期末专题05 分式及其运算含参数问题的八类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版2024八年级上册

品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期末专题05分式及其运算含参数问题的八类综合题型 目录 典例详解 类型一、分式有无意义的条件 类型二、利用分式的基本性质判断分式值的变化 类型三、分式的混合运算 类型四、分式化简求值 类型五、求使分式为正（负）数时未知数的取值范围 类型六、求使分式值为整数时未知数的整数值 类型七、与分式运算有关的规律性问题 类型八、与分式运算有关的新定义型问题 压轴专练 典例详解 类型一、分式有无意义的条件 1.分母不为零是核心 分式有意义的唯一条件是分母不等于零。因此，解题时首先要写出使分母等于零的未知数的值，然后 说明除这些值以外，分式都有意义。 2.分步处理复杂分母 若分母是多项式，应先进行因式分解，令每个因式分别等于零，解出所有可能的取值，这些值就是分 式无意义的点。 3.区分“无意义”与“值为零” “无意义”只与分母为零有关；而分式的值为零，需同时满足分子等于零且分母不等于零。解题时要 明确题目问的是哪种情况，避免混淆。 例1.(2425八年级上北京延庆期末)分式，2，有意义。实数a的取值范图是() A.a≠3 B.a≠0 C.a<3 D.a≥3 【变式1-1】(24-25八年级上·重庆綦江期末)当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是() A. x+1 树+ B.+1 x2 c.-1 x D.x+1 x2-4 【变式1-2】(24-25八年级上江苏苏州期末)当x=1时，下列分式无意义的是() A.x+日 B.- c.x-1 x+1 1/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型二、利用分式的基本性质判断分式值的变化 1. 紧扣“同乘同除不为零的整式” 分式值不变的充要条件是分子、分母同乘（或同除）同一个不为零的整式。解题时，先观察分式分子、 分母的变化是乘除运算还是加减运算。只有乘除同整式才可能值不变，加减一定变。 2.逐项对比，分析运算 将变化后的分子、分母分别与原分子、分母对比。看是每一项都乘（或除）了相同整式，还是仅部分 项被运算。若整体或各项变化比例相同，则值不变；否则值改变。 3.特值法辅助判断 当判断抽象分式时，可用具体数值代入原分式和变形后的分式进行计算对比（避开使分母为零的值） 若计算出的值相等，则说明变形后值不变，但需确认该特值不能是使分母为零的例外情况。 例2.，(2425八年级上·福建福州期末)下列各式从左到右的变形，一定正确的是（) A.+1x -x y+I y B. x-y y-x D.、x 【变式2-1】(24-25八年级上·安徽黄山期末)下列各式从左到右变形一定正确的是() A.m m2 B.、1 m+n n n2 m-n m2-n2 C.m=m+a D.-m-”=-1 nn+a m n 【变式2-2】(2425八年级上四广安期未)知果将分式本，中的x和y春扩大到原来的3倍，那么分 式的值() A.不变 B.扩大到原来的3倍 C.缩小到原来的 3 D.缩小到原来的 6 类型三、分式的混合运算 1. 统一为乘除，化除为乘 混合运算中，先将所有除法运算转化为乘法（除以一个分式等于乘以其倒数）。将整个式子统一为连 续的乘法与加减法，便于确定最简公分母。 2.确定最简公分母，分步通分 对于加减运算，先对各个分式进行因式分解，确定所有分母的最简公分母(LCD)。然后分步通分、 合并分子，注意分子是多项式时要添加括号，避免符号错误。 3.先分解，后约分 2/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在乘除运算中，先将各分子、分母进行因式分解。在相乘前就进行交叉约分，可大幅简化计算。最终 结果必须化为最简分式（分子分母无公因式）。注意运算顺序：先括号内，再乘除，后加减。 x2-4x-2 例3.（25-26八年级上江西期末)化简： x2-4x+4x+2x-2 【变式3-1】(24-25八年级上四川泸州期末)计算： a-1 【变式3-2】(24-25八年级下山西临汾期末)化简： x x）x2-9 x+3x-32x 类型四、分式化简求值 1. 先化简，再代入 绝对不要直接代入原式计算。必须先将原分式通过因式分解、约分、通分等步骤化为最简形式。化简 时，分子、分母是多项式的要先分解因式，便于约分。 2.灵活运用运算律与公式 熟练掌握分式的基本性质、乘除法则（化除为乘）和加减法则（通分）。在混合运算中，巧妙运用分 配律、结合律，并优先进行约分以简化计算步骤。 3.谨慎选择代入方式 将化简后的最简分式作为最终表达式。代入数值时，必须先检查原式及化简过程中所有分母是否为零 确保代入值有意义。若条件以方程形式给出（如x2=2),可考虑整体代入，避免解出复杂数值。 例4.（25-26八年级上·吉林期末)先化简，再求值： 1+- .a2-12a-2 a aa2-2a+1 中a 【变式4-1】(25-26八年级上·内蒙古期末)先化简 1-a+ a2-2a+,再从-2，-1,0,1四个数字 a+1 中选择一个你喜欢的数代入求值， 【变式4-2】(23-24八年级上·山东泰安·期末)求值： ()计算： 1 a+2÷2a+4 a-1a2-2a+1a-1 2)先化简，再求值：a-1-4a-。2-8a+16 a+1 a+1 其中a=-2 类型五、求使分式为正（负数时未知数的取值范围 1.转化为分子分母同号（或异号） 分式为正一分子、分母同号（同正或同负）；分式为负一分子、分母异号。据此列出符号条件对 应的不等式组。 3/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.画数轴求交集 分别解出分子>0、<0，分母>0、<0的解集，在数轴上清晰标出。根据需要的符号（同号或异号），选 取对应部分的交集。注意分母不能为零，对应点用空心圈标出。 3.综合写出最终范围 将求得的交集用不等式或区间表示。若分子、分母可因式分解，先找出各因式的零点（即分子、分母 的根)，再用“穿根法”（数轴标根法）快速判断各区间的符号，直接得出最终取值范围。 例5，已红分式生的值是非灸数，那么女的取值能同是《) A.x>-4且x≠0B.x2-4 C.x≠0 D.x≥-4且x≠0 【变式51】若分式2的值为正，则的取值范图是( A.x>0 B.x>-2 C月 D.x>号且x0 【变式5-2】(23-24八年级上山东莉泽期中)若分式3的值为负数，则的取值范围是 类型六、求使分式值为整数时未知数的整数值 1.分离常数，化简分式 对分子次数≥分母次数的分式，通过多项式除法或凑配法，将原式化为“整式部分+真分式（分子 次数低于分母)”的形式。 2.令分数部分为整数 真分式值为整数的条件是：分子是分母的整数倍。 3.解方程并验根 令gx)等于k的每一个因数（包括正负），解出对应的x值。最后需验证：1)解出的x是否为整数（题 目要求)；2)是否使原分式分母不为零。全部满足的解即为答案。 6,对于非负整数x使得十是一个正整数，则x可取的个数有( A.3 B.4 C.5 D.6 【变式61】若分式6 式m。2的值是正整数，则m可取的整数有( A.4个 B.5个 C.6个 D.8个 【安式6】若分式的值为整数，则整致：的值为 4/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型七、与分式运算有关的规律性问题 1. 从特例入手，观察规律 先计算前2-3个具体特例（如=1,2,3时的算式结果），将每一步运算过程写清楚。观察结果在形式、 系数、指数等方面的变化规律，并用含n的代数式进行猜想。 2.将规律一般化，进行归纳证明 将猜想的规律用数学公式表达（例如第n个式子的结果）。通过代数运算（如通分、合并等）对第n 个一般式子进行化简，验证其结果与猜想公式一致。这实质是数学归纳法的思想。 3. 紧扣运算规则，确保通项正确 规律常涉及分式的递推运算（如连续裂项、叠加）。推导通项时，严格遵循分式运算法则，注意符号 和约分。最终结果应化为最简分式，并可通过代入n=1,2等值进行回代检验。 例7.(24-25七年级下·安微合肥期末)观察下列等式： 第1个等式：623 111 第2个等式： 111 1234 第3个等式： 1-11 2045 第4个等式： 111 30561 …… (I)按上面的规律，第5个等式为 (②)请你归纳出第n个等式（用含的等式表示)，并说明理由， ③)计算：+1+11 -十…+ 6122090 【变式7-1】(24-25七年级下.安徽合肥期末)观察以下等式： 第1个等式：1×2-2=0 1 第2个等式： 1×4+5-1= 2X3 19+722 第3个等式： 34331 第4个等式： 116+913 4×5-24 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：一： (2)写出你猜想的第n个等式：_（用含n的等式表示），并说明等式的正确性， 5/10 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式7-2】(24-25七年级下·安微芜湖·期末)观察下列等式： 第1个等式： 3 =2- 1 1+1 第2个等式： 3 1 =2 2+1 2+1 1 第3个等式： 3+1 =2- 3+1 1 第4个等式： =2- 4+1 4+1 11 3 1 第5个等式： g×2- =2 5+1 5+11 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第6个等式：_： (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明. 类型八、与分式运算有关的新定义型问题 1. 明确新运算规则，翻译为标准运算 仔细阅读，将新定义符号（如(a⑧b))的具体计算步骤，逐句翻译为熟悉的分式加、减、乘、除及 乘方运算的组合。这是所有解题的基础。 2.严格按规则分步计算，并化简 进行新定义运算时，严格遵循其规定的顺序和法则，逐步代入计算，过程要完整。计算中涉及分式运 算时，坚持先因式分解、再约分化简的原则，确保结果为最简形式。 3.验证运算律，善用特值法 若题目要求判断新运算是否满足交换律、结合律等，可通过代数推导或举具体数值例子进行验证。对 于较抽象的比较或判断，可选取简单符合条件的数值代入检验，帮助理解。 例8.(24-25八年级上·河北石家庄·期末)定义：若两个分式的和为n为正整数)，则称这两个分式互为 n阶分式，例如：3+3北-31+D=3,则分式3与3江互为3阶分式 x+11+x1+x x+11+x ①分式10x与，15互为阶分式： 3+2x3+2x ②分式，12x与谁互为6阶分式？ 3+2x 【变式8-1】（24-25八年级上·江西上饶期末)定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的 分式的知的小取人称这个分式为“和谐分式.如：二=广=二十二三+一，则是“和 x-1x-1x-1x-1 x-1 6/10 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 谐分式”. ()下列分式中，属于“和谐分式”的是 (填序号)； ①+1，②42， 。3三王> (2将和谐分式a-2a+3化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：a-2a+3= a-1 a-1 (③)应用：先化简3r+6-1.x2-1 ,并回答：x取什么整数时，该式的值为整数？ x+1 x x2+2x 【变式8-2】(24-25八年级上河北石家庄期末)阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真 分数”和假分数，而假分数都可化为带分数。如：，2是 2亏·我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的 分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我 们称之为真分式，如一，+2x-2这样的分式就是假分式，3,2x这样的分式就是真分式.类 x+1’ x+1 x+1’x2+i 似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：二=+1-2=1-2 x+1x+1x+11 2+3_2-1+4_x+x-+4=x-1+4 ,解决下列问题： x+1x+1 x+1 r+1 0分式是 分式（填“真”或“假”）； 2将假分式化为带分式 x+2 ③)如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的个数. x+2 压轴专练 一、单选题 1。(2425八年级下四川成都期末)若分式一的值为正数，则的值可以是《) A.2 B.1 C.0 D.-1 2.（24-25八年级下·河北张家口·期末)下列分式变形正确的是() A:at=g+1 B.ambC.2d -a a+2b a+b D.m÷n=m n 7/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.(24-25八年级下·陕西汉中·期末)化简 2xx） x4x中4x-16的结果为（) A.x-12 B.-x+12 C.x+12 D.-x-12 4.(24-25八年级下·河南开封期末)下列关于分式的判断，正确的是() A.当x=2时，+的值为0 x-2 B.当x≠3时， x-3有意义 无论为何值，2的值不可能为整数 3 D.无论x为何值， x2+2x+2 的值总为正数 5.(24-25八年级下·福建泉州期末)我们定义：若两个分式M与N的和为常数a,且a>0,则称M是 的和约分式，a称为M关于N的”和约分式值”，如分式Mx+,Ns2 M+w-+2-2 x+1x+1 ，则M是N的和约分式”，a=2.已知分式P=3x, +2,93x+4,且P是为0的和约分式，则P关 x+2 于Q的“和约分式值”是() A.6 B.5 C.3 D.1 二、填空题 6.(2425八年级下江苏泰州期末)若分式4-号的值为0，那么x的值是一 x-2 7.(24-25八年级下江苏泰州期未)分式2的值是正整数，则正整数x的值是」 x+1 8.(24-25七年级下上海闵行期末)如果分式，3的值为负数，那么x应满足的条件是 2x+1 9,（24-25八年级下四川成都期末)已知a-b=2,且a+0,则代数式2a-2b,a-2ab-b） 的值 a 为」 0(2425八年级下碳西西安期末)定义新运算：a⊕6名+分者a9-b1=-1,则的值是 "a-b 三、解答题 11.(24-25八年级下·陕西咸阳期末)化简： 1+5）2+6x+9 ÷ x-2x-2 8/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4a a a 12.(24-25八年级下陕西咸阳·期末)分式化简： (a+2ba-2b'a2-4b2 9 2m3-4m2 13.(25-26八年级上·北京通州月考)先化简： -3+m÷ m+3 m-4m+4,并选一个合适的值作为m代 入求值， 14.(25-26八年级上新疆乌鲁木齐期末)先化简： xx 2-, x-1x2-1x2-2x+1 然后从-1、0、1、2中选 取一个你认为合适的数作为x的值代入求值， 5。Q425七年级下安徽合肥期末)观祭与思考：①+6：回 255+6:@{+3 11,2 4728 (I)根据上述等式的规律，直接写出第④个等式： (2)试用含n(为自然数，且n≥1)的等式表示这一规律，并说明该等式的正确性 16.(25-26七年级上·上海期末)阅读：如果两个分式A与B的和为常数k,且k为正整数，则称A与B 安为“关联分式”，常数k称为关联值，如分式A六：Bx子，1+丝r一1，则A与B互为“关服 x-1 分式”，“关联值”k=1. 0法分武4子8=子 了，判断4与B是否互为关联分式”，若不是，请说明理由：若是，请求出关 联值”k; 、（2)如分式c气3，D =x一9’C与D互为关联分式”，且关联值k=2. ①M= (用含x的式子表示)； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于； 17.(24-25七年级下·浙江金华·期末)在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于 分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如： +，兰：当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真 分式，例知名头我们阅道，侵分数可以化为带分数，例如：+子号类权的，假分式起可 3 以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）· 例如：①二1-x+少-2-1-2 x+1x+11x+1 ②之-2-1+1x+1(x-+ x-1x-1 =x+1+ x-1 x-1 0渊断与为 (填真分式或假分式)； ②仿照例子，将分式x-】化为带分式。 x+2 9/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ③)若分式2x-的值为整数，求x的整数值， x+1 18.(24-25八年级下山东期末)定义：若分式A与分式B的和等于它们的积的倍(n为常数，n≠0)， 即4+8=a48,则称分式么B互为n倍和积分式、例如与已，因为x++l1-可： 1 11 2 有-+1-可所以与互为7格和职分式 11 (1)下列每组两个分式互为“倍和积分式”的是；（填序号） x+22-x' y ②)已知、1 与，1互为n倍和积分式”，则n的值为一： 2x-5与3-2x ®诺分式4与分式4互为倍和积分式，则分式4为一： 的分式n十2+2与P,9为常数)互为n倍和积分式，则2p+49S阿值为 10/10 期末专题05 分式及其运算含参数问题的八类综合题型 目录 典例详解 类型一、分式有无意义的条件 类型二、利用分式的基本性质判断分式值的变化 类型三、分式的混合运算 类型四、分式化简求值 类型五、求使分式为正(负)数时未知数的取值范围 类型六、求使分式值为整数时未知数的整数值 类型七、与分式运算有关的规律性问题 类型八、与分式运算有关的新定义型问题 压轴专练 类型一、分式有无意义的条件 1. 分母不为零是核心 分式有意义的唯一条件是分母不等于零。因此，解题时首先要写出使分母等于零的未知数的值，然后说明除这些值以外，分式都有意义。 2. 分步处理复杂分母 若分母是多项式，应先进行因式分解，令每个因式分别等于零，解出所有可能的取值，这些值就是分式无意义的点。 3. 区分“无意义”与“值为零” “无意义”只与分母为零有关；而分式的值为零，需同时满足分子等于零且分母不等于零。解题时要明确题目问的是哪种情况，避免混淆。 例1．（24-25八年级上·北京延庆·期末）分式有意义，实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式有意义的条件 【分析】根据分式有意义，分母不为零列式计算即可得解． 本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式的值为零⇔分子为零且分母不为零． 【详解】解：由题意得，，解得：， 故选：A． 【变式1-1】（24-25八年级上·重庆綦江·期末）当为任意实数时，下列分式一定有意义的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式有意义的条件 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．直接利用分式有意义的条件分别分析得出答案．分式有意义的条件是分母不等于零． 【详解】解：A．当时，即为任意实数时，分式有意义，故本选项符合题意； B．当时，即时，分式有意义，故本选项不合题意； C．当时，即时，分式有意义，故本选项不合题意； D．当时，即时，分式有意义，故本选项不合题意； 故选：A． 【变式1-2】（24-25八年级上·江苏苏州·期末）当时，下列分式无意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式有意义的条件、分式无意义的条件 【分析】此题考查了分式无意义．解题的关键是熟练掌握分式有意义的条件．分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义． 根据分母为0，分式无意义；分母不为零，分式有意义，逐一判断即得． 【详解】A、当时，分式有意义； B、当时，，分式有意义； C、当时，分式有意义； D、当时，，分式无意义． 故选：D． 类型二、利用分式的基本性质判断分式值的变化 1. 紧扣“同乘同除不为零的整式” 分式值不变的充要条件是分子、分母同乘（或同除）同一个不为零的整式。解题时，先观察分式分子、分母的变化是乘除运算还是加减运算。只有乘除同整式才可能值不变，加减一定变。 2. 逐项对比，分析运算 将变化后的分子、分母分别与原分子、分母对比。看是每一项都乘（或除）了相同整式，还是仅部分项被运算。若整体或各项变化比例相同，则值不变；否则值改变。 3. 特值法辅助判断 当判断抽象分式时，可用具体数值代入原分式和变形后的分式进行计算对比（避开使分母为零的值）。若计算出的值相等，则说明变形后值不变，但需确认该特值不能是使分母为零的例外情况。 例2．（24-25八年级上·福建福州·期末）下列各式从左到右的变形，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查了分式的基本性质．根据分式的基本性质，分式的分子与分母同时乘以或除以一个不为0的整式，分式的值不变，然后进行逐项判断． 【详解】解：A、原变形错误，故本选项不符合题意； B、原变形错误，故本选项不符合题意； C、原变形错误，故本选项不符合题意； D、原变形正确，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式2-1】（24-25八年级上·安徽黄山·期末）下列各式从左到右变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】此题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐项进行判断即可． 【详解】A.，故选项错误，不符合题意； B. 当时，，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意； D. ，故选项正确，符合题意； 故选：D 【变式2-2】（24-25八年级上·四川广安·期末）如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大到原来的3倍 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 【答案】A 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，即可解题． 【详解】解：如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍， 则， 分式的值不变， 故选：A． 类型三、分式的混合运算 1. 统一为乘除，化除为乘 混合运算中，先将所有除法运算转化为乘法（除以一个分式等于乘以其倒数）。将整个式子统一为连续的乘法与加减法，便于确定最简公分母。 2. 确定最简公分母，分步通分 对于加减运算，先对各个分式进行因式分解，确定所有分母的最简公分母（LCD）。然后分步通分、合并分子，注意分子是多项式时要添加括号，避免符号错误。 3. 先分解，后约分 在乘除运算中，先将各分子、分母进行因式分解。在相乘前就进行交叉约分，可大幅简化计算。最终结果必须化为最简分式（分子分母无公因式）。注意运算顺序：先括号内，再乘除，后加减。 例3．（25-26八年级上·江西·期末）化简： 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的运算，熟练掌握分式运算的方法是解题关键． 先将括号里的分式进行因式分解约分，再通分加减，然后把除法运算转换为乘法运算进行约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 【变式3-1】（24-25八年级上·四川泸州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，先计算括号内，将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，即可求解． 【详解】解： ． 【变式3-2】（24-25八年级下·山西临汾·期末）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果即可． 【详解】解： ． 类型四、分式化简求值 1. 先化简，再代入 绝对不要直接代入原式计算。必须先将原分式通过因式分解、约分、通分等步骤化为最简形式。化简时，分子、分母是多项式的要先分解因式，便于约分。 2. 灵活运用运算律与公式 熟练掌握分式的基本性质、乘除法则（化除为乘）和加减法则（通分）。在混合运算中，巧妙运用分配律、结合律，并优先进行约分以简化计算步骤。 3. 谨慎选择代入方式 将化简后的最简分式作为最终表达式。代入数值时，必须先检查原式及化简过程中所有分母是否为零，确保代入值有意义。若条件以方程形式给出（如x²=2），可考虑整体代入，避免解出复杂数值。 例4．（25-26八年级上·吉林·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算的顺序和运算法则，是解题的关键． 先算括号内的加法，再将除式的分母因式分解，把除法转化为乘法，约分即可化简原式，最后将代入化简后的式子，进行计算即可得到答案． 【详解】解：原式， ， ， ； 当时， ， ， ． 【变式4-1】（25-26八年级上·内蒙古·期末）先化简，再从，，0，1四个数字中选择一个你喜欢的数代入求值． 【答案】， 或 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式化简求值，分式加减乘除混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先化简分式，再将使分式有意义的值代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式无意义， 当时，原式无意义， 当时，原式． 当时，原式．（0与选一个代入求值即可） 【变式4-2】（23-24八年级上·山东泰安·期末）求值： (1)计算： (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、分式的化简求值等知识点，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． （1）直接运用分式的混合运算法则计算即可； （2）先运用分式的混合运算法则化简，然后将代入求值即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， 当时，原式． 类型五、求使分式为正(负)数时未知数的取值范围 1. 转化为分子分母同号（或异号） 分式为正 ⇔ 分子、分母同号（同正或同负）；分式为负 ⇔ 分子、分母异号。据此列出符号条件对应的不等式组。 2. 画数轴求交集 分别解出分子>0、<0，分母>0、<0的解集，在数轴上清晰标出。根据需要的符号（同号或异号），选取对应部分的交集。注意分母不能为零，对应点用空心圈标出。 3. 综合写出最终范围 将求得的交集用不等式或区间表示。若分子、分母可因式分解，先找出各因式的零点（即分子、分母的根），再用“穿根法”（数轴标根法）快速判断各区间的符号，直接得出最终取值范围。 例5．已知分式的值是非负数，那么x的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求不等式组的解集 【分析】本题考查分式值的正负性问题，也考查了解一元一次不等式．根据的值是非负数得到且，进而能求出x的取值范围． 【详解】解：∵， ∴且， ∴且． 故选：D． 【变式5-1】若分式的值为正，则的取值范围是(    ) A． B． C． D．且 【答案】D 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】本题考查不等式的解法和分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向． 根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母是正数，主要分子的值是正数则可，从而列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，，且， ∵分式的值为正， ∴， ∴， ∴且． 故选：D． 【变式5-2】（23-24八年级上·山东菏泽·期中）若分式的值为负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】分式有意义的条件、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、分式值为负数时未知数的取值范围；根据分式的分母不能为0得出，再根据分式的值为负数得出，进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， ， 分式的值为负数，， ， ， 的取值范围是且， 故答案为：且． 类型六、求使分式值为整数时未知数的整数值 1. 分离常数，化简分式 对分子次数≥分母次数的分式，通过多项式除法或凑配法，将原式化为“整式部分 + 真分式（分子次数低于分母）”的形式。 2. 令分数部分为整数 真分式值为整数的条件是：分子是分母的整数倍。 3. 解方程并验根 令g(x)等于k的每一个因数（包括正负），解出对应的x值。最后需验证：1）解出的x是否为整数（题目要求）；2）是否使原分式分母不为零。全部满足的解即为答案。 例6．对于非负整数，使得是一个正整数，则可取的个数有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题主要考查了分式的化简变形，解题时要能熟练掌握并理解．依据题意，由，再结合为正整数，为非负整数，进而可以得解． 【详解】解：由题意，，且为正整数，为非负整数， 必为正整数． 为的正因数，可能为，，，， 为非负整数， 可能为，，． 又为正整数， 或或均符合题意，共种可能． 故选：A． 【变式6-1】若分式的值是正整数，则可取的整数有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【答案】A 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题主要考查了分式的值，利用已知条件得到关于m的不等式，再利用有理数的整除的性质解答即可． 【详解】解：若分式的值是正整数，且为整数， 则是6的约数，． ∴或或或， 即的值为8或5或4或3，共4个． 【变式6-2】若分式的值为整数，则整数x的值为 ． 【答案】或或或 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查了求使分式值为整数时未知数的整数值问题，将分式化为，分别代值计算，即可求解；掌握这类典型问题的解法是解题的关键． 【详解】解： ， 分式的值为整数，且x是整数， 或 或或， 解得：或或或， 故答案：或或或． 类型七、与分式运算有关的规律性问题 1. 从特例入手，观察规律 先计算前2-3个具体特例（如n=1,2,3时的算式结果），将每一步运算过程写清楚。观察结果在形式、系数、指数等方面的变化规律，并用含n的代数式进行猜想。 2. 将规律一般化，进行归纳证明 将猜想的规律用数学公式表达（例如第n个式子的结果）。通过代数运算（如通分、合并等）对第n个一般式子进行化简，验证其结果与猜想公式一致。这实质是数学归纳法的思想。 3. 紧扣运算规则，确保通项正确 规律常涉及分式的递推运算（如连续裂项、叠加）。推导通项时，严格遵循分式运算法则，注意符号和约分。最终结果应化为最简分式，并可通过代入n=1,2等值进行回代检验。 例7．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式： 第个等式：． 第个等式：． 第个等式：． 第个等式：． …… (1)按上面的规律，第个等式为________． (2)请你归纳出第个等式（用含的等式表示），并说明理由． (3)计算：． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据所给式子发现规律，等式左边分母等于等式右边两个分数的分母乘积，即可推出第个等式； （2）由（1）的规律发现第个等式的规律，用分式的加法计算式子右边即可证明； （3）结合规律将式子转化为即可得解． 【详解】（1）解：第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 则第个等式为， 即． 故答案为：． （2）解：由（1）得，第个等式为， 等式右边， ， ， ， 等式左边， ． （3）解：， ， ， ， ， ． 【变式7-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示)，并说明等式的正确性． 【答案】(1) (2)（，且为整数），证明见解析 【分析】本题考查算式规律的归纳能力，分式的混合运算，解题的关键是能准确理解题意，并通过观察、计算、归纳进行求解． （1）根据前个等式的规律求解此题； （2）根据前个等式归纳出此题规律进行求解，再证明即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： ∴第个等式：， 故答案为：； （2）解：由（1）归纳可得： 第n个等式：（，且为整数） 证明如下：左边右边， ∴成立. 【变式7-2】（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第6个等式∶ ； (2)写出你猜想的第 n个等式(用含 n 的等式表示)，并证明． 【答案】(1) (2)第n个等式为，见解析 【分析】本题考查了数字类规律探索、分式的混合运算，正确得出规律是解此题的关键． （1）观察各等式即可得出第个等式； （2）观察各等式即可得出第个等式，将左边式子括号内先通分，再约分进行化简，右边式子进行通分化简，比较左右两边是否相等即可得解． 【详解】（1）解：观察各等式可得，第个等式为； 故答案为：； （2）解：第n个等式为， 证明：左边， 右边， ∵左边右边， ∴原等式成立． 类型八、与分式运算有关的新定义型问题 1. 明确新运算规则，翻译为标准运算 仔细阅读，将新定义符号（如 \(a⊗b\)）的具体计算步骤，逐句翻译为熟悉的分式加、减、乘、除及乘方运算的组合。这是所有解题的基础。 2. 严格按规则分步计算，并化简 进行新定义运算时，严格遵循其规定的顺序和法则，逐步代入计算，过程要完整。计算中涉及分式运算时，坚持先因式分解、再约分化简的原则，确保结果为最简形式。 3. 验证运算律，善用特值法 若题目要求判断新运算是否满足交换律、结合律等，可通过代数推导或举具体数值例子进行验证。对于较抽象的比较或判断，可选取简单符合条件的数值代入检验，帮助理解。 例8．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）定义：若两个分式的和为为正整数，则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”． (1)分式与互为“______阶分式”； (2)分式与谁互为“6阶分式”？ 【答案】(1)5； (2) 【分析】本题主要考查解分式加减，理解题意并掌握分式加减运算法则是解题的关键． （1）根据题意即可列出算式，进行化简即可得出答案； （2）根据题意即可列出算式，进行化简即可得出答案． 【详解】（1）∵ ； ∴分式与互为“5阶分式”； 故答案为：． （2）解：由题意得 ， ∴分式与互为“6阶分式”． 【变式8-1】（24-25八年级上·江西上饶·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：＝________； (3)应用：先化简，并回答：x取什么整数时，该式的值为整数？ 【答案】(1)①③④ (2) (3)， 【分析】本题考查分式的化简，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，逐一进行判断即可； （2）根据新定义，进行计算即可； （3）除法变乘法，约分化简后，进行加减运算，再根据新定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：；故①是和谐分式； 不能化成一个整式与一个分子为常数的分式；故②不是和谐分式； ；故③是和谐分式； ；故④是和谐分式； 故答案为：①③④ （2）； 故答案为：； （3）原式 ； ∵， ∴当时，分式的值为整数， ∴， ∵时，分式无意义， ∴当时，分式的值为整数． 【变式8-2】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数。如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式，，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：，．解决下列问题： (1)分式是_____分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式； (3)如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的个数． 【答案】(1)真 (2) (3)符合条件的x有4个 【分析】本题考查分式的运算，熟练掌握分式的定义和化简运算方法是解题的关键， （1）利用题中定义判断即可； （2）根据题意化简即可； （3）由（2）中的化简分情况讨论出结果即可． 【详解】（1）解：分式是真分式， 故答案为：真． （2）解：由题可得：． （3）解：由（2）得：. ∵x为整数，分式的值也为整数， ∴或1或或， ∴或或或， ∴符合条件的x有4个． 一、单选题 1．（24-25八年级下·四川成都·期末）若分式的值为正数，则的值可以是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求分式值为正（负）数时未知数的取值范围，熟练掌握分式的性质是解题关键．由分式的值为正数可知，分子与分母同号，故分母需满足，解得，再结合选项作答即可． 【详解】解：分式的值为正数， ， ， 只有A选项满足条件， B、C、D选项不满足， 故选：A． 2．（24-25八年级下·河北张家口·期末）下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的混合运算，分式的混合运算一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．利用通分可对A选项进行判断；利用同分母的减法运算的逆运算可对B选项进行判断；根据最简分式的定义对C选项进行判断；根据常规运算顺序对D项进行判断． 【详解】解：A．，所以A选项不符合题意； B．，所以B选项符合题意； C．为最简分式，所以C选项不符合题意； D．，所以D选项不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的混合运算，先通分计算括号内的减法，再利用除法的性质转换为乘法，约分后化简即可． 【详解】解：原式 ； 故选：C． 4．（24-25八年级下·河南开封·期末）下列关于分式的判断，正确的是（   ） A．当时，的值为0 B．当时，有意义 C．无论为何值，的值不可能为整数 D．无论为何值，的值总为正数 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件、分式的值为零、分式值为整数的情况以及分式的符号判断．分式有意义的条件是分母不等于0，分式值是0的条件是分子是0，分母不是0． 【详解】A. 当时，分母，分式无意义，故A错误； B. 分式有意义需分母，与无关，故B错误； C. 只有当时，，此时值为整数，故C错误； D. 分母，分子为3，分式的值总为正数，故D正确； 故答案选：D． 5．（24-25八年级下·福建泉州·期末）我们定义：若两个分式与的和为常数，且，则称是的“和约分式”，称为关于的“和约分式值”．如分式，，，则是的“和约分式”，．已知分式，，且是为的“和约分式”，则关于的“和约分式值”是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的新定义，分式的加法运算，根据分式的加法运算法则求出的值即可求解，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴关于的“和约分式值”是， 故选：． 二、填空题 6．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）若分式的值为，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案，熟知分式的值为时要满足的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为， ∴， 解得， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）分式的值是正整数，则正整数的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查分式的值，根据题意确定符合题意的正整数x的值即可． 【详解】解：∵分式的值是正整数， ∴或2， ∴或， 又x为正整数， ∴， 故答案为：1． 8．（24-25七年级下·上海闵行·期末）如果分式的值为负数，那么x应满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据分式值的情况求参数，解一元一次不等式，根据题意可得，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵分式的值为负数， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·四川成都·期末）已知，且，则代数式的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先进行括号内分式的减法计算，再将除法化为乘法化为最简分式，再代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 10．（24-25八年级下·陕西西安·期末）定义新运算：，若，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是正确理解新定义运算，掌握运算法则． 根据新定义的运算得出，然后将原式化简，最后代入即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 三、解答题 11．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是运用运算法则来计算． 根据分式混合运算的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 12．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）分式化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先进行括号内异分母的分式减法计算，再将除法化为乘法计算． 【详解】解： ． 13．（25-26八年级上·北京通州·月考）先化简：，并选一个合适的值作为代入求值． 【答案】，当时，原式的值为 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式化简的法则． 先对分式进行化简，再选择合适的值代入求值即可． 【详解】解： ∵， ∴， 可选当时，代入上式得， 原式． 14．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）先化简：，然后从－1、0、1、2中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是先通过通分、因式分解等步骤化简分式，再根据分式有意义的条件选择合适的值代入计算． 先对括号内的分式通分，再将除法转化为乘法，通过因式分解约分化简；根据分式有意义的条件排除不合适的值，代入化简后的式子求值． 【详解】解：化简分式： ， 分式有意义的条件是分母不为0，故、，因此选择， 将代入，得． 15．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）观察与思考：①；②；③ (1)根据上述等式的规律，直接写出第④个等式； (2)试用含n（为自然数，且）的等式表示这一规律，并说明该等式的正确性． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了数字类规律探究和分式的运算，正确得到规律是解题的关键； （1）根据前几个等式找到规律求解即可； （2）先根据（1）题的规律得出一般的等式形式，再根据分式的运算法则验证即可． 【详解】（1）解：因为①； ②； ③ 所以第④个等式是； （2）解：由（1）题可得：第n个等式为：； 证明：右边 左边； 所以原等式是正确的． 16．（25-26七年级上·上海·期末）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”； (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”． ①_______（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于_______； 【答案】(1)是， (2)①，② 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，理解新定义是解本题的关键． （1）先计算，再求出结果即可； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式D的值为正整数．x为正整数，可得或，从而可得答案． 【详解】解：（1）A与B是互为“关联分式”，理由如下： ∵， ∴ ． ∴A与B是互为“关联分式”， “关联值”； （2）①∵，， ∴， ∵C与D互为“关联分式”，且“关联值”， ∴， ∴； ②∵，且分式D的值为正整数，x为正整数， ∴或， ∴（舍去）． 17．（24-25七年级下·浙江金华·期末）在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）． 例如：①； ② (1)判断为________（填真分式或假分式）； (2)仿照例子，将分式化为带分式． (3)若分式的值为整数，求的整数值． 【答案】(1)真分式 (2) (3)的可能整数值为． 【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并将各式进行正确地变形是解题的关键． （1）根据题干中的定义进行判断即可； （2）将原式变形后进行化简即可； （3）将原式变形后化为代分式，然后结合已知条件确定整数x的值即可． 【详解】（1）解：由题意可得为真分式， 故答案为：真分式； （2）； （3）， 当为整数时，也为整数， 可取得的整数值为，， 的可能整数值为． 18．（24-25八年级下·山东·期末）定义：若分式A与分式B的和等于它们的积的倍（为常数，），即，则称分式互为“n倍和积分式”．例如与，因为，，所以与互为“2倍和积分式”． (1)下列每组两个分式互为“倍和积分式”的是______；（填序号） ①与，②与，③与，④与． (2)已知与互为“n倍和积分式”，则n的值为______； (3)若分式与分式互为“倍和积分式”，则分式为______； (4)若关于x的分式与（为常数）互为“n倍和积分式”，则的值为______． 【答案】(1)②④ (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查分式的混合运算、解一元一次方程方程，解决本题的关键是对新定义“n倍和积分式”的理解与应用，涉及分式的运算、方程求解及代数变形能力． （1）逐一验证各选项的和与积是否成固定倍数关系； （2）正确通分并化简，注意分母变形技巧； （3）设未知分式A，建立方程并解出A； （4）通过分式恒等条件，建立关于p和q的方程，消去n后求代数式的值． 【详解】（1）解：对于①，，，所以与不是互为“n倍和积分式”； 对于②，， ， 所以与互为“4倍和积分式”； 对于③，，，所以与不是互为“n倍和积分式”； 对于④，， ，， 所以与互为“倍和积分式”； 故答案为：②④； （2）解：因为与互为“n倍和积分式”， 所以， ， ， 所以与互为“倍和积分式”， n的值为， 故答案为：； （3）解：分式与分式互为“倍和积分式”， 所以，即， 所以， 所以， ， 故答案为：； （4）解：若关于x的分式与（为常数）互为“n倍和积分式”， 所以 ， ， 所以可得：，， 即，． 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $