九年级下册 单元检测卷(2)第二章二次函数-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(北师大版)

九年级下册数学(BS)单元检测卷（二） 10.如图，抛物线y=ax2+c与直线y=x十b交于点A(一4，p),B(2,g),则关于x的不等式a.x十c<kx十b的解集 是」 第二章二次函数 41以平方裳 (满分：100分时间：90分钟) 班级： 学号： 姓名： 分数： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的】 图1 图2 1,下列函数中，是二次函数的是 》 (第10题图) (第12题 （第13题图) Ay=-3 B.y=x2-(x-1) Cy=2+3 D.y=1-3 11.抛物线y=ax+bx+2经过点(2,4)，则3h+6a= 12.用总长为a米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为x米，窗框的面积为y平方米，y关于x的函数图象如 2.二次函数y=2x2的图象是 ( 图2，则a= A.直线 B.双曲线 C.抛物线 D.不确定 13某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，现把这个方案中的抛物线型拱门图形放人平面直角坐标系 3.如图，矩形绿地的长，宽分别为30m,20m,现将矩形绿地的长，宽各增加xm.设新绿地的周长为ym,面积为 中，如图，拱门的跨度ON=12m,拱高PE=4m.其中，点N在x轴上，PE⊥ON,OE=EN,要在拱门中设置矩形 Sm,当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x,S与x满足的函数关系分别是() 框架ABCD,当AB=3m时，矩形框架ABCD的周长为m. A.一次函数关系，二次函数关系 B.正比例函数关系，二次函数关系 三、解答题（本大题共7小题，共61分】 C.二次函数关系，一次函数关系 D.正比例函数关系、一次函数关系 14.(6分)已知抛物线y=-x2十4x十7，将y=-x2+4x+7化成y=a(x-b)十的形式，并写出抛物线的开口方 向、对称轴和顶点坐标。 20m 30m 4m -3m (第3超图) (第5题图) (第6题图) (第8题图) 15.(6分)已知函数y一x十2mx十m一1(m为常数)，求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点 4.抛物线y一一(x十3)一5的顶点坐标是 A.(-3,-5) B.(3.-5) C.(-3,5) D.(3,5) 5,如图是二次函数y=一2+2x十4的图象，使y≥1成立的x的取值范围是 A.一1≤x≤3 B.x一1 C.x≥1 D.x≤一1或x≥3 6.在平面直角坐标系中，二次函数y=mx2一m的图象如图所示，则坐标原点可能是 A.A点 B.B点 C.C点 D.D点 7.新定义：[a,b,c]为二次函数y=a2十bx十c(a≠0，a,b,e为实数)的“图象数”，如y=x2-2x十3的“图象数”为[1， 一2,3]，若点P(x,y),Q(x)在“图象数”为[m,一2m,一3m]的二次函数的图象上，且m>0,=一3m,当 >业时，x的取值范围为 () A.0<r<2 B.r:>0 C.-2<x1<0 D.x<-2 8某校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高智m,与蓝圈中心的水平距离为7m, 16.(6分)如图，用一段长40m的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园ABCD,设菜园的一边AB长为xm, 菜园的面积为Sm,当x为何值时，围成的菜园的面积最大？最大面积是多少？ 当球出手后水平距离为4m时，到达最大高度4m,篮圈距地面3m,已知篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图所示 的平面直角坐标系.有下列结论：①抛物线的表达式为y=一。（工一4）严+4②此球不能投中：③若对方队员乙在甲 前面1m处跳起盖帽拦橡，已知乙的最大摸高为3.1m,则他能成功拦酸.其中正确的是 A.① B.①③ C.②③ D.①②③ 二，填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9.已知y-3(x+1)-2,当x 时，函数值随x的增大而碱小. 九下第二章检测卷第1页（共4页） 九下第二章检测卷第2页（共4页） 17.(9分)2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举办.“冰雪同梦，亚洲同心”推动亚洲各同携手合作，共同发展.亚 (3)拟定种植方案：给出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵苗木种植点的横坐标x的值 冬会者祥物“滨滨“和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”.亚运会特许商品零售店预售者祥物“滨滨”，该者样物每个进价 为40元，规定售价不低于进价.现在售价为每个60元，每天可销售100个，经市场调查发现，若售价每降价1元， 则每天的销售量将增加8个，设每个吉祥物降价x元(x为整数). 20m Im-r (1)设每天销售吉样物“滨滨”的利涧为W元，求出W与x的函数关系式： 图① 图② (2)在(1)的条件下，特许零售店如何定价，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润最大？最大利润是多少元？ 18.(10分)跳绳是一项促进学生体质健康发展的运动，可以发展学生的速度耐力、协调性、灵傲性等身体素质.如图， 在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似看作抛物线，抛物线表达式的二次项系数为一0.1，已知甲，乙两名学生拿绳 的手间距为6米，距地面均为1米，以甲所在的地面的O点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系。 20.(12分)某乒乓球馆使用发球机进行输助训练，出球口A位于桌面BC左上方，桌面BC的长为2.74m,过点A作 (1)求抛物线的函数表达式： OA⊥BC,垂足为O,OB=0.03m,以点O为原点，以直线BC为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， (2)身高为1.63米的小梦也想参加这个活动，她在距离甲1米的地方跳绳，请问她在跳绳时，头顶会碰到绳子吗？如果会 如图所示，从出球口A发出的乒乓球运动路线为抛物线L的一部分，设乒乓球与出球口A的水平距离为x(m), 碰到，她至少需要向乙移动多少米才不会碰到绳子？（假定当绳甩到最高处时，学生双脚处于落地状态） 到桌面的高度为y(m),在桌面上的落点为D,经测试，抛物线L的表达式为y=@(x一1)2十0.45，且当x=2时，y =0.25. D 260° E (1)求出y与x之间的函数关系式： (2)桌面正中间位置安装的球网GH的高度为0.15m,问乒乓球位于球网正上方时，乒乓球到球网顶端H的距离 为多少？ (3)乒乓球落在点D后随即弹起，沿抛物线L:y=一23(x-p)(x一3.5)的路线运动，小明拿球拍EF与桌面夹 19.(12分)根据以下素材，探索完成任务 角为60°接球，球拍击球面的中心线EF长为0.16m,下沿E在x轴上，假设抛物线L,L'与EF在同一平面内， 如何设计大棚苗木种植方案？ 且乒乓球落在EF上（含端点，点E在点C右侧），直接写出： 【素材1】如图①是一个苗木种植基地大棚的截面图，其下半部分是一个长为20m,宽为1m的矩形，其上半部分是 ①点D的坐标为 一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面3m. ②球拍到桌边的距离CE的最大值为 ,CE的最小值为 【素材2】种植苗木时，每棵苗木高1.72m为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之问间隔1m,苗木顶部不触 碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布（即苗木的数目为偶数个） 【解决问题】 (1)大棚上半部分形状是一条抛物线，设大棚的高度为y,种植点的横坐标为工，根据图②建立的平面直角坐标系， 通过素材1提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的表达式， (2)探究种植范围：在图②的平面直角坐标系中，在不影响苗木生长的情况下（即y>1.72),确定种植点的横坐标 x的取值范围（写出计算过程）： 九下第二章检测卷第3页（共4页） 九下第二章检测卷第4页（共4页）参考苔案 AB=3,∴.BD=2 答：滑道的铅直高度AC约是27m, ,a=一1<0，∴.抛物线开口向下，对 AC=4, (2)如答图所示，延长CB到点D,使 称轴为直线x=2,抛物线的顶点坐标 六△ABC的面积=号AC,BD=4, BD=AB,连接AD, 为(2,11). 15.证明：根据二次函数与一元二次方程 16.解：，∠A=37°，∠B=53° 的关系，函数y=x+2mx十m-1的 ∠ACB+∠A+∠B=180°， ∠ACB=90°. D 45o 图象与x轴有两个公共点相当于一元 二次方程x2十2m,x+m一1=0有两个 在Rt△ACB中， 答图 不相等的实数根， :∠BAC=37°，AC=80米， BD=AB,.∠D=∠DAB. 此方程中△=(2m)2-4(m-1)=4m 7≈080=10(0米. ..AB=AC 80 ∠ABC=∠D+∠DAB=45, ∠D=22.5°. 4n+4=4(m-合)r+3>0, 答：A,B两点之间的距离约为100米. ,在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC ∴.不论m取何值，一元二次方程x2十 17.解：这样的设计符合要求， =45°，AC=1, 2mx十m一1=0总有两个不相等的实 理由如下：如答图，过点B作BH⊥ .BC=AC=1, 数根， AD于点H, C AB=_AC sn4=E.DC=2+1. 即不论m取何值，该函数图象与x轴 总有两个公共点. ∴.在Rt△ADC中， 16.解：AB=CD=xm 1 ∴.BC=(40-2x)m, 答图 tan22.5°=DC=g 根据题意，得S=x(40一2x)=一2x 则∠BHA=90° √2-1 =2-1. +40x.:S=-2x2+40x=-2(x 天桥的斜面倾斜角为32°， (√2+1)（√2-1） 10)2+200, 即∠BAH为32°， 20.解：(1)3030 .当x=10m时 在Rt△ABH中，sin32°-BL (2)如答图，过点C作CH⊥AB,垂足 S有最大值，S最大=200m2, AB' 为H.由(1)知，∠CAB=∠CBA= 即当x=10,围成的菜园的面积最大， 又AB=10米， 30°，∴.AC=BC 最大面积是200m2. .BH=AB·sin∠BAH≈10X0.53 =5.3(米). 六AH=BH-=合AB=1208千米). 17.解：(1)W与x的函数关系式为 W=(60-40-x)(100+8x)=(20 5.3>5,这样的设计符合要求. 18.解：(1)如答图，过点B F ·BC=BH =1205=240(千米). x)(100+8x)=-8x2+60x+2000(0 c0s30 <x20). 作BE⊥OA,交OA的C (2)由(1)知，W=-8x2十60x+2000= 延长线于点E. 答：台风移动的路径BC的长度为 ∠0AB=143°， 240千米. -8(x-5)广+212.5 ..∠BAE=180 D :一8<0，且x为整数，.当x=4时， ∠OAB=37°. 答图 W最大，最大值为2112. ·在Rt△ABE中，sSin37°=BE=BE ∴.此时定价为60一4=56（元）， AB 5 即当定价为56元时，才能使每天销售 ≈0.60，'.BE≈3m, 吉祥物“滨滨”的利润最大，最大利润 .大、小臂连接处B到移动基座OA 答图 是2112元. 的水平距离为3m. (2)如答图，延长EB交DC的延长线 (3)这次台风不会影响东方市 18.解：(1)设抛物线的函数表达式为y= 于点F.在Rt△ABE中， 理由：如答图，过点A作AE⊥BD,垂 -0.1x2+bx+c, 足为E,∴.∠AEB=90° 由题意可知，点(0,1)和(6,1)都在该 AE=√AB2-BE=4(m). 抛物线上，-0.1X62+6b+c=1. c=1, :∠E=∠AOD=∠CDO=90°， ∠ABE=30,六AE=2AB= .四边形EFDO为矩形. 120√3≈207.84（千米） 解得/6=0.6， .FD=EO=AO+AE=8.5(m). 207.84>200,.这次台风不会影 c=1. 又∠BAE=37°，.∠ABE=180°- 响东方市 ∴.抛物线的函数表达式为y=一0.1x ∠E-∠BAE=53°.，AB⊥BC, +0.6x+1. 即∠ABC=90°，∴.∠FBC=180° 第二章 二次函数 (2).y=-0.1x2+0.6x+1= ∠ABC-∠ABE=37. -0.1(x-3)2+1.9, 一、选择题 在R△BFC中，ns7-瓷-华≈ .当x=1时，y=-0.1(1-3)2+1.9 1.C2.C3.A4.A5.A6.C 4 =1.5,1.5<1.63, 0.60.∴.FC≈2.4(m). 7.A8.B 小梦头顶会碰到绳子 ,∴.CD=FD-FC≈8.5-2.4=6.1(m). 二、填空题 令1.63=-0.1x2+0.6x+1, 点C到工作台的高度CD约为6.1m 9.<-110.x<-4或x>211.3 19.解：(1)在Rt△ABC中， 12.613.18 解得x=3土330 10 un15-28=2-5,BC=100m 三、解答题 14.解：抛物线整理，得y=（-x2+4x ∴她至少需要向乙移动3-330-1 10 .∴.AC=100×(2-√3)=200-100√3 4)+4+7, ≈27(m). .y=-(x-2)2+11. =(2-330)米才不会碰到绳子. 10 71 高效课堂宝典训练数学九年级全册（北师大版） 19.解：(1)如答图，根据题图②中的坐标 ÷面积为160：六·5_100(cm)。 .CM=OC-OM=10-8=2(m), 系以及题意，得点A的坐标为(0,3)， 360 9 2>1.5,.不需要采取紧急措施。 点B的坐标为(10,1) 16.(1)证明：如答图，连接OC 19.(1)证明：如答图，连接OB ,AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=∠ACO +∠BCO=90°」 .OA=OC, 答图 ∴∠ACO=∠A. 答图 :抛物线的顶点为点A(0,3), ,∠BCD=∠A, AB与⊙O相切，∴.OB⊥AB. .可设抛物线的表达式为y=ax+3, .∠ACO=∠BCD .∠A+∠AOB=90° 把点B(10,1)代人，得100a+3=1. ,.∠BCD+∠BCO=90°， ,OB=OC,.∠OBC=∠C 解得a=一品 即∠DCO=90° .∠BOA=2∠C..∠A+2∠C=90. ,OC是⊙O的半径 (2)解：，OB⊥AB, 一抛物线的表达式为y=一0t十3。 CD是⊙O的切线. ∴.∠ABD+∠OBD=90° (2)种植苗木时，每棵苗木高1.72m, (2)解：⊙0的半径为6，CD=8, :∠CBD=90°，∴.∠OBC+∠OBD=90°， “当-0+3=1.72时， ∴.OC=OB=6.在Rt△COD中， ∴·∠ABD=∠OBC OD=√/OC+CD=10, 又'∠OBC=∠C,.∠C=∠ABD. 解得x1=一8，x2=8. .BD=OD-OB=10-6=4. :∠A=∠A, 苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗 木成轴对称分布， 17.解：(1)如答图，过点C作CD⊥AB,垂 △ADB△ABC.AD-AB, 足为D. AB AC .种植点的横坐标的取值范围为一8 ∠C=90°，AC=3, <x<8; 即号-是解得AC=号 BC=4, (3)根据题意，种植后苗木成轴对称分布， 且相邻两棵苗木种植点之间间隔1m, ∴.AB=/32+4=5. :CD=AC-AD=号-2=m ∴.在距离y轴0.5m的两侧开始种 CD=3X4=2.4. 5 答：⊙0的直径为号m 植，最前排可种植8×2=16（棵）， 则最左边一棵苗木种植点的横坐标 分两种情况：当圆与 20.(1)证明：如答图①，连接OP,延长BO x=-0.5-7=-7.5. AB相切时，r=CD=2.4; 与圆交于点C,则OP=OB=OC. 答：最前排符合所有种植条件的苗木 当点A在圆内部，点B在圆上或圆外 :AP与⊙O相切于点P, 数量为16棵，最左边一棵苗木种植点 时，此时AC<r≤BC,即3<r≤4. ∴.∠APO=90°. 的横坐标为-7.5. .3<r≤4或r=2.4. .∠PAO+∠AOP=90° 20.解：(1)把x=2,y=0.25代人y= (2).BC>AC,∴.以C为圆心，r为半 :MO⊥CN,∴.∠AOP+∠POC= a(x-1)2+0.45,得(2-1)2a+0.45 径所作的圆与斜边AB有两个公共点 90°..∠PAO=∠POC =0.25,解得a=-0.2. 时，圆的半径应大于CD,小于或等于 OP=OB,∴.∠OPB=∠PBO. ∴.y=-0.2(x-1)2+0.45 AC.r的取值范围是2.4<r≤3. ∴.∠POC=∠OPB+∠PBO= (2)根据题意，得 (3)⊙C与斜边AB没有公共点， 2∠PBO.∴.∠PAO=2∠PBO. BG=CG=号Bc-1.37(m, ∴<CD或点B在⊙C的内部， .0<r2.4或r>4. .QG=OB+BG=0.03+1.37=1.4(m). 18.解：根据题意，得半径OC⊥AB,OC1 当x=1.4时， DE. y=-0.2×0.4+0.45=0.418(m). (1)设桥拱的半径是rm.,OC⊥AB, 乒乓球位于球网正上方时，乒乓球到 AN=2AB=合X16=8(m. 答图① 答图② 球网顶端H的距离为0.418一0.15= (2)解：如答图②所示，连接OP,延长 0.268(m). .拱高CN为4m,.ON=(r-4)m. BO与圆交于点C,连接PC,过点P作 (3)①(2.5,0) ②0.730.45 .OA2=ON+AN2, PD⊥OC于点D, .2=(r-4)2+82 第三章圆 ∴r=10..桥拱的半径是10m. 则有A0=VAP+OP-5. 一、选择题 (2)不需要采取紧急措施.理由如下： 由(1)可知，∠POC=∠PAO, 1.C2.C3.A4.D5.C6.B7.D 如答图，连接OD. ∴.Rt△POD∽Rt△OAP. 8.D 二、填空题 昭识-器即 5 =OD 5 25 0 3 9.56°10.7π11.50°12.6π 13.4 解得PD=3,OD=4. 三、解答题 ..CD=OC-OD=1, 14.证明：：AB=CD,AB+BC=CD+ 在Rt△PDC中， BC,即AC=BD.∴AC=BD. .COLDE, PC=√PD+CD=WI0. 15.解：(1)31.4 ∴DM=2DE=号×12=6(m). :CB为圆的直径，∠BPC=90 (2)根据题意，得最大扇形的圆心角为 4 .OM=√/OD-D=102-62= .BP=√BC-PC=√/100-10= 360°×2+3+4=160， 8(m). 3√/10，故BP的长为3√/10. 72