专题03 三角形中的边角关系、命题与证明（5重点+22题型+复习提升）（寒假复习讲义）八年级数学新教材沪科版

专题03 三角形中的边角关系、命题与证明 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点一 ：三角形中边的关系 1、三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫作三角形. 2、三角形的“三元素” (1)顶点：三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点. (2)边：组成三角形的线段叫做三角形的边. (3)内角：在三角形中，相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角. 3、三角形的表示方法：用符号“△”表示三角形. 如图，顶点是A，B，C 的三角形，记作△ ABC，读作“三角形ABC”. 4、三角形按边分类： ① ②有两条边相等的三角形叫作等腰三角形； ③三条边都相等的三角形叫作等边三角形． ④我们可以把三角形按照边长关系进行分类： 5、 三角形的三边关系 文字语言 数学语言 理论 依据 图形 三角形两边的和大于第三边 a+b﹥c，b+c﹥a，a+c﹥b 两点 之间， 线段 最短. 三角形两边的差小于第三边 a－b﹤c，b－c﹤a， a－c﹤b(a ﹥b﹥c) 知识点二 ：三角形中角的关系 1、三角形按角分类： ①三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形； ②有一个角是直角的三角形叫作直角三角形；直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ABC； ③有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形. ④我们可以把三角形按照角关系进行分类： 2、： （1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° . 几何语言：在△ ABC 中，∠A+ ∠B+ ∠C=180° . （2）三角形内角和定理的应用：主要用在求三角形中角的度数． ①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角； 知识点三 ：三角形中三条重要的线段 1、三角形的高： （1）三角形高的定义：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 性质：如右图： ∵ AD是△ABC的边BC上的高(已知)， ∴ AD⊥BC于点D(或∠ADB=∠ADC=90°) 判定： ∵ AD⊥BC于点D(或∠ADB=∠ADC=90°)(已知)， ∴线段AD 是△ABC 的边BC上的高(三角形的高的定义) （2）三角形的高的画法 一靠：使三角尺的一条直角边靠在作高的边上； 二移：移动三角尺使另一条直角边通过这条边所对的顶点； 三画：画垂线段. （3）三角形三条高的位置 高的位置 交点位置 交点名称 锐角三角形 三条高都在三角形内部 三条高交于一点，都在三角形内部. 垂心 直角三角形 其中两条高恰好是直角边 三条高交于一点，再三角形的直角顶点 钝角三角形 其中两条高在三角形外部 三条高没有交点，但三条高所在的直线交于一点，在三角形外. 2、三角形的角平分线 （1）三角形的角平分线的定义： 三角形一个内角的平分线与它所对的边相交，顶点和交点之间的线段叫做这个三角形的角平分线. 【注意】●角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段. ●三角形的角平分线是其内角的平分线的一部分，故角的平分线的性质三角形的角平分线都具有. （2）三角形的角平分线的位置： 三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点. 3、三角形的中线 （1）三角形的中线的定义：连接三角形一个顶点和它所对的边的中点，所得的线段叫做该三角形这条边上的中线. 几何语言：如图， ①AD是△ ABC 中BC 边上的中线； ②D是BC边的中点； ③BD=DC，BD=BC，DC=BC. 知识点四 ：命题与证明 1、定义：能明确界定某个对象含义的语句叫作定义． 2、命题：可以判断正确或不正确的陈述语句叫作命题. 经判断是正确的，这样的命题称之为真命题. 经判断是错误的，这样的命题称之为假命题. 注意：只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题. 命题形式：如果……那么…… “如果 p，那么 q”，或“若 p，则 q”. 3、逆命题： 将命题“如果 p，那么 q”中的结论和条件互换，便得到一个新命题“如果 q，那么 p”，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作原命题的逆命题. 4、反例： （1）定义：符合命题条件论的例子，我们称之为反例. （2）要判断一个命题是真命题需要推理论证；要判断一个命题是假命题只要举出一个反例即可. 5、证明与推理： （1）基本事实的概念：数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫作基本事实. （2）定理的概念：有些命题是从基本事实或其他真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据.这样的真命题叫作定理. （3）证明的概念： 从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理(或演绎法). 演绎推理的过程，就是演绎证明，简称证明. 6、三角形内角和定理的证明 多种方法证明三角形内角和等于 180° 的核心是：借助的平行线“移角”的功能，将三个角转化到一个平角上. 辅助线：为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 7、三角形内角和定理的推论1、2 （1）三角形内角和推论 1：直角三角形的两锐角互余. （2）三角形内角和推论 2：有两个角互余的三角形是直角三角形. （3）像这样，由基本事实、定理直接得出的真命题叫做推论. 知识点五 ：三角形的外角 （1）三角形的外角的定义：三角形的外角是由三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角. 如图所示，∠ACD就是△ABC的一个外角. ①一个三角形的每个顶点处有两个外角，这两个外角是对顶角； ②三角形的外角和与它相邻的内角互补. （2）外角的特征：①顶点是三角形的顶点； ②一条边是三角形内角的一边； ③另一条边是该内角另一边的反向延长线. （3） 推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. ∠B +∠C =∠CAD 推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.∠CAD＞∠B， ∠CAD＞∠C 【题型1 三角形有关的概念】 高妙技法 1. 抓 “不在同一直线 + 三条线段首尾相接” 的定义； 2. 找以某边为边的三角形时，按顶点顺序列举；3. 数三角形个数时，按大小 / 区域分类，避免重复遗漏 【典例1】观察下列图形，其中是三角形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形是三角形．据此即可解答． 【详解】 解：图形中是三角形的是 故选：B． 【变式1】在中，边所对的角是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查“三角形的基本概念”，了解三角形中的相关概念是解题关键． 根据图形和三角形的边所对角的概念进行判断即可． 【详解】解：根据三角形的边所对角的概念， 在中，边所对的角是， 故选：B． 【变式2】如图，在中，顶点C所对的边是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的识别与有关概念，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据三角形的识别与有关概念求解． 【详解】解：在中，顶点C所对的边是， 故选：B． 【题型2 三角形的分类】 高妙技法 1. 按边分：先看是否有等边→再看是否有等腰； 2. 按角分：找最大角（锐角→锐角三角形，直角→直角三角形，钝角→钝角三角形）； 3. 遮挡三角形：露出钝角 / 直角可直接判定类型 【典例1】下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形按边分类，根据分类情况分为三边不相等的三角形和等腰三角形，而等腰三角形分为腰和底不相等的三角形、等边三角形，根据分类的情况即可得到答案． 【详解】解：根据三角形按边分类情况：等边三角形应该分在等腰三角形里，故选项A错误，不符合题意； 分类正确，故选项B正确，符合题意； 等腰三角形包含等边三角形，故选项C错误，不符合题意； 分类不完整，故选项D错误，不符合题意； 故选：B 【变式1】在中，若，则是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】本题考查三角形内角和及三角形形状的判断；根据三角形内角和定理求出的度数，再判断三角形形状． 【详解】解：∵，， ∴， ∴是直角三角形； 故选A． 【变式2】如图，一把不透明的尺子挡住了三角形的一部分，则这个三角形的类别为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的分类，属于基础题型，掌握其分类的方法是做题的关键．根据题意与图可得，这个三角形为锐角三角形． 【详解】解：根据题意与图可得，这个三角形为锐角三角形． 故选：C． 【题型3 判断能否构成三角形】 高妙技法 1. 核心：最小两边之和＞最大边（无需验证所有组合）； 2. 若给出三边，先排序，再算前两数和与第三数比较 【典例1】将一根长的铁丝按下列四个选项标记的长度剪开，能围成三角形的是（   ） A．；； B．；； C．；； D．；； 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系． 根据三角形的三边关系，任意两边之和必须大于第三边．分别计算各选项的三边长度，验证是否满足此条件． 【详解】解：选项A：∵，∴不能围成三角形； 选项B：∵，等于第三边7，∴不能围成三角形； 选项C：∵，∴不能围成三角形； 选项D：∵，，，∴能围成三角形； 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）下列各组线段中，能组成三角形的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】C 【分析】本题考查构成三角形的条件． 根据构成三角形的条件，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．，不能组成三角形，不符合题意； B．，不能组成三角形，不符合题意； C．，，能组成三角形，符合题意； D．，不能组成三角形，不符合题意． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·上海静安·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ）． A．2，2，3 B．5，6，11 C．3，4，8 D．10，5，5 【答案】A 【分析】本题考查三角形三边的关系． 根据三角形三边之间的关系，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．2，2，3，最长的边为，，能组成三角形，符合题意； B．5，6，11，最长的边为，，不能组成三角形，不符合题意； C．3，4，8，最长的边为，，不能组成三角形，不符合题意； D．10，5，5，最长的边为，，不能组成三角形，不符合题意． 故选：A． 【题型4三角形三边关系的应用】 高妙技法 1. 求第三边范围：两边差＜第三边＜两边和； 2. 整数边问题：在范围中找整数解；3. 化简绝对值：先根据三边关系判断绝对值内式子正负，再去绝对值 【典例1】（24-25七年级下·上海·月考）若一个三角形的两条边分别是和，则第三边的长度不可以取（   ） A．5 B．7 C．9 D．10 【答案】A 【分析】已知三角形两边的长，根据三角形三边关系定理知：第三边的取值范围应该是大于已知两边的差而小于已知两边的和． 【详解】设第三边长度为，根据三角形三边关系得：， 求得， 故四个选项里面，A不满足． 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·上海虹口·期末）等腰三角形的两边分别是8、17，则它的周长是（   ） A．25 B．33 C．42 D．33或42 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系、等腰三角形的定义．分①腰长为8和②腰长为17两种情况，再结合三角形的三边关系，利用三角形的周长公式即可得． 【详解】解：由题意，分以下两种情况： ①当腰长为8时，则这个等腰三角形的三边长分别为8、8、17， 此时，不满足三角形的三边关系，舍去； ②当腰长为17时，则这个等腰三角形的三边长分别为8、17、17， 此时，满足三角形的三边关系， 所以它的周长为； 综上，这个等腰三角形的周长为42， 故选：C． 【变式2】三角形的三边分别是，，，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系及不等式组的应用，解题的关键是掌握三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边．据此列出不等式组并求解． 【详解】解：∵三角形的三边分别是，，， ∴， 解得：， 即的取值范围是． 故答案为：． 【题型5 三角形的内角和定理】 高妙技法 1. 求角：用 180° 减已知两角； 2. 角度比问题：设每份为 x，列方程（如 2x+5x+3x=180°）； 3. 结合高线 / 角平分线：先求相关角（如高得直角，角平分线得半角），再用内角和 【典例1】三角形中的三个内角之比为，则该三角形为（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，以及三角形的分类，根据三角形内角和为，利用角度比设未知数，求出各角度数，判断三角形的类型． 【详解】解：∵三个内角之比为， ∴设三个内角分别为． ∵三角形内角和为， ∴， ∴， ∴三个内角分别为， ∵有一个角为， ∴该三角形为直角三角形． 故选A． 【变式1】如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A的南偏西方向，B岛在A的南偏东方向，C岛在B的北偏西方向，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方向角，平行线的性质，三角形的内角和定理，理解方向角的定义，掌握平行线的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．根据方向角的定义，平行线的性质以及三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：由题意得，， ， ， ， ， 故选：． 【变式2】如图，在中，是边上的高，垂足为D点，点P在边上，连接，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是解题关键． （1）根据题意可知，结合，得出，根据内错角相等，两直线平行得出结论； （2）利用三角形内角和求出的度数，再利用角平分线定义得到，利用两直线平行同旁内角互补即可得出结果． 【详解】（1）解：，理由如下： 是边上的高线， ， ， 又， ， ； （2）解：，， ， 平分， ， ， ． 【题型6 三角形的高】 高妙技法 1. 找高：从顶点向对边作垂线，垂足与顶点间的线段； 2. 画高：用三角尺 “一靠二移三画”； 3. 高的位置：锐角三角形内、直角三角形直角边、钝角三角形外，交点分别在形内、直角顶点、形外 【典例1】下列四个图形中，线段是的高的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的高：三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．根据三角形高的定义进行判断． 【详解】解：若线段是的高，需过点A作对边的垂线，则垂线段是的高． 选项B、C、D错误，只有选项A符合题意， 故选：A． 【变式1】在中，，，，，那么点到的距离是（    ） A．3 B．4 C．4.8 D．2.4 【答案】D 【分析】本题考查三角形的面积，根据题意画出图形，然后作于点D，根据面积法，可以求得CD的长． 【详解】解：作于点D，如右图所示， ∵， ∴， 解得， 故选：D． 【变式2】如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的高和中线的意义． 根据和求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：， ， ∵是中线， ． 故选：A． 【题型7 三角形的角平分线】 高妙技法 1. 定义：内角平分线与对边交点和顶点间的线段（非射线）； 2. 性质：平分内角，三条角平分线交于形内一点； 3. 结合平行线：平行线 + 角平分线可证等腰三角形（如 DE∥AC，AD 平分∠BAC→AE=DE） 【典例1】如图．在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高性质、角形内角和定理是解题的关键． 根据三角形中线的性质可判断A选项； 根据角平分线平分角、同角的余角相等，以及对顶角相等可判断B选项；利用等面积法可判断C选项；先说明，，即，即可判断D选项． 【详解】解：A．∵是的线， ∴， ∴ (等底等高的两个三角形面积相等)，故A正确，不符合题意； B．∵是角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即B选项正确； C．∵， ∴，解得：，即C选项正确； D．∵， ∴， ∵， ∴，即，故D选项，错误，符合题意． 故选：D． 【变式1】如图，在中，，，是边上两点，，平分，下列说法中不正确的是（　　） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 【答案】C 【分析】本题考查了三角形角平分线、中线和高，根据三角形角平分线、中线和高等概念逐一判断即可，掌握三角形角平分线、中线和高有关概念是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴是的中线，原选项说法正确，不符合题意； 、∵平分， ∴是的角平分线，原选项说法正确，不符合题意； 、∵平分， ∴， 但无法得到，原选项说法错误，符合题意； 、∵， ∴， ∴是的高，原选项说法正确，不符合题意； 故选：． 【变式2】如图，在中，，，则的值为 【答案】 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及三角形内角和定理、角平分线定义等知识，数形结合，准确表示出相关角度的关系是解决问题的关键． 在中，由三角形内角和定理可得，再由，，得到，最后，在中，由三角形内角和定理可得列式计算即可得到答案． 【详解】解：在中，，则由三角形内角和定理可得， ， ，， ， 在中，，则由三角形内角和定理可得， 则的值为， 故答案为：． 【题型8 三角形的中线】 高妙技法 1. 定义：顶点与对边中点的线段，分对边为等长两段； 2. 面积：中线分三角形为面积相等的两部分； 3. 周长差：两三角形周长差 = 另外两边的差（如△ABD 与△ACD 周长差 = AB-AC） 【典例1】如图，AD是的中线，已知的周长为28cm，AB比AC长6cm，则的周长为（   ） A．34cm B．31cm C．22cm D．20cm 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边的差是解题的关键． 根据三角形中线的定义可得，再表示出和周长的差就是的差，然后计算即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∴和周长的差， ∵的周长为28cm，比长， ∴周长为：． 故选：C． 【变式1】如图，在中，点，分别在，边上，是的中点，，与相交于点，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，三角形中线平分三角形面积，由是的中点，，则有，从而得，然后通过，得，则，再代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式2】如图，在中，已知D，E，F分别是边的中点，且阴影部分图形的面积为5，则的面积为（    ） A．10 B．15 C．17.5 D．20 【答案】D 【分析】本题考查了与中线有关的三角形面积的计算．由是的中点可得，由是的中点可得，，从而得到，再由即可得到答案． 【详解】解：是的中点，， ， 是的中点， ，， ， ， ． 故选：D． 【题型9与三角形的高、中线、角平分线的综合】 高妙技法 1. 找特殊线段：根据定义区分高（垂直）、中线（中点）、角平分线（平分角）； 2. 面积计算：中线分面积为 2:1，高 × 底 ÷2 算面积； 3. 角度计算：角平分线 + 高可求角的差值（如∠DAE=∠CAE-∠CAD） 【典例1】如图，在中，分别为的中线和高，为的角平分线． (1)若，求的大小； (2)若的面积为48，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形外角的性质，角平分线定义，直角三角形的性质，三角形面积公式．本题的关键应用三角形的角平分线、高和中线的定义，三角形外角的性质，三角形面积公式． （1）由三角形的外角性质计算出，由角平分线定义得到，由直角三角形的性质求出的度数为； （2）先根据三角形中线定义得到，然后利用三角形面积公式即可求的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵为高， ∴， ∴． （2）∵为中线，， ∴， ∵的面积为48，， ∴． 【变式1】如图，在中，是中线，． (1)求与的周长差； (2)点E在边上，连接．若的周长被分成的两部分的差是，求线段的长． 【答案】(1) (2)线段的长为或 【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键． （1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答； （2）由图可知三角形的周长，四边形的周长，，进而分当的周长-四边形的周长和四边形的周长-当的周长两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：的周长，的周长， ∵是中线， ∴， 与的周长差： （2）解：由图可知：的周长，四边形的周长， 当的周长-四边形的周长时， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴ ∴； 四边形的周长 的周长时， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴ ∴； 综上，线段的长为或． 【变式2】如图，是的边上的中线，已知，． (1)边的取值范围是________； (2)若的周长为30，则的周长为________； (3)在中，若边上的高为6，求边上的高． 【答案】(1) (2)28 (3) 【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形的中线，三角形的高等知识点，熟练掌握基础知识是解本题的关键． （1）直接根据三角形三边关系进行解答即可； （2）将的周长转换为即可得出答案； （3）设边上的高为，根据三角形面积公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，由三角形三边关系定理可得， ， ， 故答案为：； （2）解：的周长， ， 的周长， ∵点D是边的中点， ， 的周长， 故答案为：28； （3）解：设边上的高为h， 则， 解得， 边上的高为· 【题型10 命题的定义及构成】 高妙技法 1. 识别命题：判断语句（如 “对顶角相等” 是命题，“画直线” 不是）； 2. 拆分题设与结论：改写成 “如果 p（题设），那么 q（结论）”（如 “内错角相等”→“如果两个角是内错角，那么这两个角相等”）； 【典例1】下列句子中，是命题的是（    ） A．对顶角相等 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线 【答案】A 【分析】本题考查了判断是否是命题，根据①命题是一个判断的语句，必须是一个完整的句子；②命题的核心是“判断”，是对事物的某些情况作出肯定或者否定的回答，据此分析各选项． 【详解】解：∵ A“对顶角相等”是一个判断的语句，作出了肯定回答，∴ A是命题； ∵ B“a，b两条直线平行吗”是问句，不是判断的语句，∴ B不是命题； ∵ C“画一个角等于已知角”和D“过一点画已知直线的垂线”是描述操作的句子，不是判断的语句，∴ C、D不是命题． 故选：A． 【变式1】下列语句中，不是命题的是（   ） A．在同一平面内两条直线不平行就相交 B．邻补角的角平分线互相垂直 C．过直线l外一点P，作直线 D．，a与c相交，则b与c也相交 【答案】C 【分析】本题考查命题的定义，熟练掌握命题的定义是解题的关键． 根据命题的定义，命题是表示判断的语句，可以判断真假的陈述句，据此逐项判断即可． 【详解】解：命题必须是陈述句且可判断真假， 选项A、B、D均为陈述句，可判断真假，是命题； 选项C为操作指令，不是陈述句，不是命题， 故选：C． 【变式2】列是命题的为（   ） ①直角三角形中的两个锐角互余；②正数都大于0；③如果，那么与互补；④太阳不是行星；⑤对顶角相等吗？⑥作线段的垂线． A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑥ D．①②③⑥ 【答案】A 【分析】本题考查命题定义，熟知命题是能判断真假的陈述句是解答的关键．根据定义，判断各语句是否为命题即可． 【详解】解：①是陈述句且真（直角三角形两锐角互余），是命题； ②是陈述句且真（正数大于0），是命题； ③是陈述句且真（互补角定义），是命题； ④是陈述句且真（太阳是恒星，不是行星），是命题； ⑤是疑问句，不是命题； ⑥是祈使句，不是命题。 综上，命题有①②③④， 故选A． 【题型11 真假命题的判断】 高妙技法 1. 真命题：需推理论证（如基本事实、定理）； 2. 假命题：举反例（如 “垂直于同一直线的两直线平行”，反例：异面直线）； 【典例1】（22-23七年级下·上海·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．经过一点一定有一条直线与已知直线平行 B．如果两条直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补 C．三角形的三条高交于一点 D．在三角形的三个外角中至少有两个钝角 【答案】D 【分析】本题考查了平行公理、平行线性质、三角形的高及外角的性质。根据各选项的条件与结论逐一分析，结合相关定理判断其正确性。 【详解】解：A选项错误.平行公理指出：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若该点在直线上，则无法作平行线，故A不成立. B选项错误．只有当两条直线平行时，被第三条直线所截的同旁内角才互补.若两直线不平行，同旁内角不满足互补关系，故B缺少前提条件． C选项错误．三角形的三条高所在的直线交于一点（垂心），但高作为线段，在钝角三角形中三条高线段不会在形内相交，故C表述不严谨，应为三条高所在直线交于一点． D选项正确．三角形至少有两个内角为锐角，其对应的外角为钝角，因此三个外角中至少有两个钝角，故D为真命题． 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·上海普陀·期中）下列命题中是假命题的是（    ） A．点到直线的距离是非负的 B．同一平面内不相交的两条线段叫作平行线 C．经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行 D．如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等 【答案】B 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据点到直线的距离的定义、平行线的概念、平行公理、平行线的性质判断． 【详解】解：A、点到直线的距离是非负的，是真命题，不符合题意； B、同一平面内不相交的两条直线叫作平行线，故本选项命题是假命题，符合题意； C、经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行，是真命题，不符合题意； D、如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等，是真命题，不符合题意； 故选：B． 【变式2】有下列说法：①点到直线的垂线段叫做点到直线的距离；②图形平移的方向一定是水平的；③在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直；④轴上的点，纵坐标为0；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查真假命题的判断，掌握知识点是解题的关键． 逐一判断各命题的正确性，即可解答． 【详解】解：①点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，该项错误； ②平移方向可以是任意方向（如竖直或斜向），不一定是水平，该项错误． ③平面内与已知直线垂直的直线有无数条，需限定“过一点”才有唯一性，该项错误． ④x轴上点的纵坐标恒为0，该项正确． ⑤平行公理要求“过直线外一点”才有且仅有一条平行线，该项错误． 综上，仅④正确． 故选：A． 【题型12 命题的证明】 高妙技法 1. 步骤：①写已知、求证；②画图形；③推导（据定义、基本事实、定理）；2. 辅助线：必要时添辅助线（如证平行添截线），用虚线表示；3. 逻辑：每步推理需有依据（如 “∵AB∥CD（已知），∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）”） 【典例1】命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 【答案】(1)在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 (2)见解析 【分析】本题考查了命题，命题的改写，命题的证明等知识，掌握这些基础知识是关键． （1）分清命题的题设与结论，按照如果部分后面是题设，那么部分后面是结论的形式改写即可； （2）画出图形，结合图形写出已知、求证，利用平行线的判定即可完成证明． 【详解】（1）解：改成“如果……那么……”的形式为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． （2）已知：如图，是同一平面内的三条直线，且． 求证：． 证明：． ． 又和是同位角， ∴． 【变式1】请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明． 定理：三角形的外角等于_____________________的和． 已知： 求证： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和，据此补全定理，再写出对应的已知和求证，根据三角形内角和定理和平角的定义证明即可． 【详解】定理：三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和． 已知：是的一个外角． 求证：． 证明：如图所示，在中，， ∵， ∴． 【变式2】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别在边AB、AC上，给出下列信息： ①BE平分∠ABC；②CD⊥AB；③∠CFE＝∠CEF． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个命题．在保证命题正确的情况下，你选择的条件是________，结论是________．（只要填写序号）． (2)请证明（1）中你组成的命题的正确性． 【答案】(1)②③，① (2)见解析 【分析】（1）根据命题的定义正确选择即可； （2）以②③为条件，在三角形CEF和BDF中通过三角形内角和及等量代换推出∠DBF=∠CBE． 【详解】（1）解：选择的条件是②③，结论是①； （2）证明：∵∠CFE=∠CEF，∠CFE=∠BFD， ∴∠CEB=∠BFD， ∵CD⊥AB， ∴∠BFD+∠DBF=90°， ∵∠CBE+∠CEB=90°， ∴∠DBF=∠CBE， ∴BE平分∠ABC． 【点睛】本题考查了命题的定义，三角形内角和，解题的关键是要读懂题意，选择正确的条件和结论． 【题型13 三角形内角和的证明】 高妙技法 1. 核心：用平行线 “移角”，将三角凑成平角（180°）；2. 方法：①过顶点作平行线（如过 A 作 DE∥BC）；②延长一边作平行线（如延长 BC 作 CE∥AB）；③作三边平行线（如作 EF∥AB，GH∥AC） 【典例1】在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是 A．如图①所示，过点作 B．如图②所示，过点作 C．如图③所示，过点作、垂足为点 D．如图④所示，过边上点作， 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形内角和定理的证明，根据平行线的性质，平角的定义即可得解，熟练掌握三角形内角和定理的证明方法，是解决本题的关键．作出相应的平行线，把三角形的三个内角转化到同一条直线上，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：如图①所示，过点作， ，， ， 故图①能证明“三角形内角和是”， 故A选项不符合题意； 如图②所示，过点作， ，， ， 故图②能证明“三角形内角和是”， 故B选项不符合题意； 如图③所示，过点作、垂足为点， 只能证明， 故图③无法证明“三角形内角和是”， 故C选项符合题意； 如图④所示，过边上点作，， 四边形是平行四边形，，， ， ， 故图④能证明“三角形内角和是”， 故D选项不符合题意． 故选：C． 【变式1】在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质的知识点，熟悉以上知识点是解题关键．根据平行线性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：A、∵，∴，，由，得，故此选项不符合题意； B、∵，∴，，由，得，故此选项不符合题意； C、∵，，，无法证得三角形的内角和等于，故此选项符合题意； D、如图， ∵，∴，，∵，∴，∵，∴， ∴，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式2】（1）如图：的点C为顶点，为边，在的外部用尺规作（在原图上作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）小颖经过上述作图后发现这样可以说明三角形的内角和等于，请你帮助小颖完成说理过程． （已作） ∴ ， ∴ + （两直线平行， 同旁内角互补） 即 ∴ （等量代换）． 【答案】；内错角相等，两直线平行；，； 【分析】本题考查作图复杂作图，平行线的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题； （1）根据要求作出图形即可； （2）利用平角的定义平行线的性质证明即可． 【详解】解：（1）如图，即为所求； （2）（已作）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， 即（平角的定义）， （等量代换）． 故答案为：；内错角相等，两直线平行；，；． 【题型14 直角三角形的性质的运用】 高妙技法 1. 两锐角互余：已知一个锐角，求另一个（如∠A=30°，则∠B=60°）； 2. 斜边中线：斜边中线 = 斜边一半（适用于求线段长）； 3. 结合平行线：平行线 + 直角可求相关角（如 a∥b，Rt△ABC 中∠1=33°→∠2=57°） 【典例1】如图，，是的中点，平分，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余， 先根据角平分线的定义求出，再根据直角三角形的两个锐角互余得出答案． 【详解】解：∵平分，， ∴． 在中，， ∴． 故选：B． 【变式1】如图，在中，，，平分，E为上一点，于F． (1)求的度数． (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理； （1）由三角形内角和定理求出，再依据角平分线定义即可求出； （2）由三角形内角和定理求出，再由即可求出. 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∵平分， ∴. （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴. 【变式2】如图，在中，为边上的高，，． (1)求的度数． (2)若斜边在直线上，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了三角形的高，直角三角形两锐角互余，解题的关键是熟练掌握直角三角形的性质． （1）根据三角形高的定义得出，根据得出，根据，求出结果即可； （2）分两种情况：当点F在点C的右侧时，当点F在点C的左侧时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：∵为边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：当点F在点C的右侧时， ； 当点F在点C的左侧时，． 【题型15 直角三角形的判定】 高妙技法 1. 有一个角是直角（直接判定）； 2. 两锐角互余（如∠A+∠B=90°→△ABC 是直角三角形）； 【典例1】如图，E是中AC边上的一点，过点E作，垂足为D，．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【详解】根据已知条件证明，再由有两个角互余的三角形为直角三角形，即可判定是直角三角形． 证明：在中， ， ． ， ． 是直角三角形． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，利用两锐角互余的三角形为直角三角形是证明此题的关键． 【变式1】如图，平分．求证：是直角三角形． 【答案】详见解析 【分析】本题考查直角三角形的证明，角平分线性质和三角形内角和定理，熟练掌握基础知识点是解题关键； 先通过三角形内角和定理求出，再通过角平分线求出，进而可求出，从而可得到，进而得证． 【详解】证明：， ． 平分， ． ， ， ， 是直角三角形． 【变式2】（1）如图①，在中，，垂足为D，与有什么关系？为什么？ （2）如图②，在中，，分别在上，且，判断的形状是什么？为什么？ （3）如图③，在和中，，点C，B，E在同一直线上，与有什么关系？为什么？ 【答案】（1），理由见解析； （2）是直角三角形，理由见解析； （3），理由见解析 【分析】本题考查了余角性质，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． （）利用余角性质即可求解； （）由直角三角形两锐角互余可得，即得，据此即可求解； （）利用余角性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： ∵在中，，， ∴， ∴； （2）是直角三角形． ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）． ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型16 利用三角形外角的性质计算】 高妙技法 1. 外角 = 不相邻两内角和（如∠ACD=∠A+∠B）； 2. 外角＞不相邻内角（比较角大小时用）； 3. 多外角问题：连接顶点延长线，拆分外角（如∠BDC=∠B+∠C+∠A） 【典例1】如图，在中，，的平分线，相交于点，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键． 根据角平分线的定义以及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵，的平分线，相交于点， ∴，， ∴． 故选：C． 【变式1】如图，在中，点在延长线上，，分别平分，，，垂足为．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线性质、三角形外角定理和三角形内角和定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 由题意得，，利用三角形外角定理得求得，即可求得答案． 【详解】解：，分别平分，， ，． ， ． ． ， ． 故选：B． 【变式2】如图，在中，平分交于点，于点，与交于点．若，，求的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：平分（已知）， ______． 是的外角， ∴______（______）， ∴（等式的性质） ______（等量代换） ______． 于点， ． （______）． ______． 【答案】答案见解析 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的两锐角互余． 由角平分线的定义，得出，利用三角形外角的性质可求出，结合垂直关系得，再根据直角三角形两锐角互余可求出的度数． 【详解】解：平分（已知）， ， 是的外角， ∴ （三角形的一个外角等于与它不相邻的内角之和）， ∴（等式的性质） （等量代换） ， 于点， ， （垂直的定义）， ． 【题型17 利用三角形外角的性质证明】 高妙技法 1. 证角相等：用外角 = 不相邻两内角和，等量代换（如证∠E=∠A/2，先证∠ACE=∠A+∠B，∠DCE=∠E+∠B，再结合角平分线）； 2. 证角的和差：用外角拆分（如证∠BAC=∠B+2∠D，先拆∠BAC=∠D+∠ACD，再用角平分线） 【典例1】如图，∠ACE是△ABC的一个外角，CD平分∠ACE，交BA的延长线于点D． （1）若∠ACB＝∠B＝20°，求∠D的度数； （2）求证：∠BAC＝∠B+2∠D． 【分析】（1）先求出∠ACE，再利用三角形外角定理即可求解； （2）先证明，∠BAC＝∠D+∠ACD，再通过角平分线，利用三角形外角定理进行角的转换即可证明． 【详解】（1）解：∵∠ACB＝20°， 又∵∠ACE＝180°﹣∠ACB， ∴∠ACE＝160°， 又∵CD平分∠ACE， ∴∠DCE∠ACE＝80°， 又∵∠DCE＝∠B+∠D，∠B＝20°， ∴∠D＝60°． （2）证明：∵CD平分∠ACE， ∴∠ACD＝∠DCE， 又∵∠BAC＝∠D+∠ACD， ∴∠BAC＝∠D+∠DCE， 又∵∠DCE＝∠B+∠D， ∴∠BAC＝∠D+∠B+∠D＝∠B+2∠D． 【点睛】本题主要考查了三角形外角性质的运用，即三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 【变式1】如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，猜想，与的数量关系，并证明． 【答案】(1)的度数是 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理及外角性质、角平分线的定义，特别注意第（2）小题，根据第（1）小题的思路即可推导． （1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵交的延长线于点E， ∴， ∵， ∴， ∴的度数是． （2）解： 证明：∵，平分， ∴， ∴， ∵交的延长线于点E， ∴， ∴， 即． 【变式2】如图1，线段，相交于点O，连接，，我们把形如图1的图形称为“8字形”． (1)求证：； (2)如图2，点M是线段上一点，连接，求 的度数； (3)如图3，点E是延长线上一点，与的平分线交于点P，试猜想，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)，理由见详解 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的定义及角平分线的性质． （1）在和中，分别利用三角形内角和定理，再结合对顶角相等来推导； （2）先在中得到与的关系，再在中利用三角形内角和定理来求解； （3）利用角平分线的性质和“8字形”的结论，通过等量代换和化简来找出，与之间的关系． 【详解】（1）证明：∵和的内角和都为， ∴， ∵， ∴． （2）解：在中，， 在中，， ∴． （3）解：， 理由：由（1）知，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【题型18 与三角板有关的计算问题】 高妙技法 1. 记三角板角度：30°/60°/90°、45°/45°/90°； . 找重合 / 平行关系：根据三角板摆放，找平行线（如 AB∥CD）或重合边，用平行线性质 / 内角和计算；3. 算夹角：用三角板已知角 + 已知条件（如∠1=30°）求目标角 【典例1】将一副三角板按照如图方式摆放，点B，C，D共线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形外角的定义及性质，先由三角形外角的定义及性质求出，从而得出，即可得解，熟练掌握三角形外角的定义及性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1】如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于不相邻的两个内角和是解题的关键． 先求出的度数，再利用三角形外角的性质可得． 【详解】解：由题意可知，， ． 故选：． 【变式2】将一副三角板（）按如图所示方式摆放，使得，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，对顶角相等，直接利用三角板的性质结合平行线的性质分析得到，根据三角形的内角和得到，再根据对顶角相等得出答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故选：． 【题型19 与平行线有关的三角形问题】 高妙技法 1. 平行线性质：同位角 / 内错角相等、同旁内角互补（如 AB∥CD→∠A=∠3）； 2. 结合三角形内角和：先由平行线得角相等，再用内角和求未知角（如∠1=50°，∠2=70°→∠3=60°）； 3. 证平行：用角相等（如∠ABF=∠3→AB∥CD） 【典例1】如图，，于点F，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质及三角形内角和定理，先根据得出，再利用三角形内角和定理即可求得的值． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 由三角形内角和定理可知：． 故选：C． 【变式1】如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理. 先求出，再根据三角形内角和求出结论即可． 【详解】解：如下图： ，， ， ， ， ， 故选：D． 【变式2】如图是一架婴儿车的示意图，其中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 根据三角形外角的性质求出，再利用即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【题型20 与角平线有关的三角形内角和问题】 高妙技法 1. 角平分线：得半角（如 AD 平分∠BAC→∠BAD=∠CAD=∠BAC/2）； 2. 结合内角和：先求总角，再得半角，最后求目标角（如∠BAC=62°，AD 平分→∠BAD=31°）； 3. 多角平分线：三条角平分线交于内心，∠BOC=90°+∠A/2 【典例1】如图，的外角和外角的平分线交于点，已知，则的度数为（   ） A．42° B．40° C．38° D．36° 【答案】B 【分析】本题考查了三角形外角性质与角平分线的综合运用，解题的关键是利用三角形内角和及外角和的关系，结合角平分线定义推导角度． 先根据角平分线定义表示出、，再由的内角和求出，进而得到外角和的一半，最后结合三角形外角和求出． 【详解】解：平分，平分， ， 在中，， ， ，， ， 又， ， 解得． 故选：B． 【变式1】【问题呈现】 小明在学习了有关三角形内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题： 如图①，与分别为的两个外角，求证：． 【推理证明】 (1)补全证明过程． 证明：与分别为的两个外角， _____，_____ _____ ， ． (2)如图②，在纸片中剪去，得到四边形．若，则的大小为_____度． (3)如图③，在中，分别为外角，的平分线，写出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，，． (2)50 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形外角性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关知识是解答的关键． （1）由三角形外角性质得，，再求与的和，最后由三角形内角和定理问题即可得证； （2）由进行变形为即可解答； （3）由角平分线的定义得、，再由三角形内角和定理得出，然后把代入求解即可． 【详解】（1）证明：与分别为的两个外角， ，， ， ． 故答案为：，，． （2）解：∵，， ∴． 故答案为：50． （3）解：，理由如下： ∵分别为外角，的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【变式2】已知直线与互相垂直，垂足为O，点A在射线上运动，点B在射线上运动，点A、B均不与点O重合． 【探究】 （1）如图1，平分，平分． ①若．则________°． ②在点A、B的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 【拓展】 （2）如图2，平分交于点I，平分，的反向延长线交的延长线于点D．在点A、B的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，直接写出的度数：若变化，直接写出的度数的变化范围． 【答案】（1）①，②不变，（2）不变， 【分析】本题考查角平分线的性质、三角形内角和定理，三角形外角性质，掌握相关知识是解决问题的关键。 （1）①先由角平分线求出，再结合垂直求出，最后由角平分线求出  ； ②利用角平分线性质和三角形内角和定理，推导与  的关系，进而求出其度数； （2）因为平分，所以，因为平分，所以，由三角形外角性质可知，即 ，再次利用外角性质可知，代入化简即可求得的大小是一个定值。 【详解】解（1）①平分，且， ∴， ∵直线与互相垂直， ∴， ∴。 ， ∵平分， ∴。 故答案为：； ②的大小不会发生变化，理由如下： ∵平分，平分， ∴，。 ∴。 ； （2）的大小不会发生变化，理由如下： ∵平分， ∴； ∵平分， ∴， ． 故的大小不变，为。 【题型21 三角形折叠中的角度问题】 高妙技法 1. 折叠性质：折叠前后对应角相等（如∠C=∠C'）；2. 平角 / 内角和：折叠产生的角与原角结合平角（如∠1+2∠ADE=180°）或内角和计算；3. 外角：折叠后形成的外角 = 对应内角 + 已知角（如∠2=∠C+∠1+∠C'） 【典例1】如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为（    ） A． B．110° C．80° D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据三角形的内角和得到，由折叠的性质得到，，，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：，， ， 由折叠的性质得，，，， ， ， ， ， 故选：B． 【变式1】如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和定理、轴对称的性质，角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识，属于中考常考题型． 连接．首先求出，再求出，由折叠可知：，，然后求出即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 由折叠可知：，， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式2】如图，是一张纸片，把沿折叠，使点C落在点的位置． (1)当时，求的度数． (2)若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查折叠的性质与三角形内角和定理，掌握“折叠前后对应角相等、三角形内角和为”是解题的关键． （1）根据折叠性质，，故，，； （2）根据（1）以及折叠的性质，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵点C沿折叠落在点， ∴， 在中， ， ，， ∴． （2）解：由（1）可得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型22 三角形与新定义问题】 高妙技法 解决三角形中的新定义问题，关键是“理解新定义 + 转化为已知模型”，通过阅读、转化、联系旧知识三步完成破题. 【典例1】定义：如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，，则 °； (2)若是直角三角形，． ①如图，若是的角平分线，请你判断是否为“准互余三角形”？并说明理由． ②点是边上一点，是“准互余三角形”，若，求的度数． 【答案】(1) (2)①是“准互余三角形”，理由见解析；②或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，余角和补角，理解“准互余三角形”的定义是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． （1）根据“准互余三角形”的定义，由于三角形内角和是，，，只能是； （2）①由题意可得，所以只要证明与满足，即可解答， ②由题意可得，所以分两种情况，或． 【详解】（1）解：∵是“准互余三角形”， ，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①是“准互余三角形”，理由如下： ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是“准互余三角形”； ②∵点是边上一点，， ∴， ∵是“准互余三角形”， ∴或， ∵， ∴或， 当，时，， 当，时，， ∴的度数为：或． 【变式1】定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”，例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ①则_________，__________． ②将沿过点的直线翻折，使得点落在边上的点处，折痕为（在上）．判断是否为“友爱三角形”，并说明理由． (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与、重合），连接．将沿翻折得到，落在边上，若是“友爱三角形”，求的度数． 【答案】(1)①；；②是“友爱三角形”，理由见解析 (2)或或或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）①根据三角形内角和定理和“友爱角”的定义求解即可；由折叠的性质可证明，则可证明，据此可得结论； （2）由折叠的性质得到，则；再分，，和四种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ∵与互为“友爱角”（）， ∴， ∴， ∴， ∴； ②是“友爱三角形”，理由如下： 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是“友爱三角形”； （2）解：由折叠的性质可得，， ∴； ∵是“友爱三角形”， ∴当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴； 当时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或或． 【变式2】定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数为______． 【答案】(1)①，；②、都是“友爱三角形”，见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余，一元一次方程与几何问题，理解“友爱角”的概念和计算方法，掌握三角形内角和定理，几何问题与一元一次方程的综合运用是解题的关键． （1）①根据材料提示的“友爱三角形”得到，再根据直角三角形两锐角互余可得，由此即可求解；②由是中边上的高，得到，根据三角形两锐角互余可得，，结合与互为“友爱角”即可求解； （2）根据三角形内角和定理，设，则，根据是“友爱三角形”，分当与互为“友爱角”时，，或；当与互为“友爱角”时，，或；当与互为“友爱角”时，，或，求解即可． 【详解】（1）解：①∵是“友爱三角形”，与互为“友爱角”（）， ∴， ∵， ∴是直角三角形，， ∴，解得，， ∴； ②、都是“友爱三角形”．理由如下： ∵是中边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理，，， ∴， ∵与互为“友爱角”（）， ∴与互为“友爱角”， ∴是“友爱三角形”； 同理，与互为“友爱角”， ∴是“友爱三角形”； （2）解：在中，， 设， 则， ∵是“友爱三角形”， 当与互为“友爱角”时， ， 或， ∵， ∴不符合题意，舍去； 当与互为“友爱角”时， 若， 则， 解得，， 若， 则， 解得，， 不符合题意，舍去； 当与互为“友爱角”时， 若， 则， 解得，， 不符合题意，舍去； 若， 则， 解得，， 不符合题意，舍去； ∴的度数为或． 【题型23 三角形中的综合题】 高妙技法 1.多知识点结合：整合内角和、外角、角平分线、平行线（如证∠D=∠A/2，用外角 + 角平分线）；2. 动态问题：跟踪变量（如点 D 移动），找不变关系（如∠DPC=90°+∠A/2）；3. 规律探究：多 次作角平分线，找角的倍数关系（如∠Dₙ=∠A/2ⁿ⁺¹） 【典例1】已知：线段、相交于点，连接、． (1)如图，求证：； (2)如图，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于点、，，，求的度数； (3)如图，和的三等分线和相交于点，并且与、分别相交于点、，，，试探究、、三者之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)；理由见解析 【分析】本题主要考查角平分线的定义、三角形的内角和定理等知识点，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理以及对顶角相等即可证明结论； （2）由角平分线的定义可得∠ADE=∠CDE、∠ABE=∠CBE，由（1）可得，，得出，代入数据即可求解； （3）由三等分线的定义可得，，由（1）可得，代入即可求解． 【详解】（1）证明：，， ； （2）和的平分线和相交于点， ，， 由（1）可得，， ， ，， ； （3）． 理由：，， ，， 由（1）可得，， ， ． 【变式1】如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______°，_____°； (2)求证：； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)的度数为或或或 【分析】（1）根据，，可求出，再根据平分，平分，，可求出，，进而可求出；再根据平分，可得出，进而求出． （2）设，根据三角形内角和定理对进行表示，再根据平分，平分，，可求出，，再根据三角形外角的性质求出，根据，求出，将与相较即可证明． （3）由（2）可知，，则的内角为，，，根据题意分类讨论即可． 【详解】（1）解： ，， ， 平分， ， ， ，， 平分， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ，即， ． 答：，． （2）证明：设，则． ， ，， 平分，平分， ，， ， ， ， ，即， ， ． （3）解：设，则，． , 可分类讨论： ①当时， ， 解得， ； ②当时， ， 解得， ③当时， ， 解得， ; ④当时， ， 解得， 综上可知或或或． 答：的度数为或或或． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角性质，掌握角度的和差运算与代数推导是解题关键． 【变式2】如图，已知，点在上，点、在上．在中，，，点、在直线上，在中，，． (1)请将下列命题补充完整为一个真命题并证明： 沿直线平移的过程中，如果______，那么； (2)将沿直线平移，当点在上时，求的度数； (3)将沿直线平移，当以、、为顶点的三角形中有两个角相等时，请直接写出的度数． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)的度数为或或或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据同位角相等，两直线平行即可得解； （2）根据三角形内角和定理并结合平行线的性质计算即可得解； （3）分两种情况：当向上平移时；当向下平移时，分别结合三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】（1）解：沿直线平移的过程中，如果，那么； ，， ∴， ∴ （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：分两种情况， 当向上平移时， 如图1所示：当以、、为顶点的三角形中有两个角相等，即时， ， ∵， ∴； 如图所示：当以、、为顶点的三角形中有两个角相等，即时， ∵，， ∴， ∴， ， ∴； 如图所示：当以、、为顶点的三角形中有两个角相等，即时， ，， ∴， ， ∴； 当向下平移时，如图所示： 当以、、为顶点的三角形中有两个角相等，即时， ∴， ， ∴； 综上可知：将沿直线平移，当以、、为顶点的三角形中有两个角相等时，的度数为或或或． 1、 选择题 1．给定下列条件，不能判断三角形是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，求出各选项中的最大角是解题的关键．根据三角形的内角和等于求出最大角，然后判断即可． 【详解】解：A. 设三个角分别为、、，则，解得，最大角，是直角三角形； B. 由，代入得，得，故，是直角三角形； C. 设，则，，由得，最大角，是直角三角形； D. 设，则，，由得，最大角超过，不是直角三角形． 故选：D． 2．把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，下面正确的是（    ） A．如果是同角，那么余角相等 B．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C．如果是同角，那么相等 D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题，命题是由题设与结论两部分组成．根据把命题的题设写在“如果”后面，结论写在“那么”后面，进而得出结论． 【详解】解：命题“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式为“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”． 故选：D． 3．如图，在中，是角平分线，点E是的中点，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．是的中线 D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的角平分线和中线，根据角平分线和中线的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：在中，是角平分线，点E是的中点， ∴，，，是的中线， 故错误的是选项C； 故选C． 4．关于三角形的高，中线和角平分线，下列说法正确的是（　　） A．三角形的角平分线是直线 B．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心 C．三角形的一条角平分线把三角形分成两个面积相等的三角形 D．三角形的三条高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点．也考查了三角形的角平分线、中线和高．根据三角形的角平分线的定义和三角形重心的定义进行判断即可． 【详解】解：A、三角形的角平分线是线段，故该选项不符合题意； B、三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心，故该选项符合题意； C、三角形的一条中线把三角形分成两个面积相等的三角形，故该选项不符合题意． D、三角形的高所在的直线交于一点，这一点在三角形内或在三角形外或在三角形顶点，故该选项不符合题意； 故选：B． 5．一副直角三角尺和按如图所示的方式叠放在一起，其中在斜边上，在的延长线上，，，，则的度数是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角的性质及三角板的特征，掌握三角形外角的性质和直角三角形的特征是解题的关键．先利用直角三角形的两锐角互余得到的度数，再利用外角的性质得到，即可求解的度数． 【详解】解：在中，，， ， 又，， ， 故选：C． 6．（25-26八年级上·广西防城港·月考）“生活中处处有数学”，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是（    ） A．三角形的内角和等于 B．三角形的内角和等于360° C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内角和定理的图形证明．根据图形和平角为180°即可解答． 【详解】解：由图可知折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，三个角拼成一个平角， 即三个角的度数之和为，这就是三角形的内角和定理． 故选：A． 7．如图，是的中线，E是上的一点，连接，若的面积为12，则图中阴影部分的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线的性质是解答本题的关键．三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分． 【详解】解：∵是的中线，E是上的一点 ∴， ∴阴影部分的面积 故选：D. 8．在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落在上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】该题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，综合运用相关知识是解题的关键． ①如图1，当点落在边上时，根据折叠性质和三角形外角的性质求解即可；②如图2，当点落在内部时，根据折叠性质以及平角的定义即可求解；③如图3，当点落在上方时，根据折叠性质可得，根据 即可求解；④当时，分别画出图形根据折叠性质和平行线性质求解即可； 【详解】解：①如图1，当点落在边上时， 根据折叠性质可得， ∴，故①正确； ②如图2，当点落在内部时， 根据折叠性质可得 ∴ ，故②正确； ③如图3，当点落在上方时，； 根据折叠性质可得 ∴ ，故③正确； ④当时，    ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠性质可得， ∴， ∴； 当时，      ∵， ∴ ∵， ∴， 根据折叠性质可得，， ∴， ∴， ∴； 综上或；故④错误； 故选：C． 2、 填空题 9．若是三角形的三边长，则化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系，绝对值，由三角形三边关系定理得，由绝对值的性质即可化简． 【详解】解：由三角形三边关系定理得到：， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 10．在如图所示的三角形纸片中剪去得到四边形，若，则的度数是 【答案】/230度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据，代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 11． 如图，在中，为边的中线，的周长比的周长多，， 则 ． 【答案】5 【分析】本题考查三角形的中线，由为边的中线，可得，再根据的周长比的周长多，可得，由此可解． 【详解】解： 为边的中线， ， 的周长比的周长多， ， ， ， 故答案为：5． 12． 若三角形的一个内角等于与它相邻的外角的，且这个内角与另一个内角互余，则这个三角形 是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了两个锐角互余的三角形是直角三角形．本题通过外角与内角的关系及互余条件联立方程，求出各内角度数，进而判断三角形类型． 【详解】解：设这个内角为，则相邻外角为，而内角与外角的和为， ∴， 解得：， 设另一个内角为，根据互余条件：， ， 此时第三个内角为：， ∴这个三角形是直角三角形； 故答案为：直角． 13．如图，在中，，分别是、的角平分线，、分别是、的角平分线，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，关键是正确运用好角平分线的性质及三角形内角和定理．根据三角形内角和定理可求出，再由分别是的角平分线可求出，由分别是的角平分线又可求出，再根据三角形内角和定理可求出的度数． 【详解】解：在中，， ， 分别是的角平分线， ， 同理可得： ， ． 故答案为：． 14．如图，在中，，的平分线交于点O，． （1）的度数为 ． （2）若CD平分外角，交BO的延长线于点D，点E是的两外角平分线的交点，则的度数为 ． 【答案】 80° 10° 【分析】（1）根据三角形内角和定理，角的平分线定义解答即可． （2）根据三角形内角和定理，角的平分线定义，三角形外角性质解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，角的平分线定义，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵BO平分，CO平分， ∴，. ∵，， ∴， ∴， ∴. （2）解：由（1）知. ∵点E是的两外角平分线的交点， ∴，， ∴ . ∵BO平分，CD平分外角， ∴，. ∵，， ∴ ， ∴. 三、解答题 15．如图，在中，是高线，，是角平分线，，相交于点O，，． (1)求的度数． (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线、角之间的计算，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）根据题意易得到，根据角平分线的性质得到，根据进行计算求解即可； （2）根据题意易得到，根据角平分线的性质得到和，根据进行计算求解即可． 【详解】（1）解：， ． ， ． 平分，， ， ． （2）解：，， ． ，分别是，的平分线， ，， ． 16．如图，在中，是上的中线，点是的中点，连接，． (1)若，，求的度数； (2)若的面积为，，求线段的长度． 【答案】(1)73° (2)3 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的中线，熟练运用三角形内角和定理和中线的性质是解题的关键． （1）先求出的度数，在中，根据三角形的内角和定理即可求解； （2）根据中线的性质：平分三角形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，， ； （2）解：是的中线， ， 点是的中点， ， ， ， ． 17．如图，在中，为边上的高，点E为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若，的面积为30，求的长； (2)当为的平分线时，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据三角形面积公式计算出，然后根据为边上的中线得到的长； （2）先根据三角形内角和求出，再利用角平分线的定义得到，再求出，然后根据计算即可． 本题考查了三角形的面积，以及高线、中线和角平分线的定义，关键是明白三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，三角形内角和定理． 【详解】（1）为边上的高，的面积为30， ， ， ， 为边上的中线， ； （2），， ， 为的平分线， ， ，， ， ． 18．中，，点，分别是的边，上的两个定点，点是平面内一动点，令． (1)如图（1），若点在线段上运动， ①当时，___________． ②写出，，之间的关系：___________． (2)若点运动到边的延长线上，交于，如图（2），则，，之间有何关系？并说明理由． 【答案】(1)， (2)结论：，理由见解析 【分析】本题考查三角形的外角的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）①如图1中，连接．证明即可． ②利用①中结论解决问题． （2）利用三角形的外角的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：①如图1中，连接． ∵，， ∴， ∵，， ∴． ②由①可知，， 故答案为：，． （2）解：结论：． 理由：如图2中， ∵，， ∴． 19．请你参与下面探究过程，完成所提出的问题． (1)探究1：如图1，是的内角与的平分线和的交点，若，则____________度： (2)探究2：如图2，是的外角与外角的平分线和的交点，求与的数量关系？并说明理由． (3)拓展：如图3，是四边形的外角与的平分线和的交点，设． ①直接写出与的数量关系； ②根据的值的情况，判断的形状（按角分类）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①；②当时，则是钝角三角形；当时，则是直角三角形；当时，则是锐角三角形. 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质并读懂题目信息是解题的关键. （1）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的性质求出的度数，由三角形内角和定理即可求出答案； （2）根据角平分线的定义、三角形外角性质、三角形内角和定理可得，然后根据三角形内角和定理即可得解； （3）①延长交于点Q，由（2）可知，，则，又由即可得到；②根据α的值的情况，得到的取值范围，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴. ∵是的内角与的平分线和的交点， ∴， ∴ ∵， ∴． （2）； 理由：∵是的外角与外角的平分线和的交点， ∴ ， 在中， ； （3）①， 如图，延长交于点Q， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴； ②当时，则，则是钝角三角形； 当时，则，则是直角三角形； 当时，则， ∵是四边形的外角与的平分线和的交点， ∴， ∴是锐角三角形． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角形中的边角关系、命题与证明 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点一 ：三角形中边的关系 1、三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫作三角形. 2、三角形的“三元素” (1)顶点：三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点. (2)边：组成三角形的线段叫做三角形的边. (3)内角：在三角形中，相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角. 3、三角形的表示方法：用符号“△”表示三角形. 如图，顶点是A，B，C 的三角形，记作△ ABC，读作“三角形ABC”. 4、三角形按边分类： ① ②有两条边相等的三角形叫作等腰三角形； ③三条边都相等的三角形叫作等边三角形． ④我们可以把三角形按照边长关系进行分类： 5、 三角形的三边关系 文字语言 数学语言 理论 依据 图形 三角形两边的和大于第三边 a+b﹥c，b+c﹥a，a+c﹥b 两点 之间， 线段 最短. 三角形两边的差小于第三边 a－b﹤c，b－c﹤a， a－c﹤b(a ﹥b﹥c) 知识点二 ：三角形中角的关系 1、三角形按角分类： ①三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形； ②有一个角是直角的三角形叫作直角三角形；直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ABC； ③有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形. ④我们可以把三角形按照角关系进行分类： 2、： （1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° . 几何语言：在△ ABC 中，∠A+ ∠B+ ∠C=180° . （2）三角形内角和定理的应用：主要用在求三角形中角的度数． ①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角； 知识点三 ：三角形中三条重要的线段 1、三角形的高： （1）三角形高的定义：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 性质：如右图： ∵ AD是△ABC的边BC上的高(已知)， ∴ AD⊥BC于点D(或∠ADB=∠ADC=90°) 判定： ∵ AD⊥BC于点D(或∠ADB=∠ADC=90°)(已知)， ∴线段AD 是△ABC 的边BC上的高(三角形的高的定义) （2）三角形的高的画法 一靠：使三角尺的一条直角边靠在作高的边上； 二移：移动三角尺使另一条直角边通过这条边所对的顶点； 三画：画垂线段. （3）三角形三条高的位置 高的位置 交点位置 交点名称 锐角三角形 三条高都在三角形内部 三条高交于一点，都在三角形内部. 垂心 直角三角形 其中两条高恰好是直角边 三条高交于一点，再三角形的直角顶点 钝角三角形 其中两条高在三角形外部 三条高没有交点，但三条高所在的直线交于一点，在三角形外. 2、三角形的角平分线 （1）三角形的角平分线的定义： 三角形一个内角的平分线与它所对的边相交，顶点和交点之间的线段叫做这个三角形的角平分线. 【注意】●角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段. ●三角形的角平分线是其内角的平分线的一部分，故角的平分线的性质三角形的角平分线都具有. （2）三角形的角平分线的位置： 三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点. 3、三角形的中线 （1）三角形的中线的定义：连接三角形一个顶点和它所对的边的中点，所得的线段叫做该三角形这条边上的中线. 几何语言：如图， ①AD是△ ABC 中BC 边上的中线； ②D是BC边的中点； ③BD=DC，BD=BC，DC=BC. 知识点四 ：命题与证明 1、定义：能明确界定某个对象含义的语句叫作定义． 2、命题：可以判断正确或不正确的陈述语句叫作命题. 经判断是正确的，这样的命题称之为真命题. 经判断是错误的，这样的命题称之为假命题. 注意：只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题. 命题形式：如果……那么…… “如果 p，那么 q”，或“若 p，则 q”. 3、逆命题： 将命题“如果 p，那么 q”中的结论和条件互换，便得到一个新命题“如果 q，那么 p”，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作原命题的逆命题. 4、反例： （1）定义：符合命题条件论的例子，我们称之为反例. （2）要判断一个命题是真命题需要推理论证；要判断一个命题是假命题只要举出一个反例即可. 5、证明与推理： （1）基本事实的概念：数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫作基本事实. （2）定理的概念：有些命题是从基本事实或其他真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据.这样的真命题叫作定理. （3）证明的概念： 从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理(或演绎法). 演绎推理的过程，就是演绎证明，简称证明. 6、三角形内角和定理的证明 多种方法证明三角形内角和等于 180° 的核心是：借助的平行线“移角”的功能，将三个角转化到一个平角上. 辅助线：为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 7、三角形内角和定理的推论1、2 （1）三角形内角和推论 1：直角三角形的两锐角互余. （2）三角形内角和推论 2：有两个角互余的三角形是直角三角形. （3）像这样，由基本事实、定理直接得出的真命题叫做推论. 知识点五 ：三角形的外角 （1）三角形的外角的定义：三角形的外角是由三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角. 如图所示，∠ACD就是△ABC的一个外角. ①一个三角形的每个顶点处有两个外角，这两个外角是对顶角； ②三角形的外角和与它相邻的内角互补. （2）外角的特征：①顶点是三角形的顶点； ②一条边是三角形内角的一边； ③另一条边是该内角另一边的反向延长线. （3） 推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. ∠B +∠C =∠CAD 推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.∠CAD＞∠B， ∠CAD＞∠C 【题型1 三角形有关的概念】 高妙技法 1. 抓 “不在同一直线 + 三条线段首尾相接” 的定义； 2. 找以某边为边的三角形时，按顶点顺序列举；3. 数三角形个数时，按大小 / 区域分类，避免重复遗漏 【典例1】观察下列图形，其中是三角形的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】在中，边所对的角是（ ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，顶点C所对的边是（   ） A． B． C． D． 【题型2 三角形的分类】 高妙技法 1. 按边分：先看是否有等边→再看是否有等腰； 2. 按角分：找最大角（锐角→锐角三角形，直角→直角三角形，钝角→钝角三角形）； 3. 遮挡三角形：露出钝角 / 直角可直接判定类型 【典例1】下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】在中，若，则是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式2】如图，一把不透明的尺子挡住了三角形的一部分，则这个三角形的类别为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．无法判断 【题型3 判断能否构成三角形】 高妙技法 1. 核心：最小两边之和＞最大边（无需验证所有组合）； 2. 若给出三边，先排序，再算前两数和与第三数比较 【典例1】将一根长的铁丝按下列四个选项标记的长度剪开，能围成三角形的是（   ） A．；； B．；； C．；； D．；； 【变式1】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）下列各组线段中，能组成三角形的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【变式2】（24-25七年级下·上海静安·期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ）． A．2，2，3 B．5，6，11 C．3，4，8 D．10，5，5 【题型4三角形三边关系的应用】 高妙技法 1. 求第三边范围：两边差＜第三边＜两边和； 2. 整数边问题：在范围中找整数解；3. 化简绝对值：先根据三边关系判断绝对值内式子正负，再去绝对值 【典例1】（24-25七年级下·上海·月考）若一个三角形的两条边分别是和，则第三边的长度不可以取（   ） A．5 B．7 C．9 D．10 【变式1】（24-25七年级下·上海虹口·期末）等腰三角形的两边分别是8、17，则它的周长是（   ） A．25 B．33 C．42 D．33或42 【变式2】三角形的三边分别是，，，则的取值范围 ． 【题型5 三角形的内角和定理】 高妙技法 1. 求角：用 180° 减已知两角； 2. 角度比问题：设每份为 x，列方程（如 2x+5x+3x=180°）； 3. 结合高线 / 角平分线：先求相关角（如高得直角，角平分线得半角），再用内角和 【典例1】三角形中的三个内角之比为，则该三角形为（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 【变式1】如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A的南偏西方向，B岛在A的南偏东方向，C岛在B的北偏西方向，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，是边上的高，垂足为D点，点P在边上，连接，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，，求的度数． 【题型6 三角形的高】 高妙技法 1. 找高：从顶点向对边作垂线，垂足与顶点间的线段； 2. 画高：用三角尺 “一靠二移三画”； 3. 高的位置：锐角三角形内、直角三角形直角边、钝角三角形外，交点分别在形内、直角顶点、形外 【典例1】下列四个图形中，线段是的高的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】在中，，，，，那么点到的距离是（    ） A．3 B．4 C．4.8 D．2.4 【变式2】如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 【题型7 三角形的角平分线】 高妙技法 1. 定义：内角平分线与对边交点和顶点间的线段（非射线）； 2. 性质：平分内角，三条角平分线交于形内一点； 3. 结合平行线：平行线 + 角平分线可证等腰三角形（如 DE∥AC，AD 平分∠BAC→AE=DE） 【典例1】如图．在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，，，是边上两点，，平分，下列说法中不正确的是（　　） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 【变式2】如图，在中，，，则的值为 【题型8 三角形的中线】 高妙技法 1. 定义：顶点与对边中点的线段，分对边为等长两段； 2. 面积：中线分三角形为面积相等的两部分； 3. 周长差：两三角形周长差 = 另外两边的差（如△ABD 与△ACD 周长差 = AB-AC） 【典例1】如图，AD是的中线，已知的周长为28cm，AB比AC长6cm，则的周长为（   ） A．34cm B．31cm C．22cm D．20cm 【变式1】如图，在中，点，分别在，边上，是的中点，，与相交于点，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，已知D，E，F分别是边的中点，且阴影部分图形的面积为5，则的面积为（    ） A．10 B．15 C．17.5 D．20 【题型9与三角形的高、中线、角平分线的综合】 高妙技法 1. 找特殊线段：根据定义区分高（垂直）、中线（中点）、角平分线（平分角）； 2. 面积计算：中线分面积为 2:1，高 × 底 ÷2 算面积； 3. 角度计算：角平分线 + 高可求角的差值（如∠DAE=∠CAE-∠CAD） 【典例1】如图，在中，分别为的中线和高，为的角平分线． (1)若，求的大小； (2)若的面积为48，，求的长． 【变式1】如图，在中，是中线，． (1)求与的周长差； (2)点E在边上，连接．若的周长被分成的两部分的差是，求线段的长． 【变式2】如图，是的边上的中线，已知，． (1)边的取值范围是________； (2)若的周长为30，则的周长为________； (3)在中，若边上的高为6，求边上的高． 【题型10 命题的定义及构成】 高妙技法 1. 识别命题：判断语句（如 “对顶角相等” 是命题，“画直线” 不是）； 2. 拆分题设与结论：改写成 “如果 p（题设），那么 q（结论）”（如 “内错角相等”→“如果两个角是内错角，那么这两个角相等”）； 【典例1】下列句子中，是命题的是（    ） A．对顶角相等 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线 【变式1】下列语句中，不是命题的是（   ） A．在同一平面内两条直线不平行就相交 B．邻补角的角平分线互相垂直 C．过直线l外一点P，作直线 D．，a与c相交，则b与c也相交 【变式2】列是命题的为（   ） ①直角三角形中的两个锐角互余；②正数都大于0；③如果，那么与互补；④太阳不是行星；⑤对顶角相等吗？⑥作线段的垂线． A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑥ D．①②③⑥ 【题型11 真假命题的判断】 高妙技法 1. 真命题：需推理论证（如基本事实、定理）； 2. 假命题：举反例（如 “垂直于同一直线的两直线平行”，反例：异面直线）； 【典例1】（22-23七年级下·上海·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．经过一点一定有一条直线与已知直线平行 B．如果两条直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补 C．三角形的三条高交于一点 D．在三角形的三个外角中至少有两个钝角 【变式1】（24-25七年级下·上海普陀·期中）下列命题中是假命题的是（    ） A．点到直线的距离是非负的 B．同一平面内不相交的两条线段叫作平行线 C．经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行 D．如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等 【变式2】有下列说法：①点到直线的垂线段叫做点到直线的距离；②图形平移的方向一定是水平的；③在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直；④轴上的点，纵坐标为0；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型12 命题的证明】 高妙技法 1. 步骤：①写已知、求证；②画图形；③推导（据定义、基本事实、定理）；2. 辅助线：必要时添辅助线（如证平行添截线），用虚线表示；3. 逻辑：每步推理需有依据（如 “∵AB∥CD（已知），∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）”） 【典例1】命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 【变式1】请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明． 定理：三角形的外角等于_____________________的和． 已知： 求证： 【变式2】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别在边AB、AC上，给出下列信息： ①BE平分∠ABC；②CD⊥AB；③∠CFE＝∠CEF． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个命题．在保证命题正确的情况下，你选择的条件是________，结论是________．（只要填写序号）． (2)请证明（1）中你组成的命题的正确性． 【题型13 三角形内角和的证明】 高妙技法 1. 核心：用平行线 “移角”，将三角凑成平角（180°）；2. 方法：①过顶点作平行线（如过 A 作 DE∥BC）；②延长一边作平行线（如延长 BC 作 CE∥AB）；③作三边平行线（如作 EF∥AB，GH∥AC） 【典例1】在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是 A．如图①所示，过点作 B．如图②所示，过点作 C．如图③所示，过点作、垂足为点 D．如图④所示，过边上点作， 【变式1】在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．B．C． D． 【变式2】（1）如图：的点C为顶点，为边，在的外部用尺规作（在原图上作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）小颖经过上述作图后发现这样可以说明三角形的内角和等于，请你帮助小颖完成说理过程． （已作） ∴ ， ∴ + （两直线平行， 同旁内角互补） 即 ∴ （等量代换）． 【题型14 直角三角形的性质的运用】 高妙技法 1. 两锐角互余：已知一个锐角，求另一个（如∠A=30°，则∠B=60°）； 2. 斜边中线：斜边中线 = 斜边一半（适用于求线段长）； 3. 结合平行线：平行线 + 直角可求相关角（如 a∥b，Rt△ABC 中∠1=33°→∠2=57°） 【典例1】如图，，是的中点，平分，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，，，平分，E为上一点，于F． (1)求的度数． (2)求的度数． 【变式2】如图，在中，为边上的高，，． (1)求的度数． (2)若斜边在直线上，请直接写出的度数． 【题型15 直角三角形的判定】 高妙技法 1. 有一个角是直角（直接判定）； 2. 两锐角互余（如∠A+∠B=90°→△ABC 是直角三角形）； 【典例1】如图，E是中AC边上的一点，过点E作，垂足为D，．求证：是直角三角形． 【变式1】如图，平分．求证：是直角三角形． 【变式2】（1）如图①，在中，，垂足为D，与有什么关系？为什么？ （2）如图②，在中，，分别在上，且，判断的形状是什么？为什么？ （3）如图③，在和中，，点C，B，E在同一直线上，与有什么关系？为什么？ 【题型16 利用三角形外角的性质计算】 高妙技法 1. 外角 = 不相邻两内角和（如∠ACD=∠A+∠B）； 2. 外角＞不相邻内角（比较角大小时用）； 3. 多外角问题：连接顶点延长线，拆分外角（如∠BDC=∠B+∠C+∠A） 【典例1】如图，在中，，的平分线，相交于点，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，点在延长线上，，分别平分，，，垂足为．若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，平分交于点，于点，与交于点．若，，求的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：平分（已知）， ______． 是的外角， ∴______（______）， ∴（等式的性质） ______（等量代换） ______． 于点， ． （______）． ______． 【题型17 利用三角形外角的性质证明】 高妙技法 1. 证角相等：用外角 = 不相邻两内角和，等量代换（如证∠E=∠A/2，先证∠ACE=∠A+∠B，∠DCE=∠E+∠B，再结合角平分线）； 2. 证角的和差：用外角拆分（如证∠BAC=∠B+2∠D，先拆∠BAC=∠D+∠ACD，再用角平分线） 【典例1】如图，∠ACE是△ABC的一个外角，CD平分∠ACE，交BA的延长线于点D． （1）若∠ACB＝∠B＝20°，求∠D的度数； （2）求证：∠BAC＝∠B+2∠D． 【变式1】如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，猜想，与的数量关系，并证明． 【变式2】如图1，线段，相交于点O，连接，，我们把形如图1的图形称为“8字形”． (1)求证：； (2)如图2，点M是线段上一点，连接，求 的度数； (3)如图3，点E是延长线上一点，与的平分线交于点P，试猜想，与之间的数量关系，并说明理由． 【题型18 与三角板有关的计算问题】 高妙技法 1. 记三角板角度：30°/60°/90°、45°/45°/90°； . 找重合 / 平行关系：根据三角板摆放，找平行线（如 AB∥CD）或重合边，用平行线性质 / 内角和计算；3. 算夹角：用三角板已知角 + 已知条件（如∠1=30°）求目标角 【典例1】将一副三角板按照如图方式摆放，点B，C，D共线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（  ） A． B． C． D． 【变式2】将一副三角板（）按如图所示方式摆放，使得，则等于（　　） A． B． C． D． 【题型19 与平行线有关的三角形问题】 高妙技法 1. 平行线性质：同位角 / 内错角相等、同旁内角互补（如 AB∥CD→∠A=∠3）； 2. 结合三角形内角和：先由平行线得角相等，再用内角和求未知角（如∠1=50°，∠2=70°→∠3=60°）； 3. 证平行：用角相等（如∠ABF=∠3→AB∥CD） 【典例1】如图，，于点F，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图是一架婴儿车的示意图，其中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【题型20 与角平线有关的三角形内角和问题】 高妙技法 1. 角平分线：得半角（如 AD 平分∠BAC→∠BAD=∠CAD=∠BAC/2）； 2. 结合内角和：先求总角，再得半角，最后求目标角（如∠BAC=62°，AD 平分→∠BAD=31°）； 3. 多角平分线：三条角平分线交于内心，∠BOC=90°+∠A/2 【典例1】如图，的外角和外角的平分线交于点，已知，则的度数为（   ） A．42° B．40° C．38° D．36° 【变式1】【问题呈现】 小明在学习了有关三角形内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题： 如图①，与分别为的两个外角，求证：． 【推理证明】 (1)补全证明过程． 证明：与分别为的两个外角， _____，_____ _____ ， ． (2)如图②，在纸片中剪去，得到四边形．若，则的大小为_____度． (3)如图③，在中，分别为外角，的平分线，写出与之间的数量关系，并说明理由． 【变式2】已知直线与互相垂直，垂足为O，点A在射线上运动，点B在射线上运动，点A、B均不与点O重合． 【探究】 （1）如图1，平分，平分． ①若．则________°． ②在点A、B的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 【拓展】 （2）如图2，平分交于点I，平分，的反向延长线交的延长线于点D．在点A、B的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，直接写出的度数：若变化，直接写出的度数的变化范围． 【题型21 三角形折叠中的角度问题】 高妙技法 1. 折叠性质：折叠前后对应角相等（如∠C=∠C'）；2. 平角 / 内角和：折叠产生的角与原角结合平角（如∠1+2∠ADE=180°）或内角和计算；3. 外角：折叠后形成的外角 = 对应内角 + 已知角（如∠2=∠C+∠1+∠C'） 【典例1】如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为（    ） A． B．110° C．80° D． 【变式1】如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，是一张纸片，把沿折叠，使点C落在点的位置． (1)当时，求的度数． (2)若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【题型22 三角形与新定义问题】 高妙技法 解决三角形中的新定义问题，关键是“理解新定义 + 转化为已知模型”，通过阅读、转化、联系旧知识三步完成破题. 【典例1】定义：如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，，则 °； (2)若是直角三角形，． ①如图，若是的角平分线，请你判断是否为“准互余三角形”？并说明理由． ②点是边上一点，是“准互余三角形”，若，求的度数． 【变式1】定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”，例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ①则_________，__________． ②将沿过点的直线翻折，使得点落在边上的点处，折痕为（在上）．判断是否为“友爱三角形”，并说明理由． (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与、重合），连接．将沿翻折得到，落在边上，若是“友爱三角形”，求的度数． 【变式2】定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数为______． 【题型23 三角形中的综合题】 高妙技法 1.多知识点结合：整合内角和、外角、角平分线、平行线（如证∠D=∠A/2，用外角 + 角平分线）；2. 动态问题：跟踪变量（如点 D 移动），找不变关系（如∠DPC=90°+∠A/2）；3. 规律探究：多 次作角平分线，找角的倍数关系（如∠Dₙ=∠A/2ⁿ⁺¹） 【典例1】已知：线段、相交于点，连接、． (1)如图，求证：； (2)如图，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于点、，，，求的度数； (3)如图，和的三等分线和相交于点，并且与、分别相交于点、，，，试探究、、三者之间存在的数量关系，并说明理由． 【变式1】如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______°，_____°； (2)求证：； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数． 【变式2】如图，已知，点在上，点、在上．在中，，，点、在直线上，在中，，． (1)请将下列命题补充完整为一个真命题并证明： 沿直线平移的过程中，如果______，那么； (2)将沿直线平移，当点在上时，求的度数； (3)将沿直线平移，当以、、为顶点的三角形中有两个角相等时，请直接写出的度数． 1、 选择题 1．给定下列条件，不能判断三角形是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，下面正确的是（    ） A．如果是同角，那么余角相等 B．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C．如果是同角，那么相等 D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 3．如图，在中，是角平分线，点E是的中点，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．是的中线 D． 4．关于三角形的高，中线和角平分线，下列说法正确的是（　　） A．三角形的角平分线是直线 B．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心 C．三角形的一条角平分线把三角形分成两个面积相等的三角形 D．三角形的三条高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 5．一副直角三角尺和按如图所示的方式叠放在一起，其中在斜边上，在的延长线上，，，，则的度数是（      ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·广西防城港·月考）“生活中处处有数学”，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是（    ） A．三角形的内角和等于 B．三角形的内角和等于360° C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 7．如图，是的中线，E是上的一点，连接，若的面积为12，则图中阴影部分的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落在上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 2、 填空题 9．若是三角形的三边长，则化简的结果为 ． 10．在如图所示的三角形纸片中剪去得到四边形，若，则的度数是 11． 如图，在中，为边的中线，的周长比的周长多，， 则 ． 12． 若三角形的一个内角等于与它相邻的外角的，且这个内角与另一个内角互余，则这个三角形 是 三角形． 13．如图，在中，，分别是、的角平分线，、分别是、的角平分线，则的度数是 ． 14．如图，在中，，的平分线交于点O，． （1）的度数为 ． （2）若CD平分外角，交BO的延长线于点D，点E是的两外角平分线的交点，则的度数为 ． 三、解答题 15．如图，在中，是高线，，是角平分线，，相交于点O，，． (1)求的度数． (2)求的度数． 16．如图，在中，是上的中线，点是的中点，连接，． (1)若，，求的度数； (2)若的面积为，，求线段的长度． 17．如图，在中，为边上的高，点E为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若，的面积为30，求的长； (2)当为的平分线时，若，，求的度数． 18．中，，点，分别是的边，上的两个定点，点是平面内一动点，令． (1)如图（1），若点在线段上运动， ①当时，___________． ②写出，，之间的关系：___________． (2)若点运动到边的延长线上，交于，如图（2），则，，之间有何关系？并说明理由． 19．请你参与下面探究过程，完成所提出的问题． (1)探究1：如图1，是的内角与的平分线和的交点，若，则____________度： (2)探究2：如图2，是的外角与外角的平分线和的交点，求与的数量关系？并说明理由． (3)拓展：如图3，是四边形的外角与的平分线和的交点，设． ①直接写出与的数量关系； ②根据的值的情况，判断的形状（按角分类）． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $