专题01 平面直角坐标系（2重点+21题型+复习提升）（寒假复习讲义）八年级数学新教材沪科版

专题01 平面直角坐标系 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点一 ：平面直角坐标系 1、平面直角坐标系的概念：：在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系．水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点． 2、坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． 3、平面内特殊位置的点的坐标特征 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0； ③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）与坐标轴平行（垂直）的直线上的点的坐标特征： ①平行与x轴（垂直与y轴）的直线上的点：纵坐标相等； ②平行与y轴（垂直与x轴）的直线上的点：横坐标相等； （4）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 4、点的坐标的几何意义： 点P（a,b）到x轴的距离是,到y轴的距离是． 知识点二 ：平面直角坐标系的应用 1、用坐标表示地理位置： （1）确定物体的位置的方法有很多，其中可以用有序数对来表示物体的位置，还可以用平面直角坐标系中的点的坐标来确定物体的位置.解决问题时要根据实际情况来选择表示方法，确定物体的位置时数据不能少于两个. （2）利用平面直角坐标系表示地理位置的方法： ①建立坐标系，选择一个合适的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向. ②根据实际问题确定适当的单位长度，并在坐标轴上标出单位长度. ③在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称. （3）在航海和测绘中，经常用方向角和距离来刻画平面内两个物体的相对位置，通常以北偏东（西）或南偏东（西）确定方向角. 2、用坐标表示点的平移： （1）平面直角坐标系中的点的坐标平移的变化规律：将点左右平移纵坐标不变，上下平移横坐标不变. （2）图形的平移坐标变化规律： 在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） （3）作图-平移变换 ①确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离． ②作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 【题型1 用有序数对表示位置】 高妙技法 用有序数对表示位置的关键是“顺序”和“参照系”：必须明确前后两个数分别代表什么（如列与行、经度与纬度），且顺序不可颠倒，否则位置就不同。 【典例1】小明在教室的座位是第3列第5行，若用有序数对表示为，那么小华坐在第5列第2行应表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是有序数对的含义，根据有序数对的定义，第一个数表示列，第二个数表示行，小华的位置是第5列第2行，因此对应有序数对． 【详解】解：∵小明的位置表示第3列第5行， ∴有序数对的第一个数为列，第二个数为行， ∵小华在第5列第2行， ∴应表示为． 故选：A 【变式1】如果图书上的标签表示图书馆书架上的“2层5格”，那么“5层2格”应该表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了用有序数对表示位置，根据题意，标签中的第一个数表示层，第二个数表示格，因此“5层2格”对应． 【详解】解：∵标签表示“2层5格”，即第一个数表示层，第二个数表示格． ∴“5层2格”应表示为． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·广东河源·期中）王伟坐在教室的第5列、第6排，他的位置用数对表示，李林坐在教室的第7列、第2排，他的位置用数对表示．张乐与李林在同一列，在王伟的前一排，张乐的位置用数对表示是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用数对表示位置，读懂题意，掌握数对表示位置的规则是解决问题的关键．先理解题中数对表示位置的规则，再由张乐与李林在同一列，在王伟的前一排，确定张乐位置为第列、第排，即可确定答案． 【详解】解：李林坐在教室的第列，张乐与李林在同一列，则张乐在教室的第列； 王伟坐在教室的第排，张乐在王伟的前一排，则张乐在教室的第排； 张乐的位置用数对表示是第列、第排， 即张乐的位置用数对表示是， 故选：B． 【题型2 用有序数对表示路线】 高妙技法 用有序数对表示路线的核心是：明确参照系、按顺序记录每一步的坐标变化，并确保数对中的“有序”特性不被颠倒。 【典例1】（25-26七年级上·北京·月考）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B（，），从B到A记为：B→A（，），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中： (1)A→C（______，______），B→D（______，______）； (2)若这只甲虫从A处出发去甲虫N处的行走路线依次为，，，，请在图中标出依次行走停留点E、F、M、N的位置． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】本题主要考查了用有序实数对表示路线．读懂题目信息，正确理解行走路线的记录方法是解题的关键． （1）根据向上向右走为正，向下向左走为负，可得答案； （2）根据向上向右走为正，向下向左走为负，可得答案； 【详解】（1）解：A→C，B→D， 故答案为：，； （2）解：如图： ； 【变式1】如图，用表示点A的位置． (1)和分别表示点______和点______； (2)图中D，E两点的位置分别表示成______和______； (3)若从点A运动到点B有这样一条路径：．请写出另一条由点A到点B的路径：→______→______→______→______→． 【答案】(1)B，C (2)， (3)答案不唯一，如，，， 【分析】本题考查了坐标与图形性质，熟练掌握在平面直角坐标系中确定点的位置的方法是解题的关键． （1）根据和的位置求解即可； （2）根据D，E两点的位置求解即可； （3）根据坐标系中坐标的特点求解即可． 【详解】（1）和分别表示点B和点C； （2）图中D，E两点的位置分别表示成和； （3）由点A到点B的路径：． 【变式2】如图，有一个机器人在网格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从点处出发，规定：向上或向右走均为正，向下或向左走均为负．如：从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)根据图中位置，从到应记为：（______，______），从到应记为：（______，______）； (2)若机器人从处去处的行走路线依次为，，，． ①点的坐标为（______，______）； ②求机器人按上述路线从处去处行走的路程． (3)若图中另有两个点，，且，，则从到应记为：（______，______）． 【答案】(1)，，，， (2)①7, 3；② (3)， 【分析】本题考查利用坐标确定点的位置的方法，正确地理解从一个点到另一个点移动时，如何用坐标表示是解题的关键． （1）根据规定“向上或向右走均为正，向下或向左走均为负”即可求解； （2）①将从处去处的行走路线的第一个数相加后等于，表明向右走了6个单位，将行走路线的第二个数相加后等于，表明向上走了1个单位，由此即可求解；②将行走路线的第一个数的绝对值和第二个数的绝对值相加，即可求出从处去处行走的路程； （3）根据，，可知从到时，，，相当于向右走了2个单位，向上走了4个单位，由此即可求解． 【详解】（1）由规定“向上或向右走均为正，向下或向左走均为负”， 记为，记为， 故答案为：，，，； （2）①若机器人从处去处的行走路线依次为，，，， ， 相当于向右走了6个单位， ， 相当于向上走了1个单位， 点， 点的坐标为， 故答案为：7, 3； ②，， ， 机器人按上述路线从处去处行走的路程为； （3），， 当从到时，，，相当于点向右走了2个单位，向上走了4个单位到达点， 从到应记为：， 故答案为：，． 【题型3 象限内点的坐标】 高妙技法 熟记四个象限符号（一 ﹢﹢、二 ﹣ ﹢、三 ﹣﹣、四﹢﹣），结合横纵坐标关系（如倍数）确定坐标 【典例1】（2025八年级上·上海·专题练习）在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内，则目标的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，根据第三象限中点的符号的特点可知目标的坐标可能是． 【详解】解：因为目标在第三象限，所以其坐标的符号是，观察各选项只有D符合题意， 故选：D． 【变式1】（24-25八年级上·河南平顶山·期中）已知，长方形在坐标平面内的位置如图所示，边和分别在x轴和y轴上，则点A的坐标为（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平面直角坐标系，点的坐标等知识． 根据图形得出，，即可求出点坐标． 【详解】解：∵，， ∴点A的坐标为， 故选C． 【变式2】（25-26七年级上·北京·期中）方格纸上有A，B两点，若以点A为原点建立平面直角坐标系，则点B的坐标为，若以点B为原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标系中原点变化时点的坐标关系，掌握知识点是解题的关键． 以点A为原点时点B的坐标表示点B相对于点A的位置，当原点变为点B时，点A的坐标与之前点B的坐标符号相反． 【详解】解：∵以点A为原点时，点B的坐标为， ∴点B相对于点A的位移为向左3个单位、向上1个单位． ∴以点B为原点时，点A相对于点B的位移为向右3个单位、向下1个单位， ∴点A的坐标为． 故选：A． 【题型4 判断点所在的象限】 高妙技法 提取横纵坐标，对照象限符号，排除坐标轴上的点（横 / 纵坐标为 0） 【典例1】（25-26八年级上·浙江金华·期中）在平面直角坐标系中，点在（   ） A．轴正半轴上 B．轴负半轴上 C．轴正半轴上 D．轴负半轴上 【答案】C 【分析】此题考查了点的坐标，根据在坐标轴上点的坐标特征进行解答即可； 根据点的坐标特征，纵坐标为0的点在轴上；横坐标为正时，点在轴正半轴上． 【详解】解：∵点的纵坐标， ∴该点在轴上。 又∵横坐标， ∴该点在轴正半轴， 故选：C． 【变式1】在平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一象限：，第二象限：，第三象限：，第四象限：，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0． 平面直角坐标系中，第四象限的点坐标符号为，即横坐标为正，纵坐标为负． 【详解】解：第四象限的点需满足且． 选项A：，，在第二象限； 选项B：，，在第三象限； 选项C：，，在第一象限； 选项D：，，在第四象限； 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·湖南·期末）在平面直角坐标系中，点一定在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查由点的坐标判断其所在象限，熟记象限中点的坐标符号特征是解决问题的关键． 点的横坐标为负，纵坐标恒为正，根据象限符号特点判断即可得到答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点的横坐标、纵坐标， ∴ 点在第二象限， 故选：B． 【题型5 坐标轴上的坐标】 高妙技法 x 轴点纵坐标为 0（(a,0)），y 轴点横坐标为 0（(0,b)），列方程求参数 。 【典例1】（25-26八年级上·全国·期末）若点在平面直角坐标系的x轴上，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点在x轴上的特点，根据x轴上点的纵坐标为0，求出m的值，再代入横坐标表达式即可． 【详解】解：∵点P在x轴上， ∴纵坐标， 解得， ∴横坐标， ∴点P的坐标为， 故选C． 【变式1】（25-26八年级上·四川成都·期中）若点在y轴上，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，点在y轴上，则横坐标为0． 根据在y轴上的点的坐标特征作答即可． 【详解】解：∵点在y轴上， ∴横坐标， 解得， ∴纵坐标， ∴点A的坐标为． 故选：A． 【变式2】若点在x轴上，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标特征，熟练掌握“x轴上点的纵坐标为0”以及“各象限内点的坐标符号规律”是解题的关键． 先利用x轴上点的坐标特征求出的值，再代入得到点的坐标，最后根据象限内点的坐标符号判断所在象限． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， ∴， ∴点的坐标为即， ∵点的横坐标，纵坐标 ∴点在第三象限 故选：C． 【题型6 平行于坐标轴的直线上的点的坐标】 高妙技法 平行 x 轴→纵坐标相同，平行 y 轴→横坐标相同，用此求坐标或算距离。 【典例1】已知点，轴，且，则点坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了与坐标轴平行的平行线上点的坐标特点，学会分类讨论是解决本题的关键． 由平行于x轴可知，A、B两点纵坐标相等，再根据线段的长为5，B点可能在A点的左边或右边，分别求B点坐标即可． 【详解】解：∵轴， ∴A、B两点纵坐标相等，即B点纵坐标为4． 又∵A点坐标为， ∴B点横坐标可能为或． ∴B点坐标为或． 故选D． 【变式1】已知轴，且点A的坐标为，点B的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了与坐标轴平行的直线上点的坐标特征．根据轴，可得点A和点B的纵坐标必须相等．根据点B的纵坐标4，可建立方程求解点A的纵坐标，进而得到点A的坐标． 【详解】解：∵轴，且点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， 解得：， ∴点A的坐标为． 故选：C． 【变式2】在平面直角坐标系中： （1）若点M（m﹣6，2m+3），点N（5，2），且MN∥y轴，求M的坐标； （2）若点M（a，b），点N（5，2），且MN∥x轴，MN＝3，求M的坐标； （3）若点M（m﹣6，2m+3）到两坐标轴的距离相等求M的坐标． 【分析】（1）因为MN∥y轴，所以M点的横坐标和N点的横坐标相同，得m﹣6＝5，m＝11，可求得M点坐标； （2）因为MN∥x轴，所以M点的纵坐标和N点的纵坐标相同，得b＝2，根据MN＝3，可得|a﹣5|＝3，解得a＝8或者a＝2，M点坐标求出； （3）M点到两坐标轴距离相等，分类讨论，分别讨论点M在一三象限时（m﹣6＝2m+3）或者二四象限时[m﹣6＝﹣（2m+3）]，即可求出相应的坐标点． 【】解：（1）∵MN∥y轴， ∴M点的横坐标和N点的横坐标相同， ∴m﹣6＝5，得m＝11， ∴M点坐标为（5，25）， 故M点坐标为（5，25）； （2）∵MN∥x轴， ∴M点的纵坐标和N点的纵坐标相同， ∴b＝2， ∵MN＝3， ∴|a﹣5|＝3，解得a＝8或a＝2， ∴M点坐标为（8，2）或（2，2）， 故M点坐标为为（8，2）或（2，2）； （3）∵M点到两坐标轴距离相等，M点横坐标和纵坐标不能同时为0， ∴M不在原点上，分别在一三象限或二四象限， 当在一三象限时，可知m﹣6＝2m+3，得m＝﹣9，M点坐标为（﹣15，﹣15）， 当在二四象限时，可知m﹣6＝﹣（2m+3），得m＝1，M点坐标为（﹣5，5）， ∴M点坐标为（﹣15，﹣15）或（﹣5，5）， 故M点坐标为（﹣15，﹣15）或（﹣5，5）． 【点睛】本题考查了直角坐标系与图形的性质，平行坐标轴坐标特点，难点在于最后一问的分类讨论上，需要熟悉这类题型． 【题型7 角平分线上的点的坐标】 高妙技法 一、三象限→横纵坐标相等（x=y），二、四象限→横纵坐标相反（x=-y），代入列方程。 【典例1】已知点P（5a+7，6a+2）在一、三象限的角平分线上，则a＝　 ． 【答案】5． 【分析】根据第一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等列出方程求解即可． 【详解】解：∵点P（5a+7，6a+2）在一、三象限的角平分线上， ∴5a+7＝6a+2， 解得a＝5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，熟记第一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等是解题的关键． 【变式1】在平面直角坐标系中，点A（x，y）的坐标满足方程3x﹣y＝4，当点A在第四象限，且OA是两坐标轴的角平分线，点A的坐标为 　 　． 【答案】（1，﹣1）． 【分析】直接利用第四象限内点的坐标特点结合角平分线的性质得出等式求出答案． 【详解】解：∵当点A在第四象限，且OA是两坐标轴的角平分线， ∴x＝﹣y， ∵3x﹣y＝4， ∴﹣3y﹣y＝4， 解得：y＝﹣1， 故x＝1， 则点A的坐标为（1，﹣1）． 故答案为：（1，﹣1）． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确掌握第四象限内点的坐标特点是解题关键． 【变式2】解答下列问题： （1）若点（5﹣a，a﹣3）在第一、三象限的角平分线上，求a的值． （2）已知两点A（﹣3，m）、B（n，4），若AB∥x轴，求m的值，并确定n的范围． （3）点P到x轴和y轴的距离分别是3和4，求P点的坐标． 【分析】（1）由点（5﹣a，a﹣3）在第一、三象限的角平分线上知5﹣a＝a﹣3，解之即可； （2）由A（﹣3，m）、B（n，4），且AB∥x轴知m＝4且n≠﹣3； （3）根据点P到x轴和y轴的距离分别是3和4知点P坐标为（4，3）或（4，﹣3）或（﹣4，3）或（﹣4，﹣3）． 【详解】解：（1）∵点（5﹣a，a﹣3）在第一、三象限的角平分线上， ∴5﹣a＝a﹣3， 解得a＝4； （2）∵A（﹣3，m）、B（n，4），且AB∥x轴， ∴m＝4且n≠﹣3； （3）∵点P到x轴和y轴的距离分别是3和4， ∴点P坐标为（4，3）或（4，﹣3）或（﹣4，3）或（﹣4，﹣3）． 【点睛】本题主要考查坐标与图形性质，解题的关键是平面直角坐标系中第一、三象限角平分线上点的坐标特点、平行与坐标轴的直线上点的坐标特点等． 【题型8 点的坐标与点到坐标轴的距离】 高妙技法 到 x 轴距离 =| 纵坐标 |，到 y 轴距离 =| 横坐标 |，由距离列绝对值方程求坐标。 【典例1】在平面直角坐标系中，若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点坐标的特征，掌握相关知识是解决问题的关键．根据点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于其横坐标的绝对值，结合第二象限点的横坐标为负、纵坐标为正，即可求解． 【详解】解：设点坐标为， ∵点到轴的距离为3， ∴； ∵点到轴的距离为1， ∴； 又∵点P在第二象限， ∴． ∴． ∴点的坐标为． 故选：C． 【变式1】点到轴的距离是，到轴的距离是，且在轴的左侧，则点的坐标是（ ） A． B． C．或 D． ， 【答案】C 【分析】此题考查了点到坐标轴的距离，根据点到坐标轴的距离和位置条件，点M到x轴距离为3，则纵坐标为；到y轴距离为2，则横坐标为；结合点在y轴左侧，横坐标为负，从而确定坐标． 【详解】解：∵点M到x轴的距离是3， ∴点M的纵坐标为3或． ∵点M到y轴的距离是2， ∴点M的横坐标为2或． ∵点M在y轴的左侧， ∴点M的横坐标为负，即横坐标为． ∴点M的坐标为或． 故选：C． 【变式2】已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点在轴上，求此时点的坐标； (2)若点在过点且与轴平行的直线上，求此时的值； (3)若点到轴的距离与到轴的距离相等，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（）根据轴上点的坐标特征进行解答即可； （）根据平行于轴的直线上点的坐标特征进行解答即可； （）根据到坐标轴距离相等的点的坐标特征进行解答即可； 本题考查了坐标与图形，熟知轴上及平行于轴的直线上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：∵点在过点且与轴平行的直线上， ∴， 解得； （3）解：∵点到轴的距离与到轴的距离相等， ∴或， 解得或， 当时，，， ∴点坐标为； 当时，，， ∴点坐标为， ∴点的坐标为或． 【题型9 实际问题中的坐标表示】 高妙技法 选原点、定方向（上北下南）、设单位，按位置算横纵坐标。 【典例1】如图，小东去游乐场游玩，他根据游乐场的地图建立了平面直角坐标系，并标注了自己最想游玩的三个项目的位置，若旋转木马位于点，过山车位于点，则摩天轮位于点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标，由旋转木马位于点以及过山车位于点建立平面直角坐标系，结合图形即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵旋转木马位于点，过山车位于点． ∴建立平面直角坐标系如图所示： ， 故摩天轮位于点， 故选：C． 【变式1】如图，如果“马”在点，“车”在点，则“帅”所在点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．直接利用已知点坐标确定原点位置，进而建立平面直角坐标系进而得出答案． 【详解】解：如图所示，“帅”所在点的坐标是， 故选： 【变式2】2025年7月，山西省文化和旅游厅启动了“晋享清凉·活力一夏”山西好风光暑期大放送系列活动，长治市积极响应，在各景区推出丰富多彩的活动．如图所示是长治市部分景区的平面示意图，若将其放在平面直角坐标系中，表示黄崖洞和漳泽湖国家城市湿地公园两点的坐标分别为，，则表示八泉峡的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解题思路是先利用已知两点的坐标确定坐标系的方向与单位长度，再通过网格位置确定目标点的横、纵坐标，从而得到八泉峡的坐标．本题考查平面直角坐标系中点的坐标确定，涉及的知识点是平面直角坐标系的坐标规则．解题中用到的方法是坐标定位法，即通过已知点的坐标确定坐标系，再结合网格位置确定目标点坐标．解题关键是准确对应已知点的坐标与网格位置，避免横、纵坐标的方向混淆．易错点是误将纵坐标的上下方向搞反，导致坐标符号错误． 【详解】首先，根据已知的黄崖洞坐标和漳泽湖国家城市湿地公园坐标，确定平面直角坐标系的原点与坐标轴． 如图所示： 八泉峡对应的坐标为． 故答案选A． 【题型10 用方向角和距离表示物体位置】 高妙技法 方向角以南北为基准（如北偏东 α°），结合距离，可转坐标 。 【典例1】如图，下列能准确描述小明家相对于学校位置的是（   ） A．距离学校米处 B．南偏西方向米处 C．北偏东方向米处 D．南偏西方向米处 【答案】B 【分析】本题主要考查了方向角和距离表示位置．根据以正东，正北方向为基准，结合图形得出北偏东的角度和距离来描述物体所处的方向进行描述即可得出结果． 【详解】解：根据题意可知：， ∴学校在小明家南偏西方向上的1200米处， 故选：B． 【变式1】一艘轮船在港口的北偏西方向，距离港口处，若以港口O为观测点，用方位角和距离描述该船相对于港口的位置是（    ） A．北偏东， B．北偏西， C．北偏东， D．北偏西， 【答案】B 【分析】此题考查了方位角，根据方位角的概念以及确定位置的方法，可得答案． 【详解】∵轮船在港口的北偏西方向，距离， ∴若以港口O为观测点，位置描述为北偏西，， 故选：B． 【变式2】如图，雷达探测器测得六个目标出现．按照规定的目标表示方法，目标的位置表示为 (1)按照此方法表示目标的位置． A：       B： D：      E： (2)若目标C的实际位置是北偏西距观测站1800米，目标F的实际位置是南偏西距观测站1500米，写出目标A、B、C、D的实际位置． (3)在（2）的条件下，若另有目标G在东南方向距观测站750米处，目标H在北偏东距观测站900米处，写出G、H的位置表示． 【答案】(1)，，，； (2)见解析； (3), 【分析】本题主要考查了新定义题型下的方向角问题，解决此题的关键是读懂题意中的新定义类型； （1）根据新定义的题意得到答案即可； （2）根据在的圈数和距离数得到一圈的距离是代表300米，方向角是正南正北方向为主方向，进而得到根据目标位置写出实际位置即可； （3）运用（2）中的条件，已知实际位置，写出目标位置即可； 【详解】（1）解：由题意可知：目标位置的第一个数是点所在的圈数，第二个数是点所在的那条直线的度数， ∴，，，； 故答案为：，，，； （2）解：由题意可知，一圈代表的距离是300米，方向角是以南北为主方向； ∴代表的实际位置是北偏东距观测站1500米， 代表的实际位置是正北方向距观测站600米， 代表的实际位置是南偏西距观测站1200米， 代表的实际位置是南偏东距观测站900米； （3）解：在（2）的条件下可知：，， ∴， ∵，， ∴ 【题型11 根据方位描述确定物体的位置】 高妙技法 找参照点，建方向坐标系，按方向和距离定位，复杂方位分步推。 【典例1】如图，在正方形网格中，点B在点A的南偏东方向上，则点B的位置可能是（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 【答案】D 【分析】本题考查的是方位角的判定，理解方位角的含义是解本题的关键. 方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于的角，由此即可判断． 【详解】解：如图， 根据题意和图示可知： 射线表示南偏东方向，射线表示南偏东约方向，射线表示南偏东方向， ∴点B的位置可能是． 故选：D． 【变式1】看图回答问题． (1)小明家在学校的_____方向上，估一估小明家距离学校约_____米．（填整百数） (2)书店在学校_________方向上． (3)超市在学校东北方向米处，请用▲在图中标出它的位置． 【答案】(1)正南， (2)北偏西60° (3)见解析 【分析】本题考查了根据方向和距离确定物体的位置，掌握方向角的定义是解题的关键． （1）根据图形及方向角的定义解答即可； （2）根据图形及方向角的定义解答即可； （3）根据方向及距离标出超市位置即可； 【详解】（1）解：小明家在学校的正南方向上，估一估小明家距离学校约米， 故答案为∶正南，； （2）解：书店在学校北偏西方向上， 故答案为∶北偏西； （3）解：由题意知超市在学校北偏东方向米处，则超市位置如图所示： 【变式2】某市的局部区域示意图如图所示，其中每个小正方形的边长均为1个单位长度． (1)若超市的坐标为，图书馆的坐标为，请在图中建立合适的平面直角坐标系； (2)在（1）的前提下， ①写出博物馆的坐标； ②若公园的坐标为，请在图中标出公园的位置． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】本题主要考查了直角坐标系，直角坐标系的各个象限内的点的坐标特征，正确理解每个知识点是解题的关键． （1）根据题目要求建立直角坐标系即可； （2）根据直角坐标系中象限内的点的坐标特征回答问题①②即可． 【详解】（1）如图： （2）①； ②如图： 【题型12 已知点的象限求参数】 高妙技法 按象限符号列参数不等式组，解后结合额外限制（如整数）筛选。 【典例1】点在第四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了已知点所在象限求参数，根据点P在第四象限，则其横坐标为正，纵坐标为负，据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴横坐标，纵坐标, 解得：, 解得：，即, ∴a的取值范围是, 故选B． 【变式1】若点在第三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，点位于第三象限时，横坐标和纵坐标均为负数，已知纵坐标为，只需横坐标，求解即可． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴横坐标，纵坐标（已满足）， ∴， 解得， 故选A． 【变式2】若点在第二象限，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D．不存在这样的 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系象限坐标特征，解不等式组，根据第二象限点的坐标特征，横坐标小于，纵坐标大于，列出不等式组，然后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得：， 故选：． 【题型13 坐标系中描出点的位置】 高妙技法 先横（x 轴找对应点作垂线）后纵（y 轴找对应点作垂线），交点即点的位置。 【典例1】如图，建立平面直角坐标系，使点的坐标分别为． (1)在图中画出平面直角坐标系； (2)写出点的坐标． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】（）以点为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系即可； （）根据（）所建立平面直角坐标系写出各点坐标即可； 本题考查了坐标与图形，正确建立平面直角坐标系是解题的关键． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示： （2）解：由图可得，． 【变式1】请在坐标系中描出下列各点：，，，，，，连接，，请判断这两条线与坐标轴的关系． 请归纳：有，，若，则 轴；若，则 轴． 【答案】画图见解析，， 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中的点，以及直线的位置关系，采用数形结合的方法是解题的关键．根据坐标进行描点，连接，，从坐标系中即可得出结果． 【详解】解：如图， 由图形知：轴，轴； 归纳：有，，若，则轴；若，则轴， 故答案为：，． 【变式2】在如图所示的平面直角坐标系中，描出下列各点，并将这些点依次用线段连接起来：，观察所描出的图形，它像什么？ 【答案】见解析，像一颗心 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标表示、描点作图及图形观察识别，解题的关键是准确根据点的横、纵坐标在坐标系中定位各点，再按指定顺序连接后观察图形形状． 先根据每个点的横坐标确定其在x轴上的对应位置，纵坐标确定其在y轴上的对应位置，依次在平面直角坐标系中描出点、、、、、；再按“”的顺序用线段将描出的点依次连接；最后观察连接后形成的图形，判断其像什么． 【详解】解：描点：在平面直角坐标系中，根据点的坐标定位—点横坐标为、纵坐标为，在x轴负半轴找到对应的点即为；点横坐标为、纵坐标为，在x轴正半轴找、y轴正半轴找，两线交点即为；同理依次描出、、、． 连线：按“”的顺序用线段依次连接各点． 观察图形：连接后形成的图形像一颗心． 【题型14 求平移后点的坐标】 高妙技法 横纵坐标遵循 “右加左减、上加下减”，多方向平移分步算。 【典例1】在平面直角坐标系中，将点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，得到的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标平移的规则：横坐标左减右加，纵坐标上加下减． 【详解】∵点向左平移个单位， ∴横坐标变为； ∵再向上平移个单位， ∴纵坐标变为； ∴平移后的点的坐标为． 故选：D． 【变式1】点在平面直角坐标系中的坐标为，将坐标系中的轴向上平移2个单位长度，轴向左平移3个单位长度，得到平面直角坐标系，在新坐标系中，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标与坐标系平移的关系．熟练掌握了平面直角坐标系中点的坐标与坐标系平移的关系是解题的关键． 坐标系平移时，点在新坐标系中的坐标可通过点相对于原坐标系进行相反的平移得到．轴向上平移2个单位，相当于点向下平移2个单位；轴向左平移3个单位，相当于点向右平移3个单位． 【详解】∵轴向上平移2个单位， ∴ 点的坐标减少2； ∵轴向左平移3个单位， ∴ 点的坐标增加3． ∴ 新坐标，，即点在新坐标系中的坐标为． 故选D． 【变式2】在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点B，则点B的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是坐标与图形变化-平移， “右移加，左移减，上移加，下移减”．利用点平移的坐标规律，把A点的横坐标加3，纵坐标减4即可得到点B的坐标． 【详解】解：点先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点B，则点B的坐标是，即． 故答案为：． 【题型15 由平移前后点的坐标确定平移的方式】 高妙技法 算横纵变化（新 - 原），正为右 / 上移，负为左 / 下移，整合方向和距离。 【典例1】在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点分别是，将线段平移后得到线段．若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的平移，其平移规则是：横坐标左减右加，纵坐标上加下减，平移的确定等知识；根据平移的性质，确定平移方式，进而根据平移方式确定点B的对应点的坐标即可． 【详解】解：确定平移：点平移后为，横坐标变化为，纵坐标变化为，故平移为向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度． 按此平移，点B平移后的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为； 故选：C． 【变式1】如图，，，，将线段平移，使点平移到点，点为点的对应点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，确定出平移规律是解题的关键．根据点、的坐标确定出平移规律，然后求解即可． 【详解】解：∵点的对应点是， ∴平移规律是横坐标减2，纵坐标加2， ∴点的对应点的坐标为． 故选：A． 【变式2】第一象限内有两点，，将线段平移，使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标平移，确定平移是解题的关键；分两种情况：点P平移后位于y轴上，此时平移由点P的横坐标与点Q的纵坐标共同确定；点P平移后位于x轴上，此时平移由点Q的横坐标与点P的纵坐标共同确定；根据平移的规律即可求解． 【详解】解：点P平移后位于y轴上，则点Q平移后位于x轴上； 则平移为：向左平移个单位，向下平移个单位， 而， 故此时点P平移后的坐标为； 点P平移后位于x轴上，则点Q平移后位于y轴上； 则平移为：向左平移个单位，向下平移个单位， 而， 故此时点P平移后的坐标为； 综上，点P平移后的坐标为或； 故选：D． 【题型16 图形在坐标系中的平移】 高妙技法 找图形关键点，按平移规律移关键点，顺次连接得新图形。 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若点，的坐标分别为，，平移后点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形平移的性质和点的坐标变化规律，解题关键点在于确定平移的方向和长度，混淆平移方向是本题的易错点；根据点平移前后的坐标，确定平移的方向和长度，再根据横纵坐标的变化求得的坐标即可． 【详解】∵平移后得， ∴横坐标，纵坐标；即向右平移个单位，再向上平移个单位， ∴平移后得． 故选A． 【变式1】如图，在中，点，，将向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与平移，熟练掌握平移的性质，是解题的关键，根据平移规则，进行求解即可． 【详解】解：由题意，点的对应点的坐标为，即：； 故选A． 【变式2】在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形，位置如图所示． (1)分别写出点A，的坐标：A ， ． (2)请说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的． (3)若点是三角形内部一点，则平移后对应点的坐标为，求m和n的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，三角形面积公式，得出对应点位置是解题关键． （1）根据已知图形可得答案； （2）由的对应点得平移规律，即可得到答案； （3）由（2）平移规律得出m、n的方程． 【详解】（1）解：由图知，， 故答案为：，； （2）解：的对应点得A向左平移5个单位，向上平移4个单位得到， 三角形是由三角形向左平移5个单位，向上平移4个单位得到． （3）解：内平移后对应点的坐标为， ∵的坐标为， ∴， ∴． 【题型17 巧用坐标求图形的面积】 高妙技法 规则图形（如矩形、三角形）用对应公式，不规则图形用割补法 。 【典例1】如图，已知在平面直角坐标系中，三角形ABC的位置如图所示. （1）请写出A、B、C三点的坐标； （2）你能想办法求出三角形ABC的面积吗？ （3）将三角形ABC向右平移6个单位，再向上平移2个单位，请在图中作出平移后的三角形A′B′C′，并写出三角形A′B′C′各点的坐标. 【答案】（1）A（0，4）；B（-2，2）；C（-1，1）；（2）2；（3）A'（6，6），B'（4，4），C'（5，3）． 【分析】（1）根据各点所在象限的符号和距坐标轴的距离可得各点的坐标； （2）通过补全法可求得S△ABC=2； （3）根据平移的规律，把△ABC的各顶点向右平移6个单位，再向上平移2个单位，顺次连接各顶点即为△A′B′C′；直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标． 【详解】（1）A（0，4）；B（-2，2）；C（-1，1）； （2）如图： 补成一个长方形，则S△ABC=S矩形ADFE-S△ADB-S△BCF-S△ACE=6-1.5-0.5-2=2； （3）如图， A'（6，6），B'（4，4），C'（5，3）． 【点睛】本题考查了作图---平移变换；难点在于直接计算△ABC的面积不好计算，但是可以用三角形所在的矩形面积减去多余三角形的面积计算得出所求三角形面积． 【变式1】如图所示，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，且与x轴的交点E的坐标为，求这个四边形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，过点作轴的垂线，过点，点分别作轴的垂线，分别与直线交于点，根据进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作轴的垂线，过点，点分别作轴的垂线，分别与直线交于点， ∵， ∴， ∴， ， ∴． 【变式2】在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)描出A、B、C三点位置，并连接、、； (2)把三角形向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，画出平移后的三角形并写出点的坐标；（其中点A的对应点是点，点B的对应点是点，点C的对应点是点）． (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)画图见解析， (3) 【分析】（1）根据点的坐标描点、连线即可； （2）根据平移的性质找出点、、的对应点、、的位置，顺次连接即可，然后根据所作图形写出点的坐标； （3）利用割补法计算即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）如图所示，其中． （3）的面积为． 【点睛】本题考查了作图—平移变换，坐标与图形，根据平移的性质找出对应顶点的位置是解题的关键． 【题型18 由图形的面积求点的坐标】 高妙技法 设待求点参数，用面积公式列方程，解后结合象限等限制筛选。 【典例1】如图，在直角坐标系中，已知、、三点，其中、、满足关系式． (1)求、、的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，是否存在点，使四边形的面积是的面积的3倍？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由？ 【答案】(1)，， (2)四边形的面积为 (3)存在，点的坐标为． 【分析】本题考查了坐标与图形性质，一元一次方程的运用，解题的关键是利用坐标计算线段的长度和判断线段与坐标轴的位置关系，也考查了三角形的面积公式． （1）根据绝对值、算术平方根，偶次方的非负性列式求解，即可得出、、的值； （2）利用三角形面积公式求出，，再根据四边形的面积为，即可解题； （3）利用三角形面积公式求出，再根据四边形的面积是的面积的3倍建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：、、满足关系式． ，，， 解得，，； （2）解：由（1）知，、、 ，， ， 第二象限内有一点， ， 四边形的面积为：； （3）解：存在， ， ， ， 四边形的面积是的面积的3倍， ， 解得， 点的坐标为． 【变式1】如图，．过点B作x轴的垂线，垂足为点M，在的延长线上截取． (1)写出点M的坐标； (2)平移线段，使点A移动到点C，画出平移后的线段，并写出点D的坐标； (3)若P为y轴上一点，且，求P点坐标． 【答案】(1)M的坐标为 (2)图见解析，D的坐标为 (3)点P的坐标为或 【分析】本题考查坐标与图形，坐标与平移，熟练掌握平移的性质，是解题的关键： （1）根据轴，直接写出点的坐标即可； （2）根据题意确定点的坐标，进而得到平移规则，确定点的坐标即可； （3）分割法求面积，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵，轴于点， ∴； （2）∵，， ∴， ∵点在直线上，且， ∴， ∴线段向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得到线段， 如图，线段即为所求；由图可知：D的坐标为； （3）如图，记线段交y轴于点N， 则． 设点P的坐标为，则：， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或． 【变式2】如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是（0，4）． (1)图中B点的坐标是______． (2)的面积是______． (3)如果点E在x轴上，且，那么点E的坐标是______． 【答案】(1)（-2,3）； (2)8； (3)（2,0）或（-2,0）． 【分析】（1）根据坐标的定义，判定即可； （2）用四边形PQCK的面积减去△ABP、△BCQ、△ACK的面积得到△ABC的面积； （3）设点E的横坐标为xE，则点E到AD的距离为，根据三角形面积相等求出的值，根据x轴上点的特点得出点E的坐标即可． 【详解】（1）； （2）如图所示： ； （3）∵，， ∵， ∴， ∴， ∴或． 【点睛】本题考查了坐标系中对称点的坐标确定，图形的面积计算，正确理解坐标的意义，适当添补图形是解题的关键． 【题型19 点的坐标规律探究】 高妙技法 列出多组点坐标，找横纵各自的变化规律（如循环、倍数）。 【典例1】如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点…按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点P的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查点的坐标规律，解题的关键是得到点的坐标变化规律；由坐标系可知：第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，第5次接着运动到点，第6次接着运动到点…..；由此可知：点的坐标变化规律为横坐标是连续的正整数，纵坐标按1、0、2、0重复循环下去，然后问题可求解． 【详解】解：由坐标系可知：第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，第5次接着运动到点，第6次接着运动到点…..；由此可知：点的坐标变化规律为横坐标是连续的正整数，纵坐标按1、0、2、0重复循环下去， ∵， ∴第2025次运动后，动点P的坐标为； 故选D． 【变式1】如图，在平面直角坐标系上有点，点第一次跳动至点，第二次向右跳动3个单位至点，第三次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，依此规律跳动下去，点第2025次跳动至的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平面直角坐标系，观察可知点的坐标为（其中，为正整数）． 【详解】点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，观察可知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，归纳得：点的坐标为（其中，为正整数）． ， 点的坐标为． 故选：C 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，长方形的四个顶点坐标分别为，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个单位长度，点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个单位长度，记点在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标变换，正确找出规律是解题的关键．根据点坐标计算长方形的周长为10，设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为，Q点走的路程为，根据题意列方程，即可求出经过2秒第一次相遇，进一步求出第一次、第二次、第三次……相遇点的坐标，直到找出五次相遇一循环，再用的结果即可求出第2025次相遇点的坐标． 【详解】解：，，，， ， 长方形的周长为， 设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为，Q点走的路程为， 根据题意得， 解得， ∴当时，P，Q第一次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 当时，P，Q第二次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 当时，P，Q第三次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 当时，P，Q第四次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 当时，P，Q第五次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 当时，P，Q第六次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 五次相遇循环一次， ， 点的坐标为． 故选：C． 【题型20 平面直角坐标系中新定义问题】 高妙技法 先理解新定义（如新运算、新规则），再结合坐标知识套用计算 。 【典例1】在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“角平分线点”． (1)点的“长距”为______： (2)若点是“角平分线点”，求的值； (3)若点的长距为，且点在第二象限内，点的坐标为，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)点是“角平分线点”，理由见解析． 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，理解新定义“长距”和“角平分线点”的含义，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）直接计算点到坐标轴距离的较大值； （2）根据“角平分线点”定义列方程求解； （3）先由点的长距和所在象限求出的值，再判断点的坐标是否满足“角平分线点”条件即可． 【详解】（1）解：∵点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴较大值为， ∴点的“长距”为， 故答案为：； （2）解：∵点是“角平分线点”， ∴， 即， ∴或 ， 解得或； （3）解：点是“角平分线点”，理由如下， ∵点的长距为，且点在第二象限内， ∴点的横坐标，纵坐标， 到轴的距离为，到轴的距离为， ∵点的长距为， ∴， 解得， ∴点的坐标为， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， 即点到轴和轴的距离相等， ∴点是“角平分线点”． 【变式1】在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”；较大值称为点P的“长距”；当点Q到x轴、y轴的距离相等时，则称点Q为“完美点”． (1)点到x轴的距离为　　，到y轴的距离为　　，点A的“短距”为　　． (2)若点是“完美点”，求a的值． (3)若点的长距为5，且点C在第三象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 【答案】(1)2，3，2 (2)或 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点到坐标轴的距离，解一元一次方程，弄清题意是解题的关键； （1）根据“短距”的定义解答即可； （2）根据完美点的定义可得，即可求出答案； （3）先根据“长距”是5求出b，进而得出点D的坐标，然后根据“完美点”的定义判断即可． 【详解】（1）解：点到x轴的距离为2，到y轴的距离为3． ∵点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”， 又∵，， ∴点的“短距”为2， 故答案为：2，3，2； （2）解：由条件可知， ∴或， 解得或． （3）解：点的长距为5，且点在第三象限内， ， 解得：， ， 点的坐标为， 点到轴、轴的距离都是8， 是“完美点”． 【变式2】在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值，则称，两点为“等距点”．如图中的两点即为“等距点”． (1)①已知点的坐标为，在点 中，为点的“等距点”的是___________； ②若点B的坐标为，，且两点为“等距点”，则点的坐标为___________； (2) ，两点为“等距点”，求的值． 【答案】(1)①E；② (2)1或2 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，此题属于阅读理解类型题目，首先读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题，难度较大，需要有扎实的基础，培养了阅读理解、迁移运用的能力． （1）①找到、轴距离最大为的点即可； ②先分析出直线上的点到x、y轴距离中有的点，再根据“等距点”概念进行解答即可； （2）先分析出直线上的点到x、y轴距离中有的点，再根据“等距点”概念进行解答即可． 【详解】（1）①点到x、y轴的距离中最大值为3， 点到x、y轴的距离中最大值为3， 点到x、y轴的距离中最大值为4， 点到x、y轴的距离中最大值为5， 与A点是“等距点”的点是E． ②点B的坐标为，，且两点为“等距点”， 当时，，点B的坐标为，不合题意， 当时，，点B的坐标为， 当时，即，点B的坐标为，不符合题意， 这些点中与A符合“等距点”的是． 故答案为①E；②； （2）两点为“等距点”， ①若时，则或 解得（舍去）或． ②若时，则 解得或（舍去）． 根据“等距点”的定义知，或符合题意． 即k的值是1或2． 【题型21平面直角坐标系中的动点问题】 高妙技法 设动点坐标（含参数），结合条件（如距离、位置）列方程，分析参数范围 。 【典例1】如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为，，点C在y轴上，且轴，a、b满足，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动(回到O为止)． (1)直接写出点A、B、C的坐标； (2)当点P运动3秒时，点P的坐标为_______； (3)在移动过程中，当点P到x轴距离为3个单位长度时，求出点P的移动时间？ 【答案】(1)，， (2) (3)点的移动时间为3秒或秒 【分析】本题考查了平面直角坐标系的坐标确定、点的运动路径与距离计算，解题的关键是利用非负数的性质求出、的值，结合点的运动路径分析各阶段位置． （1）由非负数的性质得、，再据轴确定的坐标； （2）计算3秒运动的距离，结合各段路径长度确定点的位置； （3）分段和段两种情况，据到轴距离求出路径长，进而算时间． 【详解】（1）解：∵， ∴，，得，， ∴，， ∵轴，在轴上， ∴ （2）解：点3秒运动的距离：，，，， ∴在段，从出发走了， 故答案为： （3）解：①当在段时，到轴距离为3， 路径长：，时间：（秒）； ②当在段时，到轴距离为3， 路径长：，时间：（秒）； 答：点的移动时间为3秒或秒． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、．将线段先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接、． (1)直接写出坐标：点C（          ），点D（          ）； (2)M、N分别是线段、上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)若，设点P是x轴正半轴上一动点（不与点B重合），问与存在怎样的数量关系？请写出结论并说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或，理由见详解 【分析】本题考查坐标与图形变化–平移，掌握平移变换的性质，学会用分类讨论的思想思考问题是解题的关键． （1）根据点的坐标平移规律，即可求解； （2）设时间为t，根据轴，即M、N两点纵坐标相等，列方程，即可求解； （3）根据点P在x轴正半轴上的不同位置分为两种情况，结合三角形内角和以及四边形内角和，即可求解． 【详解】（1）解：将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度， 可得，． （2）设秒后轴， 根据题意，可得， 解得， 经过秒后，轴． （3）①如图，当点在线段上（不与点B重合）时， ； ②如图，当点在点的右侧时，， ； 综上所述，可知与的关系为或． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，将线段平移后得到线段，点在轴上，连接、，交轴于点，轴． (1)直接写出点、点的坐标； (2)点为线段上一点，点的横坐标为，连接、，用含的式子表示三角形的面积（不要求写出取值范围）； (3)在（2）的条件下，线段与线段重合（点与点重合，点与点重合），将线段沿轴向下平移，连接、、、、，当的面积比的面积大2时，，求点的坐标．（直接写出答案，无需解题过程） 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移、坐标与图形性质及三角形面积计算，解题关键是利用平移性质确定点的坐标，结合坐标特征分析图形关系并计算． （1）由轴得纵坐标与相同，结合平移后在轴，通过平移量确定、坐标； （2）根据的横坐标，结合、坐标，用三角形面积公式列式； （3）设平移距离，结合面积关系列方程求平移量，再利用建立等式求，得坐标． 【详解】（1）解：∵点平移后在轴上， ∴点先向右平移4个单位， ∵轴， ∴点纵坐标为2， ∴点向上平移2个单位， ∴平移规则为，先向右平移4个单位，再向上平移2个单位， ∴． （2）解：如图： ∵ ∴， ∵的横坐标为， ∴的面积为． （3）解：当在上时，如图： 设，则， 的面积比三角形的面积大2， 解得， ∴， ∴； 当在的延长线上时，如图： 设，则， ∵的面积比三角形的面积大2， ∴， 解得：， ∴， ∴， 综上：或． 一、选择题 1．（24-25八年级上·上海松江·月考）在平面直角坐标系中，点到轴的距离是（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查点到坐标轴的距离，解题的关键是熟知坐标点的含义．点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值． 【详解】解：∵点的纵坐标为3， ∴点A到x轴的距离为． 故选：B． 2．（24-25八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，点位于第二象限，的值可能是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据点所在的象限求参数．根据第二象限点的坐标特征（横坐标为负，纵坐标为正），判断的取值范围，再对比选项． 【详解】解：点位于第二象限， 横坐标，纵坐标． 选项A、B、C均不大于0，只有选项D中的， 故选：D． 3．在平面直角坐标系中，若点在第二、四象限的角平分线上，则m的值为（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】此题考查了坐标系中点的规律． 由题意可得点的横坐标和纵坐标互为相反数，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵点在第二、四象限的角平分线上， ∴点的横坐标和纵坐标互为相反数， ∴ 解得， 故选：A． 4．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则点在（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】B 【分析】本题主要考查点的坐标，解题的关键是掌握平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号特点；由点在第二象限，可得，；再计算点的坐标符号，判断所在象限． 【详解】解：因为点在第二象限， 所以， ，则； 又因为； 所以点的横坐标为负，纵坐标为负，点在第三象限． 故选B． 5．（2025八年级上·上海·专题练习）下列说法不正确的是（   ） A．若，则点到轴、轴的距离相等 B．已知点，，则轴 C．若满足，则点在轴上 D．点一定在第二象限 【答案】C 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，包括点到坐标轴的距离、点与点的位置关系、坐标轴上点的特征以及象限内点的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．根据各象限角平分线上点的坐标特征，坐标轴上点的坐标特征以及点到轴的距离等于横坐标的长度对各选项分析判断即可得解． 【详解】解： A、∵点到轴的距离为，到轴的距离为， 若，则， ∴，即距离相等，此选项正确，故不符合题意； B、∴点，的纵坐标相同， ∴轴，此选项正确，故不符合题意； C、∵若，则或，点在轴或轴上， ∴不一定在轴上，此选项不正确，故符合题意； D、∵，， ∴点A在第二象限，此选项正确，故不符合题意； 故选：C． 6．在平面直角坐标系中，若点与点的连线与轴平行，则的值是（　　） A．7 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，掌握与轴平行的点的坐标特点是解题的关键； 由于点与点的连线与轴平行，因此两点的纵坐标相等． 【详解】解：∵ 点与点的连线与轴平行， ∴ 点的纵坐标等于点的纵坐标，即 ， ∴ ； 故选：B． 7．若第二象限内的点满足，，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系，绝对值，平方根．根据第二象限内点坐标的特征，结合，确定横、纵坐标的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴， 又∵点P在第二象限， ∴， ∴，， ∴点P的坐标为， 故选：C． 8．（2025八年级上·上海·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，三角形沿x轴向右平移后得到三角形，点A的对应点到x轴、y轴的距离相等，则点B与其对应点间的距离为（   ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征以及坐标与图形变化－平移，利用平移的性质及点的坐标特征，连接，利用平移的性质可得出，且轴，利用点到x轴、y轴的距离相等可得出点的坐标，结合点的坐标可得出的值，此题得解． 【详解】解：连接，如图所示， ∵点A的坐标为，三角形沿x轴向右平移后得到三角形， ∴，且轴， ∵点A的对应点到x轴、y轴的距离相等， ∴点的坐标为， ∴． 故选：B． 二、填空题 9．（2025八年级上·上海·专题练习）已知点N先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，恰好落在原点上，则点N的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移规律，根据坐标平移规律，向左平移横坐标减少，向下平移纵坐标减少，平移后点落在原点，列出方程求解． 【详解】解：设点N的坐标为，向左平移2个单位长度，横坐标变为；向下平移3个单位长度，纵坐标变为，平移后点落在原点，因此有： ，， 解得，， ∴点N的坐标为． 故答案为：． 10．在平面直角坐标系中，若点，且，，则点M位于第 象限． 【答案】 三 【分析】本题考查了点的坐标，首先根据，得出，或，，然后由平面直角坐标系特点即可求解，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限， 【详解】解：∵， ∴，或，， 又∵， ∴， ∴点位于第三象限， 故答案为：三． 11．在平面直角坐标系中，把点先向左移动3个单位，再向上移动3个单位后得到的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的平移规律． 根据点的平移规则，向左平移横坐标减少，向上平移纵坐标增加，计算即可． 【详解】解：点向左平移3个单位，得到点，即； 再向上平移3个单位，得到点，即； 故答案为：． 12．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，某点从原点出发，向右平移个单位长度到达，再向上平移个单位长度到达，再向左平移个单位长度到达，再向下平移个单位长度到达，再向右平移个单位长度到达，，按此规律进行下去，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，规律型问题，根据题意可得，，，，，，，，，则有，则有点的坐标是，解题的关键是学会探究规律的方法． 【详解】解：由题意可得，，，， ，，，， ， ∴， ∴点的坐标是， 故答案为：． 13．如图，在平面直角坐标系中，，，直线轴，垂足为点，点P为直线上一动点，当时，则点P坐标 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，设点P的坐标为，根据点的坐标可得，，；再分点P在点B上方，点P在点B下方，且在x轴上方和点P在x轴下方三种情况，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵，，， ∴，，， 如图所示，当点P在点B上方时， ∵， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在点B下方，且在x轴上方时， ∵， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在x轴下方时， ∵， ∴， 解得（舍去）； 综上所述，点P的坐标为或， 故答案为：或． 三、解答题 14．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，已知火车站的坐标为，文化馆的坐标为． (1)请你根据题目条件，在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)直接写出体育场，市场，超市的坐标； (3)已知游乐场与图书馆相距3个单位长度，轴，，请在图中标出，的位置，并写出点坐标． 【答案】(1)见解析； (2)体育场；市场；超市； (3)见解析，或． 【分析】本题考查平面直角坐标系的建立与点的坐标表示，解题的关键是根据已知点的坐标确定平面直角坐标系的原点、坐标轴方向和单位长度． （1）根据已知点的坐标确定原点的坐标，确定出平面直角坐标系； （2）根据（1）的图形写出各点的坐标； （3）根据坐标系分别标出的位置，写出点坐标即可． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示： （2）解：根据坐标系可得：体育场；市场；超市 （3）解：如图： 轴，， 点的横坐标与点相同，为1． 又 与相距3个单位长度， 当在上方时，点的纵坐标为，即， 当在下方时，点的纵坐标为，即． 综上，点坐标为或． 15．在如图所示的平面直角坐标系中描出下列各点，然后解答问题： ，，，，，． (1)A点到原点的距离是______个单位长度； (2)将点向左平移6个单位，它会与点______重合； (3)连接，则直线与轴是什么位置关系？ (4)点F到、轴的距离分别是多少？ 【答案】(1) (2) (3)平行 (4)7 ；5． 【分析】此题主要考查了点的坐标性质以及平移的性质，根据坐标系得出各点的位置是解题关键． （1）根据点坐标可得出点在轴上，即可得出点到原点的距离； （2）根据点的平移的性质得出平移后的位置； （3）利用图形性质得出直线与轴的位置关系； （4）利用点的横纵坐标得出点分别到、轴的距离． 【详解】（1）如图所示：点到原点的距离是3； 故答案为3； （2）将点左平移个单位，它与点重合； 故答案为； （3）点和点的横坐标相同，所以直线平行于轴， （4）因为，所以点到轴的距离为7、到轴的距离为5． 16．已知在平面直角坐标系中，点的坐标是． (1)若点到轴的距离是2，到轴的距离是4，求点的坐标； (2)若在第二象限的点到轴的距离是到轴距离的3倍，且，求点的坐标； (3)若在第四象限的点到两坐标轴的距离相等，且，求点的坐标． 【答案】(1)或或或 (2) (3) 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征（点到坐标轴的距离、象限内点的符号规律）；解题关键是结合点到坐标轴的距离与坐标的关系、象限符号特点分析计算． （1）利用“点到轴距离是纵坐标绝对值、到轴距离是横坐标绝对值”，得，列举出所有坐标； （2）结合第二象限点的符号，由距离关系得，代入解方程得坐标； （3）结合第四象限点的符号，由距离相等得，代入解方程得坐标． 【详解】（1）点到轴的距离是2，到轴的距离是4， ， ， 点的坐标是或或或． （2）在第二象限， 点到轴的距离是到轴距离的3倍， ， ， 解得， 点的坐标是． （3）在第四象限， 点到两坐标轴的距离相等， ， ， ， 解得或（舍去）， 当时，， 点的坐标是． 17．在平面直角坐标系中，的位置如图（每个小正方形边长均为1）． (1)直接写出，，三点的坐标； (2)请画出沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移3个单位长度后的（其中，，分别是，，的对应点，不写画法）； (3)求平移过程中线段扫过的面积． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平面直角坐标系点的特征，平移的性质，熟悉掌握平移的方法是解题的关键． （1）根据平面直角坐标系直接写出点的坐标即可； （2）根据题意平移即可； （3）分别求出向作平移和向上平移扫过的面积即可． 【详解】（1）解：由图可得：，，； （2）解：沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移3个单位长度后如图所示：即为所求， （3）解：沿轴向左平移个单位长度扫过的面积， 沿轴向上平移3个单位长度扫过的面积， 所以扫过的面积为． 18．如图，在平面直角坐标系中，长方形的边、分别在轴、轴上，点在第一象限，点的坐标是，． (1)直接写出点、点的坐标． (2)点从原点出发，在边上以每秒1个单位长度的速度匀速向点运动，同时点从点出发，在边上以每秒2个单位长度的速度匀速向点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为秒，探究下列问题： ①当为多少时，直线轴？ ②在整个运动过程中，能否使得四边形的面积是长方形的面积的？若能，请直接写出P、Q两点的坐标；若不能，说明理由 【答案】(1)， (2)①；②， 【分析】此题主要考查了长方形的性质，长方形的面积公式，梯形的面积公式，利用方程的思想解决问题是解本题的关键． （1）先求出点C的坐标，再利用矩形的性质求出点B的坐标； （2）①利用轴得出建立方程求解即可；②先求出长方形的面积，再表示出梯形的面积，进而建立方程求出时间t即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 四边形是长方形，点的坐标是， ， （2）解：①由题意得，， ， ，， 轴， ， 四边形是长方形， ， ， 当值为秒时，直线轴； ②，， ， 由运动知，，， ， ∴梯形的面积 ， 四边形的面积是长方形的面积的， ， ， ， ，． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面直角坐标系 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点一 ：平面直角坐标系 1、平面直角坐标系的概念：：在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系．水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点． 2、坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． 3、平面内特殊位置的点的坐标特征 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0； ③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）与坐标轴平行（垂直）的直线上的点的坐标特征： ①平行与x轴（垂直与y轴）的直线上的点：纵坐标相等； ②平行与y轴（垂直与x轴）的直线上的点：横坐标相等； （4）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 4、点的坐标的几何意义： 点P（a,b）到x轴的距离是,到y轴的距离是． 知识点二 ：平面直角坐标系的应用 1、用坐标表示地理位置： （1）确定物体的位置的方法有很多，其中可以用有序数对来表示物体的位置，还可以用平面直角坐标系中的点的坐标来确定物体的位置.解决问题时要根据实际情况来选择表示方法，确定物体的位置时数据不能少于两个. （2）利用平面直角坐标系表示地理位置的方法： ①建立坐标系，选择一个合适的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向. ②根据实际问题确定适当的单位长度，并在坐标轴上标出单位长度. ③在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称. （3）在航海和测绘中，经常用方向角和距离来刻画平面内两个物体的相对位置，通常以北偏东（西）或南偏东（西）确定方向角. 2、用坐标表示点的平移： （1）平面直角坐标系中的点的坐标平移的变化规律：将点左右平移纵坐标不变，上下平移横坐标不变. （2）图形的平移坐标变化规律： 在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） （3）作图-平移变换 ①确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离． ②作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 【题型1 用有序数对表示位置】 高妙技法 用有序数对表示位置的关键是“顺序”和“参照系”：必须明确前后两个数分别代表什么（如列与行、经度与纬度），且顺序不可颠倒，否则位置就不同。 【典例1】小明在教室的座位是第3列第5行，若用有序数对表示为，那么小华坐在第5列第2行应表示为（　　） A． B． C． D． 【变式1】如果图书上的标签表示图书馆书架上的“2层5格”，那么“5层2格”应该表示为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·广东河源·期中）王伟坐在教室的第5列、第6排，他的位置用数对表示，李林坐在教室的第7列、第2排，他的位置用数对表示．张乐与李林在同一列，在王伟的前一排，张乐的位置用数对表示是（   ） A． B． C． D． 【题型2 用有序数对表示路线】 高妙技法 用有序数对表示路线的核心是：明确参照系、按顺序记录每一步的坐标变化，并确保数对中的“有序”特性不被颠倒。 【典例1】（25-26七年级上·北京·月考）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B（，），从B到A记为：B→A（，），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中： (1)A→C（______，______），B→D（______，______）； (2)若这只甲虫从A处出发去甲虫N处的行走路线依次为，，，，请在图中标出依次行走停留点E、F、M、N的位置． 【变式1】如图，用表示点A的位置． (1)和分别表示点______和点______； (2)图中D，E两点的位置分别表示成______和______； (3)若从点A运动到点B有这样一条路径：．请写出另一条由点A到点B的路径：→______→______→______→______→． 【变式2】如图，有一个机器人在网格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从点处出发，规定：向上或向右走均为正，向下或向左走均为负．如：从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)根据图中位置，从到应记为：（______，______），从到应记为：（______，______）； (2)若机器人从处去处的行走路线依次为，，，． ①点的坐标为（______，______）； ②求机器人按上述路线从处去处行走的路程． (3)若图中另有两个点，，且，，则从到应记为：（______，______）． 【题型3 象限内点的坐标】 高妙技法 熟记四个象限符号（一 ﹢﹢、二 ﹣ ﹢、三 ﹣﹣、四﹢﹣），结合横纵坐标关系（如倍数）确定坐标 【典例1】（2025八年级上·上海·专题练习）在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内，则目标的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·河南平顶山·期中）已知，长方形在坐标平面内的位置如图所示，边和分别在x轴和y轴上，则点A的坐标为（   ） A．4 B．6 C． D． 【变式2】（25-26七年级上·北京·期中）方格纸上有A，B两点，若以点A为原点建立平面直角坐标系，则点B的坐标为，若以点B为原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 【题型4 判断点所在的象限】 高妙技法 提取横纵坐标，对照象限符号，排除坐标轴上的点（横 / 纵坐标为 0） 【典例1】（25-26八年级上·浙江金华·期中）在平面直角坐标系中，点在（   ） A．轴正半轴上 B．轴负半轴上 C．轴正半轴上 D．轴负半轴上 【变式1】在平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·湖南·期末）在平面直角坐标系中，点一定在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型5 坐标轴上的坐标】 高妙技法 x 轴点纵坐标为 0（(a,0)），y 轴点横坐标为 0（(0,b)），列方程求参数 。 【典例1】（25-26八年级上·全国·期末）若点在平面直角坐标系的x轴上，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·四川成都·期中）若点在y轴上，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】若点在x轴上，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型6 平行于坐标轴的直线上的点的坐标】 高妙技法 平行 x 轴→纵坐标相同，平行 y 轴→横坐标相同，用此求坐标或算距离。 【典例1】已知点，轴，且，则点坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1】已知轴，且点A的坐标为，点B的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】在平面直角坐标系中： （1）若点M（m﹣6，2m+3），点N（5，2），且MN∥y轴，求M的坐标； （2）若点M（a，b），点N（5，2），且MN∥x轴，MN＝3，求M的坐标； （3）若点M（m﹣6，2m+3）到两坐标轴的距离相等求M的坐标． 【题型7 角平分线上的点的坐标】 高妙技法 一、三象限→横纵坐标相等（x=y），二、四象限→横纵坐标相反（x=-y），代入列方程。 【典例1】已知点P（5a+7，6a+2）在一、三象限的角平分线上，则a＝　 ． 【变式1】在平面直角坐标系中，点A（x，y）的坐标满足方程3x﹣y＝4，当点A在第四象限，且OA是两坐标轴的角平分线，点A的坐标为 　 　． 【变式2】解答下列问题： （1）若点（5﹣a，a﹣3）在第一、三象限的角平分线上，求a的值． （2）已知两点A（﹣3，m）、B（n，4），若AB∥x轴，求m的值，并确定n的范围． （3）点P到x轴和y轴的距离分别是3和4，求P点的坐标． 【题型8 点的坐标与点到坐标轴的距离】 高妙技法 到 x 轴距离 =| 纵坐标 |，到 y 轴距离 =| 横坐标 |，由距离列绝对值方程求坐标。 【典例1】在平面直角坐标系中，若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（） A． B． C． D． 【变式1】点到轴的距离是，到轴的距离是，且在轴的左侧，则点的坐标是（ ） A． B． C．或 D． ， 【变式2】已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点在轴上，求此时点的坐标； (2)若点在过点且与轴平行的直线上，求此时的值； (3)若点到轴的距离与到轴的距离相等，求点的坐标． 【题型9 实际问题中的坐标表示】 高妙技法 选原点、定方向（上北下南）、设单位，按位置算横纵坐标。 【典例1】如图，小东去游乐场游玩，他根据游乐场的地图建立了平面直角坐标系，并标注了自己最想游玩的三个项目的位置，若旋转木马位于点，过山车位于点，则摩天轮位于点（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，如果“马”在点，“车”在点，则“帅”所在点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】2025年7月，山西省文化和旅游厅启动了“晋享清凉·活力一夏”山西好风光暑期大放送系列活动，长治市积极响应，在各景区推出丰富多彩的活动．如图所示是长治市部分景区的平面示意图，若将其放在平面直角坐标系中，表示黄崖洞和漳泽湖国家城市湿地公园两点的坐标分别为，，则表示八泉峡的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型10 用方向角和距离表示物体位置】 高妙技法 方向角以南北为基准（如北偏东 α°），结合距离，可转坐标 。 【典例1】如图，下列能准确描述小明家相对于学校位置的是（   ） A．距离学校米处 B．南偏西方向米处 C．北偏东方向米处 D．南偏西方向米处 【变式1】一艘轮船在港口的北偏西方向，距离港口处，若以港口O为观测点，用方位角和距离描述该船相对于港口的位置是（    ） A．北偏东， B．北偏西， C．北偏东， D．北偏西， 【变式2】如图，雷达探测器测得六个目标出现．按照规定的目标表示方法，目标的位置表示为 (1)按照此方法表示目标的位置． A：       B： D：      E： (2)若目标C的实际位置是北偏西距观测站1800米，目标F的实际位置是南偏西距观测站1500米，写出目标A、B、C、D的实际位置． (3)在（2）的条件下，若另有目标G在东南方向距观测站750米处，目标H在北偏东距观测站900米处，写出G、H的位置表示． 【题型11 根据方位描述确定物体的位置】 高妙技法 找参照点，建方向坐标系，按方向和距离定位，复杂方位分步推。 【典例1】如图，在正方形网格中，点B在点A的南偏东方向上，则点B的位置可能是（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 【变式1】看图回答问题． (1)小明家在学校的_____方向上，估一估小明家距离学校约_____米．（填整百数） (2)书店在学校_________方向上． (3)超市在学校东北方向米处，请用▲在图中标出它的位置． 【变式2】某市的局部区域示意图如图所示，其中每个小正方形的边长均为1个单位长度． (1)若超市的坐标为，图书馆的坐标为，请在图中建立合适的平面直角坐标系； (2)在（1）的前提下， ①写出博物馆的坐标； ②若公园的坐标为，请在图中标出公园的位置． 【题型12 已知点的象限求参数】 高妙技法 按象限符号列参数不等式组，解后结合额外限制（如整数）筛选。 【典例1】点在第四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若点在第三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】若点在第二象限，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D．不存在这样的 B． 【题型13 坐标系中描出点的位置】 高妙技法 先横（x 轴找对应点作垂线）后纵（y 轴找对应点作垂线），交点即点的位置。 【典例1】如图，建立平面直角坐标系，使点的坐标分别为． (1)在图中画出平面直角坐标系； (2)写出点的坐标． 【变式1】请在坐标系中描出下列各点：，，，，，，连接，，请判断这两条线与坐标轴的关系． 请归纳：有，，若，则 轴；若，则 轴． 【变式2】在如图所示的平面直角坐标系中，描出下列各点，并将这些点依次用线段连接起来：，观察所描出的图形，它像什么？ 【题型14 求平移后点的坐标】 高妙技法 横纵坐标遵循 “右加左减、上加下减”，多方向平移分步算。 【典例1】在平面直角坐标系中，将点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，得到的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】点在平面直角坐标系中的坐标为，将坐标系中的轴向上平移2个单位长度，轴向左平移3个单位长度，得到平面直角坐标系，在新坐标系中，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点B，则点B的坐标是 ． 【题型15 由平移前后点的坐标确定平移的方式】 高妙技法 算横纵变化（新 - 原），正为右 / 上移，负为左 / 下移，整合方向和距离。 【典例1】在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点分别是，将线段平移后得到线段．若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，，，，将线段平移，使点平移到点，点为点的对应点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】第一象限内有两点，，将线段平移，使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D．或 【题型16 图形在坐标系中的平移】 高妙技法 找图形关键点，按平移规律移关键点，顺次连接得新图形。 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若点，的坐标分别为，，平移后点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，点，，将向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形，位置如图所示． (1)分别写出点A，的坐标：A ， ． (2)请说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的． (3)若点是三角形内部一点，则平移后对应点的坐标为，求m和n的值． 【题型17 巧用坐标求图形的面积】 高妙技法 规则图形（如矩形、三角形）用对应公式，不规则图形用割补法 。 【典例1】如图，已知在平面直角坐标系中，三角形ABC的位置如图所示. （1）请写出A、B、C三点的坐标； （2）你能想办法求出三角形ABC的面积吗？ （3）将三角形ABC向右平移6个单位，再向上平移2个单位，请在图中作出平移后的三角形A′B′C′，并写出三角形A′B′C′各点的坐标. 【变式1】如图所示，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，且与x轴的交点E的坐标为，求这个四边形的面积． 【变式2】在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)描出A、B、C三点位置，并连接、、； (2)把三角形向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，画出平移后的三角形并写出点的坐标；（其中点A的对应点是点，点B的对应点是点，点C的对应点是点）． (3)求的面积． 【题型18 由图形的面积求点的坐标】 高妙技法 设待求点参数，用面积公式列方程，解后结合象限等限制筛选。 【典例1】如图，在直角坐标系中，已知、、三点，其中、、满足关系式． (1)求、、的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，是否存在点，使四边形的面积是的面积的3倍？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由？ 【变式1】如图，．过点B作x轴的垂线，垂足为点M，在的延长线上截取． (1)写出点M的坐标； (2)平移线段，使点A移动到点C，画出平移后的线段，并写出点D的坐标； (3)若P为y轴上一点，且，求P点坐标． 【变式2】如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是（0，4）． (1)图中B点的坐标是______． (2)的面积是______． (3)如果点E在x轴上，且，那么点E的坐标是______． 【题型19 点的坐标规律探究】 高妙技法 列出多组点坐标，找横纵各自的变化规律（如循环、倍数）。 【典例1】如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点…按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点P的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在平面直角坐标系上有点，点第一次跳动至点，第二次向右跳动3个单位至点，第三次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，依此规律跳动下去，点第2025次跳动至的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，长方形的四个顶点坐标分别为，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个单位长度，点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个单位长度，记点在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型20 平面直角坐标系中新定义问题】 高妙技法 先理解新定义（如新运算、新规则），再结合坐标知识套用计算 。 【典例1】在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“角平分线点”． (1)点的“长距”为______： (2)若点是“角平分线点”，求的值； (3)若点的长距为，且点在第二象限内，点的坐标为，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 【变式1】在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”；较大值称为点P的“长距”；当点Q到x轴、y轴的距离相等时，则称点Q为“完美点”． (1)点到x轴的距离为　　，到y轴的距离为　　，点A的“短距”为　　． (2)若点是“完美点”，求a的值． (3)若点的长距为5，且点C在第三象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”． 【变式2】在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值，则称，两点为“等距点”．如图中的两点即为“等距点”． (1)①已知点的坐标为，在点 中，为点的“等距点”的是___________； ②若点B的坐标为，，且两点为“等距点”，则点的坐标为___________； (2) ，两点为“等距点”，求的值． 【题型21平面直角坐标系中的动点问题】 高妙技法 设动点坐标（含参数），结合条件（如距离、位置）列方程，分析参数范围 。 【典例1】如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为，，点C在y轴上，且轴，a、b满足，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动(回到O为止)． (1)直接写出点A、B、C的坐标； (2)当点P运动3秒时，点P的坐标为_______； (3)在移动过程中，当点P到x轴距离为3个单位长度时，求出点P的移动时间？ 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、．将线段先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接、． (1)直接写出坐标：点C（          ），点D（          ）； (2)M、N分别是线段、上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴？ (3)若，设点P是x轴正半轴上一动点（不与点B重合），问与存在怎样的数量关系？请写出结论并说明理由． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，将线段平移后得到线段，点在轴上，连接、，交轴于点，轴． (1)直接写出点、点的坐标； (2)点为线段上一点，点的横坐标为，连接、，用含的式子表示三角形的面积（不要求写出取值范围）； (3)在（2）的条件下，线段与线段重合（点与点重合，点与点重合），将线段沿轴向下平移，连接、、、、，当的面积比的面积大2时，，求点的坐标．（直接写出答案，无需解题过程） 一、选择题 1．（24-25八年级上·上海松江·月考）在平面直角坐标系中，点到轴的距离是（    ） A．4 B．3 C． D． 2．（24-25八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，点位于第二象限，的值可能是（    ） A． B． C．0 D． 3．在平面直角坐标系中，若点在第二、四象限的角平分线上，则m的值为（　　） A． B． C． D．2 4．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则点在（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 5．（2025八年级上·上海·专题练习）下列说法不正确的是（   ） A．若，则点到轴、轴的距离相等 B．已知点，，则轴 C．若满足，则点在轴上 D．点一定在第二象限 6．在平面直角坐标系中，若点与点的连线与轴平行，则的值是（　　） A．7 B． C． D． 7．若第二象限内的点满足，，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 8．（2025八年级上·上海·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，三角形沿x轴向右平移后得到三角形，点A的对应点到x轴、y轴的距离相等，则点B与其对应点间的距离为（   ） A． B．3 C．4 D．5 二、填空题 9．（2025八年级上·上海·专题练习）已知点N先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，恰好落在原点上，则点N的坐标为 ． 10．在平面直角坐标系中，若点，且，，则点M位于第 象限． 11．在平面直角坐标系中，把点先向左移动3个单位，再向上移动3个单位后得到的点的坐标是 ． 12．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，某点从原点出发，向右平移个单位长度到达，再向上平移个单位长度到达，再向左平移个单位长度到达，再向下平移个单位长度到达，再向右平移个单位长度到达，，按此规律进行下去，点的坐标是 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，，，直线轴，垂足为点，点P为直线上一动点，当时，则点P坐标 ． 三、解答题 14．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，已知火车站的坐标为，文化馆的坐标为． (1)请你根据题目条件，在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)直接写出体育场，市场，超市的坐标； (3)已知游乐场与图书馆相距3个单位长度，轴，，请在图中标出，的位置，并写出点坐标． 15．在如图所示的平面直角坐标系中描出下列各点，然后解答问题： ，，，，，． (1)A点到原点的距离是______个单位长度； (2)将点向左平移6个单位，它会与点______重合； (3)连接，则直线与轴是什么位置关系？ (4)点F到、轴的距离分别是多少？ 16．已知在平面直角坐标系中，点的坐标是． (1)若点到轴的距离是2，到轴的距离是4，求点的坐标； (2)若在第二象限的点到轴的距离是到轴距离的3倍，且，求点的坐标； (3)若在第四象限的点到两坐标轴的距离相等，且，求点的坐标． 17．在平面直角坐标系中，的位置如图（每个小正方形边长均为1）． (1)直接写出，，三点的坐标； (2)请画出沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移3个单位长度后的（其中，，分别是，，的对应点，不写画法）； (3)求平移过程中线段扫过的面积． 18．如图，在平面直角坐标系中，长方形的边、分别在轴、轴上，点在第一象限，点的坐标是，． (1)直接写出点、点的坐标． (2)点从原点出发，在边上以每秒1个单位长度的速度匀速向点运动，同时点从点出发，在边上以每秒2个单位长度的速度匀速向点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为秒，探究下列问题： ①当为多少时，直线轴？ ②在整个运动过程中，能否使得四边形的面积是长方形的面积的？若能，请直接写出P、Q两点的坐标；若不能，说明理由 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $