期末专题04 勾股定理及其逆定理的八类综合题型（压轴题专项训练）数学苏科版2024八年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期末专题04勾股定理及其逆定理的八类综合题型 目录 典例详解 类型一、判断勾股数 类型二、勾股定理解三角形 类型三、勾股定理与网格问题 类型四、勾股定理与折叠问题 类型五、勾股定理的实际应用问题 类型六、利用勾股定理求最短路径问题 类型七、勾股定理及逆定理的综合问题 类型八、勾股定理验证及应用问题 压轴专练 典例详解 类型一、判断勾股数 1. 看奇偶性：勾股数中必有2个奇数1个偶数，或全为偶数（如3,4,5是“两奇一偶”，6,8,10是“全偶”） 若不符合此规律，直接排除。 2.用基本公式验证：对三个数a<b<c,计算**a2+b2*是否等于c2,这是最核心的判断标准，避免因 “看着像”（如5,6,7）而误判。 3.找倍数关系：若一组数是某组基本勾股数（如3,4,5；5,12,13）的整数倍，那它也是勾股数（如3×2-6， 4×2=8,5×2=10,6,8,10是勾股数)。 4.排除常见错误组合：熟记非勾股数的“陷阱组合”，如7,8,9(72+82=113≠81=92)、9,10,11(92+ 102=181≠121=112)，快速筛除错误选项。 例1.(25-26七年级上湖南·期末)下列各组数中不是勾股数的是() A.3,4,5 B.6,8,10 C.5,12,13 D.4,5,6 【变式1-1】(23-24八年级上贵州贵阳期末)下列各组数据为勾股数的是() A.0.3,0.4,0.5B.2,3,4 C.1,2,5 D.3,4,5 【变式1-2】(23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯期末)下列各组数中，是勾股数的为() 1/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.1,2,5B.0.3,0.4,0.5 C.4,5,6 D.8,15,17 【变式1-3】(24-25八年级下·内蒙古赤峰期末)我国是最早了解勾股定理的国家之一，下列各组数中，是 “勾股数”的是() A.3,4,5B.4,5,6 C.7,8,9 D.8,9,10 类型二、勾股定理解三角形 1.明确适用条件：仅用于直角三角形，先通过己知角（如90°)或边的关系（如勾股数）确认三角形为 直角三角形。 2.锁定三边关系：牢记核心公式a2+b2=c2(c为斜边)，已知任意两边，直接代入公式求第三边；若 遇平方差，可变形为c2-a2=b2计算。 3.结合其他性质：若己知直角边与斜边的倍数关系（如30°对边是斜边一半），先确定特殊角，再快速 求边；遇斜边上的高，可结合面积公式（面积=12ab=1/2ch)联动求解。 4.规范解题步骤：先标注直角、己知边，再写公式、代入数据，最后验证结果（如三边是否符合勾股数）， 避免计算错误。 例2.(25-26八年级上全国期末)如图，在四边形ABCD中，AB=AC,∠BAC=∠ADC=90°，BD=10, AD=6,则AB长 【变式2-1】(25-26九年级上·全国期末)定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫 做“倍长三角形”.若等腰三角形ABC是“倍长三角形”，底边的BC长为4，则等腰三角形ABC底边中线的长 度为」 【变式2-2】(25-26八年级上·甘肃天水·期末)如图，在ABC中，CD⊥AB于点D,AC=20,CD=12, BC=15,求AB的长。 2/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式2-3】(24-25八年级下.全国期末)如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6,∠A=60°， ∠ADC=150°，已知四边形ABCD的周长为30， D B (1)求CD的长； (2)求四边形ABCD的面积. 类型三、勾股定理与网格问题 1.定位直角顶点：网格中找直角，优先看水平与竖直线段的交点，或利用“横向格数差”与“纵向格数 差”构成直角边。 2.计算边长：设网格小正方形边长为1，水平1竖直线段长直接数格；斜线用勾股定理，以斜线为斜边， 找其横向、纵向覆盖的格数作直角边，代入公式算长度。 3.解决常见问题：求三角形面积，先算直角边长度再用“12×直角边1×直角边2”；判断三角形形状， 算三边长度后验证是否满足勾股定理。 例3.(24-25八年级下·黑龙江牡丹江期末)如图，在3×3正方形的网格中，每个小正方形的边长都为1， ABC的顶点都在网格线的交点上，下列说法错误的是() A.AC=10 B.∠B=90 C.只有两条边长为无理数 D.AC边上的高为号而 【变式3-1】(24-25八年级下，安微合肥期末)如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， 点A,B,C都在小正方形的顶点上，则∠BAC的度数是() 3/19 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.40° B.45° C.50° D.60° 【变式3-2】(24-25八年级下·云南普洱期末)如图，在8×8的网格中，每个小正方形的边长都为1，四边 形ABCD的顶点都在格点（网格线的交点）上. (I)求线段BC和CD的长 (②)∠BAD是直角吗？请说明理由， 【变式3-3】(24-25八年级上江西期末)在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正 方形的顶点叫作格点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图. 图1 图2 (1)在图1中，画出一条以格点为端点，长度为3√2的线段AB: (2)在图2中，以格点为顶点，画出三边长分别为3,2√2，√5的三角形. 类型四、勾股定理与折叠问题 1.抓折叠核心性质：折叠前后对应边相等、对应角相等，由此确定相等的线段（如折叠后某边与原边重 合，二者长度一致)，标注在图中。 2.设未知数简化计算：设所求线段或关键未知线段为x,结合折叠性质，用含x的式子表示其他相关线段 4/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 尤其注意直角三角形的三边。 3.构建直角三角形用定理：找到折叠后形成的直角三角形，将含x的线段作为三角形的边，代入勾股定 理公式列方程，解方程即可求出x的值。 4.验证结果合理性：计算后结合线段长度为正的实际情况，验证结果是否符合题意，避免出现负解或不 合理数值。 例4.(24-25八年级上江苏期末)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6,BC=8,将ABC折叠，使点 B恰好落在边AC上，与点B重合，AE为折痕，则EB的长为() B B---- A.3 B.2.5 C.1.5 D.1 【变式4-1】(24-25八年级下·北京朝阳期末)如图，在ABC中，∠C=90°，点D,E分别在边BC,AB 上，连接DE,将BDE沿DE折叠，点B的对应点为F,点F刚好落在AC边上.图中与线段BD相等的 线段是 ;若BC=5,CF=√5，则BD的长为一· D 【变式4-2】(24-25七年级下·湖北荆门期末)按国际标准，A系列纸为长方形.将A4纸按如图所示的方式 进行两次折叠，第一次折叠折痕为AE,点B落在线段AD上的点B处，第二次折叠折痕为AF,点E与点 D恰好重合.则4 AB B'D B'D(E C 【变式4-3】(24-25八年级上河南郑州期末)如图，长方形ABCD中，AD=3,CD=4,点M,N分别在边 AB,CD上，沿着MN折叠长方形ABCD,使点B,C分别落在G,F处. 5/19 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 G B(M) N 图1 图2 (1)如图1，当F落在线段AD的中点位置时，则CN= (2)如图2，若点M与点B重合，连接DF,当线段DF+BF的值最小时，CN的长度为， 类型五、勾股定理的实际应用问题 1.建模转化：将实际场景（如梯子靠墙、航海测距、旗杆拉绳）转化为直角三角形模型，明确直角边、 斜边对应的实际事物（如梯子为斜边，墙与地面为直角边）。 2.提取关键数据：从题干中筛选已知边长（如梯子长、水平距离），标注在模型对应边上，若有未知量， 设为x。 3.套用定理计算：确认直角三角形三边关系后，代入2+b2=c2(或变形公式)列方程，求解未知量。 4.结合实际验证：结果需符合实际意义（如长度为正、距离合理），例如计算高度时，结果不能超过己 知线段长度，避免逻辑矛盾。 例5.(24-25八年级上·重庆江北期末)如图，在河流的一侧有一村庄C,河边有两个取水点A、B,村庄修 建了道路CA和CB,其中CA=AB.由于某种原因，道路CA不再通行，村庄为了方便村民取水，决定在河边 新建一个取水点H(A、H、B在一条直线上)，并修建道路CH.经测量：CB=25百米，CH=24百米， HB=7百米 B (①)判断CH是否为从村庄C到河边的最近道路，并说明理由； (2)求新修的道路CH比原来的道路CA短了多少百米？（结果保留两位小数） 【变式5-1】(24-25八年级下山东日照期末)如图是某婴儿车的设计结构示意图，现测得AB=CD=6dm, BC =3dm AD =9dm BC L CD. 6/19 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (I)求出BD的长； (2)根据相关安全标准，AB与BD的夹角需为90°，通过计算说明该婴儿车设计是否符合安全标准 【变式5-2】(24-25八年级下·河北邢台期末)如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖 机A,B,且A,B均位于地下管道AC的同侧，售卖机A,B之间的距离为500米，管道分叉口M与B之 间的距离为300米，MN1AB于点N,M到AB的距离为240米，假设所有管道的材质相同. M (1)求B,N之间的距离： (2)珍珍认为：从管道AC上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，BM是这些分叉管道中最省材料的， 请通过计算判断珍珍的观点是否正确 【变式5-3】(24-25八年级下·河北保定·期末)综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设 计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计， 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，AB=9m,BC=12m,CD=17m,AD=8m,在CD上选取两点E, F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水， 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E,F; 方案二：过点G作CD的垂线，垂足为H,先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点 E,F铺设管道. 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点 之间的距离，就确定了∠ABC=90°， 7/19 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 街道 y B 街道 ()施工人员测量的是点_与点之间的距离 (2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用. (3)若∠EGF=90°，EF=10m,EG=8m,管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案 所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用 类型六、利用勾股定理求最短路径问题 1.化曲为直建模型：将立体图形（如圆柱、长方体）表面的路径，通过展开侧面转化为平面直角三角形 的斜边。例如圆柱侧面展开为长方形，长方体侧面展开为长方形或大长方形。 2.确定直角边长度：展开后，直角三角形的两条直角边分别对应立体图形的相关边长。如圆柱中，一边 是底面圆周长的一部分，另一边是圆柱的高；长方体中，一边是长与宽（或长与高、宽与高)的和，另 边是剩余棱长。 3.用定理算最短路径：明确直角边长度后，代入勾股定理公式c=√(2+b2),计算出的斜边长度即为 最短路径。 4.验证展开方式：若有多种展开方法，需分别计算路径长度，对比后取最小值。 例6.(24-25八年级上.甘肃酒泉期末)如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B,圆柱高为15cm,底 8 面半径为°cm,蚂蚁爬行的最短路线长为 【变式6-1】(24-25八年级下·内蒙古通辽期末)如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木 块.已知AD=8米，AB=7米，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为4米的正方形，一只蚂蚁从点 A爬过木块到达C处需要走的最短路程是 米 8/19 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式6-2】(24-25八年级下.甘肃陇南期末)如图，长方体的长、宽、高分别为3、2、1，则一只蚂蚊从 顶点A出发，经过长方体的前面和右面到顶点B的最短路程为」 3 【变式6-3】(25-26八年级上河南新乡期末)某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了问 题探索与分析。 【提出问题】已知0<x<1,求+x+1+(1-x2的最小值. 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为√1+x2和1+(1-x)2的线 段，将代数求和转化为线段求和问题。 【解决问题】(1)如图，我们可以构造出边长为1的正方形ABCD,P为BC边上的动点，设BP=x,则 CP=1-x,则1+x2+1+(1-x)2=+ ； (2)在(1)的条件下，已知0<x<1,请结合图形求V1+x2+V1+(1-x2的最小值； 【应用拓展】(3)直接写出9+x+9+(-x的最小值为 9/19 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型七、勾股定理及逆定理的综合问题 1.明确定理适用场景：先判断用勾股定理（已知直角三角形，求边长）还是逆定理（己知三边，判断是 否为直角三角形)，题干无直角时，优先用逆定理验证。 2.双向联动分析：若先通过逆定理（验证a2+b2=c2)判定三角形为直角三角形，再用勾股定理求未知边： 若己知直角，可先算边长，再用逆定理验证其他三角形是否为直角。 3.标注关键条件：将已知边、角及由定理推出的等量关系（如直角、等长线段)标注在图中，理清多三 角形间的关联（如公共边、互补角）。 4.分步计算验证：复杂问题分两步，先判定直角（逆定理），再计算边长（勾股定理），每步结果代入 下一步验证，避免逻辑漏洞。 例7.(24-25八年级下·四川南充期末)如图，在ABC中，AB=8,BC=15,AC=17,D是BC上一点， AD=10,求CD的长， 【变式7-1】(24-25八年级下·河北张家口期末)如图，在ABC中，BC=2V17,点D在边AC上， BD=8,CD=2. D B (I)猜想∠ADB的度数，并说明理由； (2)若AB=17,求ABC的面积. 【变式7-2】(24-25八年级上·重庆大渡口期末)某公园是人们健身散步的好去处.小明跑步的路线如图， 从A点到D点有两条路线，分别是A-B-D和A-C-D.己知AB=90米，AC=150米，BC=120米，点 D在点C的正北方60米处（即CD=60米，BC⊥CD). 10/19 期末专题04 勾股定理及其逆定理的八类综合题型 目录 典例详解 类型一、判断勾股数 类型二、勾股定理解三角形 类型三、勾股定理与网格问题 类型四、勾股定理与折叠问题 类型五、勾股定理的实际应用问题 类型六、利用勾股定理求最短路径问题 类型七、勾股定理及逆定理的综合问题 类型八、勾股定理验证及应用问题 压轴专练 类型一、判断勾股数 1. 看奇偶性：勾股数中必有2个奇数1个偶数，或全为偶数（如3,4,5是“两奇一偶”，6,8,10是“全偶”），若不符合此规律，直接排除。 2. 用基本公式验证：对三个数a＜b＜c，计算**a² + b²**是否等于c²，这是最核心的判断标准，避免因“看着像”（如5,6,7）而误判。 3. 找倍数关系：若一组数是某组基本勾股数（如3,4,5；5,12,13）的整数倍，那它也是勾股数（如3×2=6，4×2=8，5×2=10，6,8,10是勾股数）。 4. 排除常见错误组合：熟记非勾股数的“陷阱组合”，如7,8,9（7²+8²=113≠81=9²）、9,10,11（9²+10²=181≠121=11²），快速筛除错误选项。 例1．（25-26七年级上·湖南·期末）下列各组数中不是勾股数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股数定义，熟记勾股数概念是解决问题的关键． 勾股数需为正整数，且满足较小两数的平方和等于最大数的平方，由此逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A：由，，可知是勾股数，不符合题意； B：由，，可知是勾股数，不符合题意； C：由，，可知是勾股数，不符合题意； D：由，，，可知不是勾股数，符合题意； 故选：D． 【变式1-1】（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）下列各组数据为勾股数的是（    ） A．0.3，0.4，0.5 B．2，3，4 C． D．3，4，5 【答案】D 【分析】本题考查勾股数，熟练掌握定义是解题的关键．根据勾股数的定义，勾股数必须是正整数且满足，逐项判断即可． 【详解】解：勾股数需为正整数，且满足， A．0.3，0.4，0.5不是正整数，不是勾股数； B．，，，不是勾股数； C．和不是正整数，不是勾股数； D．3，4，5均为正整数，且，是勾股数． 故选：D． 【变式1-2】（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）下列各组数中，是勾股数的为（   ） A．1，2， B．，， C．4，5，6 D．8，15，17 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数，勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，根据勾股数的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A．不是正整数，故1，2，不是勾股数，不符合题意； B．，，不是正整数，故，，不是勾股数，不符合题意； C．，4，5，6不是勾股数，不符合题意； D．，8，15，17是勾股数，符合题意； 故选：D． 【变式1-3】（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．3， 4， 5 B．4， 5， 6 C．7， 8， 9 D．8， 9， 10 【答案】A 【分析】此题主要考查了勾股数．关键是掌握勾股数的定义：满足的三个正整数a，b，c称为勾股数． 根据“勾股数”的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A. 由于，故是勾股数； B.由于，故不是勾股数； C.由于，故不是勾股数； D.由于，故不是勾股数； 故选：A． 类型二、勾股定理解三角形 1. 明确适用条件：仅用于直角三角形，先通过已知角（如90°）或边的关系（如勾股数）确认三角形为直角三角形。 2. 锁定三边关系：牢记核心公式 a² + b² = c²（c为斜边），已知任意两边，直接代入公式求第三边；若遇平方差，可变形为 c² - a² = b² 计算。 3. 结合其他性质：若已知直角边与斜边的倍数关系（如30°对边是斜边一半），先确定特殊角，再快速求边；遇斜边上的高，可结合面积公式（面积=1/2ab=1/2ch）联动求解。 4. 规范解题步骤：先标注直角、已知边，再写公式、代入数据，最后验证结果（如三边是否符合勾股数），避免计算错误。 例2．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在四边形中，，，，，则长 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等内容，利用等腰直角三角形构造一线三垂直全等，过B作，易证，得到，利用勾股定理可得，进而得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过B作，交延长线于点E，则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 在Rt△ABE中，， 故答案为：． 【变式2-1】（25-26九年级上·全国·期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰三角形是“倍长三角形”，底边的长为4，则等腰三角形底边中线的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，以及勾股定理，读懂题意，理解“倍长三角形”是解本题的关键． 根据“倍长三角形”的定义，分两种情况讨论：①底边是腰的2倍；②腰是底边的2倍．利用三角形三边关系检验，只有情况②成立，此时腰长为8．再根据等腰三角形的性质，底边中线也是高，利用勾股定理即可求解． 【详解】∵等腰是“倍长三角形”，底边， ∴有两种情况： ①若，则，但此时，不能构成三角形，不符合题意； ②若，则，此时三边满足三角形三边关系，符合题意． ∴． 设的中点为D，则． ∵等腰三角形底边中线也是高， ∴， 在中，由勾股定理得：． 故答案为：． 【变式2-2】（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，在中，于点D，，，．求的长． 【答案】AB的长为25 【分析】本题主要考查的是直角三角形中勾股定理的应用，利用勾股定理求对应边长是解题的关键． 分别在和中，利用勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：因为，所以 在中，由勾股定理，得， 即， 所以 在中，由勾股定理，得， 即， 所以 所以． 【变式2-3】（24-25八年级下·全国·期末）如图，在四边形中，，，，已知四边形的周长为30． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用等边三角形的性质以及勾股定理，本题属于中等题型． （1）连接，先求出，设，则，利用勾股定理可求出的长度，从而可求出答案． （2）过点D作于点E，根据等边三角形的性质可求出，，最后根据计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接, ∵，， ∴是等边三角形. ∴， ∵， ∴， ∵四边形的周长为30， ∴，即， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得 ∴； （2）解：如图，过点D作于点E， ∵，， ∴， ∴， ∴ ． 类型三、勾股定理与网格问题 1. 定位直角顶点：网格中找直角，优先看水平与竖直线段的交点，或利用“横向格数差”与“纵向格数差”构成直角边。 2. 计算边长：设网格小正方形边长为1，水平/竖直线段长直接数格；斜线用勾股定理，以斜线为斜边，找其横向、纵向覆盖的格数作直角边，代入公式算长度。 3. 解决常见问题：求三角形面积，先算直角边长度再用“1/2×直角边1×直角边2”；判断三角形形状，算三边长度后验证是否满足勾股定理。 例3．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在正方形的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在网格线的交点上，下列说法错误的是（　　） A． B． C．只有两条边长为无理数 D．边上的高为 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形面积公式． 根据勾股定理可判断A、C，进而根据勾股定理逆定理可判断B，最后根据三角形面积公式判断D即可． 【详解】解：，A说法正确； ，，则三边长均为无理数，C说法错误； 则，即，B说法正确； 设边上的高为，则，解得，D说法正确； 故选：C． 【变式3-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点都在小正方形的顶点上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，由勾股定理及其逆定理判定是等腰直角三角形成为解题的关键． 如图：连接，先运用勾股定理求出的三边的长度，再运用勾股定理逆定理得出是等腰直角三角形，进而得出的度数即可． 【详解】解：如图：连接， ∵每个小正方形的边长都是1， ∴， ∵10+10=20， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故选：B． 【变式3-2】（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形的顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)求线段和的长． (2)是直角吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)是直角，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理解答即可； （2）根据勾股定理逆定理即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ； （2）解：是直角，理由如下： 如图，连接， 根据题意得：， ∴， ∴为直角三角形，且， 即是直角． 【变式3-3】（24-25八年级上·江西·期末）在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在图1中，画出一条以格点为端点，长度为的线段； (2)在图2中，以格点为顶点，画出三边长分别为3， ，的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理确定线段的长度是解题的关键． （1）由，据此作图即可； （2）由，，据此作图即可． 【详解】（1）解：如图1中，线段AB即为所求； （2）解：如图2中，即为所求． 类型四、勾股定理与折叠问题 1. 抓折叠核心性质：折叠前后对应边相等、对应角相等，由此确定相等的线段（如折叠后某边与原边重合，二者长度一致），标注在图中。 2. 设未知数简化计算：设所求线段或关键未知线段为x，结合折叠性质，用含x的式子表示其他相关线段，尤其注意直角三角形的三边。 3. 构建直角三角形用定理：找到折叠后形成的直角三角形，将含x的线段作为三角形的边，代入勾股定理公式列方程，解方程即可求出x的值。 4. 验证结果合理性：计算后结合线段长度为正的实际情况，验证结果是否符合题意，避免出现负解或不合理数值。 例4．（24-25八年级上·江苏·期末）如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为（　　） A．3 B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据折叠性质，勾股定理，解答即可． 本题考查了折叠性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：根据折叠可得，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得， 故选：A． 【变式4-1】（24-25八年级下·北京朝阳·期末）如图，在中，，点D，E分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为，点刚好落在边上．图中与线段相等的线段是 ；若，，则的长为 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．设，则，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知， 设，则， ∵，， ∴，即， 解得， 故答案为：；3． 【变式4-2】（24-25七年级下·湖北荆门·期末）按国际标准，A系列纸为长方形．将纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点B落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点E与点D恰好重合．则 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，勾股定理，第一次折叠后得到正方形，第二次折叠，得出，由此可解． 【详解】解：由题意可知：第一次折叠，形成一个正方形，即四边形为正方形， ， 第二次折叠，得出， ， 故答案为：． 【变式4-3】（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，长方形中，，点分别在边上，沿着折叠长方形，使点分别落在处． （1）如图1，当落在线段的中点位置时，则 ； （2）如图2，若点与点重合，连接，当线段的值最小时，的长度为 ． 【答案】 【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题)，矩形的性质，勾股定理，关键是根据翻折性质以及勾股定理解答． （1）由折叠的性质可得．设，则．在中，利用勾股定理求出x的值，即可求解； （2）当共线时，的值最小，为的长．线段的值最小时，点在上的点处，点在点处，在中，由勾股定理得．设．由折叠的性质得，．从而得到．在中，利用勾股定理求出y的值，即可求解． 【详解】解：（1）在长方形中， 为线段的中点， ． 由折叠的性质，得． 设，则． 在中，由勾股定理得， ． 解得． ． 故答案为： （2）连接， ， 当共线时，的值最小，为的长．线段的值最小时，点在上的点处，点在点处，如图． ， 在中，由勾股定理得． 设． 由折叠的性质得，． ． 在中，由勾股定理得， ． 解得 线段的值最小时，的长度为． 故答案为： 类型五、勾股定理的实际应用问题 1. 建模转化：将实际场景（如梯子靠墙、航海测距、旗杆拉绳）转化为直角三角形模型，明确直角边、斜边对应的实际事物（如梯子为斜边，墙与地面为直角边）。 2. 提取关键数据：从题干中筛选已知边长（如梯子长、水平距离），标注在模型对应边上，若有未知量，设为x。 3. 套用定理计算：确认直角三角形三边关系后，代入a² + b² = c²（或变形公式）列方程，求解未知量。 4. 结合实际验证：结果需符合实际意义（如长度为正、距离合理），例如计算高度时，结果不能超过已知线段长度，避免逻辑矛盾。 例5．（24-25八年级上·重庆江北·期末）如图，在河流的一侧有一村庄C，河边有两个取水点A、B，村庄修建了道路和，其中由于某种原因，道路不再通行，村庄为了方便村民取水，决定在河边新建一个取水点、H、B在一条直线上，并修建道路经测量：百米，百米，百米． (1)判断是否为从村庄C到河边的最近道路，并说明理由； (2)求新修的道路比原来的道路短了多少百米？结果保留两位小数 【答案】(1)是，理由见解析 (2)新路比原路少百米 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）运用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，再根据点到直线垂线段最短即可求解； （2）设百米，百米，在中，根据勾股定理可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：是，理由如下： 百米，百米，百米， ，， ， 是直角三角形， ， 是为从村庄C到河边的最近路； （2）解：设百米， ， 百米，百米， 在中，，即， 解得， ， 百米， 新路比原路少百米． 【变式5-1】（24-25八年级下·山东日照·期末）如图是某婴儿车的设计结构示意图，现测得，，，． (1)求出的长； (2)根据相关安全标准，与的夹角需为，通过计算说明该婴儿车设计是否符合安全标准． 【答案】(1)； (2)符合安全标准． 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据勾股定理计算即可得解； （2）由勾股定理逆定理计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，，， 由勾股定理得： 答：的长度为． （2）解：∵，， ∴ ∴是直角三角形，且，即与的夹角为 答：该婴儿车设计符合安全标准． 【变式5-2】（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机，，且，均位于地下管道的同侧，售卖机，之间的距离为500米，管道分叉口与之间的距离为300米，于点，到的距离为240米，假设所有管道的材质相同． (1)求，之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 【答案】(1)180米 (2)珍珍的观点正确，见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． （1）因为，故利用勾股定理进行列式，解答即可； （2）先运算，再利用勾股定理及其逆定理，证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 在中，， 由勾股定理得， 即B，N之间的距离为180米； （2）解：珍珍的观点正确，过程如下： 由（1）得， ∴． 在中， 由勾股定理得． ∵，，， ∴， ∴，即， ∴是垂线段， ∴是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确． 【变式5-3】（24-25八年级下·河北保定·期末）综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用． (3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 【答案】(1)A，C (2)建造绿化地的费用为11300元 (3)方案一所花的费用700元方案二所花的费用740元，铺设管道所需的最少费用为700元 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算， ，最后相加，即可作答； （3）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论． 【详解】（1）解：连接， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离， ∵ ∴， ∴， 即当测量A，C两点之间的距离为 ∴满足勾股逆定理得； ∴， 故答案为：A，C； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形的面积， ∴建造绿化地的费用（元）； （3）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为700元． 类型六、利用勾股定理求最短路径问题 1. 化曲为直建模型：将立体图形（如圆柱、长方体）表面的路径，通过展开侧面转化为平面直角三角形的斜边。例如圆柱侧面展开为长方形，长方体侧面展开为长方形或大长方形。 2. 确定直角边长度：展开后，直角三角形的两条直角边分别对应立体图形的相关边长。如圆柱中，一边是底面圆周长的一部分，另一边是圆柱的高；长方体中，一边是长与宽（或长与高、宽与高）的和，另一边是剩余棱长。 3. 用定理算最短路径：明确直角边长度后，代入勾股定理公式 c = √(a² + b²)，计算出的斜边长度即为最短路径。 4. 验证展开方式：若有多种展开方法，需分别计算路径长度，对比后取最小值。 例6．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，一只蚂蚁从点沿圆柱表面爬到点，圆柱高为，底面半径为，蚂蚁爬行的最短路线长为 ． 【答案】/17厘米 【分析】本题主要考查圆柱的侧面展开图和勾股定理，将圆柱的侧面展开，然后利用勾股定理即可求得最短路线． 【详解】解：展开之后如图，此时的长度即为最短路线长， 此时，， ∴， 答：蚂蚁爬行的最短路线长为． 【变式6-1】（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为4米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是 米． 【答案】17 【分析】本题考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短，将木块表面展开，根据两点之间线段最短结合勾股定理即可求解，熟练掌握勾股定理得应用是解题的关键． 【详解】解：如图，将木块展开，即为所求， 则（米，米， 在中，（米． 最短路径为17米． 故答案为：17． 【变式6-2】（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）如图，长方体的长、宽、高分别为3、2、1，则一只蚂蚁从顶点出发，经过长方体的前面和右面到顶点的最短路程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开—最短路线问题，勾股定理应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点和点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离． 【详解】解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线． （1）展开前面上面，由勾股定理得； （2）展开前面右面，由勾股定理得； （3）展开前面左面和上面，由勾股定理得； 最短路径的长为 故答案为：． 【变式6-3】（25-26八年级上·河南新乡·期末）某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了问题探索与分析． 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】（1）如图，我们可以构造出边长为1的正方形，P为边上的动点，设则，则__________________； （2）在（1）的条件下，已知，请结合图形求的最小值； 【应用拓展】（3）直接写出的最小值为_________． 【答案】（1）PA ， PD；（2）（3）7 【分析】本题考查勾股定理，利用轴对称解决线段和最小的问题： （1）利用勾股定理，即可得出结果； （2）作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则，此时的值最小，且，即的最小值为的长， 利用勾股定理求出的长即可； （3）构造一个长方形，使两边长，，点P为边上一动点，设，则，作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则，此时的值最小，且，即的最小值为的长，利用（1）的方法进行求解即可． 【详解】解：（1）根据题意得：； 故答案为：；； （2）作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则， 此时的值最小，且， 即的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为， ∴的最小值为； （3）如图，构造一个长方形，使两边长，，点P为边上一动点，设，则，作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则， 此时的值最小，且， 即的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为7， ∴的最小值为7． 类型七、勾股定理及逆定理的综合问题 1. 明确定理适用场景：先判断用勾股定理（已知直角三角形，求边长）还是逆定理（已知三边，判断是否为直角三角形），题干无直角时，优先用逆定理验证。 2. 双向联动分析：若先通过逆定理（验证a²+b²=c²）判定三角形为直角三角形，再用勾股定理求未知边；若已知直角，可先算边长，再用逆定理验证其他三角形是否为直角。 3. 标注关键条件：将已知边、角及由定理推出的等量关系（如直角、等长线段）标注在图中，理清多三角形间的关联（如公共边、互补角）。 4. 分步计算验证：复杂问题分两步，先判定直角（逆定理），再计算边长（勾股定理），每步结果代入下一步验证，避免逻辑漏洞。 例7．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，在中，，，，是上一点，，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理． 由勾股定理的逆定理，可得，根据勾股定理可得，从而可得的长． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴． ∴的长为． 【变式7-1】（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图，在中，，点D在边上，，． (1)猜想的度数，并说明理由； (2)若，求的面积． 【答案】(1)；理由见解析 (2)68 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，熟练掌握相关定理并应用为解题关键． （1）利用股定理逆定理得到，从而求出结果； （2）利用勾股定理求出的长，利用求出的长，最后求三角形面积即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ，，， ， ， ； （2）在中， 由勾股定理得， ， ． 【变式7-2】（24-25八年级上·重庆大渡口·期末）某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，从A点到D点有两条路线，分别是和．已知米，米，米，点D在点C的正北方60米处（即米，）． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)通过计算比较两条路线谁更短． 【答案】(1)，见解析 (2)路线更短 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理，实数大小比较解答即可． 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）解：， 理由如下：在中，米，米，米， ， ， ， ． （2）解：在中，米，米， 由勾股定理得：（米）， （米），（米）， ， 路线更短． 【变式7-3】（24-25八年级下·全国·期末）在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜；如图，点是自来水管的位置，点A和点分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，A、两处相距6米，两处相距8米，两处相距10米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案： 八（1）班方案：沿线段铺设2段水管； 八（2）班方案：过点作于点，沿线段铺设3段水管； (1)求证：； (2)从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)应选择八（1）班铺设方案，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，求三角形高，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，即可证明结论； （2）利用等面积法求出，进而求出两个方案中水管的长度即可得到结论． 【详解】（1）证明：由题意得，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； （2）解：从节约水管的角度考虑，应选择八（1）班铺设方案， 理由如下：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴八（1）班方案中水管的长度小于八（2）班方案中水管的长度， ∴从节约水管的角度考虑，应选择八（1）班铺设方案． 类型八、勾股定理验证及应用问题 1. 验证技巧：常用“面积法”，通过割补图形（如赵爽弦图、总统证法），使直角三角形三边构成的正方形/多边形面积满足“两直角边图形面积和=斜边图形面积”，从而推导a²+b²=c²；验证时需明确图形分割后的全等关系。 2. 应用技巧：先建立直角三角形模型，确定已知边（直角边/斜边），未知量设为x；若遇非直角场景，先通过逆定理判定直角，再代入勾股定理公式计算；结果需结合实际（如长度为正），复杂问题可分步拆解图形关联。 例8．（24-25八年级下·四川广元·期末） “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．在世界数学史上具有独特的贡献和地位．现用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题： (1)试说明： (2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的变形应用．解题的关键在于明确与面积的关系． （1）根据大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积计算即可； （2）由图可得到和的值，进而求出，代入，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为， ∴ ∴． （2）解：大正方形面积为13， ， ， ， 又小正方形面积为3， ， ， ， ． 【变式8-1】（24-25八年级下·安徽亳州·期末）【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．（1）在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）拼成，用它可以验证勾股定理；（2）图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）和直角边为的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理 【问题解决】（1）在直角三角形中，直角边分别为，，斜边为，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理； （2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是（   ）； A．函数思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．数形结合思想 【知识应用】（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路的长． 【答案】（1）见解析；（2）D；（3）0.8千米 【分析】本题考查勾股定理的证明，勾股定理的应用． （1）在图1中，大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，列出式子后化简即可证明；在图2中，梯形的面积等于三个三角形的面积之和，列出式子后化简即可证明． （2）勾股定理的验证过程体现了数形结合思想，据此即可解答； （3）当时，最小，能最大限度节省铺路的费用．设千米，则（千米），根据勾股定理列出方程，求解即可解答． 【详解】解：（1）根据赵爽弦图进行证明： ∵， ∴， ∴． 根据“总统证法”进行证明： ∵， ∴， ∴， ∴． （2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是数形结合思想． 故选：D （3）当时，最小，能最大限度节省铺路的费用． 设千米，则（千米） ∵， ∴在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴千米， ∴（千米）． 答：新修路的长为0.8千米． 【变式8-2】（24-25八年级下·安徽六安·期末）【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，我国最早的数学著作《周髀算经》就有记载．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，我国数学教育工作者向常春老师，在1994年构造发现了一个简洁优美的新证法． 【证法再现】 如图，把两个全等的直角三角形和如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，．四边形AECD的面积：______，______，______，探究这三个图形面积之间的关系，可证得勾股定理，完成以上证明过程； 【知识运用】 如图2，河道上A，B两点(看作直线上的两点)相距160米，C，D为两个菜园(看作两个点)，，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短． (1)请在图2中确定点P的位置，并说明理由； (2)该最短距离和为多少米？ 【答案】证法再现：， ，证明见解析；知识运用：（1）见解析（2）200米 【分析】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称-最短路线问题，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，本题锻炼了同学们数形结合的思想方法． 证法再现：根据三角形的面积和梯形的面积就可表示出． 知识运用：（1）作点C关于的对称点F，连接交于点P，连接，点P即为所求． （2）运用勾股定理求出，就是代数式的最小值， 【详解】证法再现：由题意，，，． 满足关系式：． 整理得：； 故答案为：， ，． 知识运用：(1)作点关于的对称点，连接，，，如图． ∴ 又, 当三点共线时，的最小值为， 的最小值为，此时点到两个菜园C，D的距离和最短． （2）作交的延长线于E． 在中，∵米，米， ∴（米）． 故答案为：200． 【变式8-3】（23-24八年级上·四川内江·期末）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 （3）中，，垂足为，请求出的值． 【答案】（1）见解析；（2）千米；（3）8 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识． （1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； （2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案； （3）在中，，在中，，则，则，解得：，利用勾股定理即可得出． 【详解】（1）解：梯形的面积为， 也可以表示为， ，即； （2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ， 解得，即千米， (千米)， 答：新路比原路少千米； （3）解：如图， 设， ， ，，，， 根据勾股定理： 在中，， 在中，， ， 即， 解得：， ， ． 一、单选题 1．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A．，， B．，， C．4，5，6 D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，勾股数需满足三个正整数且满足（为最大数）是解题的关键． 根据勾股数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．，，均为分数，不符合勾股数必须为正整数的要求，故该选项不符合题意； B．、、，和为无理数，非正整数，故该选项不符合题意； C．4、5、6，验证最大数6：，而，，不满足勾股定理，故该选项不符合题意； D．5、12、13，验证最大数13：，，满足，且均为正整数． 故选D． 2．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理，根据勾股定理和等腰直角三角形的面积公式，可知以直角三角形的两条直角边为斜边的等腰直角三角形的面积和等于以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积． 【详解】解：如下图所示，过点作， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 同理可得：，， 是直角三角形， ， ， . 故选：B． 3．（24-25八年级下·河南信阳·期末）若三角形的三边长分别为a、b、c，且满足，则这个三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】由非负数的性质可得各部分的值为零，求出边长后判断三角形的形状． 本题考查了实数的非负性，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：由， 得，，， 故，， 故， ∴三角形为等腰三角形， 又，， 故， ∴三角形为直角三角形， 故等腰直角三角形． 故选：D． 4．（25-26八年级上·甘肃·期末）下列选项中，正确的是（    ） A．在中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10 B．若三角形的三边之比为，则该三角形是直角三角形 C．的三边分别为，若，则是直角 D．在中，若，则是直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，以及三角形内角和定理；根据各选项条件逐一判断即可. 【详解】解：对于A：∵在中，两边长分别为6和8，∴已知的两边6和8可能是两条直角边，或一条直角边和斜边，∴第三边不一定为10，故A错误； 对于B：设三边为，∴满足勾股定理逆定理，该三角形是直角三角形，故B正确； 对于C：∵，∴由勾股定理逆定理，（对），而非，故C错误； 对于D：设，则∴，故不是直角三角形，D错误； 故选：B. 5．（24-25八年级上·四川遂宁·期末）一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所示的隧道（隧道下方为长方形，上方为半圆形拱门），则卡车的外形不得高于（   ） A．3.1米 B．3米 C．2.9米 D．2.8米 【答案】C 【分析】本题考查圆的半径与勾股定理的实际应用，涉及知识点：半圆的半径性质、勾股定理求线段长度．先确定半圆半径，结合卡车宽度得水平距离，用勾股定理求半圆内的垂直高度，再与长方形高度相加得卡车最大允许高度． 【详解】解：由图形可得，（米），（米）， ， ， ， 解得：， ， （米）， ∴卡车的外形不得高于米． 故选C． 二、填空题 6．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，阴影部分是长方形，则阴影部分面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理．先根据勾股定理求出阴影长方形的长为，即可求解． 【详解】解：由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为， 即阴影长方形的长为， ∵阴影部分是长方形， ∴阴影部分面积是， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·全国·期末）在一个长为5米、宽为3米的长方形草地ABCD上，放着一个正三棱柱木块（如图），它的侧棱平行于AD，木块的主视图是边长为1米的正三角形．一只蚂蚁从点A处到点C处需要走的最短路程是 米． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意将木块展开，再利用两点之间线段最短是解题关键． 如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，长方形的长为米，因为长方形的宽为3米，一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是对角线，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长， 长方形的长为米， 长方形的宽为3米， 一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是对角线， 米， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为，若，，，；记的面积为，的面积为，则的值为 ． 【答案】66 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的面积． 根据勾股定理求出，进而推出，再根据题意推出，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：66． 9．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，，，射线BC上有一点P．当是以BP为腰的等腰三角形时，的长为 ． 【答案】2或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理．分，两种情形分析，根据等腰三角形的性质以及勾股定理求即可． 【详解】解：在中，，，， ， 当时， ∴； 当时， 设， 则， ∵， ， 解得，， 即， 综上所述，的长为2或． 故答案为：2或． 10．（25-26九年级上·天津·期末）如图，中，，，将绕点A顺时针方向旋转到的位置，连接，的延长线交于点D． （Ⅰ）的长为 ； （Ⅱ）的长为 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查三角形的全等的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，掌握性质与定理是解题的关键． （1）根据勾股定理即可求解；            （2）连接，先证明是线段的垂直平分线，根据计算即可． 【详解】（Ⅰ）∵， ∴ （Ⅱ）解：如图，连接， 由旋转的性质得：，， ∴是等边三角形， ∴， ∵ ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级上·福建泉州·期末）已知． (1)当时，则以的值为三边长的三角形面积为_______； (2)小安猜想：当n取大于1的整数时，为勾股数，你认为小安的猜想正确吗？请说明理由． 【答案】(1)120 (2)小安的猜想正确，理由见解析 【分析】本题考查的是勾股数，满足 的三个正整数，称为勾股数． （1）把n的值代入a、b、c，求出值，根据勾股定理的逆定理得到以的值为三边长的三角形是直角三角形，根据直角三角形面积公式计算； （2）根据勾股数的概念证明． 【详解】（1）解：当时，，，，、 ， ∴， 以的值为三边长的三角形是直角三角形， 以的值为三边长的三角形面积为， 故答案为：120； （2）解：小安的猜想正确， 理由：， ， ， ∵是大于1的整数，所以都是正整数， 当n取大于1的整数时，为勾股数， 小安的猜想正确． 12．（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图，某港口位于东西方向的海岸线上，“远洋”号、“神鹰”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远洋”号每小时航行，“神鹰”号每小时航行，它们离开港口三个半小时后分别位于点，处，且相距． (1)试判断的形状； (2)如果知道“神鹰”号沿北偏西方向航行，你知道“远洋”号沿哪个方向航行吗? 【答案】(1)直角三角形 (2)北偏东方向 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，方向角的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据路程速度时间，计算得出、的长，再由勾股定理逆定理计算即可得解； （2）由题意可得，由（1）知，求出，即可得解． 【详解】（1）解：根据题意，，，， ， 为直角三角形． （2）解：“神鹰”号沿北偏西方向航行， ∴， 由（1）知， ， “远洋”号沿北偏东方向航行． 13．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）已知：如图，，，垂足分别为N，M，，与相交于点P． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关的知识． （1）根据题意证明，根据全等三角形的性质即可证明； （2）由，可得，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：， ， ， ． 14．（24-25八年级下·福建莆田·期末）2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动． (1)如图，当张角时，顶部边缘A处离桌面的高度的长为，此时用眼舒适度不太理想，求笔记本电脑屏幕宽度的长； (2)小组成员调整张角大小继续探索，当张角调整为某个特定角时（点是点A的对应点），用眼舒适度较为理想．调整后，此时顶部边缘与A的水平距离，求此时顶部边缘处离桌面的高度的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了勾股定理的应用，含30度角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先求出，然后利用含30度角直角三角形的性质求解即可； （2）勾股定理求出，然后求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ 在中， ∵ ∴ ∴笔记本电脑屏幕宽度为； （2）在中，根据勾股定理得 ∵ ∴ ∵ 且 在中根据勾股定理得 ∴此时顶部边缘处离桌面的高度的长为． 15．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在一条东西走向的公路一侧有两个新能源车的充电站A，B，点C处是一个小区，其中．由于道路施工，由点C到A充电站的道路无法正常通行．该小区为了方便居民充电，决定在公路旁的点D处新建一个充电站（点A，B，D在同一条直线上）并新修一条公路，工作人员测得，，． (1)是不是从小区C到公路最近的路？请通过计算说明； (2)新修的公路比原来的公路短多少千米？ 【答案】(1)是最近的路；说明见解析； (2)新路比原路少千米． 【分析】本题考查了垂线段最短、勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，并能结合题意列出适当的方程求值是解本题的关键． （1）点到直线的距离，垂线段最短，根据勾股定理，判断是否垂直于即可； （2）根据勾股定理，列方程，算出的值，再求与的差即可． 【详解】（1）解：是，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴是从小区C到公路最近的路； （2）解：设，则，， 在中，根据勾股定理有， ，即， 解得：， ∴， ∴， ∴新路比原路少千米． 16．（24-25八年级上·吉林长春·期末）【问题原型】 如图①，是四边形，，，求证：平分． 【解决问题】 （1）如图②，小明思考后，分别过图①中的点作于点，交的延长线于点，其它条件不变．根据小明的作法，解决这个问题． 【应用】 （2）如图②，若，，，直接写出四边形的周长． 【答案】（1）见解析；（2）12 【分析】（1）根据余角的性质可得出，然后根据证明，得出，最后根据角平分线的判定即可得证； （2）根据证明，可得出，利用勾股定理求得，设，利用等积法，求得，据此即可求解． 【详解】（1）证明：过点C分别作于点E，交的延长线于点F， 则， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 又，， ∴平分； （2）解：∵，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，由， ∵， ∴， ∴， 解得， 经检验是方程的解， ∴， ∴四边形的周长． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，勾股定理，无理方程，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键． 17．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）在我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从图1，图2，图3的证明方法中任选一种来证明该定理． (2)如图4所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明． 【答案】(1)任选一个即可，证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明，解决本题的关键是学会利用面积法证明勾股定理． （1）根据图中面积关系即可得证； （2）根据勾股定理及圆的面积公式解答即可得证． 【详解】（1）解：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即，化简得：； 在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即，化简得：； 在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即，化简得：； （2）解：，，满足的关系是， ，， ， ． 18．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，于，点在边上从点出发，以的速度向终点运动，设点的运动时间为． (1)线段_________． (2)在线段上时，线段的长为__________（用含的代数式表示）． (3)求为何值时，为等腰三角形． (4)当点与顶点的连线与的腰垂直时，直接写出的值． 【答案】(1)6； (2)； (3)或5或8； (4)或． 【分析】（1）根据是等腰三角形，，得是中点，可先求出长度，再用勾股定理求出． （2）先求出长度，根据点的运动速度和时间求出长度，再用得到． （3）分三种情况讨论为等腰三角形，分别是、、，然后根据等腰三角形的性质和勾股定理列方程求解． （4）分两种情况讨论与的腰垂直，分别是和，然后根据勾股定理列方程求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 在中， ∵，， ∴， 故答案为：． （2）解：∵，点速度为，运动时间为 ∴ ∵在线段上 ∴ 故答案为：． （3）解：①当时, ∵，，， ∴是中点， ∴， ∵， ∴在线段上， 在中，， ∵，，， ∴， 解得； ②当时， ∵， ∴与重合， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； ③当时 ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； 综上，的值为或或． （4）解：①当时 ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∵，，，， ∴， 解得； ②当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∵，，，， ∴， 解得； 综上，的值为或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、一元一次方程的应用，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $