期末专题06 直角三角形的边角关系四类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版九年级上学期

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期末专题06直角三角形的边角关系的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、求角的三角函数值 类型二、特殊角的三角函数值的计算 类型三、锐角三角函数的实际应用问题 类型四、几何图形中的三角函数问题 压轴专练 典例详解 类型一、求角的三角函数值 1.直角三角形内抓边角 若角在直角三角形中，直接紧扣三角函数定义，明确对边、邻边、斜边，代入sinA、cosA、tanA计 算；非直角三角形可作高构造直角三角形。 2.特殊图形中用性质 遇到等腰三角形、矩形、菱形等特殊图形，先利用图形性质（如三线合一、对角线特点）确定边长关 系，再转化为直角三角形中的边角计算；特殊角直接套用对应函数值。 例1.(25-26九年级上山东泰安·月考)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2,AC=3,则tan4= () B 3 C35 D.25 5 5 【变式1-1】(24-25九年级上广东中山期末)已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,AB=6,那 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 么下列各式中，正确的是()· A.sin B= 2 B.cos B= 3 C.tan B= D.不确定 【变式1-2】(24-25九年级上浙江金华期末)如图，在△ABC中，∠C=90°，D为边BC上的一点， BD-2CD:4B=9,sinB-2 ·则4D=一 A B D C 【变式1-3】(24-25九年级上山东淄博期末)如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D,AB=4, AC=3V5∠A=30° B D (I)求BD和AD的长： (2)求sinC的值. 2/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型二、特殊角的三角函数值的计算 1.等腰直角三角形(45°)：设两直角边为1，则斜边为V2,可直接得出 sim45°、cos45°、tan45°。 含30°的直角三角形：设30°所对直角边为1，则斜边为2，另一条直角边为V3。由此可推导出 30°和60°的所有三角函数值。 强烈建议在理解此几何推导的基础上进行记忆，而非死记硬背表格。 2.巧用转化与逆向思维 角度转化：当遇到120°、135°等大于90°的角时，利用互余角”(sinA=c0s(90°-A))和互 补角”(sinA=sin(180°-A))关系，将其转化为锐角30°、45°、60°来计算。 知值求角：若已知一个特殊角的三角函数值反过来求角，属于上述过程的逆向应用。例如，已知 sima=√3/2，则锐角a可能是60°；若a是钝角，则可能是120°。关键在于明确角的范围。 核心是“模型记忆→角度转化→得出结论”。 1 例2.(24-25九年级上·广东梅州期末)下列三角函数中，值为2的是() A.c0s30° B.tan30° C.sin450 D.c0s60° 2sin30° 【变式2-1】(24-25九年级上·重庆期末)计算： cos230°+sin245°-tan60°.tan30° 【变式2-2】(24-25九年级下·全国·期末)计算： 【变式2-3】(24-25九年级上·宁夏银川期末)计算 3 (1)cos60°-2sin245°+tan230°-sin30 2-(4-π°+2sin60+ 1 、4 类型三、锐角三角函数的实际应用问题 1.建模转化 从实际场景中抽象直角三角形模型，标注已知边/角与未知量，无直角时作高构造，明确边角对应关系， 锁定需用的三角函数（正弦、余弦、正切）。 2.精准计算 优先选择含己知量与目标量的三角函数关系式列方程，计算时注意单位统一，结果结合实际意义取舍， 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 必要时借助计算器求角的近似值。 例3.(24-25八年级下·重庆江北期末)某市民广场的平面示意图如下.经测量，点B在点A的正东方向， 点C在点B的西北方向，点D在点C的正西方向且在点A的北偏西60°方向.AB=30米，BC=80米。 (参考数据： √2≈1.415≈1.73V6≈2.45 北 D 西 →东 609 45° A B (1)求AD的长度；（结果精确到1米） (2)小巴从B出发沿B→C→D方向慢跑，小巴出发3秒钟后，小川也从B出发沿B→A→D方向慢跑. 若两人的慢跑速度均为2米每秒，请计算说明两人谁先到达D点. 【变式3-1】(24-25八年级下·吉林长春·期末)如图①是一款订书机，其平面示意图如图②所示，其主体 部分矩形ABCD由支撑杆GE垂直固定于底座MN上，其中BC=3cm,GE=2cm,压杆CF=7cm, ∠FCD=150°，使用过程中矩形ABCD可以绕点E旋转， D M G B 图① 图② 图③ (I)订书机不使用时，如图②，AB∥MN,求压杆端点F到底座MN的距离： (2)使用过程中，当点B落在底座MN上时，如图③，测得∠GBE=15°，则压杆端点F到底座MN的高度 约为_cm.(参考数据：sinl5°≈0.26，cos15°≈0.97，结果精确到0.1cm) 即压杆端点F到底座MN的高度约为4.7cm. 【变式3-2】(24-25九年级上广东揭阳·期末)如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端， 梯子与地面所成的角a要满足60°≤a≤75°，现有一架长5.5m的梯子. 4/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Ba W (1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙？ (2)当梯子底端距离墙面2.2m时，α等于多少度？此时人是否能够安全使用这架梯子？（参考数据： sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，sin23.6°≈0.40，cos66.4°≈0.40，tan21.8°≈0.40，结果精 确到0.1) 【变式3-3】(24-25九年级上·河北唐山期末)如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口 略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处.现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管 4B=30cm' BE=31B,试管倾斜角∠4BG为12°.(sinl2°≈0.208，co12°≈0.978，V2≈1.414·结果 3 保留一位小数) 高锰酸钾 蓬松的棉花团 E B G (I)求试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度： (2)实验时，导气管紧靠水槽壁MN,延长BM交CV的延长线于点F,且MN⊥CF于点N(点C,D, N,F在一条直线上)，经测得：DE=28cm,∠BFD=45°，求导气管BF的长度. 类型四、几何图形中的三角函数问题 1.构造直角三角形 针对非直角几何图形（如三角形、四边形），通过作高、作垂线等辅助线构造直角三角形，将已知边、 角转移到直角三角形中，建立边角关联。 2.结合几何性质 联动图形固有性质（如等腰三角形三线合一、圆的半径相等）推导隐含条件，选定合适的三角函数（正 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 弦、余弦、正切)列关系式，计算时注意等量代换与结果验证。 例4.(24-25九年级下·全国·期末)如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O,BM⊥CD,垂足为 点M,BM交AC于点N,若OC=4,OD=2,则ON的长为() A.2 B.1 C.2 D.5 式4-1】(24-25九年级上·安徽宿州期末)已知Rt△4BC中，PB=90°，an4 =3,BC=4,则AC 等于一· 【变式4-2】(24-25八年级下·四川成都期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4. ∠CAB的平分线交BC于点D,过点D作AB的垂线，垂足为E,过点C作DE的平行线交AD于点F,则 CF的长为一 【变式4-3】(24-25九年级上·陕西汉中·期末)如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD,交BC于点E, 过点E作EF⊥AD于点F,连接BF交AE于点P,连接PD F D P B E (I)求证：四边形ABEF是正方形： (2)如果AB=4,AD=7,求tan∠ADP的值. 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ■ 压轴专练 一、单选题 1.(25-26九年级上·全国·期末)在Rt△ABC中， ∠C=90%,AC、V2 AB2则∠B的度数为() A.30° B.45° C.60° D.90° 2.(24-25九年级上·安徽六安：期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，sin1=2则anB=() A.1 B. C v D.2 3.(24-25九年级上·山东菏泽·期末)如图，一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动6cm,则小球下降的 高度是() 6 4.6sina(cm) B.6cosa(cm) C.6tana(cm) D. tana (cm) 4.(24-25九年级上山东烟台·期末)如图，在矩形ABCD中，E,F是边BC上两点，且BE=EF=FC, 连接DE,AF,DE与AF相交于点G,连接BG,若AB=8,BC=I2,则cos∠GBF的值为() V10 3W10 1 A.10 B.10 C.3 a 5.(24-25九年级上山东菏泽期末)如图，老王在江边垂钓，河堤AB的坡度为1：2.4，AB长为3.9米， 甩杆之后，原地蹲坐等待，眼睛到站立处的距离AE为1米，此时沿钓竿看向钓竿顶端C处，仰角∠CEF 7/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为37°钓竿两端点的直线距离EC为4米，钓线与江面的夹角∠CDB=52°，则浮漂D与河堤下端B之间的 距离约为()米.（参考数据：sin37° 3 5,tan37° 4’sin52°≈0.79，tan52°≈1.28，结果精确到 0.1米) A.4.6 B.3.4 C.2.3 D.3.6 二、填空题 6.(24-25八年级下山东·期末)计算：cos60°+tan45°-tan30°sin60°= 7.(24-25九年级下·全国期末)如图，点A,B,C是正方形网格中的格点，则an∠BAC的值为一 8.(25-26九年级上·全国·期末)如图，在离铁塔BC底部30米的D处，用测角仪从点A处测得塔顶B的 仰角为a=30°，测角仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为 米. B .--acA 777777777777 30米 →D 9.(2324九年级上红苏益被期末圆，在风8C中。∠C=0.4C=&C=42A=《,易知 tana=。 =2,小明同学想求an2a的值，他在AC上取点D,使得BD=AD,则an2a=一 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 10.(24-25九年级上四川资阳·期末)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的边OC在x轴上，OA 在y轴上且AB∥OC,线段OA,AB的长分别是方程x2-9x+20=0的两个根(OA<AB),P、Q分别为 OA OC OQ=5.△P00 tan∠PQD= 上两点， ,将 00翻折，使点O落在边1B上的点D处，则an D C 三、解答题 11.(24-25九年级下·陕西期末)计算： (1)cos30°+tan45°-cos60°+tan60°： (2)6tan0-sin6-2c045 12.(24-25九年级上·江苏苏州期末)图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图.台灯底部立柱CD(与 桌面MW垂直)的高为6cm,支架BC长为20cm,支架AB长为25cm.若支架AB,BC的夹角为l06°， 支架BC与底部立柱CD的夹角为150°，求台灯的旋钮A到桌面MW的距离（精确到lcm).(参考数据： sin46°=cos44°≈0.72V3≈1.73 9/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D M7777777 图1 图2 13.(24-25九年级上·甘肃兰州·期末)兰州白塔山，是兰州市的文化地标，建于元代，重建于明代.白塔 居白塔寺中，塔身为八面七级，上有绿项，下有圆基，通体洁白，挺拔秀丽.白塔与兰州黄河铁桥构成雄 浑壮丽的画面，成为兰州市的象征之一.某校九年级“综合与实践”小组开展了“白塔高度的测量”项目 化学习，经过测量，形成了如表不完整的项目报告： 测量对象 兰州白塔山塔高 1.学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题： 测量目的 2.培养学生动手操作能力，增强团队合作精神 测量工具 无人机、测角仪等 1.先将无人机垂直上升至距水平地面50m的P点，测得白塔的顶端 A的俯角为22°， 测量方案 2.再将无人机沿水平方向飞行50m到达点Q,测得塔的顶端A的俯 角为45°. p22°45 测量示意图 B 请根据以上测量数据，求白塔AB的高度.（结果精确到1m,参考数据：sin22°≈0.4，cos22°≈0.9， tan22°≈0.4). 14.(24-25九年级上·安微池州期末)拉杆旅行箱为人们的出行带来了极大的方便，下图是一种拉杆旅行 箱的侧面示意图，箱体ABCD可视为矩形，其中AB为50cm,BC为30cm,点A到地面的距离AE为4cm, 旅行箱与水平面AF成60°角，求箱体的最高点C到地面的距离. 10/11 期末专题06 直角三角形的边角关系的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、求角的三角函数值 类型二、特殊角的三角函数值的计算 类型三、锐角三角函数的实际应用问题 类型四、几何图形中的三角函数问题 压轴专练 类型一、求角的三角函数值 1. 直角三角形内抓边角 若角在直角三角形中，直接紧扣三角函数定义，明确对边、邻边、斜边，代入 sin A、cos A、tan A 计算；非直角三角形可作高构造直角三角形。 2. 特殊图形中用性质 遇到等腰三角形、矩形、菱形等特殊图形，先利用图形性质（如三线合一、对角线特点）确定边长关系，再转化为直角三角形中的边角计算；特殊角直接套用对应函数值。 例1．（25-26九年级上·山东泰安·月考）如图，在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角的对边与邻边的比叫做的正切是解题的关键． 根据正切的定义解答即可． 【详解】解：在中，，，， 则， 故选：B． 【变式1-1】（24-25九年级上·广东中山·期末）已知，在中，，，，那么下列各式中，正确的是（    ）． A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义．先求出，再根据三角函数的定义分别求出的四个三角函数值，进而即可得出答案． 【详解】解：在中，，，，如图所示： 由勾股定理得：， ∴，，， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 【变式1-2】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，D为边上的一点，，，．则 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理．根据正弦函数的定义求出，利用勾股定理求出，再求出，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1-3】（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，在中，于点D，，，． (1)求和的长； (2)求的值． 【答案】(1)2； (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，含角的直角三角形的性质，求角的正弦值，掌握勾股定理，锐角三角函数的计算是解题的关键． （1）在中，运用角所对的直角边是斜边的一半得到的值，有勾股定理可得的值； （2）在中，由勾股定理得，在中，由正弦值的计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， 在中，，， ， 在中，由勾股定理得： ； （2）解：，， ， 在中，由勾股定理得： ， 在中，． 类型二、特殊角的三角函数值的计算 1. 等腰直角三角形（45°）：设两直角边为1，则斜边为√2，可直接得出sin45°、cos45°、tan45°。 含30°的直角三角形：设30°所对直角边为1，则斜边为2，另一条直角边为√3。由此可推导出30°和60°的所有三角函数值。 强烈建议在理解此几何推导的基础上进行记忆，而非死记硬背表格。 2. 巧用转化与逆向思维 角度转化：当遇到120°、135°等大于90°的角时，利用“互余角”（sinA = cos(90°-A)）和“互补角”（sinA = sin(180°-A)）关系，将其转化为锐角30°、45°、60°来计算。 知值求角：若已知一个特殊角的三角函数值反过来求角，属于上述过程的逆向应用。例如，已知sinα = √3/2，则锐角α可能是60°；若α是钝角，则可能是120°。关键在于明确角的范围。 核心是 “模型记忆 → 角度转化 → 得出结论” 。 例2．（24-25九年级上·广东梅州·期末）下列三角函数中，值为 的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角度的三角函数值，熟记特殊角度的三角函数值是解题的关键．根据特殊角的三角函数值直接判断． 【详解】解：，，，， 故选：D． 【变式2-1】（24-25九年级上·重庆·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查计算，涉及特殊角的三角函数值、负整数指数幂运算、有理数乘法与有理数加法运算等知识，先由特殊角的三角函数值、负整数指数幂运算分别计算各部分，再由有理数乘法与加法运算求解即可得到答案，熟记特殊角的三角函数值、负整数指数幂运算是解决问题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式2-2】（24-25九年级下·全国·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角三角函数的混合运算，熟记特殊角三角函数值是解题的关键．先求出特殊角三角函数值，再进行实数的混合运算即可． 【详解】解：原式． 【变式2-3】（24-25九年级上·宁夏银川·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了特殊三角函数的混合运算，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键． （1）代入特殊角度的三角函数值，计算可得； （2）先计算绝对值，零次幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，再计算加减法． 【详解】（1）解： （2）解： ．　 类型三、锐角三角函数的实际应用问题 1. 建模转化 从实际场景中抽象直角三角形模型，标注已知边/角与未知量，无直角时作高构造，明确边角对应关系，锁定需用的三角函数（正弦、余弦、正切）。 2. 精准计算 优先选择含已知量与目标量的三角函数关系式列方程，计算时注意单位统一，结果结合实际意义取舍，必要时借助计算器求角的近似值。 例3．（24-25八年级下·重庆江北·期末）某市民广场的平面示意图如下．经测量，点在点的正东方向，点在点的西北方向，点在点的正西方向且在点的北偏西方向．米，米．（参考数据：，，） (1)求的长度；（结果精确到1米） (2)小巴从出发沿方向慢跑，小巴出发3秒钟后，小川也从出发沿方向慢跑．若两人的慢跑速度均为2米每秒，请计算说明两人谁先到达点． 【答案】(1)米； (2)小川先到达点． 【分析】（1）通过作辅助线构造直角三角形和矩形，利用三角函数求出相关线段长度，进而求得．先作、，利用和求，再结合矩形性质得，最后在中用三角函数求． （2）分别计算小巴和小川到达点的路程与时间，路程依据图形线段关系确定，时间=路程÷速度，比较时间判断谁先到达即可． 本题主要考查了解直角三角形的实际应用（方向角问题）、矩形的判定与性质，熟练掌握三角函数的定义、矩形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：过点作交延长线于，过点作于． 在中，米，，， 米． 由题意可得，， 四边形中，、，与方向关系（在正东、在正西）， ∴， 四边形是矩形， 米． 在中，，即． ∴米； （2）解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（）得四边形是矩形， ∴， ∵在中，，即． ∴， ∴， 小川从也从出发后，小巴所用时间为（秒）， 小川所用时间为（秒）， ∴小川先到达点． 【变式3-1】（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图①是一款订书机，其平面示意图如图②所示，其主体部分矩形由支撑杆垂直固定于底座上，其中，， 压杆，，使用过程中矩形可以绕点E 旋转． (1)订书机不使用时，如图②，，求压杆端点F 到底座的距离； (2)使用过程中，当点B 落在底座上时，如图③，测得，则压杆端点F到底座的高度约为 ．(参考数据：，，结果精确到) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，则，再由直角三角形的性质可得，即可得解； （2）过点作于，过点作于，过点作于，则四边形为矩形，，，解直角三角形求出，的长，即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，过点作于点，则， ， 在中，，， ∴， ∴， 故压杆端点F 到底座的距离为； （2）解：如图，过点作于，过点作于，过点作于， ， 则， ∴，四边形为矩形， ∴，，， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 即压杆端点F到底座的高度约为． 【变式3-2】（24-25九年级上·广东揭阳·期末）如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α要满足，现有一架长的梯子． (1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙？ (2)当梯子底端距离墙面时，α等于多少度？此时人是否能够安全使用这架梯子？（参考数据：，，，，，，结果精确到0.1） 【答案】(1)使用这架梯子最高可以安全攀上约的墙 (2)，此时人能够安全使用这架梯子 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题． （1）根据图形可知：α最大时，这架梯子可以安全攀上的墙最高，由正弦的定义求出，得到答案； （2）根据余弦的定义求出α，根据题意判断即可． 【详解】（1）解：由题意得，当时，这架梯子可以安全攀上最高的墙， 在中，， ∴， 答：使用这架梯子最高可以安全攀上约的墙； （2）解：在中，， 则， ∵， ∴此时人能够安全使用这架梯子． 【变式3-3】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（，，．结果保留一位小数） (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度； (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，求导气管的长度． 【答案】(1)试管口与铁杆的水平距离的长度为 (2)导气管的长度为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题关键． （1）在中，根据即可求解； （2）过点作，交于点，则四边形是矩形，在中，求得，可得，在中，通过即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 在中，， ， 即试管口与铁杆的水平距离的长度为； （2）解：如图，过点作，交于点，则四边形是矩形， 在中，， ， ， ， 在中，， ． 即导气管的长度为． 类型四、几何图形中的三角函数问题 1. 构造直角三角形 针对非直角几何图形（如三角形、四边形），通过作高、作垂线等辅助线构造直角三角形，将已知边、角转移到直角三角形中，建立边角关联。 2. 结合几何性质 联动图形固有性质（如等腰三角形三线合一、圆的半径相等）推导隐含条件，选定合适的三角函数（正弦、余弦、正切）列关系式，计算时注意等量代换与结果验证。 例4．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在菱形中，与相交于点，，垂足为点M，交于点，若，，则的长为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，由菱形的性质可得，，则，再证明，则，据此可得答案． 【详解】解：∵在菱形中，与相交于点， ∴，， 在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 【变式4-1】（24-25九年级上·安徽宿州·期末）已知中，，，，则等于 ． 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，正确计算是解题的关键． 根据正切的定义即可求出的长，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， 故答案为： 【变式4-2】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，．的平分线交于点D，过点D作的垂线，垂足为E，过点C作的平行线交于点F，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，证明出使用勾股定理是解决本题的关键． 本题先利用勾股定理求出斜边的长度，再证明与全等，由全等的性质可得，设出未知数使用勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，，，． 根据勾股定理． ∵，， 是的平分线， ∴，， 在与中， 由， ∴≌， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, 又∵， ∴， 设， 则， 又∵， 则， 在中，， ∴，解得， ∴的长为． 故答案为：． 【变式4-3】（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图，在矩形中，平分，交于点，过点作于点，连接交于点，连 接． (1)求证：四边形是正方形； (2)如果，，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，正方形的判定与性质，平行线的性质，三角函数等知识，熟练掌握矩形的性质，证明四边形是正方形是解题的关键． （）由矩形的性质得出， ，，证出四边形是矩形，再证明，即可得出四边形是正方形； （）由正方形的性质得出，，，得出，求出，在中，由三角函数即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， 又∵， ∴， ∴ ∴四边形是矩形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 一、单选题 1．（25-26九年级上·全国·期末）在中，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．利用直角三角形中锐角的正弦定义，根据已知比例直接求解． 【详解】解：在中，， 为斜边，为对边． ． 故选：B． 2．（24-25九年级上·安徽六安·期末）在中，，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】题目考查了特殊角的三角函数值和直角三角形的性质，关键是掌握特殊三角函数值．因为，可得，所以，即为． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．（24-25九年级上·山东菏泽·期末）如图，一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动，则小球下降的高度是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据题意得出，再根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：假设一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动，到达点D位置，过点D作交于点H，， 则， ∴， ∴， 则小球下降的高度是， 故选：A． 4．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在矩形中，，是边上两点，且，连接，，与相交于点，连接，若，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的余弦值，掌握相似三角形的判定和性质，三角函数的计算方法是解题的关键．根据矩形的性质可证，过点作于点，可证，得出比例式，进而解答即可． 【详解】解：由题意可得：，，， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， 过点作于点， ， ∴， ， ， ， ， ，且， ， ， 故选：B． 5．（24-25九年级上·山东菏泽·期末）如图，老王在江边垂钓，河堤的坡度为，长为米，甩杆之后，原地蹲坐等待，眼睛到站立处的距离为米，此时沿钓竿看向钓竿顶端处，仰角为钓竿两端点的直线距离为米，钓线与江面的夹角，则浮漂与河堤下端之间的距离约为（　　）米．（参考数据：，，，，结果精确到米） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——坡度、仰角问题，勾股定理，矩形的判定与性质，延长交于，在中，，设，则，由勾股定理求得，则米，米，延长交于，过作于，交于，求出（米），（米），然后证明四边形是矩形，则米，米，所以（米），在中，，则，即有（米），然后通过线段和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于， ∴， 在中，， ∴设，则， ∴， ∴， 解得， ∴米，米， ∴米， 延长交于，过作于，交于， ∵， ∴， 在中，米，， ∴米，（米）， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∴（米）， 在中，， ∴， ∴（米）， ∵（米）， ∴（米）， 故选：． 二、填空题 6．（24-25八年级下·山东·期末）计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值． 直接根据特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（24-25九年级下·全国·期末）如图，点A，B，C是正方形网格中的格点，则的值为 ． 【答案】2 【分析】连接，设格点正方形的边长为1，根据勾股定理，得，，，且，故，解答即可． 本题考查了勾股定理及其逆定理，正切的定义，熟练掌握勾股定理及其逆定理，正切的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 设格点正方形的边长为1，根据勾股定理，得 ，，， 故， 故， 故， 故答案为：2． 8．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在离铁塔底部30米的D处，用测角仪从点A处测得塔顶B的仰角为，测角仪高为米，则铁塔的高为 米． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，特殊角的正切值．解题的关键在于构造直角三角形． 如图所示，过点作，则四边形为矩形，米，米，在中，，求出的值，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作， 则四边形为矩形， ∴米，米， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 故答案为：． 9．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，易知，小明同学想求的值，他在上取点，使得，则 ． 【答案】/ 【分析】根据三角形外角性质和等腰三角形性质得出，设，，利用勾股定理建立方程求出的值，再结合求解，即可解题． 【详解】解：，， ， ， 设， ， ， ， 解得， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质、三角形外角性质、勾股定理、锐角三角函数，熟练掌握相关性质并灵活运用，即可解题． 10．（24-25九年级上·四川资阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形的边在x轴上，在y轴上且，线段，的长分别是方程的两个根（），P、Q分别为、上两点，，将翻折，使点O落在边上的点D处，则 ． 【答案】/0.5 【分析】先利用因式分解法解方程可得到，，得出四边形为矩形，则，根据勾股定理求出，则，由折叠得到，，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解： 得，． ， ，， 连接， ，， 四边形为平行四边形． ， 四边形为矩形， ，， ， ∴， 由翻折，使点落在上的点D处， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质，解一元二次方程，勾股定理，矩形的判定与性质，解直角三角形，理解坐标与图形性质，熟练掌握矩形的性质与判定是解题的关键． 三、解答题 11．（24-25九年级下·陕西·期末）计算： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据 计算即可； （2）根据计算即可． 本题考查了特殊角的三角函数值的混合计算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 12．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱（与桌面垂直）的高为，支架长为，支架长为．若支架，的夹角为，支架与底部立柱的夹角为，求台灯的旋钮A到桌面的距离（精确到）．（参考数据：，） 【答案】 【分析】过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线、，垂足分别为点，可得是矩形，即得，，得到，，，再分别解、，求出即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线、，垂足分别为点，则， ∵， ∴， ∴是矩形， ，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ∵， ， 在中，， ， ， 答：台灯的旋钮到桌面的距离约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，解题关键是通过作垂直构造直角三角形求解． 13．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）兰州白塔山，是兰州市的文化地标，建于元代，重建于明代．白塔居白塔寺中，塔身为八面七级，上有绿顶，下有圆基，通体洁白，挺拔秀丽．白塔与兰州黄河铁桥构成雄浑壮丽的画面，成为兰州市的象征之一．某校九年级“综合与实践”小组开展了“白塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如表不完整的项目报告： 测量对象 兰州白塔山塔高 测量目的 1．学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2．培养学生动手操作能力，增强团队合作精神 测量工具 无人机、测角仪等 测量方案 1．先将无人机垂直上升至距水平地面的P点，测得白塔的顶端A的俯角为， 2．再将无人机沿水平方向飞行到达点Q，测得塔的顶端A的俯角为． 测量示意图 请根据以上测量数据，求白塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，）． 【答案】白塔的高度约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰直角三角形的判定与性质，延长交的延长线于点，则，，根据解直角三角形求出的长，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：延长交的延长线于点，则，如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：白塔的高度约为． 14．（24-25九年级上·安徽池州·期末）拉杆旅行箱为人们的出行带来了极大的方便，下图是一种拉杆旅行箱的侧面示意图，箱体可视为矩形，其中为，为，点A到地面的距离为，旅行箱与水平面成角，求箱体的最高点C到地面的距离．     【答案】箱体的最高点C到地面的距离为． 【分析】本题考查了解直角三角形．过点作交直线于点，过点作交直线于点，交地面于点，在中，利用正切函数的定义求得，推出，在中，利用正弦函数的定义求得，据此计算即可求解． 【详解】解：过点作交直线于点，过点作交直线于点，交地面于点， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴箱体的最高点C到地面的距离为． 15．（24-25九年级下·全国·期末）如图，小红想测量在斜坡上的古塔的高，为了测出斜坡的坡角，小红拿一根竹竿，点D在斜坡上，米，点E在平地上，米，小红用量角器测得． (1)斜坡的坡角为___________； (2)同一时刻，小红测得身高1.6米的自己在平地上的影长也是1.6米，古塔的影子一部分在长12米的斜坡上，一部分在平地上，影子的顶端与点E重合．图中所有点均在同一平面内，根据小红的测量，请你算出古塔的高．（精确到0.1米，参考数据：） 【答案】(1) (2)5.4米 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、解直角三角形、锐角三角函数以及特殊角三角函数值，熟练掌握并综合应用等腰三角形的性质、三角形外角的性质、解直角三角形、锐角三角函数以及特殊角三角函数值是解题的关键． （1）由“等边对等角”得，再由“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”计算出斜坡的坡角； （2）先在中，利用锐角三角函数解直角三角形计算出、的长，再由身高影长之比得阳光与地面夹角是，从而得出是等腰直角三角形，易得，最后计算出古塔的高． 【详解】（1）解：米，米， ， ， 是的外角， ， 斜坡的坡角为． （2）解：如图， ，，米， （米）， 在中，， ，解得米， 米， （米）， 小红测得身高1.6米的自己在平地上的影长也是1.6米， 太阳光与地面的夹角为， ， 米， （米）． 答：古塔的高约为5.4米． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $