期末专题04 图形的相似的十类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版九年级上学期

期末专题04 图形的相似的十类综合题型 目录 典例详解 类型一、成比例线段 类型二、平行线分线段成比例 类型三、相似多边形 类型四、相似三角形的判定 类型五、利用相似三角形测高 类型六、利用相似三角形的性质求解 类型七、相似三角形的判定与性质综合 类型八、图形的位似 类型九、相似三角形----动点问题 类型十、作图 压轴专练 类型一、成比例线段 1. 找准对应关系，灵活设元 明确比例线段的对应端点，避免混淆顺序。遇到比例未知时，设公比为k（如a:b:c = m:n:p，设a=mk、b=nk、c=pk），将线段长度转化为含k的代数式，代入已知条件求解k，进而得到线段长度。 2. 巧用性质转化，结合图形 熟练运用比例的基本性质（内项积等于外项积）、合比性质、分比性质化简等式。若涉及几何图形，结合平行线分线段成比例定理或相似三角形性质，将分散的线段比例关联起来，化难为易。 例1．（25-26九年级上·浙江温州·期末）下面四组线段中不能成比例线段的是（    ） A．3、6、2、4 B．4、6、8、10 C．1、、、 D．、、2、 【答案】B 【分析】本题考查了成比例线段的概念．在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段． 根据成比例线段的概念，对选项进行一一分析，即可得出答案． 【详解】解：A．，能成比例； B．，不能成比例； C．能成比例； D．，能成比例． 故选B 【变式1-1】（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图，线段上的一点把分割为两条线段，，当满足时，则称点是线段的黄金分割点．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上（的长为米），则满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割，掌握相关知识是解决问题的关键．的长为米，则长为米，根据列方程即可． 【详解】解：的长为米，则长为米， 根据得： ， ∴． 故选：A． 【变式1-2】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了比例的性质，由已知比例可得，再把代入所求表达式中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江温州·期末）已知，满足， (1)求的值； (2)若且线段是长为，的线段的比例中项，求线段的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解题的关键． （）设 ，则，，然后代入即可求解； （）由（）得，，则，所以，，，又线段是线段，的比例中项，所以， 然后求出的值即可． 【详解】（1）解：设，则，， ∴； （2）解：由（）得，， ∵， ∴， ∴，，， ∵线段是线段，的比例中项， ∴， ∴（负值已舍去）． 类型二、平行线分线段成比例 1. 找平行线构比例 先识别图中平行线，确定被截的两条直线，依据定理直接写出对应线段比例式；若平行线不明显，可作辅助平行线，构造符合定理的基本图形，注意线段的对应关系，避免混淆。 2. 结合相似三角形转化 平行线分线段成比例常与相似三角形结合，由平行线证三角形相似，将比例式转化为相似三角形的对应边比例，或利用比例式求未知线段长，计算时注意等量代换简化过程。 例2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，直线，分别交，，于点A，B，C；分别交，，于点D，E，F．若，，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】D 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据，即可得出，求出，进而可得出． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：D 【变式2-1】（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即， 解得：， 故答案为：． 【变式2-2】（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，在中，，，为中点，为中点，连接并延长交于点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，过点D作，交于H，根据平行线分线段成比例定理得到，，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：过点D作，交于H， ∴， ∵D为中点， ∴， ∴，即； ∵， ∴， ∵E为中点， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理得，， ∴， 解得（舍去负值）． 故答案为：． 【变式2-3】（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）如图，． (1)直接填空；的值为______，的值为______； (2)若，求和的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例： （1）根据平行线分线段成比例即可求解； （2）根据（1）中的结论，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 类型三、相似多边形 1. 抓定义判定相似 紧扣相似多边形“对应角相等、对应边成比例”的核心定义，先通过角的关系（如直角、平行线的同位角/内错角）判断对应角是否相等，再计算对应边的比值，验证是否为定值，注意对应顶点的顺序不能颠倒。 2. 用性质求解未知量 若已知多边形相似，先明确对应边和对应角，利用对应角相等直接求角度；借助对应边成比例列方程，代入已知边长求解未知线段长度，计算时注意统一单位，比值化简要彻底。 例3．24-25九年级上·广东东莞·期末）若一个多边形的各边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则另一个多边形的最短边长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的性质进行解答即可．解题的关键是熟练掌握两个相似多边形的对应边成比例． 【详解】解：设另一个多边形的最短边长为x， 根据题意得：， 解得：， 即另一个多边形的最短边长为8． 故选：B． 【变式3-1】（24-25八年级下·山东威海·期末）下列图形一定相似的是（   ） A．两个矩形 B．两个正方形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个菱形 【答案】B 【分析】此题考查相似图形的判断，判断图形是否相似需满足对应角相等且对应边成比例，熟记相似图形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：A．两个矩形对应角均为，但边长的比例不一定相等（如长宽比不同的矩形），故不一定相似； B．两个正方形对应角均为，且所有边长成相同比例，因此一定相似； C．若两个等腰三角形有一个角为，该角可能为顶角或底角，导致其余角不相等，无法保证相似； D．两个菱形对应边成比例，但对应角可能不相等（如不同内角的菱形），故不一定相似； 故选B． 【变式3-2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）已知四边形四边形，且，若四边形的周长为6，则四边形的周长为 ． 【答案】15 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，根据相似多边形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】解：∵四边形四边形，且， ∴四边形与四边形的周长比为， ∵四边形的周长为6， ∴四边形的周长为15， 故答案为：15． 【变式3-3】（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图，学校植物园是一块边长为5米的正方形，现将其扩大成矩形，且使得矩形矩形，求的长． 【答案】米 【分析】本题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边相等是解题的关键； 根据多边形的性质之列出比例式，计算即可． 【详解】矩形矩形 ，即， 设的长为x米 ， 解得： ，或（负数不合题意舍去）， 的长为米。 类型四、相似三角形的判定 1. 选判定定理定思路 优先观察角的关系，若有两组对应角相等，直接用 AA 判定；若只有一组等角，证夹边成比例用 SAS 判定；三边均已知时，证三边对应成比例用 SSS 判定，注意对应边、角的匹配。 2. 借辅助线构基础图形 遇无直接关联的角或边时，作平行线构造同位角、内错角，或连接线段拆分图形，转化出符合判定定理的条件，同时结合公共角、对顶角等隐含条件简化证明。 例4．（2024·青海·中考真题）如图，线段交于点O，请你添加一个条件： ，使． 【答案】．（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 有一对对顶角与，添加，即得结论． 【详解】解： ∵（对顶角相等），， ∴． 故答案为：．(答案不唯一) 【变式4-1】（25-26九年级上·江西·期末）如图，在等腰中，，是的角平分线，是腰边上的高，垂足为点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，直角三角形的特征，相似三角形的判定，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题关键． 由等腰三角形三线合一的性质，得到，再根据直角三角形两锐角互余，得出，即可证明结论． 【详解】证明：等腰中，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式4-2】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，中，点D在上，连接．已知，，，求证． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解决本题的关键． 根据已知线段的长度，推出，利用两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似，即可得证． 【详解】证明：∵，，． ∴，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴． 【变式4-3】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数是． 【分析】此题重点考查角平分线的定义、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识． （1）由，得，由平分，得，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明； （2）由相似三角形的性质得，则，所以． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． 类型五、利用相似三角形测高 1. 选模型建相似关系 优先选平行投影模型（如同一时刻物体与影子）或标杆模型，确定被测物体、参照物（标杆/人影）与光线构成的相似三角形，明确对应边：物体高对应参照物高，物体影长对应参照物影长。 2. 列比例求未知高度 依据相似三角形对应边成比例列方程，代入已知的影长、参照物高度等数据，计算时统一单位，注意排除障碍物遮挡等干扰因素，若有坡度需调整模型，保证三角形相似的前提成立。 例5．（24-25九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）“中国第一高树”云南黄果冷杉高度为，相当于28层楼高．小明同学想测量公园内某棵冷杉的高度，如图，他调整自己的位置，设法使自制的直角三角形纸板的斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则冷杉的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意找到相似三角形是解题的关键．根据即可求得的长，进而求得树高． 【详解】解：依题意，，， ， ， cm，cm，m，m， ， ． 故选：B． 【变式5-1】（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小颖同学把镜子放在离旗杆适当距离的水平地面上，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到恰好可以在镜子里看到旗杆的顶端．已知小颖的眼睛离地面的高度为，同时量得小颖与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明解答即可． 本题考查了数学与物理的跨学科综合，三角形相似的判定和性质，光的反射定理，正确利用三角形相似解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：D． 【变式5-2】（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）如图所示，在某次网球赛中，一名站在离球网远的参赛选手，某次挥拍击球时恰好将球打过高为的球网，而且落在离球网远的位置上，则球拍击球的高度为 m．    【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键，根据题意可得：，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：如图，    由题意得：，， ， ， ， ， ， 解得： 球拍击球的高度为， 故答案为：． 【变式5-3】（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，左右并排的两颗大树的高分别为，，两树底部的距离，点与树的根部点，点在一条直线上，，小颖估计自己的眼睛（点）离地面，她从点出发沿方向前进到点时，恰好看不到树顶，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．由题意知点F、B、D共线，作于Q，交于P，易得，，计算出，，再证明，然后利用相似比计算出即可求出答案． 【详解】解：作于Q，交于P， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 类型六、利用相似三角形的性质求解 1. 找相似模型：优先识别平行线型、相交线型、母子型等常见相似三角形模型，结合“两角分别相等”“两边成比例且夹角相等”快速判定相似，再利用对应边成比例、对应角相等建立等式。 2. 设参转化：遇边长未知时，设公共边或关联边为参数，借助相似比列方程消参求解；遇复杂图形，可通过作平行线构造新的相似三角形，简化线段关系。 例6．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，．若，则的对应角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是了解相似三角形的对应角相等．利用相似三角形的性质直接写出答案即可． 【详解】解：， ． 故选：B． 【变式6-1】（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图，，，，则的长 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据的比，可得的比，利用面积比是相似比的平方可得，从而可得答案． 【详解】解：， ， ∴相似比为，即， ， ， 故答案为：5． 【变式6-2】（24-25九年级上·广西来宾·期末）已知，若，，且的面积为，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方．根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵的面积为， ∴的面． 故答案为：8． 【变式6-3】（24-25九年级下·浙江温州·期末）如图，在和中，，．    (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定证明相似，再利用相似三角形的性质求解即可； （1）根据两边成比例夹角相等证明三角形相似，再利用相似三角形的性质得出即可； （2）根据相似三角形的面积比得出相似比，再利用比例求出的长． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， 即， ， （2）解：：，， ， 类型七、相似三角形的判定与性质综合 1. 先判定再用性质 先通过AA、SAS、SSS判定定理证三角形相似，找准对应顶点、对应边和对应角；再利用相似三角形对应边成比例、对应角相等、周长比等于相似比等性质，建立等式求解未知量，避免对应关系混淆。 2. 双向转化破题 遇复杂图形时，可由性质逆推判定条件，或结合辅助线构造相似模型；涉及比例线段时，巧用等量代换、等比性质转化，将分散的线段关系集中，简化计算过程。 例7．（25-26九年级上·全国·期末）如图，正方形的顶点在正方形的边上，与交于点，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意得出，，，，得到，可证，得到，计算即可得到答案． 【详解】解：∵正方形的顶点在正方形的边上， ∴，，，， ，， ， ， ， ， 故选：D ． 【变式7-1】（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，四边形是正方形，E是上一点，，，则 ． 【答案】 【分析】此题重点考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．先证明，由，得，则，即，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式7-2】（2025·北京东城·一模）如图，在中，点E在上，，交于点F，若，且，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，设，，则，根据平行四边形的性质得出，，证出，得出比例式，代入求出即可，能求出和求出是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴设，，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 故答案为：6． 【变式7-3】（24-25九年级上·安徽池州·期末）如图，四边形中，平分，，为的中点，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及平行线的判定与性质、直角三角形的性质及应用，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理和性质定理． （1）由平分，得，再由，然后问题可求证； （2）由得，，则有，再结合，，可求出，的值，又因为点是的中点，进而求出，然后根据角的关系得出，则有，从而得出，最终有从而获解． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ； （2）解：由得，， ，， ，， ，即， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， 平行于， ， ， ． 类型八、图形的位似 1. 抓位似核心要素解题 紧扣位似图形“对应顶点连线交于位似中心、对应边平行或共线、对应边成比例”的特点，先确定位似中心与位似比，再根据比例关系计算未知线段长度，注意区分位似图形的正、反方向。 2. 结合坐标法简化运算 平面直角坐标系中，利用位似图形坐标变化规律（原坐标乘位似比得新坐标）求解，若位似中心不在原点，先平移坐标系将中心移至原点，计算后再还原坐标，降低解题难度。 例8．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，若点A坐标为，则对应点的坐标为（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查位似图形与坐标的关系，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于k或． 位似变换中，以原点O为位似中心，放大倍数为2时，对应点坐标可能同向或反向，因此有两种情况，据此求解即可． 【详解】解：∵ 位似中心O为原点，位似比为2， ∴ 点的对应点坐标满足：或 ， ∴ 坐标为或， 故选A． 【变式8-1】（24-25九年级上·云南红河·期末）如图，已知与是位似图形，点O是位似中心，若是的中点，则与的周长比是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握位似图形的性质． 根据线段中点的性质得出，根据位似图形的性质得出，然后得出对应线段成比例，即可求解． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵与是位似图形，点O是位似中心， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴与的周长比为， 故选：A． 【变式8-2】（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，和是位似三角形，位似中心为点O，，则和的位似比为 ． 【答案】 【分析】本题考查求位似图形的位似比，根据位似图形的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵和是位似三角形，位似中心为点O，， ∴和的位似比为； 故答案为： 【变式8-3】（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，四边形与四边形关于点O位似，且，若四边形的面积为5，则四边形的面积为 ． 【答案】20 【分析】本题考查位似变换、相似三角形的性质，熟练掌握位似的性质、相似三角形的性质是解答本题的关键．由题意得四边形与四边形的相似比为，可得四边形与四边形的面积比为，进而可得答案． 【详解】解：四边形与四边形关于点O位似，且， 四边形与四边形的相似比为， 四边形与四边形的面积比为， 四边形的面积为5， 四边形的面积为20． 故答案为：20． 类型九、相似三角形----动点问题 1. 定动点轨迹，分类讨论 先明确动点的运动路径、速度和范围，确定运动过程中可能形成的相似三角形形态；根据对应顶点的不同情况分类讨论，避免漏解，注意临界位置（如动点与端点重合时）的特殊性。 2. 设参数建方程，结合相似列等式 设动点运动时间为t，用t表示相关线段长度；根据相似三角形判定定理确定比例关系，列方程求解t的值，验证解是否在动点的运动范围内，舍去不合理解。 例9．（24-25九年级上·河南漯河·期末）如图，在中，点D是的中点，点P为边上一个动点，在下列条件中，不能使与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，准确掌握和熟练的应用相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据图形可得，结合相似三角形的判定依据，只需从两个三角形中再找另一组角相等或者是这组相等角的夹边成比例，可得三角形相似来解决问题． 【详解】解：A、∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴，故不符合题意； B、∵，， ∴，故不符合题意； C、∵，， ∴，故不符合题意； D、两边对应成比例，但是夹角不相等，故不能证明相似，符合题意， 故选：D． 【变式9-1】（24-25八年级下·山东东营·期末）如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为，当点P与点B重合时，停止运动．如果P，Q两点同时运动，设运动时间为t秒，当 秒时，由P、B、Q三点连成的三角形与相似． 【答案】2秒或秒 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键．分两种情况，利用相似三角形的判定建立方程求解即可； 【详解】解：设经过t秒时，以与相似，厘米， ， ∴当时，，即； 解得：， 当时，，即； 解得：， 即经过2秒或秒时，与相似， 故答案为：2秒或秒． 【变式9-2】（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）如图，矩形中，，点P为边上一动点，交于点O．    (1)求证：； (2)点P从点A出发沿边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒，试问：当t为何值时，？ 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）根据平行线的性质，得到等角，证明； （2）证明解答即可． 本题考查了矩形的性质，三角形相似的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时，, 故 ， 又， 故， 故， ， 解得． 【变式9-3】（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在矩形中，，动点P以的速度从点A出发，沿向点C移动，同时动点Q以的速度从C出发，沿向点B移动．设P、Q两点移动时间为． (1)___ ，____ （用含t的式子表示） (2)当运动时间为多少秒时，与相似． 【答案】(1)， (2)与 【分析】本题考查的是相似三角形的判定、矩形的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）先运用勾股定理求得的长度，然后用t表示出的长度即可； （2）分与两种情况，分别根据相似三角形的判定方法求解论即可． 【详解】（1）解：∵在矩形中，， ∴ , ∵动点P以的速度从点A出发，沿向点C移动，同时动点Q以的速度从C出发，沿向点B移动， ∴，， ∴. 故答案为：，. （2）解： ， ①当时，， ，即，解得：； ②当时，， ，即，解得：． 综上，当与时，与相似． 类型十、作图 1. 定判定依据，选作图方法 先明确作图的相似判定依据，若用AA，则先作等角确定三角形形状；若用SAS/SSS，则按给定相似比计算边长，确定三角形大小，注意对应顶点的位置关系。 2. 借辅助工具，保作图精准 用直尺画对应边的平行线构造等角，用圆规截取等长线段或按比例缩放边长；作图后需验证，通过测量角的度数、计算边的比值，确保符合相似三角形的判定条件。 例10．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出与关于x轴成轴对称的； (2)画出以点O为位似中心，与的相似比为的（与在点O的两侧）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了坐标与图形变化—轴对称、位似变换，根据轴对称和位似变换的性质正确作图是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据位似变换的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图所示，即为所求： 【变式10-1】（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)与是以P点为位似中心的位似图形，点都在格点上，则点P的坐标为 ； (2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出与位似的，使它与的相似比为． 【答案】(1) (2)图见解析 【分析】本题考查坐标与图形变换—位似，熟练掌握位似图形的性质，是解题的关键： （1）根据位似图形的位似中心为对应点所连线段所在直线的交点上，确定点的坐标即可； （2）根据位似图形的性质，画出即可． 【详解】（1）解：由题意，点的位置如图所示， 由图可知：； （2）由题意，画图如下： （25-26九年级上·全国·期末）如图，是边长为1的正方形网格，的顶点均在格点上． (1)在该网格中画出（顶点均在格点上），使（不包含全等）； (2)请说明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图﹣相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，并根据相似三角形的判定和性质得出变换后的对应点位置及勾股定理． （1）根据相似三角形的判定，结合网格特点作图即可； （2）利用勾股定理得出线段的长，并根据网格特点得出角的度数，再依据相似三角形的判定求解可得． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求作， （2）解：根据网格图可得：， ， ， ∵，， ， ∴2，， ∴． 【变式10-2】（25-26九年级上·全国·期末）如图，是边长为1的正方形网格，的顶点均在格点上． (1)在该网格中画出（顶点均在格点上），使（不包含全等）； (2)请说明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图﹣相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，并根据相似三角形的判定和性质得出变换后的对应点位置及勾股定理． （1）根据相似三角形的判定，结合网格特点作图即可； （2）利用勾股定理得出线段的长，并根据网格特点得出角的度数，再依据相似三角形的判定求解可得． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求作， （2）解：根据网格图可得：， ， ， ∵，， ， ∴2，， ∴． 【变式10-3】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点为的三等分点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中的边上确定一点，连结，使； (2)在图②中的边上确定一点，连结，使； (3)在图③中的边上确定一点，边上确定一点，连结、、，使的周长最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、轴对称最短路线问题、相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用网格直接画图即可． （2）结合相似三角形的判定与性质，过点作的平行线，交于点，则点即为所求． （3）取点关于的对称点，关于的对称点，连接，交于点，交于点，则点，即为所求． 【详解】（1）解：如图①，点即为所求． 由图可得， ， ， ， ， ； （2）解：如图②，过点作的平行线，交于点， ， ， 则点即为所求． （3）解：如图③，取点关于的对称点，关于的对称点，连接，交于点，交于点， 此时的周长， 则的周长最小， 则点，即为所求． 一、单选题 1．（24-25九年级上·广东清远·期末）已知2，6，7，x成比例，则x的值为（   ） A． B． C． D．21 【答案】D 【分析】本题考查了成比例线段．根据成比例线段，可得，解方程即可求解． 【详解】解：∵2，6，7，x成比例，∴， 得， 解得， 故选：D． 2．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，，则补充下列条件仍不能说明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，有两组角对应相等的两个三角形相似，有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、添加条件，结合，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； B、添加条件，结合，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合，可以根据有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意； D、添加条件，结合，不可以证明，故此选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，黄金分割点，尺规作图， 根据勾股定理求出，再根据尺规作图求出，然后根据得出答案. 【详解】解：∵， ∴. 根据勾股定理，得. ∵， ∴， ∴. 故选：C. 4．（24-25七年级上·河南三门峡·期末）下列选项中的两个图形不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的判断，判断的方法是：连接对应点的连线是否交于同一点，如果交于同一点，则是位似图形，对每项进行一一分析即可． 【详解】解：、连接两个正六边形对应点交于正六边形的中心，故是位似图形，故选项不符合题意； 、连接两个相似四边形对应点交于点，故是位似图形，故选项不符合题意； 、连接两个相似三角形对应点交于点，故是位似图形，故选项不符合题意； 、连接此两个相似箭头图形的对应点不交于同一点，不是位似图形，故选项符合题意． 故选：． 5．（24-25九年级上·安徽池州·期末）如图，在平行四边形中，为上一点，连接、，且、交于点，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出，再根据即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出，设，则，，据此计算即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图是“小孔成像”，蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是1：2，若烛焰AC的高是，则实像的高是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．根据相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：如图所示： 根据题意得：， ∴， ∵蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，若烛焰的高是， ∴， ∴ 故答案为：． 7．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在中，，，点从点沿向以的速度移动，到即停，点从点沿向以的速度移动，到就停．若点从点出发后点从点出发，再经过 秒与相似． 【答案】或 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．设再经过t秒与相似，分两种情况：当时，当时，即可求解． 【详解】解：设再经过t秒与相似， 根据题意得：， ∴， ∵， 当时，， 此时， 解得：； 当时，， 此时， 解得：； 综上所述，再经过或秒与相似． 故答案为：或 8．（21-22九年级上·四川成都·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查比例的性质，由设，，再代入计算即可． 【详解】解：由设，， ∴， 故答案为： ． 9．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，中，边，高，边长为的正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，则边长x为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质．关键是由正方形的性质得出平行线，证明三角形相似，利用相似三角形的性质列方程求解． 由正方形的性质得，可证，根据相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求的值． 【详解】解：∵， ∴， ，即， 解得． 故答案为：． 10．（21-22九年级上·上海崇明·期末）如图，直线，如果，，那么线段的长是 ． 【答案】3 【分析】连接交于点G，证明，解答即可． 本题主要考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质和判定，熟练掌握平行线分线段成比例，相似三角形的性质和判定是解题的关键． 【详解】解：连接交于点G， ∵， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴即， ∵， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：3． 三、解答题 11．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，直线，直线和被、、所截．如果，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，根据条件可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 把，，代入， 得， 解得：． 12．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）小明想通过自己所学的数学知识计算如图所示的河流的宽度．已知河流两侧河岸平行，他在河的对岸选定一点A，在河岸边选定点B和点C，分别在AB，AC的延长线上取点D，E，连接DE，使得．经测量，米，米，且点E到河岸BC的距离为7.5米．过点A作于点F，请你根据提供的数据计算河流的宽度．    【答案】河流的宽度为10米 【分析】通过证明三角形相似，利用相似三角形的性质求出河流的宽度． 【详解】解：如解图，过点E作于点G，   ， ， ， ． ，， ， ， ，即，解得， 河流的宽度为米． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，掌握利用平行证明三角形相似，结合相似三角形的对应边成比例求解线段长度是解题的关键． 13．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，点D、E、F分别在等边的三边上，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为4 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识． （1）由等边三角形的性质得到，证明，即可证明； （2）证明，由（1）知：，得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长为4． 14．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在矩形中，已知．在边上取点，连结．过点作，与边的延长线交于点． (1)证明：△△． (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据矩形得到，利用同角的余角相等证明，即可证明相似； （2）根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ． ， ， ， △△； （2）解：四边形是矩形， ， ，， ， △△， ， 即， ． 15．（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图，在中，，，，作，垂足为点． (1)求线段的长； (2)点是上的一点，满足，连接交于点，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理和相似三角形的判定是解题的关键． （1）在中，根据勾股定理求出，利用等面积法求出的长，在中，根据勾股定理求得线段的长即可； （2）过点作于点，证得，根据相似三角形的性质证得，再证得，利用相似三角形的性质求出的值即可． 【详解】（1）解：在中，，， 由勾股定理得，， 则， 即， 解得， 在中，由勾股定理得，， 因此，线段的长为； （2）解：过点作于点， 、， ， ， ， 、， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期末专题04 图形的相似的十类综合题型 目录 典例详解 类型一、成比例线段 类型二、平行线分线段成比例 类型三、相似多边形 类型四、相似三角形的判定 类型五、利用相似三角形测高 类型六、利用相似三角形的性质求解 类型七、相似三角形的判定与性质综合 类型八、图形的位似 类型九、相似三角形-一一动点问题 类型十、作图 压轴专练 典例详解 类型一、成比例线段 1.找准对应关系，灵活设元 明确比例线段的对应端点，避免混淆顺序。遇到比例未知时，设公比为k(如abc=m:np,设a=mk、b=nk、 c=pk),将线段长度转化为含k的代数式，代入已知条件求解k,进而得到线段长度。 2.巧用性质转化，结合图形 熟练运用比例的基本性质（内项积等于外项积）、合比性质、分比性质化简等式。若涉及几何图形，结合 平行线分线段成比例定理或相似三角形性质，将分散的线段比例关联起来，化难为易。 例1.(25-26九年级上·浙江温州·期末)下面四组线段中不能成比例线段的是() A.3、6、2、4 B.4、6、8、10 C.1、2、5、√6 D.5、√15、2、25 【变式1-1】(24-25九年级上·湖南永州期末)如图，线段AB上的一点P把AB分割为两条线段PA,PB, 当满足P-PB时，则称点P是线段4B的黄金分制点。主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上， AB AP 观众看上去感觉最好，若舞台长18米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走x米时恰好站在舞台的黄金分 1/19 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 割点上(BP的长为x米)，则x满足的方程是() P ⊙ A.(18-x)2=18x B.x2=1818-x C.x18-x=182 D.(18-x)2=18x2 交式12】2425年级上苏无锡期末)者名子，则口的值为 a+b 【变式1-3】(25-26九年级上浙江温州期末)已知a,b满足- 32 ()求0-b 的值： a+b (2)若a+b=10且线段x是长为a,b的线段的比例中项，求线段x的长. 类型二、平行线分线段成比例 1.找平行线构比例 先识别图中平行线，确定被截的两条直线，依据定理直接写出对应线段比例式；若平行线不明显，可作 辅助平行线，构造符合定理的基本图形，注意线段的对应关系，避免混淆。 2.结合相似三角形转化 平行线分线段成比例常与相似三角形结合，由平行线证三角形相似，将比例式转化为相似三角形的对应 边比例，或利用比例式求未知线段长，计算时注意等量代换简化过程。 例2.(24-25九年级上·浙江金华期末)如图，直线l∥12∥13，AC分别交1，Z,于点A,B,C;DF分 别交，Z,马于点D,E,F.若DE=3,EF=6,AB=4,则AC的长为() D 6 B.8 C.9 D.12 2/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式2-1】(24-25九年级上·福建福州期末)如图，AB∥CD∥EF,若AC=2,CF=3,BE=6,则BD的 长为」 A B 【变式2-2】(24-25八年级下山西吕梁期末)如图，在ABC中，AB=5,AC=3,D为BC中点，E为 AD中点，连接BE并延长交AC于点F,若∠BFC=90°，则BC的长为一 B 【变式2-3】(24-25九年级上贵州铜仁期末)如图，1∥12∥13，AB=3,BC=5. F ()直接填空； DE 的值为 EF 的值为 EF FD (2)若DF=12,求DE和EF的长. 类型三、相似多边形 1.抓定义判定相似 紧扣相似多边形“对应角相等、对应边成比例”的核心定义，先通过角的关系（如直角、平行线的同位 角/内错角)判断对应角是否相等，再计算对应边的比值，验证是否为定值，注意对应顶点的顺序不能颠 倒。 2.用性质求解未知量 3/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 若己知多边形相似，先明确对应边和对应角，利用对应角相等直接求角度；借助对应边成比例列方程， 代入已知边长求解未知线段长度，计算时注意统一单位，比值化简要彻底。 例3.24-25九年级上广东东莞期末)若一个多边形的各边长分别为2,3,4,5,6，另一个和它相似的多 边形的最长边长为24，则另一个多边形的最短边长为() A.6 B.8 C.10 D.12 【变式3-1】(24-25八年级下·山东威海期末)下列图形一定相似的是() A.两个矩形 B.两个正方形 C.有一个角是40°的两个等腰三角形D.两个菱形 【变式3-2】(24-25九年级上陕西咸阳期末)已知四边形ABCD∽四边形A'B'CD',且AB:A'B'=2:5, 若四边形ABCD的周长为6，则四边形A'B'CD'的周长为」 【变式3-3】(23-24九年级上，安徽毫州期末)如图，学校植物园是一块边长为5米的正方形ABCD,现将 其扩大成矩形AEFD,且使得矩形AEFD∽矩形BCFE,求BE的长 B E 类型四、相似三角形的判定 1.选判定定理定思路 优先观察角的关系，若有两组对应角相等，直接用AA判定；若只有一组等角，证夹边成比例用SAS判 定；三边均己知时，证三边对应成比例用SSS判定，注意对应边、角的匹配。 2.借辅助线构基础图形 遇无直接关联的角或边时，作平行线构造同位角、内错角，或连接线段拆分图形，转化出符合判定定理的 条件，同时结合公共角、对顶角等隐含条件简化证明。 例4.(2024青海中考真题)如图，线段4C、BD交于点O,请你添加一个条件： 使 △A0BnAC0D. 4/19 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A B 【变式4-1】(25-26九年级上江西期末)如图，在等腰ABC中，AB=AC,AD是∠BAC的角平分线， BE是腰AC边上的高，垂足为点E,求证：△ACD∽△BCE, D 【变式4-2】(24-25九年级上·浙江杭州期末)如图，ABC中，点D在AB上，连接CD,己知AC=3cm, 0=2n,BD=cm,求证△4CDn△HBC. B 【变式4-3】(24-25九年级上·浙江金华期末)如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD,且 AC2=AB·AD D B (I)求证：△ABC∽a△ACD; (2)若∠BCD=150°，求∠BAC的度数. 类型五、利用相似三角形测高 1.选模型建相似关系 优先选平行投影模型（如同一时刻物体与影子）或标杆模型，确定被测物体、参照物（标杆/人影）与光 线构成的相似三角形，明确对应边：物体高对应参照物高，物体影长对应参照物影长。 2.列比例求未知高度 5/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 依据相似三角形对应边成比例列方程，代入己知的影长、参照物高度等数据，计算时统一单位，注意排 除障碍物遮挡等干扰因素，若有坡度需调整模型，保证三角形相似的前提成立。 例5.(24-25九年级上·内蒙古乌兰察布·期末)“中国第一高树”云南黄果冷杉高度为83.4m,相当于28层楼 高.小明同学想测量公园内某棵冷杉的高度AB,如图，他调整自己的位置，设法使自制的直角三角形纸板 DEF的斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.己知纸板的两条直角边DE=30cm, EF=15cm,测得边DF离地面的高度AC=1.6m,CD=10m,则冷杉的高AB为() 777777777777777777T777 A.21.6m B.6.6m C.20.6m D.7.6m 【变式5-1】(24-25九年级上河南开封期末)如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小颖同学把镜 子放在离旗杆适当距离的水平地面上，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到恰好可以 在镜子里看到旗杆的顶端.己知小颖的眼睛离地面的高度CD为1.8m,同时量得小颖与镜子的水平距离DF 为1.6m,镜子与旗杆的水平距离BF为9.6m,则旗杆高度AB为() A.6.4m B.8m C.9.6m D.10.8m 【变式5-2】(24-25九年级下·江苏南京·开学考试)如图所示，在某次网球赛中，一名站在离球网1.6m远 的参赛选手，某次挥拍击球时恰好将球打过高为0.9m的球网，而且落在离球网3.2m远的位置上，则球拍击 球的高度h为 m 0.9m 3.2m 1.6m 6/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式5-3】(24-25九年级上江苏南通·期末)如图，左右并排的两颗大树的高分别为AB=6m,CD=9m ,两树底部的距离AC=6m,点G与树AB,CD的根部点A,点C在一条直线上，AG=16m,小颖估计自 己的眼晴（点E)离地面1.6m,她从点G出发沿GC方向前进到点H时，恰好看不到树顶D,则GH的长 为_m B 类型六、利用相似三角形的性质求解 1.找相似模型：优先识别平行线型、相交线型、母子型等常见相似三角形模型，结合“两角分别相等”“两 边成比例且夹角相等”快速判定相似，再利用对应边成比例、对应角相等建立等式。 2.设参转化：遇边长未知时，设公共边或关联边为参数，借助相似比列方程消参求解；遇复杂图形，可 通过作平行线构造新的相似三角形，简化线段关系。 例6.(24-25八年级下·山东淄博期末)如图，△ABC∽△A'B'C'.若∠B=66°，则∠B的对应角∠B'的大 小为() B A.65 B.66° C.67° D.68° 【变式6-1】(24-25九年级下山东烟台期末)如图，4 ADEACB，DE=3,S△4DE:S边形cD=9:16, 则BC的长一 7/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 【变式6-2】(24-25九年级上·广西来宾期末)己知△ABC∽△DEF,若AB=1,DE=2,且ABC的面 积为2cm2,则aDEF的面积为一cm2. 【变式6-3】(24-25九年级下·浙江温州期末)如图，在ABC和△AED中，AB·AD=AC·AE, LBAD ZCAE 夕 (I)求证：∠B=∠E. (2)若SAD:SABc=9:16,DE=6,求BC的长。 类型七、相似三角形的判定与性质综合 1.先判定再用性质 先通过AA、SAS、SSS判定定理证三角形相似，找准对应顶点、对应边和对应角；再利用相似三角形对应 边成比例、对应角相等、周长比等于相似比等性质，建立等式求解未知量，避免对应关系混淆。 2.双向转化破题 遇复杂图形时，可由性质逆推判定条件，或结合辅助线构造相似模型；涉及比例线段时，巧用等量代换 等比性质转化，将分散的线段关系集中，简化计算过程。 例7.(25-26九年级上全国·期末)如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交 于点H,若AB=9,CE=3,则DH的长为() 8/19 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B A.2 B.3 D. 【变式7-1】(24-25九年级上·广东清远期末)如图，四边形ABCD是正方形，E是DC上一点， DE:EC=2:I,AE⊥EF,则EF:AE= D E 【变式7-2】(2025北京东城一模)如图，在ABCD中，点E在AB上，CE,BD交于点F,若 AE:BE=2:1,且BF=2,则DF=一 D 【变式7-3】(24-25九年级上·安微池州期末)如图，四边形ABCD中，BD平分∠ABC, ∠ADB=∠DCB=90°，E为AB的中点，CE与BD交于点F. D A E (I)求证：△ABDm△DBC; (②)若BC:AB=2:3,BD=14,求BF的长 9/19 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 类型八、图形的位似 1.抓位似核心要素解题 紧扣位似图形“对应顶点连线交于位似中心、对应边平行或共线、对应边成比例”的特点，先确定位似 中心与位似比，再根据比例关系计算未知线段长度，注意区分位似图形的正、反方向。 2.结合坐标法简化运算 平面直角坐标系中，利用位似图形坐标变化规律（原坐标乘位似比得新坐标）求解，若位似中心不在原 点，先平移坐标系将中心移至原点，计算后再还原坐标，降低解题难度。 例8.(25-26九年级上·上海浦东新·期中)以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，若点A坐 标为1,2)，则对应点4的坐标为() A.（2,4)或-2，-4 B.(1,2或(-1，-2)C.（2,4)D.（-2,-4 【变式8-1】(24-25九年级上·云南红河期末)如图，己知。AB'C'与ABC是位似图形，点O是位似中心， 若A是OA的中点，则△AB'C'与ABC的周长比是() A.12 B.21 C.14 D.41 【变式8-2】(23-24九年级上新疆乌鲁木齐期末)如图，△A'B'C'和ABC是位似三角形，位似中心为点O ,。2=。,则△A'B'C'和ABC的位似比为 B O- 【变式8-3】(24-25八年级下·吉林长春·期末)如图，四边形ABCD与四边形EFGH关于点O位似，且 10/19