第3章 勾股定理 巩固新课单元测试卷-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

第3章 勾股定理 巩固新课单元测试卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：100分） 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各组数中，是勾股数的是（    ）． A．1，，2 B．3，4，5.5 C．5，12，13 D．1，，3 2．已知一个直角三角形的两直角边长分别为和，则斜边的长度为（　　） A． B． C． D．或 3．如图，一旗杆在离地面处折断，旗杆顶部距底部，求旗杆原有多长（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．如图，在 中，，分别以 为边向外作正方形，若其中两个正方形的面积分别为 ，则 的长为（     ） A．625 B．175 C．600 D．25 5．如图是方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则该阴影正方形的边长为（   ） A． B．3 C． D． 6．如图1为圆柱形笔筒，图2为其模型，已知模型底面半径为，高为（壁厚不计），在笔不漏出笔筒的前提下，能放入的铅笔最长为（    ） A． B． C． D． 7．如图，中，已知，，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．则线段的长为（   ） A．1 B． C． D．3 8．如图，在中，，，．点E、F分别是边、上的点，连结，将沿翻折，使得点的对称点落在边的中点处，则的长为（　　）    A． B． C．3 D．2 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．中，，，则 ． 10．若直角三角形两条边长分别为和，则它第三边长为 ． 11．如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，D均在格点（网格线的交点）上，以点A为圆心，的长为半径作弧，交线段于点C，则的长为 ． 12．如图，在3×3的网格上标出了和，则 ． 13．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一名学生正对门，缓慢走到离门米的C处时，感应门自动打开．已知感应器离地面的高度为米，这名学生身高为米，则人头顶离感应器的距离等于 米． 14．如图，图①中的直角三角形斜边长为5，将四个图①中的直角三角形分别拼成如图②所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，，则的值为 ． 15．如图，在中，，，分别以为直径作半圆，面积分别记为，则 ． 16．如图是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为4，1，7，用一根细线绕侧面绑在点处，不计线头，细线的最短长度为 ． 三、解答题：本题共9小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.如图，在中，． (1)求的长； (2)求边上高线的长． 18．如图，每个小正方形的边长为1，四边形是一个凹四边形． (1)求凹四边形的周长； (2)连接，是直角吗？ 求出凹四边形的面积． 19．如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 20．《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为10尺，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，求芦苇的长度． 21．如图，在中，，． (1)在线段上找一点D，使得点D到边的距离等于的长（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求的长． 22．如图，已知，点分别为的中点，，．求的长． 23．如图，已知线段的长度为1，以为直角边作等腰直角，，以为直角边作等腰直角，；以为直角边作等腰直角，；以为直角边作等腰直角，；以为直角边作等腰直角，；……，照此方法一直作图下去． 【填空】______；______；______；______；______；______； 【猜想】______；（用含的式子表示） 【应用】（1）______；（化简） （2）求的值． 24．在数学综合实践课上，李老师以三角形折叠为主题开展数学活动． (1)特例感知 如图1，折叠等边三角形纸片，使点与边中点重合，折痕为，分别交边、边于点、点． ①求的度数． ②求证：为等边三角形． (2)性质梳理 如图2，等腰三角形纸片，，折叠该纸片，使点落在边上的点处，折痕为，分别交边、边于点、点．若，，求的面积． (3)深度探究 如图3，折叠（，为锐角）纸片，使点落在的下方点处，折痕分别交边、边于点、点，线段、与分别交于点、点，若，点、点到的距离相等，求证：． 25．小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)【问题发现】如图1，D是等边的边上的一动点，其中等边的边长为10，以为边在上方作等边，小明认为有最小值，那么的最小值是__________． (2)【问题探究】如图2，若和均为等腰直角三角形，，点在同一条直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段之间的数量关系并说明理由． (3)【问题解决】如图3，在四边形中，，求四边形面积的最大值． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 勾股定理 巩固新课单元测试卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：100分） 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各组数中，是勾股数的是（    ）． A．1，，2 B．3，4，5.5 C．5，12，13 D．1，，3 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义．勾股数指满足勾股定理的三个正整数，即，其中 a、b为直角边，c为斜边． 根据勾股数的定义分别对各组数据进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中存在不是整数的数，都不符合题意， C选项中都是整数且， 所以是勾股数； 故选C． 2．已知一个直角三角形的两直角边长分别为和，则斜边的长度为（　　） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键． 根据勾股定理即可求直角三角形的斜边长度． 【详解】解：直角三角形的两直角边长分别为和， 此直角三角形的斜边的长度为． 故选：A． 3．如图，一旗杆在离地面处折断，旗杆顶部距底部，求旗杆原有多长（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据实际情况找出直角三角形是解题关键． 利用勾股定理求得的长，从而求得旗杆折断前的高度． 【详解】解：如图，根据题意，得：在中，，，， 在中，， ， ． 旗杆原有长． 故选：D． 4．如图，在 中，，分别以 为边向外作正方形，若其中两个正方形的面积分别为 ，则 的长为（     ） A．625 B．175 C．600 D．25 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是关键． 根据勾股定理的计算得到，由此即可求解． 【详解】解：根据图示得到，， ∴（负值舍去）， 故选：D ． 5．如图是方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则该阴影正方形的边长为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理即可直接得出答案． 【详解】解：根据题意可得该阴影正方形的边长为：， 故选：A． 6．如图1为圆柱形笔筒，图2为其模型，已知模型底面半径为，高为（壁厚不计），在笔不漏出笔筒的前提下，能放入的铅笔最长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将圆柱侧面展开，利用勾股定理，把圆柱的高和底面直径作为直角边，求出斜边长度，即能放入铅笔的最长长度． 本题主要考查圆柱的性质与勾股定理的应用，熟练掌握圆柱底面直径与高和最长线段构成直角三角形，运用勾股定理计算是解题的关键． 【详解】解：圆柱底面半径为， ∴底面直径为 ，圆柱高 ． 能放入的最长铅笔长度为底面直径与高构成直角三角形的斜边， 根据勾股定理（， ），可得 ， 故选：C． 7．如图，中，已知，，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．则线段的长为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了尺规作图—作垂线、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，熟练掌握垂直平分线的作法和性质是解题关键．首先根据勾股定理解得的值，由作图可知，垂直平分，易得；设，则，在中，利用勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 由作图可知，垂直平分， ∴， 设，则， 在中，可有， ∴，解得， ∴． 故选：C． 8．如图，在中，，，．点E、F分别是边、上的点，连结，将沿翻折，使得点的对称点落在边的中点处，则的长为（　　）    A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理与翻折问题，熟练掌握勾股定理和翻折的性质是解题的关键．根据勾股定理和翻折的性质即可求解． 【详解】解：点是边的中点， ， 由翻折的性质得，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 故选：A． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．中，，，则 ． 【答案】4或 【分析】本题考查了勾股定理，熟知任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 由于直角三角形的斜边不能确定，故分是斜边与直角边两种情况进行解答． 【详解】解：当是直角边时，， 当是斜边时，， 故答案为：4或． 10．若直角三角形两条边长分别为和，则它第三边长为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了勾股定理的运用，理解题意，掌握勾股定理的计算是关键． 根据勾股定理分类讨论计算即可． 【详解】解：当斜边是5，一直角边为4，则第三边长为； 当两直角边分别为4，5时，第三边，即斜边长为； 故答案为：或 ． 11．如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，D均在格点（网格线的交点）上，以点A为圆心，的长为半径作弧，交线段于点C，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与网格，理解网格特点，掌握勾股定理求线段长度的计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， ∵以点A为圆心，的长为半径作弧，交线段于点C， ∴， ∴， 故答案为： ． 12．如图，在3×3的网格上标出了和，则 ． 【答案】/45度 【分析】通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质将、转化为、，再通过计算三角形边长，判断三角形形状，进而求出的度数 ．本题主要考查了平行线的性质、勾股定理及其逆定理，熟练掌握平行线性质实现角的转化，运用勾股定理及其逆定理判断三角形形状是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 设每个小正方形的边长为a， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即 ． 故答案为：． 13．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一名学生正对门，缓慢走到离门米的C处时，感应门自动打开．已知感应器离地面的高度为米，这名学生身高为米，则人头顶离感应器的距离等于 米． 【答案】 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵米，米，米， ∴（米）， 在中，由勾股定理得：（米）． 故答案为：米． 14．如图，图①中的直角三角形斜边长为5，将四个图①中的直角三角形分别拼成如图②所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，，则的值为 ． 【答案】25 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．根据题意设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，根据勾股定理可得，根据图形面积可得，即可求得答案． 【详解】解：设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为， ∴ 故答案为：25． 15．如图，在中，，，分别以为直径作半圆，面积分别记为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要查了勾股定理．根据勾股定理可得，再由，即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴． 故答案为： 16．如图是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为4，1，7，用一根细线绕侧面绑在点处，不计线头，细线的最短长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理、两点之间线段最短、几何体的展开图等知识点，掌握勾股定理“”是解题的关键．把长方体沿边剪开，利用两点之间线段最短，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，把长方体沿边剪开，连接， 根据题意：，， 在中，由勾股定理得：. 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．如图，在中，． (1)求的长； (2)求边上高线的长． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，等面积法求高，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据勾股定理求解，即可解题； （2）由三角形面积公式建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：在中， （2）解：由面积得，， 即：， 解得，． 18．如图，每个小正方形的边长为1，四边形是一个凹四边形． (1)求凹四边形的周长； (2)连接，是直角吗？ 求出凹四边形的面积． 【答案】(1) (2)是直角，凹四边形的面积为 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，求多边形的周长，求四边形的面积，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． （1）先求出凹四边形的各条边长，即可求出长凹四边形的周长； （2）先求出，，，再利用勾股定理的逆定理验证，再根据凹四边形的面积等于丙个三角形的面积差求解． 【详解】（1）解：， ， ，， 凹四边形的周长为 ； （2）解：∵，，， ∴， ∴是直角， ∴凹四边形的面积等于 ． 19．如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，连接，由勾股定理可得，再证明得到，再由，列式计算即可． 【详解】解：如图所示，连接， ， 为直角三角形， ，， ∴根据勾股定理得：， 又，， ，， ． 为直角三角形， ， ∴． 20．《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为10尺，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，求芦苇的长度． 【答案】芦苇的长度为13尺 【分析】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深为x尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得： ， 解得：， 芦苇的长度（尺）， 答：芦苇的长度为13尺． 21．如图，在中，，． (1)在线段上找一点D，使得点D到边的距离等于的长（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图——复杂作图，勾股定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用面积法求线段的长． （1）作的角平分线交于点D，点D即为所求作． （2）作于E，根据角平分线的性质定理可得，然后利用面积法求解即可． 【详解】（1）解：如图，点D即为所求； （2）解：如图，过点D作于点E， ∵， ， ∴， 由作法得：平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 22．如图，已知，点分别为的中点，，．求的长． 【答案】5 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，连接，由直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半可得，进而由等腰三角形的性质可得，，再利用勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ，点是的中点，， ， 同理可得， ， ∵点是中点， ，， ． 23．如图，已知线段的长度为1，以为直角边作等腰直角，，以为直角边作等腰直角，；以为直角边作等腰直角，；以为直角边作等腰直角，；以为直角边作等腰直角，；……，照此方法一直作图下去． 【填空】______；______；______；______；______；______； 【猜想】______；（用含的式子表示） 【应用】（1）______；（化简） （2）求的值． 【答案】[填空]；[猜想]；[应用]（1）；（2） 【分析】本题考查了勾股定理，列代数式，图形的规律型探究，等腰直角三角形，熟练掌握勾股定理和等腰直角三角形的性质是解题的关键； [填空] 根据等腰直角三角形中，斜边为直角边的倍，依次求值即可； [猜想] 观察填空中的数值，发现规律，写出代数式，即可求解； [应用]（1）借助猜想中的公式化简即可; （2）借助公式求前项的和． 【详解】[填空] ；， 根据等腰直角三角形中，斜边为直角边的倍，同理可得， ， 故答案为：． [猜想]由以上规律可得： [应用] （1） 故答案为：． （2） 24．在数学综合实践课上，李老师以三角形折叠为主题开展数学活动． (1)特例感知 如图1，折叠等边三角形纸片，使点与边中点重合，折痕为，分别交边、边于点、点． ①求的度数． ②求证：为等边三角形． (2)性质梳理 如图2，等腰三角形纸片，，折叠该纸片，使点落在边上的点处，折痕为，分别交边、边于点、点．若，，求的面积． (3)深度探究 如图3，折叠（，为锐角）纸片，使点落在的下方点处，折痕分别交边、边于点、点，线段、与分别交于点、点，若，点、点到的距离相等，求证：． 【答案】(1)①；②见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】（1）①根据等边三角形的性质即可解答； ②根据等边三角形的判定即可得证； （2）根据等腰三角形的性质、折叠的性质及角的等量代换，得到，设，则，利用勾股定理列方程求解即可； （3）先证明，得到，同理可得，即可解答． 【详解】（1）解：①等边三角形，点为的中点， ， ， ； ， ②证明：， 同理①得， 为等边三角形； （2）， ， 折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ，解得， ，， ． （3）如图，作，，，分别交于，，． ， ，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，同理可得：， ． 【点睛】本题考查了几何变换的综合应用，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，折叠的性质，掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，折叠的性质是解题的关键． 25．小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)【问题发现】如图1，D是等边的边上的一动点，其中等边的边长为10，以为边在上方作等边，小明认为有最小值，那么的最小值是__________． (2)【问题探究】如图2，若和均为等腰直角三角形，，点在同一条直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段之间的数量关系并说明理由． (3)【问题解决】如图3，在四边形中，，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)，，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据垂线段最短可得当时，有最小值，再利用等边三角形的性质和勾股定理求解即可； （2）先证明，再利用证明即可得到，，根据等边三角形的性质和平角的定义得到，根据等腰直角三角形的性质得到，进由此可得；再证明，即可得到． （3）如图：将绕点A顺时针旋转，得到对应的，连接，证明是等边三角形，得到，则当C，B，E三点共线时，最大，即的最大值是9，如图：过A作于H，则、，再根据四边形面积的面积进行求解即可． 【详解】（1）解：∵D是等边的边上的一动点， ∴当时，有最小值， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． （2）解：，理由如下： ∵和均为等腰直角三角形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． （3）解：如图：将绕点A顺时针旋转，得到对应的，连接， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴当C，B，E三点共线时，最大， ∴的最大值是9， 如图：过A作于H， ∴， ∴， ∴四边形面积的面积． ∴四边形面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． 21 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$