专题01 集合与常用逻辑用语（期末复习课件）高一数学上学期人教A版必修第一册

这是一份高一年级数学上学期期末复习课件，围绕集合与常用逻辑用语专题，构建“考情分析-必备知识清单-重难点题型突破-分层验收”的学习支架，涵盖集合概念、关系、运算及逻辑用语等核心内容，配套例题、变式及归纳总结。 资料特色突出，以表格化清单梳理知识（如集合运算性质表），结合Venn图直观呈现关系，通过分类讨论求参数等题型培养数学思维，易错点提醒（如元素互异性）强化严谨性。助力学生系统复习，提升解题能力，也为教师提供结构化教学资源，适配高一学生夯实基础、应对期末的需求。

专题01 集合与常用逻辑用语 高一年级数学上学期 期末复习大串讲 人教A版 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 1 明•期末考情 第一部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 2 核心考点 复习目标 考情规律 1.1 元素与集合的关系 能判断元素与集合的从属关系，并根据关系求解参数。 常与集合互异性结合考查，基础题型，易因忽略检验而出错。 1.2 集合的表示法 能根据问题选择列举法或描述法表示集合，并实现两种表示法之间的转化。 描述法理解易错，需注意代表元素的含义与取值范围。 1.3 集合的三大特性 能利用确定性、互异性、无序性判断集合的合法性，并求解相关参数问题。 小题中常设“互异性”陷阱，忽略易导致多解或错解。 1.4 集合间的关系 能判断集合间的包含与相等关系，会求子集、真子集个数，理解空集的特殊地位。 空集是常考易漏点，分类讨论时常因忽略空集导致失分。 1.5 集合的交、并、补运算 能进行集合的混合运算，并运用数轴或Venn图解决含参不等式集合的运算问题。 高频考点，数轴分析参数范围是常见题型，也是学生的主要难点。 2.1 充分条件与必要条件的判断 能通过“定义法”、“集合法”、“等价转化法”等多种方法，准确判断条件间的逻辑关系与类型。 核心易错点。学生常混淆“谁是条件”，导致判断颠倒。命题趋势是结合方程、不等式、集合、函数等知识构成复合情境题。 2.2 全称量词与存在量词命题的否定 能正确书写含有一个量词的命题的否定，并理解否定前后命题真假性的关系。 易错点集中：否定时只改量词（∀↔∃）而不否定结论。常以选择题形式考查对否定形式准确性的理解。 2.3 根据命题真假求参数范围 能利用充分、必要条件的逻辑关系，或全称/存在命题的真假，建立不等式（组）求解参数取值范围。 常见综合题型与难点。将逻辑关系转化为集合包含关系或方程（不等式）恒成立、能成立问题，是考查逻辑与代数综合能力的关键 3 记•必备知识 第二部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 4 5 【清单01】集合的概念与表示 一、集合的概念★ 1.元素:一般地,把研究对象统称为元素,常用小写拉丁字母a,b,c,…表示. 2.集合:把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),常用大写拉丁字母A,B,C,…表示. 3.集合相等:构成两个集合的元素是一样的. 6 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素,就说a属于集合A a∈ A a属于集合A 不属于 如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A a ∉ A a不属于集合A 4.集合与元素的关系： 7 二、集合中元素的特征★★★ (1)确定性——对于一个给定的集合,它的元素必须是确定的.也就是说,如果给定 一个集合,那么一个元素在或不在这个集合中就确定了. (2)互异性——对于一个给定的集合,它的元素一定是互不相同的.也就是说,集合 中的任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入同一个集合时只能算为一个 元素. (3)无序性——对于一个给定的集合,它的元素并无先后顺序,即任何两个元素都 是可以交换顺序的. 8 三、集合的表示★★★★ 1.列举法 把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法. 2.描述法 (1)定义:一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法. (2)写法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再 画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 特别提醒： 用描述法表示集合,先要弄清集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明确集合类型,是数集、点集还是其他类型的集合．如集合表示函数的定义域；集合表示函数的值域；集合表示函数的点集；集合表示方程的解集. 9 3.常见数集的表示★★ 常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N+ Z Q R 10 【清单02】集合之间的关系 一、子集、真子集、集合相等★★★★ 11 二、空集★★ 定义 不含任何元素的集合叫做空集 符号       ⌀     规定 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集 二级结论： 若集合A中有n个元素,则集合A的所有子集的个数为2n,真子集个数为2n－1,非空子集个数2n－1,非空真子集个数为2n－2. 12 三、Venn图★★ 在数学中,经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图. Venn图可以直观地表示集合间的关系.常见数集间的关系如图所示. 13 【清单03】集合的交集、并集及补集运算 一、集合的并集与交集★★★★★ 14 二、集合的全集与补集★★★★ 1.全集 一般地,如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U. 2.补集 二级结论：1.； 2.德摩根律①；② 15 【清单04】充分条件、必要条件及充要条件 一、充分条件与必要条件★★★★★ 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题 推出关系 由p可以推出q,记作 p⇒q     由p不能推出q,记作 q⇏p  条件关系 p是q的充分条件     p不是q的充分条件     q是p的必要条件     q不是p的必要条件     二、充要条件 如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有p⇒q   ,又有q⇒p,就记作  p⇔q    .此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果p⇔q,那么p与q互为充要条件. 16 【清单05】全称量词与存在量词 一、全称量词与全称量词命题★★ 全称量词 全称量词命题 全称量词命题的真假判断 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词 ,并用符号“∀ ”表示 含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个x,p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M,p(x)  全真为真,一假为假 二、存在量词与存在量词命题★★ 存在量词 存在量词命题 存在量词命题的真假判断 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词 ,并用符号“ ∃ ”表示 含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M中的元素x,p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M,p(x)     一真为真,全假为假 17 【清单06】全称量词与存在量词命题的否定★★★★ 命题的类型 命题的符号表示 命题的否定的符号表示 命题的否定的类型 全称量词命题 p:∀x∈M,p(x) ¬p: ∃x∈M,¬p(x)     存在量词命题 存在量词命题 p:∃x∈M,p(x) ¬p: ∀x∈M,¬p(x)     全称量词命题 18 破•重难题型 第三部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 19 D 20 21 D 22 B 23 C 24 B 25 26 B 27 28 A 29 D 30 31 A 32 B 33 34 B 35 36 A 37 A 38 B 39 40 41 42 B 43 C 44 C 45 46 C 47 48 C 49 50 过•分层验收 第四部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 51 B 52 53 54 C 55 56 C 57 58 59 60 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 61 概念 图示 性质 子集 一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集 ,记作 A⊆B   (或 B⊇A  ),读作“A包含于B”(或“B包含A”)   任何一个集合是它本身的子集,即A⊆  A; 对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么A⊆  C 集合 相等 一般地,如果集合A的任何一元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作  A=B   A⊆B,且B⊆A⇔A=B; A=B,且B=C,则A=C 真子集 如果集合 A⊆B ,但存在元素x∈B,且x∉A  ,就称集合A是集合B的真子集,记作A⫋B(或B⫌A)   A⫋B,且B⫋C,则A⫋C; A⊆B,且A≠B,则A⫋B 文字语言 符号语言 图形语言 运算性质 并集 一般地,由所有属于集合A或  属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作 A∪B (读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈B}       A∪B=B∪A,A∪A=A,A∪⌀=⌀∪A=A,A⊆(A∪B),B⊆(A∪B),A⊆B⇔A∪B=B 文字语言 符号语言 图形语言 运算性质 交集 一般地,由所有属于集合A且 属于集合B的元素 组成的集合,称为集合A与B的交集,记作A∩B  (读作“A交B”) A∩B={x|x∈ A,且x∈B}       A∩B=B∩A,A∩A=A,A∩⌀=⌀∩A=⌀,(A∩B)⊆A,(A∩B)⊆B,A⊆B⇔A∩B=A 文字语言 对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作  符号语言 ={x|x∈U,且x∉A}     图形语言   运算性质 ⊆U,=⌀,=U,()=A,A∪()=U,A∩()=⌀ 【解析】,∵,∴表示所有奇数,也表示所有奇数,∴,故选D． 【题型一】判断集合之间的关系 【例1】(2025-2026湖北武汉期中)已知集合,则(    ) 【归纳总结】判断两个集合A、B之间是否有包含关系的步骤是:先明确集合A、B中的元素,再分析集合A、B中的元素之间的关系,当集合A中的元素都属于集合B时,有AB;当集合A中的元素都属于集合B,且集合B中至少有一个元素不属于集合A时,有AB;当集合A中的元素都属于集合B,且集合B中的元素也都属于集合A时,有A=B;当集合A中至少有一个元素不属于集合B,且集合B中至少有一个元素也不属于集合A时,有AB,且BA,即集合A、B互不包含. 【解析】方程的两根分别为,所以集合,故,,,,故A,B,C错误,D正确.故选D. 【变式1-1】(2025-2026陕西汉中期中)已知集合,则(   ) A． B． C． D． A．1 B．2 C．0 D．1或2 【题型二】利用集合之间的关系求参数 【例2】(2025-2026河北省五校联合教研体期中)已知集合,,若,则m的值为(    ) 所以满足条件的的个数为3个.故选C. 【变式2-1】(2025-2026安徽鼎尖名校期中)已知集合,若,则满足条件的实数的个数为(    ) A． B． C． D． 说明集合中的元素都属于集合,即.故选B 【解析】集合,解得,集合,解得, 【变式2-2】(2025-2026湖北黄冈期中)已知集合,若,则实数的取值范围是(     ) A． B． C． D． 当时,,则或,解得或.综上,实数的 取值集合为. 【变式2-3】(2025-2026安徽六安期中)已知集合,若,则实数的取值集合为_________. 【解析】由题意得,,当时,,满足； A． B． C． D． 【解析】集合,,所以.故选B 【题型三】集合的基本运算 【例3】(2025-2026江苏连云港期中)已知集合,,则(   ) 【归纳总结】进行集合的交、并、补运算注意三点： (1)意义化：分清集合的类型,是表示数集、点集还是图形构成的集合． (2)直观化：借助数轴、Venn图等将有关集合直观地表示出来． (3)求出有关集合中方程、不等式的解,不能具体求出的,也应力求将相关集合转化为最简形式．运算时还要注意：①勿忘对空集的讨论；②勿忘集合中元素的互异性；③对于含参数的集合问题,勿忘对所求数值进行合理取舍． C． D． 【解析】因为,,所以. 故选A． 【变式3-1】(2025-2026福建莆田期中)已知集合,,则( ) A． B． 【解析】,或,则,则. 【变式3-2】(2025-2026安徽合肥期中)已知集合,则(    ) A． B． C． D． 或,,或, 【变式3-3】(2025-2026江苏南京期中)已知全集,,,则图中阴影部分表示的集合为．    A． B． C． D． 【解析】因为,所以,又因为,所以, 所以的取值范围是.故选A. 【题型四】利用集合的运算求参数 【例4】(2025-2026内蒙古赤峰期中)已知集合,若,则的取值范围是(    ) 【解析】由,则,故实数的取值范围为.故选B. 【变式4-1】(2025-2026江苏南通期中)已知集合,集合,若,则实数的取值范围(     ) A． B． C． D． 若 ,则 ,集合 中元素不满足互异性,舍去；综上, . 【变式4-2】(2025-2026山东枣庄期中)已知集合,若,则__________. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】,得,因为集合是集合的真子集,所以“”是“”的必要不充分条件.故选B. 【题型五】充分条件、必要条件的判定 【例5】(2025-2026天津滨海新区期中)“”是“”的(    ) 【归纳总结】对充分条件与必要条件的理解 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】若,则一定成立,故；若,则或, 不一定有,故. 因此,是的充分不必要条件.故选A. 【变式5-1】(2025-2026四川省成都蓉城联盟期中)已知命题,,则p是q的(    )． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 所以“且”是“”的充分不必要条件.故选A 【变式5-2】(2025-2026山东省青岛期中)“且”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 A． B． C． D． 【解析】因为“”是“”的必要条件,所以,由, 所以,解得,所以实数的取值范围是,故选B 【题型六】充分条件、必要条件的应用 【例6】(2025-2026江苏淮安市高中协作体期中)已知集合,.若“”是“”的必要条件,则实数的取值范围(    ) 【归纳总结】从集合角度理解充分条件与必要条件 【变式6-1】(2025-2026上海市复旦大学附中期中)设α：,β：,若α是β的充分条件,则实数a的取值范围是________． 【解析】由α是β的充分条件,可得是的子集,即 可知集合是集合的真子集,则,解得,所以实数的取值范围是. 【变式6-2】(2025-2026陕西渭南期中)已知命题：“方程至少有一个解”,若的一个必要不充分条件为“”,则实数的取值范围是____. 【解析】对于命题：“方程至少有一个解”,若,则,解得,符合题意； A． C． D．菱形的两条对角线相等 【解析】选项A：对于方程,判别式,所以方程无实数根,故A错误；选项B：当时,成立,充分性成立,当时,解得,必要性不成立, 所以是的充分不必要条件,故B正确；选项C：当时,满足条件,但 此时,故C错误；选项D：菱形的两条对角线不一定相等,故D错误.故选B 【题型七】含量词命题真假的判定 【例7】(2025-2026浙江省钱塘联盟期中)下列命题正确的是(    ) B．存在一条直线与已知直线不平行 C．对任意实数若,则 【解析】因为B,D是存在量词命题,故应排除;对于A,当时,方程无 实数根,故A错误, 由不等式性质知,C是真命题.故选C. 【变式7-1】(2025-2026湖南岳阳市平江县期中)下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　) A．,方程有实数根 A．,使得 B．,使得 C．,使得 D．,使得 【解析】原命题是存在量词命题,其否定是全称量词命题,所以命题“,使得”的否定为“,使得 ”.故选C 【题型八】含量词命题的否定 【例8】(2025-2026广东深圳期中)命题“,使得”的否定为(     ) 【归纳总结】对全称(存在)命题进行否定的方法 ①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词． C．, D．, 【解析】因为,否定是,.故选C. 【变式8-1】(2025-2026广东省惠州期中),否定是(    ) A．, B．, 【解析】由题意可知,任意,是真命题,当时,成立, 当时,,得,综上可知,的取值范围是. 【题型九】含量词命题及否定的应用 【例9】(2024-2025山东省单县调研)若命题“存在,”为假 命题,则实数的取值范围是________. 【解析】为真命题,故需满足,解得, 【变式9-1】(2025-2026云南玉溪月考)若命题p:“”.使 命题p为假命题的实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 所以,在区间上,当或4 时,取得 最大值为,所以． 【变式9-2】(2025-2026河北省月联合测评)若命题“任意” 为假命题,则实数a的取值范围是______． 【解析】由于“任意”为假命题,所以“”为真命题, A．0 B．1 C．0或1 D．4 【解析】因为,,,所以,所以或,即或. 【题型一】利用集合之间的关系求参数,忽略元素的互异性致错 【例1】(2024-2025云南昆明市期末)已知集合,,则(     ) 【易错提醒】在判断集合中元素的个数时,不少同学常因忽视互异性,疏于检验而出错．一般地,在解集合中的未知元素时,要将所得值回归集合中,检验集合是否满足互异性,若不满足互异性,则应舍去. 解得或或,根据集合的元素的互异性可得,且, 【变式1-1】(2025-2026上海市香山中学期中)已知集合,,且,则的值为__________. 【解析】因为,,且,所以或, A．0或 B．1或 C．0或或1 D．0或 【题型二】利用或求参数忽略为空集致错 【例2】(2025-2026黑龙江佳木斯市期中)已知集合满足,则实数的值是(    ) 【易错提醒】涉及到“”或“,且B≠”的问题,一定要分A＝和A≠两种情况讨论,不要忽视空集的情况． 【解析】当时,,解得；当时,,解得, 综上,,即实数m的取值范围为,故选C 【变式2-1】(2025-2026湖南衡阳)已知集合,已知,若,则实数m的取值范围(     ) A． B． C． D． 【例1】已知A＝{x|x2＋x＋a≤0},B＝{x|x2－x＋2a－1＜0},C＝{x|a≤x≤4a－9},且A,B,C中至少有一个不是空集,求a的取值范围______． 【解析】这个问题的反面即是三个集合全为空集, 即解得1≤a＜3. 【题型一】利用正难则反求解数学问题 解决数学问题的思维过程,一般总是从正面入手,即从已知条件出发,经过一系列的推理和运算,最后得到所要求的结论,但有时会遇到从正面不易入手的情况,这时可从反面去考虑．从反面考虑问题在集合中的运用主要就是运用补集思想．补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题. (2)若为假命题,求实数的取值范围； (3)若、至多有一个为真命题,求实数的取值范围. 【解析】(1)若是真命题,则,得, 故实数的取值范围为. 由解得,即实数的取值范围是. 【变式1—1】(2025-2026江苏淮安市高中协作体期中)设命题,；命题, (1)若为真命题,求实数的取值范围； 由(2)可知,为真命题时,或, 若、都是真命题,则, 所以若、至多有一个为真命题,则,即实数的取值范围是. (3)先求出当命题、都是真命题时的取值范围,结合补集思想可求得结果 为真命题时,, $