阶段检测验收卷 数与式（综合训练）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

阶段检测验收卷 第一章 数与式 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题3分）据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．据此求解即可． 【详解】解：． 故选：D． 2．（本题3分）估算的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，通过比较平方数确定的范围在3和4之间，再减去2即可得到的范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴的值在1和2之间． 故选：A． 3．（本题3分）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据整式的加减，负整数指数幂，完全平方公式，分式除法解答即可． 本题考查整式的加减，负整数指数幂，完全平方公式，分式除法，熟练掌握公式和运算是解题的关键. 【详解】解：∵ 选项A: , 错误; 选项B: , 错误; 选项C: , 错误; 选项D: , 正确. ∴ 正确答案为D. 故选：D． 4．（本题3分）分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可. 【详解】解：. 故选：C 5．（本题3分）观察下列单项式：，探究发现其中规律，你认为从左到右第15个单项式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式，正确找出规律是解题的关键． 先找出规律，再得出第15个单项式． 【详解】解：观察可得，从左到右第个单项式是， ∴第15个单项式是， 故选：B． 6．（本题3分）已知，，则（   ）． A． B．24 C． D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式可得，进而推出，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴， ∴， 故选：C． 7．（本题3分）2029全运会花落湖南，数学小组以此为彩头，对代数式M定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“湘约运算”．实数，在数轴上的位置如图所示，例如：．由此“湘约运算”与原代数式之和为（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，解题的关键是根据新定义列出算式并利用数轴判断代数式的符号，易错点是对新定义的理解有误或忽略数轴信息导致符号错误；先根据新定义将“湘约运算”转化为绝对值形式，再结合数轴上的位置判断的正负，从而去绝对值，然后计算与原代数式的和，最后化简结果并与选项匹配． 【详解】由题意得： 根据数轴图，且靠近1，且靠近， ∴，则 ， 故选B． 8．（本题3分）某省公布的居民用电阶梯电价方案如下： 第一档电量 第二档电量 第三档电量 月用电量度以下，每度价格元 月用电量度至度，每度比第一档提价元 月用电量度以上，每度比第一档提价元 例：若某户月用电量400度，则需交电费为 （元） 根据此方案请你回答：若小华家某月的电费为元，下列说法正确的是（） （1）当时，小华家的用电量在第一档； （2）当时，小华家的用电量在第二档； （3）当时，小华家的用电量在第三档． A．（1） B．（1）（2） C．（1）（3） D．（1）（2）（3） 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，通过计算用电量为度和度时的电费，得到临界值元和元，从而判断各说法． 【详解】用电量度时，电费为元， 当时，用电量在第一档，故（1）正确； 用电量度时，电费为元， 当时，用电量在第二档，故（2）正确； 当 时，用电量在第三档，故（3）正确； 故选：D． 9．（本题3分）对平面上任意一点，定义f，g两种变换：，如；，如．据此得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查定义新运算，根据变换规则，先计算，得到新坐标，再应用g变换． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 故选：A． 10．（本题3分）如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第个正方形需要个小正方形，拼第个正方形需要个小正方形，按照这样的方法拼成的第个正方形需要（   ）个小正方形． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查找几何图形中的数字规律，根据前面几个图归纳出数字规律是解决问题的关键．先观察图形，得到每个图形中小正方形的个数，进而得到数字规律，即可求解． 【详解】解：拼第一个正方形需要个小正方形； 拼第二个正方形需要个小正方形； 拼第三个正方形需要个小正方形； ．．．．．． 按照这样的方法拼成的第个正方形需要个小正方形； 第六个正方形需要个小正方形， 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（本题3分）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查代数式有意义的条件，由二次根式及分式、零指数幂有意义的条件可得：且，求解即可得到答案． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴且， ∴且． 故答案为：且． 12．（本题3分）有5张卡片，每张卡片上印着、，，0，中的某一个数字，若从中随意抽取两张卡片，两张卡片上数字都是无理数的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，首先识别卡片中的无理数，然后列树状图计算概率即可． 【详解】卡片上的数字分别为：（有理数）、（有理数）、（无理数）、0（有理数）、（无理数）． 其中无理数有2个，即和， 则抽取卡片的情况如下： 从中随意抽取两张卡片共20种，两张卡片上数字都是无理数的有2种， 因此，概率为． 故答案为：． 13．（本题3分）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题给出了利用三角形三边求面积的公式，已知三角形三边的长度，直接将数值代入公式，通过计算即可求出三角形面积．本题主要考查了实数的运算以及根据给定公式进行代数计算．熟练掌握实数的运算法则以及代入公式求值的步骤是解题的关键． 【详解】解： 将，，代入上式： 故答案为：． 14．（本题3分）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为 【答案】 【分析】本题考查了整式规律探究，根据展开，即可求解． 【详解】解： ， ， ， 故答案为：． 15．（本题3分）观察下列计算： ， ， ， …… 从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题7分）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，并从，0，1，2四个数中，选一个合适的数代入求值． 【答案】（1）（2）， 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，分式的化简求值，包括零指数幂，特殊角的三角函数值，去绝对值，二次根式的除法，负整数指数幂等，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． （1）利用零指数幂，特殊角的三角函数值，去绝对值，二次根式的除法，负整数指数幂等运算法则进行求解即可； （2）先对分式进行化简，然后根据分式有意义的条件判断的取值，然后代入求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ∵， ∴， ∴可取值为1， 当时，代入上式得， 原式． 17．（本题8分）为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，已知该地块如图是长为米，宽为米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区． (1)用含有a，b的式子分别表示出小路面积和种植区的总面积； (2)若，，求出此时种植区的总面积． 【答案】(1)， ； (2)． 【分析】本题考查的是多项式的乘法与图形面积，列出正确的运算式是解本题的关键． （1）先利用底乘以高计算小路的面积，用长方形的面积减去小路的面积可得种植区的总面积，然后化简求解即可； （2）将，代入（1）中代数式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ； （2）解：当，时， ． 18．（本题8分）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【答案】理解定义：不是；建模推理：（1）；（2）任意一个“极差数”都能被11整除．理由见解析． 【分析】本题考查数字类问题．旨在考查学生的信息处理能力． 理解定义：根据定义进行验证即可； 建模推理： （1）根据“极差数”的定义即可求出答案； （2）设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，根据定义和（1）的结论即可求证． 【详解】理解定义：∵十位数字减去个位数字的差为，百位数字为， ∴十位数字减去个位数字的差不等于百位数字， ∴三位数不是“极差数” 故答案为：不是 建模推理： （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为， 根据题意可得，， 故答案为：； （2）任意一个“极差数”都能被11整除． 证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， ∵， ∴， ∴能被11整除， ∴任意一个“极差数”都能被11整除． 19．（本题9分）【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 【答案】（1）；（2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由见解析 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）设，其中，则仿照题意可得，比较小，将忽略不计，则，据此可得，则； （2）可求出，据此可得结论． 【详解】解：（1）设，其中， ∴， ∴， ∵比较小，将忽略不计， ∴， ∴， ∴； （2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由如下； ∵，， ∴， ∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高． 20．（本题9分）已知，，． (1)若，求C的值； (2)当，且为整数时，求x的整数值． 【答案】(1) (2)或4 【分析】本题考查分式的化简，分式的混合运算，熟练掌握分式的基本性质，分式的混合运算法则，是解题的关键： （1）化简，得到，根据混合运算法则求出，即可得出结果； （2）根据，结合，得到，进而得到，根据为整数得到，且，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ． ∴． ∵， ∴． （2）由（1），得：， ∴， 当时，． ∵与均为整数， ∴或． ∴， 又∵且， ∴且． ∴或4． 21．（本题10分）课本精彩再现：我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚很快就说出了答案． (1)还原思考过程：①由，，而，由此可确定是一个_______位数． ②由个位上的数是9，可以确定的个位数是_______． ③由，，可以确定的十位数字是_______． 从而可得_______． (2)类比解决问题：已知是某整数的平方，是某整数的立方，请你从中任选一个，确定的平方根或的立方根，并写出你的确定过程． 【答案】(1)①两；②9；③3； (2)的平方根是，的立方根是 【分析】本题考查了立方根和平方根的知识，熟练掌握以上知识是解题关键； （1）根据题干中的思考过程，即可求解； （2）根据立方根和平方根的性质，并按照（1）中的思考过程进行作答，然后即可求解； 【详解】（1）解：∵由，，而， ∴是一个两位数， ∵由个位上的数是9， ∴的个位数是9， ∵，， ∴的十位数字是3， ∴， 故答案为：两；9；3；； （2）解：①选择确定的平方根， ∵，， 又， ∴的平方根是两位数， ∵，， ∴的平方根的个位数是3或7， ∵，， 又， ∴的平方根的十位数是8， ∵，， ∴的平方根是； ②选择确定的立方根， ∵，， 又， ∴的立方根是两位数， ∵， ∴的立方根的个位数是5， ∵，， 又， ∴的立方根的十位数是4， ∴的立方根是． 22．（本题11分）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若，则叫做以为底的对数，记作：．比如，指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可以得到对数的一个性质： 理由如下： 设 ∴ 由对数的定义，得 又∵ ∴ 解决下面问题 (1)将指数式转化为对数式为 ． (2) ，   ， ．（直接写出结果） (3)证明： ．（写出证明过程） (4)计算： ．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)2，4，3 (3)见详解 (4)1 【分析】本题考查整式的混合运算、同底数幂相乘，同底数幂相除，新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意可以把指数式写成对数式； （2）运用对数的定义进行解答便可； （3）先设，，根据对数的定义可表示为指数式为：，，计算的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论； （4）根据公式以及的逆运用求解即可得到答案； 【详解】（1）解：依题意，将指数式转化为对数式为， 故答案为： （2）解：∵ ∴，，， 故答案为：2，4，3； （3）解：依题意，设，， ∴， ∴， ∴由对数的定义得， ∵，， ∴ ∴． （4）解：由（3）得 以及题干得 得． 23．（本题13分）《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题． （规律探索） (1)如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则，如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则____； 同种操作，如图3，_____； 如图4，________； ……若同种地操作n次，则_________． 于是归纳得到：_________． (2)阅读材料：求的值． 解：设①， 将①×2得：②， 由②-①得：，即． 即 根据上述材料，试求出的表达式，写出推导过程． 【答案】(1)，，，， (2)，过程见解析 【分析】本题考查了规律探究和乘方的应用，正确理解题意是关键； （1）根据题意提供的方法找到规律解答即可； （2）仿照题目中给的方法解答即可. 【详解】（1）解：如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则， 如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则； 同种操作，如图3，； 如图4，； ……， 若同种地操作n次，则． 于是归纳得到：； 故答案为：，，，，； （2）解：设①， 则②， ，得， 即. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段检测验收卷 第一章 数与式 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题3分）据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）估算的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 3．（本题3分）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 4．（本题3分）分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 5．（本题3分）观察下列单项式：，探究发现其中规律，你认为从左到右第15个单项式是（  ） A． B． C． D． 6．（本题3分）已知，，则（   ）． A． B．24 C． D．12 7．（本题3分）2029全运会花落湖南，数学小组以此为彩头，对代数式M定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“湘约运算”．实数，在数轴上的位置如图所示，例如：．由此“湘约运算”与原代数式之和为（   ） A． B．0 C． D．2 8．（本题3分）某省公布的居民用电阶梯电价方案如下： 第一档电量 第二档电量 第三档电量 月用电量度以下，每度价格元 月用电量度至度，每度比第一档提价元 月用电量度以上，每度比第一档提价元 例：若某户月用电量400度，则需交电费为 （元） 根据此方案请你回答：若小华家某月的电费为元，下列说法正确的是（） （1）当时，小华家的用电量在第一档； （2）当时，小华家的用电量在第二档； （3）当时，小华家的用电量在第三档． A．（1） B．（1）（2） C．（1）（3） D．（1）（2）（3） 9．（本题3分）对平面上任意一点，定义f，g两种变换：，如；，如．据此得（   ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第个正方形需要个小正方形，拼第个正方形需要个小正方形，按照这样的方法拼成的第个正方形需要（   ）个小正方形． A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（本题3分）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 12．（本题3分）有5张卡片，每张卡片上印着、，，0，中的某一个数字，若从中随意抽取两张卡片，两张卡片上数字都是无理数的概率是 ． 13．（本题3分）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为 ． 14．（本题3分）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为 15．（本题3分）观察下列计算： ， ， ， …… 从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算： ． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题7分）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，并从，0，1，2四个数中，选一个合适的数代入求值． 17．（本题8分）为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，已知该地块如图是长为米，宽为米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区． (1)用含有a，b的式子分别表示出小路面积和种植区的总面积； (2)若，，求出此时种植区的总面积． 18．（本题8分）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 19．（本题9分）【阅读理解】同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法．例如求的近似值． 因为，所以， 则可以设成以下两种形式：①，其中；②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为，所以，即． 因为比较小，将忽略不计，所以，即， 得，故． 【尝试探究】（1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】（2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 20．（本题9分）已知，，． (1)若，求C的值； (2)当，且为整数时，求x的整数值． 21．（本题10分）课本精彩再现：我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚很快就说出了答案． (1)还原思考过程：①由，，而，由此可确定是一个_______位数． ②由个位上的数是9，可以确定的个位数是_______． ③由，，可以确定的十位数字是_______． 从而可得_______． (2)类比解决问题：已知是某整数的平方，是某整数的立方，请你从中任选一个，确定的平方根或的立方根，并写出你的确定过程． 22．（本题11分）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若，则叫做以为底的对数，记作：．比如，指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可以得到对数的一个性质： 理由如下：设 ∴ 由对数的定义，得 又∵∴ 解决下面问题(1)将指数式转化为对数式为 ． (2) ，   ， ．（直接写出结果） (3)证明： ．（写出证明过程） (4)计算： ．（直接写出结果） 23．（本题13分）《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题． （规律探索） (1)如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则，如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则____； 同种操作，如图3，_____； 如图4，________； ……若同种地操作n次，则_________． 于是归纳得到：_________． (2)阅读材料：求的值． 解：设①， 将①×2得：②， 由②-①得：，即． 即 根据上述材料，试求出的表达式，写出推导过程． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $