专题 6.4 反比例函数全章复习讲义 - 2025-2026学年北师大版九年级数学上册基础知识专项突破讲练

该初中数学反比例函数全章复习讲义通过知识体系图谱构建完整知识框架，以表格对比呈现反比例函数图象与性质，分“基础筑牢-方法突破-综合提能”三层次梳理核心内容，突出概念辨析、k的几何意义等重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层作业设计与模型方法精讲，基础题巩固概念辨析等核心题型，提升题突破k的几何意义综合及反比例与一次函数综合等中考题型，通过易错专项培养推理意识，分层适配助力不同学生发展，配套错题手册支持自主复习与教师精准教学。

专题 6.4 反比例函数（全章复习讲义） 目录 一、专题核心定位 1 【核心目标】 1 【学情适配】 2 【中考对接】 2 二、 知识体系图谱 2 三、 专题核心内容 3 第一部分：基础筑牢篇 —— 核心知识通关 3 【模块1】知识精讲 3 【模块2】基础题型通关（▲核心题型） 4 题型 1：反比例函数概念辨析（基础必练） 4 题型 2：反比例函数图象与性质应用（同步必练） 4 题型 3：反比例函数解析式求解（同步必练） 5 【变式2】题型 4：k的几何意义基础应用（同步必练） 5 题型 5：反比例函数与一次函数基础综合（同步必练） 6 第二部分：方法突破篇 —— 核心技巧攻坚 7 模块 3：高频模型 / 方法精讲 7 模块 4：易错题型专项突破（△重点警示） 8 易错类型 1：忽略反比例函数中k≠0的隐含条件 8 易错类型 2：混淆反比例函数图象所在象限与k符号的关系 8 易错类型 3：误用k的几何意义（忽略图形形状或系数） 9 第三部分：综合提能篇 —— 中考对接与压轴突破 10 模块 5：中考高频题型分类突破 10 题型 1：反比例函数解析式求解（★中考必考题） 10 题型 2：k的几何意义综合应用（★中考常考题） 10 题型 3：反比例函数与一次函数综合（★中考应用性考点） 12 题型 4：反比例函数与几何综合（★中考提升题） 13 题型 5：反比例函数的实际应用（★中考冲刺题） 14 题型 6：规律问题（★中考冲刺题） 15 四、专题配套资源 16 分层作业设计： 16 基本夯实题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 16 能力提升题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 20 五、反思：错题归因手册： 24 一、专题核心定位 【核心目标】 夯实反比例函数的概念本质，掌握反比例函数解析式求解、图象性质应用、与几何图形综合、与一次函数综合四大核心能力，能熟练运用反比例函数解决实际应用、代数求值、图形计算等问题，建立“数形结合”与“方程思想”的逻辑思维，为后续二次函数综合应用奠定基础。 【适用场景】 北师大版九年级上册同步培优、期中、期末复习、中考一轮基础巩固、中考二轮专题突破； 【学情适配】 基础薄弱生：掌握核心概念、基本性质与基础题型，实现“会求解析式、能判图象、解基础应用”； 中等生：熟练运用图象性质、解析式求解技巧，突破综合计算、实际应用与基础几何综合题型； 优等生：掌握跨知识点综合技巧，解决一次函数与反比例函数综合、复杂几何融合、压轴创新题型，强化解题策略与思想方法。 【中考对接】 标注高频考点（★）、核心题型（▲）、易错点（△），明确反比例函数在中考中“工具性”与“综合性”双重作用（如与一次函数联合求交点、结合几何图形求面积、实际问题建模求解），精准对接近年中考“数形结合”“应用建模”的命题趋势。 2、 知识体系图谱 3、 专题核心内容 第一部分：基础筑牢篇 —— 核心知识通关 【模块1】知识精讲 1. 概念辨析（△重点突破） （1）定义：形如的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数． （2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：①；②；③. 2.反比例函数的图象与性质（★中考核心考点） y＝ （k为常数，） 图　象 所在象限 一、三（x，y同号） 二、四（x，y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 1.图象是中心对称图形，对称中心为原点； 2.图象是轴对称图形，两条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限的角平分线和二、四象限的角平分线． 3.反比例函数表达式的确定（★中考高频考点） 待定系数法：（1）设：设函数表达式为；（2）代：将已知点的坐标代入函数表达式；（3）解：求出k的值，得到函数表达式． 4.系数k的几何意义（★中考核心考点） （1）意义：从的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为. 5. 反比例函数与一次函数 （1）确定交点坐标 ①正比例函数与反比例函数图象相交，若其中一个交点坐标为，根据中心对 称性，可得另一个交点坐标为. ②一次函数与反比例函数图象相交，可联立两个函数解析式，利用方程思想求解. （2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求 解. （3） 在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分 K>0和k<0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可，也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 【模块2】基础题型通关（▲核心题型） 题型 1：反比例函数概念辨析（基础必练） 【例题1】（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·山东济南·月考）若是反比例函数，则k的值为（   ） A． B．或 C．或 D． 【变式2】（25-26九年级上·广东惠州·月考）若是反比例函数，则的值为 ． 题型 2：反比例函数图象与性质应用（同步必练） 【例题2】（2025·甘肃·中考真题）已知点，在反比例函数的图象上，如果，那么 （请写出一个符合条件的k值）． 【变式1】（2025·广东广州·中考真题）若，反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【变式2】（2025·湖南·中考真题）对于反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 【变式3】（25-26九年级上·四川·期中）已知点、、都在反比例函数的图象上，则的大小为 ．（用“”连接） 题型 3：反比例函数解析式求解（同步必练） 【例题3】（25-26九年级上·山东淄博·月考）在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象如图所示，则k的值可能是 ． 【变式1】（24-25九年级上·河南新乡·期末）在描述一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图象上任意一点向x轴，y轴作垂线，与两坐标轴所成的矩形面积为，”乙同学说：“当时，y随着x的增大而增大．”根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是 ． 【变式2】请写出一个反比例函数解析式，其中：该函数图象在每一象限内随增大而增大， 【变式2】题型 4：k的几何意义基础应用（同步必练） 【例题4】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，点A在反比例函数的图象上，点 B在x轴的负半轴上，直线 与 y轴交于点C ，若 的面积为 18，则 k的值为 ． 【变式1】（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点为轴负半轴上一点，以为边作面积为的，若反比例函数的图象恰好经过的中点，则反比例函数的表达式为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，直线平行于轴，且与反比例函数及分别交于，两点，连接，，已知的面积为2，则的值为 ． 题型 5：反比例函数与一次函数基础综合（同步必练） 【例题5】（2025·海南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、．则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 【变式1】（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）在同一直角坐标系中，函数与的大致图象可能为（    ） A．   B．   C．   D．   【变式2】（23-24九年级下·山东临沂·期中）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列结论正确的是 ．（填写编号即可） ①4月份的利润为50万元 ②治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元 ③治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元 ④9月份该厂利润达到200万元    【变式3】（23-24九年级下·广东汕尾·月考），直线与y轴交于点A，与反比例函数的图像交于点C，过点C作轴于点B，． （1）求点B的坐标； （2）求反比例函数的解析式． 第二部分：方法突破篇 —— 核心技巧攻坚 模块 3：高频模型 / 方法精讲 模型 适用场景 解题方法 反比例函数解析式 已知双曲线上一点坐标、面积关系或数量关系求解析式。 ①待定系数法：代入已知点坐标求k；②面积法：利用k的几何意义，由面积求|k|，再结合象限确定k的符号；③数量关系法：根据“成反比例”设解析式，结合条件求k。 k的几何意义综合模型 涉及双曲线上点与坐标轴构成的矩形、三角形面积，或多点点面积关系。 ①“定积求k”：明确图形与k的面积关系（矩形=|k|，三角形=k|），结合象限定符号；②“定k求积”：直接利用面积公式计算；③“多点点面积”：利用坐标表示线段长度，结合割补法求面积，或利用k的几何意义转化面积关系。 反比例函数与一次函数综合模型 求交点坐标、判断函数值大小、求解析式、与几何图形结合。 ①求交点：联立方程组求解；②比大小：找交点分界，观察图象上下位置；③求解析式：先由一个函数（通常是反比例函数）求k，再代入交点求一次函数系数；④几何结合：利用函数坐标表示线段长度，结合几何性质求解。 反比例函数实际应用模型 双曲线上点与三角形、四边形等几何图形结合，求边长、面积、坐标等。 ①坐标法：设双曲线上点的坐标为（x，），利用几何图形性质（如全等、相似、中点）建立方程；②面积法：结合k的几何意义与几何图形面积公式，建立等式求解；③对称法：利用反比例函数的对称性（中心对称、轴对称）转化点的坐标，简化计算。 模块 4：易错题型专项突破（△重点警示） 易错类型 1：忽略反比例函数中k≠0的隐含条件 【例题6】（24-25八年级下·全国·单元测试）反比例函数中，k与x的取值情况是（   ） A．取全体实数 B．取全体实数 C． D．k、x都可取全体实数 【变式1】（2025九年级上·全国·专题练习）若是反比例函数，则a 的值为（　　） A．1 B． C． D．2 【变式2】（23-24八年级下·四川内江·阶段练习）已知是关于的反比例函数，则 ． 易错类型 2：混淆反比例函数图象所在象限与k符号的关系 【例题7】（2025·上海徐汇·二模）如果反比例函数（是常数，）的图像经过第一、三象限，那么一次函数的图像一定经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 【变式1】（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）当时，则反比例函数的图象在第 象限． 