期末专题05 反比例函数的六类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版九年级上学期

扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期末专题05反比例函数的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、反比例函数的定义 类型二、反比例函数的图象与性质 类型三、反比例的k值的几何意义 类型四、反比例函数与一次函数的综合问题 类型五、反比例函数的应用问题 类型六、反比例函数与几何图形的综合问题 压轴专练 典例详解 类型一、反比例函数的定义 1.抓核心形式判定 紧扣反比例函数的两种核心形式x(k为常数，k≠0)和y=k(k为常数，k≠0)。判定函数是否 为反比例函数时，先将式子化为这两种形式之一，再验证k是否为非零常数，同时注意自变量x的取 值范围。 2.用定义求参数值 己知函数为反比例函数时，根据定义列方程求解参数。 例1.(24-25九年级上重庆江北期末)下列函数中，y是关于x的反比例函数的是() A.y=5x+1 B.y=-x C.y=2 D.y=-1 【变式1H1】(25-26九年级上全国期未)下列关系式中：①y=4,②-5，③y=-7, ,④y=5x+1, 1 1 ⑤y=-1,⊙y=子，⑦9=1，y是x的反比例函数的共有《） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【变式1-2】(2425八年级下-江苏准安期末)已知反比例函数y=5的图像经过点4〔m,2）,则m的值 为 【变式1-3】(24-25九年级上贵州毕节期末)已知y=(m+1)x3是反比例函数，求m的值. 1/13 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 类型二、反比例函数的图象与性质 1.图像判定抓关键点 k 依据反比例函数 (k为常数，飞≠0)中k的符号判断图像所在象限，0时图像在一、三象限， <0时在二、四象限；结合双曲线的渐近性，确定图像不与坐标轴相交，快速排除错误图像选项。 2.性质应用抓增减性 利用性质解题时，需先明确在每个象限内这一前提，再根据飞的符号判断函数增减性；比较函数值大小 时，先看自变量所在象限，同一象限内用增减性，不同象限直接结合象限特点判断。 例2.(24-25九年级上云南红河期末)若点A(-5,),B(-1b),C(1,c)都在反比例函数y=k(k<0)的图 象上，则a、b、c的大小关系是() A.b<a<c B.c<b<a C.a<b<c D.c<a<b 2】(25-26九年级上山东临沂期末)已知反比例函数)8，有下列结论：①图象必经 (-2,4);②图象位于第二、四象限③y随x的增大而增大④当x>-1时，则y>8,其中正确的是() A.① B.①② C.①④ D.②③④ 【变式2-2】(2425八年级下·江苏宿迁期末)在函数)y=-Q-2 (a为常数)的图象上有三点(，y) (X2,2)、（x,3),且<x<0<x3,则、y2、y3的大小关系是（用“<”表示)， 【变式2-3】(24-25八年级下·浙江期末)已知A(:,乃)，B(x,y)是反比例函数y=3图象上的两点. (1)若x=1,x=-3,求乃-y2的值. (2)若A,B关于原点中心对称，求y2+xy1的值。 (3)当x=m-2,x,=m+2,片<y时，求m的取值范围. 类型三、反比例的k值的几何意义 1.面积定值速算 牢记反比例函数上任意一点向坐标轴作垂线，所得矩形面积为k,直角三角形面积为/2。解题时 直接用面积与k!的关系求k,再结合图像象限确定k的正负。 2.坐标转化破题 遇到与双曲线上点相关的线段、面积问题，先将线段长度转化为点的横、纵坐标绝对值，再关联k的 2/13 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 几何意义列式；若涉及多个点，可利用ky建立坐标间的等式关系。 例3.(24-25九年级上新疆阿克苏期末)如图，点A是反比例函数y-(x<0)的图像上的一点，过点A 作ABLx轴，垂足为点B,C为y轴上一点，连接AC,BC,若△ABC的面积为3，则k的值为() A.3 B.-3 C.6 D.-6 k 【变式31】(23-24九年级上陕西滑南期末)反比例函数，片=k≠0)在第一象限的图象如图，过 乃上的任意一点A,作x轴的平行线交于点B,交y轴于点C,连接OA、OB,若S△4s=2,则k的值 为 A 【变式3-2】(25-26九年级上·山东日照·月考)如图，Rt△ABO中，∠AOB=90°，AO=3BO,点B在反比例 函数y=2的图象上，OA交反比例函数y=(化≠0)的图象于点C,且0C=2CA,则k的值 为 A 【变式33】(24-25九年级上江苏南通期末)如图，已知反比例函数y=k(k≠0)的图象与直线4B交于点 C,A,B两点分别在x轴和y轴的正半轴上，OA=OB=1,SONC=2. 3/13 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求反比例函数的解析式： (2②当-3≤x≤1时，直接写出反比例函数y=的取值范围， 类型四、反比例函数与一次函数的综合问题 1.联立方程求交点 求两函数交点坐标时，联立反比例函数与一次函数的解析式，解方程组即可；若方程组无解，说明两函 数图像无交点，可据此判断参数范围。 2.数形结合判范围 解不等式x>+b时，结合图像找反比例函数图像在一次函数图像上方的区间；判断函数值正负、比较 大小等问题，也需借助图像象限分布和增减性分析。 例4.(25-26八年级上上海月考)函数y=和y=k(x-1)化>0)在同一直角坐标系中的大致图像是() 【变式4-1】(24-25八年级下福建泉州期中)如图，一次函数y=+b的图象与反比例函数y=m的图像 交于点A(-3,n),B(2,m),结合图象，关于x的不等式ac+b<m的解集为 4/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 【变式4-2】(25-26九年级上全国期未)已知反比例函数片=《的图象与一次函数，=+b的图象交于 点A(1,4)和点B(m,-2). (1)求这两个函数的解析式； (2)如果点C与点A关于y轴对称，求△ABC的面积. 