期末专题03 轴对称的六类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版2024八年级上册

期末专题03 轴对称的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、根据成轴对称图形的特征进行判断或求解 类型二、垂直平分线的性质与判定 类型三、利用等腰（等边）三角形的性质求解 类型四、含30°的直角三角形性质的应用 类型五、等腰三角形性质和判定的综合问题 类型六、等边三角形性质和判定的综合问题 压轴专练 类型一、根据成轴对称图形的特征进行判断或求解 1. 识别对称轴 先观察图形或点的位置关系，找出可能的对称轴（直线）。常见对称轴包括垂直/水平线、对角线或特定直线。若为点坐标，可设对称轴为直线方程，利用几何特征列式。 2. 应用对称性质 对称图形中，对应点到对称轴距离相等，且连线与对称轴垂直。解题时常用中点坐标公式与垂直斜率关系（若对称轴斜率为k，则对应点连线斜率为-1/k）列方程求解未知点坐标或参数。 3. 验证与转化 对于复杂图形，可转化为关键点（如顶点）的对称问题。求完后需验证所有对应点是否满足轴对称条件，确保不遗漏或误判对称轴位置，必要时分类讨论多种可能。 例1．如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（　　） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与的面积相等 D．直线的交点不一定在上 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】该题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质． 根据轴对称的性质解答即可； 【详解】解：∵与关于直线对称，P为上任意一点， ∴是等腰三角形，垂直平分，这两个三角形的面积相等，A、B、C选项正确； 直线关于直线对称，因此交点一定在上．D错误； 故选：D． 【变式1-1】如图，与关于直线l对称，连接，，，其中分别交，于点D，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键． 根据轴对称的性质对各结论进行逐一分析即可． 【详解】解：和关于直线对称， ∴，故①正确， 和关于直线对称，点D与点关于直线对称的对称点， ∴，故②正确； 和关于直线对称， 线段、、被直线垂直平分， 直线垂直平分，故③正确； 和关于直线对称， 线段、所在直线的交点一定在直线上，故④错误， ∴正确的有①②③， 故选：A． 【变式1-2】如图是一款运输机的平面示意图，它是一个轴对称图形，直线是其对称轴．下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D．垂直平分 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质：①关于某条直线对称的两个图形是全等形；②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上．据此分析即可． 【详解】解：如图是一个轴对称图形，直线是其对称轴， A． ∵与是一组对应边， ∴，故此选项不符合题意； B．∵与是一组对应角， ∴，故此选项不符合题意； C．∵与是一组对应角， ∴平分，故此选项不符合题意； D．∵直线是对称轴， ∴垂直平分，故此选项符合题意． 故选：D． 类型二、垂直平分线的性质与判定 1. 性质抓核心：若点在线段垂直平分线上，则该点到线段两端距离相等（PA=PB）。解题时直接用此结论证线段相等或构造等腰三角形。 2. 判定双条件：判定一条直线是垂直平分线，必须同时满足“垂直”与“平分中点”。证明时需分两步：先证垂直，再证平分（或反之）。 3. 应用与构造：求作到两点距离相等的点，该点必在两点确定的线段垂直平分线上。解题时，常通过作此垂直平分线来定位关键点。 例2．已知：如图，角平分线与的垂直平分线交于点D，，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理 【分析】（1）连接，先由垂直平分线的性质得出，再由角平分线的性质得出，然后由证得，即可得出结论； （2）由证得，得出，则，推出，即可得出结果． 本题考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接， ∵D在的垂直平分线上， ∴， ∵，，平分， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2-1】如图，在中，点是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为，交于点．连接． (1)若的周长为，的周长为，求的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】全等三角形综合问题、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的性质和判定是解本题的关键． （1）先证明，，结合的周长为，的周长为，可得，从而可得答案； （2）先求解，证明，再利用三角形全等的性质可得答案； 【详解】（1）解：是线段的垂直平分线， ，， 的周长为，的周长为， ，， ， ； （2），， ， 在和中， ， ， ， ． 【变式2-2】如图，在中，，分别垂直平分边和边，交边于、两点，与相交于点． (1)若，求的周长． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案； （2）根据三角形内角和定理求出，进而求出，结合图形计算即可． 【详解】（1）解：、分别垂直平分和， ，， 的周长， 故的周长为； （2）， ， ，， ， ， ，， ，， ， 故的度数为． 【变式2-3】如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质： （1）连接、，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据、的长度表示出、，然后解方程即可． 【详解】（1）证明：连接、， 点在的垂直平分线上， ， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ； （2）解：在和中， ， ， ， ，， ， 即， 解得． 类型三、利用等腰（等边）三角形的性质求解 1. 紧扣等边对等角：看到等腰三角形，立即联想两底角相等。若知顶角，可求底角（(180°-顶角)/2）；若知底角，顶角易得。等边三角形则三内角均为60°。 2. 活用三线合一：等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线“三线合一”。这是解题关键线索，已知其一（如高）可推出其他性质（如中线），用于证全等、求线段长度或角度。 3. 边角条件转化：边相等与角相等可相互推导。解题时，常通过作底边上的辅助线（高、中线、角平分线）构造直角三角形，利用勾股定理或三角函数求解。等边三角形可直接利用其对称性。 例3．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，点C是平面内一点，连接，，，直线与直线相交于点D，如果是以为腰的等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键．依题意有以下两种情况：①当点在线段上时，设，根据等腰三角形性质得，则，证明，得，在中，由三角形内角和定理得；②当点在的延长线上时，设，根据等腰三角形性质得，根据得，则，证明得，在中，由三角形内角和定理得，综上所述即可得出答案. 【详解】解：直线与直线相交于点， 有以下两种情况： ①当点在线段上时，如图1所示： 设， 是以为腰的等腰三角形， ， ， ， ， 又， ， ， 在中，， ， 解得：， ， ②当点在的延长线上时，如图2所示： 设， 是以为腰的等腰三角形， ， ， ， ， ， 又， ， ， 在中，， ， 解得：， ， 综上所述：的度数为或. 故答案为：或. 【变式3-1】（25-26八年级上·天津·期末）如图，已知是等边三角形，是边上的高，点E在边上，且，则的大小为 度． 【答案】15 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 由等边三角形的性质得 ，由等腰三角形的性质得，由三角形的外角性质得，即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式3-2】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在等腰中，，D为延长线上一点，，垂足为C，且，连接，若，则的面积为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质；过作于，过作于，由“三线合一”得，再由“”可判定，从而由全等三角形的性质得，再，即可求解；掌握性质及判定方法，能根据题意作出恰当的辅助线，构建是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，过作于， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， ； 故答案为16． 【变式3-3】（24-25七年级下·上海黄浦·期末）如图，已知在等边中，，点D在边BC上，连接AD，线段AD的垂直平分线分别交边、于点E、F，如果的周长比的周长小，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据的周长比的周长小得出，再结合可求出． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵垂直平分， ∴． ∴ ． 则， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 类型四、含30°的直角三角形性质的应用 1. 紧抓“30°对边是斜边一半”：这是核心性质，即直角三角形中，若有一锐角为30°，则30°角所对的直角边等于斜边的一半（反之，若直角边是斜边一半，则该边对角为30°）。解题时可直接用于边长转换。 2. 求边方向要明确：已知斜边，可求30°对边（除以2）；已知30°对边，可求斜边（乘以2）。第三边利用勾股定理求得。注意：该性质仅适用于30°角所对的边。 3. 辅助构造常用法：当图形中无现成含30°的直角三角形时，可尝试构造：若遇60°、120°角，可作垂线分割出含30°的直角三角形，从而利用边长比例关系简化计算。 例4．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．若，则 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质、含角的直角三角形、等边对等角等知识点，掌握垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 由线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角和三角形外角的性质求得，再根据含角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵边的垂直平分线交于点D， ∴， ， ， 又∵在中，，， ． 故答案为：10． 【变式4-1】（23-24八年级上·江西赣州·期末）如图，在中，，，点D，E分别在边，上，若沿直线折叠，点A恰好与点B重合，且，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键． 根据题意，得到，由折叠的性质，得到，，利用直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半，得到，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， 由折叠可知， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：9． 【变式4-2】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，D为的中点，，点E在上，且，则的大小为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，含30度角的直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．先由直角三角形斜边中线的性质，得出，再证明，可得结论． 【详解】解：∵，D是的中点， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4-3】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，，点在边上，且，的垂直平分线分别交，于点，，点为直线上一动点，点为边上一动点，当的值最小时，的长为 ． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接，，则，，所以，由两点之间线段最短可知，当点，，共线时，的值最小，最小值为，由垂线段最短可知，当时，的值最小, 即的值最小，由垂直平分线性质可得，然后由，所以， 故有当的值最小时，的长为． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，， 则，， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点，，共线时，的值最小，最小值为，由垂线段最短可知，当时，的值最小, 即的值最小， ∵垂直平分，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴当的值最小时，的长为， 故答案为：． 类型五、等腰三角形性质和判定的综合问题 1. 判定先行，明确方向 综合题常需先判定三角形为等腰。牢记判定定理：①等角对等边（证两角相等）；②“三线合一”的逆用（若高也是中线/角平分线）。选定最易证明的路径入手。 2. 性质与判定灵活互逆 已知等腰三角形，立即用“等边对等角”和“三线合一”推角、边关系。解题中，性质与判定常循环使用：先用判定得等腰，再用其性质为后续全等、相似创造条件。 3. 巧作底边辅助线 当条件分散或需计算时，常通过作底边上高、中线或顶角平分线，利用“三线合一”构造全等直角三角形，将问题转化为勾股定理、三角函数求解。注意有时需分类讨论腰和底。 例5．（24-25八年级上·广西贺州·期末）如图，已知点A，C分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若． (1)求证：是等腰三角形； (2)作的平分线交于点H，若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，掌握以上知识，结合图形分析是关键． （1）根据角平分线的定义，平行线的性质得到，由等角对等边得到，结合等腰三角形的定义即可求解； （2）根据等腰三角形的定义，平角的性质得到，由角平分线的定义得到，根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【变式5-1】（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． (1)求证为等腰三角形； (2)若，G为中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键． （1）利用等角的余角相等和对顶角相等可得，继而证明为等腰三角形即可； （2）作，垂足为点H，证明，结合等腰三角形三线合一的性质可得，继而得到长． 【详解】（1）证明：∵于点D， ∴和都是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：如图，作，垂足为点H， ∵G为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式5-2】（24-25八年级上·贵州毕节·期末）【问题解决】 （1）如图1，平分，E是上任意一点，过点E作，交于点F．请直接写出一个与相等的角； 【拓展延伸】 （2）如图2．在（1）的条件下，G为上一点，连接．且．求证：； 【操作探究】 （3）如图3，为锐角，射线在内部，，E是边上任意一点，以点E为圆心，的长为半径画弧，交射线于点F，以点F为圆心，的长为半径画弧，交射线于点M，连接，根据题意补全图形，并直接写出直线与的位置关系． 【答案】（1）（或）；（2）证明见解析；（3）当点在线段上时，补全图形见解析，此时；当点在射线上时，补全图形见解析，此时 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，由此即可得； （2）延长，交于点，先根据等腰三角形的判定可得，再根据平行线的性质可得，，从而可得，根据等腰三角形的判定可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，由此即可得证； （3）分两种情况：①当点在线段上时，设，则，先根据等腰三角形的性质可得，，再根据三角形的外角性质可得，由此即可得；②当点在射线上时，先根据等腰三角形的性质可得，，再根据三角形的外角性质可得，从而可得，然后根据等量代换可得，根据平行线的判定即可得． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 所以与相等的角是（或）． （2）证明：如图，延长，交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 由（1）已得：，， ∴， ∴， ∴． （3）解：①当点在线段上时，补全图形如下： 延长，交于点， 设，则， 由作图可知，， ∴， 由作图可知，， ∴， ∵， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， ∴； ②当点在射线上时，补全图形如下： 由作图可知，， ∴， 由作图可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 综上，当点在线段上时，；当点在射线上时，． 【变式5-3】（24-25八年级上·云南红河·期末）如图所示，中，的平分线交于O点，过O点作交于点． （1）如果，求的度数； （2）如图2，如果，其他条件不变，图中有________个等腰三角形； 【综合运用】 观察、思考、猜想、验证：以下三条线段有关的三个结论：．你认为哪个正确？请说明理由； （3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有________个等腰三角形． 【拓广探索】 观察、思考、猜想、验证：以下三条线段有关的三个结论：，．你认为哪个正确？请说明理由． 【答案】（1）；（2）5；[综合运用]正确，理由见解析；（3）2；[拓广探索] 正确，理由见解析． 【分析】（1）利用三角形的内角和是，得出的度数； （2）根据，、的平分线交于点，可得，，，， 再加上题目中给出的，共5个等腰三角形，根据等腰三角形的性质，即可得出与、间有怎样的关系． （3）根据角平分线性质和平行线性质推出，，得出，即可得出与、之间的关系． 【详解】解：（1），； （2）， ， ， ，， ， ， ，， 和的平分线交于点， ，， ，， ， ， ，， △，△，△，△，△是等腰三角形，共5个， ； 故答案为：5； [综合运用]， 理由如下：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ， △和△是等腰三角形， ， ； （3）平分，平分，， ，， ， ，， ，， ，， △和△是等腰三角形，共2个， ， ， 故答案为：2． 类型六、等边三角形性质和判定的综合问题 1. 判定先导，紧扣三要素：判定等边三角形有三种思路：①三边相等；②三角相等（60°）；③等腰+一个60°角。优先选择“含60°等腰→等边”路径最快捷，常与全等、对称结合。 2. 活用核心性质转化条件：一旦确定为等边，立即应用其性质：三边等长、三角60°、三线合一且高/中线/角平分线重合。这些性质可将边角关系互相转化，并利用其轴对称性添加辅助线。 3. 构造等边三角形破题：当条件集中出现60°角或边相等等信息时，可主动构造等边三角形（连接已知点或作旋转），将未知线段纳入等边结构，利用等边性质转化问题，为全等或旋转证明创造条件。 例6．（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，在中，，，于点D，点F在的垂直平分线上． (1)求证：是等边三角形． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质，可得，然后求得，再求得，然后即可求解； （2）本题根据含角的直角三角形的知识，进行作答，即可求解． 【详解】（1）证明：∵点F在的垂直平分线上， ∴， ， ， 于点， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：由条件可知， ， ， ， ， ． 【变式6-1】（23-24八年级上·云南红河·期末）如图1，为等边三角形，点D在边的延长线上，连接，以为边作，过点C作平分，交于点E，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)如图2，若点D在边上，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键． （1）首先证得，然后利用全等三角形的对应边相等，即可求得为等边三角形； （2）根据题意证明可得，进而根据即可证明是等边三角形． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴． 又， ∴为等边三角形； （2）是等边三角形，理由如下： 是等边三角形 是的外角平分线 又 是等边三角形． 【变式6-2】（24-25八年级上·全国·期末）已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：___________（填“”，“”或“”）． (2)【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．（提示：过点E作，交于点F） (3)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为1，，则线段的长___________（请你画出相应图形） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)3，见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质解答即可． （2）过点作，交于点，根据等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解答即可． （3）过点作，交于点，根据等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解答即可． 本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点作，交于点， 则，，， 是等边三角形， ，， ，， 为等边三角形，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：过点作，交的延长线于点，如图3所示： 则，，， 是等边三角形， ，， ，， 为等边三角形，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． 【变式6-3】（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）已知是边长为10的等边三角形，P是边上一点，点Q在射线上．设的长为x． (1)如图1，当，且时．求证：； (2)当时，连接，交边于点D，且D是线段的中点． ①如图2，作交于点E，且，求x的值； ②如图3，作于点F．随着x的增大，线段的长是否发生变化？若不变，求线段的长；若发生变化、请说明理由； ③如图4，长为1的木条在边上，且．若②中的点F恰好落在木条上（不包括端点），请直接写出x的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)①13；②不变，；③ 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）结合等边三角形性质证明全等即可； （2）①由（1）知，，先证明是等边三角形，得到，再证明，得到，即可得解； ②作，交于E，由①知，是等边三角形，，则，再根据等边三角形三线合一的性质可得，即可得解； ③分两种情况讨论：当点F在M处时，作，交于E；当F在N处时，结合上述结论求解即可． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， ， ； （2）解：①由（1）知，， ， ，，， 是等边三角形， ， 是的中点， ， ， ， ； ②如图1，的长不变，理由如下， 作，交于E， 由①知，是等边三角形，， ， ， ， ， 的长不变； ③如图2，当点F在M处时，作，交于E， 由上知，是等边三角形，， ， 此时， 当F在N处时，此时， ， ， ． 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，则的长为（ ） A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，掌握性质是解题的关键．根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可得． 【详解】解：中， ，，， ． 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·期末）如图，中，的垂直平分线分别交边于，点，若点为的中点，点为线段上一动点，当周长取得最小值为13时，的面积为（    ） A．30 B．39 C．60 D．76 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称--最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，求出的长可得结论． 【详解】解：连接，， 是等腰三角形，点是边的中点， ， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 周长的最小值， ， ， 故选：A． 3．（24-25七年级下·湖南永州·期末）如图，与关于直线l对称，连接交对称轴l于点M，若，，则下列说法不正确的是（   ） A．三角形与三角形的周长相等 B．且 C．连接，，则，，三条线段不仅平行而且相等 D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质及三角形内角和定理．