3 弧度制（教学课件）数学北师大版必修第二册

该高中数学课件聚焦“弧度制”核心内容，涵盖1弧度概念、角度与弧度换算及扇形弧长面积公式。通过温故知新回顾任意角知识，情境导入类比长度面积单位度量，搭建从角度制到弧度制的学习支架，引导学生建立新旧知识联系。 其亮点在于情境导入类比生活度量单位，培养数学抽象能力（数学眼光），思考辨析通过正误判断深化概念理解（数学思维），典例与当堂检测结合公式推导强化符号表达（数学语言）。课堂小结兼顾知识与思想方法，助力学生系统掌握，也为教师提供清晰教学路径。

3 弧度制 第一章 三 角 函 数 北师大版必修第二册·高一 温故知新 任意角 学 习 目 标 1 2 3 了解弧度制的意义，理解1弧度的角及弧度的定义，理解弧度制下角的集合与实数集R之间的一一对应关系. 掌握角度与弧度的换算公式，能进行角度与弧度的换算，并熟记几个特殊角的弧度数. 掌握弧度制下的弧长公式、面积公式，并会运用解决有关问题. 读教材 阅读课本P9-P13，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“弧度制”吧！ 1.1°角是如何定义的？如何利用线段的单位长度来建立角的度量？ 2.弧度制的定义？弧度制如何与角度制进行换算？ 3.弧度制下的扇形弧长、面积公式是怎样的？如何利用弧长、面积公式解决实际问题呢？ 单击此处添加备注 4 学习过程 01 03 02 目录 1 弧度的概念 3 当堂检测 2 弧度与角度的换算 单击此处添加备注 5 情境导入 在体积的度量中，我们引入一个以单位线段为棱长的单位立方体，以它为单位来度量其他几何体的体积. 在面积的度量中，我们引入一个以单位线段为边长的单位正方形，以它为单位来度量其他图形的面积. 在线段长度的度量中，我们引入一个单位线段，以它为单位来度量其他线段或曲线（如圆周）的长度. 1 3 2 1 3 2 新知探究 显然，角的度量单位(单位角度)，与单位线段无关. 即在几何图形的各种度量中，除了角度之外，其他的度量(长度、面积、体积等)都是以单位线段为基础的. 问题：在平面几何中,1°的角是怎样定义的？ 在角的度量中，我们选取一个周角，把他360等分而得到角的度量单位，以它为单位去度量其他角的大小. 这种用度做单位来度量角的制度叫做角度制 。 问题提出 能否把几何度量都建立在一个共同的基础(长度的度量)上呢？ 能. 早在1748年，数学家欧拉就在他的一部划时代著作《无穷小分析概论》中明确提出了弧度制的概念，他提出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个周角等于2π弧度，1弧度等于周角的，这一思想将线段与角度联系起来，使得角度也可以用单位长度来度量. 抽象概括 定义 在单位圆中,把长度等于 1 的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角.其单位用符号 rad 表示,读作弧度(通常“弧度”或“rad”省略不写).在单位圆中,每一段弧的长度就是它所对圆心角的弧度数. 这种以弧度制作为单位来度量角的放大，称作弧度制. O B r =1 l=1 A 如图,在单位圆中, 的长为 1 ,则∠AOB=1 rad. 新知探究 B l=2 O B r =1 l=2 A O A r =1 在单位圆中， 的长为2,∠AOB= -2 rad. O r =1 A l=0 (B) 在单位圆中， 的长为0,∠AOB= 0 rad. 在单位圆中， 的长为2,∠AOB= 2 rad. 角的正负由角的终边的旋转方向决定. 抽象概括 正角 负角 零角 角的集合 实数集 R 总结：不同的角,其弧度数一定不相同.因此可用角的弧度数来度量角的大小.这种度量方法有效地把角度单位与长度单位统一起来,确立了角与实数间的一一对应关系. 负数 0 正数 思考辨析 思考辨析：判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”). （1）1弧度就是1度的圆心角所对的弧.( ) （2）1弧度是长度为半径的弧.( ) （3）1°的角比1 rad的角要大.( ) （4）1 rad的角的大小和所在圆的半径的大小有关.( ) × × × × 学习过程 01 03 02 目录 1 弧度的概念 3 当堂检测 2 弧度与角度的换算 单击此处添加备注 13 新知探究 思考：角可以分别用角度和弧度度量，角度和弧度之间有什么关系呢？ 如图，以角的顶点为圆心画单位圆（半径为单位长度1的圆），则角(设)与其对应的弧长有什么关系？ 当时，，即在单位圆中，1个圆周所对应的弧长是 新知探究 角度换成弧度 弧度换成角度 弧度制的应用： ①根据需要，可以用以上公式进行弧度与角度换算. ②对于任意角，每一个角都可以表示成： 角度制，弧度制. 典例分析 例1.（1）把化为弧度； （2）把化为弧度. 解：(1)； (2). 典例分析 例2.(1)把化成度； (2)把化成度. 解：(1)； (2). 归纳小结 在进行角度制和弧度制的换算时,应注意: (1) 用“弧度”为单位度量角时,“弧度”两字或“rad”可以不写. 但用“度”(°)为单位时不能省略. (2) 用“弧度”为单位度量角时,常常把弧度数写成多少的形式,如无特别要求,不必把写成小数. (3) 度化为弧度时,应先将分、秒化为度,再化为弧度. 新知探究 试一试：运用换算公式，填写下列特殊角的度数与弧度数： 度 0° 30° 45° 120° 135° 150° 360° 弧度 π 60° 90° 180° 270° 0 2π 对于之外的特殊角，不难得到它们的弧度数. 例如，420°＝360°＋60°＝(2π＋) rad＝ rad 新知探究 弧度制下的扇形的弧长、面积公式 探究：在半径为的圆中，设扇形的圆心角为，其弧度数为，则。 （1）如何用扇形的弧度数表示扇形的弧长？ （2）如何用扇形的弧度数表示扇形的面积？ 在半径为的圆中，圆心角为的扇形弧长 扇形的面积 | 学习过程 01 03 02 目录 1 弧度的概念 3 当堂检测 2 弧度与角度的换算 单击此处添加备注 21 当堂检测 D 2. 对应的角度为( ). A.B. C. D. 当堂检测 C 解：因为 ，所以 ，故选C． 3.与角 终边相同的角是( ). A. B. C. D. C 解：与角终边相同的角为，，当时，此角等于 .故选C． 当堂检测 AC 课堂小结 弧度制 知识层面： （1）知道了1弧度角的定义. （2）掌握了弧度与角度的换算. （3）知道了弧度表示的扇形的弧长、面积公式. （4）了解了引入弧度的意义. 思想方法层面： （1）从角度到弧度的类比思想. （2）数形结合的数学思想. 感谢聆听! 1.下列角中与终边相同的角是( ) A. B. C. D. 解：由角度制与弧度制的互化公式，可得，与角终边相同的角的集合为，令，可得. 4（多选）某日，分针长为的时钟从走到，分针转动的弧度为，分针的针尖走过的弧长为l，则( ) A． B． C． D． 解：因为分针是按照顺时针旋转的， 所以转动的弧度为负数，可得， 由分针长为可得，弧长 故选：AC $