专题03 勾股定理全章12种题型复习（期末复习专项训练）七年级数学上学期新教材鲁教版五四制

专题03 勾股定理 题型1 勾股定理的定义 题型7 直角三角形的辨别条件（重点） 题型2 利用勾股定理求线段长度（重点） 题型8 勾股数 题型3 利用勾股定理求面积（重点） 题型9 直角三角形判定的应用（重点） 题型4 构造直角三角形应用勾股定理（难点） 题型10 勾股定理在网格中的应用（常考点） 题型5 勾股定理的验证（重点） 题型11 在实际问题中的应用（常考点） 题型6 勾股定理的应用 题型12 勾股定理与折叠问题（重难点） 题型1 勾股定理的定义（共3小题） 1．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，在中，，若，，则的长是（    ） A．18 B． C．12 D．8 2．（25-26八年级上·广东深圳·期中）若一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则斜边上的高为______． 3．（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边，则图中阴影部分的面积为__________． 题型2 利用勾股定理求线段长度（共3小题） 4．（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）如图，在中，于点D，且，则的长为（   ） A．30 B．24 C．18 D．32 5．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，，点D在边上，将沿直线折叠，使边落在斜边上，点C的对应点为点E，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·全国·期末）为了缓解“停车难”的问题，某单位拟建造地下停车库．如图，某建筑公司提供了该地下停车库入口的设计示意图，按规定，地下停车库坡道上方要张贴限高标志，以便停车人判断车辆能否安全驶入．为了标明限高，请你根据图中数据计算的长． 题型3 利用勾股定理求面积（共3小题） 7．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B． C．4 D． 8．（25-26八年级上·全国·期末）如图，分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形A，B，C，若正方形C的边长为7cm，则A，B两个正方形的面积之和为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·云南红河·期末）把三个正方形的一边首尾相接组成下图，已知正方形的面积为，如果正方形的面积为，那么正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 题型4 构造直角三角形应用勾股定理（共3小题） 10. （24-25八年级上·江苏·期末）如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·浙江·模拟预测）一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P，离地面高度，当人从门外走到离该传感器及以内时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高的小明走到处时，恰好响起“欢迎光临”，则的长为________． 12．（24-25八年级上·河南郑州·期末）2024年12月4日，我国传统节日春节申遗成功．为庆祝这一喜讯，郑州市新湖社区举办了名为“郑好遇见，大美非遗”的创意文化市集，诸多非遗有关文化项目集中亮相．图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程： ①先测得放飞点与风筝的水平距离的长为8米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为10米； ③牵线放风筝的手离地面的距离为1.5米． 已知点在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在测高的过程中涵涵提出了一个新的问题：在手中剩余线仅剩7.5米的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升9米，长度不变，能否成功呢？请你帮助解决涵涵提出的问题． 题型5 勾股定理的验证（共3小题） 13．（24-25八年级下·广西贺州·期末）下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（   ）． A． B． C． D． 14．（25-26八年级上·江苏南京·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． (1)【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和如图2放置，其中，，，，显然．请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题： ①如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为_． ②如图4，在中，，，，求边上的高． 15．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．（1）在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）拼成，用它可以验证勾股定理；（2）图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）和直角边为的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理 【问题解决】（1）在直角三角形中，直角边分别为，，斜边为，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理； （2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是（   ）； A．函数思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．数形结合思想 【知识应用】（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路的长． 题型6 勾股定理的应用（共3小题） 16．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（   ） A． B． C． D． 17．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，一根竹子在离地面4尺处折断，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，竹子折断之前的高度是（    ） A．4尺 B．5尺 C．8尺 D．9尺 18．（24-25八年级下·云南临沧·期末）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”意思是有一个竖直的木棍，在其顶端系一根绳子，让绳子竖直下垂，在地面上的多余的绳子长3尺．把绳子拉直使绳子底端恰好着地，底端离木棍底端的距离是8尺，问绳子长为多少？ 题型7 直角三角形的辨别条件（共3小题） 19．（24-25八年级上·山东青岛·期末）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，摆放正确的是（    ） A． B． C． D． 20．（24-25八年级上·山东青岛·期末）以下列各组数为三边的三角形，不是直角三角形的是（　　） A．，6， B．1， C．10，24，26 D． 21．（24-25八年级下·山东滨州·期末）下列各组数中，能成为一个直角三角形三边长度的数是（   ） A．，， B．6，， C．7，24，25 D．1，1，2 题型8 勾股数（共3小题） 22．（24-25七年级下·山东济南·期末）下列各组3个数是勾股数的是（  ） A．4，5，6 B． C．，， D．5，12，13 23．（25-26八年级上·全国·期末）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．1，， B．1，2，5 C．，， D．30，40，50 24．（25-26八年级上·四川成都·期中）定义：若三个正整数，，满足，，且，则称为“邻近”勾股数组．例如：，都是“邻近”勾股数组，将从小到大排列，分别记为，，，，（为正整数），若时，的值为______；若时，的值为______． 题型9 直角三角形判定的应用（共3小题） 25．（25-26八年级上·全国·期末）综合与实践 【主题】检测校训背景墙面（如图所示）的边和边是否分别垂直于边． 【工具】卷尺，长度为厘米的刻度尺． 【数据】测得边A的长为，边的长为，点和点之间的距离为． (1)【问题解决】请你依据测得的数据判断边是否垂直于边，并说明理由． (2)你能仅利用长度为的刻度尺来检验边是否垂直于边吗？请简要说明设计方案． 26．（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）如图，一架无人机旋停在空中点处，点与地面上点之间的距离米，点与地面上点点，处于同一水平面上的距离米，且米． (1)求的度数； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点处，若点恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离的长． 27．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八年级（1）班的小明和小芸在学习勾股定理后，来到操场上放风筝．已知小明站立最高点B，风筝正下方点D和风筝连接点Ｃ构成三角形． (1)经测量，，，，小芸判断是直角三角形，她的说法是否正确，请说明理由． (2)若小明沿水平方向移动到点F处，此时风筝垂直下降到点处，测得，求风筝垂直下降的高度． 题型10 勾股定理在网格中的应用（共3小题） 28．（24-25八年级上·海南海口·期末）在如图的网格中，以为一边画，则满足条件的格点C共有（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 29．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点，，，，，均在格点上，其中，，，四个点中能与点，构成一个直角三角形的是点_____． 30．（24-25八年级下·山东济南·期末）“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题．同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．如图，题目中的所有网格均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，且点O，A，B，C，D都在格点上 (1)如图1，的长度为_ ，中边上的高的长度为_ ． (2)如图2，在正方形网格中构造，可以比较与的大小，其理由如下：因为在中，点A，B，C都为小正方形的顶点（构造图形），所以（三角形任意两边之和大于第三边）．因为（勾股定理），，所以． 请你参考例子中的方法，在图3中构造图形，比较与的大小，并说明理由． (3)如图4，的度数为_ ． 题型11 在实际问题中的应用（共3小题） 31．（24-25八年级上·广东茂名·期中）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘D处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与E处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘B处到桌面的距离为，则底部边缘A处与C之间的距离为（    ） A． B． C． D． 32．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的边沿，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是x尺，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 33．（24-25八年级下·云南红河·期末）台风使很多地区受到严重影响，某台风的风力影响半径为，即距离台风中心为的区域都会受到台风的影响．如图，线段是台风中心从市移动到市的路线，是大型农场，且．若，之间相距，，之间相距．判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由． 题型12 勾股定理与折叠问题（共3小题） 34．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的长度为(   ) A．6 B．10 C．24 D．48 35．（24-25八年级下·北京朝阳·期末）如图，在中，，点D，E分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为，点刚好落在边上．图中与线段相等的线段是______；若，，则的长为______． 36．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕．则线段的长为______． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 勾股定理 题型1 勾股定理的定义 题型7 直角三角形的辨别条件（重点） 题型2 利用勾股定理求线段长度（重点） 题型8 勾股数 题型3 利用勾股定理求面积（重点） 题型9 直角三角形判定的应用（重点） 题型4 构造直角三角形应用勾股定理（难点） 题型10 勾股定理在网格中的应用（常考点） 题型5 勾股定理的验证（重点） 题型11 在实际问题中的应用（常考点） 题型6 勾股定理的应用 题型12 勾股定理与折叠问题（重难点） 题型1 勾股定理的定义（共3小题） 1．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，在中，，若，，则的长是（    ） A．18 B． C．12 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方． 根据勾股定理得到，据此即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：C． 2．（25-26八年级上·广东深圳·期中）若一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则斜边上的高为______． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，等面积法的应用，根据勾股定理求出斜边长，再利用面积法求斜边上的高． 【详解】解：设斜边长为，斜边上的高为， 由勾股定理得：， ∴． ∵直角三角形面积：， 同时：． ∴， 解得 ． 故答案为： 3．（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．根据等腰直角三角形的性质及勾股定理得出，，，，利用三角形面积公式表示出阴影面积即可得答案． 【详解】解：∵以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形， ∴，，， ∴，，，， ∵，，， ∴阴影部分的面积 ， ∵， ∴阴影部分的面积． 故答案为：． 题型2 利用勾股定理求线段长度（共3小题） 4．（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）如图，在中，于点D，且，则的长为（   ） A．30 B．24 C．18 D．32 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理并正确运算是解题关键． 先将，转化为，利用勾股定理求出，再用勾股定理求出即可． 【详解】解：由，得， 在中，，即， 解得， 在中，， 故选：A． 5．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，，点D在边上，将沿直线折叠，使边落在斜边上，点C的对应点为点E，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 根据折叠得， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴． 故选：B． 6．（25-26八年级上·全国·期末）为了缓解“停车难”的问题，某单位拟建造地下停车库．如图，某建筑公司提供了该地下停车库入口的设计示意图，按规定，地下停车库坡道上方要张贴限高标志，以便停车人判断车辆能否安全驶入．为了标明限高，请你根据图中数据计算的长． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，先根据勾股定理求出的长，再根据，即可求出的长． 【详解】解：由题可知，，，，， 在中，由勾股定理，得， ， ． 答：的长为． 题型3 利用勾股定理求面积（共3小题） 7．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用和三角形面积的算法，解决此题的关键是合理的运用勾股定理；先根据勾股定理和已知的式子算出，再根据同底等高的算法即可得到答案； 【详解】解：在中，这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为， 由勾股定理得：，即， ， ， ∵阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故选：A． 8．（25-26八年级上·全国·期末）如图，分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形A，B，C，若正方形C的边长为7cm，则A，B两个正方形的面积之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正方形的面积与勾股定理的性质，将勾股定理与正方形的面积结合是解题的关键． 首先将直角三角形的直角边与正方形的边长联系起来，再根据勾股定理将正方形的面积表示，再结合已知斜边的长度，即可得到A，B两个正方形的面积之和． 【详解】解：如图，令直角三角形的三边分别为a，b，c， ∴在直角三角形中，， ∴， ∵以直角三角形的三条边为边长向外作正方形A，B，C， ∴，， ∴A，B两个正方形的面积之和为49， 故选：C． 9．（24-25八年级下·云南红河·期末）把三个正方形的一边首尾相接组成下图，已知正方形的面积为，如果正方形的面积为，那么正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了以直角三角形三边为边长的图形面积，结合勾股定理和正方形的面积公式，正方形的面积等于正方形的面积与正方形的面积之和，解题的关键是掌握以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积． 【详解】解：∵正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形的面积为， 故选：． 题型4 构造直角三角形应用勾股定理（共3小题） 10. （24-25八年级上·江苏·期末）如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设的长为，则，故．在直角中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意可知，，， ． 设的长为，则， 所以． 在直角中，，即， 解得：， 即绳索的长是10米． 故选：A． 11．（2025·浙江·模拟预测）一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P，离地面高度，当人从门外走到离该传感器及以内时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高的小明走到处时，恰好响起“欢迎光临”，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用,理解题意，正确应用勾股定理是解题的关键．过作于点，根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点 ∴ ∴ 由勾股定理可得： 即离门铃米远的地方，门铃恰好自动响起 故答案为：． 12．（24-25八年级上·河南郑州·期末）2024年12月4日，我国传统节日春节申遗成功．为庆祝这一喜讯，郑州市新湖社区举办了名为“郑好遇见，大美非遗”的创意文化市集，诸多非遗有关文化项目集中亮相．图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程： ①先测得放飞点与风筝的水平距离的长为8米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为10米； ③牵线放风筝的手离地面的距离为1.5米． 已知点在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在测高的过程中涵涵提出了一个新的问题：在手中剩余线仅剩7.5米的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升9米，长度不变，能否成功呢？请你帮助解决涵涵提出的问题． 【答案】(1)7.5米 (2)能成功，见解析 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）过点作于点，在中，根据勾股定理即可求解； （2）假设能上升9米，作图，根据勾股定理可得米，再根据题意，即可求解． 【详解】（1）解：如图1所示，过点作于点， 则米，米，， ∴（米）， ∴（米）； （2）能成功，理由如下： 假设能上升9米，如图所示，延长至点，连接， 则米， ∴（米）， ∴（米）， ∵米，余线仅剩7.5米， ∴， ∴能上升9米，即能成功． 题型5 勾股定理的验证（共3小题） 13．（24-25八年级下·广西贺州·期末）下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，以直角三角形三边为边长作正方形，若两个较小的正方形面积和等于最大的正方形面积，那么可证明直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，即可证明勾股定理，据此可得答案． 【详解】解：由题意知，，所以四幅图中只有D选项中的图形不能用面积验证勾股定理， 故选：D． 14．（25-26八年级上·江苏南京·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． (1)【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和如图2放置，其中，，，，显然．请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题： ①如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为_． ②如图4，在中，，，，求边上的高． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，全等三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）先证明，再根据梯形的面积，，四边形的面积，四边形的面积梯形的面积的面积，即可推出结论； （2）设边上的高为，根据割补法求出的面积，再利用的面积可求出结果； （3）由勾股定理得，，再结合列方程求解即可． 【详解】（1）证明：把两个全等的直角和如图2放置， ， 又， ， ， 即， 梯形的面积，， 四边形的面积 ， ∵四边形的面积梯形的面积的面积， ∴ ∴． （2）解：①：设边上的高为， 由勾股定理得，， 的面积， 的面积， ， 即边上的高为， 故答案为：； ②如图， 在中，，，，， 由勾股定理得，， ， 又∵， ∴， ， ． 答：边上的高为． 15．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．（1）在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）拼成，用它可以验证勾股定理；（2）图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）和直角边为的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理 【问题解决】（1）在直角三角形中，直角边分别为，，斜边为，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理； （2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是（   ）； A．函数思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．数形结合思想 【知识应用】（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路的长． 【答案】（1）见解析；（2）D；（3）0.8千米 【分析】本题考查勾股定理的证明，勾股定理的应用． （1）在图1中，大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，列出式子后化简即可证明；在图2中，梯形的面积等于三个三角形的面积之和，列出式子后化简即可证明． （2）勾股定理的验证过程体现了数形结合思想，据此即可解答； （3）当时，最小，能最大限度节省铺路的费用．设千米，则（千米），根据勾股定理列出方程，求解即可解答． 【详解】解：（1）根据赵爽弦图进行证明： ∵， ∴， ∴． 根据“总统证法”进行证明： ∵， ∴， ∴， ∴． （2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是数形结合思想． 故选：D （3）当时，最小，能最大限度节省铺路的费用． 设千米，则（千米） ∵， ∴在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴千米， ∴（千米）． 答：新修路的长为0.8千米． 题型6 勾股定理的应用（共3小题） 16．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，构建直角三角形是解题的关键． 先构建直角三角形，再用勾股定理求解即可． 【详解】解：设高的那棵树用表示，低的那棵树用表示，过点C作于点E，连接，如图所示： 由题意得：米，米，米，， ∴米， 在中，由勾股定理得：（米）； 故选：C． 17．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，一根竹子在离地面4尺处折断，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，竹子折断之前的高度是（    ） A．4尺 B．5尺 C．8尺 D．9尺 【答案】D 【分析】本题可将竹子折断的部分与地面构成直角三角形，利用勾股定理求出折断部分的长度，再加上未折断部分离地面的高度，从而得到竹子折断前的高度．本题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，熟练掌握勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 ）是解题的关键． 【详解】解：设竹子折断处离地面尺的部分为直角边，顶端落地点离竹子底端尺为另一直角边，折断部分为斜边． 根据勾股定理 则竹子折断之前的高度为（尺） 故选：D． 18．（24-25八年级下·云南临沧·期末）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”意思是有一个竖直的木棍，在其顶端系一根绳子，让绳子竖直下垂，在地面上的多余的绳子长3尺．把绳子拉直使绳子底端恰好着地，底端离木棍底端的距离是8尺，问绳子长为多少？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意，绳子长度比木棍高度多3尺，当绳子拉直时，木棍高度、水平距离8尺和绳子长度构成直角三角形，利用勾股定理求解． 【详解】解：设绳子长度为尺，则木棍高度为尺， 依题意，当绳子拉直底端着地时，有， 解得， 答：绳长为尺 题型7 直角三角形的辨别条件（共3小题） 19．（24-25八年级上·山东青岛·期末）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，摆放正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理进行计算、判定即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴以7，24，25三根木棒能摆成直角三角形，以15，20，25三根木棒能摆成直角三角形，即C选项符合题意． 故选：C． 20．（24-25八年级上·山东青岛·期末）以下列各组数为三边的三角形，不是直角三角形的是（　　） A．，6， B．1， C．10，24，26 D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理逆定理．根据勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】解：A．，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B．，不能构成直角三角形，故本选项符合题意； C．，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D．，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 21．（24-25八年级下·山东滨州·期末）下列各组数中，能成为一个直角三角形三边长度的数是（   ） A．，， B．6，， C．7，24，25 D．1，1，2 【答案】C 【分析】本题是对勾股定理的逆定理知识的考查，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键． 根据勾股定理，若三边长满足（为最大边），则可构成直角三角形． 【详解】解：选项A：，，．最大边为，验证，不满足勾股定理． 选项B：最大边为，验证，不满足勾股定理． 选项C：最大边为，验证，满足勾股定理，可构成直角三角形． 选项D：三边为，因，不满足三角形三边不等式（任意两边之和大于第三边），无法构成三角形． 故选：C． 题型8 勾股数（共3小题） 22．（24-25七年级下·山东济南·期末）下列各组3个数是勾股数的是（  ） A．4，5，6 B． C．，， D．5，12，13 【答案】D 【分析】利用直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答． 本题考查了直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，熟练掌握定义，勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴最大角不是， ∴不能构成直角三角形， 故A不符合题意； ∵， ∴最大角是， ∴能构成直角三角形， 但边长不是整数，不是勾股数， 故B不符合题意； ∵， ∴不能构成直角三角形， 故C不符合题意； ∵， ∴最大角是， ∴能构成直角三角形，且各边都是整数，是勾股数， 故D符合题意； 故选：D． 23．（25-26八年级上·全国·期末）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．1，， B．1，2，5 C．，， D．30，40，50 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数是指三个正整数，满足勾股定理，据此解答即可． 【详解】解：A、，非正整数，故不是勾股数； B、，故不是勾股数； C、，非正整数，故不是勾股数； D、，，即，故是勾股数． 故选：D． 24．（25-26八年级上·四川成都·期中）定义：若三个正整数，，满足，，且，则称为“邻近”勾股数组．例如：，都是“邻近”勾股数组，将从小到大排列，分别记为，，，，（为正整数），若时，的值为______；若时，的值为______． 【答案】 7 41 【分析】本题考查数字规律探索和勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键． 根据“邻近”勾股数组找到、、的关系，找到规律求出和即可． 【详解】解：三个正整数，，满足，，且，则称为“邻近”勾股数组， ， ∵b是正整数， 为奇数， ∵“邻近”勾股数组中，a是连续的奇数， ∴当时，（对应数组）； 当时，（对应数组）； 当时，下一个奇数为7， 验证：，， 满足且， ∴， 由规律可知，是第n个符合条件的奇数， ∴， ∴当时，． 故答案为：7；41． 题型9 直角三角形判定的应用（共3小题） 25．（25-26八年级上·全国·期末）综合与实践 【主题】检测校训背景墙面（如图所示）的边和边是否分别垂直于边． 【工具】卷尺，长度为厘米的刻度尺． 【数据】测得边A的长为，边的长为，点和点之间的距离为． (1)【问题解决】请你依据测得的数据判断边是否垂直于边，并说明理由． (2)你能仅利用长度为的刻度尺来检验边是否垂直于边吗？请简要说明设计方案． 【答案】(1)边垂直于边，理由见解析 (2)能，设计方案见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握“若三角形两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形”是解题的关键． （1）利用勾股定理的逆定理，验证与是否相等，判断是否为直角三角形． （2）借助勾股数（如、、），用刻度尺在、上取对应长度的线段，测量端点距离，依据勾股定理的逆定理判断垂直关系． 【详解】（1）解：边垂直于边理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴边垂直于边； （2）解：能．设计方案如下： 在上量取，在上量取，最后测量点，之间的距离，若，则边垂直于边，否则就不垂直．答案不唯一 26．（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）如图，一架无人机旋停在空中点处，点与地面上点之间的距离米，点与地面上点点，处于同一水平面上的距离米，且米． (1)求的度数； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点处，若点恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离的长． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理和线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可解答； （2）设米，则米，由线段垂直平分线的性质得到米，在中，根据勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ∴； （2）解：设米，则米， ∵点恰好在边的垂直平分线上， ∴米， 在中，由勾股定理得， ， 解得 答：这架无人机向下飞行的距离为米． 27．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八年级（1）班的小明和小芸在学习勾股定理后，来到操场上放风筝．已知小明站立最高点B，风筝正下方点D和风筝连接点Ｃ构成三角形． (1)经测量，，，，小芸判断是直角三角形，她的说法是否正确，请说明理由． (2)若小明沿水平方向移动到点F处，此时风筝垂直下降到点处，测得，求风筝垂直下降的高度． 【答案】(1)是直角三角形，证明见解析 (2)风筝垂直下降的高度为． 【分析】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理的应用． （1）证明，可得． （2）先求解，结合，，可得，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴风筝垂直下降的高度为． 题型10 勾股定理在网格中的应用（共3小题） 28．（24-25八年级上·海南海口·期末）在如图的网格中，以为一边画，则满足条件的格点C共有（    ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理以及逆定理，解题的关键是掌握以上知识点． 根据勾股定理以及逆定理和网格的特点求解即可． 【详解】如图所示， 当是斜边时，由网格可得，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时， ∵ ∴； ∴第三个顶点可以是F点； 当是直角边，B是直角顶点时， ∵ ∴； ∴第三个顶点可以是G． ∴共有6个满足条件的顶点． 故选：B． 29．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点，，，，，均在格点上，其中，，，四个点中能与点，构成一个直角三角形的是点_____． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：点、，，， ， 不是直角三角形，故点不符合题意； 点、，，， ， 不是直角三角形，故点不符合题意； 点、，，， ， 是直角三角形，故点符合题意； 点、，，， ， 不是直角三角形，故点不符合题意； 故答案为：． 30．（24-25八年级下·山东济南·期末）“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题．同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．如图，题目中的所有网格均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，且点O，A，B，C，D都在格点上 (1)如图1，的长度为_ ，中边上的高的长度为_ ． (2)如图2，在正方形网格中构造，可以比较与的大小，其理由如下：因为在中，点A，B，C都为小正方形的顶点（构造图形），所以（三角形任意两边之和大于第三边）．因为（勾股定理），，所以． 请你参考例子中的方法，在图3中构造图形，比较与的大小，并说明理由． (3)如图4，的度数为_ ． 【答案】(1)； (2)；理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意画出图形是关键． （1）依据题意得求出长，利用割补法求出再根据即可求出的长； （2）依据题意构造 由勾股定理求出、和的长，根据三角形三边关系解答即可； （3）依据题意，作点关于的对称点， 连接， ， 可得 判断是等腰直角三角形，且从而得到 解题即可． 【详解】（1）解：设边上的高的长度为， 由题意得，， ， 又∵， 中边上的高的长度 ， 故答案为：； （2）解：理由如下： 构造如图所示： 由勾股定理，得：， 在中， ； （3）解：如图， 作点关于的对称点， 连接， ， ， 由勾股定理得， ， 是等腰直角三角形，且， ， ， 故答案为： ． 题型11 在实际问题中的应用（共3小题） 31．（24-25八年级上·广东茂名·期中）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘D处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与E处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘B处到桌面的距离为，则底部边缘A处与C之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 先由勾股定理可得，再由勾股定理计算即可得解， 【详解】解：根据题意得 在中，，， ， ∴， 在中，，， ， ∴， ∴底部边缘A处与C之间的距离的长为． 故选：D． 32．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的边沿，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是x尺，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设芦苇的长度是尺，因为水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．可得，整理得，即可作答． 【详解】解：设芦苇的长度是尺， ∵水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺． ∴ 整理得， 故选：D． 33．（24-25八年级下·云南红河·期末）台风使很多地区受到严重影响，某台风的风力影响半径为，即距离台风中心为的区域都会受到台风的影响．如图，线段是台风中心从市移动到市的路线，是大型农场，且．若，之间相距，，之间相距．判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由． 【答案】农场会受到台风的影响，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理和三角形面积公式的应用，熟练掌握勾股定理求线段长度、利用面积法求点到直线的距离是解题的关键． 先利用勾股定理求出的长度，再通过三角形面积公式求出到的距离，最后比较与台风影响半径的大小，判断农场是否受影响． 【详解】解：农场是否会受到台风的影响，理由如下： 过点作于． ，，， 在中，由勾股定理得 ， ， ， 解得， ， 农场会受到台风的影响． 题型12 勾股定理与折叠问题（共3小题） 34．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的长度为(   ) A．6 B．10 C．24 D．48 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题；由折叠可知，设利用勾股定理进行分析计算即可． 【详解】解：由折叠可知， 设 由勾股定理可得， 即， 解得， ， 故选：B． 35．（24-25八年级下·北京朝阳·期末）如图，在中，，点D，E分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为，点刚好落在边上．图中与线段相等的线段是______；若，，则的长为______． 【答案】 3 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．设，则，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知， 设，则， ∵，， ∴，即， 解得， 故答案为：；3． 36．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕．则线段的长为______． 【答案】 【分析】本题考查的是折叠问题及勾股定理，由折叠性质可知，设，则，利用勾股定理可以求出最后结果． 【详解】解：为中点， ， 由折叠的性质可知：， 设，则， 在中，， ， 解得：， 故答案为：． / 学科网（北京）股份有限公司 $