【变式2】（25-26九年级上·广西桂林·期中）若反比例函数的图象位于第一、三象限，则关于x的一元二次方程根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 易错类型 3：误用k的几何意义（忽略图形形状或系数） 【例题8】（25-26九年级上·广西梧州·期中）如图，是反比例函数图像在第二象限上的一点，且矩形的面积为8，则反比例函数的表达式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·湖南怀化·期中）如图：点A在反比例函数的图象上，轴于点B，C是的中点，连接，若的面积为3，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【变式2】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，已知是反比例函数上一点，轴于点，点在轴上，且的面积为1，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【变式3】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，已知一个反比例函数经过的斜边的中点D，且与相交于点C．若，则该反比例函数的表达式为 ． 第三部分：综合提能篇 —— 中考对接与压轴突破 模块 5：中考高频题型分类突破 题型 1：反比例函数解析式求解（★中考必考题） 【例题9】 【变式1】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）已知反比例函数（为常数，且）的图象经过点． （1）求这个函数的表达式； （2）判断点，是否在这个函数的图象上，并说明理由； （3）当时，则的取值范围为_______． 【变式2】（24-25八年级下·浙江丽水·期末）已知反比例函数过点． （1）当时，求的值． （2）若，求m的取值范围． （3）反比例函数过点，当时，，求证：． 【变式3】（24-25八年级下·浙江·期末）已知，是反比例函数图象上的两点． （1）若，，求的值． （2）若，关于原点中心对称，求的值． （3）当，，时，求的取值范围． 题型 2：k的几何意义综合应用（★中考常考题） 【例题10】（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【变式1】（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）如图，中，，边OB在x轴上，反比例函数（）的图像经过斜边的中点，与相交于点，． （1）设点的坐标为，求反比例函数的解析式； （2）若，求点M的坐标． 【变式2】（2023·湖南株洲·三模）已知：如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于点，与反比例函数的图像交于点，过原点的直线与，的图像分别相交于C、D点，过点C、D分别作x轴，y轴的垂线，交点为E，． （1）求m和的值； （2）当直线绕点O旋转时， ①直接写出比值=___________； ②点E是否在某个反比例函数的图像上运动？如果是，请求出这个反比例函数的解析式；如果不是，请说明理由． 题型 3：反比例函数与一次函数综合（★中考应用性考点） 【例题11】（25-26九年级上·湖南永州·期中）如图，的顶点A是反比例函数的图象与一次函数的图象在第二象限的交点，轴于点B，且． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求一次函数与反比例函数图象的两个交点A，C的坐标； （3）当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值． 【变式1】（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与轴相交于点． （1）求，，，的值； （2）若点与点关于轴对称，连接，，求的面积； （3）根据图象，直接写出不等式的解集． 【变式2】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于、B两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求三角形AOB的面积； （3）直接写出不等式的解集． 题型 4：反比例函数与几何综合（★中考提升题） 【例题12】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，将等腰直角三角板的直角顶点放在坐标系的处，锐角顶点和恰好都落在反比例函数第二象限图象上． （1）求反比例函数解析式； （2）连接，求四边形的面积． 【变式1】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，双曲线经过斜边的中点P，交直角边于点Q，连接，点A的坐标为． （1）求双曲线的解析式； （2）求证：． 【变式2】（24-25九年级下·甘肃·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，点C，与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）点是反比例函数图象上一点，连接BD，CD，求的面积． 题型 5：反比例函数的实际应用（★中考冲刺题） 【例题13】（25-26九年级上·山东淄博·期中）某校对教室采取喷洒药物的方式进行消毒．在对某教室进行消毒的过程中，先经过的集中药物喷洒，再封闭教室，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量y（）与药物在空气中的持续时间之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示． 下面四个选项中错误的是（    ） A．经过集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到 B．室内空气中的含药量不低于的持续时间达到了 C．室内空气中的含药量不低于的持续时间达到了 D．当室内空气中的含药量低于时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到开始，需经过后，学生才能进入室内 【变式1】（24-25八年级下·北京·期中）某AI分拣机器人工作时，每小时可分拣包裹数50件，每工作3小时需暂停0.5小时校准，校准期间不工作．总分拣包裹数记为件，总耗时记为小时（含分拣与校准时间），机器人分拣的平均速度．则当 时，恰为45件/小时． 【变式2】（25-26九年级上·山东济南·期中）某校后勤处每周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为浅消毒阶段，段为深消毒阶段，且消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）的关系可近似用一次函数刻画，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： （1）_____，消毒效果最高效力是_____； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）若消毒效果持续分钟达到效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 题型 6：规律问题（★中考冲刺题） 【例题14】（2025·山东淄博·一模）如图，双曲线与直线相交于点A，B，在直线上取点，，…，依次以，…为对角线分别向外作左、右一组对边垂直于x轴的矩形，…．矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：；矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：；矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：，…．按此规律，则点的坐标为 ． 【变式1】（23-24九年级上·湖南·月考）如图，在反比例函数的图象上有、B两点，连接，过这两点分别作x轴的垂线交x轴于点C、D，已知，点是的中点，连接，得到；点是的中点，连接，得到；……按照此规律继续进行下去，则的面积为 ．（用含正整数n的式子表示） 【变式2】如图，平面直角坐标系中，边长为的正方形的顶点、分别在轴、轴上，点在反比例函数的图象上，过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，再过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，…，依此规律，作出矩形时，落在反比例函数图象上的顶点的坐标为（ ）    A． B． C． D． 四、专题配套资源 分层作业设计： 基本夯实题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 一、单选题 1．（25-26九年级上·广西北海·期中）下列函数关系式中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山西晋中·期中）已知反比例函数，下列结论错误的是（    ） A．其图象经过点 B．随的增大而减小 C．其图象位于第一、第三象限 D．当时， 3．（25-26九年级上·广西梧州·期中）已知点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，点在反比例函数的图象上，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，．若，，则该反比例函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）函数与（）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 6．（2022·贵州遵义·二模）小亮为了求不等式>x+2的解集，绘制了如图所示的反比例函数y=与一次函数y=x+2的图像，观察图像可得该不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 二、填空题 7．（23-24八年级上·上海静安·期末）函数的图像经过的象限是 ． 8．（25-26九年级上·安徽六安·月考）已知点，均在反比例函数图象上，则 （填、、）． 9．（25-26九年级上·河北·课后作业）反比例函数的图像在每个象限内，y随x的增大而增大，则a的取值范围是 ． 10．（25-26九年级上·广西桂林·期中）如图，A，B两点在反比例函数的图象上，已知，则空白部分的值为 ． 11．（2025·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系中，若函数的图像与直线交于点和点，则点的坐标是 ． 12．（24-25八年级下·四川遂宁·期末）如图，是函数的图象上一点，直线分别交轴、轴于点、，过点作轴于点，交于点，作轴于点，交于点，当时，的值为 ． 三、解答题 13．（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）已知反比例函数的图像经过第一、三象限． （1）求的取值范围； （2）若，此函数的图象经过第一象限内的两点、且，直接写出的取值范围． 14．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，直线与双曲线交于点 （1）求双曲线对应的函数表达式； （2）把直线向上平移3个单位长度，与双曲线交于点B，连接，求的面积． 15．（25-26九年级上·山东德州·期中）在平面直角坐标系中，设反比例函数（为常数，）的图象与一次函数（，b为常数，的图象交于点，． （1）求的值和一次函数表达式； （2）当时，直接写出的取值范围； 16．（2025·河南商丘·二模）已知反比例函数与一次函数相交于点和点，如图所示，且一次函数与轴，轴分别交于点和点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）设是轴上一点，当和面积相等时，求点的坐标； 能力提升题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 一、单选题 1．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）函数是反比例函数，则m=（   ）． A． B． C． D．2或 2．（25-26九年级上·广西桂林·期中）若反比例函数的图象位于第一、三象限，则关于x的一元二次方程根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 3．（2024·云南·模拟预测）已知为反比例函数，下列结论不正确的是（  ） A．y随x的增大而增大 B．图象必经过点 C．图象在第二、四象限 D．若，则 4．（25-26九年级上·广西来宾·阶段练习）关于的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（   ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级下·山东烟台·期末）某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 6．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，函数的图象经过的中点，交于点，连接．若，则的值为（   ） A．1 B．4 C．8 D．2 二、填空题 7．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）从五个点、、、、中任取一点，在双曲线上的概率是 ． 8．（22-23九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，已知点A在反比例函数图像上，轴于点M，且的面积为4，则反比例函数的解析式为 ． 9．（2025·陕西西安·模拟预测）若点、、都在反比例函数的图象上，若，则、、的大小关系是 （用“”连接）． 10．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）如图，在函数和的图象上，分别有两点，若轴，交轴于点，且，，则线段的长度 ． 11．（2024·江苏常州·模拟预测）如图，和y＝x的图像，若一个数x大于它的倒数，可知x的取值范围是 ． 12．（2023九年级·安徽·专题练习）已知直线与轴交于点，与轴交于点，是直线在第一象限上的一点，且．若反比例函数的图象经过点，则 ． 三、解答题 13．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）已知反比例函数的图象位于第一、三象限． （1）求k的取值范围； （2）若，此函数的图象经过第一象限的两点，，且，求a的取值范围． 14．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，反比例函数与一次函数的图像在第一象限交于点，点位于第一象限，且是反比例函数图像上一点，轴于点，交一次函数的图像于点，连接． （1）________，________； （2）当时，求的面积； （3）当时，直接写出自变量的取值范围． 15．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系 中，直线与双曲线 交于， 两点，与轴交于点，与轴交于点，其中点的坐标为．； （1）求双曲线和直线的表达式； （2）请直接写出反比例函数值大于一次函数值的自变量的取值范围； （3）将直线向下平移，当平移后的直线与双曲线只有一个交点时，请求出直线的解析式． 16．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）【问题情境】 综合实践课上，老师组织同学们围绕反比例函数开展数学探究活动． 如图1，过原点的直线与反比例函数的图像交于点，，点是反比例函数第一象限图像上的一点，点，的横坐标分别为，，连接交轴于点，试探究点的坐标与，的关系． 【探索思考】 （1）A组同学提出从特殊情况着手探究：当，，时，可直接求出点的坐标； （2）B组同学将部分条件特殊化：当时，可用含的代数式表示点的坐标； 请你结合A、B两组同学的思考，帮助他们分别求出（1）、（2）中点的坐标； 【问题解决】 （3）用含，的代数式表示点的坐标，并写出完整的推理过程； 【拓展应用】 （4）如图2，若直线与轴交于点，连接，直接写出________．（用含的代数式表示） 五、反思：错题归因手册： ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 6.4 反比例函数（全章复习讲义） 目录 一、专题核心定位 2 【核心目标】 2 【学情适配】 2 【中考对接】 2 二、 知识体系图谱 2 三、 专题核心内容 3 第一部分：基础筑牢篇 —— 核心知识通关 3 【模块1】知识精讲 3 【模块2】基础题型通关（▲核心题型） 4 题型 1：反比例函数概念辨析（基础必练） 4 题型 2：反比例函数图象与性质应用（同步必练） 5 题型 3：反比例函数解析式求解（同步必练） 7 【变式2】题型 4：k的几何意义基础应用（同步必练） 9 题型 5：反比例函数与一次函数基础综合（同步必练） 11 第二部分：方法突破篇 —— 核心技巧攻坚 15 模块 3：高频模型 / 方法精讲 15 模块 4：易错题型专项突破（△重点警示） 16 易错类型 1：忽略反比例函数中k≠0的隐含条件 16 易错类型 2：混淆反比例函数图象所在象限与k符号的关系 17 易错类型 3：误用k的几何意义（忽略图形形状或系数） 18 第三部分：综合提能篇 —— 中考对接与压轴突破 22 模块 5：中考高频题型分类突破 22 题型 1：反比例函数解析式求解（★中考必考题） 22 题型 2：k的几何意义综合应用（★中考常考题） 25 题型 3：反比例函数与一次函数综合（★中考应用性考点） 30 题型 4：反比例函数与几何综合（★中考提升题） 34 题型 5：反比例函数的实际应用（★中考冲刺题） 39 题型 6：规律问题（★中考冲刺题） 42 四、专题配套资源 46 分层作业设计： 46 基本夯实题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 46 能力提升题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 57 五、反思：错题归因手册： 70 一、专题核心定位 【核心目标】 夯实反比例函数的概念本质，掌握反比例函数解析式求解、图象性质应用、与几何图形综合、与一次函数综合四大核心能力，能熟练运用反比例函数解决实际应用、代数求值、图形计算等问题，建立“数形结合”与“方程思想”的逻辑思维，为后续二次函数综合应用奠定基础。 【适用场景】 北师大版九年级上册同步培优、期中、期末复习、中考一轮基础巩固、中考二轮专题突破； 【学情适配】 基础薄弱生：掌握核心概念、基本性质与基础题型，实现“会求解析式、能判图象、解基础应用”； 中等生：熟练运用图象性质、解析式求解技巧，突破综合计算、实际应用与基础几何综合题型； 优等生：掌握跨知识点综合技巧，解决一次函数与反比例函数综合、复杂几何融合、压轴创新题型，强化解题策略与思想方法。 【中考对接】 标注高频考点（★）、核心题型（▲）、易错点（△），明确反比例函数在中考中“工具性”与“综合性”双重作用（如与一次函数联合求交点、结合几何图形求面积、实际问题建模求解），精准对接近年中考“数形结合”“应用建模”的命题趋势。 2、 知识体系图谱 3、 专题核心内容 第一部分：基础筑牢篇 —— 核心知识通关 【模块1】知识精讲 1. 概念辨析（△重点突破） （1）定义：形如的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数． （2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：①；②；③. 2.反比例函数的图象与性质（★中考核心考点） y＝ （k为常数，） 图　象 所在象限 一、三（x，y同号） 二、四（x，y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 1.图象是中心对称图形，对称中心为原点； 2.图象是轴对称图形，两条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限的角平分线和二、四象限的角平分线． 3.反比例函数表达式的确定（★中考高频考点） 待定系数法：（1）设：设函数表达式为；（2）代：将已知点的坐标代入函数表达式；（3）解：求出k的值，得到函数表达式． 4.系数k的几何意义（★中考核心考点） （1）意义：从的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为. 5. 反比例函数与一次函数 （1）确定交点坐标 ①正比例函数与反比例函数图象相交，若其中一个交点坐标为，根据中心对 称性，可得另一个交点坐标为. ②一次函数与反比例函数图象相交，可联立两个函数解析式，利用方程思想求解. （2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求 解. （3） 在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分 K>0和k<0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可，也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 【模块2】基础题型通关（▲核心题型） 题型 1：反比例函数概念辨析（基础必练） 【例题1】（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的定义，解题的关键是掌握反比例函数的几种形式：或或的函数是反比例函数． 根据反比例函数或或的形式解答即可． 解：A．是反比例函数，故该选项不符合题意； B．是正比例函数，故该选项符合题意； C．是反比例函数，故该选项不符合题意； D．是反比例函数，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·山东济南·月考）若是反比例函数，则k的值为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数定义．由反比例函数的定义可得，自变量的系数不能为，次数为，据此列出方程求出的值． 解： 根据反比例函数的定义可得：， 解得：， 故选；D． 【变式2】（25-26九年级上·广东惠州·月考）若是反比例函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，理解其定义是解题的关键． 根据反比例函数的定义解题即可． 解：由题意知，， 解得：． 故答案为：． 题型 2：反比例函数图象与性质应用（同步必练） 【例题2】（2025·甘肃·中考真题）已知点，在反比例函数的图象上，如果，那么 （请写出一个符合条件的k值）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据点，在反比例函数的图象上，且，得到在同一象限内随着的增大而减小，进而得到图象过一，三象限，得到，即可． 解：∵点，在反比例函数的图象上， 又∵，， ∴在同一象限内随着的增大而减小， ∴双曲线过一，三象限， ∴， ∴（答案不唯一）； 故答案为：1（答案不唯一）． 【变式1】（2025·广东广州·中考真题）若，反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查的是绝对值的化简，反比例函数图象的性质，由绝对值的性质得出k的符号，再根据反比例函数的图象性质确定其所在象限． 解：确定k的符号： 由题设条件且，根据绝对值的非负性，右边，即．又因，故为负数． ∵反比例函数的图象位置由的符号决定： 当时，图象位于第一、三象限； 当时，图象位于第二、四象限． 因为负数，故图象在第二、四象限． 综上，正确答案为选项C． 故选：C 【变式2】（2025·湖南·中考真题）对于反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 解：、当时，，所以点在它的图象上，故选项不符合题意； 、由可知，它的图象在第一、三象限，故选项不符合题意； 、当时，随的增大而减小，故选项不符合题意； 、当时，随的增大而减小，故符合题意； 故选：D． 【变式3】（25-26九年级上·四川·期中）已知点、、都在反比例函数的图象上，则的大小为 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．根据反比例函数的性质，分别计算各点的函数值，然后比较大小即可． 解：对于点，有； 对于点，有； 对于点，有． ∵， ∴． 故答案为：． 题型 3：反比例函数解析式求解（同步必练） 【例题3】（25-26九年级上·山东淄博·月考）在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象如图所示，则k的值可能是 ． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的图象，解题的关键是掌握反比例函数图象离坐标轴越远，k的绝对值越大． 根据点A和点B的坐标，得出k的取值范围，即可解答． 解：∵该反比例函数位于第一象限的图象低于点， ∴， ∵该反比例函数位于第三象限的图象低于点， ∴， ∴， ∴k的值可能是3， 故答案为：3（答案不唯一）． 【变式1】（24-25九年级上·河南新乡·期末）在描述一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图象上任意一点向x轴，y轴作垂线，与两坐标轴所成的矩形面积为，”乙同学说：“当时，y随着x的增大而增大．”根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是 ． 【答案】 【分析】此题考查了求反比例函数解析式．根据甲同学的说法确定，再根据乙同学的说法确定，继而得到反比例函数的解析式即可． 解：根据题意，满足甲乙两同学说法的反比例函数解析式为：． 故答案为：． 【变式2】请写出一个反比例函数解析式，其中：该函数图象在每一象限内随增大而增大， 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，对于反比例函数，当时，函数图象在每一象限内随增大而增大，由此可解． 解：的函数图象在每一象限内随增大而增大， 故答案为：．（答案不唯一） 【变式2】题型 4：k的几何意义基础应用（同步必练） 【例题4】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，点A在反比例函数的图象上，点 B在x轴的负半轴上，直线 与 y轴交于点C ，若 的面积为 18，则 k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，平行线分线段成比例，解题的关键是掌握反比例函数系数的几何意义，求出的面积．根据三角形的面积公式可得，进而求出答案． 解：如图，过点作轴，垂足为， ∵轴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵的面积为18， ∴， ∵点A在第一象限， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点为轴负半轴上一点，以为边作面积为的，若反比例函数的图象恰好经过的中点，则反比例函数的表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求反比例函数的几何意义，三角形中线的性质，连接，根据题意易求的面积为，进而得到，再结合图形可得，即可解答． 解：如图，连接， ∵面积为，点为的中点， ∴的面积为， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为． 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，直线平行于轴，且与反比例函数及分别交于，两点，连接，，已知的面积为2，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，设直线l与y轴交于点C，根据反比例函数比例系数的几何意义得到，再由的面积为2，得到，据此可得答案． 解：如图所示，设直线l与y轴交于点C， ∵直线平行于轴， ∴直线l垂直于y轴，即， ∵直线平行于轴，且与反比例函数及分别交于，两点， ∴； ∵的面积为2， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型 5：反比例函数与一次函数基础综合（同步必练） 【例题5】（2025·海南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、．则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，观察函数图象，得出函数图象都在函数图象的上方的自变量的取值范围，即可求解．数形结合是解题的关键． 解：当函数图象都在函数图象的上方时，， 由函数图象可得，当或时，， ∴不等式的解集为或， 故选：D． 【变式1】（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）在同一直角坐标系中，函数与的大致图象可能为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据一次函数和反比例函数的图象和性质，即可解答． 解：①当时，， 一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限； ②当时，， 一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数经过第一、三象限； 故选：D． 【点拨】本题主要考查了一次函数和反比例函数图象的性质，解题的关键是掌握一次函数，当时，经过一、三象限；当时，经过二、四象限；反比例函数，当时，经过一、三象限；当时，经过二、四象限． 【变式2】（23-24九年级下·山东临沂·期中）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列结论正确的是 ．（填写编号即可） ①4月份的利润为50万元 ②治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元 ③治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元 ④9月份该厂利润达到200万元    【答案】①②④ 【分析】此题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确得出函数解析是解题关键．直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案即可． 解：①、设反比例函数的解析式为， 把代入得，， ∴反比例函数的解析式为：， 当时，， ∴4月份的利润为50万元，故正确，符合题意； ②、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，故正确，符合题意； ③、当时，则， 解得：， 则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，故错误，不符合题意． ④、设一次函数解析式为：， 则， 解得：， 故一次函数解析式为：， 故时，， 则9月份该厂利润达到200万元，故正确，符合题意． 故答案为：①②④． 【变式3】（23-24九年级下·广东汕尾·月考），直线与y轴交于点A，与反比例函数的图像交于点C，过点C作轴于点B，． （1）求点B的坐标； （2）求反比例函数的解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，反比例函数的图像与性质，解决本题的关键是熟练掌握两个函数的性质． （1）先根据直线方程求解出点A的坐标，再由可求解，由此可得点B的坐标； （2）先利用直线方程求解出点C的坐标，再将点C代入反比例函数中即可求解． 解：（1）解：∵直线与y轴交于点A， 令， 解得， ∴，即， ∵， ∴， ∴点B的坐标为． （2）解：∵轴，B的坐标为， ∴点C的横坐标为， ∵点C在直线上， ∴，解得， ∴点， ∴将点代入中， ∴， 解得 ∴反比例函数的解析式为． 第二部分：方法突破篇 —— 核心技巧攻坚 模块 3：高频模型 / 方法精讲 模型 适用场景 解题方法 反比例函数解析式 已知双曲线上一点坐标、面积关系或数量关系求解析式。 ①待定系数法：代入已知点坐标求k；②面积法：利用k的几何意义，由面积求|k|，再结合象限确定k的符号；③数量关系法：根据“成反比例”设解析式，结合条件求k。 k的几何意义综合模型 涉及双曲线上点与坐标轴构成的矩形、三角形面积，或多点点面积关系。 ①“定积求k”：明确图形与k的面积关系（矩形=|k|，三角形=k|），结合象限定符号；②“定k求积”：直接利用面积公式计算；③“多点点面积”：利用坐标表示线段长度，结合割补法求面积，或利用k的几何意义转化面积关系。 反比例函数与一次函数综合模型 求交点坐标、判断函数值大小、求解析式、与几何图形结合。 ①求交点：联立方程组求解；②比大小：找交点分界，观察图象上下位置；③求解析式：先由一个函数（通常是反比例函数）求k，再代入交点求一次函数系数；④几何结合：利用函数坐标表示线段长度，结合几何性质求解。 反比例函数实际应用模型 双曲线上点与三角形、四边形等几何图形结合，求边长、面积、坐标等。 ①坐标法：设双曲线上点的坐标为（x，），利用几何图形性质（如全等、相似、中点）建立方程；②面积法：结合k的几何意义与几何图形面积公式，建立等式求解；③对称法：利用反比例函数的对称性（中心对称、轴对称）转化点的坐标，简化计算。 模块 4：易错题型专项突破（△重点警示） 易错类型 1：忽略反比例函数中k≠0的隐含条件 【例题6】（24-25八年级下·全国·单元测试）反比例函数中，k与x的取值情况是（   ） A．取全体实数 B．取全体实数 C． D．k、x都可取全体实数 【答案】C 【分析】此题主要考查了反比例函数的定义．利用反比例函数的概念：形如（k为常数，）的函数称为反比例函数．其中是自变量，自变量的取值范围是不等于0的一切实数，即可得出答案． 解：反比例函数（k为常数，）的自变量的取值范围是：． 故选：C． 【变式1】（2025九年级上·全国·专题练习）若是反比例函数，则a 的值为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义求解即可． 解：函数是反比例函数， ， 解得， 故选：A． 【变式2】（23-24八年级下·四川内江·阶段练习）已知是关于的反比例函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义、求代数式的值，反比例函数的一般形式是（为常数，），先根据反比例函数的定义求出的值，再代入计算即可得出答案． 解：由题意得：，， 解得：， ∴， 故答案为：． 易错类型 2：混淆反比例函数图象所在象限与k符号的关系 【例题7】（2025·上海徐汇·二模）如果反比例函数（是常数，）的图像经过第一、三象限，那么一次函数的图像一定经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 【答案】B 【分析】本题考查一次函数，反比例函数中系数与图像的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数，反比例函数中系数与图像的关系解答即可． 解：∵反比例函数的图像经过第一、三象限， ∴一次函数的图像一定经过第一、三象限，且交轴于负半轴， ∴一次函数的图像一定经过第一、三、四象限． 故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）当时，则反比例函数的图象在第 象限． 【答案】一 【分析】本题考查了判断反比例函数图象所在象限，根据反比例函数中的，即可得出该反比例函数图象在第一象限，即可作答． 解：∵反比例函数中的， ∴该反比例函数图象在第一象限． 故答案为：一 【变式2】（25-26九年级上·广西桂林·期中）若反比例函数的图象位于第一、三象限，则关于x的一元二次方程根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式等知识，先根据反比例函数的图象位于第一、三象限求出的取值范围，再求方程根的判别式并判断其符合，从而得解． 解：反比例函数的图象位于第一、三象限， ， 解得， 对于关于x的一元二次方程， ∴， ∴该方程没有实数根， 故选：C． 易错类型 3：误用k的几何意义（忽略图形形状或系数） 【例题8】（25-26九年级上·广西梧州·期中）如图，是反比例函数图像在第二象限上的一点，且矩形的面积为8，则反比例函数的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义及反比例函数的性质，解题关键是理解过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．根据矩形面积得出，根据反比例函数图像经过第二象限，得出，即可得答案． 解：∵矩形的面积为8， ∴， ∴ ∵点是反比例函数的第二象限上的一点， ∴， ∴反比例函数的表达式为． 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·湖南怀化·期中）如图：点A在反比例函数的图象上，轴于点B，C是的中点，连接，若的面积为3，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，掌握反比例函数中k的几何意义是解题的关键． 由C是的中点求的面积，设，根据面积公式求，进而求得k的值即可． 解：∵C是的中点，的面积为3， ∴的面积为6， 设， ∵轴于点B， ∴，即， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴． 故选D． 【变式2】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，已知是反比例函数上一点，轴于点，点在轴上，且的面积为1，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解决本题的关键是设出点A的坐标代入三角形面积公式． 设点A的坐标为，由此可得点B的坐标为，再由三角形面积公式求解即可． 解：∵已知是反比例函数上一点， ∴设点A的坐标为， ∵轴于点， ∴点B的坐标为， ∴，的高为， ∴， 即，即， ∵反比例函数图象位于第二象限， ∴． 故选：D ． 【变式3】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，已知一个反比例函数经过的斜边的中点D，且与相交于点C．若，则该反比例函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定及性质；过点作轴交于，相似三角形的判定及性质，由反比例函数比例系数的几何意义得，即可求解． 解：过点作轴交于点， 点是的中点， ， ， 轴， ， ， ， ， 设反比例函数的关系式为（）， ， ， ， 解得， 反比例函数的关系式为， 故答案为：． 第三部分：综合提能篇 —— 中考对接与压轴突破 模块 5：中考高频题型分类突破 题型 1：反比例函数解析式求解（★中考必考题） 【例题9】 【变式1】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）已知反比例函数（为常数，且）的图象经过点． （1）求这个函数的表达式； （2）判断点，是否在这个函数的图象上，并说明理由； （3）当时，则的取值范围为_______． 【答案】（1）；（2）不在这个函数的图象上，在这个函数的图象上，理由见分析；（3）或． 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握其性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）将，两点的横坐标代入函数解析式中，从而求出所对应的函数值，然后与，两点的纵坐标进行比较，即可判断两点是否在函数图象上； （3）根据函数图象的性质求解即可． 解：（1）解：反比例函数（为常数，且）的图象经过点， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：当时，；当时，； 点不在这个函数的图象上，在这个函数的图象上； （3）解：， 当或时，随的增大而减小， 当时，， ， 当时，则的取值范围为或， 故答案为：或． 【变式2】（24-25八年级下·浙江丽水·期末）已知反比例函数过点． （1）当时，求的值． （2）若，求m的取值范围． （3）反比例函数过点，当时，，求证：． 【答案】（1）；（2）；（3）见分析 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． （1）根据待定系数法求出，进而求解； （2）根据反比例函数图象的性质可分析出点和点所在象限； （3）分别表示出每个点的纵坐标，代入条件式化简即可求解． 解：（1）解：由题意得：， 代入中：， 当时，； （2）解：反比例函数在每个象限内随的增大而减小， ∵， 要使，则点在第三象限，点在第一象限， 得：， 解得：； （3）解：由题意得：，，，， ，， ① ， ②， 化简①得：③， 化简②得：④， 得：， 即， ， ． 【变式3】（24-25八年级下·浙江·期末）已知，是反比例函数图象上的两点． （1）若，，求的值． （2）若，关于原点中心对称，求的值． （3）当，，时，求的取值范围． 【答案】（1）4；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数的性质，中心对称的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）把，代入，求出，再计算即可； （2）根据中心对称的点的坐标特征求解即可； （3）先确定，，进而确定点在第三象限，点在第一象限，最后根据象限内的点的坐标特征列不等式求解即可． 解：（1）解：当，时， ，， ； （2）∵，关于原点中心对称，且都在函数图象上 ∴，，， ∴ （3）∵，， ∴， ∵时，图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∵，， ∴点和点不在同一象限内， ∴点在第三象限，点在第一象限， ∴，且， 解得：． 题型 2：k的几何意义综合应用（★中考常考题） 【例题10】（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了反比例函数的性质与相似三角形的综合应用，解题的关键是通过作垂线构造相似三角形，利用相似三角形的面积比与相似比的关系求解． （1）过点作轴，垂足为点，轴，垂足为点，构造直角三角形，证明，再结合反比例函数中三角形的面积与系数的关系，求出面积比，进而得到相似比即的值； （2）同样利用（1）中相似三角形的面积比与相似比的关系，结合已知的线段比例，求出的值． 解：（1）解：如图，过点作轴，垂足为点，轴，垂足为点， 点在反比例函数图象上，点在反比例函数图象上， ， ， ， ， ， ； （2）解：点在反比例函数图象上，点在反比例函数图象上， ， 由（1）知， ， ， ， ， 反比例函数图象在第二象限， ． 【变式1】（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）如图，中，，边OB在x轴上，反比例函数（）的图像经过斜边的中点，与相交于点，． （1）设点的坐标为，求反比例函数的解析式； （2）若，求点M的坐标． 【答案】（1）；（2）点坐标为 【分析】（1）如图，过点作于，于，根据直角三角形斜边中线的性质得出，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，根据中线的性质得出，根据反比例函数的几何意义即可得答案； （2）根据用表示出点坐标，根据点、在（1）中反比例函数图像上列方程组求出、的值即可得答案． 解：（1）解：如图，过点作于，于， ∵，点为斜边的中点 ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点在反比例函数（）的图像上， ∴， ∵反比例函数图像在第一象限， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵点、在反比例函数的图像上， ∴， 解得：， ∴点坐标为． 【点拨】本题考查坐标与图形、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质及反比例函数的几何意义，过反比例函数图象上任一点作轴、轴的垂线、，垂足为、，则矩形的面积，三角形的中线把三角形分成两个面积相等的小三角形；熟练掌握相关性质是解题关键． 【变式2】（2023·湖南株洲·三模）已知：如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于点，与反比例函数的图像交于点，过原点的直线与，的图像分别相交于C、D点，过点C、D分别作x轴，y轴的垂线，交点为E，． （1）求m和的值； （2）当直线绕点O旋转时， ①直接写出比值=___________； ②点E是否在某个反比例函数的图像上运动？如果是，请求出这个反比例函数的解析式；如果不是，请说明理由． 【答案】（1），；（2）①2；② 【分析】（1）将代入即可求出m，将代入即可求出； （2）①首先根据反比例函数的比例系的意义得到，，，然后证明出，利用相似三角形的性质求解即可； ②首先证明出，然后利用相似三角形的性质得到，设点，则，然后求解即可． 解：（1）∵过原点的直线与反比例函数的图像交于点， ∴将代入得，， ∴解得， ∵过原点的直线与反比例函数的图像交于点， ∴将代入得，， ∴解得； （2）①设与x轴交于点M，与y轴交于点N，    ∵，， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴解得． 故答案为：2； ②∵轴， ∴， ∴，即， ∴解得， ∴， ∴设点， ∴， ∵点E在第四象限， ∴点E在反比例函数的图像上运动． 【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，三角形的性质以及正方形的面积，掌握反比例函数比例系数的意义是本题的关键． 题型 3：反比例函数与一次函数综合（★中考应用性考点） 【例题11】（25-26九年级上·湖南永州·期中）如图，的顶点A是反比例函数的图象与一次函数的图象在第二象限的交点，轴于点B，且． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求一次函数与反比例函数图象的两个交点A，C的坐标； （3）当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为；（2），；（3）当或时，一次函数的值大于反比例函数的值 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据反比例函数图象在第二、四象限，可得，进而问题可求解； （2）设一次函数的图象与轴的交点为，然后可得点的坐标为，进而联立反比例函数与一次函数解析式可得点A、C坐标； （3）由（2）及函数图象可进行求解． 解：（1）解：∵轴于点，且， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为； （2）解：设一次函数的图象与轴的交点为， 令，得， ∴点的坐标为， 由， 解得或， ∴，； （3）解：∵，， ∴根据图象可知：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值． 【变式1】（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与轴相交于点． （1）求，，，的值； （2）若点与点关于轴对称，连接，，求的面积； （3）根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）的值为2，的值为，的值为1，的值为1；（2）；（3）或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，坐标与图形变化—轴对称，利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，则可求出点B的坐标，再把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中可求出a、b的值； （2）根据（1）所求可得直线的表达式，求出点C的坐标，进而得到点D的坐标，再根据列式求解即可； （3）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 解：（1）解：把代入，得， 反比例函数的表达式为． 把代入，得 ． 把点和点代入一次函数，得 ，解得 的值为2，的值为，的值为1，的值为1； （2）解：由（1）可知直线的表达式为， 在中，当时，， 点的坐标为， 又点与点关于轴对称， ， ． ； （3）解：根据图象知，不等式的解集为或． 【变式2】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于、B两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求三角形AOB的面积； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）；；（2）；（3）或 【分析】（1）将点的坐标代入和，求出和的值即可； （2）求出B的坐标、与轴交点C的坐标，得出，根据即可求解； （3）根据图形，找出当一次函数图象高于反比例函数图象时，自变量x的取值范围即可； 本题主要考查了反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质． 解：（1）解：把代入，得， 将代入，得，解得， ∴一次函数解析式为，反比例函数解析式为； （2）解：由，得或， 故，， 设与x轴交于C点， 把代入，得， ， ； （3）由图可知的解集为或． 题型 4：反比例函数与几何综合（★中考提升题） 【例题12】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，将等腰直角三角板的直角顶点放在坐标系的处，锐角顶点和恰好都落在反比例函数第二象限图象上． （1）求反比例函数解析式； （2）连接，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）过点作轴于点，过点作轴于点，则，，，得到，，证明可得，，得到，即可求解； （2）由勾股定理求出，根据四边形的面积，即可求解． 解：（1）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 则， 和， ，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 反比例函数解析式为； （2）解：由（1）知，，， ， ， ， 四边形的面积． 【变式1】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，双曲线经过斜边的中点P，交直角边于点Q，连接，点A的坐标为． （1）求双曲线的解析式； （2）求证：． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题考查待定系数法反比例函数的解析式，相似三角形的判定，解决本题的关键是明确反比例函数图象上点的坐标特征． （1）根据中点坐标公式得出点P坐标，然后代入反比例函数解析式即可求解； （2）求出，再结合点的坐标为，得出，，，可得，结合，即可得证． 解：（1）解：的中点是，点的坐标为， ． 双曲线经过点； ， ． （2）解：为直角三角形， ∴轴， ，两点的纵坐标相等，均为4，代入反比例函数解析式得：， ． ∵点的坐标为， ，，， ，， ， 又， ． 【变式2】（24-25九年级下·甘肃·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，点C，与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）点是反比例函数图象上一点，连接BD，CD，求的面积． 【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为；（2）4 【分析】（1）根据两个函数都过点，利用待定系数法，即可确定、，从而得到函数表达式； （2）根据反比例函数图象上点的坐标特征求出点、的坐标，用待定系数法求出直线的表达式，利用三角形面积的割补法，将的面积转化为与的面积差，结合三角形面积公式计算出结果． 解：（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ， ， 一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为． （2）解：一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点， ， 点是反比例函数图象上一点， ， 设直线的表达式为， 可得， 解得， 直线的表达式为， 延长DB交y轴于点E， 当时，， ， ， ． 【点拨】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，掌握待定系数法求一次函数和反比例函数的表达式、反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数与坐标轴的交点坐标求法、三角形面积的割补法计算是解题的关键． 题型 5：反比例函数的实际应用（★中考冲刺题） 【例题13】（25-26九年级上·山东淄博·期中）某校对教室采取喷洒药物的方式进行消毒．在对某教室进行消毒的过程中，先经过的集中药物喷洒，再封闭教室，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量y（）与药物在空气中的持续时间之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示． 下面四个选项中错误的是（    ） A．经过集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到 B．室内空气中的含药量不低于的持续时间达到了 C．室内空气中的含药量不低于的持续时间达到了 D．当室内空气中的含药量低于时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到开始，需经过后，学生才能进入室内 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，一次函数的应用，理解图象的意思是解题的关键．根据图中信息一一判断即可． 解：A、由图可知：经过集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到，选项A是正确的，不符合题意； B、当时，设函数关系式为，将代入得，解得，故此时函数关系式为， 当时，，解得：， 故室内空气中的含药量不低于的持续时间达到了，选项B是正确的，不符合题意； C、当时，设函数关系式为，将代入得，解得，故此时函数关系式为， 当时，或，解得或， 则，选项C是正确的，不符合题意； D、当时，函数关系式为，时，， 当时，函数关系式为，时，，， 当室内空气中的含药量低于时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到开始，需经过后，学生才能进入室内，选项D是不正确，符合题意； 故选D． 【变式1】（24-25八年级下·北京·期中）某AI分拣机器人工作时，每小时可分拣包裹数50件，每工作3小时需暂停0.5小时校准，校准期间不工作．总分拣包裹数记为件，总耗时记为小时（含分拣与校准时间），机器人分拣的平均速度．则当 时，恰为45件/小时． 【答案】或或． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．根据“恰为件/小时”列方程求解． 解：当时，， 解得； 当时，， 解得：， 当时，， 解得； 故答案为：或或． 【变式2】（25-26九年级上·山东济南·期中）某校后勤处每周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为浅消毒阶段，段为深消毒阶段，且消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）的关系可近似用一次函数刻画，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： （1）_____，消毒效果最高效力是_____； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）若消毒效果持续分钟达到效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【答案】（1），；（2）；（3）有效 【分析】（）利用待定系数法可求出，再把代入一次函数解析式可求出消毒效果最高效力； （）利用待定系数法解答即可求解； （）分别把代入一次函数和反比例函数解析式求出的值，进而求出持续时长即可判断求解； 本题考查了一次函数和反比例函数的应用，理解题意是解题的关键． 解：（1）解：把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， ∴消毒效果最高效力是， 故答案为：，； （2）解：当时，设与之间的函数关系式为， 把代入，得， ∴， ∴与之间的函数关系式为； （3）解：把代入，得， 解得； 把代入，得， 解得； ∴持续时长为， ∴本次消毒有效． 题型 6：规律问题（★中考冲刺题） 【例题14】（2025·山东淄博·一模）如图，双曲线与直线相交于点A，B，在直线上取点，，…，依次以，…为对角线分别向外作左、右一组对边垂直于x轴的矩形，…．矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：；矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：；矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：，…．按此规律，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标规律探索，反比例函数的性质，根据题意得出每个矩形上都有4个点，根据，得出点在矩形上，且在第一象限内，先根据规律得出横坐标，然后将横坐标代入反比例函数解析式，求出结果即可． 解：根据题意可知：在矩形上，在矩形上，,在矩形上，因此每个矩形上都有4个点， ∵， ∴点在矩形上，且在第一象限内， ∴横坐标为， 把代入得：， ∴． 故答案为：． 【变式1】（23-24九年级上·湖南·月考）如图，在反比例函数的图象上有、B两点，连接，过这两点分别作x轴的垂线交x轴于点C、D，已知，点是的中点，连接，得到；点是的中点，连接，得到；……按照此规律继续进行下去，则的面积为 ．（用含正整数n的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，图形类的规律探索，先求出，得到，，，进而求出，得到，则，根据梯形面积公式求出，再分别求出，，进而得到规律，，则． 解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵轴， ∴点B的纵坐标为1， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ……， 以此类推可知，，， ∴， 故答案为：． 【变式2】如图，平面直角坐标系中，边长为的正方形的顶点、分别在轴、轴上，点在反比例函数的图象上，过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，再过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，…，依此规律，作出矩形时，落在反比例函数图象上的顶点的坐标为（ ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意得出P1点的坐标，进而可得出反比例函数的解析式，再依次求出点P2，P3的坐标，找出规律即可得出结论． 解：∵正方形OAP1B的边长为1，点P1在反比例函数y=（x＞0）的图象上， ∴P1（1，1）， ∴k=1， ∴在反比例函数的解析式为：y=， ∵B1是P1A的中点， ∴P2A1=AB1=， ∴OA1=2， ∴P2（2，）， 同理，P3（22，）， … ∴Pn（2n-1，）． 当时，则有 的坐标为：（，） 故选：A． 【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，找出规律是解题的关键． 四、专题配套资源 分层作业设计： 基本夯实题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 一、单选题 1．（25-26九年级上·广西北海·期中）下列函数关系式中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数或，解答即可． 本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 解：不是反比例函数，故A不符合题意； 是反比例函数，故B符合题意； 不是反比例函数，故C不符合题意； 不是反比例函数，故D不符合题意； 故选：B． 2．（25-26九年级上·山西晋中·期中）已知反比例函数，下列结论错误的是（    ） A．其图象经过点 B．随的增大而减小 C．其图象位于第一、第三象限 D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质，由于 ，图象位于第一、三象限，且在每一象限内随增大而减小，再逐项验证是否符合性质即可． 解：∵ 反比例函数，， ∴ 图象位于第一、三象限，且在每一象限内随增大而减小； A．当时，， ∴ 图象经过点 ，正确； B．未限定“同一象限”或“”，直接说“随 增大而减小”错误； C．∵ ， ∴ 图象位于第一、三象限，正确； D．当时，， ∴当时，，且， ∴ ，正确． 故选：B． 3．（25-26九年级上·广西梧州·期中）已知点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是反比例函数的性质，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质． 通过直接计算函数值即可比较大小． 解：点在上，点在上， ，， ， ． 故选：． 4．（24-25九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，点在反比例函数的图象上，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，．若，，则该反比例函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键．依据题意，由当时，反比例函数的图象在第二象限，则，又，，则，进而可以判断得解． 解：由题意，当时，反比例函数的图象在第二象限， ． 又，， ． ． 反比例函数为． 故选：C． 5．（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）函数与（）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的图象性质：解题的关键是分两种情况确定答案，分和两种情况确定正确的选项即可． 解：当时，反比例函数的图象位于第一、三象限，一次函数的图象交轴于负半轴，随着的增大而增大，A选项错误，C选项符合； 当时，反比例函数的图象位于第二、四象限，一次函数的图象交轴于正半轴，随着的增大而减小，B、D均错误； 故选：C． 6．（2022·贵州遵义·二模）小亮为了求不等式>x+2的解集，绘制了如图所示的反比例函数y=与一次函数y=x+2的图像，观察图像可得该不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】结合函数图像的上下位置关系结合交点的坐标，即可得出不等式的解集． 解：观察函数图像，发现： 当x＜-3或0＜x＜1时，反比例函数图像在一次函数图像的上方， ∴不等式>x+2的解集为x＜-3或0＜x＜1． 故选：D． 【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图像的交点坐标满足两函数解析式． 二、填空题 7．（23-24八年级上·上海静安·期末）函数的图像经过的象限是 ． 【答案】二、四 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数，当时，图象经过第一、三象限，当时，图象经过第二、四象限，即可得出答案，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 解：， ， 函数的图像经过的象限是二、四， 故答案为：二、四． 8．（25-26九年级上·安徽六安·月考）已知点，均在反比例函数图象上，则 （填、、）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据得出在每个象限内，随着的增大而减小，又因为点，均在反比例函数图象上，得出，即可作答． 解：∵反比例函数， ∴在每个象限内，随着的增大而减小， ∵点，均在反比例函数图象上，且， ∴， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·河北·课后作业）反比例函数的图像在每个象限内，y随x的增大而增大，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质．根据反比例函数图象在每个象限内函数值随自变量的增大而增大，得出比例系数，即可求解． 解：∵反比例函数 的图象在每个象限内，随的增大而增大， ∴ ， 解得：． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·广西桂林·期中）如图，A，B两点在反比例函数的图象上，已知，则空白部分的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数的系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过该点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 根据反比例函数的系数的几何意义得到，由，得，然后计算． 解：根据题意得， 而， ∴， ∴． 故答案为：6． 11．（2025·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系中，若函数的图像与直线交于点和点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据正比例函数与反比例函数图像的中心对称性质解答即可． 本题考查正比例函数与反比例函数的交点，正比例函数与反比例函数图像的中心对称性质，掌握相关知识是解题关键． 解：函数的图象与直线交于点和点， ， ， 根据中心对称性质，得， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·四川遂宁·期末）如图，是函数的图象上一点，直线分别交轴、轴于点、，过点作轴于点，交于点，作轴于点，交于点，当时，的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及反比例函数系数的几何意义，设点坐标为，用表示的坐标，再根据两点距离公式与已知，便可得的方程． 解：直线分别交轴、轴于点、， 则， 设点坐标为， ∵点分别是直线与的交点， 当时，， ， 当时，， ， ， ， ， 则， 解得，， ， ， 故答案为：5． 三、解答题 13．（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）已知反比例函数的图像经过第一、三象限． （1）求的取值范围； （2）若，此函数的图象经过第一象限内的两点、且，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题关键． （1）根据反比例函数的图像经过第一、三象限可得，由此即可得； （2）根据反比例函数的增减性可得，再结合即可得． 解：（1）解：∵反比例函数的图像经过第一、三象限， ∴， 解得． （2）解：对于反比例函数，在第一象限内，随的增大而减小， ∵这个函数的图像经过第一象限内的两点、且， ∴， 解得， 又∵， ∴的取值范围为． 14．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，直线与双曲线交于点 （1）求双曲线对应的函数表达式； （2）把直线向上平移3个单位长度，与双曲线交于点B，连接，求的面积． 【答案】（1）；（2）6 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． （1）利用待定系数法求出双曲线对应的函数表达式即可； （2）先求出点B的坐标，再求出铅锤高，利用面积公式计算即可． 解：（1）解：∵直线与双曲线交于点， ， ， ， ∴双曲线对应的函数表达式为； （2）解：根据平移特征可知，平移后直线解析式为，联立方程组得： ，解得， ∴， 如图，过点作轴的垂线交于点， 在直线中，当时，， ∴， ∴ ∴． 15．（25-26九年级上·山东德州·期中）在平面直角坐标系中，设反比例函数（为常数，）的图象与一次函数（，b为常数，的图象交于点，． （1）求的值和一次函数表达式； （2）当时，直接写出的取值范围； 【答案】（1），；（2）或 【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，求反比例函数关系式，一次函数与反比例函数的交点求不等式的解集， 对于（1），将点代入反比例函数关系式，即可求出，进而求出点，再将点A，B坐标代入直线关系式可得答案； 对于（2），根据反比例函数图象在一次函数图象上方时，自变量的取值范围即为答案． 解：（1）解：∵反比例函数经过点， ∴， ∴反比例函数． ∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴点． ∵一次函数经过点A，B， ∴， 解得点， ∴一次函数关系式为点； （2）解：由图象可知，当时，或． 16．（2025·河南商丘·二模）已知反比例函数与一次函数相交于点和点，如图所示，且一次函数与轴，轴分别交于点和点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）设是轴上一点，当和面积相等时，求点的坐标； 【答案】（1）一次函数解析式为：；反比例函数表达式；；（2）或 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式和面积问题，数形结合和准确求出函数解析式是关键． （1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，得到点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）求出直线与轴交点的坐标为，得到，根据和面积相等列出方程，解方程即可求出答案． 解：（1）解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 将点代入反比例函数表达式得，则 将点、的坐标代入一次函数解析式得到 解得 ∴一次函数解析式为：； （2）当时，，解得，， ∴直线与轴交点的坐标为，故； 或 点坐标为或 能力提升题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 一、单选题 1．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）函数是反比例函数，则m=（   ）． A． B． C． D．2或 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数，反比例函数的形式为，因此指数必须为且系数非零，解答即可． 解：∵函数是反比例函数， ∴且， ∴且， ∴． 故选：C． 2．（25-26九年级上·广西桂林·期中）若反比例函数的图象位于第一、三象限，则关于x的一元二次方程根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式等知识，先根据反比例函数的图象位于第一、三象限求出的取值范围，再求方程根的判别式并判断其符合，从而得解． 解：反比例函数的图象位于第一、三象限， ， 解得， 对于关于x的一元二次方程， ∴， ∴该方程没有实数根， 故选：C． 3．（2024·云南·模拟预测）已知为反比例函数，下列结论不正确的是（  ） A．y随x的增大而增大 B．图象必经过点 C．图象在第二、四象限 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质逐一判断即可，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 解：A、，每个象限内，随增大而增大，说法错误，故选项符合题意； B、图象必经过点，说法正确，故选项不符合题意； C、，双曲线的两支分别位于第二、四象限，说法正确，故选项不符合题意； D、若，则，说法正确，故选项不符合题意； 故选：A． 4．（25-26九年级上·广西来宾·阶段练习）关于的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的图象的综合判断，分和两种情况进行讨论求解即可． 解：∵，， ∴当时，直线过一，三，四象限，双曲线过一，三象限；当时，直线过一，二，四象限，双曲线过二，四象限， A.由一次函数得，由反比例函数的图象得，故符合题意； B.由一次函数得，由反比例函数的图象得，故不符合题意； C.由一次函数得，由反比例函数的图象得，故不符合题意； D.由一次函数得，由反比例函数的图象得，故不符合题意； 故符号题意的只有选项A； 故选A． 5．（22-23八年级下·山东烟台·期末）某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 【答案】B 【分析】分别求出线段与曲线的函数解析式，再求出函数值为4时对应的自变量x的值，即可求得此时持续时间． 解：时，设线段的解析式为， 由于线段过点，则有， 解得：， 即线段解析式为； 当时，设，把点代入中，得， 即， 当时，，得；当时，，得； ∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（小时）； 故选：B． 【点拨】本题是正比例函数与反比例函数的综合，考查了求函数解析式，已知函数值求自变量值，其中待定系数法求函数解析式是关键，注意数形结合． 6．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，函数的图象经过的中点，交于点，连接．若，则的值为（   ） A．1 B．4 C．8 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，设点D的坐标为：，则，可得，再根据，再建立方程，即可求出k的值． 解：∵四边形为矩形，的中点为D， ∴设点D的坐标为：，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：B． 二、填空题 7．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）从五个点、、、、中任取一点，在双曲线上的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查概率公式的知识，解答本题关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比，首先找出在双曲线上点的个数，然后根据概率公式求出答案． 解：∵五个点、、、、中，在双曲线上的点有，一共1个， ∴五点任取一点，在双曲线上的概率是， 故答案为：． 8．（22-23九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，已知点A在反比例函数图像上，轴于点M，且的面积为4，则反比例函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的比例系数k的几何意义：过反比例函数图像上一点分别做坐标轴的垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为，据此即可得解． 解：设反比例函数的解析式为：， 反比例函数的图像在第二、四象限， ， 又轴于点M，且的面积为4， ， ， 反比例函数的解析式为：． 【点拨】此题考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数中比例系数k的几何意义是解此题的关键． 9．（2025·陕西西安·模拟预测）若点、、都在反比例函数的图象上，若，则、、的大小关系是 （用“”连接）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，当时，在每个象限内，随的增大而增大，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据反比例函数的性质比较即可得出答案． 解：反比例函数， ， 图象分布在二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大， 点、、都在反比例函数的图象上，若， ，， ． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）如图，在函数和的图象上，分别有两点，若轴，交轴于点，且，，则线段的长度 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义和相似三角形，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征．先根据，，求出，，设点坐标为，则可表示出点坐标为，然后证明，得到，即，解得，再确定、点的坐标，最后用两点的横坐标之差来得到线段的长． 解：∵，， ∴，， ∴，， ∴两反比例解析式为，， 设B点坐标为， ∵轴， ∴A点的纵坐标为，， 把代入，得， ∴A点坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴A点坐标为，B点坐标为， ∴线段的长度． 故答案为：． 11．（2024·江苏常州·模拟预测）如图，和y＝x的图像，若一个数x大于它的倒数，可知x的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数图象与正比例函数的图象，数形结合是解题的关键． 求得函数和的图象的交点的横坐标，结合函数的图象即可求得的取值范围． 解：令，解得， 函数和的图象的交点的横坐标为和1， 由图象可知当或时，一次函数的图象在反比例函数的上方， 根据图象可知x的取值范围是或． 故答案为：或． 12．（2023九年级·安徽·专题练习）已知直线与轴交于点，与轴交于点，是直线在第一象限上的一点，且．若反比例函数的图象经过点，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数的图象及性质，由，求出点，点，过点作轴于点，可得出，再根据相似三角形的性质得出，又，求出点的坐标为即可，解题的关键是熟练函数的图象与性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 解：由，当时，， ∴点， 当时，， ∴点， 过点作轴于点， ∴，， ∴， ∵， ∴，， 即点的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， 故答案为：． 三、解答题 13．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）已知反比例函数的图象位于第一、三象限． （1）求k的取值范围； （2）若，此函数的图象经过第一象限的两点，，且，求a的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答的关键． （1）根据反比例函数的性质得到，进而解不等式即可求解； （2）根据反比例函数在第一象限内，y随x的增大而减小得到，进而解不等式即可求解． 解：（1）解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴，解得， 即k的取值范围是； （2）解：∵反比例函数图象经过第一象限的两点，，且， ∴，解得， 又∵， ∴a的取值范围是． 14．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，反比例函数与一次函数的图像在第一象限交于点，点位于第一象限，且是反比例函数图像上一点，轴于点，交一次函数的图像于点，连接． （1）________，________； （2）当时，求的面积； （3）当时，直接写出自变量的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）或． 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数图象的交点问题，准确求出函数解析式和数形结合是关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）求出，即可求出答案； （3）求出反比例函数与一次函数的图像在第三象限交于点，根据图象的位置关系即可求出答案． 解：（1）解：∵反比例函数与一次函数的图像在第一象限交于点， ∴，， 解得， 故答案为： （2）由（1）可知反比例函数为，一次函数为 当时，即点的横坐标为， 当时，，， ∴， ∴的面积； （3）联立得到解得或， ∴反比例函数与一次函数的图像在第三象限交于点， 由图象可知，当时，直接写出自变量的取值范围为或． 15．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系 中，直线与双曲线 交于， 两点，与轴交于点，与轴交于点，其中点的坐标为．； （1）求双曲线和直线的表达式； （2）请直接写出反比例函数值大于一次函数值的自变量的取值范围； （3）将直线向下平移，当平移后的直线与双曲线只有一个交点时，请求出直线的解析式． 【答案】（1）双曲线表达式为，直线的表达式为（2）的取值范围或；（3）平移后的直线为或 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数综合，一次函数的平移，一元二次方程根的判别式等，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）联立得，从而求得点，然后根据图象即可求解； （）设平移后的直线为，令，整理得，然后根据平移后的直线与双曲线只有一个交点，则有，再求出的值即可． 解：（1）解：∵直线与双曲线 交于点， ∴，， 解得：，， ∴双曲线表达式为，直线的表达式为； （2）解：由（）得双曲线 表达式为，直线的表达式为， 联立得， 解得或， ∴， ∴反比例函数值大于一次函数值的自变量的取值范围或； （3）解：平移后的直线为， 令，整理得：， ∵平移后的直线与双曲线只有一个交点， ∴，解得：， ∴平移后的直线为或． 16．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）【问题情境】 综合实践课上，老师组织同学们围绕反比例函数开展数学探究活动． 如图1，过原点的直线与反比例函数的图像交于点，，点是反比例函数第一象限图像上的一点，点，的横坐标分别为，，连接交轴于点，试探究点的坐标与，的关系． 【探索思考】 （1）A组同学提出从特殊情况着手探究：当，，时，可直接求出点的坐标； （2）B组同学将部分条件特殊化：当时，可用含的代数式表示点的坐标； 请你结合A、B两组同学的思考，帮助他们分别求出（1）、（2）中点的坐标； 【问题解决】 （3）用含，的代数式表示点的坐标，并写出完整的推理过程； 【拓展应用】 （4）如图2，若直线与轴交于点，连接，直接写出________．（用含的代数式表示） 【答案】（1） ；（2） ；（3），过程见分析；（4）． 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）把，，代入，求出的坐标，进而求出点坐标，求出直线的解析式，进而求出点坐标即可； （2）同（1）求出直线的解析式，进而求出点坐标即可； （3）同法求出直线的解析式，进而求出点坐标即可； （4）同法求出的解析式，进而求出点坐标，进而求出的长，利用三角形的面积公式进行求解即可． 解：（1）当，，时，则：，点的横坐标分别为：， ∴， ∵反比例函数的图像关于原点对称，过原点的直线与反比例函数的图像交于点，， ∴， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， ∴当时，， ∴， ∴； （2）当时，点的横坐标为， ∵在反比例函数的图像上，点的横坐标为，点的横坐标为， ∴， 同（1）可知：， 直线的解析式为：， ∴当时，， ∴； （3）∵在反比例函数的图像上，点的横坐标为，点的横坐标为， ∴， 同（1）可得：， 直线的解析式为：， ∴当，则：， ∴； （4）∵， 同法可得：直线的解析式为：， ∴当时，则：， ∴， ∵， ∴， ∴． 五、反思：错题归因手册： ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $