期末专题02 等腰三角形的六类综合题型（压轴题专项训练）数学苏科版2024八年级上册

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 期末专题02 等腰三角形的六类综合题型 月录 典例详解 类型一、垂直平分线的性质与判定 类型二、角平分线的性质和判定 类型三、利用等腰（等边）三角形的性质求解 类型四、含30°的直角三角形性质的应用 类型五、等腰三角形性质和判定的综合问题 类型六、等边三角形性质和判定的综合问题 压轴专练 典例详解 类型一、垂直平分线的性质与判定 1. 性质抓核心：若点在线段垂直平分线上，则该点到线段两端距离相等(PA=PB)。解题时直接用此结 论证线段相等或构造等腰三角形。 2.判定双条件：判定一条直线是垂直平分线，必须同时满足“垂直”与“平分中点”。证明时需分两步： 先证垂直，再证平分（或反之）。 3.应用与构造：求作到两点距离相等的点，该点必在两点确定的线段垂直平分线上。解题时，常通过作 此垂直平分线来定位关键点。 例1.己知：如图，∠BAC角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别 为E、F. D (I)求证：BE=CF; (②)若AB=8,AC=6,求BE的长 【变式1-1】如图，在ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE,BD垂直平分AE,垂足为F,交AC于 1/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点D.连接DE. B (I)若ABC的周长为19，△DEC的周长为7，求AB的长； (2)若∠ABC=30°，∠C=45°，求∠CDE的度数， 【变式1-2】如图，在ABC中，DM,，EN分别垂直平分边AC和边BC,交边AB于M、N两点，DM与 EN相交于点F. M (1)若AB=3cm,求aCMN的周长. (2)若LMFN=80°，求∠MCW的度数. 【变式1-3】如图，ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D, PE⊥AC于E. B (1)求证：BD=CE; (2)若AB=6cm,AC=10cm,求AD的长. 类型二、角平分线的性质和判定 核心技巧：性质是“平分角且到两边距离相等”，判定是“到角两边距离相等的点在角平分线上”。 解题分点说明： 1.用性质解题：已知是角平分线，立即得到两角相等和角平分线上点到角两边的*距离相等*（常用于 等面积法或构造全等)。 2/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.用判定解题：要证一条线是角平分线，通常可证该线上一点到角两边的*距离相等*，或利用全等证 明两角相等。 3.常见辅助线：由角平分线的点向两边作*垂线段*，这是利用其性质（距离相等）和判定（证距离相 等)的最常用辅助线。 关键点：性质与判定互逆，核心都围绕“距离相等”和“角相等”。解题时优先考虑作双垂线构造全等直 角三角形。 例2.(24-25七年级下.陕西咸阳期末)如图，在ABC中，∠A=90°，BD是ABC的角平分线. D (1)若LADB=64°，求∠C的度数； (2)过点D作DE⊥BC于点E,若AB=6,BC=10,求S△4BD:S△BDc的值. 【变式2-1】(24-25七年级下·河南周口·期末)(1)如图1，AD平分∠BAC,∠B+∠C=180°.当 ∠B=90°时，根据角平分线的性质，我们可知DB与DC之间的数量关系为； (2)如图2，AD平分∠BAC,∠B+∠C=180°.当∠B<90°时，试说明DB与DC之间的数量关系； (3)如图3，AD平分∠BAC,若∠B=70°，DB=DC,求∠ACD的度数. 图1 图2 图3 【变式2-2】(25-26八年级上，安微合肥期末)已知：Rt△ABC中，∠B=90°，AE、CD分别是∠BAC和 LBCA的平分线，AE、CD交于点F. A E BG E B GME 图1 图2 图3 (1)如图1，求∠AFD; (2)如图2，过点F作FG⊥CD,交BC于点G,求证：DF=GF; 3/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)如图3，过点F作FH⊥AE,交AC于点H,连接DH,过点F作FM⊥BC于点M,延长MF交DH于 点N,若FM=5,△DFN与△GFE面积之和为5，则FN= 【变式2-3】(23-24八年级上湖北黄冈·期末)如图①，在ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE 分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F,且FG⊥AB于G,FH⊥BC于H. B D H 图① 图② (I)求证：∠BEC=LADC; (②)请你判断并FE与FD之间的数量关系，并证明； (3)如图②，在ABC中，如果∠ACB不是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、LBCA的平分线， AD、CE相交于点F.请问，你在(2)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理 由. 类型三、利用等腰（等边）三角形的性质求解 1.紧扣等边对等角：看到等腰三角形，立即联想两底角相等。若知顶角，可求底角(180°-顶角)2)： 若知底角，顶角易得。等边三角形则三内角均为60°。 2.活用三线合一：等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线“三线合一”。这是解题关键线索，己知其 (如高)可推出其他性质（如中线），用于证全等、求线段长度或角度。 3.边角条件转化：边相等与角相等可相互推导。解题时，常通过作底边上的辅助线（高、中线、角平分 线)构造直角三角形，利用勾股定理或三角函数求解。等边三角形可直接利用其对称性。 例3.(25-26八年级上全国期末)如图，在A0B中，OA=OB,∠AOB=120°，点C是平面内一点，连接 AC、BC,OC,OA=OC,直线BC与直线AO相交于点D,如果△COD是以DO为腰的等腰三角形，则 LOCB的度数为 【变式3-1】(25-26八年级上·天津期末)如图，已知ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，点E在 边AC上，且AE=AD,则∠EDC的大小为度 4/15 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 【变式3-2】(24-25八年级上辽宁大连期末)如图，在等腰ABC中，AB=AC,D为BC延长线上一点， CE⊥AC,垂足为C,且CE=AC,连接BE,若BC=8,则△BCE的面积为 E B C D 【变式3-3】(24-25七年级下·上海黄浦期末)如图，已知在等边ABC中，AB=4cm,点D在边BC上， 连接AD,线段AD的垂直平分线分别交边AB、AC于点E、F,如果BDE的周长比CDF的周长小Icm, 那么BD= cm 类型四、含30°的直角三角形性质的应用 1.紧抓“30°对边是斜边一半”：这是核心性质，即直角三角形中，若有一锐角为30°，则30°角所对 的直角边等于斜边的一半（反之，若直角边是斜边一半，则该边对角为30°）。解题时可直接用于边长转 换。 2.求边方向要明确：已知斜边，可求30°对边（除以2）；已知30°对边，可求斜边（乘以2）。第三边 利用勾股定理求得。注意：该性质仅适用于30°角所对的边。 3.辅助构造常用法：当图形中无现成含30°的直角三角形时，可尝试构造：若遇60°、120°角，可作 垂线分割出含30°的直角三角形，从而利用边长比例关系简化计算。 例4.(25-26八年级上全国·期末)如图，在ABC中，LC=90°，LB=15°，边AB的垂直平分线交BC于 点D,交AB于点E,连接AD.若AC=5,则AD=一 5/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B 【变式4-1】(23-24八年级上江西赣州期末)如图，在ABC中，∠A=30°，AB=BC,点D,E分别在 边AB,AC上，若沿直线DE折叠，点A恰好与点B重合，且CE=6,则AC=一· E A B 【变式4-2】(23-24八年级上浙江宁波期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点， LB=30°，点E在BC上，且CE=AC,则LCDE的大小为一 B 【变式4-3】(25-26八年级上·全国期末)如图，在ABC中，∠ABC=60°，AB=6,BC=10,点E在边 BC上，且BE=2,BC的垂直平分线分别交AC,BC于点M,N,点P为直线MN上一动点，点F为边 AB上一动点，当PE+PF的值最小时，AF的长为 类型五、等腰三角形性质和判定的综合问题 1.判定先行，明确方向 综合题常需先判定三角形为等腰。牢记判定定理：①等角对等边（证两角相等）；②“三线合一”的 逆用（若高也是中线/角平分线）。选定最易证明的路径入手。 2.性质与判定灵活互逆 已知等腰三角形，立即用“等边对等角”和“三线合一”推角、边关系。解题中，性质与判定常循环 6/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 使用：先用判定得等腰，再用其性质为后续全等、相似创造条件。 3.巧作底边辅助线 当条件分散或需计算时，常通过作底边上高、中线或顶角平分线，利用“三线合一”构造全等直角三 角形，将问题转化为勾股定理、三角函数求解。注意有时需分类讨论腰和底。 例5.(24-25八年级上·广西贺州期末)如图，已知点A,C分别是△FBE的边BF和BE延长线上的点，作 ∠AFE的平分线FD,若FDI‖BC F E (I)求证：△FBE是等腰三角形； (2)作∠FEC的平分线交FD于点H,若LB=50°，求∠FHE的度数. 【变式5-1】(24-25八年级上江苏南通·期末)如图，锐角ABC中，点E是AB边上一点，BE=CE, AD⊥BC于点D,AD与EC交于点G. A B D (I)求证△AEG为等腰三角形： (2)若GD=5,G为CE中点，求AG的长. 【变式5-2】(24-25八年级上·贵州毕节期末)【问题解决】 (I)如图1，BD平分∠ABC,E是AB上任意一点，过点E作EF∥BC,交BD于点F.请直接写出一个 与∠1相等的角： 【拓展延伸】 (2)如图2.在(1)的条件下，G为BC上一点，连接FG.且LBGF=2∠1.求证：EF=FG: 【操作探究】 (3)如图3，∠ABC为锐角，射线BD在∠ABC内部，∠ABD=2∠DBC,E是AB边上任意一点，以点E 为圆心，EB的长为半径画弧，交射线BD于点F,以点F为圆心，EF的长为半径画弧，交射线BD于点M ,连接EM,根据题意补全图形，并直接写出直线EM与BC的位置关系， 7/15 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 图1 图2 图3 【变式5-3】(24-25八年级上·云南红河·期末)如图所示，ABC中，∠ABC、LACB的平分线交于O点， 过O点作EF∥BC交AB,AC于点E,F. D 图1 图2 图3 (1)如果L0BC+∠0CB=65°，求∠BOC的度数； (2)如图2，如果AB=AC,其他条件不变，图中有 个等腰三角形； 【综合运用】 观察、思考、猜想、验证：以下三条线段EF,BE,CF有关的三个结论：EF-CF<BE EF-CF=BE,EF-CF>BE,你认为哪个正确？请说明理由； (3)如图3，AB≠AC,若∠ABC的角平分线与ABC外角∠ACD的角平分线交于点O,过点O作 OE‖BC交AB于E,交AC于F.图中有 个等腰三角形. 【拓广探索】 观察、思考、猜想、验证：以下三条线段EF,BE,CF有关的三个结论：EF+CF<BE, EF+CF=BE,EF+CF>BE.你认为哪个正确？请说明理由. 类型六、等边三角形性质和判定的综合问题 1.判定先导，紧扣三要素：判定等边三角形有三种思路：①三边相等；②三角相等(60°)；③等腰+一 个60°角。优先选择“含60°等腰→等边”路径最快捷，常与全等、对称结合。 2.活用核心性质转化条件：一旦确定为等边，立即应用其性质：三边等长、三角60°、三线合一且高/中 线/角平分线重合。这些性质可将边角关系互相转化，并利用其轴对称性添加辅助线。 3.构造等边三角形破题：当条件集中出现60°角或边相等等信息时，可主动构造等边三角形（连接已知 点或作旋转)，将未知线段纳入等边结构，利用等边性质转化问题，为全等或旋转证明创造条件。 8/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 例6.(24-25八年级上云南昭通期末)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC于点D ,点F在BC的垂直平分线上. D (I)求证：△AEF是等边三角形. (2)若BD=2,求CD的长. 【变式6-1】(23-24八年级上·云南红河·期末)如图1，ABC为等边三角形，点D在边BC的延长线CF上， 连接AD,以AD为边作∠ADE=60°，过点C作CE平分∠ACF,交DE于点E,CE=BD,连接AE 图1 图2 (1)求证： ADE是等边三角形： (②)如图2，若点D在边BC上，试判断ADE的形状，并说明理由. 【变式6-2】(24-25八年级上全国期末)已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长 线上，且ED=EC. E B 图1 D B 图2 (1)【特殊情况，探索结论】 如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB (填“>”，“<”或“=”)。 (2)【特例启发，解答题目】 如图2，当点E为AB边上任意一点时，请判断线段AE与DB的大小关系，并说明理由，（提示：过点E作 EF∥BC,交AC于点F) (3)【拓展结论，设计新题】 9/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED=EC,若ABC的边长为1 ,AE=2,则线段CD的长 (请你画出相应图形) 【变式6-3】(24-25八年级上甘肃张掖期末)已知ABC是边长为10的等边三角形，P是边AB上一点， 点Q在射线BC上.设BQ的长为x. B( 图1 图2 图3 图4 (1)如图1，当x=2,且AP=2时.求证：△ABQ≌△CAP; (2)当x>10时，连接P2,交边AC于点D,且D是线段PQ的中点. ①如图2，作PE∥BC交AC于点E,且AP=3,求x的值： ②如图3，作PF⊥AC于点F.随着x的增大，线段DF的长是否发生变化？若不变，求线段DF的长；若 发生变化、请说明理由； ③如图4，长为1的木条MN在边AC上，且AM=1.5,若②中的点F恰好落在木条MN上（不包括端点）， 请直接写出x的取值范围. 压轴专练 一、单选题 1.(23-24七年级下山东期末)如图，∠C=90°，DE垂直平分AB,DC=DE,则∠ADC的度数为() D B A.40° B.50° C.60° D.70° 2.(2425八年级上·甘肃临夏·期末)中国古建筑是结构决定外观，这种传统结构形式侧面很容易呈现出等 腰三角形.如图所示的这种建筑剖面图，建筑屋顶是一个等腰三角形，它的底角为30°，腰为10m,则底边 10/15 期末专题02 等腰三角形的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、垂直平分线的性质与判定 类型二、角平分线的性质和判定 类型三、利用等腰（等边）三角形的性质求解 类型四、含30°的直角三角形性质的应用 类型五、等腰三角形性质和判定的综合问题 类型六、等边三角形性质和判定的综合问题 压轴专练 类型一、垂直平分线的性质与判定 1. 性质抓核心：若点在线段垂直平分线上，则该点到线段两端距离相等（PA=PB）。解题时直接用此结论证线段相等或构造等腰三角形。 2. 判定双条件：判定一条直线是垂直平分线，必须同时满足“垂直”与“平分中点”。证明时需分两步：先证垂直，再证平分（或反之）。 3. 应用与构造：求作到两点距离相等的点，该点必在两点确定的线段垂直平分线上。解题时，常通过作此垂直平分线来定位关键点。 例1．已知：如图，角平分线与的垂直平分线交于点D，，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理 【分析】（1）连接，先由垂直平分线的性质得出，再由角平分线的性质得出，然后由证得，即可得出结论； （2）由证得，得出，则，推出，即可得出结果． 本题考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接， ∵D在的垂直平分线上， ∴， ∵，，平分， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1-1】如图，在中，点是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为，交于点．连接． (1)若的周长为，的周长为，求的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】全等三角形综合问题、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的性质和判定是解本题的关键． （1）先证明，，结合的周长为，的周长为，可得，从而可得答案； （2）先求解，证明，再利用三角形全等的性质可得答案； 【详解】（1）解：是线段的垂直平分线， ，， 的周长为，的周长为， ，， ， ； （2），， ， 在和中， ， ， ， ． 【变式1-2】如图，在中，，分别垂直平分边和边，交边于、两点，与相交于点． (1)若，求的周长． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案； （2）根据三角形内角和定理求出，进而求出，结合图形计算即可． 【详解】（1）解：、分别垂直平分和， ，， 的周长， 故的周长为； （2）， ， ，， ， ， ，， ，， ， 故的度数为． 【变式1-3】如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质： （1）连接、，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据、的长度表示出、，然后解方程即可． 【详解】（1）证明：连接、， 点在的垂直平分线上， ， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ； （2）解：在和中， ， ， ， ，， ， 即， 解得． 类型二、角平分线的性质和判定 核心技巧：性质是“平分角且到两边距离相等”，判定是“到角两边距离相等的点在角平分线上”。 解题分点说明： 1. 用性质解题：已知是角平分线，立即得到两角相等和角平分线上点到角两边的**距离相等**（常用于等面积法或构造全等）。 2. 用判定解题：要证一条线是角平分线，通常可证该线上一点到角两边的**距离相等**，或利用全等证明两角相等。 3. 常见辅助线：由角平分线的点向两边作**垂线段**，这是利用其性质（距离相等）和判定（证距离相等）的最常用辅助线。 关键点：性质与判定互逆，核心都围绕“距离相等”和“角相等”。解题时优先考虑作双垂线构造全等直角三角形。 例2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，是的角平分线． (1)若，求的度数； (2)过点D作于点E，若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查直角三角形两锐角互余，角平分线的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据直角三角形两锐角互余得到，再由角平分线的定义得到，在中即可求解； （2）由角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 【变式2-1】（24-25七年级下·河南周口·期末）（1）如图1，平分，．当时，根据角平分线的性质，我们可知与之间的数量关系为______； （2）如图2，平分，．当时，试说明与之间的数量关系； （3）如图3，平分，若，，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质． （1）直接根据角平分线的性质可判断； （2）过点D作于E，交延长线于F，如图2，先根据角平分线的性质得到，再利用等角的补角相等得到，然后证明得到； （3）过点D作于E，交延长线于F，如图3，先根据角平分线的性质得到，再根据判断，所以，然后根据邻补角的定义计算的度数． 【详解】解：（1）如图1， ∵，， ∴， ∴，， ∵平分， ∴； 故答案为：； （2）， 如图2，过点D作于E，交延长线于F， 平分，，， ， ，， ， 在和中， ， ． ∴； （3）如图3，过点D作于E，交延长线于F， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式2-2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知：中，分别是和的平分线，交于点． (1)如图1，求； (2)如图2，过点作，交于点，求证：； (3)如图3，过点作，交于点，连接，过点作于点，延长交于点，若与面积之和为5，则_______． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可求解； （2）如图所示，延长交于点，证明，，再证明，，由此即可求解； （3）延长，过点作于点，作，由判定，，结合全等三角形的性质及三角形的面积得，设，则，可得，，作交于，结合角平分线的性质及 可判定，（），由全等三角形的性质得，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵分别是和的平分线， ∴， ∴， ； （2）解：如图所示，延长交于点， ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴，且， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，延长，过点作于点，作， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ， ， ∵， ∴，且， ∴， ， ∴， ， ， ∵与面积之和为5， ， ， ， 设，则， ， ， 如图，作交于， ∵是角平分线， ，， ， 平分， ， ， （）， ， ， ，， （）， ， ， 解得， ． 故答案为：． 【变式2-3】（23-24八年级上·湖北黄冈·期末）如图①，在中，是直角，，分别是的平分线，相交于点F，且于G，于H． (1)求证：； (2)请你判断并与之间的数量关系，并证明； (3)如图②，在中，如果不是直角， ，分别是的平分线，相交于点F．请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3)（2）中所得结论成立，证明见解析 【分析】（1）根据三角形内角和定理可求出的度数，再结合角平分线的定义可得，，然后根据三角形内角和定理即可解答； （2）根据角平分线的性质可得，可证明，即可解答； （3）过点F作于M．作于N，连接，角平分线的性质可得，再由四边形内角和定理可得，然后根据三角形内角和定理可得，从而得到，进而得到，可证明，即可解答． 【详解】（1）证明：∵是直角，， ∴， ∵分别是的平分线， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，连接， ∵分别是的平分线， ∴也是角平分线， ∵，， ∴， 由（1）得：， ∵， ∴， ∴； （3）解：（2）中所得结论成立，证明如下： 如图，过点F作于M．作于N，连接， ∵分别是的平分线， ∴也是角平分线， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 类型三、利用等腰（等边）三角形的性质求解 1. 紧扣等边对等角：看到等腰三角形，立即联想两底角相等。若知顶角，可求底角（(180°-顶角)/2）；若知底角，顶角易得。等边三角形则三内角均为60°。 2. 活用三线合一：等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线“三线合一”。这是解题关键线索，已知其一（如高）可推出其他性质（如中线），用于证全等、求线段长度或角度。 3. 边角条件转化：边相等与角相等可相互推导。解题时，常通过作底边上的辅助线（高、中线、角平分线）构造直角三角形，利用勾股定理或三角函数求解。等边三角形可直接利用其对称性。 例3．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，点C是平面内一点，连接，，，直线与直线相交于点D，如果是以为腰的等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键．依题意有以下两种情况：①当点在线段上时，设，根据等腰三角形性质得，则，证明，得，在中，由三角形内角和定理得；②当点在的延长线上时，设，根据等腰三角形性质得，根据得，则，证明得，在中，由三角形内角和定理得，综上所述即可得出答案. 【详解】解：直线与直线相交于点， 有以下两种情况： ①当点在线段上时，如图1所示： 设， 是以为腰的等腰三角形， ， ， ， ， 又， ， ， 在中，， ， 解得：， ， ②当点在的延长线上时，如图2所示： 设， 是以为腰的等腰三角形， ， ， ， ， ， 又， ， ， 在中，， ， 解得：， ， 综上所述：的度数为或. 故答案为：或. 【变式3-1】（25-26八年级上·天津·期末）如图，已知是等边三角形，是边上的高，点E在边上，且，则的大小为 度． 【答案】15 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 由等边三角形的性质得 ，由等腰三角形的性质得，由三角形的外角性质得，即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式3-2】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在等腰中，，D为延长线上一点，，垂足为C，且，连接，若，则的面积为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质；过作于，过作于，由“三线合一”得，再由“”可判定，从而由全等三角形的性质得，再，即可求解；掌握性质及判定方法，能根据题意作出恰当的辅助线，构建是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，过作于， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， ； 故答案为16． 【变式3-3】（24-25七年级下·上海黄浦·期末）如图，已知在等边中，，点D在边BC上，连接AD，线段AD的垂直平分线分别交边、于点E、F，如果的周长比的周长小，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据的周长比的周长小得出，再结合可求出． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵垂直平分， ∴． ∴ ． 则， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 类型四、含30°的直角三角形性质的应用 1. 紧抓“30°对边是斜边一半”：这是核心性质，即直角三角形中，若有一锐角为30°，则30°角所对的直角边等于斜边的一半（反之，若直角边是斜边一半，则该边对角为30°）。解题时可直接用于边长转换。 2. 求边方向要明确：已知斜边，可求30°对边（除以2）；已知30°对边，可求斜边（乘以2）。第三边利用勾股定理求得。注意：该性质仅适用于30°角所对的边。 3. 辅助构造常用法：当图形中无现成含30°的直角三角形时，可尝试构造：若遇60°、120°角，可作垂线分割出含30°的直角三角形，从而利用边长比例关系简化计算。 例4．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．若，则 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质、含角的直角三角形、等边对等角等知识点，掌握垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 由线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角和三角形外角的性质求得，再根据含角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵边的垂直平分线交于点D， ∴， ， ， 又∵在中，，， ． 故答案为：10． 【变式4-1】（23-24八年级上·江西赣州·期末）如图，在中，，，点D，E分别在边，上，若沿直线折叠，点A恰好与点B重合，且，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键． 根据题意，得到，由折叠的性质，得到，，利用直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半，得到，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， 由折叠可知， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：9． 【变式4-2】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，D为的中点，，点E在上，且，则的大小为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，含30度角的直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．先由直角三角形斜边中线的性质，得出，再证明，可得结论． 【详解】解：∵，D是的中点， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4-3】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，，点在边上，且，的垂直平分线分别交，于点，，点为直线上一动点，点为边上一动点，当的值最小时，的长为 ． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接，，则，，所以，由两点之间线段最短可知，当点，，共线时，的值最小，最小值为，由垂线段最短可知，当时，的值最小, 即的值最小，由垂直平分线性质可得，然后由，所以， 故有当的值最小时，的长为． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，， 则，， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点，，共线时，的值最小，最小值为，由垂线段最短可知，当时，的值最小, 即的值最小， ∵垂直平分，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴当的值最小时，的长为， 故答案为：． 类型五、等腰三角形性质和判定的综合问题 1. 判定先行，明确方向 综合题常需先判定三角形为等腰。牢记判定定理：①等角对等边（证两角相等）；②“三线合一”的逆用（若高也是中线/角平分线）。选定最易证明的路径入手。 2. 性质与判定灵活互逆 已知等腰三角形，立即用“等边对等角”和“三线合一”推角、边关系。解题中，性质与判定常循环使用：先用判定得等腰，再用其性质为后续全等、相似创造条件。 3. 巧作底边辅助线 当条件分散或需计算时，常通过作底边上高、中线或顶角平分线，利用“三线合一”构造全等直角三角形，将问题转化为勾股定理、三角函数求解。注意有时需分类讨论腰和底。 例5．（24-25八年级上·广西贺州·期末）如图，已知点A，C分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若． (1)求证：是等腰三角形； (2)作的平分线交于点H，若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，掌握以上知识，结合图形分析是关键． （1）根据角平分线的定义，平行线的性质得到，由等角对等边得到，结合等腰三角形的定义即可求解； （2）根据等腰三角形的定义，平角的性质得到，由角平分线的定义得到，根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【变式5-1】（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． (1)求证为等腰三角形； (2)若，G为中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键． （1）利用等角的余角相等和对顶角相等可得，继而证明为等腰三角形即可； （2）作，垂足为点H，证明，结合等腰三角形三线合一的性质可得，继而得到长． 【详解】（1）证明：∵于点D， ∴和都是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：如图，作，垂足为点H， ∵G为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式5-2】（24-25八年级上·贵州毕节·期末）【问题解决】 （1）如图1，平分，E是上任意一点，过点E作，交于点F．请直接写出一个与相等的角； 【拓展延伸】 （2）如图2．在（1）的条件下，G为上一点，连接．且．求证：； 【操作探究】 （3）如图3，为锐角，射线在内部，，E是边上任意一点，以点E为圆心，的长为半径画弧，交射线于点F，以点F为圆心，的长为半径画弧，交射线于点M，连接，根据题意补全图形，并直接写出直线与的位置关系． 【答案】（1）（或）；（2）证明见解析；（3）当点在线段上时，补全图形见解析，此时；当点在射线上时，补全图形见解析，此时 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，由此即可得； （2）延长，交于点，先根据等腰三角形的判定可得，再根据平行线的性质可得，，从而可得，根据等腰三角形的判定可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，由此即可得证； （3）分两种情况：①当点在线段上时，设，则，先根据等腰三角形的性质可得，，再根据三角形的外角性质可得，由此即可得；②当点在射线上时，先根据等腰三角形的性质可得，，再根据三角形的外角性质可得，从而可得，然后根据等量代换可得，根据平行线的判定即可得． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 所以与相等的角是（或）． （2）证明：如图，延长，交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 由（1）已得：，， ∴， ∴， ∴． （3）解：①当点在线段上时，补全图形如下： 延长，交于点， 设，则， 由作图可知，， ∴， 由作图可知，， ∴， ∵， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， ∴； ②当点在射线上时，补全图形如下： 由作图可知，， ∴， 由作图可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 综上，当点在线段上时，；当点在射线上时，． 【变式5-3】（24-25八年级上·云南红河·期末）如图所示，中，的平分线交于O点，过O点作交于点． （1）如果，求的度数； （2）如图2，如果，其他条件不变，图中有________个等腰三角形； 【综合运用】 观察、思考、猜想、验证：以下三条线段有关的三个结论：．你认为哪个正确？请说明理由； （3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有________个等腰三角形． 【拓广探索】 观察、思考、猜想、验证：以下三条线段有关的三个结论：，．你认为哪个正确？请说明理由． 【答案】（1）；（2）5；[综合运用]正确，理由见解析；（3）2；[拓广探索] 正确，理由见解析． 【分析】（1）利用三角形的内角和是，得出的度数； （2）根据，、的平分线交于点，可得，，，， 再加上题目中给出的，共5个等腰三角形，根据等腰三角形的性质，即可得出与、间有怎样的关系． （3）根据角平分线性质和平行线性质推出，，得出，即可得出与、之间的关系． 【详解】解：（1），； （2）， ， ， ，， ， ， ，， 和的平分线交于点， ，， ，， ， ， ，， △，△，△，△，△是等腰三角形，共5个， ； 故答案为：5； [综合运用]， 理由如下：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ， △和△是等腰三角形， ， ； （3）平分，平分，， ，， ， ，， ，， ，， △和△是等腰三角形，共2个， ， ， 故答案为：2． 类型六、等边三角形性质和判定的综合问题 1. 判定先导，紧扣三要素：判定等边三角形有三种思路：①三边相等；②三角相等（60°）；③等腰+一个60°角。优先选择“含60°等腰→等边”路径最快捷，常与全等、对称结合。 2. 活用核心性质转化条件：一旦确定为等边，立即应用其性质：三边等长、三角60°、三线合一且高/中线/角平分线重合。这些性质可将边角关系互相转化，并利用其轴对称性添加辅助线。 3. 构造等边三角形破题：当条件集中出现60°角或边相等等信息时，可主动构造等边三角形（连接已知点或作旋转），将未知线段纳入等边结构，利用等边性质转化问题，为全等或旋转证明创造条件。 例6．（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，在中，，，于点D，点F在的垂直平分线上． (1)求证：是等边三角形． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质，可得，然后求得，再求得，然后即可求解； （2）本题根据含角的直角三角形的知识，进行作答，即可求解． 【详解】（1）证明：∵点F在的垂直平分线上， ∴， ， ， 于点， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：由条件可知， ， ， ， ， ． 【变式6-1】（23-24八年级上·云南红河·期末）如图1，为等边三角形，点D在边的延长线上，连接，以为边作，过点C作平分，交于点E，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)如图2，若点D在边上，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键． （1）首先证得，然后利用全等三角形的对应边相等，即可求得为等边三角形； （2）根据题意证明可得，进而根据即可证明是等边三角形． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴． 又， ∴为等边三角形； （2）是等边三角形，理由如下： 是等边三角形 是的外角平分线 又 是等边三角形． 【变式6-2】（24-25八年级上·全国·期末）已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：___________（填“”，“”或“”）． (2)【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．（提示：过点E作，交于点F） (3)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为1，，则线段的长___________（请你画出相应图形） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)3，见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质解答即可． （2）过点作，交于点，根据等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解答即可． （3）过点作，交于点，根据等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解答即可． 本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点作，交于点， 则，，， 是等边三角形， ，， ，， 为等边三角形，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：过点作，交的延长线于点，如图3所示： 则，，， 是等边三角形， ，， ，， 为等边三角形，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． 【变式6-3】（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）已知是边长为10的等边三角形，P是边上一点，点Q在射线上．设的长为x． (1)如图1，当，且时．求证：； (2)当时，连接，交边于点D，且D是线段的中点． ①如图2，作交于点E，且，求x的值； ②如图3，作于点F．随着x的增大，线段的长是否发生变化？若不变，求线段的长；若发生变化、请说明理由； ③如图4，长为1的木条在边上，且．若②中的点F恰好落在木条上（不包括端点），请直接写出x的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)①13；②不变，；③ 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）结合等边三角形性质证明全等即可； （2）①由（1）知，，先证明是等边三角形，得到，再证明，得到，即可得解； ②作，交于E，由①知，是等边三角形，，则，再根据等边三角形三线合一的性质可得，即可得解； ③分两种情况讨论：当点F在M处时，作，交于E；当F在N处时，结合上述结论求解即可． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， ， ； （2）解：①由（1）知，， ， ，，， 是等边三角形， ， 是的中点， ， ， ， ； ②如图1，的长不变，理由如下， 作，交于E， 由①知，是等边三角形，， ， ， ， ， 的长不变； ③如图2，当点F在M处时，作，交于E， 由上知，是等边三角形，， ， 此时， 当F在N处时，此时， ， ， ． 一、单选题 1．（23-24七年级下·山东·期末）如图，，垂直平分，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，解决此题的关键是熟练掌握角平分线的判定；先根据角平分线的判定得到角相等，再根据垂直平分线的性质得到等腰三角形得到角相等，进而得到答案； 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴ ∵，， ∴平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级上·甘肃临夏·期末）中国古建筑是结构决定外观，这种传统结构形式侧面很容易呈现出等腰三角形．如图所示的这种建筑剖面图，建筑屋顶是一个等腰三角形，它的底角为，腰为，则底边上的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了含角的直角三角形的性质，熟练运用含角的直角三角形的性质是解题的关键．根据“在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半”求解即可． 【详解】解：如图，，，， ∴， 即底边上的高是， 故选：A． 3．（24-25八年级下·云南红河·期末）一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸，如图所示，已知，点A，D，B对应的刻度数依次为0，4，8，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；解题的关键是熟练掌握该性质． 由图求得的长度，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：由图可知，点D为边的中点， ∵在中，， , 故选：B． 4．（11-12八年级上·河南周口·期中）如图，的三边，，的长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积．过点作于点，作于点，作于点，由，，是的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得，然后利用三角形面积的计算公式表示出、、，结合已知，即可得到所求的三个面积的比． 【详解】解：过点作于点，作于点，作于点． ，，是的三条角平分线，，， ， 的三边、、长分别为20、30、40， ． 故选C． 5．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，已知在等腰中，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的是（   ） A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． ①连接，利用等边对等角，即可证得：，，则，据此即可求解；②因为点O是线段上一点，所以不一定是的角平分线，可作判断；③证明且，即可证得是等边三角形；④首先证明，则，． 【详解】解：①如图1，连接， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴；故①正确； ②由①知：，， ∵点O是线段上一点， ∴与不一定相等，则与不一定相等，故②不正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形；故③正确； ④如图2，在上截取，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴；故④正确； 综上正确的结论有：①③④， 故选：A． 二、填空题 6．（24-25七年级下·陕西西安·期末）若等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，关键是要分两种情况讨论．由三角形三边关系定理，得到等腰三角形的腰长是，即可得到答案． 【详解】解∶当等腰三角形的腰长是时， ，不满足三角形三边关系定理； 当等腰三角形的腰长是时， ，满足三角形三边关系定理， 等腰三角形的周长． 故答案为∶． 7．（23-24八年级上·北京海淀·期末）如图，在中，是边的垂直平分线．若，则的周长为 ． 【答案】21 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，得到，进而推出的周长为，即可得出结果． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为； 故答案为：21． 8．（23-24八年级上·河北张家口·期末）如图，等边三角形的边长为12，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则 ． 【答案】16 【分析】过点D作，交于F，先证是等边三角形，再证，得，设，则，最后根据在直角三角形中，的角所对的边是斜边的一半，计算，即可． 【详解】解：如下图，过点D作，交于F， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， 点P为中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得：， ， 故答案为：16． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，在直角三角形中，的角所对的边是斜边的一半，解题的关键是作辅助线证明． 9．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，点D是外角平分线上的一点，连接，若，则 度． 【答案】25 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，作出适当辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 过点D作于点E，作于点G，先根据角平分线的性质得到，然后得到，得到，然后根据等边对等角得到的度数即可解题． 【详解】解：如图，过点D作于点E，作于点G，则 ∵点D是平分线上的一点， ， 又， ， ， ， ， 又， ， ∴， ， 故答案为：25． 10．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在等边三角形中，是中线，将绕点顺时针旋转得到，连接，若的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定及性质、旋转的性质，平行线的判定，熟练掌握等边三角形的性质和旋转的性质是解题的关键． 通过取中点，连接，先证为等边三角形，得出且，确定为的高，再结合与的关系及的面积求解． 【详解】解：取的中点，连接． ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形． ∵是的中点， ∴（等边三角形三线合一）． ∵是等边三角形，是中线， ∴， ∴（垂直于同一直线的两条直线平行）， ∴是的高． ∵是的中点， ∴． ∵是等边的中线， ∴． 又∵，， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·全国·期末）如图，等边三角形中，D为中点，，当点F在线段上，点E在的延长线上． (1)求证：； (2)，与之间的数量关系是 ． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键． （1）过点作交于，结合题意以及等边三角形的性质，证明为等边三角形，进而证明，由全等三角形的性质即可证明结论； （2）首先证明，设，得，进一步可知，即可获得答案． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， 为的中点， ， 过点作交于，如下图， ，， 为等边三角形， ， ∴，， ， ，即， 在和中， ， ∴， ； （2）解：∵， ， ， ， 设， ， ， ，即， 故答案为：． 12．（15-16七年级下·江苏·期末）如图，在中，，平分，于E，F在上，且． (1)试说明：． (2)若，试求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）利用证明得到，再利用证明即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，，则可证明，据此计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴ ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26八年级上·四川凉山·期末）如图，在中，，垂直平分，交B于点E，交于点F，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段的垂直平分线的性质，推导出，，得到，即可解答； （2）先推导出，继而求出，即，得到，即可解答． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 14．（24-25八年级下·广西来宾·期中）已知：如图，在四边形中，，过点C作于E，于F且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4cm 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理的逆定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质及角平分线的性质定理的逆定理是解题的关键． （1）根据直角三角形全等的判定证明，所以，再根据角平分线的性质定理的逆定理，即可证明结论； （2）根据直角三角形全等的判定证明，可得，进一步即可求得答案． 【详解】（1）证明：，， ，， 和均为直角三角形， 在和中， ， ， ， ，， 平分； （2）解：，， 和均为直角三角形， 在和中， ， ， ， ，， ， ． 15．（24-25七年级下·福建漳州·期末）如图，在中，，分别是边，边上的高，与相交于点，且，连接． (1)试说明：； (2)试求的度数； (3)若点是的中点，则，试求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质． （1）由题意可知，根据即可证明； （2）在线段上取点，使得，连接，证明，可知是等腰直角三角形，得到，即可求出的度数； （3）过点作于点，证明，则，求出即可． 【详解】（1）证明：∵，分别是边，边上的高， ∴； 又∵， ∴，． ∴； （2）解：如图，在线段上取点，使得，连接， 在和中， ∴（） ∴，． ． 是等腰直角三角形． ． ； （3）解：如图，过点作于点， 点是的中点 在和中， ， （）． ． ． 由（2）得，． 又， ． ． ． ． 16．（24-25八年级上·云南红河·期末）两个大小不同的等腰直角三角板如图1所示放置，如图2是由它抽象出的几何图形，和是等腰直角三角形，在同一条直线上，连结． (1)已知，求的度数； (2)指出线段和线段的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)垂直且相等 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，理解等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据三角形外角性质解答即可； （2）先根据得，进而可依据“”判定△与△全等，进而得出，，则，据此可得出线段和线段的关系． 【详解】（1）解：由题意可知，， ， ； （2）解：垂直且相等， ， ， ， 在△与△中， ， △△， ，， ， ， 线段和线段的关系是：垂直且相等． 17．（24-25八年级上·江苏·期末）类比探究∶在中，． 模型建立（1）如图1，点在上，，过点作，交的延长线于点．判断线段与的数量关系，并说明理由．小敏认为：可以延长交于点，容易得到与全等，从而解决问题．请你判断线段与的数量关系，并根据她的思路补全证明过程； 模型拓展∶（2）如图2，点在上，点在上，，过点作，交的延长线于点．判断线段与的数量关系，并说明理由 【答案】（1），见解析；（2），见解析 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等腰三角形判定及性质． （1）证明，再利用等腰三角形判定及性质即可得到本题答案； （2）过点作交延长线于，交于，再证明，继而得到本题答案； 【详解】解：（1）延长交于点， ， ∵，， ∴，， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴（ASA）， ∴， ∵， ∴； （2）过点作交延长线于，交于， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴； 18．（25-26八年级上·吉林长春·期末）已知在等边三角形中，点在边上，点在的延长线上，且，连接、． (1)填空：如图①，当点为中点时，线段与之间的数量关系是：______； (2)如图②，当点为边上任意一点时，过点作，交于点，写出线段与之间的数量关系，并证明； (3)当点为中点，时，点、分别为射线、射线上的动点，且，若，直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)的长为10或2 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到、和，进而证得，从而得到； （2）根据等边三角形的性质及平行线的性质，证得为等边三角形，进而证得，从而得到； （3）分两种情况讨论：当点在线段的延长线上或点在线段上时，作交于点，通过证得，进而得出，从而求解即可． 【详解】（1）解：是等边三角形，点为中点， 、、， ， ， ， ， 即， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，证明如下： 是等边三角形，， ， ， 为等边三角形， ， ， 、， ， ， ， 在和中， ， ； （3）解：的长为10或2，理由如下： 当点在线段的延长线上时，作交于点，如图： 同（2）知，为等边三角形， 、， 点为中点， 、， ， ， ， 、， 、， 在和中， ， ， ； 当点在线段的上时，作交于点，如图： 同理可证明、， ， 综上所述，的长为10或2． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $