期末专题03 一元二次方程的八类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版九年级上学期

品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期末专题03一元二次方程的八类综合题型 目录 典例详解 类型一、一元二次方程的相关概念求解 类型二、解一元二次方程 类型三、利用根的判别式求参数 类型四、一元二次方程根与系数的关系 类型五、判别式与根与系数的综合问题 类型六、配方法的应用 类型七、一元二次方程中的新定义类问题 类型八、一元二次方程的应用 压轴专练 典例详解 类型一、一元二次方程的相关概念求解 1.抓定义判定方程类型 紧扣“只含一个未知数、未知数最高次数为2、整式方程”的核心定义，解题时先整理方程为x 2+bx+c=0(a≠0)的一般形式，再根据a是否为0判定是否为一元二次方程，排除含分式、根式的干扰 项。 2.用系数特征求参数值 己知方程为一元二次方程时，利用二次项系数≠0列不等式；已知方程根的情况求参数时，结合概念先 确定a、b、c的值，再代入判别式或根与系数的关系求解。 例1.（24-25九年级上湖北孝感·期末)一元二次方程x2-2x=-1的一次项系数和常数项分别是() A.-2和1 B.2和-1 C.-2x和-1 D.-2x和1 【变式1-1】(25-26九年级上广东揭阳期末)已知关于x的方程(k-2)x州+x-4=0是一元二次方程，则 k的值为( A.±2 B.-2 C.2 D.不能确定 【变式1-2】(25-26八年级上·上海崇明期中)关于x的一元二次方程(m-3x2+2x+m2-9=0有一个根 为0，那么m的值为一 1/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-3】(24-25九年级上·全国期末)已知a是方程x2+2x-10=0的一个根，求代数式 (a+2+(a+1(a-1的值. 类型二、解一元二次方程 解一元二次方程的核心技巧如下： 1.*首选因式分解*：观察方程，若能快速分解为两个一次因式的乘积，直接令各因式为零求解，是最 快捷的方法。 2*公式法是通法：当无法直接分解时，使用求根公式X=-处@ 2a *关键前提*是准确计算判别式△=b2.4ac的值，其决定了根的个数与性质。 3.*活用判别式，验证不能忘*：先算判别式△。若△<0，则无实数根；若△=0，则两根相等；若\ (△>0)，则有两不等实根。求出根后，应代入原方程简单验证，确保无误。 例2.(24-25九年级上湖南衡阳·期末)解方程： (1)xx-4=(x-4: (2)x2+6x-7=0 【变式2-1】(25-26九年级上·全国期末)解方程： (1)x2-2x=2x+1: (2)x+1(x-1)+2(x+3)=8 【变式2-2】(25-26九年级上甘肃武威期末)解方程： (1)x2+4x-5=0; (2)xx-4)=2x-8. 【变式2-3】(24-25九年级上·全国期末)解一元二次方程： (1)(x+1)(x+3)=15 (2)0y-3)2+3y-3)+2=0. 类型三、利用根的判别式求参数 1.定系数算判别式 2/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 先将一元二次方程化为ax^2+bx+c=0(a≠0)的一般形式，准确确定a、b、c的符号与数值，代入 △=b2-4ac计算；注意含参数时需关注参数取值对△符号的影响，避免漏解。 2.判根的情况用结论 根据△的符号判断根的情况：△>0有两个不相等实根，△=0有两个相等实根，△<0无实根；反之，已知 根的情况可列不等式或等式求参数取值范围。 例3.(24-25九年级上·云南红河期末)若关于x的一元二次方程x2+mx+1=0有两个相等的实数根，则m 的值可以是() A.0 B.-1 C.±2 D.±4 【变式3-1】(24-25九年级上·甘肃武威期末)己知关于x的一元二次方程(m-22x2+(2m+1)x+1=0有 两个实数根，则m的取值范围是()· A.m>4 3 3 B.m≥4 C.m>}且m+2D.m≥}且m≠2 4 【变式3-2】(24-25八年级下.吉林·期末)若关于x的一元二次方程x2+6x+m=0没有实数根，则m的取 值范围是」 【变式3-3】(24-25八年级下·安微六安·期末)已知关于x的一元二次方程x2-(k+2)x+k-1=0. (1)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)己知2是此方程的一个根，求k的值和这个方程的另一个根. 类型四、一元二次方程根与系数的关系 己知一元二次方程ax2+bx+c=0(a=0)的两根x1,x2,根与系数的关系（韦达定理）为x1+x2 -b/a x1.x2 =c/a 2.结合关系转化条件 已知方程根求参数时，直接代入列方程；遇根的代数式求值时，将代数式变形为含和的形式，整体代入 简化计算。 例4.(24-25八年级下广西百色期末)已知a,b是方程x2-5x+1=0的两个实数根，则a+b-2025的值 是() A.-2020 B.-2024 C.-2026 D.-2030 【变式4-1】(24-25九年级上河北张家口期末)若a,b是方程x2+x-2024=0的两个实数根，则 a2+2a+b的值是() A.2021 B.2022 C.2023 D.2024 【变式4-2】(25-26九年级上全国期末)已知X、:2是方程2x2+5x+1=0两个根，则x+x3= 3/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式4-3】(24-25九年级上·全国·期末)关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+1=0有两个不相等的 实数根xx2 (I)求实数k的取值范围： (2)若方程两实数根满足x+x2=xx2,求k的值. 类型五、判别式与根与系数的综合问题 判别式与根与系数的综合问题解题技巧： 1.*核心思路*：此类问题常涉及一元二次方程两根的和、积与判别式综合。解题关键是同时运用韦达 定理（根与系数关系）和判别式△≥0的条件，二者缺一不可。 2.*核心步骤*： ·先利用韦达定理建立两根和、积与参数的等式关系。 ·再通过判别式△≥0求出参数的初步范围（保证方程有实根）。 、 结合其他已知条件（如两根范围、对称轴位置等）建立不等式，进一步约束参数范围。 3.*验证要点*：最终务必检验所得参数是否满足△≥0，并回代验证条件的一致性。注意“两实根”与 “两不等实根”对△的不同要求（△>0或△≥0）。 例5.(25-26九年级上全国期末)已知关于x的方程x2-x+k-1=0. ()求证：无论k为何值，方程总有两个实数根： (2)若等腰三角形ABC的一边长为2，另两边长为这个方程的两个根，求k的值 【变式5-1】（23-24八年级下.安徽合肥·期末)已知关于x的一元二次方程x2+9x+20-2k2=0. (1)求证：对于任意实数k,方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一个根 【变式5-2】(24-25八年级下.浙江·期末)已知关于x的一元二次方程x2+(2k-1x+k(k-1)=0. (①)求证：该方程必有两个不相等的实数根. 2若，与是该方程的两个根，且满足上+1-3 五2，求k的值 【变式5-3】(24-25八年级下·山东济南期末)已知x2-2mx+m2+m-9=0是关于x的一元二次方程. (1)若m=0,则该方程的两个实数根分别为和 (2)若该方程有两个不相等的实数根， ①当两根之差为2√3时，求m的值： ②当m为正整数，且两根均为整数时，求m的值， 4/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型六、配方法的应用 1.用于解方程 先将二次项系数化为1，移项使等式左边只含二次项和一次项，再在两边加一次项系数一半的平方，配成 完全平方式后开平方求解，注意开方后需分正负两种情况，避免漏解。 2.用于代数式最值与判定 对二次三项式配方，将其转化为a(x-h)2+k的形式，根据a的正负确定最值；也可通过配方判断代数式 值的正负，或结合非负性求解参数取值范围。 例6.(24-25九年级上河北廊坊期末)用配方法解一元二次方程x2+2x-2024=0,将它转化为 (x-m)2=n的形式，则m"的值为() 1 A.2025 B. C.1 D.-1 2025 【变式6-1】(2024山东德州中考真题)把多项式x2-3x+4进行配方，结果为() A.(x-32-5 B(日 c(+曾 (+ 【变式6-2】(24-25八年级下·北京通州期末)形如x2±2xy+y2的代数式叫做完全平方式，有些代数式可 以通过配方得到完全平方式，我们把这种组成完全平方式的变形过程叫做配方，配方在某些求代数式最值 问题、解方程等都有广泛的应用 例如：x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1)2+2,可得：当x=-1时，代数式x2+2x+3有最小值，最小值为2 请回答下列问题： 25m (I)当x取何值时，代数式x2-8x+10有最小值，最小值为多少 (2)某中学准备在校园里靠墙围一个长方形花园篱笆，如图，围墙MN的长为25m,篱笆的长为40m,当AB 为多少米时，围成的长方形花园ABCD面积最大，求出最大面积。 【变式6-3】(24-25八年级下·广西崇左·期末)【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方 法可以解决很多数学问题.下面是小明同学用配方法解一元二次方程x2-2x-1=0的过程： 解：移项，得x2-2x=1. 5/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 配方，得x2-2x+1=1+1, 所以(x-1)2=2. 直接开平方，得x-1=±2， 所以x=1+√2，x=1-V2. 【问题解决】 (1)小明配方的依据是 A.完全平方公式B.平方差公式C.多项式与多项式乘法法则 (2)用配方法解方程：2x2+12x-4=0. 【拓展应用】 (3)己知x是实数，求代数式x2-2x+5的最小值. 类型七、一元二次方程中的新定义类问题 1.拆解新定义，转化为已知知识 解题时先精读题干，提取新定义的核心要素，明确其与一元二次方程的关联点，将陌生定义转化为“系 数、根、判别式”等熟悉的知识点，避免被新名词干扰思路。 2.结合定义列关系式，验证结果 根据新定义的规则，结合一元二次方程的概念、根的性质等列出等式或不等式，求解参数或根的取值； 得出结果后，代入原定义和方程中验证，确保符合所有条件。 例7.(24-25九年级上河北保定·期末)对于实数a,b定义新运算：a*b=ab+a2,若关于x的方程 x*3=m有两个实数根，则m的取值范围是() A B.m>-号且m0C,m≥} 9 4 D.m≥-2且m≠0 41 【变式7-1】(24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·期末)定义新运算“a*b”:对于任意实数a,b,都有 a*b=ab+3,例：3*4=3×4+3=15，若关于x的方程x*(x-2)=0,则此方程（填“有两个不相等” “有两个相等“没有”)实数根。 【变式7-2】(25-26九年级上·河南安阳·期末)新定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个 实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”.若x2+(n-6)x-6n=0是“倍根 方程”，则n= 【变式7-3】(24-25九年级上·辽宁丹东·期末)“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同 学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力.定义：方程cx2+bx+a=0是一元二次方程 6/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ax2+bx+c=0的倒方程，其中a,b,c为常数（且a,c≠0）.根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程-4x2+3x+1=0的倒方程是 (2)若x=-1是一元二次方程x2-2x+c=0的倒方程的解，求出C的值； (3)若m是一元二次方程-6x2+x+1=0的倒方程的一个实数根，则m3+m2-6m+2025的值为 类型八、一元二次方程的应用 1.审题建模，转化为数学问题 仔细梳理实际问题中的数量关系，找出等量关系，设合适的未知数（直接设或间接设），将文字描述转 化为ax^2+bx+c=0(a≠0)的一元二次方程模型，注意单位统一。 2.求解验证，贴合实际意义 用配方法、公式法或因式分解法解方程，得到解后需结合实际场景验证，舍去不符合题意的根（如负根、 超出范围的根)，确保答案符合问题的实际背景。 例8.(24-25九年级上·云南红河·期末)为丰富学生的课余生活，提高学生的身体素质与团队协作能力， 增强班级凝聚力与集体荣誉感，促进学生间的交流与互动，弘扬体育精神.某校决定举行排球比赛，计划 安排7天，每天安排4场，赛制是参赛的每个队之间都要比赛一场.设有x个球队参加比赛，则x满足的方 程是() A.0-0=28Bx+0=28C.0x-0=28 D.x(x+1)=28 【变式8-1】(25-26九年级上·内蒙古通辽期末)新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品 牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，2018年销量为125.6万辆，销量逐年增加，到2020 年销量为130万辆.设年平均增长率为x,可列方程为一· 【变式8-2】（24-25八年级下，安微期末)如图，在矩形ABCD中，AB=16cm,BC=6cm,动点P、Q分 别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，点Q以2cm/s的速度向点D移动.当点P运动 到点B停止时，点Q也随之停止运动，问几秒后，点P和点Q的距离是10cm? P 【变式8-3】(23-24八年级下·山东东营·期末)随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐 渐成为人们喜爱的交通工具.新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧 化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的，在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升 7/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ()某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月 递增，3月份的销售量达到5.07万辆车，求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源 汽车，经销一段时间后发现；当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元， 平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元.为了推广新能源汽车，此次 销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价 压轴专练 一、单选题 1.(24-25九年级上河南周口期末)用配方法解一元二次方程x2-8x+8=0,此方程可变形为() A.(x-4)2=4B.（x+4)2=4 C.(x-4)2=8 D.(x+4)2=8 2.(24-25九年级上·广西北海期末)若x=1是关于x的一元二次方程x2-mx=0的一个根，则m的值为() A.2 B.-2 C.1 D.-1 3.(25-26九年级上湖北期末)一元二次方程3x2-2x+4=0的二次项系数和一次项系数分别为() A.3,2 B.2,3 C.3,-2 D.3,4 4.(25-26九年级上全国·期末)两个连续偶数的积为120，若设较小的偶数为x,则可列方程为() A.xx+1=120 B.xx+2)=120 C.xx-1=120 D.xx-2)=120 5.(25-26九年级上内蒙古乌兰察布期末)已知关于x的一元二次方程(k-2)x2+2(k+1)x+k-1=0有两 个实数根，下列说法正确的是() A.K的取值范围是k≥且k≠2 B.当k=3时，方程的两根之和为-4 C.若方程有一个根为-1，则k=4 D.当k=3时，方程的两根之积为-4 二、填空题 6.(24-25八年级下·吉林长春期末)若关于x的方程x2+3x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值 范围是一 8/10 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 7.(25-26九年级上全国期末)方程xx-5)=x-5的解为 8.(25-26九年级上全国期末)若关于x的方程(n-3)x”-+x-1=0是一元二次方程，则n= 9.(25-26九年级上广东揭阳期末)对于实数a,b,定义：a*b=a+b,a#b=ab.若x>0,且满足 (1*x)#1#x=1,则x=」 10.(25-26九年级上·全国·期末)某礼品店购进一批2022冬奥会吉祥物特许商品“冰墩墩徽章，如果每个 盈利5元，每天可售出500个，经市场调查发现，若每个涨价1元，则日销售量减少20个，现在既要保证 每天盈利4000元，又要尽可能使顾客花费少些，那么每个应涨价 元 三、解答题 11.(25-26九年级上全国期末)解下列方程： (1)x2-24=2x; (2)3x(x-1)=2x-2. 12.(24-25九年级上河北张家口期末)已知关于x的一元二次方程x2-3x+k=0的两根分别为x,x2 (1)求k的取值范围： (2)若x+x=5,求k的值， 13.(24-25八年级上·四川乐山期末)对于形如x2+6x+9这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成 (x+3)的形式.但对于二次三项式x2+6x+8无法直接用公式法分解，于是可以在二次三项式x2+6x+8中 先加上一项9，使它与x2+6x的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，于是有： x2+6x+8=x2+6x+9-9+8 =x2+6x+9)）-1 =(x+3)2-12 =(x+3+1)(x+3-) =(x+4(x+2) 像这样的方法称为“配方法”，请利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：m2-6m-7; 9/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)若x2+y2-6x-12y+45=0. ①当x、y、m满足条件：2×4=8”时，求的值； ②若ABC三边长是x、y、z,且z为奇数，求ABC的周长. 14.(24-25九年级下·全国期末)如图是某校劳动实践基地的示意图，该基地为两边靠墙的矩形ABCD, 面积为360平方米，墙AB的长为15米。 LLLLLLLLLLLL B (1)据学校管理人员介绍，该基地2023年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同， 请求出这个增长率； (2)如图，学校打算在基地内用总长度为33米的栅栏围成两面靠墙的三个大小相同的矩形空地用来养殖小动 物，总面积为72平方米，求矩形空地的宽EF为多少米 15.(25-26九年级上全国期末)已知关于x的方程x2-x+k-1=0. (①)求证：无论k为何值，方程总有两个实数根： (②)若等腰三角形ABC的一边长为2，另两边长为这个方程的两个根，求k的值. 10/10 期末专题03 一元二次方程的八类综合题型 目录 典例详解 类型一、一元二次方程的相关概念求解 类型二、解一元二次方程 类型三、利用根的判别式求参数 类型四、一元二次方程根与系数的关系 类型五、判别式与根与系数的综合问题 类型六、配方法的应用 类型七、一元二次方程中的新定义类问题 类型八、一元二次方程的应用 压轴专练 类型一、一元二次方程的相关概念求解 1. 抓定义判定方程类型 紧扣“只含一个未知数、未知数最高次数为2、整式方程”的核心定义，解题时先整理方程为ax^2+bx+c=0（a≠0）的一般形式，再根据a是否为0判定是否为一元二次方程，排除含分式、根式的干扰项。 2. 用系数特征求参数值 已知方程为一元二次方程时，利用二次项系数a≠0列不等式；已知方程根的情况求参数时，结合概念先确定a、b、c的值，再代入判别式或根与系数的关系求解。 例1．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）一元二次方程的一次项系数和常数项分别是（   ） A．和1 B．2和 C．和 D．和1 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是，其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项”，熟记一元二次方程的一般形式是解题关键． 将方程化为标准形式后，再根据一元二次方程的一般形式求解即可． 【详解】解：， ∴ 移项得， ∴ 一次项系数为，常数项为， 故选：A． 【变式1-1】（25-26九年级上·广东揭阳·期末）已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值为（　　） A． B． C．2 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0，列式求解即可． 【详解】解：关于x的方程是一元二次方程， ，， ． 故选 ：B． 【变式1-2】（25-26八年级上·上海崇明·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的解，掌握相关知识是解决问题的关键．将根 代入方程，得到关于 的方程，解出 ，并检验是否满足一元二次方程的条件． 【详解】解：将 代入方程 ， 得 ， 即 ， 解得 或 ， ∵一元二次方程二次项系数 ， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1-3】（24-25九年级上·全国·期末）已知a是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】23 【分析】本题考查一元二次方程的解、代数式求值，理解方程的解满足方程是解答的关键． 根据a是方程的一个根，可以得到，然后将所求式子化简，再将整体代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 类型二、解一元二次方程 解一元二次方程的核心技巧如下： 1. **首选因式分解**：观察方程，若能快速分解为两个一次因式的乘积，直接令各因式为零求解，是最快捷的方法。 2. **公式法是通法**：当无法直接分解时，使用求根公式 x =。 **关键前提**是准确计算判别式Δ = b2 - 4ac的值，其决定了根的个数与性质。 3. **活用判别式，验证不能忘**：先算判别式Δ。若 Δ < 0，则无实数根；若 Δ = 0，则两根相等；若 \(Δ > 0\)，则有两不等实根。求出根后，应代入原方程简单验证，确保无误。 例2．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； （）利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，    解得； （2）解：∵，    ∴，    解得． 【变式2-1】（25-26九年级上·全国·期末）解方程： (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用配方法解答即可； （2）先化简，再利用因式分解法解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，； （2）解：原方程可化为， ， ， 【变式2-2】（25-26九年级上·甘肃武威·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用因式分解法求解即可； （2）移项后用因式分解法求解即可． 【详解】（1）， ， 或， 解得，； （2）， ， ， ， 或， 解得，． 【变式2-3】（24-25九年级上·全国·期末）解一元二次方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据题目特点，选择适当的解法是解题的关键． （1）用因式分解法计算即可． （2）用因式分解法计算即可． 【详解】（1）∵ ∴， ∴， ∴， 解得． （2）∵ ∴， ∴， 解得． 类型三、利用根的判别式求参数 1. 定系数算判别式 先将一元二次方程化为ax^2+bx+c=0（a≠0）的一般形式，准确确定a、b、c的符号与数值，代入计算；注意含参数时需关注参数取值对符号的影响，避免漏解。 2. 判根的情况用结论 根据的符号判断根的情况：>0有两个不相等实根，=0有两个相等实根，<0无实根；反之，已知根的情况可列不等式或等式求参数取值范围。 例3．（24-25九年级上·云南红河·期末）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值可以是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次方程有两个相等的实数根，可得判别式 即可求解． 本题考查了由一元二次方程根的判别式求参数的值；掌握根的判别式“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程无实数根．”是解题的关键． 【详解】解：∵ 方程有两个相等的实数根， ∴ Δ = = = 0， ∴ ， ∴ ， 故 的值可以是 ， 故选C． 【变式3-1】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（    ）． A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：①二次项系数不为零，②在有实数根下必须满足，切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：且， 故选：D． 【变式3-2】（24-25八年级下·吉林·期末）若关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是理解题意构建不等式求解．根据方程没有实数根，得到，构建不等式求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3-3】（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知2是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)，方程的另一个根为 【分析】本题围绕一元二次方程展开，（1）通过根的判别式证明方程根的情况；（2）利用根的定义和方程求解（或韦达定理）得出和另一根，核心是对一元二次方程根的相关知识（判别式、根的定义、韦达定理 ）． （1） 根的判别式应用：通过计算得：，利用平方数非负性，证明无论取何值，，以此判定方程总有两个不相等实数根，重点考查对根的判别式概念及作用的理解． （2）方程根的定义与求解：已知根，代入方程可求出的值，再回代方程求解另一根；或结合韦达定理，利用根与系数关系求另一根，考查对“方程的根满足方程”这一基本定义，以及韦达定理（根与系数关系）的运用，体现“代入求值”“方程求解”的解题思路． 【详解】（1）证明：由题意得：， 则：， 无论取何值，，则， 不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根． （2）解：将代入方程可得，解得， 当时，原方程为，解得：， 即方程的另一个根为． 类型四、一元二次方程根与系数的关系 1.  已知一元二次方程 ax2+bx+c=0(a=0) 的两根 x1​,x2​，根与系数的关系（韦达定理）为 x1+x2​=−b/a​，x1.x2​=c/a​。 2. 结合关系转化条件 已知方程根求参数时，直接代入列方程；遇根的代数式求值时，将代数式变形为含和的形式，整体代入简化计算。 例4．（24-25八年级下·广西百色·期末）已知，是方程的两个实数根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系的应用，利用根与系数的关系，求出，再代入计算即可求解，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选A． 【变式4-1】（24-25九年级上·河北张家口·期末）若，是方程的两个实数根，则的值是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，将所求表达式变形后代入求值即可． 【详解】∵ 是方程 的根， ∴ ，即 ． ∵ ， 是方程的两个实数根， ∴ ． ∴ ． 故选 ：C 【变式4-2】（25-26九年级上·全国·期末）已知、是方程两个根，则 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，熟练掌握以上知识点是关键． 利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再通过完全平方公式求解． 【详解】解：对于方程， 根据根与系数的关系，有，。 ， 故答案为：． 【变式4-3】（24-25九年级上·全国·期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)若方程两实数根满足，求k的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了一元二次方程的判别式和根与系数关系，熟练掌握一元二次方程的判别式和根与系数关系是解题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根可表示出判别式，即可求出k的取值范围； （2）由根与系数的关系求得，，进而得到，结合k的取值范围解方程即可． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，， ∵， ∴， 解得：，， 又∵， ∴． 类型五、判别式与根与系数的综合问题 判别式与根与系数的综合问题解题技巧： 1. **核心思路**：此类问题常涉及一元二次方程两根的和、积与判别式综合。解题关键是同时运用韦达定理（根与系数关系）和判别式Δ≥0的条件，二者缺一不可。 2. **核心步骤**： - 先利用韦达定理建立两根和、积与参数的等式关系。 - 再通过判别式Δ≥0求出参数的初步范围（保证方程有实根）。 - 结合其他已知条件（如两根范围、对称轴位置等）建立不等式，进一步约束参数范围。 3. **验证要点**：最终务必检验所得参数是否满足Δ≥0，并回代验证条件的一致性。注意“两实根”与“两不等实根”对Δ的不同要求（Δ>0或Δ≥0）。 例5．（25-26九年级上·全国·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论k为何值，方程总有两个实数根； (2)若等腰三角形的一边长为2，另两边长为这个方程的两个根，求k的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解； （2）设一元二次方程的两个根分别为，然后根据等腰三角形的定义、三角形三边关系及根与系数的关系可分类进行求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴无论k为何值，方程总有两个实数根； （2）解：设一元二次方程的两个根分别为， 由等腰三角形的一边长为2，另两边长为这个方程的两个根，可分为： 当边长为2是该等腰三角形的腰长时，则令，根据根与系数的关系可得：， 解得：， ∴该等腰三角形的三边长分别为2、2、1，根据三角形三边关系可知符合题意； 当边长为2是该等腰三角形的底边长时，则有，根据根与系数的关系可得：， 解得：， ∴该等腰三角形的三边长分别为1、1、2，不符合三角形三边关系； 综上所述：． 【变式5-1】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，熟知根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）只需要证明即可； （2）设方程的另一个根为m，由根与系数的关系可得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴， 解得． 【变式5-2】（24-25八年级下·浙江·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程必有两个不相等的实数根． (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． （）计算一元二次方程根的判别式进而即可求证； （）利用根与系数的关系得，，代入求解即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由题意得，， ∵， ∴， 解得：或， 经检验或是原方程的解， ∴或． 【变式5-3】（24-25八年级下·山东济南·期末）已知是关于x的一元二次方程． (1)若，则该方程的两个实数根分别为______和______； (2)若该方程有两个不相等的实数根， ①当两根之差为时，求m的值； ②当m为正整数，且两根均为整数时，求m的值． 【答案】(1)，； (2)①6；②5或8． 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． （1）时，则原方程变形为，然后利用直接开平方法解方程即可； （2）根据根的判别式的意义得到， ①设方程的两个为α，β，利用根与系数的关系得，，再由，得到，所以，然后解关于m的一次方程即可； ②解方程得到，由于且m为整数，所以当或时，方程的两根均为整数，从而得到m的值． 【详解】（1）解：时，原方程变形为， 解得，； 故答案为：，； （2）根据题意得． 解得， ①设方程的两个为α，β， 根据根与系数的关系得，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 即m的值为6； ②∵， ∴， ∵且m为整数， ∴当或时，方程的两根均为整数， 解得或， 即m的值为5或8． 类型六、配方法的应用 1. 用于解方程 先将二次项系数化为1，移项使等式左边只含二次项和一次项，再在两边加一次项系数一半的平方，配成完全平方式后开平方求解，注意开方后需分正负两种情况，避免漏解。 2. 用于代数式最值与判定 对二次三项式配方，将其转化为 a(x-h)^2+k 的形式，根据 a 的正负确定最值；也可通过配方判断代数式值的正负，或结合非负性求解参数取值范围。 例6．（24-25九年级上·河北廊坊·期末）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（   ） A．2025 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程的配方法，乘方运算，将一元二次方程进行配方变形，即可得到m，n的值，代入即可解答． 【详解】解： 移项，得， 配方，得， 即， ∴，， ∴． 故选：D 【变式6-1】（2024·山东德州·中考真题）把多项式进行配方，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方公式，利用添项法，先加上一次项系数一半的平方使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 根据利用完全平方公式的特征求解即可； 【详解】解： 故选B． 【变式6-2】（24-25八年级下·北京通州·期末）形如的代数式叫做完全平方式，有些代数式可以通过配方得到完全平方式，我们把这种组成完全平方式的变形过程叫做配方．配方在某些求代数式最值问题、解方程等都有广泛的应用． 例如：，可得：当时，代数式有最小值，最小值为2．请回答下列问题： (1)当取何值时，代数式有最小值，最小值为多少． (2)某中学准备在校园里靠墙围一个长方形花园篱笆，如图，围墙的长为，篱笆的长为，当为多少米时，围成的长方形花园面积最大，求出最大面积． 【答案】(1)当时，代数式有最小值，最小值为 (2)当时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是． 【分析】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是明确题意，列出关系式． （1）将代数式配方成，再根据非负数的性质可得答案； （2）设，则，根据题意可以得到面积与矩形一边长的关系式，然后配方即可求得结果，注意求出的边长要符合题意． 【详解】（1）解：∵， ∵， ∴． 当时，代数式有最小值，最小值为． （2）解：设，则， ∴， 解得． ∴． ∵， ∴当时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是． 【变式6-3】（24-25八年级下·广西崇左·期末）【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得． 配方，得， 所以． 直接开平方，得， 所以，． 【问题解决】 （1）小明配方的依据是 A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：． 【拓展应用】 （3）已知x是实数，求代数式的最小值． 【答案】（1）A；（2）；（3）4． 【分析】本题主要考查利用完全平方公式、运用配方法解一元二次方程、运用配方法求最值等知识点，灵活运用完全平方公式成为解题的关键． （1）根据运算过程即可解答； （2）结合配方法将原式变形为，再利用直接开平方法计算即可； （3）利用配方法将原式化简为，结合，即有，则当时，代数式的最小值是4． 【详解】解：（1）方程两边同时加上1，方程左边变成，即，右边变成2，则依据是完全平方公式． 故选：A． （2）， 移项得：， 二次项系数化为1得：， 配方得，即， 直接开平方得， 所以； （3）， ∵无论x取什么数，都有， ， ∴当时，有最小值4，即代数式的最小值是4． 类型七、一元二次方程中的新定义类问题 1. 拆解新定义，转化为已知知识 解题时先精读题干，提取新定义的核心要素，明确其与一元二次方程的关联点，将陌生定义转化为“系数、根、判别式”等熟悉的知识点，避免被新名词干扰思路。 2. 结合定义列关系式，验证结果 根据新定义的规则，结合一元二次方程的概念、根的性质等列出等式或不等式，求解参数或根的取值；得出结果后，代入原定义和方程中验证，确保符合所有条件。 例7．（24-25九年级上·河北保定·期末）对于实数a，b定义新运算：，若关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式∶一元二次方程的根与有如下关系∶当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先利用新定义得到，再把方程化为一般式，然后根据根的判别式的意义得到，再解不等式即可． 【详解】解：， ， 方程化为一般式为， 方程有两个实数根， ， 解得． 故选：C． 【变式7-1】（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）定义新运算“”：对于任意实数，，都有，例：，若关于的方程，则此方程 （填“有两个不相等”“有两个相等”“没有”）实数根． 【答案】没有 【分析】本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的根的判别式：当判别式，方程有两个不相等的实数根；当判别式，方程有两个相等的实数根；当判别式，方程没有实数根．根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式组求解． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴， ∴此方程没有实数根， 故答案为：没有． 【变式7-2】（25-26九年级上·河南安阳·期末）新定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若是“倍根方程”，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查一元二次方程的根以及新定义“倍根方程”的意义，熟练掌握“倍根方程”的意义是解决问题的关键. 通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行解答即可． 【详解】解：解方程，可得， ∵是“倍根方程”， ∴当是6 的2倍时，即有即； 当6是的 2 倍时，即有； 故答案为：或． 【变式7-3】（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中为常数（且．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，则的值为______． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】此题考查了新定义——倒方程．熟练掌握倒方程的定义，一元二次方程根的概念，是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的性质进一步解答即可． 【详解】（1）解：方程的倒方程是；； 故答案为：； （2）解：由题意得：方程的倒方程为， 把代入方程， 得， ∴ （3）解：由题意得：方程的倒方程为， ∵m是方程的一个实数根， ∴， ∴． 故答案为：2025． 类型八、一元二次方程的应用 1. 审题建模，转化为数学问题 仔细梳理实际问题中的数量关系，找出等量关系，设合适的未知数（直接设或间接设），将文字描述转化为ax^2+bx+c=0（a≠0）的一元二次方程模型，注意单位统一。 2. 求解验证，贴合实际意义 用配方法、公式法或因式分解法解方程，得到解后需结合实际场景验证，舍去不符合题意的根（如负根、超出范围的根），确保答案符合问题的实际背景。 例8．（24-25九年级上·云南红河·期末）为丰富学生的课余生活，提高学生的身体素质与团队协作能力，增强班级凝聚力与集体荣誉感，促进学生间的交流与互动，弘扬体育精神．某校决定举行排球比赛，计划安排7天，每天安排4场，赛制是参赛的每个队之间都要比赛一场．设有x个球队参加比赛，则x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程． 根据单循环赛制，总比赛场次为组合数，即，再根据总安排28场比赛，列出方程． 【详解】解：∵每个队之间都要比赛一场， ∴总比赛场次为， 又∵计划安排7天，每天4场， ∴总比赛场次为. ∴， 即， 故选：A． 【变式8-1】（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，2018年销量为125.6万辆，销量逐年增加，到2020年销量为130万辆．设年平均增长率为x，可列方程为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意． 设年平均增长率为x， 【详解】设年平均增长率为x，则2019年销量为万辆，2020年销量为万辆， 根据题意，2020年销量为130万辆， 因此可列方程为． 故答案为：． 【变式8-2】（24-25八年级下·安徽·期末）如图，在矩形中，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，点Q以的速度向点D移动．当点P运动到点B停止时，点Q也随之停止运动，问几秒后，点P和点Q的距离是？ 【答案】或后点P和点Q的距离是 【分析】作交于E，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解．此题考查了一元二次方程的运用．利用作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程是解题关键． 【详解】解：过点P作交于E．则， 设运动时间为t秒， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴四边形和是矩形， ∴，，， 在中，， 可得：， 解得． 答：P、Q两点从出发开始或后，点P和点Q的距离是． 【变式8-3】（23-24八年级下·山东东营·期末）随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的．在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． (1)某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆车．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现；当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】(1) (2)21万元 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，找出数量关系是解题的关键． （1）从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，由题意易得，进而求解即可； （2）设下调后每辆汽车的售价为万元，由题意易得，进而求解即可． 【详解】（1）解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，由题意得： ， 解得：（舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为． （2）解：设下调后每辆汽车的售价为万元，由题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵要尽量让利于顾客， ∴； 答：下调后每辆汽车的售价为万元． 一、单选题 1．（24-25九年级上·河南周口·期末）用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了配方法，解答时熟练掌握配方法的步骤是关键．先将常数项移到等号的右边，在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成一个完全平方式即可． 【详解】解：移项，得 配方，得 即 故答案为：C． 2．（24-25九年级上·广西北海·期末）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为(   ) A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解；将已知根 代入一元二次方程，直接求解 的值． 【详解】解：∵ 是方程 的根， ∴ 代入得 ， 即 ， ∴ ． 故选：C． 3．（25-26九年级上·湖北·期末）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（） A．3，2 B．2，3 C．3， D．3，4 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的基本概念，一元二次方程中，二次项系数是a，一次项系数是b，常数项是c． 【详解】解：对于方程，二次项系数为3，一次项系数为． 故选：C． 4．（25-26九年级上·全国·期末）两个连续偶数的积为 ，若设较小的偶数为 ，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 设较小的偶数为，则较大的偶数为，根据积为120列方程． 【详解】解：较小的偶数为，较大的偶数为，根据题意，得 ． 故选：B． 5．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根，下列说法正确的是（    ） A．的取值范围是且 B．当时，方程的两根之和为 C．若方程有一个根为，则 D．当时，方程的两根之积为 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，根与系数关系，根的判别式等知识．一元二次方程有两个实数根需满足二次项系数不为零且判别式非负． 计算判别式并求解不等式，再进一步验证其他选项即可． 【详解】解：∵方程为一元二次方程， ∴ ，即． 判别式． ∵ 有两个实数根， ∴ ，即 ， ∴ ，即 且 ． 选项A正确． 选项B：当 时，方程，方程的两根之和为，选项错误． 选项C：代入 ，得 ，关于的方程无解，选项错误． 选项D：当 时，方程，两根之积为 ，选项错误． 故选：A 二、填空题 6．（24-25八年级下·吉林长春·期末）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练使用一元二次方程根的判别式是解题关键． 利用一元二次方程根的判别式的意义可以得到，然后解关于m的不等式即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根 ∴， 解得：． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·全国·期末）方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程．先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴移项得， 则提取公因式得， ∴得或， 解得，； 故答案为：，． 8．（25-26九年级上·全国·期末）若关于的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，方程中未知数的最高次数必须为2，且二次项系数不能为零．因此，需要满足指数条件且系数条件． 【详解】解：由于方程是一元二次方程，则的最高指数， 解得或，即或． 同时，二次项系数，即． 因此，满足条件的值为． 当时，方程为，符合一元二次方程的定义． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）对于实数a，b，定义：，．若，且满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程．理解新定义运算是解题的关键． 根据新定义运算，将给定表达式转化为关于 的方程，然后求解二次方程，并根据 的条件选取合适的根． 【详解】由定义和，得则 即 ， 由于 ，故取 故答案为：． 10．（25-26九年级上·全国·期末）某礼品店购进一批2022冬奥会吉祥物特许商品“冰墩墩”徽章，如果每个盈利5元，每天可售出500个，经市场调查发现，若每个涨价1元，则日销售量减少20个，现在既要保证每天盈利4000元，又要尽可能使顾客花费少些，那么每个应涨价 元． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，设元列方程是关键．设每个涨价x元，则每个盈利 元，日销售量个，根据每天盈利4000元，列出方程求解即可． 【详解】解：设每个涨价x元，则每个盈利 元，日销售量个， 根据题意，得， 化简整理，得， 解得 或 ， 为使顾客花费少，取较小值 ， 每个涨价5元． 故答案为：5． 三、解答题 11．（25-26九年级上·全国·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的因式分解法求解，熟练掌握因式分解（十字相乘法、提取公因式法）的方法是解题的关键． （1）先将方程整理为一般形式，再用因式分解法求解； （2）先对右边式子变形，再通过移项、提取公因式，用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， ， ， ∴ 或 ， 解得 ，， （2）解：， ， ， ∴ 或 ， 解得 ，． 12．（24-25九年级上·河北张家口·期末）已知关于x的一元二次方程的两根分别为 (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟知根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）根据题意原方程有两个实数根，则，据此求解即可； （2）由根与系数的关系可得，则可推出，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程的两根分别为， ∴， ∴； （2）解：∵关于x的一元二次方程的两根分别为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴符合题意， ∴． 13．（24-25八年级上·四川乐山·期末）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式无法直接用公式法分解，于是可以在二次三项式中先加上一项9，使它与的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，于是有： 像这样的方法称为“配方法”，请利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)若． ①当、、满足条件：时，求的值； ②若三边长是、、，且为奇数，求的周长． 【答案】(1) (2)①5；②14或16 【分析】本题主要考查了利用“配方法”进行因式分解、三角形的三边的关系、同底数幂的乘法等知识点，灵活运用“配方法”是解答本题的关键． （1）直接利用“配方法”求解即可； （2）先利用“配方法”求出、；①由得到，即，进而完成解答；②由三角形三边的关系可得，，即，则可得z可以为5、7，即有可以为14、16问题得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，； ①∵， ∴， ∴ ∴，即， ∵，， ∴，解得：，即n的值为5； ②∵三边长是、、， ∴， ∵，， ∴， ∵z奇数， ∴z以为5、7， ∴可以为14、16．即△ABC的周长为：14或16． 14．（24-25九年级下·全国·期末）如图是某校劳动实践基地的示意图，该基地为两边靠墙的矩形，面积为平方米，墙的长为米． (1)据学校管理人员介绍，该基地年的面积只有平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； (2)如图，学校打算在基地内用总长度为米的栅栏围成两面靠墙的三个大小相同的矩形空地用来养殖小动物，总面积为平方米，求矩形空地的宽为多少米． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查一元二次方程解应用题，读懂题意，找准等量关系列方程求解是解决问题的关键． （1）设这个增长率为，由题意得到，利用直接开平方法求解即可得到答案； （2）设矩形空地的宽为米，则的长为米，从而得到方程，利用因式分解法求解，再根据取值即可得到答案． 【详解】（1）解：设这个增长率为， 则由题意得， 解得（负值不合题意，舍去），， 答：这个增长率为； （2）解：设矩形空地的宽为米，则的长为米， 则由题意得矩形面积为， 即， 整理得， ， 解得，， 米， ，则， 取，则米， 答：矩形空地的宽为米． 15．（25-26九年级上·全国·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论k为何值，方程总有两个实数根； (2)若等腰三角形的一边长为2，另两边长为这个方程的两个根，求k的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解； （2）设一元二次方程的两个根分别为，然后根据等腰三角形的定义、三角形三边关系及根与系数的关系可分类进行求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴无论k为何值，方程总有两个实数根； （2）解：设一元二次方程的两个根分别为， 由等腰三角形的一边长为2，另两边长为这个方程的两个根，可分为： 当边长为2是该等腰三角形的腰长时，则令，根据根与系数的关系可得：， 解得：， ∴该等腰三角形的三边长分别为2、2、1，根据三角形三边关系可知符合题意； 当边长为2是该等腰三角形的底边长时，则有，根据根与系数的关系可得：， 解得：， ∴该等腰三角形的三边长分别为1、1、2，不符合三角形三边关系； 综上所述：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $