接．则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查三角形的外角问题，关键是根据三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角解答．根据三角形的外角性质进行解答即可． 【详解】解：因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 即， 故选：D． 53．如图，的大小等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，据此即可解答． 【详解】解：， ， 故选：D． 54．如图，从A处观测C处的仰角，从B处观测C处的仰角，从C处观测A，B两处的视角的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理． 根据平角的定义得到，再根据三角形内角和计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， 故选：B． 55．一把直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，准确识图是解题的关键． 根据三角形外角的性质求出，然后根据两直线平行，同位角相等求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵直尺的两边互相平行， ∴， 故选：C． 56．如图，已知直线，，，则的度数为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． 先根据三角形外角的性质求出的度数，再由平行线的性质求解即可． 【详解】解：，， ， ， ． 故选：A． 57．如图，在中，D是延长线上一点，的平分线与的平分线相交于点E．当，时，的度数为 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了三角形的外角性质和角平分线的定义，根据角平分线的定义和外角的性质，得的度数，最后根据三角形的外角性质可得的度数． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 58．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则 °． 【答案】20 【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形的外角性质．如图，由平行线的性质可求得，结合三角形外角的性质可求得． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：20． 题型八、 三角形的综合探究 59．已知三角形的三边长分别为3，8，． (1)求的取值范围； (2)若为偶数，则组成的三角形的周长最小是多少？ 【答案】(1) (2)17 【分析】此题考查了三角形三边关系的应用，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此进行解答即可． （1）根据三角形的三边关系即可得到答案； （2）由（1）中求得的范围并根据为偶数即可得到的值，再根据三角形的周长最小即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可得， 即 则的取值范围为； （2）由（1）得 为偶数 为6，8，10 要组成三角形的周长最小， 只能为6， 三角形的周长最小为， 则三角形的周长最小为17 60．（1）已知的三边长分别为a，b，c．化简：； （2）一个等腰三角形的周长为，一边长为，求另两边的长． 【答案】（1）  （2）， 【分析】本题考查三角形三边关系，整式的加减，等腰三角形的定义，掌握分类讨论是解题的关键． （1）先根据三角形三边关系得到，，，然后去绝对值合并解题即可； （2）分为是腰长和是底边长两种情况分别计算，然后根据三角形三边关系将不合题意的解舍去． 【详解】（1）解：∵的三边长分别为a，b，c， ∴，，， ∴ ； （2）当是腰长时，底边是，则不能构成三角形； 当是底边长时，则腰的长为：， 则另外两边是，． 61．如图，中，，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，点B落到点处，恰有，求的度数． 【答案】． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质，平行线的性质，根据三角形内角和定理得到，由折叠的性质可得，，则由平行线的性质得到，进而得到，则，再由三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 62．如图，在中，平分交于点，点在边上，连接，已知． (1)请说明：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的判定与性质以及三角形内角和定理，解题的关键是通过角的等量关系推导线线平行，并利用垂直关系和角度和差计算角度． （1）利用角平分线得角相等，结合已知角相等推出内错角相等，证明平行． （2）由垂直得直角，结合已知角度求，再用三角形内角和求． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ． 63．如图，在中，P是线段上的一个动点，且不与B，C重合，，． (1)已知，． ① ； ②若，则 ； (2)如图②，已知，作，试探究，，之间的关系． 【答案】(1)①；② (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等面积法的应用； （1）①先求解，再结合垂直的定义和三角形的内角和定理可得答案； ②设，则，可得，再结合三角形的内角和定理可得答案； （2）由等面积法可得，结合可得答案； 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ∵，， ∴， ∴； ②∵， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∵， ∴； （2）解：，理由见解析； ∵，，， ∴，，， ∵， ∴, ∴. 1．在等腰三角形中，，若中线将该三角形的周长分为5和3两个部分，则该等腰三角形的底边长为（    ） A． B．4 C．或4 D．或4 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，三角形中线的定义，三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．设腰长，底边长，结合三角形中线的定义，列二元一次方程组，求出、的值，再根据三角形的三边关系检验即可． 【详解】解：设腰长，底边长， 是中线， ， 中线将该三角形的周长分为5和3两个部分， 或， 或， 解得：或， 当等腰三角形腰长为，底边长为时，，可以组成三角形； 当等腰三角形腰长为，底边长为时，，不可以组成三角形； 该等腰三角形的底边长为， 故选：A． 2．如图，分别延长的边，使得．若的面积为1，则的面积为（   ） A．14 B．12 C．11 D．10 【答案】A 【分析】本题考查三角形面积及等积变换的知识，注意高相等时三角形的面积与底成正比的关系，并在实际问题中的灵活应用，有一定难度． 连接和，要求的面积，可以分成三部分来分别计算，是一个重要的条件，抓住图形中与它同高的三角形进行分析计算，即可解得的面积． 【详解】解：连接和， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ 2， 则； ； ∴． 故选A． 3．在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落在上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】该题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，综合运用相关知识是解题的关键． ①如图1，当点落在边上时，根据折叠性质和三角形外角的性质求解即可；②如图2，当点落在内部时，根据折叠性质以及平角的定义即可求解；③如图3，当点落在上方时，根据折叠性质可得，根据 即可求解；④当时，分别画出图形根据折叠性质和平行线性质求解即可； 【详解】解：①如图1，当点落在边上时， 根据折叠性质可得， ∴，故①正确； ②如图2，当点落在内部时， 根据折叠性质可得 ∴ ，故②正确； ③如图3，当点落在上方时，； 根据折叠性质可得 ∴ ，故③正确； ④当时，    ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠性质可得， ∴， ∴； 当时，      ∵， ∴ ∵， ∴， 根据折叠性质可得，， ∴， ∴， ∴； 综上或；故④错误； 故选：C． 4．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，腰的长为6，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系；利用分类讨论思想，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．本题分两种情况讨论：①腰是底的2倍；②底是腰的2倍，再利用三角形三边关系（三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）进行检验即可得到答案． 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论： ①当腰是底的2倍时，底边为， ∵， ∴可以构成三角形； ②当底是腰的2倍时，底边为， ∵， ∴不能构成三角形． ∴的周长= 故答案为：． 5．如图，在中，于点，，为边上一动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，三角形面积的计算，过点C作于点D，利用等积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点P与点D重合时，最小． 【详解】解：在中，于点，，如图，过点C作于点D， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵垂线段最短， ∴当点P与点D重合时，最小，即最小值为， 故答案为：． 6．如图，将长方形纸片依次折叠两次：第一次以为折痕，使点A落在上的点E处；第二次以为折痕，使点N与点E重合，点B落在点处．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和性质，平行线的性质．先由折叠得，，，结合平行线的性质列式，解得，由三角形的内角和性质，得，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵将长方形纸片依次折叠两次：第一次以为折痕，使点A落在上的点E处， ∴，，， ∵第二次以为折痕，使点N与点E重合，点B落在点处． ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得， 在中，， ∴， 解得， 故答案为：． 7．如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，依此下去，若，则为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了图形类规律探究，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，找出，，与的规律是解题的关键． 根据角平分线的定义可得，，再根据三角形外角的性质可得，化简可得，进一步找出其中的规律，即可求出的度数． 【详解】和分别是的内角平分线和外角平分线， ，， 又，， ， ， 同理可得：， ， ， 则， ， ， 故答案为：． 8．等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是_______； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是________； (3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题主要考查了求三角形的面积，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键． （1）根据题意可得，即可求解； （2）根据题意可得，即可求解； （3）根据可得，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ， ∴， ∵，，， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵， 且， ∴， 又∵， ∴， ∵ ，， ∴． 9．已知：点在射线上，． (1)如图，若，求证：； (2)如图，若，，请探究与的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明； (3)如图，在（）的条件下，过点作交射线于点，当时，求的度数（直接写出答案即可）． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（）根据，可得，再根据，即可得到，即可求证； （）根据是△是外角，即可得到，再根据△中，，即可得到，进而得出； （）设，则，，根据，可得，再根据，即到，求得的值，再根据三角形内角和定理即可求解； 本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理及外角性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ， 又， ， ∴； （2）解：． 证明：如图，设与交点为， 是△的外角， ， ， ， ∴， ， 又， ； （3）解：设，则， ， ， ∵， ， 又， ， ， ， 又，， ， △中，． 10．如图，已知直线． (1)如图，求证：． (2)如图，点在、之间，连接、，平分，平分，，求与之间的数量关系． (3)如图，点为直线，之间一点，且在内部，点为直线上一点，连接，，，当恒成立时， ______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过作，根据平行线的性质求证即可； （2）延长交于，根据三角形内角和、角平分线的定义以及平行线的性质求解即可； （3）根据三角形内角和以及平行线的性质求解即可． 本题考查了平行线的性质，角平分线性质，熟练掌握平行线的性质、三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：过作，如图： ， ， ，， ； （2）解：延长交于，交于，如图： ， ， ， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ； （3）解：设交于，如图： ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 11．已知，点A，B分别在射线，上移动（不与点O重合），平分，平分，（或其反向延长线）与交于点C． (1)如图①，若，试猜想的度数，并直接写出结果； (2)如图②，若，问：当点A，B在射线，上运动的过程中，的度数是否改变？若不改变，求出其值（用含的式子表示）；若改变，请说明理由． 【答案】(1) (2)不变， 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质．通过知识的综合运用，帮助探究出点A、B运动过程中的度数变化规律． （1）根据题意，研究当时，点A、B运动过程中的度数是否变化．核心思路是利用角平分线性质转化角的关系，结合三角形内角和定理推导． （2）本题需探究当且平分时，点A、B运动过程中的度数是否变化．核心思路是通过角平分线性质和邻补角关系，建立与的直接联系． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵平分，平分， ∴， ． ∵， ∴ ， ∴． 12．根据以下探究过程，完成所提出的问题． (1)探究1：如图1，在中，平分，平分，与相交于点P，若，则________度． (2)探究2：如图2，与是的两个外角，平分，平分，与相交于点P，求与的数量关系． (3)拓展：如图3，与是四边形的两个外角，平分，平分，和相交于点P，设． ①求出与α的数量关系； ②根据α的值的情况，判断的形状（按角分类）． 【答案】(1)125； (2)； (3)①；②当时，是直角三角形；当时，是钝角三角形；当时，是锐角三角形． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握三角形内角和定理、平角的定义等知识点是解决本题的关键． （1）利用三角形的内角和定理、角平分线的性质可得结论； （2）利用三角形的内角和定理、角平分线的性质可得结论； （3）①延长、交于点M．利用平角的定义和（2）的结论可得结果；②利用（3）①的结论，把作为标准，先计算出，再判断的形状． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，． ∵， ， 故答案为：． （2）解：∵与是的两个外角， ∴，． ∴ ． ∵平分，..平分， ∴，． ∵ ∴ ∴． （3）解：①延长、交于点M． ∵平分，平分，由（2）得，． ∵ ． ∴ ． ②∵与是四边形的两个内角， ∴． 当时，，为直角三角形； 当时，，为锐角三角形； 当时，，为钝角三角形． 13．【问题情景】如图①，有一块直角三角板放置在上（点在内），三角板的两条直角边、恰好分别经过点和点． 【特例探究】 （1）若，则，，； 【类比探究】 （2）请猜想与的关系，并进行证明； 【类比延伸】 （3）如图②，改变直角三角板的放置方式，使点P在外，其两条直角边，分别经过点C和点B，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出新的结论． 【答案】（1），，；（2），证明见解析；（3）不成立， 【分析】本题考查三角形内角和，直角三角形两锐角互余．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于．注意运用整体法计算，解决问题的关键是求出，的度数． （1）已知，根据三角形内角和定理易求的度数，已知，根据三角形内角和定理易求的度数，进而得到的度数； （2）由（1）中的度数，的度数，相减即可得到与的关系； （3）由于在中，，在中，，相减即可得到结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：；；． （2）与的关系为：， 理由如下： 由（1）得：， ∵， ∴， ∴ ． ∴． （3）不成立，存在， 理由如下： 在中，， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴（2）中的结论不成立． 14．如图，在平面直角坐标系中，点，且a，b满足，线段向上平移k个单位长度得到线段． (1)求点A，B的坐标； (2)若点P在x轴上．且，求满足条件的点P的坐标； (3)当点F，E分别为线段上任意一点时，，点G为线段与之间一点，连接， ，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)点，点 (2)或 (3)，见解析 【分析】本题是几何变换综合题，考查了平行线的性质，非负性等知识，添加恰当辅助线是本题的关键． （1）由非负性可求a，b的值，即可求解； （2）设，根据列方程解决即可求解； （3）延长交于点N，延长交于点H，设，则，先求出，进而求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴点，点； （2）设， 依题意有：， 解得， 则满足条件的点P的坐标为或，即或； （3），理由如下： 延长交于点N，延长交于点H，如图所示： 设， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴． 15．问题1：如图，我们将图1所示的凹四边形称为“镖形”，在“镖形”图中，与、、的数量关系为． 问题2：如图2，已知平分，平分，，，求的大小；小明认为可以利用“镖形”图的结论解决上述问题： 由问题1结论得：，所以， 即；因为分别是，的外角，所以 ，________．所以． 所以________ 所以．因为，，所以________ 请帮助小明完善上述说理过程，并尝试解决下列问题（问题1、问题2中得到的结论可以直接使用，不需说明理由）； 解决问题1：如图3，已知平分的外角，平分的外角，猜想与、的关系为什么？（四边形内角和为，可直接运用）请加以证明． 解决问题2：如图4，已知直线平分，平分的外角，，，求出为多少度？ 【答案】问题2：，， 解决问题1：解决问题2： 【分析】本题主要考查了三角形的外角定理，角平分线的性质，三角形的内角和定理，四边形的内角和等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质． 问题2：利用三角形的外角定理及等量代换即可求解； 解决问题1：根据条件得出，再根据四边形的内角和得出即可得出结论； 解决问题2：根据三角形的内角和及对顶角相等得出，，两式相加整理得，即可求解． 【详解】解：问题2：由问题1结论得：，所以， 即；因为分别是，的外角，所以 ，．所以． 所以， 所以．因为，，所以； 故答案为：，，； 解决问题1：如图所示， ∵平分的外角，平分的外角， ，， 根据三角形的内角和及对顶角相等得， ， 在四边形中，， 在四边形中，， ， ； 解决问题2：如图所示， 平分，平分的外角， ，， 根据三角形的内角和及对顶角相等得，， ， ， ∴． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$