根据轴对称的性质判断三角形的周长、对应点连线与对称轴的关系，再利用三角形内角和定理求出的度数，最后逐一分析选项即可． 【详解】解：A项：∵与关于直线l对称， ∴, 由全等三角形的对应边相等可知，的三边与的三边分别相等， ∴它们的周长也相等，故A正确，不符合题意； B项：∵与关于直线l对称，A与是一对对应点， ∴对称轴l是线段的垂直平分线， 即且，故B正确，不符合题意； C项：连接，，∵与关于直线l对称， ∴，，三条线段都垂直于对称轴l， 在同一平面内，垂直于同一条直线的多条直线互相平行， ∴， 又∵对称轴l是对应点所连线段的垂直平分线， ∴，，三条线段被对称轴l垂直平分，但，，三条线段不相等，故C错误，符合题意； D项：∵与关于直线l对称， ∴， 在中，，，根据三角形内角和定理，，故D正确，不符合题意． 故选：C． 4．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知中，为钝角，分别以边，所在直线为对称轴作的对称图形和，线段与相交于点F，交于点G，交于点H，连接．下列说法不一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．CF平分 D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，角平分线的判定．根据对称得到，，则，，，，，，据此逐个判断即可． 【详解】解：∵以边，所在直线为对称轴作的对称图形和， ∴，， ∵， A．若，则， ∴， ∴，故A正确； B．若，设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，故B正确； C．∵，， ∴， ∵， ∴的边与的边上的高相等，即点到和的距离相等， ∴平分；故C正确； D．在上截取，连接， 由，，不能证明，故无法证得， ∴不能确定，故D错误； 故选：D． 二、填空题 5．（24-25七年级下·陕西西安·期末）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于 ． 【答案】或 【分析】此题考查了等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．分别从是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案． 【详解】解：如图（1）， ∵，， ∴， ∵， ∴； 如图（2）， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，它的顶角度数为：或． 故答案为：或． 6．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，等腰三角形的底边长为10，面积是40，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】13 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接，，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴， ∴ ， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴， ∵， ∴的长为的最小值， ∴的周长最小值． 故答案为：13． 7．（24-25八年级上·江苏·期末）如图，在中，，点在边上，且，过点作，交的延长线于点，点为的中点，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，由得，，则有，再由直角三角形性质可得，故有，又，从而有，再通过等角对等边即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·全国·期末）如图，C为线段上一动点（不与 A，B两点重合），在同侧分别作等边三角形 和等边三角形，连接 与 交于点F， 与 交于点G， 与交于点H，连接．有下列结论：．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】根据等边三角形的性质可以得出，就可以得出，通过证明就可以得出，可以得出是等边三角形就可以得出，就可以得出，由就可以得出，就可以得出，根据而得出结论． 【详解】解：∵ 和 都是等边三角形， ∴． 又∵， ∴． 又∵，， ∴． ∴． ∴．故①正确； ∴． ∴ ． ∴是等边三角形． ∴， 即 ． ∴．故②正确； 又∵， ∴．故③错误； ∵， ∴．故④正确； ∵， ∴，即．故⑤正确． 综上，正确的是①②④⑤. 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的外角与内角之间的关系的运用，平行线的判定的运用，解答时证明三角形全等是关键． 三、解答题 9．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． (1)证明：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点， （1）由，可知，再由，可知，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论； （2）根据含30度的直角三角形的性质和等边三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 10．（24-25七年级下·福建漳州·期末）如图，在四边形中，，E是的中点，连接并延长交的延长线于点F，点G在边上，且． (1)求证：； (2)连接，判断与的位置关系并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）由平行线的性质可得出，再根据点E是的中点，即得出，由对顶角相等得出，即证； （2）由，得出，．根据题意易证，根据等腰三角形的性质得出． 【详解】（1）∵，即， ∴． ∵点E是的中点， ∴． 又∵， ∴； （2）解：，理由如下： 连接， 由（1）可知， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 11．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，是等边三角形，延长至点D，延长至点E，使，连结的延长线交于点F． (1)求证：； (2)求的度数 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质． （1）先证明，可得，再进一步证明即可； （2）由等边三角形的性质可得，结合，可得，再进一步解答即可． 【详解】（1）证明：∵ 是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴ （2）解：∵ 是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)若，求 的度数． (2)若，的周长是． ①求的长度； ②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值． 【答案】(1) (2)①；②最小值为 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的三边关系掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可求解； （2）①根据线段垂直平分线的性质可得，然后求出的周长，再代入数据进行计算即可得解；②当点与重合时，周长的值最小，据此解答即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∵，的周长是， ∴； ②当点与重合时，周长的值最小， 理由：∵，， ∴与重合时，，此时最小， ∴周长的最小值． 13．（23-24八年级上·全国·期末）如图，是边长为的等边三角形，是边上一动点，由向运动（与 ，不重合），是延长线上一点，与点同时以相同的速度由向延长线方向运动（不与重合），过作于，连接 交于． (1)当时，求的长． (2)证明：在运动过程中，点是线段的中点． (3)运动过程中线段的长度不发生变化，请你直接写出 ． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)3 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键． （1）设，则，结合等边三角形的性质可得，再由直角三角形的性质，可得，从而得到关于x的方程，即可求解； （2）过P点作，交于F，可得是等边三角形，可证明，即可解答； （3）过P点作，交于F，由（2）得：，，从而得到，，即可求解． 【详解】（1）解：设，则， ∵是边长为的等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即． （2）证明：如图，过P点作，交于F， ∵是边长为的等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即D为中点； （3）解：运动过程中线段的长度不发生变化，是定值为3，理由： 过P点作，交于F， 由（2）得：，， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴． 故答案为：3 14．（23-24八年级上·河北张家口·期末）已知，在中，，点D，E分别在边上(D不与B，C重合)，． (1)如图1，若，且恰好平分，则的度数为 °． (2)如图2，若，且点D是边上的任意一点，小亮发现的度数为定值， ①求的度数； ②当时，求的度数． (3)如图3，在点D的运动过程中，的形状也在改变，若，请直接写出当等于多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)70 (2)①② (3)或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质等知识，理解并掌握等腰三角形的性质是解题关键． （1）根据题意易知为等腰三角形，由等腰三角形“三线合一”的性质可得，，结合，即可获得答案； （2）①首先结合三角形内角和定理解得，再根据三角形外角的定义和性质“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”可得，即可求得的度数；②当时，结合三角形内角和定理以及等腰三角形“等边对等角”的性质可解得的度数； （3）当时，易得，进而可得．然后分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即为等腰三角形， ∵，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：70； （2）①∵，， ∴， ∵，， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）若， 则， ∴． ①当时，， ∵， ∴此时不符合题意； ②当时，， ∵， ∴， ∴； ③当时，， ∴， ∴． 综上所述，当或时，是等腰三角形． 15．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）【综合与实践题】 【问题情境】补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题. 例：如图①，在四边形中，，E是的中点，平分，试判断之间的等量关系. 小颖的方法：如图②，延长的相交于点F，构造和等腰三角形（由即可判断） 【问题解决】（1）按照小颖的方法，之间的数量关系是___________； 【自主探究】（2）如图③，在中，D是的中点，点E在上，连接交于点F，，试说明：. 【拓展延伸】（3）如图④，在四边形中，，，，点F在上且满足，，请直接写出的长. 【答案】（1），见解析；（2）见解析；（3）3.4 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质． （1）延长、相交于点F，证明和全等得，再根据平分得，则，由此可得出，，之间的等量关系； （2）延长至点H，使，连接，证明和全等得，，再根据，得，进而得，由此即可得出结论； （3）过点延长、相交于点，根据三角形面积公式及得，证明和全等得，则，再根据，得，进而可得答案． 【详解】解：（1），，之间的等量关系是：，理由如下： 如图，延长、相交于点F， ， ，， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）延长至点H，使，连接， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， （对顶角相等）， ， ， ； （3）延长、相交于点， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ，， ， ， 因此，的长为3.4． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期末专题03轴对称的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、根据成轴对称图形的特征进行判断或求解 类型二、垂直平分线的性质与判定 类型三、利用等腰（等边）三角形的性质求解 类型四、含30°的直角三角形性质的应用 类型五、等腰三角形性质和判定的综合问题 类型六、等边三角形性质和判定的综合问题 压轴专练 典例详解 类型一、根据成轴对称图形的特征进行判断或求解 1.识别对称轴 先观察图形或点的位置关系，找出可能的对称轴（直线）。常见对称轴包括垂直/水平线、对角线或 特定直线。若为点坐标，可设对称轴为直线方程，利用几何特征列式。 2.应用对称性质 对称图形中，对应点到对称轴距离相等，且连线与对称轴垂直。解题时常用中点坐标公式与垂直斜 率关系（若对称轴斜率为k,则对应点连线斜率为-1/k)列方程求解未知点坐标或参数。 3.验证与转化 对于复杂图形，可转化为关键点（如顶点）的对称问题。求完后需验证所有对应点是否满足轴对称 条件，确保不遗漏或误判对称轴位置，必要时分类讨论多种可能。 例1.如图，△ABC与△AB'C'关于直线MN对称，P为MN上任一点(P不与AA共线)，下列结论中错 误的是() 1/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.△AA'P是等腰三角形 B.MN垂直平分AA C.△ABC与△AB'C'的面积相等 D.直线AB,AB的交点不一定在MN上 【变式1-1】如图，△ABC与△AB'C关于直线1对称，连接AA',BB',CC,其中BB分别交AC,AC 于点D,DC,下列结论：①AA'∥BB';②∠ADB=∠AD'B;③直线I垂直平分AA';④直线AB与AB的交 点不一定在直线1上.其中正确的是() B A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④ 【变式1-2】如图是一款运输机的平面示意图，它是一个轴对称图形，直线OF是其对称轴.下列结论不 正确的是() 0 A C A.BC=B'C B.∠D=∠D C.OF平分∠AOA D.BB垂直平分OF 2/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型二、垂直平分线的性质与判定 1.性质抓核心：若点在线段垂直平分线上，则该点到线段两端距离相等(PA=PB)。解题时直接用此结 论证线段相等或构造等腰三角形。 2.判定双条件：判定一条直线是垂直平分线，必须同时满足“垂直”与“平分中点”。证明时需分两步：先 证垂直，再证平分（或反之）。 3.应用与构造：求作到两点距离相等的点，该点必在两点确定的线段垂直平分线上。解题时，常通过 作此垂直平分线来定位关键点。 例2.已知：如图，∠BAC角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D,DE LAB,DF LAC,垂足分别 为E、F. E B D (①)求证：BE=CP: (2)若AB=8,AC=6,求BE的长」 【变式2-1】如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE,BD垂直平分AE,垂足为F,交AC 于点D.连接DE 1)若△ABC的周长为I9,△DEC的周长为7，求AB的长： (2)若∠ABC=30°，∠C=45°，求∠CDE的度数. 【变式2-2】如图，在△ABC中，DM,EN分别垂直平分边AC和边BC,交边AB于M、N两点，DM 与EN相交于点F. 3/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D N (1)若AB=3cm,求△CMN的周长. (2)若∠MFN=80°，求∠MCN的度数. 【变式2-3】如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D, PE⊥AC于E. B (I)求证：BD=CE: (2)若AB=6cm,AC=10cm,求AD的长. 类型三、利用等腰（等边）三角形的性质求解 1.紧扣等边对等角：看到等腰三角形，立即联想两底角相等。若知顶角，可求底角((180°顶角)2)： 若知底角，顶角易得。等边三角形则三内角均为60°。 2.活用三线合一：等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线“三线合一”。这是解题关键线索，己知其 (如高)可推出其他性质（如中线），用于证全等、求线段长度或角度。 3.边角条件转化：边相等与角相等可相互推导。解题时，常通过作底边上的辅助线（高、中线、角平分 线)构造直角三角形，利用勾股定理或三角函数求解。等边三角形可直接利用其对称性。 △AOB，OA=OB,∠AOB=120° 例3.(25-26八年级上·全国期末)如图，在 中， 点C是平面内一点，连 接AC、BC,OC,OA=OC,直线BC与直线AO相交于点D,如果△COD是以DO为腰的等腰三角形， 则∠OCB的度数为一· 4/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 -B 【变式3-1】(25-26八年级上·天津·期末)如图，已知△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，点E在 边AC上，且AE=AD,则∠EDC的大小为度. A E B D 【变式3-2】(24-25八年级上辽宁大连期末)如图，在等腰△ABC中，AB=AC,D为BC延长线上一 点，CE L AC,垂足为C,且CE=AC,连接BE,若BC=8,则△BCE的面积为一· E D B 【变式3-3】(24-25七年级下·上海黄浦·期末)如图，已知在等边△ABC中，AB=4Cm,点D在边BC上， 连接AD,线段AD的垂直平分线分别交边AB、AC于点E、F,如果△BDE的周长比△CDF的周长小lcm, 那么BD=_cm. D 5/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型四、含30°的直角三角形性质的应用 1.紧抓“30°对边是斜边一半”：这是核心性质，即直角三角形中，若有一锐角为30°，则30°角所对 的直角边等于斜边的一半（反之，若直角边是斜边一半，则该边对角为30°）。解题时可直接用于边长 转换。 2.求边方向要明确：已知斜边，可求30°对边（除以2）；已知30°对边，可求斜边（乘以2）。第三 边利用勾股定理求得。注意：该性质仅适用于30°角所对的边。 3.辅助构造常用法：当图形中无现成含30°的直角三角形时，可尝试构造：若遇60°、120°角，可 作垂线分割出含30°的直角三角形，从而利用边长比例关系简化计算。 例4.(25-26八年级上全国·期末)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，边AB的垂直平分线交BC 于点D,交AB于点E,连接AD,若AC=5,则AD=一· B 【变式4-1】(23-24八年级上江西赣州期末)如图，在△ABC中，∠A=30°，AB=BC,点D,E分别 在边AB,AC上，若沿直线DE折叠，点A恰好与点B重合，且CE=6,则AC=一· E B 【变式4-2】(23-24八年级上·浙江宁波期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点， ∠B=30°，点E在BC上，且CE=AC,则∠CDE的大小为一· 【变式4-3】(25-26八年级上·全国期末)如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=6,BC=10,点E在 边BC上，且BE=2,BC的垂直平分线分别交AC,BC于点M,V,点P为直线MN上一动点，点F为 边AB上一动点，当PE+PF的值最小时，AF的长为一 6/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型五、等腰三角形性质和判定的综合问题 1.判定先行，明确方向 综合题常需先判定三角形为等腰。牢记判定定理：①等角对等边（证两角相等）；②“三线合一”的 逆用（若高也是中线/角平分线）。选定最易证明的路径入手。 2.性质与判定灵活互逆 已知等腰三角形，立即用等边对等角”和“三线合一”推角、边关系。解题中，性质与判定常循环使 用：先用判定得等腰，再用其性质为后续全等、相似创造条件。 3.巧作底边辅助线 当条件分散或需计算时，常通过作底边上高、中线或顶角平分线，利用“三线合一”构造全等直角三 角形，将问题转化为勾股定理、三角函数求解。注意有时需分类讨论腰和底。 例5.(24-25八年级上：广西贺州期末)如图，已知点A,C分别是△FBE的边BF和BE延长线上的点， 作∠AFE的平分线FD,若FD‖BC. A D C (I)求证：△FBE是等腰三角形； (2)作∠FEC的平分线交FD于点H,若∠B=50°，求∠FHE的度数： 【变式5-1】(24-25八年级上江苏南通期末)如图，锐角△ABC中，点E是AB边上一点，BE=CE, AD L BC于点D,AD与EC交于点G. E G B D (1)求证△AEG为等腰三角形： 7/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若GD=5,G为CE中点，求AG的长， 【变式5-2】(24-25八年级上·贵州毕节·期末)【问题解决】 (I)如图1，BD平分∠ABC,E是AB上任意一点，过点E作EF∥BC,交BD于点F.请直接写出一个 与∠1相等的角； 【拓展延伸】 (2)如图2.在(I)的条件下，G为BC上一点，连接FG.且∠BGF=2∠I.求证：EF=FG: 【操作探究】 (3)如图3，∠ABC为锐角，射线BD在∠ABC内部，∠ABD=2∠DBC,E是AB边上任意一点，以点E 为圆心，EB的长为半径画弧，交射线BD于点F,以点F为圆心，EF的长为半径画弧，交射线BD于点 M,连接EM,根据题意补全图形，并直接写出直线EM与BC的位置关系， E G C 图1 图2 图3 【变式5-3】(24-25八年级上·云南红河期末)如图所示，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于0点， EF∥BC、AB,AC,E,F 过O点作 交 于点 图1 图2 图3 (1)如果∠OBC+∠OCB=65°，求∠BOC的度数： (2)如图2，如果AB=AC,其他条件不变，图中有 个等腰三角形： 【综合运用】 观察、思考、猜想、验证：以下三条线段EF,BE,CF有关的三个结论：EF-CF<BE EF-CF=BE,EF-CF>BE.你认为哪个正确？请说明理由； (3)如图3，AB≠AC,若∠ABC的角平分线与△ABC外角∠ACD的角平分线交于点O,过点O作 8/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OE BC AB AC 交 于E,交于F.图中有 个等腰三角形 【拓广探索】 观察、思考、猜想、验证：以下三条线段EF,BE,CF有关的三个结论：EF+CF<BE, EF+CF=BE,EF+CF>BE.你认为哪个正确？请说明理由. 类型六、等边三角形性质和判定的综合问题 1.判定先导，紧扣三要素：判定等边三角形有三种思路：①三边相等：②三角相等(60°)；③等腰+一 个60°角。优先选择“含60°等腰→等边路径最快捷，常与全等、对称结合。 2.活用核心性质转化条件：一旦确定为等边，立即应用其性质：三边等长、三角60°、三线合一且高/中 线/角平分线重合。这些性质可将边角关系互相转化，并利用其轴对称性添加辅助线。 3.构造等边三角形破题：当条件集中出现60°角或边相等等信息时，可主动构造等边三角形（连接已知 点或作旋转)，将未知线段纳入等边结构，利用等边性质转化问题，为全等或旋转证明创造条件。 例6.(24-25八年级上·云南昭通期末)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AD 1 BC于点 D,点F在BC的垂直平分线上. (I)求证：△AEF是等边三角形. (2)若BD=2,求CD的长. 【变式6-I】(23-24八年级上·云南红河期末)如图1，△ABC为等边三角形，点D在边BC的延长线CF 上，连接AD,以AD为边作∠ADE=6O°，过点C作CE平分∠ACF,交DE于点E,CE=BD,连接AE. D 图1 图2 (I)求证：△ADE是等边三角形： (2)如图2，若点D在边BC上，试判断△ADE的形状，并说明理由. 【变式6-2】(24-25八年级上全国期末)已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延 9/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 长线上，且ED=EC. D B D B 图1 图2 (1)【特殊情况，探索结论】 如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB(填“>”，“<”或“=”). (2)【特例启发，解答题目】 如图2，当点E为AB边上任意一点时，请判断线段AE与DB的大小关系，并说明理由.（提示：过点E 作EF∥BC,交AC于点F) (③)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED=EC,若△ABC的边长为 1,AE=2,则线段CD的长 (请你画出相应图形) 【变式6-3】(24-25八年级上·甘肃张掖期末)已知△ABC是边长为10的等边三角形，P是边AB上一点， 点Q在射线8C上.设吧的长为 BO 图1 图2 图3 图4 0)如图1，当x=2 且P=2 △ABQ≌△CAP 时.求证： (2)当>1 0时，连接9，交边1C于点D,且D是线段 PO PO 的中点 ①如图2，作PE∥BC交AC于点E,且AP=3,求x的值： ②如图3，作PF⊥AC于点F.随着x的增大，线段DF的长是否发生变化？若不变，求线段DF的长：若 发生变化、请说明理由： 10/16