【变式4-3】(25-26九年级上·安徽安庆月考)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y,=+b(k≠0)的图 m 象与反比例函数y=(m≠0)的图象相交于第一、三象限内的A(3,5),B(a,-3)两点，与x轴交于点C (I)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)直接写出当y1>y时，x的取值范围： (3)在y轴上找一点P，,使PB-PC的值最大，求PB-PC的最大值及点P的坐标. 5/13 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 类型五、反比例函数的应用问题 1.建模转化抓关系 分析实际问题中的两个变量，判断是否满足乘积为定值的反比例关系，设函数解析式x，代入已知 条件求出k,完成数学建模。 2.结合实际定范围 求解函数值或自变量时，除计算外，需结合实际情境确定自变量的取值范围；涉及最优方案时，利用反 比例函数增减性，结合定义域分析得出结论。 例5.(23-24八年级下·吉林四平.期末)如图，某种近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例 函数关系，某同学的镜片焦距为0.2米，经过矫正治疗后调整到0.5米，则近视眼镜减少的度数为() y(度)A 500- 00.20.5x(米) A.500度 B.300度 C.200度 D.100度 【变式5-1】(24-25八年级下·山西晋城期末)在数学实践课上，八(1)班数学兴趣小组要探究近视眼镜 的度数y(度)与镜片焦距x(米)之间的关系，发现如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200 度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是 y度 250 0.4 x/米 【变式5-2】(24-25九年级上·湖南永州期末)如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制 电流I实现灯光亮度的变化，电流I(A)与电阻R(2)之间成反比例函数关系，如图2所示， IA (22,10) R/O 图1 图2 6/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)求1与R之间的函数表达式： (2)当R>5时，求对应的I的取值范围 【变式5-3】(24-25九年级上广东茂名期末)综合与实践 如本题图1，在左边托盘A中放置一个固定的重物，在右边托盘B中放置一定质量的砝码（可左右移动）， 可使得仪器左右平衡.改变托盘B与点O的距离，记录相应的托盘B中的砝码质量，得到如下表： 托盘B与点O 10 15 20 25 30 的距离x/cm 托盘B中的砝 30 20 15 12 10 码质量y/g 本y/g 35L 30 251 20 15 10 5 O5101520253035x/cm 图1 图2 (1)依据实验得出，x与y的对应点，请您在本题图2中画出函数图像，并求出函数表达式： (2)当砝码质量为24g时，求托盘B与点O的距离： (3)当托盘B向左移动6cm时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘B中的砝码质量需增加至移动 前的两倍，求在移动前托盘B中的砝码质量 类型六、反比例函数与几何图形的综合问题 1.锚定k值建联系 利用几何图形性质（如平行、垂直、全等）确定双曲线上关键点的坐标，再根据ky计算k值；或由 己知k值推出点的坐标关系，搭建函数与几何的桥梁。 2.面积转化巧破题 遇到几何图形面积问题时，将不规则图形割补为与坐标轴垂直的直角三角形或矩形，结合k的几何意义 I快速计算面积；也可反向由面积求点坐标或k值。 例6.(23：24八年级下四川乐山期末)如图，4、B为双曲线y=12上的点，AD1x轴于D,BC1y轴 1 于点C,则四边形ABCD的面积为() 7/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.8 B.12 C.16 D.18 【变式6-1】(23-24八年级下·海南海口·期末)如图，正方形ABCD的顶点B、C在x轴上，反比例函数 yk(x>0)的图象经过点AL,4),交CD于点E,则k的值为 ,△ADE的面积等于 D OB 【变式6-2】(2425八年级下江苏南京月考)如图，点4，B分别在反比例函数y-冬(x<0)和y=(x>0) 的图像上，AB∥x轴，与y轴交于点C,点D是x轴上一点，若BC=2AC,△ABD的面积为3，则kk的值 为一· B 2 D 【变式6-3】(24-25九年级上·安微宿州期末)如图，M是四边形ABCD对角线的交点，AC⊥x轴于点C, BD⊥y轴于点B,反比例函数C,:y-2的图象经过点M,M是AC的中点. C D B M 0 C 1)求经过点A的反比例函数C,的表达式： 8/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若点D恰好也在图象C上，证明：四边形ABCD是菱形. 压轴专练 一、单选题 1.(24-25九年级上·安徽合肥·期末)若反比例函数的图象经过点A(-3,-2),则下列各点在该反比例函数图 象上的是() A.(-3,2) B.(3,-2) c.(61) D.(6,-1) 2.(24-25九年级上福建莆田期末)已知点4(4，片)，B(-2,),C(3,)都在反比例函数y=3的图象上， 则，y,y的大小关系为() A.y<乃<3B.3<y1<y3 C.<y3<3 D.y3<3<y 3.(24-25九年级上宁夏银川期末)如图，在直角坐标系中，直线y=6-x与函数y=4(x>0)的图象相交 于点A,B,设A点的坐标为(xy),那么长为X,宽为乃的矩形面积和周长分别是() A.4,12 B.4,6 C.8,12 D.8,6 4,(23-24九年级上山西阳泉期未)如图，点4为反比例函数y=:<0的图象上一点，过点A作AB⊥y 轴于点B,点C与点B关于x轴对称，连接AC.若△ABC的面积为16，则k的值为() B 4. 8 B.16 C.-8 D.-16 9/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.(24-25八年级下四川内江期未)若b<0,则一次函数y=+b和反比例函数y=b在同一坐标系中 的图像可能是() 二、填空题 6.(24-25九年级上广东清远期末)如图，一次函数片=-2x+3和反比例函数，=《的图像相交于点 1 A(-1,5),B(2.5,-2),若乃<y,则x的取值范围是· 7.(25:26九年级上全国期末)如图，一次函数y=m+n(m、n是常数m≠0）与反比例函数y=(k≠0) 的第二象限的图象交于点A(-1,a),B两点，与x轴，y轴分别交于点C,D,且OC=OD=3,则k的值 为 B 8.(24-25九年级上·安徽宿州期末)如图，在正方形ABCD中，点A在y轴正半轴上，点B的坐标为 10/13 期末专题05 反比例函数的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、反比例函数的定义 类型二、反比例函数的图象与性质 类型三、反比例的k值的几何意义 类型四、反比例函数与一次函数的综合问题 类型五、反比例函数的应用问题 类型六、反比例函数与几何图形的综合问题 压轴专练 类型一、反比例函数的定义 1. 抓核心形式判定 紧扣反比例函数的两种核心形式 （k为常数，）和 xy=k（k为常数，）。判定函数是否为反比例函数时，先将式子化为这两种形式之一，再验证 k 是否为非零常数，同时注意自变量 x 的取值范围。 2. 用定义求参数值 已知函数为反比例函数时，根据定义列方程求解参数。 例1．（24-25九年级上·重庆江北·期末）下列函数中，y是关于x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数． 根据反比例函数的定义逐项分析即可． 【详解】解：．，y是关于x的一次函数，故该选项不符合题意； ．，y是关于x的二次函数，故该选项不符合题意； ． ，y是关于x的反比例函数，故该选项符合题意； ．，y不是关于的反比例函数，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】（25-26九年级上·全国·期末）下列关系式中：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，是的反比例函数的共有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的形式（或，）是解题的关键．根据反比例函数的定义（形式为或，），逐一判断各关系式是否符合该定义． 【详解】解：∵ 反比例函数需满足或（）， ∴ ①是正比例函数，不符合； ②即，是正比例函数，不符合； ③符合形式，是反比例函数； ④是一次函数，不符合； ⑤是二次函数，不符合； ⑥中的指数为，不符合反比例函数定义； ⑦即，符合形式，是反比例函数； ∴ 是反比例函数的有③⑦，共2个． 故选：C． 【变式1-2】（24-25八年级下·江苏淮安·期末）已知反比例函数的图像经过点，则m的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了由反比例函数值求自变量，根据题意，把代入，得，再解得m的值，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴把代入，得， ∴， 故答案为：3 【变式1-3】（24-25九年级上·贵州毕节·期末）已知是反比例函数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，即，只需令，即可． 【详解】解：由题意得：且； 解得，又； ． 类型二、反比例函数的图象与性质 1. 图像判定抓关键点 依据反比例函数 （k为常数，）中 k 的符号判断图像所在象限，k>0 时图像在一、三象限，k<0 时在二、四象限；结合双曲线的渐近性，确定图像不与坐标轴相交，快速排除错误图像选项。 2. 性质应用抓增减性 利用性质解题时，需先明确在每个象限内这一前提，再根据 k 的符号判断函数增减性；比较函数值大小时，先看自变量所在象限，同一象限内用增减性，不同象限直接结合象限特点判断。 例2．（24-25九年级上·云南红河·期末）若点，，都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象，反比例函数图象是两支曲线，时，位于二、四象限，在各自象限内，y随x的增大而增大．理解图象增减性是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在第二、四象限。 ∵点，的横坐标为负， ∴点A，B在第二象限，则． ∵点的横坐标为正， ∴点C在第四象限，则。 ∴； 故选：D 【变式2-1】（25-26九年级上·山东临沂·期末）已知反比例函数，有下列结论：①图象必经过点；②图象位于第二、四象限；③y随x的增大而增大；④当时，则．其中正确的是（　　） A．① B．①② C．①④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数性质逐项判断即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数为， ∴当时，，即图象必经过点，故①正确； ∵， ∴图象位于第二、四象限，故②正确； 在每个象限内随增大而增大，故③错误； 当时，，故④错误； 综上所述，正确的有①②， 故选：B． 【变式2-2】（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）在函数（a为常数）的图象上有三点、、，且，则、、的大小关系是 （用“”表示）． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质、比较反比例函数的函数值大小，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴反比例函数的图象位于二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵点在反比例函数图象上，且， ∴点在第二象限，点在第四象限， ∴． 故答案为：． 【变式2-3】（24-25八年级下·浙江·期末）已知，是反比例函数图象上的两点． (1)若，，求的值． (2)若，关于原点中心对称，求的值． (3)当，，时，求的取值范围． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数的性质，中心对称的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）把，代入，求出，再计算即可； （2）根据中心对称的点的坐标特征求解即可； （3）先确定，，进而确定点在第三象限，点在第一象限，最后根据象限内的点的坐标特征列不等式求解即可． 【详解】（1）解：当，时， ，， ； （2）∵，关于原点中心对称，且都在函数图象上 ∴，，， ∴ （3）∵，， ∴， ∵时，图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∵，， ∴点和点不在同一象限内， ∴点在第三象限，点在第一象限， ∴，且， 解得：． 类型三、反比例的k值的几何意义 1. 面积定值速算 牢记反比例函数 上任意一点向坐标轴作垂线，所得矩形面积为 |k|，直角三角形面积为 |k|/2。解题时直接用面积与 |k| 的关系求 k，再结合图像象限确定 k 的正负。 2. 坐标转化破题 遇到与双曲线上点相关的线段、面积问题，先将线段长度转化为点的横、纵坐标绝对值，再关联 |k| 的几何意义列式；若涉及多个点，可利用 k=xy 建立坐标间的等式关系。 例3．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，点是反比例函数的图像上的一点，过点作轴，垂足为点，为轴上一点，连接，，若的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由三角形面积求反比例函数的，数形结合是解决问题的关键． 根据题意，设，再结合的面积为，列方程求解即可得到答案． 【详解】解：点是反比例函数的图像上的一点， 设， 的面积为， ， 即， 故选：D． 【变式3-1】（23-24九年级上·陕西渭南·期末）反比例函数在第一象限的图象如图，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于点，交轴于点C，连接，若，则k的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 【详解】解：轴， ，， ， ， 而， ． 故答案为：8． 【变式3-2】（25-26九年级上·山东日照·月考）如图，中，，点在反比例函数的图象上，交反比例函数的图象于点，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质和相似三角形的判定和性质，正确添加辅助线证明三角形相似，利用数形结合思想解题是关键； 分别过点作轴于点，轴于点，轴于点，根据相似及反比例函数的性质可求． 【详解】解：分别过点作轴于点，轴于点，轴于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵交反比例函数的图象于点， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式3-3】（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，已知反比例函数的图象与直线交于点，两点分别在轴和轴的正半轴上，． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，直接写出反比例函数的取值范围 ． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解决本题的关键是先根据和求出点的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式． 根据和求出点的坐标为，利用待定系数法求出反比例函数的解析式为 分别求出当时的取值范围，再求出当时的取值范围，综合起来就是当时，反比例函数的取值范围． 【详解】（1）解：设点的坐标为， ， ， ， 解得：， ， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， 又， ， 解得：， 点在第二象限， ， ， 点的坐标为， 把点的坐标代入比例函数， 可得：， 解得：， 反比例函数的解析式为； （2）解：当时，可得：， 若，则有， 当时，可得：， 若，则有， 综上所述，当时，直接写出反比例函数的取值范围为或． 故答案为：或． 类型四、反比例函数与一次函数的综合问题 1. 联立方程求交点 求两函数交点坐标时，联立反比例函数与一次函数的解析式，解方程组即可；若方程组无解，说明两函数图像无交点，可据此判断参数范围。 2. 数形结合判范围 解不等式 k/x>ax+b 时，结合图像找反比例函数图像在一次函数图像上方的区间；判断函数值正负、比较大小等问题，也需借助图像象限分布和增减性分析。 例4．（25-26八年级上·上海·月考）函数和在同一直角坐标系中的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象性质，熟练掌握反比例函数（的符号对应图象所在象限）、一次函数（系数对增减性和与坐标轴交点的影响）的图象特征是解题的关键． 根据，分别分析反比例函数的象限分布，以及一次函数的增减性和与坐标轴的交点，再匹配选项即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 反比例函数的图象位于第一、三象限， ∵ ，一次函数， ∴ 一次函数中，随的增大而增大（图象从左到右上升）， 令，得， ∵ ， ∴ 一次函数与轴的交点为，位于轴负半轴， 结合选项，只有D符合上述特征． 故选：D． 【变式4-1】（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图像交于点，，结合图象，关于x的不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，利用函数图象求不等式的解集，解题的关键是理解不等式的意义． 关于x的不等式的意义为一次函数的图象在反比例函数的图象的下方，由此对照图象写出不等式的解集． 【详解】解：观察图象得：当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方， ∴关于x的不等式的解集为：或． 故答案为：或． 【变式4-2】（25-26九年级上·全国·期末）已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点． (1)求这两个函数的解析式； (2)如果点C与点A关于y轴对称，求的面积． 【答案】(1)， (2)6 【分析】本题考查“一次函数与反比例函数的交点问题”，利用点坐标求出解析式是解题关键． （1）利用点A的坐标求出反比例函数的解析式，再以此求出点B的坐标，从而求出一次函数的解析式； （2）利用对称性求出点C的坐标，再通过坐标系中图形面积的求法解出面积即可． 【详解】（1）解：代入点到，得， ∴， ∵点B在上， ∴， ∴， 代入点，到，得 解得 ∴； （2）解：如图所示， ∵点C与点A关于y轴对称， ∴，平行于x轴， ∴，， ∴． 【变式4-3】（25-26九年级上·安徽安庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的，两点，与轴交于点 (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)直接写出当时，的取值范围； (3)在轴上找一点，使的值最大，求的最大值及点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2)的取值范围为或 (3)的最大值为，点的坐标为 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，根据点的坐标求线段长，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法，即可得到反比例函数和一次函数的解析式；   （2）根据两点的横坐标及直线与双曲线的位置关系求x的取值范围； （3）根据一次函数，求得与y轴的交点P，此交点即为所求． 【详解】（1）解：把点的坐标代入， 可得， 反比例函数的表达式为， 把点的坐标代入，可得， ， 把，的坐标代入， 可得， 解得， 一次函数的表达式为． （2）解：∵，， 结合图象可得，当时，的取值范围为或． （3）解：在中，令，则， 一次函数图象与轴的交点为，该点即为所要求的点， 此时，的值最大，为的长． 令，则， ， ， 的最大值为，点的坐标为． 类型五、反比例函数的应用问题 1. 建模转化抓关系 分析实际问题中的两个变量，判断是否满足乘积为定值的反比例关系，设函数解析式 ，代入已知条件求出 k，完成数学建模。 2. 结合实际定范围 求解函数值或自变量时，除计算外，需结合实际情境确定自变量的取值范围；涉及最优方案时，利用反比例函数增减性，结合定义域分析得出结论。 例5．（23-24八年级下·吉林四平·期末）如图，某种近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，某同学的镜片焦距为0.2米，经过矫正治疗后调整到0.5米，则近视眼镜减少的度数为（    ） A．500度 B．300度 C．200度 D．100度 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数，根据反比例函数图象过求出反比例函数的解析式，代入求出近视眼度数，作差即可求出减少的度数． 【详解】解：设，由图可知函数过， 则， ∴， 当时，， ∴某同学的镜片焦距为0.2米，经过矫正治疗后调整到0.5米，近视眼镜减少的度数为（度）， 故选：B． 【变式5-1】（24-25八年级下·山西晋城·期末）在数学实践课上，八（1）班数学兴趣小组要探究近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间的关系，发现如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意，设反比例函数解析式为，待定系数法求解析式，进而将代入，结合函数图象即可求解． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 将代入得，， ∴反比例函数解析式为：， 当时，． ∴配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是， 故答案为：． 【变式5-2】（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻来控制电流实现灯光亮度的变化，电流与电阻之间成反比例函数关系，如图2所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求对应的的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确地求出函数解析式，掌握反比例函数的性质是解题的关键． (1)待定系数法求出函数解析式； (2)将代入，求得的值，然后根据反比例函数在第一象限内的增减性即可得出结果． 【详解】（1）由题意可设 点在函数的图象上， ，， 电流与电阻之间的函数表达式为； （2）当时，，， 由函数图象可知，该函数在第一象限内随的增大而减小， 当时，． 【变式5-3】（24-25九年级上·广东茂名·期末）综合与实践 如本题图1，在左边托盘中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)依据实验得出，与的对应点，请您在本题图2中画出函数图像，并求出函数表达式； (2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 【答案】(1)函数图像见解析， (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数的应用、描点法画函数图像，正确得出反比例函数解析式是解题的关键． （1）根据表格中的数据，描点，连线即可得函数图像．根据图象可得是关于的反比例函数，利用待定系数法求解即可； （2）当时，，求解即可； （3）设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离，利用反比例函数的性质建立方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：描点并连线，函数图像如图所示． 由图像可得y与x之间是反比例函数关系， ∴设， ∵当时，， ∴， 解得， ∴y与x的函数关系式为：． （2）解：当时，代入得，， 解得， ∴当砝码质量为时，托盘B与点O的距离是． （3）解：设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离， 由题意得：， 解得． ∴在移动前托盘B中的砝码质量为． 类型六、反比例函数与几何图形的综合问题 1. 锚定k值建联系 利用几何图形性质（如平行、垂直、全等）确定双曲线上关键点的坐标，再根据 k=xy 计算 k 值；或由已知 k 值推出点的坐标关系，搭建函数与几何的桥梁。 2. 面积转化巧破题 遇到几何图形面积问题时，将不规则图形割补为与坐标轴垂直的直角三角形或矩形，结合 k 的几何意义 |k| 快速计算面积；也可反向由面积求点坐标或 k 值。 例6．（23-24八年级下·四川乐山·期末）如图，A、B为双曲线上的点，轴于D，轴于点C，则四边形的面积为（   ） A．8 B．12 C．16 D．18 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的综合运用，由反比例函数k的几何意义可得出，和，然后相加即可得出答案． 【详解】解：∵A、B为双曲线上的点，轴于D，轴于点C， ∴，，， ∴四边形， 故选D 【变式6-1】（23-24八年级下·海南海口·期末）如图，正方形的顶点、在轴上，反比例函数的图象经过点，交于点，则的值为 ，的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及三角形面积的计算，熟练掌握反比例函数值的求法和正方形顶点坐标的确定是解题的关键． 先利用反比例函数图象上点的坐标特征求出值，得到反比例函数解析式，再根据正方形性质确定各顶点坐标，进而求出点坐标，最后结合三角形面积公式求出的面积． 【详解】解：∵ 反比例函数经过点， ∴ ，反比例函数解析式为． ∵ 四边形是正方形，，、在轴上， ∴ ，，，． 把，代入得，即， ∵ ，， ∴ ． 故答案为：；． 【变式6-2】（24-25八年级下·江苏南京·月考）如图，点分别在反比例函数和的图像上，轴，与轴交于点，点是轴上一点．若的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何应用，反比例函数图象上点的坐标特征，设，则，可得，进而由的面积为得到，即可求出的值，再代入计算即可求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：设， ∵轴，， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上 ∴， ， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，M是四边形对角线的交点，轴于点C，轴于点，反比例函数：的图象经过点M，M是的中点． (1)求经过点A的反比例函数的表达式； (2)若点D恰好也在图象上，证明：四边形是菱形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题将反比例函数与四边形的性质结合，解题关键是利用反比例函数的性质和中点坐标求出相关点的坐标关系，再结合菱形的判定定理进行证明，考查了知识的综合运用能力． 设点M的坐标为，根据点M在反比例函数上，求出，根据轴，M是的中点，求出点A的坐标，设经过点A的反比例函数的表达式为，代入点A的坐标即可解答； 根据题意证明与互相垂直平分即可得证． 【详解】（1）解：设点M的坐标为， 点M在反比例函数上， ， 轴，M是的中点， 点A的坐标为， 设经过点A的反比例函数的表达式为， 把代入可得， 即， 又， ， 则反比例函数的表达式为； （2）证明：设点M的坐标为， 轴， 点D的纵坐标与点M的纵坐标相同， 点D在图象上， 点D的坐标为， 由知，，即， 点M的坐标为， ， 是的中点， ； 轴，轴， 轴，轴， 即， 四边形是菱形． 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）若反比例函数的图象经过点，则下列各点在该反比例函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象与点的关系，求出反比例函数解析式成为解题的关键． 先求得反比例函数解析式，然后将各选项代入判断即可． 【详解】解：设反比例函数表达式为， 把代入得：，即反比例函数解析式为． A．由，则点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意； B．由，则点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意； C．由，则点在反比例函数图象上，故本选项符合题意； D．由，则点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．（24-25九年级上·福建莆田·期末）已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟知反比例函数中当时，反比例函数图象经过第一，三象限，在每个象限内y随x增大而减小是解题的关键．根据反比例函数的增减性，以及经过的象限即可判断结果． 【详解】解：由条件可知反比例函数的图象经过第一，三象限，在每个象限内y随x增大而减小， ∵点，，都在反比例函数的图象上，，， ∴． 故选：A． 3．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，在直角坐标系中，直线与函数的图象相交于点A，B，设A点的坐标为，那么长为，宽为的矩形面积和周长分别是（    ） A．4，12 B．4，6 C．8，12 D．8，6 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题； 先联立两函数解析式求出，可得，再根据矩形面积公式和周长公式求解即可． 【详解】解：联立， 解得 或， 经检验，这两组解都是方程组的解， ∴， ∴， ∴长为，宽为的矩形面积为，周长为， 故选：A． 4．（23-24九年级上·山西阳泉·期末）如图，点为反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，点与点关于轴对称，连接．若的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数的图象和性质，轴对称的性质，连接，可得，进而由轴对称可得，即得，再根据反比例函数的图象和性质即可求解，掌握知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴， 故选：． 5．（24-25八年级下·四川内江·期末）若，则一次函数和反比例函数在同一坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数的图像性质与一次函数的图像性质，熟练掌握反比例函数与一次函数的图像是解题的关键． 根据一次函数与反比例函数的图像性质进行分析即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在二、四象限，故A、B选项不合题意． ∵， 或， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限或经过一、二、四象限，故C选项不合题意，D选项符合题意． 故选：D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，一次函数和反比例函数的图像相交于点，，若，则x的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据函数图像的上下位置关系结合交点的横坐标即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数和反比例函数图像相交于，， ∴根据函数图像可知：当或时，一次函数图像在反比例函数图象下方，即． 故答案为：或． 7．（25-26九年级上·全国·期末）如图，一次函数（m、n是常数）与反比例函数的第二象限的图象交于点，两点，与轴，轴分别交于点，，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数交点问题以及用待定系数法求函数解析式，解题时注意：函数图象过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式． 先求得，，再根据待定系数法求出一次函数的解析式为，再将代入一次函数解析式中求得，再将代入反比例函数中求出k的值即可． 【详解】解：一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点D，， ，， 把坐标代入得：， 解得：， 一次函数解析式为， 当时，， ， 是一次函数的图象与反比例函数的图象的交点， ． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，在正方形中，点在轴正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图象经过点． （1）点的坐标为 ； （2）若点是反比例函数图象上的一点，且，则点的坐标为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了正方形的性质、反比例函数的性质及三角形面积的计算，解题的关键是利用正方形的边长相等和垂直关系确定各顶点坐标，再结合反比例函数的表达式及面积条件求解． （1）根据正方形顶点在y轴上的位置关系，设出点A坐标，利用边长相等表示出点C坐标，结合反比例函数解析式求出点C坐标； （2）先计算正方形面积，再根据三角形面积公式列出关于点P纵坐标的方程，结合反比例函数解析式求出点P坐标． 【详解】解：（1）设点A的坐标为， ∵点B的坐标为，且四边形是正方形， ∴的长度为，，，且为水平方向， ∴点C的坐标为． 反比例函数经过点C， ， 解得，即点C的坐标为． 故答案为：． （2）由（1）可知，正方形的边长为5， ∴正方形的面积为． 点A的坐标为，点D的坐标为， ∴，直线的解析式为． 设点P的坐标为， ∵点P在反比例函数上， ． ∵， ∴， 即， 解得， ∴或 ， 即或． 当时，； 当时，； ∴点P的坐标为或 故答案为：或． 9．（24-25九年级下·全国·期末）如图，过原点O的直线与反比例函数和的图象分别交于点，若，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查反比例系数k的几何意义，相似三角形的判定与性质，熟练掌握k的几何意义是解题的关键． 利用k的几何意义和相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：过点分别作轴于点C，轴于点B，根据题意得 ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴． 故答案为：9． 10．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）如图所示，矩形的面积为6，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象上任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．理解这个知识点后，可以构造出这个矩形，求出这个矩形的面积就可知的值，再根据图像所在象限即可求出k．过P点作轴于E，轴于F，根据矩形的性质得，然后根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解． 【详解】解：如图所示，过P点作轴于E，轴于F， ∵四边形为矩形，面积为6，P为对角线的交点， ∴， ∴， 又∵图像的一支在第一象限， ∴， ∴． 故答案为． 三、解答题 11．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和两点．求点的坐标． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题，先求出点坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式，最后联立函数解析式解答即可，正确求出反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：把代入，得， ∴， ∴， 把代入，得， ∴反比例函数， 由，解得或， ∴． 12．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点，轴于点E，已知C点的坐标是，． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)求的面积． (3)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围 【答案】(1)反比例函数的关系式为，一次函数的关系式为 (2)6 (3)或 【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数表达式，进而求出点的坐标，再利用待定系数法求出一次函数表达式即可求解； （2）根据即可求得； （3）观察函数图象即可求解． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的关系式为， 点在反比例函数上，且， ，代入得：，解得， 点的坐标为． 、两点在直线上，则，解得， 一次函数的关系式为； （2）解：； （3）解：由图象可知：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值． 13．（24-25九年级上·全国·期末）如图，点A，B分别在x轴，y轴上，过A，B分别作垂线，交反比例函数 的图象于D，C，四边形为矩形，轴于F轴于E． (1)求证：． (2)请写出两个不同的关于a，b，x，y的关系式． (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)见解析 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用矩形和垂直条件推导角的等量关系，结合全等、相似及反比例函数性质建立线段间的关系式． （1）通过矩形性质和垂直关系推导角相等，证明，利用全等三角形对应边相等得； （2）根据点C、D在反比例函数图象上，其横纵坐标乘积等于k，结合坐标表示列出关系式，再由相似三角形对应边成比例得出另一关系式； （3）结合(2)中的关系式推导，得出是等腰直角三角形，进而证得． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形，轴于轴于E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，又， ∴， ∴； （2）解：由(1)知，， ∵， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 即①； ∵， ∴， ∴， ∴②； （3）解：由(2)中的①②得，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 14．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）某淘宝商家出售一种零食，在销售过程中，该商家发现这种零食的日销售量y（单位：）与日销售单价x（单位：元）之间成反比例函数关系，它的图象如图所示， (1)求y与x的函数表达式，并根据图象写出自变量x的取值范围； (2)求当日销售单价为15元时，日销售量为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及求反比例函数的函数值． （1）设反比例函数的解析式为，将点P代入解析式求解，即可解题； （2）将代入（1）中求出的解析式求解，即可解题． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 由图象知反比例函数经过点P， 即：， 所以反比例函数的解析式为； （2）解：令得， 答：日销售单价为15元时，日销售量为． 15．（24-25八年级下·四川内江·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，且与x轴和y轴分别交于点和点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集为_______； (3)连接OA，已知P为反比例函数图象上一点，且，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中可求出m的值，把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中可求出a、b的值； （2）根据（1）所求可得两函数解析式，联立两函数解析式可求出两函数的另一个交点坐标，再结合函数图象可得答案； （3）根据一次函数解析式求出点C坐标，进而求出的面积，则可得到的面积，根据三角形面积计算公式可求出点P的纵坐标，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴， ∴； ∵一次函数与反比例函数的图象交于点，且与x轴交于点， ∴， ∴， ∴，； （2）解：由（1）得一次函数解析式为，反比例函数解析式为， 联立，解得或， ∴一次函数与反比例函数的另一个交点坐标为， ∴由函数图象可知，不等式的解集为或； （3）解：在中，当时，， ∴， ∵， ， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，，当时，， ∴点P的坐标为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $