期末专题07 二次函数的五类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版九年级上学期

期末专题07 二次函数的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、二次函数与其他函数图象共存问题 类型二、二次函数中字母系数问题 类型三、二次函数的图象和性质综合问题 类型四、二次函数中求图象面积问题 类型五、利用二次函数解决实际问题 压轴专练 类型一、二次函数与其他函数图象共存问题 1. 数形结合定范围 明确二次函数（抛物线）与其他函数（一次、反比例等）的图像特征，联立函数解析式求交点坐标，结合图像高低、位置关系确定自变量或参数的取值范围。 2. 性质联动判特征 结合两类函数的核心性质（如二次函数的开口方向、对称轴，一次函数的斜率），分析参数对图像位置的影响，排除不符合共存条件的参数值，验证结果合理性。 例1．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图是二次函数图象，则下列图象可能是一次函数的是（　　） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据二次函数图象可以判断，从而可以判断一次函数的图象过第一、二、四象限，从而可以解答本题． 【详解】解：由二次函数图象可得， ， ∴一次函数的图象过第一、二、四象限， 故选：C． 【变式1-1】（24-25八年级下·重庆江北·期末）在同一直角坐标系中，函数与（其中）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象．根据每一选项中、的符号是否相符，逐一判断． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项错误，不符合题意； B、由抛物线可知，，，由直线可知，，故本选项正确，符合题意； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项错误，不符合题意； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项错误，不符合题意； D故选：d故选：D． 【变式1-2】（24-25九年级下·山东潍坊·期末）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，首先根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案． 【详解】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故， 则反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数经过第一、三、四象限， 故选：A． 【变式1-3】（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图像与二次函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数、二次函数图像与系数的关系，关键是利用图像特征判断字母取值； 根据每个选项中的图像特征判断一次函数和二次函数中系数的关系即可． 【详解】解：A选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故A选项不符合题意； B选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故B选项不符合题意 C选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故C选项符合题意； D选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故D选项不符合题意． 故选：C ． 类型二、二次函数中字母系数问题 1. 数形结合推系数 依据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点等图像特征，反向推导二次项系数a、一次项系数b、常数项c的符号及数量关系，规避代数计算的繁琐。 2. 代数运算求参数 将图像上已知点坐标代入函数解析式，建立关于字母系数的方程或方程组，结合判别式\Delta、对称轴公式等约束条件，求解参数值并检验合理性。 例2．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）若抛物线经过点，则的值是（    ） A．－7 B．－1 C．1 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了函数的坐标与方程，解题的关键是通过代入点的坐标建立方程，直接化简即可求解．将点代入抛物线方程，解关于和的方程，即可直接求出的值。 【详解】解：将点代入抛物线方程，得：， 化简得：即：， 故选：C． 【变式2-1】（25-26九年级上·河南安阳·期末）二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握函数各项系数对图像的影响是解题的关键． 根据二次函数图像的开口方向，对称轴位置，与y轴交点，以及时的函数值，判断的符号和的符号． 【详解】解：函数开口向下， ， 函数对称轴为直线， ， 函数图像与y轴交于负半轴， 当时，， ， 根据图像可知当时，． 故选：C． 【变式2-2】（25-26九年级上·湖北·期末）已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：：：若为任意实数，则有：点在抛物线上时，方程的两根为，则，其中正确的结论的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据二次函数的图象判断式子符号，二次函数的图象性质，二次函数图象与各项系数符号，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据对称轴为直线，得， 结合函数图象，得当时，，且，得，当时，取得最小值，即，得二次函数与直线的一个交点为，即，，则，即可作答． 【详解】解：观察函数图象，得抛物线开口向上， ， 二次函数图象的对称轴为直线，即， ，故符合题意； 观察函数图象，当时，， ， 而， ， ， ，故符合题意； 时，取得最小值， （为任意实数）， ， 即，故符合题意； 点在抛物线上时，方程的两根为， 二次函数与直线的一个交点为， 二次函数图象的对称轴为直线， 二次函数与直线的一个交点为， 即，， ，故符合题意； 故选：D． 【变式2-3】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 填序号 【答案】①④ 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，根据对称轴和图象确定当时，当时，的范围，确定代数式的符号． 【详解】解：由题图知，， ， 抛物线与轴交于负半轴， ， ，故正确； 对称轴为直线， ，即， ，故错误； 当时，， ，故错误； 当时，，对称轴为直线， 当时，， ，故正确． 故答案为：①④． 类型三、二次函数的图象和性质综合问题 1. 锚定图像关键点 抓住抛物线的顶点、对称轴、与坐标轴的交点等核心关键点，结合开口方向，快速定位函数的增减区间、最值等性质，搭建图像与性质的关联桥梁。 2. 性质联动破综合题 联动函数的对称性、增减性、最值等性质，结合题干条件建立方程或不等式，求解参数取值范围或具体数值，解题后回代图像验证结果是否合理。 例3．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）若点在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线开口向下且对称轴为直线知离对称轴水平距离越远，函数值越大，据此求解可得． 【详解】解：抛物线的对称轴为，开口向上， 点的距离为， 点的距离为， 点的距离为， 由于开口向上，距离对称轴越远，y值越大， ∵， ∴． 故选：A． 【变式3-1】（25-26九年级上·全国·期末）如图，已知抛物线，点，均在抛物线上，且与轴平行．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象的轴对称性是解题的关键； 根据二次函数的性质得到点A与点B关于直线对称，由于点A的坐标为，即可求解． 【详解】解：∵与轴平行，点，均在抛物线上 ∴点A与点B关于直线对称 ∵点A的坐标为 ∴点的坐标为   故答案为：. 【变式3-2】（24-25八年级下·重庆·期末）已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论： ① ②若点均在二次函数图象上，则 ③ ④对于任意实数m，总有 其中正确的结论是： 【答案】②③ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握a，b，c对抛物线的决定作用是求解本题的关键． ①根据函数图象分别判断a、b、c的正负，求出的正负；②根据二次函数图象的性质：当图象开口向上，离对称轴越近的点y值越小；③代入以及之间的关系即可求解；④化简不等式，用a表示b，根据及不等式的性质得到只含有m的不等式，判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴的交点在正半轴上，对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴， ∴，故①不正确； ∵与对应的函数值都为1， ∴对称轴为直线， ∵， ∴点离对称轴更近， ∴，故②正确； ∵时，， 又∵， ∴， ∴，故③正确； ∵④，， 即证， 变形可得，即， ∵， ∴故原式不成立，故④不正确， 故答案为： ②③． 【变式3-3】（23-24九年级上·安徽六安·期末）在二次函数中． (1)若该函数图象的顶点在x轴上，求t的值； (2)若点在该函数图象上，令，求证：． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）根据顶点在轴上，顶点的纵坐标是0，求出即可； （2）把点代入解析式得到，由得到，根据二次函数的性质即可证得结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得或， ， 的值为； （2）证明：点在抛物线上， ， ， ， ， 有最大值， ． 类型四、二次函数中求图象面积问题 1. 割补转化定图形 针对抛物线与直线围成的不规则图形，采用割补法转化为三角形、梯形等规则图形，结合函数解析式求交点坐标，确定规则图形的底和高。 2. 坐标公式算面积 利用点的坐标计算线段长度（水平/竖直线段直接算坐标差），代入规则图形面积公式求解；含倾斜线段时，优先以水平或竖直线为底，简化计算。 例4．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）已知：直线与y轴交于A，与x轴交于D，抛物线与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，求面积的最大值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的结合，一次函数和二次函数的图象和性质，利用待定系数法求函数解析式，解题的关键是掌握一次函数和二次函数的图象和性质． （1）利用一次函数的解析式求出点坐标，再利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）联立解析式求出点坐标，然后假设，则，过点作轴，交直线于点，则，列出二次函数的解析式，利用二次函数的图象和性质进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，，即， 将，代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：联立得， 解得， 当时，，即， 如图，假设，则，过点作轴，交直线于点，则， ∴， ∵， ∴该抛物线开口向下，顶点为最高点，顶点纵坐标为最大值， 此时，顶点横坐标为，符合题意， ∴当时，， ∴面积的最大值为． 【变式4-1】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）已知二次函数的图象过点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图，二次函数的图象与y轴交于点B，二次函数图象的对称轴与直线交于点P，求P点的坐标； (3)在第一象限内的抛物线上有一点Q，当的面积最大时，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数的性质、二次函数与面积的综合等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）将A、C的坐标代入函数解析式，解方程组求出b、c的值即可得到函数的解析式； （2）先求得二次函数的对称轴，令求出B点坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，再在直线解析式中令即可求得点P坐标； （3）设，的面积为S，连接，则，用含m的代数式表示S，然后利用二次函数的最值即可求出点Q的坐标即可． 【详解】（1）解：把点代入中， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为， 在中，当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． （3）解：∵，， ∴， 设，的面积为S，连接， 则， ， ， ∴当时S最大，此时， ∴． 【变式4-2】（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过B、C两点，已知，． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)D为抛物线的顶点，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）依据题意，根据直线经过B、C两点，可以求得直线的解析式，根据抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C和点B、点C的坐标可以求得抛物线的解析式； （2）依据题意，结合（1）将抛物线化为顶点式，即可得到点D的坐标，再根据题意和图形，可知的面积的面积的面积，然后求出的长度，即可得到的面积． 【详解】（1）解：由题意，∵直线经过B、C两点，且点B的坐标为，点C的坐标为， ∴． ∴． ∴直线的解析式是． 又∵抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为，点C的坐标为， ∴． ∴． ∴抛物线为． （2）解：由题意，结合（1）， ∴该抛物线顶点D的坐标为． 设直线与抛物线对称轴交于点E， ∵点D的坐标为， ∴点E的横坐标为． ∴将代入直线，得， ∴， ∴的面积是：． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点、待定系数法求一次函数解析式和二次函数解析式、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式4-3】（24-25九年级上·吉林·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C．点P是抛物线上一点，其横坐标为，且点P不与点C重合． (1)写出点C的坐标为______；线段的长为______． (2)写出的面积______． (3)抛物线上存在点P，使的面积等于的面积，利用上面的计算结果，求点P的坐标． 【答案】(1)；4 (2)6 (3)P的坐标或或 【分析】（1）将代入，求得出C点坐标，令求出，，即可得到线段的长； （2）由（1）得到，，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）设，利用的面积等于的面积列方程求解即可． 此题主要考查了抛物线与x轴的交点，三角形面积求法，二次函数图象上点的坐标性质等知识，注意分类讨论得出是解题关键． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴点C的坐标为， 当时，， 解得或， ∴，， ∴； （2）解：∵点C的坐标为， ∴， ∵， ∴的面积； （3）解：设， ∵的面积等于的面积， ∴， 解得或或（舍去）， ∴P的坐标或或． 类型五、利用二次函数解决实际问题 1. 建模转化明关系 分析实际问题中的变量关系，设自变量与因变量，结合题意列出二次函数解析式，注意标注自变量的实际取值范围，舍去不符合实际的解。 2. 性质应用求最值 利用二次函数的开口方向、对称轴，求解实际问题的最值（如最大利润、最高高度），结合顶点坐标公式或配方法计算，验证结果符合实际场景。 例5．（25-26九年级上·全国·期末）一塑料玩具生产公司将每件成本为元的某种玩具按每件元批发出售，平均一天可售出件．后来经过市场调查，发现这种玩具单价每降低元，其日销量可平均增加件．为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，规定该公司的最大生产限额为每天件．若想获得最大利润，则批发价应降低（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设批发价降低x元，根据生产限额180件，求出x的取值范围，再列出利润的函数，然后分情况讨论利润函数，求最大值即可得出答案． 【详解】解：设降低x元，则批发价为元，每件利润为元，销量为， 根据题意可知，即， 设利润为， 可得， ∵该二次函数开口向下，对称轴， ∴在时P随x增大而增大， ∴当时，P最大，元． 综上，当时利润最大，故批发价应降低8元． 故选C 【变式5-1】（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）某学校举行的田径运动会上，一名男生在一次实心球投掷时，实心球行进高度（单位：米）与水平距离（单位：米）之间的关系是．那么该男生实心球的成绩是 米 【答案】10 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，结合实心球行进高度（单位：米）与水平距离（单位：米）之间的关系是，故令，得，解得（舍去），即可作答． 【详解】解：∵， ∴令，则， 整理得， ∴， ∴（舍去）， ∴该男生实心球的成绩是10米． 故答案为：10． 【变式5-2】（24-25九年级上·云南红河·期末）某文具店销售一种进价为10元/支的签字笔，物价部门规定这种签字笔的售价不得高于18元/支，根据以往经验：以13元/支的价格销售，平均每周销售签字笔90支；若每支签字笔的销售价格每提高1元，则平均每周少销售签字笔10支．设销售价为x元/支． (1)求该文具店这种签字笔平均每周的销售利润W（元）与销售价x（元/支）之间的函数关系式； (2)当x取何值时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当 时，利润最大为360元 【分析】本题主要考查了二次函数的销售利润问题，求二次函数的最值，解题的关键是理解题意． （1）根据销售利润单个的利润销售量，列出函数解析式即可； （2）运用二次函数的性质解决问题，由题意可知所以时，最大为360． 【详解】（1）解：根据题意，当售价为 元/支时，销售量为 支 利润 （2） ∵ ， ∴抛物线开口向下，当 时， 取最大值360 又∵售价不得高于18元/支，且 在 范围内， ∴当 时，利润最大为360元. 答：当 时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大，最大利润是元. 【变式5-3】（25-26九年级上·全国·期末）综合与实践． 【问题背景】水火箭是一种利用水和压缩空气作为动力的简易火箭模型，其工作原理主要基于牛顿第三定律，即作用力与反作用力定律．它的制作简易，通常由塑料汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．如图1是某学校兴趣小组制作出的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，并确定了函数表达式为．同时也收集了飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，发现其近似满足二次函数关系，数据如下表所示： 飞行时间 … 飞行高度 … (1)【建立模型】 任务：求关于的函数表达式． 任务：探究飞行距离，当水火箭落地时，求水火箭飞行的水平距离； (2)【反思优化】 如图是兴趣小组同学在操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为由抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，． 任务：当水火箭落到内（包括端点，），求发射台高度的取值范围． 【答案】(1)任务：；任务：米； (2)任务：． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，包括二次函数表达式的求解、函数与方程的结合（求落地水平距离），以及抛物线平移与区间取值问题，熟练掌握二次函数的顶点式、函数与坐标轴的交点求解，是解题的关键． （1）任务：根据二次函数的对称性确定顶点坐标，用顶点式设出函数表达式，代入已知点求解系数，得到飞行高度的函数； 任务：将水平距离与时间的关系代入高度函数，转化为关于水平距离的方程，求解得到落地时的水平距离． （2）任务：将发射台高度视为抛物线的上下平移量，结合、点的坐标，代入平移后的函数表达式，求解对应的平移量（即发射台高度），从而确定取值范围． 【详解】（1）解：任务：是的二次函数，且抛物线经过点，， 抛物线的顶点坐标为， 设函数表达式为， 抛物线经过点， ， 解得， 关于的函数表达式为； 任务：， ， ， 整理得， 当水火箭落地时，火箭的高度为， 故， 解得不合题意，舍去， 答：当水火箭落地时，水火箭飞行的水平距离为米． （2）解：任务：设的高度为， 水火箭的函数表达式为． ①当抛物线经过点时， ， 点的坐标为， ， 解得， ②当抛物线经过点时， ，， ， 点的坐标为， ， 解得， 水火箭落到内包括端点，， ， ． 答：发射台高度的取值范围为． 一、单选题 1．（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知在二次函数的图象上，则的大小关系是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数函数值的计算与比较，解题的关键是根据二次函数解析式，通过直接代入点的横坐标求出对应函数值来比较大小． 直接将三点的横坐标、、分别代入二次函数的解析式，计算出、、的具体数值，再对数值进行大小比较，即可得出三者关系；也可先求对称轴判断增减性，但本题代入求值更直接高效． 【详解】解：分别将、、代入二次函数： 当时，； 当时，； 当时，； ∵， ∴ 故选：B． 2．（25-26九年级上·全国·期末）关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．该图象顶点是 B．图象与x轴有两个交点 C．当时，有最大值为2 D．图象与y轴交点是 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质．通过二次函数的顶点形式分析顶点位置，判断开口方向，确定最值，以及求解与坐标轴的交点，结合选项进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：∵二次函数为， ∴顶点坐标为， 故选项A不符合题意； 令 ，得 ， 即， 此时无实数解， ∴图象与x轴无交点， 故选项B不符合题意；； ∵二次函数为的， ∴抛物线开口向上，当时，有最小值为2，不是最大值， 故选项C不符合题意； 令，得， ∴ 与y轴交点为， 故选项D符合题意； 故选：D． 3．（25-26九年级上·全国·期末）将二次函数 化成 的形式应为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的关系式， 通过配方法将二次函数的一般式化为顶点式． 【详解】解：∵， ∴配方：， ∴顶点式为． 故选：A． 4．（24-25九年级下·全国·期末）如图①，已知矩形，是边上的一个动点，交于点．设长为长为，若与之间的函数关系如图②所示，则矩形的面积为（　　） A．8 B．6 C．12 D．14 【答案】C 【分析】由动点的函数图象可知，矩形的，抛物线的顶点坐标为，再由矩形性质、直角三角形两锐角互余及互余定义得到，进而由两个三角形相似的判定定理得到，再得出相似比，将线段长度代入计算确定函数关系式为，即可得到抛物线的顶点坐标为，从而求出值，则矩形中，，最后由矩形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：由图②可知，，则， 设， 在矩形中，， ， ， ， ， ， ，则， 即， 抛物线的顶点坐标为， 由图②可知，抛物线的顶点坐标为， ， 则矩形中，， 矩形的面积为, 故选：C． 【点睛】本题考查动点的函数图象，涉及矩形性质、相似三角形的判定与性质、抛物线的图象与性质直角三角形两锐角互余、互余定义及矩形面积公式等知识，数形结合，从函数图象中获取动点运动信息是解决问题的关键． 5．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，；则下列结论错误的是（    ） A． B．若点，在抛物线上，则 C． D．对任意实数m，均成立 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，根据抛物线与轴相交于点，，求出其对称轴，再由抛物线的开口方向，结合二次函数的性质即可判断得解． 【详解】解：抛物线与轴相交于点，， 对称轴是直线． ． ． 又图象可得，，， ． ，故A正确，不符合题意； 抛物线开口向上， 抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． 又， ，故B错误，符合题意； ∵函数图象与x轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴，故C正确，不符合题意； 对称轴是直线，且抛物线开口向上， 当时，取最小值为． 对于任意的，当时，函数值． ，故D正确，不符合题意； 故选：B． 二、填空题 6．（24-25九年级上·安徽池州·期末）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 10 5 2 1 2 则当时，x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的对称性．掌握二次函数的图像关于对称轴对称是解题的关键． 根据二次函数的对称性及已知数据可知该二次函数的对称轴为，结合表格中所给数据可得出答案． 【详解】解：由表中数据知，二次函数上的点和对称， 对称轴为， ∴点的对称点为， ∴当时，x的取值范围是． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移，根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”即可解答． 【详解】将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度， 得到抛物线的解析式为，即． 故答案为：． 8．（24-25九年级下·全国·期末）已知二次函数，当时，y的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数求最值，根据二次函数的增减性进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为轴， ∴当抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，有最小值为； 故答案为： 9．（25-26九年级上·全国·期末）抛物线的图象如图所示，有下列结论：①；②；③当时，x的取值范围是；④若关于x的一元二次方程有整数根，则对应的p值有2个．其中结论正确的是 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．由二次函数和一元二次方程的关系可判断①；由“对称轴为直线”可得到，再将代入二次函数可判断②；由“对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为”可知与x轴的另一个交点坐标为，进而根据图象可判断③；根据二次函数图象可判断④． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 所以①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， ∴，， ∴，， ∴， 所以②正确； ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 结合函数图象可知，当时，x的取值范围是， 所以③错误； ∵关于x的一元二次方程有整数根，此时， ∴或1或2， 当是方程的根时，这对应的p值为；或2对应的p值且相等为， ∴符合题意的p的值有2个， 所以④正确． 综上所述：①②④正确， 故答案为：①②④． 10．（24-25九年级下·全国·期末）农特产品展销推荐会在某地举行．某农户销售一种商品，每千克成本价为40元．已知每千克售价不低于成本价，不超过80元．经调查，当每千克售价为50元时，每天的销量为100千克，且每千克售价每上涨1元，每天的销量就减少2千克，为使每天的销售利润最大，每千克的售价应定为 元． 【答案】70 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意，列出关系式是解题的关键． 设每千克上涨x元，利润为w元，根据利润(销售单价成本价)×数量，列函数关系式，再根据二次函数最值求法求解即可． 【详解】解：设每千克上涨x元，利润为w元，根据题意，得 ， ∵， ∴， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为1800元， ∴每千克的售价应定为（元）． 故答案：70． 三、解答题 11．（25-26九年级上·广东惠州·期末）如图是抛物线形的拱桥，水面米，拱顶C离水面2米． (1)求抛物线的解析式． (2)若水面下降1米，则水面的宽度是多少米？ 【答案】(1) (2)水面宽度为米 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式及二次函数的实际应用，解题关键熟练运用二次函数解决实际问题． （1）先求出三点坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）求出时，x的坐标，进而可求解． 【详解】（1）解：∵米，米， ∴点的坐标为：，点坐标为：，点坐标为：， 设抛物线的解析式为，将点坐标代入得到， 解得：， 故所求的抛物线的解析式为，即； （2）解：∵水面下降1米， ∴当时，， 解得， ∴此时水面的宽度为：米． 12．（24-25九年级下·全国·期末）已知二次函数的图象过点和． (1)求此二次函数的表达式，其顶点坐标为_____； (2)此二次函数图象经过平移，能得到二次函数的图象吗？若能，请直接写出平移方法；若不能，请说明理由． 【答案】(1)二次函数的表达式为，顶点坐标为 (2)能．将此二次函数图象先向左平移4个单位，再向上平移2个单位（答案不唯一） 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数图像的平移：设二次函数的解析式为，然后把二次函数图象上的点的坐标代入得到关于、、的方程组，解方程组求出、、的值，从而确定二次函数的解析式． （1）把和点代入得到关于、的方程组，解方程组即可； （2）根据二次函数平移图像的法则进行求解即可． 【详解】（1）解：把和代入得， 解得， 抛物线解析式为， 所以其顶点坐标为， 故答案为：； （2）解：能．将此二次函数图象先向左平移4个单位，再向上平移2个单位（答案不唯一）． 13．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）关于的函数(实数a为常数)， (1)当时，求函数的最小值； (2)无论取何值，函数图像是否过定点？若过求出定点的坐标，若不过，请说明理由； (3)是否存在整数，使得函数的图像与轴的其中一个交点的横坐标是整数？若存在，求出所有整数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)过定点，和 (3)或或或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将代入即可解题； （2）将原函数整理成：，推出方程的解与无关，进而解题； （3）分类讨论，原函数可能为一次函数或二次函数，计算与轴的交点坐标，进而解题． 【详解】（1）解：当时，原函数变为， ∴函数有最小值； （2）解：将原函数整理成：， ∵函数图象过定点时，可取任意值，则上式与无关， ∴， 解得：或， ∴函数图像过定点和； （3）解：①当时，即，不是整数，舍去； ②时，此时函数为二次函数，对于， ； 由（2）知，函数经过，可设函数：， 则有， 解得：， ∴函数与轴的另一个交点为， ∵，要使其为整数， 则为6的因数， 又∵为整数， ∴为奇数， ∴或， 解得：或或或． 14．（25-26九年级上·浙江温州·期末）根据以下材料，探究完成问题： 小瑞去研学旅游时看到图1所示的是一种古代远程攻击武器——投石车．经了解：①它平地发射射程距离为200米，发射高度最高可达25米．发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．②攻城时将投石车置于处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，处是一座城池的城墙，其竖直截面为，与轴平行，墙宽米，垂直距离米． 问题解决： (1)在图2的平面直角坐标系中，求石块飞行轨迹所在抛物线的函数表达式； (2)若外墙到投石车的距离约为170米，攻城时用投石车将火球发射出去，问火球是否会落在城墙内，请说明理由． 【答案】(1) (2)火球不会落在城墙内 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练根据已知条件列出二次函数表达式是解题的关键． （1）根据题意得到抛物线的顶点坐标为，设出顶点式，将原点坐标代入表达式，求出的值，进而得出抛物线的函数表达式； （2）根据题意可得石块发射距离的范围为，分别求出当和时，对应的值，与进行比较，确定火球是否落在城墙内即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线方程为， 由于抛物线过原点， 则， 解得， 因此，石块飞行轨迹所在抛物线的函数表达式为； （2）解：火球不会落在城墙内，理由如下： 城墙其竖直截面为，与轴平行，墙宽米，垂直距离米， 则石块发射距离的范围为， 当时，， 当时，， 由于石块高度均高于城墙， 因此，火球不会落在城墙内． 15．（25-26九年级上·黑龙江绥化·月考）已知，如图，在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求的值； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，连接，求的面积的最大值及此时点的坐标； (3)在第2问的条件下，为抛物线对称轴上的一动点，是否存在这样的点，使为直角三角形，若存在，请直接写出符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，此时点P坐标为 (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、勾股定理、图形的面积计算等，其中（3），要用分类求解，避免遗漏． （1）用待定系数法即可求解； （2）先求得直线的表达式为：，过点作轴交于点，设点，则，由面积，即可求解； （3）由为直角三角形，分三种情况讨论，利用勾股定理列出方程即可求解． 【详解】（1）解：将、入得： 解得：， ∴抛物线解析式为 （2）解：将代入得：， ， 设直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得： ， 解得： 即直线的表达式为：， 过点作轴交于点， 设点，则， 则面积， ， 故面积有最大值， 当时，面积的最大值为，此时点P坐标为； （3）解：存在， 由抛物线的表达式知，其对称轴为， 设点， 由勾股定理得：， 同理可得：，， 由为直角三角形，分三种情况讨论： 当时， 则， 解得：， 即点或； 当时， 则， 解得：， 即点； 当时， 则， 解得：， 即点， 综上，点的坐标为：或或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期末专题07二次函数的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、二次函数与其他函数图象共存问题 类型二、二次函数中字母系数问题 类型三、二次函数的图象和性质综合问题 类型四、二次函数中求图象面积问题 类型五、利用二次函数解决实际问题 压轴专练 典例详解 类型一、二次函数与其他函数图像共存问题 1.数形结合定范围 明确二次函数（抛物线）与其他函数（一次、反比例等）的图像特征，联立函数解析式求交点坐标，结 合图像高低、位置关系确定自变量或参数的取值范围。 2.性质联动判特征 结合两类函数的核心性质（如二次函数的开口方向、对称轴，一次函数的斜率），分析参数对图像位置的 影响，排除不符合共存条件的参数值，验证结果合理性。 例1.(24-25八年级下·云南昆明·期末)如图是二次函数y=x2+b图象，则下列图象可能是一次函数 y=x+b的是() B. 【变式1-1】(24-25八年级下.重庆江北期末)在同一直角坐标系中，函数y=ax2+c与y=ax-2c(其中 1/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ac≠0)的图象可能是() V 【变式1-2】(24-25九年级下·山东潍坊期末)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则反比 例函数y=口与一次函数y=cx-b在同一平面直角坐标系内的图象可能是() 【变式1-3】(25-26九年级上·安徽阜阳月考)在同一平面直角坐标系中，一次函数y=bx-a(a,b为常 数，且a≠0)的图像与二次函数y=ax2-bx的图像可能是() 2/12 厨学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 类型二、二次函数中字母系数问题 1.数形结合推系数 依据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点等图像特征，反向推导二次项系数α、一次项系数 b、常数项c的符号及数量关系，规避代数计算的繁琐。 2.代数运算求参数 将图像上已知点坐标代入函数解析式，建立关于字母系数的方程或方程组，结合判别式Dlta、对称轴公 式等约束条件，求解参数值并检验合理性。 例2.(23-24九年级上江苏无锡期末)若抛物线y=-x2+bx+c经过点(-2，-3)，则c-2b的值是() A.-7 B.-1 C.1 D.7 【变式2-1】(25-26九年级上河南安阳·期末)二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则下列结论正确 的是() A.abc>0,a+b+cx0 B.abe<0,a+b+c< C.abc>0,a+b+c< D.abc<0,a+b+c> 【变式2-2】(25-26九年级上湖北期末)己知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为直线x=-1, 部分图象如图所示，下列结论中：①a=b:②5a+c心>0：③若1为任意实数，则有a-br≤㎡'+b:④点 (1,2)在抛物线上时，方程ax2+bx+c-2=0的两根为x,x2(x,<),则x+2x2=-1,其中正确的结论的个 数为() 3/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 A.1 B.2 C.3 D.4 【变式2-3】(24-25八年级下，安微合肥期末)己知二次函数y=ax2+bx+ca≠0)的图象如图所示，对称 轴是直线x=-1.给出下列结论：①abc<0;②2a+b=0;③a-b+c>0;④4a-2b+c<0.其中正确的 (填序号) 牙类型三、二次函数的图象和性质综合问题 1.锚定图像关键点 抓住抛物线的顶点、对称轴、与坐标轴的交点等核心关键点，结合开口方向，快速定位函数的增减区间、 最值等性质，搭建图像与性质的关联桥梁。 2.性质联动破综合题 联动函数的对称性、增减性、最值等性质，结合题干条件建立方程或不等式，求解参数取值范围或具体 数值，解题后回代图像验证结果是否合理。 例3.(24-25八年级下…湖南长沙期末)若点A-2,y),B(2,y2),C(3,y:在抛物线y=2(x+1)2+m上，则 ,y2,y3的大小关系是() A.y1<2<y3B.y2<八<3 C.y2<y3<1 D.y3<y2<y 【变式3-1】(25-26九年级上全国期末)如图，已知抛物线y=(x-1)+k,点A,B均在抛物线上，且 8与x维平行.老点4的坐标为0，引 则点B的坐标为 4/12 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式3-2】(24-25八年级下·重庆期末)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出下列 结论： ①abc>0 79 ②若点(-1，y) 25 均在二次函数图象上，则，<y ③-2a+c<0 3 ④对于任意实数m,总有am2+bm> a+b 其中正确的结论是： 【变式3-3】(23-24九年级上安微六安期末)在二次函数y=x2-2x+3(t>0)中. (1)若该函数图象的顶点在x轴上，求t的值； (2)若点么.)在该函数图象上，令q=1+5,求证：g 4 类型四、二次函数中求图象面积问题 1.割补转化定图形 针对抛物线与直线围成的不规则图形，采用割补法转化为三角形、梯形等规则图形，结合函数解析式求 交点坐标，确定规则图形的底和高。 2.坐标公式算面积 利用点的坐标计算线段长度（水平/竖直线段直接算坐标差），代入规则图形面积公式求解；含倾斜线段时 优先以水平或竖直线为底，简化计算。 例4.(24,25九年级上甘肃武成期末)已知：直线y-+2与y轴交于4，与x轴交于D,抱物线 5/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y= 耳线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点， E (1)求抛物线的解析式： (2)点P是直线AE下方抛物线上一动点，求△PAE面积的最大值； 【变式4-1】(24-25九年级上甘肃武威期末)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象过点A(3,0)、C(-1,0). (1)求二次函数的解析式； (2)如图，二次函数的图象与y轴交于点B,二次函数图象的对称轴与直线AB交于点P,求P点的坐标； (3)在第一象限内的抛物线上有一点Q,当△QAB的面积最大时，求点Q的坐标 【变式4-2】(24-25九年级上·安微毫州期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=2x2+bx+c与x轴 交于A、B两点，与y轴交于点C,直线y=kx+n经过B、C两点，已知B(4,0),C(0,4). (I)求直线y=kx+n和抛物线的解析式： (②)D为抛物线的顶点，求△BCD的面积 【变式4-3】(24-25九年级上吉林期末)如图，己知二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于点A、B, 6/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 与y轴交于点C.点P是抛物线上一点，其横坐标为m,且点P不与点C重合. B (1)写出点C的坐标为；线段AB的长为 (2)写出ABC的面积= (3)抛物线上存在点P,使△ABP的面积等于ABC的面积，利用上面的计算结果，求点P的坐标， 类型五、利用二次函数解决实际问题 1.建模转化明关系 分析实际问题中的变量关系，设自变量与因变量，结合题意列出二次函数解析式，注意标注自变量的实 际取值范围，舍去不符合实际的解。 2.性质应用求最值 利用二次函数的开口方向、对称轴，求解实际问题的最值（如最大利润、最高高度），结合顶点坐标公式 或配方法计算，验证结果符合实际场景。 例5.(25-26九年级上·全国期末)一塑料玩具生产公司将每件成本为70元的某种玩具按每件100元批发出 售，平均一天可售出100件.后来经过市场调查，发现这种玩具单价每降低1元，其日销量可平均增加10件，为 了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，规定该公司的最大生产限额为每天180件.若想获得最大利 润，则批发价应降低() A.15元 B.10元 C.8元 D.5元 【变式5-1】(25-26九年级上·内蒙古乌兰察布期末)某学校举行的田径运动会上，一名男生在一次实心球 段时，哭心球行进高度D单位：米与水平距离单位：米)之间的关系是v2+子x+形 么该男生实心球的成绩是米 【变式5-2】(24-25九年级上·云南红河·期末)某文具店销售一种进价为10元/支的签字笔，物价部门规定 7/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 这种签字笔的售价不得高于18元/支，根据以往经验：以13元/支的价格销售，平均每周销售签字笔90支； 若每支签字笔的销售价格每提高1元，则平均每周少销售签字笔10支.设销售价为x元/支， ()求该文具店这种签字笔平均每周的销售利润W(元)与销售价x(元/支)之间的函数关系式： (2)当x取何值时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【变式5-3】(25-26九年级上全国期末)综合与实践， 【问题背景】水火箭是一种利用水和压缩空气作为动力的简易火箭模型，其工作原理主要基于牛顿第三定 律，即作用力与反作用力定律.它的制作简易，通常由塑料汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂.如 图1是某学校兴趣小组制作出的一款简易弹射水火箭 水平地面 【实验操作】为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测 A B 图1 图2 试收集了水火箭相对于出发点的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)的数据，并确定了函数 表达式为x=31.同时也收集了飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：S)的数据，发现其近似满足 二次函数关系，数据如下表所示： 飞行时间t/s 0 p 4 6 飞行高度y/m 0 10 16 18 ()【建立模型】 任务1：求y关于t的函数表达式. 任务2：探究飞行距离，当水火箭落地时，求水火箭飞行的水平距离； (2)【反思优化】 如图2是兴趣小组同学在操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为PQ),当 弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为由抛物线上下平移得到，线段AB为水火箭回收区域，已知 AP=42m,AB=18V2-24m 任务3：当水火箭落到AB内（包括端点A,B),求发射台高度PQ的取值范围. 8/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 压轴专练 一、单选题 1.(24-25九年级上陕西西安期末)已知-3，y),0,y2,2,3)在二次函数y=2x2+4x-1的图象上，则 ,y2,y3的大小关系是() A.y<3<y2B.y2<y< C.3<y1<2 D.y2<y3<y 2.(25-26九年级上·全国·期末)关于二次函数y=2(x-1)2+2,下列说法正确的是() A.该图象顶点是(-1,2) B.图象与x轴有两个交点 C.当x=1时，有最大值为2 D.图象与y轴交点是(0,4) 3.(25-26九年级上全国·期末)将二次函数y=x2+6x+6化成y=(x-h2+k的形式应为() A.y=(x+32-3 B.y=(x-3)2+15 C.y=(x+3)2-15 D.y=(x-3)2+3 4.(24-25九年级下·全国期末)如图①，已知矩形ABCD,E是BC边上的一个动点，AE⊥EF,EF交 CD于点F,设BE长为x,CF长为y,若y与x之间的函数关系如图②所示，则矩形ABCD的面积为() B 4 x E ① ② A.8 B.6 C.12 D.14 5.(24-25九年级上河北张家口·期末)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴相交于点 A(-3,0),B(1,0)；则下列结论错误的是() 9/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AOB衣 A.abe<0 B.若点(-4，y), 1 5 在抛物线上，则乃<2 C.b2-4ac>0 D.对任意实数m,am2+bm≥a-b均成立 二、填空题 6.(24-25九年级上·安徽池州期末)已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下 表： -1 0 10 5 2 则当y<5时，x的取值范围是 7.(25-26九年级上内蒙古通辽期末)将抛物线y=-3(x-2+9向左平移2个单位长度，再向下平移3个 单位长度得到抛物线的解析式为 8.(24-25九年级下全国期末)已知二次函数y=3.x2-2,当-1≤x≤4时，y的最小值为」 9.(25-26九年级上·全国期末)抛物线y=ax2+br+ca≠0)的图象如图所示，有下列结论：①4aC<b2; ②3a+c=0;③当y>0时，x的取值范围是-1≤x<3;④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=p(p>0)有 整数根，则对应的p值有2个.其中结论正确的是（填序号）. 可可 10.（24-25九年级下·全国期末)农特产品展销推荐会在某地举行.某农户销售一种商品，每千克成本价为 10/12