一点五题系列之向量线性运算（两种模型）专项训练-2026届高三数学一轮复习

一点五题系列之向量线性运算（两种模型） 一、知识点梳理 （一）基础知识 1.向量加法 ①平行四边形法则，同起点，夹中间，指向外 ②三角形法则，首尾相连，起点指终点 2.向量减法 ①平行四边形法则，同起点，连终点，指向被减 ②三角形法则，同起点，连终点，指向被减 3.中点性质 在中是的中点，则 4.等和线 三点共线，且(为平面上任一点). （二）两种模型 1.爪子模型 如图所示,在中是上的一点，则. 2.一心两线模型 如图所示,,,,,已知四个字母中的三个可以求第四个，其中是一个中心，是两条线. 二、知识点应用 ①爪子模型 1．（25-26高三上·四川巴中·月考）如图，在中，，，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，通过向量的基本定理，用已知向量表示未知向量，即可求解. 【详解】由题意可得，，，所以，， 所以，因为， 所以, 所以 故选： 2．（25-26高三上·甘肃甘南·月考）在中，D为BC中点，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的加减运算得出、，即可得出在线段上的位置，即可求出. 【详解】因，则，即， 则， 因D为BC中点，则， 因，则，即， 则，则， 因，D为BC中点，则，即，得.    故选：A 3．（2026高三·全国·专题练习）在中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为 .    【答案】 【分析】先根据得到，从而可得，再根据三点共线定理，即可得到的值. 【详解】因为，所以，又， 所以， 因为点三点共线，所以，解得. 故答案为： 4．（25-26高三上·广东·月考）已知点为内一点，满足，若，则（    ） A．-2 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算，利用三角形相似及三角形面积的关系求解即可. 【详解】如图， 设，作平行四边形，对角线与底边相交于点， 则，则共线， 因为，故，则， 又，故，则， ，即， 故选：B 5．（25-26高三上·浙江温州·月考）点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由结合，可得点是线段上靠近点的四等分点，结合图形分析可得答案. 【详解】， 因为中点，则， 代入可得，从而三点共线，， 即点是线段上靠近点的四等分点. 则，而，故. 故选：B ②一心两线模型 1．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算，再结合三点共线的性质，即可得，然后利用代换，结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】 由是边上靠近的三等分点， 可得：， 又因为，所以， 又因为三点共线，所以 又因为， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最小值为， 故选：C 2．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）解决平面向量问题一个重要的定理：，的充要条件是三点共线.如图所示，分别是的中点，则=（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】令，由三点共线，可得到一个向量等式，由三点共线可得到另一个等式，两者结合可求，进而得的值. 【详解】由三点共线，是的中点，得，① 令， 由三点共线，是的中点， 可得，② 比较①、②，得，解得． 则. 故选：B. 3．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在中，是边上的中线，为上一点，且，经过的直线分别交直线于不同的两点．若，，则 ． 【答案】4 【分析】法一，取平行于边的中位线，求出的值即可；法二，利用向量的线性运算，结合共线向量定理的推论列式求解. 【详解】法一：（特殊位置法）当过点的直线与平行时，由，得是的中点， 则就是的一条中位线，由，得，所以. 法二：依题意，， 由三点共线，得，所以. 故答案为：4 4．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知中，是边上靠近的三等分点，为的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论正确的是：（   ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】对于AB，根据平面向量的线性运算求解判断即可；对于C，由A知，，利用三点共线可得，即可判断；对于D，由C知，，根据基本不等式“1”的妙用求解判断即可. 【详解】对于A，由题意得，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由A知，， 由于M、O、N三点共线，可知，即，故C正确； 对于D，由C知，，且，， 所以， 当且仅当 ，即时取得等号， 所以的最小值为，故D错误. 故选：ABC    5．（25-26高三上·湖南长沙·月考）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若 则 的最小值为（    ）    A．2 B．9 C．10 D．18 【答案】B 【分析】根据向量共线的知识和基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】因为是的中点，所以. 因为，所以. 由于三点共线，所以可以表示为的线性组合， 即. 所以，即. 因为，所以. 当且仅当时，即时等号成立. 由于，所以解得，此时最小值为9. 故选：B. ③平行四边形中的应用 1．（2026高三·全国·专题练习）在平行四边形中，，，点E为中点，点F满足，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用向量加减、数乘的几何意义用，表示出即可. 【详解】 连接，如图所示 . 故选：A 2．（2025·四川成都·一模）在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，以为基底，分别用表示，建立方程组求解. 【详解】 ， 又因为，所以， 设，则， 所以，解得， 故选：B. 3．（25-26高三上·重庆九龙坡·期中）在平行四边形 中， 分别是 的中点，点 在线段 上，且 ，若 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图形，利用向量加减、数乘的定义用表示出即可求解. 【详解】如下图，结合题设易知，， 则 ， ，则，， 所以.      故选：A 4．（2023高三·全国·专题练习）在平行四边形中，与相交于点，点是线段的中点，的延长线与交于点，若，，且，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】作出辅助线，由向量共线定理可得答案. 【详解】（等和线法）如图，作，延长与相交于点， 因为三点共线，所以． 故选：A． 5．（25-26高三上·江苏苏州·期中）如图，已知平面四边形中，为边所在直线上的一列点，连接交于，点满足，其中数列是首项为2的数列，记，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．存在实数，使得数列为等差数列 【答案】AC 【分析】因为为边所在直线上的一列点,得 ，由得到数列是周期为的周期数列，由此可判断ABCD的正误. 【详解】由，得 因为为边所在直线上的一列点， 设，则， 所以，令得， 同理可得， 所以数列是周期为的周期数列. 对于A，，所以，故A正确； 对于B, ，，故B错误； 对于C,， ，故C正确； 对于D，因为是周期为的周期数列且不为常数列，故任意实数，，数列为周期数列，不可能为等差数列，故D错误. 故选：AC ④梯形中的应用 1．（2025·陕西西安·模拟预测）在等腰梯形中，，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作图，分析图中的几何关系，用基底的方法表示即可． 【详解】已知在等腰梯形中，，如下图：   ， ， 故选：B 2．（25-26高三上·江苏无锡·月考）在梯形中，，为的中点，，交于点，若，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，交AC于点.由两直线平行的性质，求得的关系.由三点共线，可用表示，即可得到，从而求得的值，相加可得的值. 【详解】如图所示，连接，交AC于点. 在梯形中，由，得，且. 所以，所以，且. 因为为的中点，所以，且. 所以，所以. 所以，. 所以，.所以 . 故选：C. 3．（24-25高一下·山东聊城·期末）在梯形中，，，，当点在内部运动时，的取值区间为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算，确定的值即可. 【详解】如图： 取，过作，交于点，交于点. 设，因为三点共线，所以. 设，因为， 所以，. 因为共线，所以，所以. 因为且点在内运动，所以点在线段上，所以. 即，.所以. 故选：C 4．（2025·河南·三模）如图，在梯形中，，，，，点M满足，点N满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．9 D．12 【答案】A 【分析】以为基底表示出，根据列方程求解可得. 【详解】由题可知， ， 所以， 所以， 解得或（舍去）． 故选：A 5．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在梯形中，，，为线段的中点，与交于点，为线段上的一个动点，则（    ） A． B．向量与共线 C． D．若，则最大值 【答案】ACD 【分析】利用平面向量的基本定理求出关于、的表达式，可判断A选项；利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，结合平面向量共线的基本定理可判断B选项；推导出，可得出、、面积的关系，可判断C选项；分析可知存在，使得，利用平面向量的基本定理可得出关于的表达式，可求出的最大值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意可知，，则， 因为为的中点，则，即， 所以，， 因为，则存在，使得， 因为、、三点共线，则存在，使得， 即，可得， 因为、不共线，所以，，解得，故，A对； 对于B选项，， 所以，、不共线，B错； 对于C选项，因为为的中点，则， 因为，则， 故，同理可得， 所以，，C对； 对于D选项，因为为线段上一个动点，则存在，使得， 所以，， 因为、不共线，则，，故， 因此，的最大值为，D对. 故选：ACD. ⑤其它图形中的应用 1．（2025高三·全国·专题练习）2025年是中国人民抗战胜利80周年暨世界反法西斯战争胜利80周年．抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”．如图甲所示，解放碑的底座外观呈正八棱柱形，记正八棱柱的底面是正八边形，如图乙所示，若是正八边形的中心，且，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】设正八边形的边长为，作平行四边形，则根据向量的平行四边形法则可以找到关系，即可求解. 【详解】因为为正八边形，所以其一个外角，一个内角为 如图作平行四边形，则， 设正八边形的边长为，则， 又， 所以，所以． 故选：C 2．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边的外接圆为圆，点为圆上任意一点，若，则的最大值为（    ）    A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】作的平行线与圆相交于点，与直线相交于点，与直线相交于点．设，所以，设，结合图形得出，由条件结合平面向量基本定理可得出与的关系，进而可得结果． 【详解】作的平行线与圆相交于点，与直线相交于点，与直线相交于点，    设，因为三点共线，所以， 等边三角形边长为2，则外接圆半径为， 由，可设， 当过点且与圆相切时，取最小值0， 当与在点的同侧，且与圆相切于点时，取最大值， 此时，，则取最大值， 所以， ， 又，则，得， 所以，则的最大值为． 故选：A． 3．（25-26高三上·重庆·月考）勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现的，并以他的名字命名.该几何图形是以等边三角形每个顶点为圆心，以该等边三角形的边长为半径，在另两个顶点间作一段弧;三段弧围成的曲边三角形.如图，已知M是边长为2的勒洛三角形ABC边上的动点，且则λ+μ的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令与交于点，根据给定条件，利用向量线性运算，结合共线向量定理的推论建立关系式，再按点的位置分类确定并求出最大值. 【详解】由，得，则， 令与交于点，设，则， 由三点共线，得，则， 当在弧、弧上（不含端点）时，；当在弧上（不含端点）时， ；当与之一重合时，；当与重合时，， 因此最大，当且仅当在弧上（不含端点）且， 则，所以的最大值为. 故选：C 4．（25-26高三上·江西南昌·期中）如图，扇形所在圆的半径为1，，为弧的中点，动点分别在线段，上运动（包含端点），且总有，设. (1)若，用表示； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算法则，可求出，又，根据条件，代入计算，即可得答案. （2）设，则，根据线性运算法则，可得、表达式，根据数量积公式，可得的值，代入所求，化简整理，结合二次函数的性质，即可得答案. 【详解】（1）连接AC、BC，如图所示，因为，所以， 所以均为等边三角形， 所以四边形为菱形. 所以， 因为， 所以. （2）设，则， 所以， ， 因为扇形所在圆的半径为1，， 所以， 所以 ， 因为，所以当时，取得最小值， 当或1时，取得最大值， 所以的取值范围为. 5．（24-25高一下·湖南·期中）如图所示，四边形内接于圆，，，设，且，则四边形的对角线的长为 . 【答案】 【分析】在延长线上取点使，取的中点，则.由可得，进而三点共线，故.在中求出的值，再在中利用余弦定理即可求解. 【详解】在延长线上取点使，取的中点，则，，. ∴. ∵，∴，∴三点共线，即直线经过圆心. ∴. 在中，. 在中，由余弦定理可得， ∴. 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 一点五题系列之向量线性运算（两种模型） 一、知识点梳理 （一）基础知识 1.向量加法 ①平行四边形法则，同起点，夹中间，指向外 ②三角形法则，首尾相连，起点指终点 2.向量减法 ①平行四边形法则，同起点，连终点，指向被减 ②三角形法则，同起点，连终点，指向被减 3.中点性质 在中是的中点，则 4.等和线 三点共线，且(为平面上任一点). （二）两种模型 1.爪子模型 如图所示,在中是上的一点，则. 2.一心两线模型 如图所示,,,,,已知四个字母中的三个可以求第四个，其中是一个中心，是两条线. 二、知识点应用 ①爪子模型 1．（25-26高三上·四川巴中·月考）如图，在中，，，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 2．（25-26高三上·甘肃甘南·月考）在中，D为BC中点，，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）在中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为 .    4．（25-26高三上·广东·月考）已知点为内一点，满足，若，则（    ） A．-2 B． C． D．2 5．（25-26高三上·浙江温州·月考）点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（    ） A． B． C． D． ②一心两线模型 1．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 2．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）解决平面向量问题一个重要的定理：，的充要条件是三点共线.如图所示，分别是的中点，则=（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在中，是边上的中线，为上一点，且，经过的直线分别交直线于不同的两点．若，，则 ． 4．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知中，是边上靠近的三等分点，为的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论正确的是：（   ） A． B． C． D．的最小值为 5．（25-26高三上·湖南长沙·月考）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若 则 的最小值为（    ）    A．2 B．9 C．10 D．18 ③平行四边形中的应用 1．（2026高三·全国·专题练习）在平行四边形中，，，点E为中点，点F满足，则（　　） A． B． C． D． 2．（2025·四川成都·一模）在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（    ） A．1 B． C． D． 4．（2023高三·全国·专题练习）在平行四边形中，与相交于点，点是线段的中点，的延长线与交于点，若，，且，则（    ） A．1 B． C． D． 5．（25-26高三上·江苏苏州·期中）如图，已知平面四边形中，为边所在直线上的一列点，连接交于，点满足，其中数列是首项为2的数列，记，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．存在实数，使得数列为等差数列 ④梯形中的应用 1．（2025·陕西西安·模拟预测）在等腰梯形中，，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·江苏无锡·月考）在梯形中，，为的中点，，交于点，若，则 （ ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山东聊城·期末）在梯形中，，，，当点在内部运动时，的取值区间为，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·河南·三模）如图，在梯形中，，，，，点M满足，点N满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．9 D．12 5．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在梯形中，，，为线段的中点，与交于点，为线段上的一个动点，则（    ） A． B．向量与共线 C． D．若，则最大值 ⑤其它图形中的应用 1．（2025高三·全国·专题练习）2025年是中国人民抗战胜利80周年暨世界反法西斯战争胜利80周年．抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”．如图甲所示，解放碑的底座外观呈正八棱柱形，记正八棱柱的底面是正八边形，如图乙所示，若是正八边形的中心，且，则（   ） A． B． C． D．3 2．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边的外接圆为圆，点为圆上任意一点，若，则的最大值为（    ）    A． B．2 C． D．1 3．（25-26高三上·重庆·月考）勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现的，并以他的名字命名.该几何图形是以等边三角形每个顶点为圆心，以该等边三角形的边长为半径，在另两个顶点间作一段弧;三段弧围成的曲边三角形.如图，已知M是边长为2的勒洛三角形ABC边上的动点，且则λ+μ的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·江西南昌·期中）如图，扇形所在圆的半径为1，，为弧的中点，动点分别在线段，上运动（包含端点），且总有，设. (1)若，用表示； (2)求的取值范围. 5．（24-25高一下·湖南·期中）如图所示，四边形内接于圆，，，设，且，则四边形的对角线的长为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $