专题01 分式和分式方程全章24大常考易错压轴题型（期末复习专项训练）八年级数学上学期新教材冀教版

专题01 分式和分式方程全章24大常考易错压轴题型 题型1 分式的相关概念 题型13 根据分式方程解的情况求值（重点） 题型2 分式有无意义的条件（常考点） 题型14 分式方程的增根问题（重点） 题型3 分式变形是否正确 题型15 分式方程的无解问题（重点） 题型4 约分、通分 题型16 分式方程的实际应用（重点） 题型5 分式的求值 题型17 分式求值的特殊方法（难点） 题型6 最简分式与最简公分母 题型18 分式求值的整数问题（难点） 题型7 分式的混合运算（常考点） 题型19 分式混合运算压轴（难点） 题型8 整式与分式相加减 题型20 分式的化简求值压轴（难点） 题型9 分式加减的实际应用 题型21 分式的有规律运算问题（难点） 题型10 分式化简求值（重点） 题型22 分式方程中的含参问题（难点） 题型11 分式方程的概念与列式 题型23 分式方程的新定义运算（难点） 题型12 解分式方程（常考点） 题型24 分式方程的实际应用压轴（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 分式的相关概念（共3小题） 1．在代数式，，，，，，中，是分式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．若一个分式含有字母，且当时，它的值为2，则这个分式可以是 （写出一个即可） 3．观察下面一列分式：，，，，…（其中）． (1)根据上述分式的规律写出第6个分式； (2)根据你发现的规律，试写出第n（n为正整数）个分式，并简单说明理由． 题型二 分式有无意义的条件（共3小题） 4．若分式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．使式子有意义的的取值范围是 ． 6．（1）当x 时，分式有意义． （2）当x 时，分式有意义． 题型三 分式变形是否正确（共3小题） 7．分式可变形为（    ） A． B． C． D． 8．下列从左到右的变形：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号）． 9．在下列等式中，从等号的左边到右边是通过怎样的变形得到的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 题型四 约分、通分（共3小题） 10．约分： (1)； (2)； (3)． 11．通分： (1)． (2) 12．下列通分是否合理？若不合理，请改正． (1)； 解：， ． (2)． 解  ， ． 题型五 分式的求值（共3小题） 13．若，则的值为（    ）． A． B． C． D． 14．已知实数满足，则分式为 ． 15．阅读下面例题解法： 例：已知，求分式的值． 解：方法一：由，得①，由，得②，把①和②代入原式，得 原式． 方法二：设，则，把它们代入原式，得 原式． 根据以上解题方法解答下题： 已知，试求分式的值． 题型六 最简分式与最简公分母（共3小题） 16．下列说法正确的是（    ） A．代数式是分式 B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C．分式的值为0，则x的值为 D．分式是最简分式 17．分式，，的最简公分母是 ． 18．化简下列分式： (1)； (2)． 题型七 分式的混合运算（共3小题） 19．化简： 20．计算： 21．计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型八 整式与分式想加减（共3小题） 22．小明在化简时，过程如下： 解：原式 该计算过程有无错误__________．（填有或无）如果有，第__________步开始错误． 请写出正确的计算过程 23．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如：； (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是_________（填序号）； ①  ②  ③  ④ (2)请将“和谐分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)求当x为何整数时，分式也为整数． 24．一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②． (1)仿照上述方法，试将分式化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (2)如果分式的值为整数，求整数的值． 题型九 分式加减的实际应用（共3小题） 25．我们知道，一个房间窗户的面积与该房间地面面积的比值越大，采光越好．在某房间的设计图中，房间窗户的面积与该房间地面的面积分别为m，，且．小明提出，若把该房间窗户与房间地面的面积都增加a，采光会更好．你认为小明的说法正确吗？ 26．甲、乙两船在静水中的最大航速均为千米时．甲船以最大航速沿江逆流航行千米的时间与以最大航速沿江顺流航行千米的时间之和记为；乙在静水中以最大航速航行千米的时间记为．设水流速度为千米时． (1)列式表示出； (2)计算，． 27．【阅读理解】“作差法”是解决某些数学问题常用的方法之一：比较代数式M，N的大小，作差，若，则；若，则；若，则． 【方法尝试】 （1）试比较大小，______填“>”、“<”或“=”； （2）若，试比较与的大小； 【解决问题】 （3）原有糖水a克，其中含糖b克，则原糖水的“甜度”可用表示，现向糖水中加入n克糖，糖水的“甜度”可用表示，请你用数学知识解释为什么“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜呢”？ 题型十 分式化简求值（共3小题） 28．先化简，再求值：，其中． 29．先化简，再求值：，其中． 30．先化简，然后再从的范围内取一个合适的整数作为的值代入求值． 题型十一 分式方程的概念与列式（共3小题） 31．有下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（    ） A．③④ B．①② C．①③ D．②④ 32．有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是分式方程的是 ．（填序号） 33．判一判：下列方程中，哪些是分式方程?哪些是整式方程? （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）． 题型十二 解分式方程（共3小题） 34．解方程： (1) (2)． 35．解分式方程： (1) (2) 36．解方程： (1)． (2)． 题型十三 根据分式方程解的情况求值（共3小题） 37．若关于的方程的解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 38．已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 39．如果关于的分式方程的解为非负数，那么实数的取值范围为 题型十四 分式方程的增根问题（共3小题） 40．若关于的方程有增根，则 ． 41．若关于的分式方程有增根，则此分式方程的增根为 ． 42．若方程有增根，求的值． 题型十五 分式方程的无解问题（共3小题） 43．若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．－1或 44．关于的分式方程无解，则的值为 ． 45．已知关于的分式方程． (1)若方程的增根为，求的值． (2)若方程无解，求的值． 题型十六 分式方程的实际应用（共3小题） 46．湖南省足球联赛（简称“湘超”）正在火热进行中，株洲主场的球赛更是一票难求，体育中心附近商店销售的文创产品也深受广大市民的喜爱．某商店也准备销售文创产品，用2400元购进吉祥物“湘湘”，用1440元购进吉祥物“超超”，“超超”购进单价是“湘湘”购进单价的倍，“超超”的购进数量比“湘湘”的购进数量少40个． (1)该商店“湘湘”的购进单价为多少元？ (2)该商店将“湘湘”的售价定为35元/件，如果要使得总利润不低于640元，那么“超超”的售价最低应该定为每件多少元？ 47．研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．冬季，我校组织学生赴正定城市馆参加研学活动．为了让学生切身体会城市之美来之不易，特设了种草实践活动．活动中1、2两班各需种植的草地，已知2班每小时比1班多种植的草地，1班完成任务所需要的时间是2班完成任务所需时间的倍． (1)求1、2两班每小时各种植多少的草地？ (2)制作活动开始1小时分钟后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回．由于1班无法在规定时间完成，2班决定在完成本班任务后，立即帮助1班共同完成剩余任务．如果两班速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？请说明理由． 48．甲、乙两个商店在同一平台按相同的价格购进了同一品牌的调味品，已知甲商店用1260元购进的调味品数量比乙商店用1500元购进的数量少16瓶． (1)求这种调味品每瓶的价格． (2)过了一段时间，这种调味品的价格降到了m元/瓶（），两个商店计划再次购买这种调味品，甲、乙两个商店购买的总费用均与上次相同，设甲、乙两个商店两次购买这种调味品的平均价格分别为和，请比较和的大小． 题型十七 分式求值的特殊方法（共3小题） 49．阅读理解：著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：∵， ∴， ∴． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，求分式的值； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，求分式的值． 50．阅读下面的解题过程：已知，求的值． 解：由知，，所以，即. 所以.所以. 该题的解法叫做“倒数法”． 已知： 请你利用“倒数法”求的值．求的值． 51．阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知，所以，即． 的值为的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 题型十八 分式求值的整数问题（共3小题） 52．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是________分式（填“真”或“假”）； (2)先将假分式化为带分式________，再当的值为整数，求x的整数值．（写出过程） (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 53．阅读下列材料，并解答问题． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立，解得 ． 这样，分式就拆分成了整式与分式的和的形式． (1)若将分式拆分成（为整数），则______，______． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． (3)已知分式的值为负整数，直接写出满足条件的整数的值． 54．阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子，分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；将假分式化为带分式为______； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)若分式的值为，直接写出的取值范围是______． 题型十九 分式混合运算压轴（共3小题） 55．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． 56．计算： (1)； (2)． 57．计算： (1) (2)． (3)化简求值．先化简：，然后从0，1，2，3中选择你喜欢的值． 题型二十 分式的化简求值压轴（共3小题） 58．先化简，再求值：，其中． 59．先化简，再求值：，其中． 60．先化简，再求值：，其中． 题型二十一 分式的有规律运算问题（共3小题） 61．观察下列各等式，并回答问题：，，，…（n是正整数）． (1)填空： ； (2)计算： ； (3)若与互为相反数，求的值． 62．观察下列等式：．将以上三个等式两边分别相加，得． (1)猜想并填空： (2)化简：． (3)探究并作答： 计算：； 63．观察下列算式， 第一个式子；  第二个式子； 第三个式子； 第四个式子；…… 根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第n个式子： （n为正整数）． (2) （n，m为正整数且）． (3)若，试求的值． 题型二十二 分式方程中的含参问题（共3小题） 64．若关于的方程有非负实数解，关于的一次不等式组，有解，则满足这两个条件的所有整数的值的和是（   ） A． B． C． D． 65．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有负整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 66．已知，关于的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求为何值时，分式方程无解； (3)若，为正整数，分式方程的解为整数时，求的值． 题型二十三 分式方程的新定义运算（共3小题） 67．新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对” (1)下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有________．（填字母） A．； B． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 68．定义：如果两个代数式的和与这两个代数式的积相等，那么称这两个代数式互为“关联式”． (1)判断与是否互为“关联式”，并说明理由； (2)求与互为“关联式”的代数式； (3)填空：已知一个整式与一个最简分式互为“关联式”，请写出一组符合该条件的代数式可以是_____与______．（只要写一组即可） 69．我们定义：形如（不为零），且两个解分别为的方程称为＂十字分式方程＂． 例如为十字分式方程，可化为． 再如为十字分式方程，可化为．． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若十字分式方程的两个解分别为，求的值． (2)若关于的十字分式方程的两个解分别为，求的值． 题型二十四 分式方程的实际应用压轴（共3小题） 70．“互联网+”助力乡村全面振兴．石家庄市某网络销售商在“双十一”举行促销活动，在11月11日销售甲、乙、丙三种农产品时，记录了如下统计信息： 信息1：乙商品销售单价比甲商品多5元/千克，丙商品销售单价是甲商品的3倍； 信息2：用270元购买丙商品的质量是用60元购买乙商品质量的3倍； (1)若设甲商品销售单价为元/千克，请依据上述信息填表； 销售单价（元/千克） 质量（千克） 销售总价（元） 乙 60元 丙 270元 (2)求11月11日当天甲、乙、丙商品销售单价分别为多少元/千克？ (3)“双十一”促销活动结束后，该销售商将三种商品的销售单价在（2）的基础上每千克提高了元（为整数且）．嘉嘉花200元购买甲商品，再花200元购买丙商品，琪琪花400元购买乙商品，设嘉嘉购买商品的质量之和为，设琪琪购买商品的质量为，直接写出的最大值． 71．某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，相关信息如下表： 单枪充电桩 花费：50000元 单价：x元/个 双枪充电桩 花费：45000元 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过25000元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 72．某校为学生制定了篮球训练计划如下：要求每名学生先进行活动一，活动二的训练，再进行活动三． 活动一：篮球单手运球往返跑． 活动二：篮球双手交替运球往返跑． 两项活动规则如下：如图1，从起跑线处开始运球，到达折返线后折返回起跑线，途中篮球掉下时，必须捡起并回到掉球处继续运球跑． 嘉嘉在活动一中速度是在活动二中速度的倍，设嘉嘉在活动二中的速度为米/秒． （1）假设嘉嘉参加两项活动球均未掉落，求嘉嘉单手运球往返跑的时间比双手交替运球往返跑的时间少多少秒？（用含x的式子表示） （2）若嘉嘉在活动一中球未掉落，在进行活动二时，由于双手交替运球不熟练，球掉落，返回到掉球处浪费了4秒，结果进行两项活动共用时28秒，求嘉嘉在活动一中的速度． 活动三：篮球运球绕杆往返跑． 活动规则如下：沿图2规定路线运球绕杆往返跑． （3）若这条路线的总路程为36米，嘉嘉和淇淇依次完成活动三后，嘉嘉说：“咱俩共用时42秒”．淇淇说：“如果我用你跑的那么多时间，我只可以跑20米”．求这两名同学各跑了多少秒？ 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 分式和分式方程全章24大常考易错压轴题型 题型1 分式的相关概念 题型13 根据分式方程解的情况求值（重点） 题型2 分式有无意义的条件（常考点） 题型14 分式方程的增根问题（重点） 题型3 分式变形是否正确 题型15 分式方程的无解问题（重点） 题型4 约分、通分 题型16 分式方程的实际应用（重点） 题型5 分式的求值 题型17 分式求值的特殊方法（难点） 题型6 最简分式与最简公分母 题型18 分式求值的整数问题（难点） 题型7 分式的混合运算（常考点） 题型19 分式混合运算压轴（难点） 题型8 整式与分式相加减 题型20 分式的化简求值压轴（难点） 题型9 分式加减的实际应用 题型21 分式的有规律运算问题（难点） 题型10 分式化简求值（重点） 题型22 分式方程中的含参问题（难点） 题型11 分式方程的概念与列式 题型23 分式方程的新定义运算（难点） 题型12 解分式方程（常考点） 题型24 分式方程的实际应用压轴（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 分式的相关概念（共3小题） 1．在代数式，，，，，，中，是分式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查了分式的定义，分母中含有字母的代数式称为分式． 根据分式的定义逐一检查每个代数式，看分母是否含有字母． 【详解】：分母为常数2，无字母，不是分式； ：分母有字母a，是分式； ：分母为常数π，无字母，不是分式； ：分母为常数4，无字母，不是分式； ：分母有字母x，是分式； ：分母均为常数，无字母，不是分式； ：分母有字母y，是分式； 分式的有3个． 故选A． 2．若一个分式含有字母，且当时，它的值为2，则这个分式可以是 （写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式的值，根据题意设这个分式为，再将代入求出a的值即可． 【详解】解：设这个分式为， 当时，它的值为2， ， 解得， 故这个分式可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 3．观察下面一列分式：，，，，…（其中）． (1)根据上述分式的规律写出第6个分式； (2)根据你发现的规律，试写出第n（n为正整数）个分式，并简单说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】此题主要考查了分式的规律性问题以及数字规律的探索问题，得出分子与分母的变化规律即可解题． （1）根据已知分式的分子与分母的次数与系数关系进而得出答案； （2）利用（1）中数据变化规律，进而得出答案． 【详解】（1）解：观察各分式的规律可得第6个分式为． （2）解：根据题意得：第n（n为正整数）个分式为．理由： ∵分母的底数为y，次数是连续的正整数，分子的底数是x，次数是连续的奇数，且第偶数个分式的系数为负， ∴第n（n为正整数）个分式为． 题型二 分式有无意义的条件（共3小题） 4．若分式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，因此只需令分母 即可求解． 【详解】∵ 分式有意义时，则分母， ∴ ， 故选：A． 5．使式子有意义的的取值范围是 ． 【答案】且且 【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．分式有意义的条件是分母不为零，据此解答即可． 【详解】解：有意义的条件是： ， 解得：且且． 故答案为：且且． 6．（1）当x 时，分式有意义． （2）当x 时，分式有意义． 【答案】 【分析】根据分式的分母不为零，即可解答． 【详解】解：（1）要使分式有意义， 分母， ． （2）要使分式有意义， ， ． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式分母不为零时，分式有意义是解题的关键． 题型三 分式变形是否正确（共3小题） 7．分式可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查判断分式的变形是否正确，根据分式的基本性质，进行判断即可． 【详解】解：； 故符合题意的只有选项A； 故选A． 8．下列从左到右的变形：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号）． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了分式的基本性质的知识点，掌握“分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为的整式，分式的值不变”最关键． 本题根据分式的基本性质，对每个变形进行分析，判断其是否符合该性质，进而得到哪些变形是正确的结论，即可解决判断分式变形是否正确的问题． 【详解】解：①当时，此时分母，分式不成立，无意义，不符合题意； ②由知，分子分母同时乘以，分式的值不变，即，符合题意； ③由知，分子分母同时除以，分式的值不变，即，符合题意； ④∵∴，分子分母同时乘以，分式的值不变，即，符合题意． 故答案为：②③④． 9．在下列等式中，从等号的左边到右边是通过怎样的变形得到的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)分子和分母同时乘以 (2)分子和分母同时除以 (3)分子和分母同时乘以 (4)分子和分母同时除以 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键： （1）分子和分母同时乘以； （2）分子和分母同时除以； （3）分子和分母同时乘以； （4）分子和分母同时除以． 【详解】（1）解：分子和分母同时乘以； （2）分子和分母同时除以； （3）分子和分母同时乘以； （4）分子和分母同时除以． 题型四 约分、通分（共3小题） 10．约分： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分式的约分，掌握分式的约分是解题的关键． （1）将分子分母约去公因式即可； （2）分子先因式分解，再约去公因式即可； （3）分子分母先因式分解，再约去公因式即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． 11．通分： (1)． (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了分式通分的知识点，掌握确定最简公分母的方法最关键． （1）（2）根据两个分式的分母能进行因式分解的，先因式分解，找到最简公分母，再将两个分式的分子分母分别乘以相应的整式，把它们化为同分母分式即可． 【详解】（1）解：， ， （2）解：∵，， ∴两个分式的最简公分母是， 则：， ． 12．下列通分是否合理？若不合理，请改正． (1)； 解：， ． (2)． 解  ， ． 【答案】(1)不合理，见解析 (2)不合理，见解析 【分析】此题考查了分式的通分， （1）根据通分的方法求解判断即可； （2）根据通分的方法求解判断即可． 【详解】（1）解：原式通分不合理， 改正：，； （2）解：原式通分不合理， 改正：，． 题型五 分式的求值（共3小题） 13．若，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的基本性质，分式求值，掌握相关知识是解决问题的关键．利用分式的基本性质将已知等式交叉相乘可得，整理即可求得． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 14．已知实数满足，则分式为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的求值，由已知条件，将所求分式的分子和分母同时除以，变形后代入已知条件计算．结合分式的基本性质进行恒等变形是解题的关键． 【详解】解：∵实数满足， ∴， ∴， 即分式为 故答案为 ． 15．阅读下面例题解法： 例：已知，求分式的值． 解：方法一：由，得①，由，得②，把①和②代入原式，得 原式． 方法二：设，则，把它们代入原式，得 原式． 根据以上解题方法解答下题： 已知，试求分式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的求值，方法一：，，再代入计算即可．方法二：由条件可得，设，则，再代入计算即可． 【详解】解：方法一：∵， ∴，， ∴ ； 方法二：∵， ∴， 设，则， ∴ ． 题型六 最简分式与最简公分母（共3小题） 16．下列说法正确的是（    ） A．代数式是分式 B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C．分式的值为0，则x的值为 D．分式是最简分式 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义、分式的基本性质、分式值为0的条件和最简分式的概念．根据分式的定义判断A；根据分式的基本性质判断B；根据分式值为0的条件判断C；根据最简分式的定义判断D． 【详解】解：A． ∵ 分母π是常数，不是字母， ∴ 是整式，不是分式，故A错误． B． ∵ x，y都扩大3倍后，分式变为，值扩大3倍，故B错误． C． ∵ 分式值为0， ∴ 分子且分母． 由得，由得， ∴ ，故C正确． D． ∵ （），可约分， ∴ 不是最简分式，故D错误． 因此，正确的是C． 故选：C． 17．分式，，的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母，解题关键是掌握最简公分母并能熟练运用求解． 根据最简公分母的求法，需将各分母因式分解后，取所有不同因式的最高次幂的乘积． 【详解】解：分式、、的分母分别为、、． 其中可因式分解为， 因此所有分母的因式为和， 最简公分母为， 故答案为：． 18．化简下列分式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式约分，解题的关键是明确分式约分的方法． （1）根据分式的约分的方法可以化简本题； （2）分式的分子分母能因式分解的先因式分解，然后约分即可解答本题． 【详解】（1）解：； （2）解：． 题型七 分式的混合运算（共3小题） 19．化简： 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的运算，熟练掌握分式运算的方法是解题关键． 先将括号里的分式进行因式分解约分，再通分加减，然后把除法运算转换为乘法运算进行约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 20．计算： 【答案】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，准确的计算是解决本题的关键． 先计算括号内的分式的减法运算，再计算除法运算即可． 【详解】解： ． 21．计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式混合运算，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键． （1）先根据分式加减运算法则，计算括号里面的，再根据分式除法运算法则，进行计算即可； （2）根据分式混合运算法则，进行计算即可； （3）根据分式混合运算法则，进行计算即可； （4）根据平方差公式，结合分式混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型八 整式与分式想加减（共3小题） 22．小明在化简时，过程如下： 解：原式 该计算过程有无错误__________．（填有或无）如果有，第__________步开始错误． 请写出正确的计算过程 【答案】有；三，，过程见解析 【分析】本题考查分式的加减运算，观察解答过程知该同学的解答从第三步开始出错；先通分化为同分母的分式相加减．掌握相应的运算法则及公式是解题的关键． 【详解】解：该计算过程有错误，第三步开始错误． 故答案为：有；三； 正确计算过程如下： 原式 ． 23．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如：； (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是_________（填序号）； ①  ②  ③  ④ (2)请将“和谐分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)求当x为何整数时，分式也为整数． 【答案】(1)①②③ (2) (3)0或2 【分析】（1）根据和谐分式的定义，进行计算即可解答； （2）根据和谐分式的定义，进行计算即可解答； （3）先把化为，根据为整数，也为整数，可得，即可求出答案． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④化不成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式， 上列分式中，属于“和谐分式”的是①②③， 故答案为：①②③； （2） ； （3） 为整数，也为整数， ， 或2． 【点睛】本题考查了分式的加减，准确熟练地进行计算是解题的关键． 24．一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②． (1)仿照上述方法，试将分式化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (2)如果分式的值为整数，求整数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了分式的性质，分式的加减运算； （1）参照范例进行解答即可； （2）先参照范例把分式化成一个整式与一个分式的和的形式，再结合原分式和的值都为整数这个条件进行分析解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ， ∵原分式的值为整数，且为整数， ∴， ∴或． 题型九 分式加减的实际应用（共3小题） 25．我们知道，一个房间窗户的面积与该房间地面面积的比值越大，采光越好．在某房间的设计图中，房间窗户的面积与该房间地面的面积分别为m，，且．小明提出，若把该房间窗户与房间地面的面积都增加a，采光会更好．你认为小明的说法正确吗？ 【答案】正确 【分析】本题主要考查了分式的加减运算及作差法比较大小，熟练掌握作差法比较分式大小的方法是解题的关键． 通过计算增加面积前后窗户与地面面积的比值之差，判断差值的正负，从而确定采光是否变好． 【详解】解：设原来窗户面积与地面面积的比值为， 增加面积后，新比值为． ∵ 又 ∵， ∴， ∴ ∴ ∴把该房间窗户与地面的面积都增加a，采光更好，小明的说法正确． 26．甲、乙两船在静水中的最大航速均为千米时．甲船以最大航速沿江逆流航行千米的时间与以最大航速沿江顺流航行千米的时间之和记为；乙在静水中以最大航速航行千米的时间记为．设水流速度为千米时． (1)列式表示出； (2)计算，． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了分式运算的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意得出，即可； （）根据分式减法和分式除法运算法则即可求解． 【详解】（1）解：甲船时间 ， 乙船时间 ； （2）解： ； ． 27．【阅读理解】“作差法”是解决某些数学问题常用的方法之一：比较代数式M，N的大小，作差，若，则；若，则；若，则． 【方法尝试】 （1）试比较大小，______填“>”、“<”或“=”； （2）若，试比较与的大小； 【解决问题】 （3）原有糖水a克，其中含糖b克，则原糖水的“甜度”可用表示，现向糖水中加入n克糖，糖水的“甜度”可用表示，请你用数学知识解释为什么“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜呢”？ 【答案】（1）；（2）；（3）见解析． 【分析】（1）作差计算即可； （2） “作差”计算出结果，再根据结果的符号判断即可； （3）比较与的大小即可． 本题考查有理数的大小比较，分式的加减，理解“作差法”是正确解答的关键． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：<； （2）， ； （3），即， ， ， 即后来的糖水的“甜度”较大，也更甜． 题型十 分式化简求值（共3小题） 28．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，零指数幂，负整数指数幂．先化简分式，通过因式分解和约分简化，然后计算的值，最后代入求值． 【详解】解： ∵ ∴原式 29．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值；先化简括号内的表达式，通分后合并，再除以分式变为乘以其倒数，约分后得到最简分式，最后代入x的值计算，即可求解． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 30．先化简，然后再从的范围内取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则以及分式有意义的条件． 先化简分式，通过通分和乘法运算得到最简形式，再根据取值范围选择合适的整数代入求值，注意分母不为零的条件． 【详解】解： ∵ ， ∴整数 的值为 ， 又∵ 且（分母不为零）， ∴ ， ∴原式． 题型十一 分式方程的概念与列式（共3小题） 31．有下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（    ） A．③④ B．①② C．①③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解答此题的关键． 根据分式方程的定义对各方程进行逐一分析即可． 【详解】解：①是分式方程，符合题意；②是分式方程，符合题意；③是整式方程，不符合题意；④是整式方程，不符合题意． 其中是分式方程的是①②， 故选：B． 32．有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是分式方程的是 ．（填序号） 【答案】③④⑤⑨ 【分析】本题考查了分式方程的定义．根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程称为分式方程．逐项判断各方程的分母是否含有未知数即可． 【详解】解：方程①的分母为，是常数，不含未知数，故不是分式方程； 方程②的分母为，是常数，不含未知数，故不是分式方程； 方程③的分母为，含有未知数，故是分式方程； 方程④的分母为，含有未知数，故是分式方程； 方程⑤的分母为，含有未知数，故是分式方程； 方程⑥无分母或分母为常数，故不是分式方程； 方程⑦的分母为和，均为常数，不含未知数，故不是分式方程； 方程⑧不是方程，故不考虑； 方程⑨的分母为和，均含有未知数，故是分式方程． 因此，分式方程为③④⑤⑨． 故答案为：③④⑤⑨． 33．判一判：下列方程中，哪些是分式方程?哪些是整式方程? （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）． 【答案】（）（）（）（）（）是分式方程；（）（）是整式方程． 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的字母的方程叫做分式方程即可判断． 【详解】（1）是分式方程； （2）是整式方程； （3）是分式方程； （4）是分式方程； （5）是分式方程； （6）是整式方程； （7）是分式方程． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，掌握分式方程的定义是解题的关键． 题型十二 解分式方程（共3小题） 34．解方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题主要考查分式方程的求解，验证分式方程的解是否是增根是解题的关键． （1）首先去分母将分式方程化为一元一次方程，再进行移项、合并同类项求解，最后将解代入原方程检验，若分母不为0，则该解是原方程的解； （2）首先去分母将分式方程化为一元一次方程，再进行移项、合并同类项求解，最后将解代入原方程检验，若分母为0，则该解是增根，原方程无解． 【详解】（1）解： ； 检验：将 代入原方程分母，，， 故是原方程的解． （2）解： ， 检验：将代入原方程分母，，分母为0， 故是增根，原方程无解． 35．解分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程的知识，掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键． （1）首先在方程两边同乘以最简公分母，将原方程转化为整式方程，求解后再检验即可得出答案． （2）首先在方程两边同乘以最简公分母，将原方程转化为整式方程，求解后再检验即可得出答案． 【详解】（1）解：方程两边都乘，得， 整理，得， 解方程，得， 检验：当时，， 所以原方程的解是． （2）解：方程两边都乘，得， 整理，得， 解方程，得， 检验：当时，， 所以原方程的解是； 36．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程． （1）方程两边乘，化为整式方程，解方程并检验，即可求解； （2）方程两边乘，化为整式方程，解方程并检验，即可求解． 【详解】（1）解： 方程两边乘，得， 整理得， 解得：， 检验：当时，， 是分式方程的解． （2）解： 方程两边同乘，得， 解得． 检验：当时，，所以是原方程的增根，原分式方程无解． 题型十三 根据分式方程解的情况求值（共3小题） 37．若关于的方程的解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，解分式方程是关键；首先将原方程化简，利用分母关系合并项，然后求解出x关于m的表达式，再根据解为负数的要求得到m的范围，同时考虑分母不为零的约束． 【详解】解：∵原方程为， ∴方程化为， 即， 两边同乘（且），得， 解得：； ∵方程的解为负数，即， ∴， ∴， 解得：， ∵分母，即， ∴， 即， ∴； ∵当时，自动满足， ∴； 故m的取值范围为； 故选：B． 38．已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的解及解的取值范围，解题的关键是先将分式方程化为整式方程求解，再结合分式有意义的条件（分母不为0）和解的正负性确定参数范围． 先将分式方程化为同分母形式，转化为整式方程求解关于的表达式，再根据＂解为正数＂和＂分母不为0＂列不等式，最终确定的取值范围． 【详解】解：∵方程， 又∵， ∴， ∴原方程化为． 左边合并：， 两边同时乘以得：， 解得． 由，得，即． 又∵解为正数，∴，即，． 综上，且． 故选：D． 39．如果关于的分式方程的解为非负数，那么实数的取值范围为 【答案】且 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数． 先解分式方程得到 ，再根据解为非负数以及方程的分母不为零的条件列不等式求解． 【详解】解： ， 去分母得 ， 解得 ， ∵ 方程的解为非负数， ∴ ，即 ，解得 ， 又∵ 分母 ，即 ， ∴ ，解得 ， 故 且． 故答案为且． 题型十四 分式方程的增根问题（共3小题） 40．若关于的方程有增根，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查分式方程的增根问题，将分式方程化为整式方程，求出使最简公分母的值为0的未知数的值，代入整式方程，求出的值即可． 【详解】解：， 去分母，得， ∵方程有增根， ∴，解得， 把代入，得，解得； 故答案为：1． 41．若关于的分式方程有增根，则此分式方程的增根为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是求解分式方程的增根，根据增根的含义可得，再进一步求解即可. 【详解】解：∵分式方程有增根， ∴， ∴， 故答案为：． 42．若方程有增根，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，注意解答增根问题按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 将分式方程去分母后，将，代入求出k值即可． 【详解】解： 去分母得， 整理得， ∵方程有增根， ∴增根为或 当时，； 当 时 ∴ 的值为或 题型十五 分式方程的无解问题（共3小题） 43．若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．－1或 【答案】C 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求参数，分式方程无解的情况有两种：去分母后的整式方程无解，或解出的根是增根．先化简方程，再去分母得到整式方程，然后讨论参数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 去分母：， 展开：， 移项：， 整理得：． 方程无解时： 当且，即，此时方程左边为0，右边为，整式方程无解； 当解出的根为增根，代入整式方程：，解得． ∴或． 故选C． 44．关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或1或6 【分析】此题考查了分式方程的解，分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式方程产生增根． 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出的值即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 当，即时，方程无解； 当，即时，由分式方程无解，得到或， 把代入得：； 把代入得：， 综上，的值为或1或6． 故答案为：或1或6． 45．已知关于的分式方程． (1)若方程的增根为，求的值． (2)若方程无解，求的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题主要考查分式方程的增根及无解，关键是将分式方程化为整式方程，结合增根的定义（使分母为的根）分析，易错点是混淆“增根导致无解”与“整式方程本身无解”的情况． （1）先将分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程求； （2）分“整式方程无解”和“整式方程的解是增根”两种情况求． 【详解】（1）解： 方程两边同时乘以得： 整理得： 将增根代入整式方程： 解得 （2）分式方程无解分两种情况： 情况 1：整式方程无解 当时，整式方程无实数解，故分式方程无解，此时； 情况 2：整式方程的解是增根 增根为（使分母为的根），由（1）知此时； 所以的值为或． 题型十六 分式方程的实际应用（共3小题） 46．湖南省足球联赛（简称“湘超”）正在火热进行中，株洲主场的球赛更是一票难求，体育中心附近商店销售的文创产品也深受广大市民的喜爱．某商店也准备销售文创产品，用2400元购进吉祥物“湘湘”，用1440元购进吉祥物“超超”，“超超”购进单价是“湘湘”购进单价的倍，“超超”的购进数量比“湘湘”的购进数量少40个． (1)该商店“湘湘”的购进单价为多少元？ (2)该商店将“湘湘”的售价定为35元/件，如果要使得总利润不低于640元，那么“超超”的售价最低应该定为每件多少元？ 【答案】(1)该商店“湘湘”的购进单价为30元 (2)“超超”的售价最低应该定为每件42元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该商店“湘湘”的购进单价为x元，则“超超”购进单价为元，根据“超超”的购进数量比“湘湘”的购进数量少40个，列出分式方程，解方程即可； （2）设“超超”的售价应该定为每件m元，根据要使得总利润不低于640元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设该商店“湘湘”的购进单价为x元，则“超超”购进单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：该商店“湘湘”的购进单价为30元； （2）解：由（1）可知，“湘湘”的购进单价为30元，则其购进数量为（个）；“超超”的购进单价为（元），则其购进数量为（个）， 设“超超”的售价应该定为每件m元， 由题意得：， 解得：， 答：“超超”的售价最低应该定为每件42元． 47．研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．冬季，我校组织学生赴正定城市馆参加研学活动．为了让学生切身体会城市之美来之不易，特设了种草实践活动．活动中1、2两班各需种植的草地，已知2班每小时比1班多种植的草地，1班完成任务所需要的时间是2班完成任务所需时间的倍． (1)求1、2两班每小时各种植多少的草地？ (2)制作活动开始1小时分钟后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回．由于1班无法在规定时间完成，2班决定在完成本班任务后，立即帮助1班共同完成剩余任务．如果两班速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？请说明理由． 【答案】(1)1班每小时种植的草地，2班每小时种植的草地 (2)他们不能在乘车前完成任务；理由见解析 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，分式方程的工程问题等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． (1)设1班每小时种植，则2班每小时种植．根据“1班所需时间是2班的倍”，列出方程求解即可； (2) 先计算两班已工作1小时分钟后的剩余工作量，再计算2班完成本班剩余任务所需时间，之后两班合作完成1班剩余任务．判断合作时间是否能在乘车前(1小时内)完成． 【详解】（1）解：设1班每小时种植，则2班每小时种植．​ 由题意，1班完成任务时间为小时，2班为小时， 解得∶． 2班每小时种植 所以1班每小时种植，2班每小时种植． （2）计算两班能否在乘车前完成任务．​ 两班已制作1小时分钟=​小时． 此时1班完成， 剩余． 2班完成， 剩余． 此后2班需先完成本班剩余，用时​小时（即分钟）， 在2班完成本班剩余任务的分钟内，1班完成了． 此时距集中乘车还剩1小时−分钟=分钟=小时． 两班合作每小时可完成． 在最后的小时内，可共同完成． 但此时1班仍有未完成，而合作只能完成， 因此无法在乘车前完成任务． 答案：不能，因为1班还剩未完成，而两班合作在剩余时间内只能完成． 48．甲、乙两个商店在同一平台按相同的价格购进了同一品牌的调味品，已知甲商店用1260元购进的调味品数量比乙商店用1500元购进的数量少16瓶． (1)求这种调味品每瓶的价格． (2)过了一段时间，这种调味品的价格降到了m元/瓶（），两个商店计划再次购买这种调味品，甲、乙两个商店购买的总费用均与上次相同，设甲、乙两个商店两次购买这种调味品的平均价格分别为和，请比较和的大小． 【答案】(1)15元 (2) 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键在于能够根据题意列出方程求解． （1）设这种调味品每瓶的价格为x元，根据题意可列方程为，求解并检验即可； （2）根据题意分别表示出两个商店两次购买的调味品数量，再分别求得和，最后比较大小，由此求解即可． 【详解】（1）解：设这种调味品每瓶的价格为x元， 依据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：这种调味品每瓶的价格为15元； （2）甲商店两次购买的调味品的数量为，， 乙商店两次购买的调味品的数量为，， 所以． 题型十七 分式求值的特殊方法（共3小题） 49．阅读理解：著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：∵， ∴， ∴． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，求分式的值； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，求分式的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了分式的求值，熟练掌握倒数法和分离常数法是解题的关键． （1）求出的结果，再利用倒数法即可得到答案； （2）先利用分离常数法把变形为，则由题意可得为整数，则或，解之即可得到答案； （3）利用分离常数法把为，据此可求出，再利用倒数法即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解： ， ∵分式的值为整数， ∴为整数，即为整数， 又∵ ∴或， ∴或； （3）解：∵ ∴ ， ∴． 50．阅读下面的解题过程：已知，求的值． 解：由知，，所以，即. 所以.所以. 该题的解法叫做“倒数法”． 已知： 请你利用“倒数法”求的值．求的值． 【答案】； 【分析】计算所求式子的倒数，再将代入可得结论；将进行变形后代入即可. 【详解】解：∵，且x≠0， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查分式的求值问题，解题的关键是正确理解题目给出的解答思路，注意分式的变形，本题属于基础题型． 51．阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知，所以，即． 的值为的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加减法，倒数，理解例题的思路是解题的关键． （1）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； （2）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可． 【详解】（1）解：， ，即， ， ； （2）， ，即， ， ， ． 题型十八 分式求值的整数问题（共3小题） 52．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是________分式（填“真”或“假”）； (2)先将假分式化为带分式________，再当的值为整数，求x的整数值．（写出过程） (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 【答案】(1)真 (2)，的值为或或或 (3)最小值为 【分析】本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． （1）根据定义即可求出答案； （2）根据分式的性质进行化简，然后根据的值为整数求解即可； （3）先化为带分式，然后根据题意求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式； 故答案为：真； （2）解：， 的值为整数，且为整数， 的值为或或或， 的值为或或或； （3）解： ， 当时，这两个式子的和有最小值．最小值为， 则的最小值为． 53．阅读下列材料，并解答问题． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立，解得 ． 这样，分式就拆分成了整式与分式的和的形式． (1)若将分式拆分成（为整数），则______，______． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． (3)已知分式的值为负整数，直接写出满足条件的整数的值． 【答案】(1)3；4 (2) (3)3或 【分析】本题考查分式的化简求值； （1）根据求解即可； （2）参考材料中的过程求解即可； （3）参考材料中的过程得到，再根据分式的值为负整数，得到是整数，推出或，最后分情况讨论求值即可． 【详解】（1）∵， ∴若将分式拆分成（为整数），则，， 故答案为：3；4． （2）解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立， ， 解得， ． （3）解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立， ， 解得， ． ∵分式的值为负整数， ∴是整数， ∴或， 当时，，，不合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不合题意； 当时，，，符合题意； 综上所述，分式的值为负整数，满足条件的整数的值为3或． 54．阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子，分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；将假分式化为带分式为______； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)若分式的值为，直接写出的取值范围是______． 【答案】(1)真分式； (2)，，，，， (3) 【分析】本题考查分式的化简求值、新定义． （1）根据假分式和真分式的定义判断分式是真分式还是假分式；根据题目中的例子，可以将假分式化为带分式； （2）先将分式化为带分式，从而可以求得x取什么整数时，该式的值为整数； （3）先将分式化为带分式得，再由推出，进而得，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式， ， 故答案为：真分式；； （2）解：∵， ∴或或， ∴当或5或4或2或1或时，的值为整数； （3）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴即， 故答案为：． 题型十九 分式混合运算压轴（共3小题） 55．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先把括号内通分，再算乘法即可； （2）先算除法，再算减法即可； （3）先算除法，再算加法即可； （4）先把括号内通分，再算除法； （5）先把括号内通分，再算除法； （6）先把括号内通分，再算除法． 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 （5）原式 （6）原式 56．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）运用分式的性质，分式的乘除法则计算即可； （2）运用分式的性质，分式混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 57．计算： (1) (2)． (3)化简求值．先化简：，然后从0，1，2，3中选择你喜欢的值． 【答案】(1) (2) (3)；当时，原式 【分析】本题考查了分式的混合运算，分式的化简求值． （1）先计算乘方，再计算乘除即可； （2）先计算括号里的加减，再计算除法，最后合并同类项即可； （3）先计算除法，再计算加法，最后选取符合要求的的值代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， 可知，即， 当时，原式． 题型二十 分式的化简求值压轴（共3小题） 58．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，负整数指数幂和零指数幂．先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后计算出x的值，并代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 59．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式的混合运算，分式的化简求值，零指数幂与负整数指数幂，先去括号，把除法变为乘法把分式化简，同时进行整式的混合运算，再根据负整数指数幂与零指数幂求得，最后代入求值． 【详解】解：原式 当时，原式． 60．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的混合运算化简求值，先化简代数式，再把的值代入计算即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴原式 ． 题型二十一 分式的有规律运算问题（共3小题） 61．观察下列各等式，并回答问题：，，，…（n是正整数）． (1)填空： ； (2)计算： ； (3)若与互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的裂项，绝对值的性质及有理数的运算． （1）通过观察已知等式可发现规律：（n为正整数），当时即可得出答案； （2）根据上述观察到的规律，可得（n为正整数）； （3）先根据绝对值的性质求出a，b的值，再将a，b的值代入原式并裂项，最后化简计算原式的值即可． 【详解】（1）解：根据题中所给出的式子表示规律可得，． 故答案为：． （2）解：由（1）及题中式子表示规律可得：． 故答案为： （3）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，，即，， ∴原式 ． 62．观察下列等式：．将以上三个等式两边分别相加，得． (1)猜想并填空： (2)化简：． (3)探究并作答： 计算：； 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）根据规律计算解答即可； （2）根据规律解答即可． （3）根据，根据规律解答即可； 本题考查了规律探索，混合运算，熟练掌握探索规律是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ………… ， 故答案为：； ， ， ， ………… ， 故 ， 故 故答案为：． ， 故答案为：． （2）解： ． （3）解： ． 63．观察下列算式， 第一个式子；  第二个式子； 第三个式子； 第四个式子；…… 根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第n个式子： （n为正整数）． (2) （n，m为正整数且）． (3)若，试求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式的运算，绝对值的非负性，分式的规律性问题； （1）根据题意找出规律即可求出； （2）根据题意找出规律即可求出； （3）由题意得到，，解得，，代入原式，再根据计算即可． 【详解】（1）解：第n个式子为： ， 故答案为：． （2）解：设 ∴ 令，则 令，则 ∴ 故答案为：. （3）解：∵ ∴， 解得， ∴ . 题型二十二 分式方程中的含参问题（共3小题） 64．若关于的方程有非负实数解，关于的一次不等式组，有解，则满足这两个条件的所有整数的值的和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先将分式方程去分母转化为整式方程，表示出分式方程的解，根据分式方程有非负实数解，确定出的范围，再解不等式组，根据不等式组有解，确定出的范围，进而确定出的具体范围，求出所有满足题意整数的值，求出其和即可． 【详解】解：， 去分母得：， 解得， ∵分式方程有非负实数解， 故，， 解得且； ， 解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组，有解， ∴存在满足且， 故， 即； 综上，且． 故所有满足题意整数的值为：，，，，，，，， ∵． 故满足条件的所有整数的值的和是． 故选：A． 65．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有负整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组的无解、分式方程的整数解，解决本题的关键是根据不等式组的无解及分式方程的整数解确定的取值范围．首先解不等式组，得到无解的条件是；然后解分式方程，得到，要求有负整数解且 ，从而得到的取值范围；最后结合两个条件，找出符合条件的整数并求和即可； 【详解】解：不等式组为 ， 解第一个不等式，两边乘得，即， 解第二个不等式：，即， 不等式组无解，需满足，解得； 分式方程为，分母，即， 整理得，则，， ∵分式方程有负整数解， ∴，即且为8的负因数， 则可以取， 又∵，排除， 结合不等式组无解条件，排除， 则符合条件的整数为和， ； 故答案为：． 66．已知，关于的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求为何值时，分式方程无解； (3)若，为正整数，分式方程的解为整数时，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)3，55 【分析】（1）将的值代入分式方程，解分式方程即可得到答案； （2）把的值代入分式方程，将分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论的值使分式方程无解即可； （3）把代入分式方程，将分式方程化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和为正整数即可确定的值． 【详解】（1）解：把，代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入， 所以原分式方程的解是； （2）解：把代入分式方程， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， ①当时，即，方程无解， ②当时，， 时，分式方程无解，即，不存在； 时，分式方程无解，即，， 综上所述，或时，分式方程无解； （3）解：把代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 整理得：， ∵，且为正整数，为整数， ∴必为65的因数，， ∵， ∴65的因数有1，5，13，65， 1，5小于11， 可以取13，65这两个数，对应地，方程的解为0，4，对应地，的值为3，55， 满足条件的可取3，55这两个数． 【点睛】本题考查分式方程的计算，熟练掌握解分式方程的步骤是解决问题的前提条件，分式方程无解的两种情况要熟知：一是分式方程去分母后的整式方程无解，二是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根． 题型二十三 分式方程的新定义运算（共3小题） 67．新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对” (1)下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有________．（填字母） A．； B． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 【答案】(1)B (2)． 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当，时， 分式方程，解得， ， 不是“关联数对”； 当，时， 分式方程，解得， ， 是“关联数对”； 故答案为：B； （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ， 解得， ， ， 解得． 68．定义：如果两个代数式的和与这两个代数式的积相等，那么称这两个代数式互为“关联式”． (1)判断与是否互为“关联式”，并说明理由； (2)求与互为“关联式”的代数式； (3)填空：已知一个整式与一个最简分式互为“关联式”，请写出一组符合该条件的代数式可以是_____与______．（只要写一组即可） 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3)， 【分析】本题考查的是新定义的含义，分式的加减运算，乘法运算，分式方程的解法； （1）根据新定义列式计算，再判断即可． （2）设的关联式为，可得，再进一步解答即可． （3）由一个整式与一个最简分式互为“关联式”，当这个整式为，设的关联式为，可得，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴与不互为“关联式”． （2）解：设的关联式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵一个整式与一个最简分式互为“关联式”， 当这个整式为，设的关联式为， ∴， ∴， ∴， ∴整式为，最简分式为． 69．我们定义：形如（不为零），且两个解分别为的方程称为＂十字分式方程＂． 例如为十字分式方程，可化为． 再如为十字分式方程，可化为．． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若十字分式方程的两个解分别为，求的值． (2)若关于的十字分式方程的两个解分别为，求的值． 【答案】(1) (2)2022 【分析】本题考查了新定义运算，解分式方程、因式分解的应用等知识点，理解十字分式方程的定义是解题关键． （1）将方程改写成，再根据十字分式方程的定义作答即可； （2）先根据十字分式方程的定义以及、、的取值范围求出，，即，，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：十字分式方程变形为， 可化为， ∴，或 ∴； （2）解：方程是十字分式方程，可化为， ∴，， ∵，， ∴，，即，， 代入得，， ∴的值为2022． 题型二十四 分式方程的实际应用压轴（共3小题） 70．“互联网+”助力乡村全面振兴．石家庄市某网络销售商在“双十一”举行促销活动，在11月11日销售甲、乙、丙三种农产品时，记录了如下统计信息： 信息1：乙商品销售单价比甲商品多5元/千克，丙商品销售单价是甲商品的3倍； 信息2：用270元购买丙商品的质量是用60元购买乙商品质量的3倍； (1)若设甲商品销售单价为元/千克，请依据上述信息填表； 销售单价（元/千克） 质量（千克） 销售总价（元） 乙 60元 丙 270元 (2)求11月11日当天甲、乙、丙商品销售单价分别为多少元/千克？ (3)“双十一”促销活动结束后，该销售商将三种商品的销售单价在（2）的基础上每千克提高了元（为整数且）．嘉嘉花200元购买甲商品，再花200元购买丙商品，琪琪花400元购买乙商品，设嘉嘉购买商品的质量之和为，设琪琪购买商品的质量为，直接写出的最大值． 【答案】(1)乙：销售单价元/千克，质量千克；丙：销售单价元/千克，质量千克 (2)甲商品销售单价为5元/千克，乙商品销售单价为10元/千克，丙商品销售单价为15元/千克 (3) 【分析】本题考查了分式方程的应用以及代数式的最值问题，解题的关键是根据题意找到等量关系并列出方程，同时正确分析代数式的最值情况． （1）根据单价、质量、总价的关系填写表格； （2）根据信息2列出分式方程求解三种商品的单价； （3）先分别表示出和，再分析的最大值． 【详解】（1）解：已知甲商品销售单价为元／千克，由信息1可知乙商品销售单价为元/千克，根据“质量总价单价”，乙商品质量为千克；丙商品销售单价是元／千克，丙商品质量为千克； （2）解：根据信息2“用270元购买丙商品的质量是用60元购买乙商品质量的3倍”，可列方程：， 解得： 经检验，是原方程的解． 所以乙商品单价为元/千克，丙商品单价为元/千克； （3）解：提价后，甲商品单价为元/千克，丙商品单价为元/千克，乙商品单价为元/千克． 则， 令，则随增大而增大，的范围是．，当最大时，最大， 当时，，． 71．某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，相关信息如下表： 单枪充电桩 花费：50000元 单价：x元/个 双枪充电桩 花费：45000元 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过25000元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 【答案】(1)单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个 (2)小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键． （1）根据表格信息以及本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个列出分式方程求解即可； （2）先分别求出两种充电桩调价后的单价，设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元，再根据此次加购小区预备支出不超过25000元列出不等式求解并取最小整数解即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可列方程， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， （元/个）． 答：单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个． （2）解：单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为（元/个）， 双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为（元/个）， 设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元． ∵此次加购小区预备支出不超过25000元， ，解得， 的最小值为8， ∴小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个． 72．某校为学生制定了篮球训练计划如下：要求每名学生先进行活动一，活动二的训练，再进行活动三． 活动一：篮球单手运球往返跑． 活动二：篮球双手交替运球往返跑． 两项活动规则如下：如图1，从起跑线处开始运球，到达折返线后折返回起跑线，途中篮球掉下时，必须捡起并回到掉球处继续运球跑． 嘉嘉在活动一中速度是在活动二中速度的倍，设嘉嘉在活动二中的速度为米/秒． （1）假设嘉嘉参加两项活动球均未掉落，求嘉嘉单手运球往返跑的时间比双手交替运球往返跑的时间少多少秒？（用含x的式子表示） （2）若嘉嘉在活动一中球未掉落，在进行活动二时，由于双手交替运球不熟练，球掉落，返回到掉球处浪费了4秒，结果进行两项活动共用时28秒，求嘉嘉在活动一中的速度． 活动三：篮球运球绕杆往返跑． 活动规则如下：沿图2规定路线运球绕杆往返跑． （3）若这条路线的总路程为36米，嘉嘉和淇淇依次完成活动三后，嘉嘉说：“咱俩共用时42秒”．淇淇说：“如果我用你跑的那么多时间，我只可以跑20米”．求这两名同学各跑了多少秒？ 【答案】（1）秒；（2）嘉嘉在活动一的速度为4米/秒；（3）嘉嘉同学跑了15秒，淇淇同学跑了27秒 【分析】本题考查分式方程解实际应用题，涉及分式运算、解分式方程等知识，读懂题意，准确列出分式及分式方程，掌握分式方程解法是解决问题的关键． （1）根据题意，得到嘉嘉在两项活动中的用时，作差，利用分式减法运算求解即可得到答案； （2）根据题意，得到嘉嘉在两项活动中的用时，列出分式方程，求解即可得到答案； （3）根据题意，设淇淇跑了秒，则嘉嘉跑了秒，列出分式方程，求解即可得到答案． 【详解】（1）解： （秒）， 答：嘉嘉单手运球往返跑的时间比双手交替运球往返跑的时间少秒； （2）解：， 化简，得， 方程两边同乘，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为， ， 答：嘉嘉在活动一的速度为4米/秒； （3）设淇淇跑了秒，则嘉嘉跑了秒， ， 方程两边同乘，得， 解得：， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为， ， 答：嘉嘉同学跑了15秒，淇淇同学跑了27秒． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $