专题01 丰富的图形世界（期末复习知识清单）七年级数学上学期新教材北师大版

该初中数学“丰富的图形世界”知识清单系统梳理立体图形定义与分类、展开与折叠、截面及三视图四大核心内容，搭建从概念认知到空间想象再到实际应用的递进式学习架构。 清单通过挖空标红突出棱柱棱锥构成等重点，设计8类题型含例题与变式（如正方体展开图类型及禁忌），易错点专题破解点棱面关系混淆等问题。培养空间观念与几何直观，助力学生自主系统复习，教师可精准设计教学活动提升效率。

专题01 丰富的图形世界（4知识&8题型&2易错） 【清单01】生活中的立体图形 1．立体图形定义：图形的各部分不都在同一平面内，如长方体、圆柱、圆锥、球等；棱柱、棱锥也是常见立体图形。 2．几何体分类（按构成）： 多面体：由平面围成的立体图形（如棱柱、棱锥）； 旋转体：绕某一轴旋转一周形成的图形（如圆柱、圆锥、球）。 3．柱体分类及特征： 圆柱：以矩形一边所在直线为旋转轴，其余各边旋转形成； 棱柱：①两底面是相同的多边形；②侧面是平行四边形；③侧棱长都相等； 棱柱的构成：有个面，个顶点，条棱（示例：四棱柱有个面，个顶点，条棱）。 4．锥体分类及特征： 圆锥：以直角三角形一直角边所在直线为旋转轴，其余各边旋转形成； 棱锥：①底面是多边形；②侧面是有一个公共顶点的三角形； 棱锥的构成：有个面，个顶点，条棱（示例：五棱锥有个面，个顶点，条棱）。 5．球：半圆以它的直径为旋转轴，旋转而成的曲面所围成的几何体。 6．点、线、面、体的关系： 静态：点动成线，线动成面，面动成体； 动态：包围着体的是面（分平的面和曲的面）；面和面相交形成线（分直线和曲线）；线和线相交形成点。 【清单02】展开与折叠 1．展开图定义：将立体图形表面适当剪开，展开成的平面图形，称为该立体图形的展开图。 2．正方体的展开图类型（共种）： 第一类：型（种）；第二类：型（种）； 第三类：型（种）；第四类：型（种）； 禁忌类型：田字格、凹字格、字形（不是正方体展开图）。 3．常见几何体的展开图： 圆柱：个长方形+个圆； 棱柱：个边形+个长方形； 圆锥：个扇形+个圆； 棱锥：个边形+个三角形。 【清单03】截一个几何体 1．截面定义：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面。 截面规律：截面边数几何体的面数；用平面截棱柱，截面为边形，则平面经过个面。 2．正方体的截面可能形状：三角形、四边形、五边形、六边形（最多为六边形）； 三角形：锐角三角形、等边三角形、等腰三角形； 四边形：正方形、平行四边形、矩形、菱形、梯形。 3．常见几何体的截面： 圆柱：圆、长方形、椭圆； 圆锥：圆、三角形、椭圆； 三棱柱：三角形、长方形、五边形。 【清单04】从三个方向看物体的形状 1．三个基本方向：正面、左面、上面。 2．视图绘制原则：长对正，宽相等，高平齐。 3．由俯视图判断其他视图的规律： 正面图：根据俯视图的列数画，有几列画几列，每一列按列中最大的数字画； 左面图：根据俯视图的行数画，有几行画几列，每一列按行中最大的数字画。 【题型一】点、线、面、体 例1．在足球训练中，运动员踢出一次强烈的“香蕉球”，足球在空中绕过人墙后飞入球门．若将足球的运动轨迹抽象为几何现象，用数学语言解释这一现象为（     ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．点动成面 变式1-1．下列现象能说明“线动成面”的是（   ） A．打开折扇 B．钢笔写字 C．将一个三角形绕它的一条边旋转一周 D．流星划过夜空 变式1-2．朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看其实是把雨看成线，说明（   ） A．线段是无数排成行的点的聚集 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．面面相交成线 变式1-3．在朱自清的《春》中有描写春雨“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这种现象可以用数学原理“点动成线”解释．那么打开如图“折扇”时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为 ． 【题型二】几何体的展开图 例2．如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，下列图形中，是该几何体的表面展开图的是（　　） A． B． C． D． 变式2-1．如图是一个多面体的表面展开图，则这个多面体的名称是 ． 变式2-2．如图是一个几何体的展开图，则这个几何体是（    ） A． B． C． D． 变式2-3．一个底面半径为，高为的圆柱，将它的侧面沿虚线剪开（如图），剪开后得到一个平行四边形，则这个平行四边形的面积是（    ）（结果保留） A． B． C． D． 【题型三】正方体相对两个面文字 例3．当前的时代精神可以概括为“创新、驱动、发展”，它不仅体现了创新是推动经济发展和社会进步的关键动力．如图是正方体的一种、分别写着“创新驱动发展”这六个字，那么在原正方体上，与汉字“新”相对的面（    ） A．驱 B．动 C．发 D．展 变式3-1．一个正方体的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，从三个不同的方向看到的情形如图1所示，图2为这个正方体的侧面展开图，则图中的表示的数字是 ． 变式3-2．一个正方体的六个面上分别写着1，2，3，4，5，6这6个数字，如图所示的是这个正方体的三种放置方式，则“？”处的数字是（ ） A．1 B．2 C．3 D．6 变式3-3．如图是一个正方体的表面展开图，将它折叠成正方体后，与“吉”字所在面相对的面上的字是 ． 【题型四】判断展开物标志物的位置 例4．下图哪一个是左边正方体的展开图（   ） A． B． C． D． 变式4-1．如下图，有一个无盖的正方体纸盒，下底面标有字母“”，将其剪开，展开成平面图形，想一想，这个平面图形可能是（    ）． A． B． C． D． 变式4-2．小明在四个立方体展开图上画了一些线和圆圈，然后把他们折叠起来，以下哪个展开图可以折成右面这个立方体（    ） A． B． C． D． 变式4-3．将“数学核心素养”六个字分别写在如图所示的正方体盒子的六个面上，将图1盒子在桌面上向右翻滚，接着按逆时针方向旋转．若把该正方体盒子打开，得到的平面展开图可以是（   ） A． B． C． D． 【题型五】截一个几何体 例5．“检查”的原理是通过扫描和计算，把人体从不同角度“切”成无数薄层，每一层就是一个截面图像，医生通过这些图像就能精准看到人体内部细节．已知一物体外形是正方体（如图①），为探明其内部构造，我们可以给这个物体做“检查”，即用一个竖直的平面截这个物体，截了七次，得到一组自左向右的截面（如图②），则这个正方体的内部构造可能是空了一个（   ）体． A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆柱 D．圆锥 变式5-1．如图，有一个圆柱形的玻璃杯，杯内装有一些溶液，无论怎么放置水杯，水杯中水面的形状都不可能是（   ） A． B． C． D． 变式5-2．如图，往一个密封的正方体玻璃容器持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状不可能是（   ） A．三角形 B．五边形 C．梯形 D．七边形 变式5-3．用一个平面去截一个棱柱，得到的截面边数最多是7条，则这个棱柱有 个面，有 条棱． 【题型六】由展开图计算几何体的表面积和体积 例6．某数学兴趣小组开展综合实践活动，活动的任务是制作收纳盒，该小组给出了两种设计，收纳盒的展开图如图1、图2所示．请你和该小组一起完成以下探究任务： (1)利用图1所示的图形，制作的收纳盒形状为______； (2)哪一种收纳盒的容积更大？请根据图中所给信息计算说明． 变式6-1．如图所示，用高为、底面直径为的圆柱A的侧面展开图，再围成不同于A的另一个圆柱B，则圆柱B的体积为（   ） A． B． C． D． 变式6-2．一个直三棱柱，它的底面边长都相等，侧棱长，侧面积是，那么它的底面边长是 ． 变式6-3．如图所示是一个长方体的展开图，每个面上都标注了字母（注：含有字母的面向外），请根据要求回答问题： (1)如果面A在长方体的上面，那么下面是______； (2)从右面看是面C，从上面看是面E，那么前面是______； (3)如果A面的长为、宽为，D面的宽为，那么这个长方体的表面积是多少？ 【题型七】从不同的方向看几何体 例7．如图是由4个相同的小正方体组成的几何体．关于该几何体从正面、左面和上面三个方向上观察到的形状图描述正确的是（   ） A．从上面看与从左面看到的图形相同 B．从正面看与从上面看到的图形相同 C．从正面看与从左面看到的图形相同 D．从正面、左面、上面看到的图形都相同 变式7-1．一个由若干大小相同的小正方体搭成的几何体，从上面看到的这个几何体的形状图如图所示，每个正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，则从左面看到的这个几何体的形状图是（    ） A． B． C． D． 变式7-2．用一些相同的小立方块搭一个几何体，使它从正面看和从上面看的形状图如图所示，从上面看的形状图中小正方形中的字母表示在该位置的小立方块的个数，解答下列问题． (1)____，____，____． (2)这个几何体最多由几个小立方块搭成？最少呢？请写出计算过程． (3)当，时，在图1中画出这个几何体从左面看到的形状图． 变式7-3．如图所示为由7个棱长为1厘米的正方体组成的几何体， (1)在下面指定的方格内画出该几何体从三个方向看到的形状图． (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体从正面和从左面看到的形状不变，最多可以再添加 个小正方体． (3)求这个几何体的表面积． 【题型八】补一个面使图形围成正方体 例8．如图，在的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 变式8-1．如图，纸板上有19个无阴影的小正方形，从中选涂1个，使它与图中5个有阴影的小正方形一起能折叠成一个正方体纸盒，一共有 种选法． 变式8-2．如图，小明同学设计了某个产品的正方体包装盒，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你帮小明把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子． (1)任意画出一种成功的设计图（在图中补充）； (2)在你帮忙设计成功的图中，把，10，，8，，12这些数字分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得．（直接在图中填上） 变式8-3．周末，小明同学准备了一份礼物送给自己的好朋友．他设计了一个正方体盒子进行包装，如图，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子． (1)共有___________种弥补方法； (2)任意画出一种成功的设计图（在图中补充），并将这些数字分别填入六个小正方形，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得0（直接在图中填上即可）． 【题型一】混淆点与棱、面的从属关系 例1．不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征．甲同学：它有4个面是长方形；乙同学：它有12条棱．该模型的形状对应的立体图形可能是（   ） A．三棱柱 B．四棱柱 C．三棱锥 D．四棱锥 变式1．一个棱柱由9个面组成，则这个棱柱是 棱柱，这个棱柱有 个侧面，共有 条棱． 变式2．将图①的正方体木块切去一块，得到如图①〜⑤所示的木块 图号 顶点数 棱数 面数 ① ___________ 12 6 ② 6 5 ③ 8 12 ___________ ④ 8 ___________ 7 ⑤ 10 15 ___________ (1)请将图①〜⑤中几何体的顶点数、棱数、面数填入表格； (2)根据表格，用式子表示这些几何体顶点数、棱数、面数之间的关系___________ 【题型二】根据从不同方向看到的图形确定小立方体的个数易忽略隐藏立方体 例2．一个几何体由若干大小相同的小正方体搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状图，若组成这个几何体的小正方体最多需要m个，最少需要n个，则 ． 变式1．（1）请画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图； （2）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持从正面、上面看到的这个几何体的形状图不变，那么最多可以再添加 个小正方体． 变式2．如图所示，一个几何体由若干个棱长为的小正方体搭成， (1)请画出从正面、上面看到的这个几何体的形状图； (2)这个几何体的表面积为 ． (3)重新用小立方块搭一个几何体，使得从正面、上面看到的该几何体的形状图与你在方格中所画一致，则搭这样一个几何体最少要 个小立方块，最多可以 个小立方块． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 丰富的图形世界（4知识&8题型&2易错） 【清单01】生活中的立体图形 1．立体图形定义：图形的各部分不都在同一平面内，如长方体、圆柱、圆锥、球等；棱柱、棱锥也是常见立体图形。 2．几何体分类（按构成）： 多面体：由平面围成的立体图形（如棱柱、棱锥）； 旋转体：绕某一轴旋转一周形成的图形（如圆柱、圆锥、球）。 3．柱体分类及特征： 圆柱：以矩形一边所在直线为旋转轴，其余各边旋转形成； 棱柱：①两底面是相同的多边形；②侧面是平行四边形；③侧棱长都相等； 棱柱的构成：有个面，个顶点，条棱（示例：四棱柱有个面，个顶点，条棱）。 4．锥体分类及特征： 圆锥：以直角三角形一直角边所在直线为旋转轴，其余各边旋转形成； 棱锥：①底面是多边形；②侧面是有一个公共顶点的三角形； 棱锥的构成：有个面，个顶点，条棱（示例：五棱锥有个面，个顶点，条棱）。 5．球：半圆以它的直径为旋转轴，旋转而成的曲面所围成的几何体。 6．点、线、面、体的关系： 静态：点动成线，线动成面，面动成体； 动态：包围着体的是面（分平的面和曲的面）；面和面相交形成线（分直线和曲线）；线和线相交形成点。 【清单02】展开与折叠 1．展开图定义：将立体图形表面适当剪开，展开成的平面图形，称为该立体图形的展开图。 2．正方体的展开图类型（共种）： 第一类：型（种）；第二类：型（种）； 第三类：型（种）；第四类：型（种）； 禁忌类型：田字格、凹字格、字形（不是正方体展开图）。 3．常见几何体的展开图： 圆柱：个长方形+个圆； 棱柱：个边形+个长方形； 圆锥：个扇形+个圆； 棱锥：个边形+个三角形。 【清单03】截一个几何体 1．截面定义：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面。 截面规律：截面边数几何体的面数；用平面截棱柱，截面为边形，则平面经过个面。 2．正方体的截面可能形状：三角形、四边形、五边形、六边形（最多为六边形）； 三角形：锐角三角形、等边三角形、等腰三角形； 四边形：正方形、平行四边形、矩形、菱形、梯形。 3．常见几何体的截面： 圆柱：圆、长方形、椭圆； 圆锥：圆、三角形、椭圆； 三棱柱：三角形、长方形、五边形。 【清单04】从三个方向看物体的形状 1．三个基本方向：正面、左面、上面。 2．视图绘制原则：长对正，宽相等，高平齐。 3．由俯视图判断其他视图的规律： 正面图：根据俯视图的列数画，有几列画几列，每一列按列中最大的数字画； 左面图：根据俯视图的行数画，有几行画几列，每一列按行中最大的数字画。 【题型一】点、线、面、体 例1．在足球训练中，运动员踢出一次强烈的“香蕉球”，足球在空中绕过人墙后飞入球门．若将足球的运动轨迹抽象为几何现象，用数学语言解释这一现象为（     ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．点动成面 【答案】A 【分析】 【详解】解：∵ 足球在空中运动时，其位置随时间变化，形成一个点移动的轨迹， ∴ 该轨迹是一条曲线，即点动成线， 故选：A． 变式1-1．下列现象能说明“线动成面”的是（   ） A．打开折扇 B．钢笔写字 C．将一个三角形绕它的一条边旋转一周 D．流星划过夜空 【答案】A 【分析】 【详解】解：A、打开折扇时，扇骨（可看作“线”）绕着轴旋转，运动后形成了扇形的“面”，因此符合“线动成面”； B、钢笔写字时，笔尖（点）的运动形成笔画（线），属于“点动成线”，不符合； C、将一个三角形绕它的一条边旋转一周，属于“面动成体”，不符合； D、流星划过夜空时，流星（点）的运动形成光线（线），属于“点动成线”，不符合． 故选：A． 变式1-2．朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的眼光来看其实是把雨看成线，说明（   ） A．线段是无数排成行的点的聚集 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．面面相交成线 【答案】A 【详解】解：∵ “雨滴像点，“密密地斜织着”形成线， ∴ 这对应线段由无数点聚集而成的性质， 故选：A． 变式1-3．在朱自清的《春》中有描写春雨“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这种现象可以用数学原理“点动成线”解释．那么打开如图“折扇”时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为 ． 【答案】线动成面 【详解】解：打开折扇时，扇骨是线，扇面是面，线的移动形成面，对应的数学原理是“线动成面”． 故答案为：线动成面． 【题型二】几何体的展开图 例2．如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，下列图形中，是该几何体的表面展开图的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A和C带颜色的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式； 选项B不能折叠成几何体； 选项D正好能折叠成几何体． 故选：D． 变式2-1．如图是一个多面体的表面展开图，则这个多面体的名称是 ． 【答案】三棱柱 【分析】 【详解】解：由图可知，这个多面体有三个长方形侧面及两个三角形底面， 符合三棱柱的展开图的特征． 故答案为：三棱柱． 变式2-2．如图是一个几何体的展开图，则这个几何体是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：侧面为3个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱． 故选：C． 变式2-3．一个底面半径为，高为的圆柱，将它的侧面沿虚线剪开（如图），剪开后得到一个平行四边形，则这个平行四边形的面积是（    ）（结果保留） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 答：这个平行四边形的面积是． 故选：B． 【题型三】正方体相对两个面文字 例3．当前的时代精神可以概括为“创新、驱动、发展”，它不仅体现了创新是推动经济发展和社会进步的关键动力．如图是正方体的一种、分别写着“创新驱动发展”这六个字，那么在原正方体上，与汉字“新”相对的面（    ） A．驱 B．动 C．发 D．展 【答案】C 【分析】 【详解】解：由题意可知，与“新”相对的面是“发”，与“创”相对的面是“动”，与“驱”相对的面是“展”． 故选：C． 变式3-1．一个正方体的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，从三个不同的方向看到的情形如图1所示，图2为这个正方体的侧面展开图，则图中的表示的数字是 ． 【答案】3 【详解】解：由图1可知，与标有数字1的面相邻的面上的数字有， ∴数字1所在面的相对面上的数字是5， 同理可得：数字4所在面的相对面上的数字是2， ∴数字6所在面的相对面上的数字是3， 由图2可知，标有的面与标有数字6的面是相对面， ∴． 故答案为：3． 变式3-2．一个正方体的六个面上分别写着1，2，3，4，5，6这6个数字，如图所示的是这个正方体的三种放置方式，则“？”处的数字是（ ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】A 【分析】 【详解】解：观察第一个和第二个正方体可知，与“1”相邻的有“2”，“3”，“4”，“5”， “1”的对面是“6”， 观察第一个和第三个正方体，与“5”相邻的有“1”，“4”，“3”， 由于“1”的对面是“6”， “5”的对面是“2”， “3”的对面是“4”， “？”处可能是“1”或“6”， 结合三个正方体中与“1”相邻的“3”，“5”的位置关系可判断“？”处为“1”． 故选：． 变式3-3．如图是一个正方体的表面展开图，将它折叠成正方体后，与“吉”字所在面相对的面上的字是 ． 【答案】爱 【分析】 【详解】解：由正方体的展开图的特点得：与“吉”字所在面相对的面上的字是“爱”， 故答案为：爱． 【题型四】判断展开物标志物的位置 例4．下图哪一个是左边正方体的展开图（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据有图案的表面之间的位置关系，正确的展开图是D． 故选D． 变式4-1．如下图，有一个无盖的正方体纸盒，下底面标有字母“”，将其剪开，展开成平面图形，想一想，这个平面图形可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：图A、图B、图C都可折成一个无盖的正方体纸盒， 其中图A、图B标有字母“”的面在折成无盖的正方体纸盒的侧面， 图C标有字母“”的面在折成无盖的正方体纸盒的底面； 图D不能折成无盖的正方体纸盒。 故选：C． 变式4-2．小明在四个立方体展开图上画了一些线和圆圈，然后把他们折叠起来，以下哪个展开图可以折成右面这个立方体（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 【详解】 解：A、符合题意； B、的方向应该向下，故不符合题意； C、、、相邻，故不符合题意； D、应与，故不符合题意． 故选：A． 变式4-3．将“数学核心素养”六个字分别写在如图所示的正方体盒子的六个面上，将图1盒子在桌面上向右翻滚，接着按逆时针方向旋转．若把该正方体盒子打开，得到的平面展开图可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意知：心与素相对，数与核相对，故排除， 由数，学，心三面的斜线构成一个三角形可知符合， 不符合， 故选：． 【题型五】截一个几何体 例5．“检查”的原理是通过扫描和计算，把人体从不同角度“切”成无数薄层，每一层就是一个截面图像，医生通过这些图像就能精准看到人体内部细节．已知一物体外形是正方体（如图①），为探明其内部构造，我们可以给这个物体做“检查”，即用一个竖直的平面截这个物体，截了七次，得到一组自左向右的截面（如图②），则这个正方体的内部构造可能是空了一个（   ）体． A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆柱 D．圆锥 【答案】D 【分析】 【详解】解：观察图形，除图②中第四个图形（从上向下，自左向右）外都是一条曲线， ∴几何体内部是由曲面围成的，而且上小下大， ∵第四个图形内部是一个三角形并且图形面积最大， ∴该几何体内部是圆锥． 故选：D． 变式5-1．如图，有一个圆柱形的玻璃杯，杯内装有一些溶液，无论怎么放置水杯，水杯中水面的形状都不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：圆柱体的横截面可以为椭圆，矩形，圆，不可能为平行四边形， ∴玻璃杯中水面的形状都不可能是平行四边形， 故选：B． 变式5-2．如图，往一个密封的正方体玻璃容器持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状不可能是（   ） A．三角形 B．五边形 C．梯形 D．七边形 【答案】D 【详解】解：正方体有六个面，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， 所得水平面形状可能是三角形、四边形（梯形是四边形）、五边形和六边形，不可能出现七边形． 故选：D． 变式5-3．用一个平面去截一个棱柱，得到的截面边数最多是7条，则这个棱柱有 个面，有 条棱． 【答案】 7 15 【分析】 【详解】解：用一个平面截棱柱时，截面边数最多等于棱柱的面数， 由题意，截面边数最多为7，故棱柱有7个面； 设棱柱的底面边数为n，则面数为，即， 解得， ∴棱柱的棱数为， 故答案为：7；15 【题型六】由展开图计算几何体的表面积和体积 例6．某数学兴趣小组开展综合实践活动，活动的任务是制作收纳盒，该小组给出了两种设计，收纳盒的展开图如图1、图2所示．请你和该小组一起完成以下探究任务： (1)利用图1所示的图形，制作的收纳盒形状为______； (2)哪一种收纳盒的容积更大？请根据图中所给信息计算说明． 【答案】(1)三棱柱 (2)图1收纳盒的容积更大 【分析】 【详解】（1）解：由图1可知，制作的收纳盒形状为三棱柱． （2）解：由图1可知，三棱柱的底面积为，高为9， 三棱柱的容积为， 由图2可知，制作的收纳盒形状为长方体，长方体的高为， 底面宽，长， 长方体的容积为， ， 图1收纳盒的容积更大． 变式6-1．如图所示，用高为、底面直径为的圆柱A的侧面展开图，再围成不同于A的另一个圆柱B，则圆柱B的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：根据题意， 圆柱B的底面半径为，圆柱B的高为， 圆柱B的底面积为， 圆柱B的体积为． 故选：C． 变式6-2．一个直三棱柱，它的底面边长都相等，侧棱长，侧面积是，那么它的底面边长是 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：设底面边长为．每个侧面矩形的面积为， 侧面积为 ∴, 则， 即底面边长为． 故答案为： 变式6-3．如图所示是一个长方体的展开图，每个面上都标注了字母（注：含有字母的面向外），请根据要求回答问题： (1)如果面A在长方体的上面，那么下面是______； (2)从右面看是面C，从上面看是面E，那么前面是______； (3)如果A面的长为、宽为，D面的宽为，那么这个长方体的表面积是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：由长方体表面展开图的“相间、端是对面”可知，“”与“”是对面，如果面在长方体的上面，那么下面是， 故答案为：； （2）解：从右面看是面，从上面看是面，那么前面是， 故答案为：； （3）解：由题意得，长方体的长为、宽为，D面的宽为， 所以这个长方体的表面积是， 答：这个长方体的表面积为． 【题型七】从不同的方向看几何体 例7．如图是由4个相同的小正方体组成的几何体．关于该几何体从正面、左面和上面三个方向上观察到的形状图描述正确的是（   ） A．从上面看与从左面看到的图形相同 B．从正面看与从上面看到的图形相同 C．从正面看与从左面看到的图形相同 D．从正面、左面、上面看到的图形都相同 【答案】C 【分析】 【详解】解：将从三个方向看物体的形状画出如下： 故该几何体从正面看与从左面看到的图形相同． 故选：C． 变式7-1．一个由若干大小相同的小正方体搭成的几何体，从上面看到的这个几何体的形状图如图所示，每个正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，则从左面看到的这个几何体的形状图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：从左面看，一共有两列，小正方形的个数分别为3、2． 故选：D． 变式7-2．用一些相同的小立方块搭一个几何体，使它从正面看和从上面看的形状图如图所示，从上面看的形状图中小正方形中的字母表示在该位置的小立方块的个数，解答下列问题． (1)____，____，____． (2)这个几何体最多由几个小立方块搭成？最少呢？请写出计算过程． (3)当，时，在图1中画出这个几何体从左面看到的形状图． 【答案】(1)1，1，3 (2)11，9 (3)见解析 【分析】 【详解】（1）解：根据从正面看和从上面看到的形状可知 ；故答案为：1，1，3； （2）解：第一列小立方块的个数最多为个，最少为个， 这个几何体最多由个小立方块搭成， 最少由个小立方块搭成； （3）解：从左面看有3列，每列小正方形数目分别为3，1，2， 如图： 变式7-3．如图所示为由7个棱长为1厘米的正方体组成的几何体， (1)在下面指定的方格内画出该几何体从三个方向看到的形状图． (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体从正面和从左面看到的形状不变，最多可以再添加 个小正方体． (3)求这个几何体的表面积． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3)28 【分析】 【详解】（1）解：画出该几何体从三个方向看到的形状图如下： （2）要保持这个几何体从正面和从左面看到的形状不变， 则前排的小正方体右边两个位置可添加小正方体，也就是最多可以再添加2个小正方体， 故答案为：2； （3）这个几何体的表面积是：， 答：这个几何体的表面积是28． 【题型八】补一个面使图形围成正方体 例8．如图，在的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【详解】解：如图所示： 根据“141型”，②能与阴影部分组成正方体展开图， 故选：B． 变式8-1．如图，纸板上有19个无阴影的小正方形，从中选涂1个，使它与图中5个有阴影的小正方形一起能折叠成一个正方体纸盒，一共有 种选法． 【答案】4 【详解】解：如图所示：共4种． 变式8-2．如图，小明同学设计了某个产品的正方体包装盒，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你帮小明把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子． (1)任意画出一种成功的设计图（在图中补充）； (2)在你帮忙设计成功的图中，把，10，，8，，12这些数字分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得．（直接在图中填上） 【答案】(1)见解析； (2)见解析（答案不唯一）． 【分析】 【详解】（1）解：根据正方体展开图特点：中间4连方，上下各一个，中间3连方，上下各1，2，两个靠一起，不能出“田”字，符合第一种情况，中间四个连在一起，上面一个，下面有四个位置，所以共有4种弥补方法，如下图是其中一种： ； （2）解：如图所示（答案不唯一）： ． 变式8-3．周末，小明同学准备了一份礼物送给自己的好朋友．他设计了一个正方体盒子进行包装，如图，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子． (1)共有___________种弥补方法； (2)任意画出一种成功的设计图（在图中补充），并将这些数字分别填入六个小正方形，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得0（直接在图中填上即可）． 【答案】(1)4 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）解：根据正方体展开图特点知，中间三连方，两侧各一、二个，有三种；两排各三个，有一种，共4种． 故答案为：4； （2）解：如图所示，答案不唯一． 【题型一】混淆点与棱、面的从属关系 例1．不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征．甲同学：它有4个面是长方形；乙同学：它有12条棱．该模型的形状对应的立体图形可能是（   ） A．三棱柱 B．四棱柱 C．三棱锥 D．四棱锥 【答案】B 【分析】详解】解：A．三棱柱有9条棱，不符合“有12条棱”的描述，故不符合条件； B．若为直四棱柱，其有4个侧面为长方形，共有12条棱，符合条件； C．三棱锥有6条棱，不符合“有12条棱”的描述，故不符合条件； D．四棱锥有8条棱，不符合“有12条棱”的描述，故不符合条件． 故选：B． 变式1．一个棱柱由9个面组成，则这个棱柱是 棱柱，这个棱柱有 个侧面，共有 条棱． 【答案】 七 7 21 【分析】详解】解：∵棱柱有上下两个底面，且该棱柱由9个面组成， ∴该棱柱有7个侧面， ∴该棱柱是七棱柱， ∴棱柱有条棱， 故答案为：七；7；21． 变式2．将图①的正方体木块切去一块，得到如图①〜⑤所示的木块 图号 顶点数 棱数 面数 ① ___________ 12 6 ② 6 5 ③ 8 12 ___________ ④ 8 ___________ 7 ⑤ 10 15 ___________ (1)请将图①〜⑤中几何体的顶点数、棱数、面数填入表格； (2)根据表格，用式子表示这些几何体顶点数、棱数、面数之间的关系___________ 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：填表如下： 图号 顶点数 棱数 面数 ① 8 12 6 ② 6 9 5 ③ 8 12 6 ④ 8 13 7 ⑤ 10 15 7 （2）解：用式子表示这些几何体顶点数、棱数、面数之间的关系为， 故答案为：． 【题型二】根据从不同方向看到的图形确定小立方体的个数易忽略隐藏立方体 例2．一个几何体由若干大小相同的小正方体搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状图，若组成这个几何体的小正方体最多需要m个，最少需要n个，则 ． 【答案】4 【详解】解：（个）， （个）， ∴， 故答案为：4． 变式1．（1）请画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图； （2）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持从正面、上面看到的这个几何体的形状图不变，那么最多可以再添加 个小正方体． 【答案】（1）画图见解析；（2）2 【详解】解：（1）从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图如图所示： ． （2）在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持从正面、上面看到的这个几何体的形状图不变，小正方体的数量如图所示， ∴最多可以再添加个小正方体． 变式2．如图所示，一个几何体由若干个棱长为的小正方体搭成， (1)请画出从正面、上面看到的这个几何体的形状图； (2)这个几何体的表面积为 ． (3)重新用小立方块搭一个几何体，使得从正面、上面看到的该几何体的形状图与你在方格中所画一致，则搭这样一个几何体最少要 个小立方块，最多可以 个小立方块． 【答案】(1)见解析 (2)30 (3)7；9 【详解】（1）解：从正面、上面看到的这个几何体的形状图如下： （2）解：观察几何体，从正面看有5个小正方形，从上面看有5个小正方形，从左面看有3个小正方形，但其中有4个小正方形被遮挡； ∴这个几何体的表面积为， 故答案为：30； （3）解：由从正面看到的图形可知，搭这样一个几何体需要2层， 第一层需要5个小立方块， 第二层至少需要2个小立方块，第二层至多需要4个小立方块， ∴搭这样一个几何体最少要（个）小立方块；最多要（个）小立方块 故答案为：7；9． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $