第04讲 不等式（组）及其应用（含参与整数解问题）（培优讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习高效培优系列

该初中数学讲义聚焦中考不等式（组）专题，覆盖定义、性质、解法及应用等核心考点，构建“考点深解-命题突破-难点攻坚-练测提能”复习体系，通过考点梳理、解题技巧指导、真题典例变式训练，帮助学生突破含参整数解等难点，体现系统性与针对性。 亮点在于“难点攻坚”模块，如通过数轴分析由整数解求参数问题，培养学生推理意识与运算能力。设置分层练测，配合即时反馈机制，确保高效复习。助力学生提升应考能力，为教师提供精准复习节奏把控指导。

函学科网·上好课 第二章方程（组）与不等式（组） 第04讲不等式（组）及其应用 目 录 目标导图☐口构建知识脉络 考点深解和口速通命题要点 考点1不等式的定义与性质 考点2一元一次不等式（组） 考点3一元一次不等式（组）的应用 命题突破如口破解常考题型 题型1不等式的定义 题型2不等式的解集 题型3不等式的性质 题型4一元一次不等式（组）的定义 题型5解一元一次不等式（组） 题型6一元一次不等式（组）的应用 难点攻坚红口攻克易错难点 难点1利用一元一次不等式的定义求参数 难点2由一元一次不等式的整数解求参数 难点3由一元一次不等式的解集的情况求参数 难点4不等式组和方程组的结合问题 练测提能D口效果及时检测 测能力/提能力 1/15 上好每一堂课 (含参与整数解问题) 面学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 构建知识脉络 「用不等号(>、<.之.≤.)连接两个代数式的式子 了山不停式的定义示不等关系的数学表达可 1.不等式的基本概念 不等式两边加或减)同一个数或式子)，不等号的方向不 12不等式的本性 ·不等式两边都乘（或等以）同一个正数，不等号的方向不变 人不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 21定义 只含有一个未知数，且未知数的次数 是的不等式 1去分母：不等式两边同乘分母的最小公倍数（注意符号） “确保正确率“：草理基本解法，确保 三础题不失分 2.括号：根据希法分配律辰开 一元一次不等式 “步孩完整“：按照标准步骤解题，避】 22解法步速 了.移项：柠合宋如数的项移到一边，常数项移到另一边 -11基出 免跳步导致错误 4台井同类项：化简不等式两边 “检查习惯“：养成代入检验的习惯 不 人5.系数化为：两边同除以未知数的系数（注意不等号方向】 关分析条件“：仔烟分折日中的不 23解生表示一数抽表示：用数轴上的区间表示解鱼 知识 一3.1定义一由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组 “速立模型“：将实际问题转化为不等 12中档题 梳理 式（组）模型 解策略 式 ,几个不等式解生的公共部分 32解 ·3.一元一次不等式组 同大取大；同小取小；大小小大中同我：大大小小找不到 组 1.分别求解：求出每个不等式的解集 “综合应用：结合②数、方程等知 ) 3.3解法步十2.找公共部分：利用数轴找出解集的交集 综合解决问题 13压轴题 学法 及其应 儿3.写出解害：用适当的方式表示不等式组的解焦 步源：设未知数、列不等式（组）、解不等式（组）、检 指导 验并作答 “总结规律“：归纳常见压独更的解更 模式和规律 C61实际问里中的不等式 方设计问题 利用函数图像分析不等式解生、 用 最值问更 21函数与方程思想 常见类型 将不等式问题转化为方程问题· 比较问题 处理绝对值不等式时的分类讨论) (范压问题 2.2分关讨论思想 6不式的巾用 解决含参数不等式时的分类讨论 一“一次函致与不等式“：利用函数图像解不等式 ·2.改学思想方法 利用数轴表示不等式解售 ,6.2与函数的墙合- 二次数与不等式“：利用二次函数图像解一元二次不等式 利用函数空像分折不等式关系 2.3数形结合思想 “不等式与西数定义域“：通过不等式确定数的定义域 符复杂不等式转化为简单不等式 ,不等式轻生的边界值件往是对应方程的解 实际题转化为数学不等式发型】 2.4转化与化归思想 6.3与方程的关系 ,方程的解是对应不等式解集的端点 速通命题要点 ◇考点1 不等式的定义与性质 1.不等式的定义：一般地，用“<”、 “>”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠” 表示不等关系的式子也是不等式 2.不等式的解集：不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解， 不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集。 3.不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 不等式的基本性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 易混易错 1.*混淆“不等式”与“等式”* 2/15 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 不等式表示大小关系，解是范围；方程求精确解。 2.*忽略“乘负数变号”* 两边乘（或除）同一个负数时，必须改变不等号方向。 3.*误用加减性质** 不等式两边可加（减）任何数，方向不变；但不可随意消去含未知数的项，除非确定该项符号，否则可 能出错。 ◇考点2 一元一次不等式（组） 1.一元一次不等式（组）的定义 一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式. 一元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次 不等式组 2.解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项： ⑤化系数为1. 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号 方向. 注意：符号“≥”和“≤”分别比“>”和“<”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式. 3.解一元一次不等式组 (1)一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的 解集 (2)解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组 (3)一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解 集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集， 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分， 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到. 易混易错 1.*“去分母”漏乘不含分母的项* 去分母时，方程两边每项都要乘以最简公分母，常数项或单独字母项勿漏乘。 2.**“系数化为1”时忘记变号* 不等式两边同乘（除）负数，必须改变不等号方向，这是与解方程的核心区别，最易疏忽。 3/15 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.**不等式组解集判断错误* 取公共部分时易混淆方向，尤其“大大小小无处找”（无解）的情况，建议务必画数轴直观判断。 ◇考点3 一元一次不等式（组）的应用 (1)由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的 答案。 (2)列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关 系.因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵。 (3)列一元一次不等式（组）解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数.②根据题中的不等关系列出不等式.③解不等式，求出解集。 ④写出符合题意的解。 易混易错 1.*混淆“至多”“至少”对应的不等号* “至少”对应≥（大于或等于），“至多”对应≤（小于或等于）。审题时圈出关键词，避免列式错误。 2.*列不等式时忽略实际意义* 解出的范围需符合实际，如人数、物品数应为*非负整数*，时间、价格应为**正数*。求出解集后必须 检验并取符合条件的值。 3.**方案设计问题中漏解* 涉及分配、选择方案时，解集常是一个范围，需从中找出所有可能的整数解，并逐一验证是否符合题意， 不能仅写范围。 破解常考题型 ◇题型 兀一 次不等式（组的应用 典例1(2025河北沧州模拟预测)根据下图所示，可知如20，则o”内应填的符号是() xg A.> B.< C.= D.≥ 典例2(2025·广东云浮.一模)如图所示的交通标志为某条城市公路某路段上汽车的最高时速不得超过 40kmh,若某汽车的时速为akm/h,且该汽车没有超速，则下列不等式正确的是() 4/15 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 40 A.a<40 B.a≤40 C.a>40 D.a≥40 解题技巧 1.*抓定义核心*：用不等号(>、<、≥、≤、≠)连接而成的式子叫不等式，表示两边大小关系。 判断关键是看是否有不等号。 2.*与方程区分*：方程是等式（有等号），求确切解；不等式表示范围，解通常是一个或几个区间。 3.**理解解的意义*：不等式的解是能使它成立的未知数值的全体。解题时最终结果常表示为“x>” 或区间形式，需在数轴上直观体现。 变式1(2025河北衡水模拟预测)若不等式“x3可以表示“不超过3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是() A.≤ B.< C.≥ D.> 变式2如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过30kmh.用 v(kmh)表示汽车的速度，v与30应满足的关系为() 幼儿园 A.v≤30 B.v<30 C.v>30 D.v≥30 ◇题型2不等式的解集 典例1(2023广东东莞一模)下列数值中，不是不等式x-3≥0的解的是() A.5 B.4 C.3 D.2 典例2(2023河北石家庄模拟预测)若α是不等式3x-1≥2的解，但b不是不等式3x-1≥2的解，则下列 选项中，正确的是() A.a<b B.a>b C.azb D.a≤b 解题技巧 1.*明确解集含义*：解集是所有能使不等式成立的未知数的值的集合。最终答案需用简洁形式（如ⅹ 5/15 学科网·上好课 www zxxk .com 上好每一堂课 >a或区间)表示。 2.**数轴直观表达*：将解集在数轴上表示，能清晰展示范围。注意区分实心点（包含等号）与空心点 (不包含等号)。 3.**验证端点与方向*：检查边界点（如x=)是否包含在解集中，并确认不等号方向在变形中是否正确 确保解集准确无误。 变式1(2023·吉林白城模拟预测)下列说法正确的是（) A.不等式x<0的解是x=0 B.不等式x<0的解是x=-1 C.x=0是不等式x<0的一个解 D.x=-1是不等式x<0的一个解 变式2(2023河北保定·三模)下列说法正确的是() A.x=2是不等式3x>-6的一个解 B.x=2不是不等式3x>-6的解 C.不等式3x>-6的解只有x=2 D.不等式3x>-6的解集是x<-2 ◇题型3 不等式的性质 典例1(2025四川绵阳·中考真题)设a>b,则下列不等关系正确的是() A.a+3<b+3B.-2a>-2b c号 D.a-3<b-3 典例2(2025上海模拟预测)若实数x、y满足x<y,则下列结论正确的是() 11 A.x+1>y-3B.x-1>y-4 C.3x<3y D.> x y 解题|技|巧 1.*保序运算不反向** 不等式两边加（减）同一个数或整式，或乘（除）同一个*正*数，不等号方向不变。这是进行恒等变 形的基础。 2.*乘除负数必转向* 不等式两边乘（除）同一个*负*数，不等号方向**必须改变**(>变<，≤变≥等)。这是最易错点， 需时刻警惕。 3*传递性与叠加性* 若a>b且b>c,则a>c(传递性)；同向不等式可相加（方向不变），但一般不能直接相减。解题时可 用于比较或推导新不等式。 变式1(2025江苏苏州模拟预测)如果a>b,那么下列不等式中不成立的是() N-3b-)B号号 C.2a>a+b D.1-3a>1-3b 变式2(2023青海西宁.模拟预测)若a>b,则下列不等式一定成立的是() A.2a-5x 2b-5 B.ac x bc C.3-a>3-b D.3a<3b 6/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◇题型 4 一 元一次不等式（组）的定义 典例1下列不等式是一元一次不等式的是（) A.4>-1 B.-2a2+3b>5 C.3x>9 D.3x-2y≤-1 典例2下列各式不是一元一次不等式组的是() [x-5>0 3x-5>0 x+2<0 a-1<0 3 B C D. y>-5 4x+2<0 b+2>0 4x+8<9 解题技巧 1.*抓定义核心** 一元一次不等式：含一个未知数，且未知数次数为1的不等式（如x+b>0,a≠0）。一元一次不等式组： 由几个这样不等式组合而成。 2.*判别关键点* 判断时先化简，确保未知数最高次数为1，且分母不含未知数。注意区分严格不等号(>，<)与含等号（≥ ≤)。 3.*解法思想* 单个不等式解法类似一元一次方程（注意乘负数变号）。解不等式组则需分别解出每个不等式，再取解 集的公共部分（可借助数轴直观寻找）。 变式1下列是一元一次不等式的是() A.2x+1=5 B.2x+1 C.x2+1>5 D.2x+1>10 变式2下列不等式组中，是一元一次不等式组的是() x>2 x+1>0 A. B x-1<-3 y-2<0 3x-2>0 3x-2>0 C. 1(x-2)(x+3)>0 D. x+1>1 ◇题型5解一元一次不等式（组） 典例1(2025江苏一模)解不等式：2x+2]≤4x-引， 并把解集在数轴上表示出来： 典例2(2025陕西·中考真题)解不等式3(2x-1≤4x+1,把它的解集表示在如图所示的数轴上. -4-3-2-101234> 解题|技巧 1.*类比方程，注意变号* 7/15 面学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解法步骤与解一元一次方程类似：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。关键差异：*系数 化为1时，若乘（或除）负数，不等号方向必须改变**。 2.**组解取交集（公共部分)* 解不等式组时，分别解出每个不等式。将每个解集在数轴上表示出来，找出所有解集重叠的部分（公共 部分)，即为不等式组的解集。注意空心点与实心点的区别。 3.*规范表达解集* 最终解集用简洁的不等式或区间表示。若在数轴上表示，需标清方向与端点。最后建议选取解集内一个 值代入原不等式验证。 4-x>21-x)① 变式1(2025山东济南·中考真题)解不等式组 x-27-x② 并写出它的所有整数解， 2 3 3x<x+4 变式2(2025山西.一模)解不等式组 x-32x-1-1' 并将其解集表示在如图所示的数轴上。 2 3 -6 -5-4-3-2-10 1 2 ◇题型6一元一次不等式（组）的应用 典例1(2025江苏盐城中考真题)某公司为节约成本，提高效率，计划购买A、B两款机器人.已知A款 机器人的单价比B款机器人的单价多1万元，用25万元购买A款机器人的数量与用20万元购买B款机器人 的数量相同 (I)求A、B两款机器人的单价分别是多少万元？ (2)如果购买A、B两款机器人共12台，且购买A款机器人的数量不少于B款机器人数量的一半，请设计购 买成本最少的方案。 典例2(2025四川广元中考真题)某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品.在采购中发现， 篮球的单价比足球的单价高20元，用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同， (1)求篮球和足球的单价； (②)学校需购买篮球和足球共120个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的亏，设购买篮球x 个，总费用为y元，求总费用y(元)与x(个)的函数关系式，并求出x的取值范围和总费用最低时的购 买方案， 解题|技巧 1.*审题设元，抓关键词* 仔细读题，明确未知量，合理设元（如设人数、价格等）。注意捕捉“至少”、“不超过”、“大于” 8/15 面学科网·上好课 www zxxk .com 上好每一堂课 等关键词，它们直接对应不等号（≥、≤、>）。 2.**根据不等关系列式* 将题目中的不等关系转化为数学不等式。通常涉及“总量比较”、“范围限制”等。若有多条限制，则 需列出不等式组。 3.*规范求解，双重检验* 规范解不等式（组），求出未知数的取值范围。最后必须检验：①*数学检验*：解是否满足所列不等 式；②*实际检验*：解是否符合实际意义（如人数为正整数、价格非负等），并确定最终答案。 变式1(2025西藏中考真题)2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰， 受到广大观众的喜爱.某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售 价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： ()列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服 装各多少件？ (②)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎.工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求 甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍.假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 变式2(2025黑龙江·中考真题)2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发 布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相.第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在 活动中表现优秀的学生.已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔 共需380元 (1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？ (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？ (3)设学校投入资金W元，在(2)的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？ 点攻 坚 →攻克易错难点 ◇难点1利用一元一次不等式的定义求参数 9/15 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 典例1若(m+1)x州+2>0是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是() A.x=0 B.x<-3 C.x>-1 D.x<-1 典例2已知(m+4)x+6>0是关于x的一元一次不等式，则m的值为() 3 A.4 B.±4 C.3 D.±3 变式1已知(k+3)x2+5<k-4是关于x的一元一次不等式，则k的值是() A.3 B.-3 C.3 D.无法确定 变式2若(a-2)xa--2<0是关于x的一元一次不等式，则a的值为() A.2 B.-1 C.0 D.0或2 ◇难点2由一元一次不等式组的整数解求参数 典例1(2025江苏宿迁.一模)若关于x的不等式2(x+a>4的最小整数解是2，则a的取值范围 是 典例2若关于x的不等式5x-2m<3x只有3个正整数解，则m的取值范围是 变式1(2025·安徽模拟预测)若关于x的不等式组 3x-1≥5 的整数解共有三个，则α的取值范围是 x+a≤2 4x-a≤3 变式2(2025四川达州一模)关于x的不等式组{x-12x+1恰有四个整数解，则a的取值范围是 3 5 ◇难点3由一元一次不等式组的解集的情况求参数 x-a>0 典例1(2025湖北襄阳·模拟预测)若关于x的不等式组 无解，则a的取值范围为 2-x≥0 典例2(2025河南驻马店·模拟预测)若关于x的不等式组 2x-1<3 x-m<0 的解集是x<m,则m的取值范围 是 x≥m 变式1(2025广东惠州二模)若关于x的不等式组 2(x+1)<4无解，则m的取值范围为 [2-x≤0 变式2(2025黑龙江牡丹江一模)关于x的不等式组 a-2x≤0 的解集为x≥2，则所有正整数a的和 为 10/15null 第二章 方程（组）与不等式（组） 第04讲 不等式（组）及其应用（含参与整数解问题） 目 录 目标导图👉构建知识脉络 考点深解👉速通命题要点 考点1不等式的定义与性质 考点2一元一次不等式（组） 考点3一元一次不等式（组）的应用 命题突破👉破解常考题型 题型1不等式的定义 题型2不等式的解集 题型3不等式的性质 题型4一元一次不等式（组）的定义 题型5解一元一次不等式（组） 题型6一元一次不等式（组）的应用 难点攻坚👉攻克易错难点 难点1利用一元一次不等式的定义求参数 难点2由一元一次不等式的整数解求参数 难点3由一元一次不等式的解集的情况求参数 难点4不等式组和方程组的结合问题 练测提能👉效果及时检测 测能力/提能力 ◇考点 1 不等式的定义与性质 1.不等式的定义：一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 2.不等式的解集：不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 3.不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 1. **混淆“不等式”与“等式”** 不等式表示大小关系，解是范围；方程求精确解。 2. **忽略“乘负数变号”** 两边乘（或除）同一个负数时，必须改变不等号方向。 3. **误用加减性质** 不等式两边可加（减）任何数，方向不变；但不可随意消去含未知数的项，除非确定该项符号，否则可能出错。 ◇考点 2 一元一次不等式(组) 1.一元一次不等式（组）的定义 一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 一元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 2.解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 3.解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 1. **“去分母”漏乘不含分母的项** 去分母时，方程两边每项都要乘以最简公分母，常数项或单独字母项勿漏乘。 2. **“系数化为1”时忘记变号** 不等式两边同乘（除）负数，必须改变不等号方向，这是与解方程的核心区别，最易疏忽。 3. **不等式组解集判断错误** 取公共部分时易混淆方向，尤其“大大小小无处找”（无解）的情况，建议务必画数轴直观判断。 ◇考点 3 一元一次不等式(组)的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式（组）解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 1. **混淆“至多”“至少”对应的不等号** “至少”对应 ≥（大于或等于），“至多”对应 ≤（小于或等于）。审题时圈出关键词，避免列式错误。 2. **列不等式时忽略实际意义** 解出的范围需符合实际，如人数、物品数应为**非负整数**，时间、价格应为**正数**。求出解集后必须检验并取符合条件的值。 3. **方案设计问题中漏解** 涉及分配、选择方案时，解集常是一个范围，需从中找出所有可能的整数解，并逐一验证是否符合题意，不能仅写范围。 ◇题型 1 一元一次不等式(组)的应用 典例1（2025·河北沧州·模拟预测）根据下图所示，可知x□20，则“□”内应填的符号是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列不等式，根据图中重量的轻重可得结论． 【详解】解：由图可知，， 故选：B． 典例2（2025·广东云浮·一模）如图所示的交通标志为某条城市公路某路段上汽车的最高时速不得超过，若某汽车的时速为，且该汽车没有超速，则下列不等式正确的是（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列不等式的知识，明确题意是解答本题的关键． 根据不超过指的是小于等于，直接列不等式即可作答． 【详解】解：∵汽车的最高时速不得超过，某汽车的时速为，且该汽车没有超速， ∴， 故选：B． 解｜题｜技｜巧 1. **抓定义核心**：用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）连接而成的式子叫不等式，表示两边大小关系。判断关键是看是否有不等号。 2. **与方程区分**：方程是等式（有等号），求确切解；不等式表示范围，解通常是一个或几个区间。 3. **理解解的意义**：不等式的解是能使它成立的未知数值的全体。解题时最终结果常表示为“x＞a”或区间形式，需在数轴上直观体现。 变式1（2025·河北衡水·模拟预测）若不等式“”可以表示“不超过3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是列不等式，理解语言表示不等关系的含义是关键，由不超过表示小于或等于可得答案． 【详解】解：不等式“”可以表示“不超过3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是：， 故选：A 变式2如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过．用表示汽车的速度，v与30应满足的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的概念，用不等号将两个整式连结起来所成的式子，在一个式子中的数的关系，不全是等号，含不等符号的式子，那它就是一个不等式，即用“大于号”、“小于号”、“不等号”、“大于等于”或“小于等于”连接并具有大小关系的式子，叫做不等式，根据题意可知汽车的速度v不超过，即汽车的速度v小于等于，然后用符号表示即可． 【详解】解：根据题意v与30应满足的不等关系为， 故选：A． ◇题型 2 不等式的解集 典例1（2023·广东东莞·一模）下列数值中，不是不等式的解的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式，不等式的解集，根据不等式的性质解不等式，进而即可求解． 【详解】解：移项得，， 所以，不是不等式的解集的是． 故选：D． 典例2（2023·河北石家庄·模拟预测）若a是不等式的解，但b不是不等式的解，则下列选项中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解不等式得到不等式的解集，确定a和b的取值范围，从而比较a和b的大小即可解答． 【详解】解：解得：， ∵a是不等式的解， ∴， ∵b不是不等式的解， ∴， ∴． 故选B． 解｜题｜技｜巧 1. **明确解集含义**：解集是所有能使不等式成立的未知数的值的集合。最终答案需用简洁形式（如x>a或区间）表示。 2. **数轴直观表达**：将解集在数轴上表示，能清晰展示范围。注意区分实心点（包含等号）与空心点（不包含等号）。 3. **验证端点与方向**：检查边界点（如x=a）是否包含在解集中，并确认不等号方向在变形中是否正确，确保解集准确无误。 变式1（2023·吉林白城·模拟预测）下列说法正确的是（　　） A．不等式的解是 B．不等式的解是 C．是不等式的一个解 D．是不等式的一个解 【答案】D 【分析】本题考查不等式的解和解集的定义．根据不等式的解集的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、不是不等式的解，故本选项不符合题意； B、不等式的解是所有小于0的数，故本选项不符合题意； C、不满足，故本选项不符合题意； D、是不等式的一个解，故本选项符合题意． 故选：D． 变式2（2023·河北保定·三模）下列说法正确的是（    ） A．是不等式的一个解 B．不是不等式的解 C．不等式的解只有 D．不等式的解集是 【答案】A 【分析】根据不等式解集和解的概念求解可得． 【详解】解：A、不等式的解集为，则是不等式的一个解，故本选项正确，符合题意； B、是不等式的解，故本选项错误，不符合题意； C、不等式的解集是，解有无数多个，故本选项错误，不符合题意； D、不等式的解集是，故本选项错误，不符合题意； 故选：A ◇题型 3 不等式的性质 典例1（2025·四川绵阳·中考真题）设，则下列不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题关键． 根据不等式的基本性质逐一验证选项即可． 【详解】解：由， ∴，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C正确； ，故选项D错误， 故选：C． 典例2（2025·上海·模拟预测）若实数、满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质判断即可． 【详解】解：A、由无法确定是否成立，不符合题意； B、由无法确定是否成立，不符合题意； C、由两边同时乘以3，不等式不变号得到，符合题意； D、由无法确定是否成立，不符合题意． 故选：C． 解｜题｜技｜巧 1. **保序运算不反向** 不等式两边加（减）同一个数或整式，或乘（除）同一个**正**数，不等号方向不变。这是进行恒等变形的基础。 2. **乘除负数必转向** 不等式两边乘（除）同一个**负**数，不等号方向**必须改变**（＞变＜，≤变≥等）。这是最易错点，需时刻警惕。 3. **传递性与叠加性** 若 a>b 且b>c，则a>c（传递性）；同向不等式可相加（方向不变），但一般不能直接相减。解题时可用于比较或推导新不等式。 变式1（2025·江苏苏州·模拟预测）如果，那么下列不等式中不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的有关性质．根据不等式的性质对选项逐个判断即可． 【详解】解：∵ ∴，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，A正确，不符合题意； ，不等式两边同时乘以或除以一个大于零的数，不等号方向不变，B正确，不符合题意； ，不等号两边同时加上同一个数，不等号方向不变，C正确，不符合题意； ，D错误，符合题意； 故选：D． 变式2（2023·青海西宁·模拟预测）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 依据不等式的性质进行判断，即可得出答案． 【详解】解：A．若，则，故此选项符合题意； B．若，当时，，故此选项不符合题意； C．若，则，故此选项不符合题意； D．若，则，故此选项不符合题意． 故选：A． ◇题型 4 一元一次不等式（组）的定义 典例1下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，正确把握一元一次不等式的定义是解题关键． 根据一元一次不等式的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为1）直接判断各选项即可． 【详解】解：A、，不含未知数，故此选项不符合题意； B、，含两个未知数和，且的最高次数为2，故此选项不符合题意； C、，只含一个未知数，且的次数为1，故此选项符合题意； D、，含两个未知数和，故此选项不符合题意． 故选：C． 典例2下列各式不是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的定义，准确判断是解题的关键．根据一元一次不等式组的定义：由几个含有相同未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式叫做一元一次不等式组，判断即可得到结果． 【详解】解：A、，是一元一次不等式组，故不符合题意； B、，是一元一次不等式组，故不符合题意； C、，是一元一次不等式组，故不符合题意； D、，含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故符合题意； 故选：D． 解｜题｜技｜巧 1. **抓定义核心** 一元一次不等式：含一个未知数，且未知数次数为1的不等式（如ax+b>0，a≠0）。一元一次不等式组：由几个这样不等式组合而成。 2. **判别关键点** 判断时先化简，确保未知数最高次数为1，且分母不含未知数。注意区分严格不等号（>，<）与含等号（≥，≤）。 3. **解法思想** 单个不等式解法类似一元一次方程（注意乘负数变号）。解不等式组则需分别解出每个不等式，再取解集的公共部分（可借助数轴直观寻找）。 变式1下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式．选项A是方程，选项B是代数式，选项C中未知数的次数为2，只有选项D满足条件． 【详解】解：∵ 一元一次不等式需满足：含一个未知数、未知数次数为1、且为不等式． 选项A：，是方程，不是不等式； 选项B：，是代数式，没有不等号； 选项C：，未知数x的次数为2，不是一次； 选项D：，含一个未知数x，x的次数为1，且为不等式． 故选：D． 变式2下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义，需满足：①只含有一个未知数；②所有不等式均为一次整式不等式，据此解答即可． 【详解】解：A、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意； B、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； C、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； D、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； 故选：A． ◇题型 5 解一元一次不等式（组） 典例1（2025·江苏·一模）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来； 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键． 按照解一元一次不等式的步骤，进行计算得出不等式的解集为，再把在数轴上表示出来，即可作答． 【详解】解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 化系数为1得：； 数轴上表示如图： 典例2（2025·陕西·中考真题）解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】，见解析 【分析】本题考查了不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的解法为解题的关键． 将原不等式去括号得到，，通过移项、合并同类项得到，最后将系数化为1得到，将解集画在数轴上即可． 【详解】解： 去括号得：， 移项、合并同类项得： 系数化为1得： 原不等式的解集在数轴上表示如解图． 解｜题｜技｜巧 1. **类比方程，注意变号** 解法步骤与解一元一次方程类似：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。关键差异：**系数化为1时，若乘（或除）负数，不等号方向必须改变**。 2. **组解取交集（公共部分）** 解不等式组时，分别解出每个不等式。将每个解集在数轴上表示出来，找出所有解集重叠的部分（公共部分），即为不等式组的解集。注意空心点与实心点的区别。 3. **规范表达解集** 最终解集用简洁的不等式或区间表示。若在数轴上表示，需标清方向与端点。最后建议选取解集内一个值代入原不等式验证。 变式1（2025·山东济南·中考真题）解不等式组并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为：，0，1，2，3． 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并求其整数解，分别求两个不等式的解集，再根据不等式组的解集，即可得到整数解． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得 原不等式组的解集是 整数解为，0，1，2，3 变式2（2025·山西·一模）解不等式组，并将其解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】，见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，正确求得不等式组的解集是解答的关键． 先分别求解各个不等式的解集，求出公共部分得到不等式组的解集，并在数轴上表示解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示如图： ◇题型 6 一元一次不等式（组）的应用 典例1（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同． (1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？ (2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． 【答案】(1)款机器人的单价为5万元，款机器人的单价为4万元 (2)购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元，根据用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买款机器人台，则购买款机器人台，根据购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，列出一元一次不等式，解得，再设购买成本为万元，根据题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：款机器人的单价为5万元，则款机器人的单价为4万元； （2）解：设购买款机器人台，则购买款机器人台， 根据题意得：， 解得：， 设购买成本为万元， 根据题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值， 此时，， 答：购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台． 典例2（2025·四川广元·中考真题）某校开展阳光体育大课间活动，需购买一批球类用品．在采购中发现，篮球的单价比足球的单价高20元，用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同． (1)求篮球和足球的单价； (2)学校需购买篮球和足球共120个（两种球都要购买），足球的数量不能多于篮球数量的，设购买篮球x个，总费用为y元，求总费用y（元）与x（个）的函数关系式，并求出x的取值范围和总费用最低时的购买方案． 【答案】(1)篮球的单价为100元，足球的单价为80元 (2)，，且x为整数，当购买篮球72个，足球48个时，总费用最低． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设篮球的单价为x元，则足球的单价为元，根据用10000元购买篮球的数量和用8000元购买足球的数量相同建立方程求解即可； （2）设购买篮球x个，则购买足球个，根据总费用等于购买篮球的费用加上购买足球的费用求出y与x的函数关系式，根据足球的数量不能多于篮球数量的列出不等式求出x的取值范围，再根据一次函数的性质确定y最小时x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设篮球的单价为x元，则足球的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：篮球的单价为100元，足球的单价为80元； （2）解：由题意得，， ∵足球的数量不能多于篮球数量的， ∴， ∴， ∵两种球都要购买， ∴，且x为整数 ∵，， ∴y随x增大而增大， ∴当时，y有最小值，此时， 答：，，且x为整数，当购买篮球72个，足球48个时，总费用最低． 解｜题｜技｜巧 1. **审题设元，抓关键词** 仔细读题，明确未知量，合理设元（如设人数、价格等）。注意捕捉“至少”、“不超过”、“大于”等关键词，它们直接对应不等号（≥、≤、>）。 2. **根据不等关系列式** 将题目中的不等关系转化为数学不等式。通常涉及“总量比较”、“范围限制”等。若有多条限制，则需列出不等式组。 3. **规范求解，双重检验** 规范解不等式（组），求出未知数的取值范围。最后必须检验：① **数学检验**：解是否满足所列不等式；② **实际检验**：解是否符合实际意义（如人数为正整数、价格非负等），并确定最终答案。 变式1（2025·西藏·中考真题）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 【答案】(1)生产甲、乙两款服装分别为件，件； (2)生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式组的应用，正确理解题意列得方程及函数解析式，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）设生产甲、乙两款服装分别为件，件，根据该工厂共投入230000元来生产两款服装共300件，列方程组解题即可； （2）设生产甲款服装件，则生产乙款服装件，获得的总利润为元，根据甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍，列出一元一次不等式组求出，再列出函数关系式，结合为正整数，根据函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：设生产甲、乙两款服装分别为件，件， 根据题意得， 解得：， 答：生产甲、乙两款服装分别为件，件； （2）解：设生产甲款服装件，则生产乙款服装件， 根据题意得， 解得， 设获得的总利润为元， ∴， ∵，且为正整数， ∴当时，最大利润为（元）， 则（件）， 答：生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． 变式2（2025·黑龙江·中考真题）2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元． (1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？ (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？ (3)设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？ 【答案】(1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元 (2)方案一：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个；方案二：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个；方案三：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； (3)方案一需要的资金最少，最少资金是2160元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式组和一次函数的解析式，是解题的关键： （1）设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元，根据购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买“蜀宝”个，根据投入资金不少于2160元又不多于2200元，列出不等式组，进行求解即可； （3）根据投入资金等于两种吉祥物的费用之和，列出函数关系式，利用一次函数的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元，由题意，得： ，解得：； 答：购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元； （2）解：设购买“蜀宝”个，则：购买“锦仔”个； ∴， 解得：， ∴， ； ∴共有3种方案： 方案一：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； 方案二：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； 方案三：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； （3）解：由题意，得：， ∴随着的增大而增大， ∴当时，即方案一需要的资金最少，最少资金是（元）； 答：方案一需要的资金最少，最少资金是2160元． ◇难点 1 利用一元一次不等式的定义求参数 典例1若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】略 典例2已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次不等式的定义，解题关键是根据一元一次不等式的 “未知数次数为 1 且系数不为 0” 这两个条件列方程与不等式求解． 根据一元一次不等式的定义，未知数 的次数必须为 1，且系数不为零得到关于的方程求解即可． 【详解】∵ 不等式是关于 x 的一元一次不等式， ∴ x 的指数 ，且系数 ， 解 ，得 ，即 或 ， 又 ∵ ，即 ， ∴． 故选A． 变式1已知是关于x的一元一次不等式，则k的值是（　　） A．3 B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件；还要注意，未知数的系数不能是0．根据一元一次不等式的定义，且，分别进行求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得， 故选：A． 变式2若是关于x的一元一次不等式，则a的值为（   ） A．2 B．－1 C．0 D．0或2 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，正确掌握定义是解决此题的关键．由一元一次不等式未知数x的次数为1且系数不为0，求出的值即可． 【详解】一元一次不等式未知数x的次数为1， ， 解得：或， 一元一次不等式未知数x的系数不为0， ， 解得：， 综上，a的值为0． 故选：C． ◇难点 2 由一元一次不等式组的整数解求参数 典例1（2025·江苏宿迁·一模）若关于的不等式的最小整数解是2，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键；由题意易得不等式的解集为，然后根据最小整数解为2可进行求解． 【详解】解：由不等式可知：， ∵关于的不等式的最小整数解是2， ∴， 解得：； 故答案为：． 典例2若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的含参问题，掌握求一元一次不等式的方法，取值方法是解题的关键． 首先解不等式，然后根据不等式只有3个正整数解即可得到一个关于m的不等式，求得m的范围． 【详解】解： 移项，得： ， 合并同类项，得： ， 系数化为1，得： ， ∵不等式只有3个正整数解， ∴， 故答案为： ． 变式1（2025·安徽·模拟预测）若关于x的不等式组的整数解共有三个，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解．利用不等式组的整数解个数来列出关于a的不等式组是解题的关键． 首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式组，从而得出a的范围． 【详解】解：， 解①得， 解②得， ∵不等式组的整数解共有三个， ∴这三个整数解为：2，3，4， ∴， ∴． 故答案为：． 变式2（2025·四川达州·一模）关于x的不等式组恰有四个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组有解， ∴不等式组的解集为：， 不等式组恰有4个整数解，则整数解为，，，， ， 解得． 故答案为：． ◇难点 3 由一元一次不等式组的解集的情况求参数 典例1（2025·湖北襄阳·模拟预测）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组的情况求参数取值范围，由不等式组的，，根据无解进行判断，即可求解． 【详解】解：， 解：由①得：， 由②得：， 原不等式组无解， ； 故答案为：． 典例2（2025·河南驻马店·模拟预测）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数，熟练掌握相关知识点是解题的关键； 先求得2个不等式的解集，然后根据“同小取小”和已知解集得到的取值范围． 【详解】解不等式得， 解不等式得， 关于的不等式组的解集是， ， 故答案为：． 变式1（2025·广东惠州·二模）若关于的不等式组无解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先求出不等式中对应不等式的解集，再根据大大小小找不到（无解）的口诀求解即可． 【详解】解： 解不等式②得：， ∵原不等式组无解， ∴， 故答案为：． 变式2（2025·黑龙江牡丹江·一模）关于的不等式组的解集为，则所有正整数的和为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了根据一元一次不等式组的解集求参数，先分别解出每个不等式的解集，再根据不等式组的解集得出，进而可求出a的取值范围，根据a的取值范围得出所有正整数，最后相机即可得出答案． 【详解】解： 解①得： 解②得：， ∵关于的不等式组的解集为， ∴， ∴ 则正整数有1，2，3，4， ∴， 故答案为：10 ◇难点 4 不等式组和方程组的结合问题 典例1（2024·江苏镇江·二模）关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先把两式相加求出的值，再代入中得到关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：， ①②得，， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 典例2已知且，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由得：，再代入，再解不等式组即可． 【详解】解：， 得：， ∵， ∴， ∴， 解得：； 故答案为： 变式1（24-25八年级上·重庆·期中）若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先求出不等式组两个不等式的解集，再根据不等式组至少有两个整数解得到；再利用加减消元法得到，则，据此求出即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组至少2个整数解， ∴， ∴； 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的整数m有3、4、5、6、7， ∴满足条件的整数之和是， 故答案为：． 变式2若数 使关于 的一元一次不等式组 的解集是，且使关于 的分式方程有非负整数解，则符号条件的所有整数的值之和为 ． 【答案】6 【分析】此题主要考查不等式组与分式方程的求解综合，先根据不等式组的解集为求出m的取值，再根据分式方程有非负整数解得到m的取值，故可得到符合条件的所有整数m的值，即可求解． 【详解】解 由①得， 由②得， ∵解集是， ∴， 解， 去分母得， 解得y=， ∵有非负整数解， ∴且， ∴且， 解得，且， ∴且， ∵m为整数，为非负整数， ∴， 1，3，5， 故， 故答案为6． ◇测能力 一、单选题 1．（2025·贵州·模拟预测）下列哪个值是不等式的一个解（    ） A． B．0 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查求一元一次不等式的解，求出不等式的解集，进行判断即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴2是不等式的一个解； 故选：D． 2．（2025·浙江丽水·二模）不等式的解在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解一元一次不等式及在数轴上表示不等式解集的能力，先移项合并同类项，再将不等式系数化为1求得其解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则即可判断答案． 【详解】解： ， 解集在数轴上表示如下： 故选C 3．（2025·四川雅安·二模）一元一次不等式组的最小整数解是（    ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了求不等式组的整数解． 分别求解两个不等式，得到解集后求交集，再找出最小整数解． 【详解】解：解得：； 解得：； ∴不等式组的解集为， ∴最小整数解为． 故选：A． 4．（2025·吉林长春·模拟预测）下列说法错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，，那么 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A. 如果，那么，故该选项说法正确，不符合题意； B. 如果，那么，故该选项说法正确，不符合题意；； C. 当 取负数时， 不一定成立。例如，取 ，满足 ，但此时 ，不满足 ，故该选项说法错误，符合题意； D. 如果，，那么，故该选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题 5．（2025·北京海淀·模拟预测）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据形如的式子叫作二次根式，二次根式的被开方数为非负数求解即可． 本题考查了二次根式有意义条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：二次根式有意义， 故， 故， 故答案为：. 6．（2025·黑龙江大庆·中考真题）不等式组的整数解有 个． 【答案】2 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组的整数解．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，找出整数解即可得答案． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 原不等式组的解集为， 原不等式组的整数解为3，2共2个． 故答案为：2． 7．（2025·云南丽江·模拟预测）若关于的一元一次不等式组恰有2个整数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，根据不等式组的整数解得出关于a的不等式组是解答此题的关键． 分别对于不等式组进行求解，然后根据题意确定实数a所满足的条件，求解即可． 【详解】解：∵ ∴解得：， 解得：， 原不等式组恰有2个整数解， 这2个整数解必然是5，6， ， 解得：， 故答案为：． 8．（2025·重庆·一模）已知关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程解为正整数，则满足条件的所有整数的乘积为 ． 【答案】 【分析】本题考查含参一元一次不等式组和分式方程，涉及整数解问题，需要学生注意解的范围限制． 本题首先根据不等式组的解集确定参数的范围，其次结合分式方程的正整数解筛选符合条件的整数，最后求其乘积。关键在于联立两个条件对的限制，确保同时满足． 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴． ∴． 关于的分式方程的解为． ∵是原分式方程的增根， ∴． ∴． ∵关于的分式方程的解为正整数， ∴为正整数． ∴． ∵， ∴． ∴所有满足条件的所有整数的乘积为：． 故答案为：． 三、解答题 9．（2025·西藏·模拟预测）解不等式，并写出此不等式的非负整数解． 【答案】，非负整数解为：，，． 【分析】根据解一元一次不等式的步骤，求出不等式的解集，进而求出其非负整数解即可． 本题考查求一元一次不等式的非负整数解，正确计算不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 非负整数解为：，，． 10．（2025·北京海淀·模拟预测）解不等式组： 【答案】 【分析】根据大大取大，小小取小，小大大小中间找，大大小小无解找，解不等式组解答即可． 本题考查了求不等式组的解集，掌握解集求解是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①得，解不等式②得， 故不等式的解集为． 11．（2025·天津西青·二模）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题主要考查了解不等式组以及在数轴上表示不等式组的解集，根据不等式组，分别求出两个不等式中的取值，然后画出数轴，数轴上相交的点的集合就是该不等式组的解集．若没有交点，则不等式组无解． 求一元一次不等式组的解，一般要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若较小的数、较大的数，那么解集为介于两数之间． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为：， 在数轴上表示解集： 12．（2025·北京海淀·模拟预测）某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式，其中精包装每盒，售价25元，简包装每盒，售价35元． (1)在实践活动中，学生共售出草莓350，销售总收入为8500元，请问两种包装分别销售了多少盒？ (2)已知每个精包装盒的成本为1元，简包装盒的成本为元，现需要将草莓恰好整盒分装完，且使购买包装盒的成本不超过13元，是否存在符合要求的分装方案？请通过计算说明． 【答案】(1)售出精装草莓200盒，则简装草莓100盒 (2)分装精装草莓1盒，则简包草莓23盒 【分析】（1）设售出精装草莓x盒，简装草莓盒，根据题意，得，解答即可； （2）设分装精装草莓m盒，则简装草莓盒，根据题意，，且m是正整数，求得正整数解判定解答即可． 本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，熟练掌握解方程组，不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：设售出精装草莓x盒，简装草莓盒，根据题意，得， 解得， 答：售出精装草莓200盒，则简装草莓盒． （2）解：设分装精装草莓m盒，则简装草莓盒，根据题意，得 ， 解得， ∵m是正整数， ∴， ∴取最大整数为， 故存在符合要求的分装方案，分装精装草莓1盒，简装草莓23盒． ◇提能力 一、单选题 1．（2025·河南信阳·三模）若，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键； 根据不等式的性质逐个分析判断即可． 【详解】不等式两边同时减去1得，，不一定有成立，故选项A不符合题意； 不等式两边同时加上1得，，故选项C不符合题意； 又，所以，故选项B符合题意； 因为满足，但不满足，故选项D不符合题意； 故选：B． 2．（2025·河南洛阳·三模）若不等式的解集是则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．以上均不对 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的解集情况求参数，掌握不等式的性质是解题关键．根据不等式的解集方向与原不等式相反，得到，即可求解． 【详解】解：不等式为的解集为， 解集方向与原不等式相反， ， ， 故选：B． 3．（2025·河北邯郸·三模）不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式解集，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解题的关键． 先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后根据不等式组的解集在数轴上表示得到，，即可求出答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 故不等式组的解集为：， ∵在数轴上表示为： ∴， 解得，， ∴ 故选：C． 4．（2025·吉林白城·模拟预测）若点在平面直角坐标系的第二象限内，则的取值范围在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，平面直角坐标系点的坐标特征：第二象限的点横坐标是负数，纵坐标是正数；由此得，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：； 则的取值范围在数轴上可表示为A， 故选：A 5．（2025·四川广元·三模）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先用整体法解二元一次方程组，再代入不等式即可求解． 【详解】解：， ，得：， 不等式整理可得：， ∴， ， 解得：． 故选：A ． 二、填空题 6．（2025·河南周口·模拟预测）不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解集，进而找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解： 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：； 故答案为：． 7．（2025·四川泸州·中考真题）若点在第一象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查象限内点的符号特征，解一元一次不等式．解题的关键是掌握坐标系中每个象限内点的符号特点如下：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 根据第一象限内点的坐标符号为，得到，再解一元一次不等式即可． 【详解】解：∵点在第一象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 8．（2025·黑龙江牡丹江·二模）若关于x的一元一次不等式组有两个负整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集和已知得出关于a的不等式是解此题的关键．先求出每个不等式的解集，再根据不等式组解集的情况即可得出a的范围． 【详解】解：， ∵解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴， 又∵关于x的一元一次不等式组有两个负整数解， ∴， 故答案为：． 9．（2025·黑龙江大庆·三模）若关于的不等式组，无解，则所有满足条件的正整数的和为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组无解求参数，先把每个不等式的解集求出来，再根据不等式组无解求出的取值范围，进而求出的正整数值即可，理解不等式组无解即组成不等式组的两个不等式的解集无公共部分是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式得，， 不等式组无解， ∴， ∴正整数的值为或． ∴所有满足条件的正整数的和为； 故答案为： 10．（2025·四川达州·三模）如果关于x的不等式组至多有2个整数解，且关于y的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式和分式方程，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的一般步骤． 先解于的不等式组，根据不等式组有解且至多有2个整数解，求出的取值范围，再解关于的分式方程，根据分式方程的解为整数且分母不能为0，列出关于的方程，解方程求出，再找出符合条件的的值，并求出它们的和即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ， 关于的不等式组有解且至多有2个整数解， ∴， 解得：， ∵ ∴ ∵关于y的分式方程的解为非负数， ∴且 ∴且 ∴且 ∵a为整数 ∴ ∴整数a的和为． 故答案为：． 三、解答题 11．（2025·安徽合肥·一模）解不等式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式， 根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为可得． 【详解】解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得： 合并同类项，得：， 系数化为，得：． 12．（2025·天津·二模）求不等式组的解集，并利用数轴找出它的整数解． 【答案】，不等式组的整数解是，数轴见解析． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，一元一次不等式组的整数解等知识点，先求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，在数轴上表示出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是， 在数轴上表示为： ， ∴不等式组的整数解是． 13．（2025·天津红桥·三模）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，正确掌握利用数轴寻找不等式组的解集的方法是解题关键． （1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求出解集． （2）去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求出解集． （3）大于等于在数轴上表示为实心点向右画线，小于等于在数轴上表示为实心点向左画线． （4）在数轴上寻找公共部分确定解集即可． 【详解】（1）解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 故答案为：． （2）解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 故答案为：． （3）解：在数轴上表示如下： （4）解：根据（3）中数轴即可判定公共部分在和3之间，所以不等式组的解集为． 故答案为：． 14．（2024·广东·二模）A超市要用不超过元的资金采购进货价每千克4元的番茄和每千克8元的油豆角共计千克（重量取整数），且油豆角的重量不少于番茄重量的3倍．该超市计划将所进蔬菜加价进行销售． (1)求A超市有多少种进货方案； (2)求获利最多的方案及最多获利多少元； 【答案】(1)有6种进货方案 (2)购进番茄千克，油豆角千克获利最多，获利元 【分析】本题考查了一元一次不等式组实际应用中的经济问题，一次函数的性质，分析题目列出不等式组和利润函数表达式是解题关键． （1）根据蔬菜总量表示出油豆角的重量，再结合资金的不等关系与油豆角重量的不等关系列出不等式组求解即可． （2）分别计算番茄和油豆角的利润，写出总利润的函数表达式，利用一次函数的增减性判断最值即可． 【详解】（1）解：设购进番茄x千克，则购进油豆角千克， 依题意得：， 解得：． 又∵x为整数， ∴x可以取120，121，122，123，124，125． ∴A超市共有6种进货方案． （2）设获利w元，则． ∵， ∴w随x的增大而减小， ∴当，w取得最大值，最大值为； 此时． 答：购进番茄120千克，油豆角380千克获利最多，获利880元． 15．（2025·贵州·一模）某店销售A，B两款木偶工艺品，如下是甲、乙两位销售员的对话： (1)求两款木偶工艺品的售价各为多少元； (2)某公司想购买40件木偶工艺品送给员工（两种款式均需购买），且购买A款木偶工艺品的数量不超过B款木偶工艺品数量的，至多购买A款木偶工艺品多少件？ 【答案】(1)20元；25元 (2)10件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意找准等量关系列出方程组，找准不等关系列出不等式． （1）根据甲、乙的销售情况，设每件A款木偶工艺品的售价为m元，每件B款木偶工艺品的售价为n元，，列二元一次方程组求解两款木偶的售价． （2）设购买A款木偶工艺品x件，则购买B款木偶工艺品件，列一元一次不等式求解A款的最大购买量． 【详解】（1）解：设每件A款木偶工艺品的售价为m元，每件B款木偶工艺品的售价为n元， 则，解得， 答：每件A款木偶工艺品的售价为20元，每件B款木偶工艺品的售价为25元； （2）解：设购买A款木偶工艺品x件，则购买B款木偶工艺品件， ∵购买A款木偶工艺品的数量不超过B款木偶工艺品数量的， ∴，解得， 答：至多购买A款木偶工艺品10件． 9 / 56 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $