专题02 全等三角形全章22大常考易错压轴题型（期末复习专项训练）八年级数学上学期新教材冀教版

专题02 全等三角形全章22大常考易错压轴题型 题型1 命题与证明 题型13 结合尺规作图的全等问题 题型2 图形的全等 题型14 全等三角形的综合问题 题型3 将已知图形分割成几个全等图形（常考点） 题型15 尺规作图 题型4 全等三角形的概念与性质（重点） 题型16 全等三角形的动点问题（难点） 题型5 用SSS判定三角形全等 题型17 全等三角形的判定与性质（难点） 题型6 全等的性质与SSS综合 题型18 倍长中线模型（难点） 题型7 用SAS判定三角形全等 题型19 一线三等角模型（难点） 题型8 全等的性质与SAS综合（重点） 题型20 半角模型（难点） 题型9 用ASA（AAS）证明三角形全等 题型21 旋转模型（难点） 题型10 全等的性质与ASA（AAS）综合（重点） 题型22 手拉手模型（难点） 题型11 添加条件使三角形全等 题型12 灵活选用判定条件证明全等（常考点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 命题与证明（共3小题） 1．下列命题中，其逆命题是假命题的是（   ） A．偶数一定能被2整除 B．对顶角相等 C．两直线平行，同位角相等 D．同角（或等角）的余角相等 【答案】B 【分析】本题考查逆命题的真假判断．逆命题由原命题的条件和结论互换得到．需逐一分析各选项的逆命题，并判断其真假．判断逆命题真假时，需准确互换原命题的条件和结论，并结合所学几何知识进行验证．注意反例的运用． 【详解】解：A选项原命题：偶数一定能被2整除，逆命题：能被2整除的整数一定是偶数． 该逆命题为真，因为能被2整除的整数即为偶数； B选项原命题：对顶角相等，逆命题：相等的角是对顶角． 该逆命题为假，因为相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形的底角相等，但不是对顶角）； C选项原命题：两直线平行，同位角相等，逆命题：同位角相等，两直线平行． 该逆命题为真，这是平行线的判定定理之一； D选项原命题：同角（或等角）的余角相等，逆命题：如果两个角的余角相等，则这两个角相等．该逆命题为真，因为若两角余角相等，则两角必是同角或等角（设两角为和，余角相等即，故）． ∴ 逆命题是假命题的只有B选项． 故选：B． 2．关于命题“对顶角相等”，有下列两个说法： ①该命题的逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角； ②该命题的逆命题是假命题． 对于说法①和②，判断正确的是（   ） A．①和②都正确 B．①和②都不正确 C．只有①正确 D．只有②正确 【答案】A 【分析】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握命题的结构是解答此题的关键．写出该命题的逆命题，再根据相等的角不一定是对顶角判断该逆命题是假命题，即可得答案． 【详解】解：对顶角相等的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，故①说法正确； 相等的角不一定是对顶角，故该命题的逆命题是假命题，②说法正确； 所以，①和②都正确． 故选：A． 3．举反例说明命题对于“对于任意实数x，代数式的值总是正数”是假命题，你举的反例是 （写出一个x的值即可）． 【答案】0 【分析】本题考查的是举反例及代数式的值问题，掌握代数式的求值方法是解题关键．把代入即可得出答案． 【详解】解：当时，， ∴“对于任意实数x，代数式的值总是正数”是假命题， 故答案为：0 题型二 图形的全等（共3小题） 4．请观察图中的6组图案，其中是全等图形的是（   ） A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（3）（4）（5） D．（4）（5）（6） 【答案】D 【分析】根据全等的性质：能够完全重合的两个图形叫做全等形，结合所给图形进行判断即可． 本题考查了全等图形的知识，解答本题的关键是掌握全等图形的定义． 【详解】解：观察图（4）、（5）、（6）三组图形经过平移、旋转、对折后能够完全重合，是全等图形． 故选：D． 5．佳佳想在图中再加一个正方形方格，使整个图形被直线分成的两部分全等，这个方格可放的位置为（   ） A．① B．②或③ C．② D．③或④ 【答案】B 【分析】通过分别将正方形方格放在不同位置，依据全等图形的定义（能够完全重合的两个图形全等 ），判断直线分割后两部分是否全等．本题主要考查全等图形的定义，熟练掌握全等图形能够完全重合的性质是解题的关键． 【详解】解：方格放在①位置，此时观察图形，直线分割后，两部分的正方形分布和数量无法完全重合． 放在②位置后，直线将图形分割，两侧的正方形数量、排列可完全重合． 放在③位置，直线分割后的两侧图形，正方形的组成和布局可完全重合． 放在④位置，直线分割后，两侧图形的正方形数量与排列无法重合． 综上，方格可放的位置为②或③， 故选： ． 6．如图，四边形四边形，则的度数是 【答案】 【分析】本题考查了全等图形的性质，根据全等图形的对应角相等求出的度数，进而根据四边形的内角和即可求解，掌握全等图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形四边形， ， 故答案为：． 题型三 将已知图形分割成几个全等图形（共3小题） 7．如示例图将的棋盘沿格线划分成两个全等的图形，请再用另外3种方法将的棋盘沿格线划分成两个全等图形（约定分割线必须经过网格线）． 【答案】详见解析 【分析】此题主要考查全等形，理解全等形的概念是解题关键． 直接利用全等图形的性质来构造图形． 【详解】解：如图所示： 8．用不同的方法沿着网格线把正方形分割成两个全等的图形．（至少画3种，分割线用粗实线） 【答案】见详解 【分析】题目主要考查了全等图形的定义，理解全等图形的定义是解题关键； 观察图形发现：这个正方形网格的总面积为16，因此只要将面积分为8，且图形形状相同即可． 【详解】解：如图所示即为所求． 9．知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等形．” 理解应用：我们可以把4×4网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1和图2是两种不同的划分方法，其中图3与图1视为同一种划分方法． 请你再提供四种与上面不同的划分方法，分别在图4中画出来． 【答案】见解析 【分析】根据网格的特点和全等形的定义进行作图即可． 【详解】依题意，如图 【点睛】本题考查了全等图形的定义，熟练掌握网格特点作图和全等图形的概念是解题的关键． 题型四 全等三角形的概念与性质（共3小题） 10．已知：如图，，，，． (1)写出和的对应边和对应角． (2)求的度数和边的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题主要考查全等三角形的概念与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握其概念与性质是做题的关键． （1）根据全等三角形的概念与图示即可得出答案； （2）根据全等三角形的性质及三角形的内角和定理进行解答即可． 【详解】（1）解：， 和的对应边为：和，和，和， 对应角为：和，和，和． （2）解：在中，， ∴． ∵，， ∴，． 答：的度数为，边的长为． 11．如图，点、、、在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)11 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握判定方法及性质是关键． （1）运用角边角证明即可； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ． 12．如图，点B、E、C、F在同一直线上，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）先由平行得到，再根据即可证明； （2）先由三角形内角和定理求出，再由全等三角形对应边相等求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∴； （2）解：在中，， 由（1）知， ∴． 答：． 题型五 用SSS判定三角形全等（共3小题） 13．小青同学用尺规作一个，根据作图痕迹，可得，其依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了是全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键，本题是常考题． 在做一个角等于已知角时，实际上作的是三边对应相等，据此即可解答． 【详解】解：在与中， ， ∴，即判定方法是． 故选C． 14．如图，已知，小明利用圆规和直尺，按照如下操作作出： （1）作射线； （2）以点D为圆心，为半径作弧交射线于点E； （3）以点D为圆心，为半径作弧； （4）以点E为圆心，为半径作弧，与上一步的弧相交于点F； （5）连接，． 小明说作出的与全等，依据是 ． 【答案】边边边（或或三边分别相等的两个三角形全等） 【分析】本题考查尺规作图和全等三角形的判定，根据作图的方法判断出两个三角形的三条边对应相等是解题的关键． 根据作图方法可知，，由此可解． 【详解】解：根据作图的步骤（2）知，由步骤（3）（4）知， 根据三组边对应相等（），可证． 故答案为：边边边． 15．风筝，古称“纸鸢”，距今已有两千余年历史，是中华传统工艺与智慧的璀璨结晶．它不仅是嬉戏之具，更在古代被用于军事侦察、信息传递，承载着古人“御风而行”的科学探索精神．其造型优美，结构严谨，骨架设计更是深谙对称、全等、比例之妙，体现了东方美学与数学理性的完美融合．晚唐时期，风筝上已有用丝条或竹笛做成的响器，风吹声鸣，因而有了“风筝”的名字．如图是一个四边形风筝的骨架示意图，其中，是风筝的支架且，，． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质得，即可求解四边形的面积． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴四边形的面积． 题型六 全等的性质与SSS综合（共3小题） 16．如图，、交于点O，，． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）利用“”证明，从而得出； （2）由（1）得，利用“”证明，从而得出． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：由（1）知， 在和中， ， ∴， ∴． 17．已知：如图，，，点、、在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若．求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据“”即可证明； （2）根据得出，据此得到． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：∵， ∴， ∴． 18．如图，点、、、在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． （1）利用“边边边”证明即可； （2）利用全等三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中 ， ∴； （2）解：由（1）可得， ∴， ∵，， ∴， ∴． 题型七 用SAS判定三角形全等（共3小题） 19．如图，点，，，在同一直线上，，，；求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，平行线的性质定理． 根据平行得到，然后可得，再根据即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴． 20．如图，已知，， (1)求证： (2)若，则等于多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练证明三角形全等是解题的关键． （1）根据题意可得，，即可解答； （2）利用线段之间的关系即可解答． 【详解】（1）证明：， ． ， ， 即， 在和中， ， ， （2）解：，，‘ ． 21．如图，已知，，． (1)求证：． (2)若，则_____． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练证明三角形全等是解题的关键． （1）根据题意可得，，即可解答； （2）利用线段之间的关系即可解答． 【详解】（1）证明：， ． ， ， 即， 在和中， ， ， （2）解：，，‘ ， 故答案为：． 题型八 全等的性质与SAS综合（共3小题） 22．如图，点，，，在同一条直线上，，，． (1)求证： (2)若，，求度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． （1）先证明，再利用证明即可； （2）先根据三角形内角和定理求出，再根据全等三角形对应角相等即可得到，最后根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．如图，已知在同一条直线上，，，，与交于点G． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由得，根据平行线的性质求出，然后根据可证明； （2）根据全等三角形的性质求出，由三角形内角和定理可得，根据平行线的性质可求的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中， ∴； （2）解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 24．如图，在中，，于点，，平分交于点的延长线交于点．求证： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）由角平分线得到，再根据即可证明全等； （2）由全等得到．再根据互余关系得到，则，则； （3）由平行得到，再由即可证明全等． 【详解】（1）证明：平分， ． 在和中， ， ． （2）证明：∵ ． ，， ，， ， ． ； （3）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 题型九 用ASA（AAS）证明三角形全等（共3小题） 25．如图，点D在上，点E在上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质， （1）用直接证明全等即可； （2）根据全等得出，再根据线段和差计算得出结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：，， ， ， ． 26．如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平行线的性质，得，，再结合，得，即可证明； （2）先运用全等三角形的性质，得，再结合三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 27．如图，在中，，，于点，于点，且，，在同一直线上． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，余角的性质，根据余角的性质得出是解题的关键． （1）先根据余角的性质得出，然后根据证明即可； （2）根据，得出，，再根据，即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）知， ∴，， ∵， ∴． 题型十 全等的性质与ASA（AAS）综合（共3小题） 28．如图，在中，，，直线经过点，且于点，于点E． (1)如图1，求证：①；②； (2)如图2，求证：； (3)如图3，直接写出线段之间的数量关系． 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，同角的余角相等，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）①由垂直的定义得到，由同角的余角相等得到，即可根据“”证明；②根据全等三角形的性质证明； （2）同（1）思路证明即可； （3）同（2）思路求解． 【详解】（1）证明：①，， ， ， ， ， ， ， ； ②由①知， ，， ． （2）证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． （3）解：，理由如下： ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 29．如图，点在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由，得，则可根据“”证明； （2）由全等三角形的性质得，再根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ， 在和中 ， ； （2）解：由（1）知， ， ， ． 30．如图，点，，，在同一条直线上，，，，且．． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据垂线的定义和平行线的性质可得，，据此利用可证明； （2）由全等三角形的性质得到，根据线段的和差关系可得的结果，据此可得答案． 【详解】（1）证明：，， ． ， ． 在和中， ， ； （2）解：， ． ，， ， ∴． 题型十一 添加条件使三角形全等（共3小题） 31．如图，在与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能利用“”使的条件有______（填序号）； ①；②；③；④． (2)根据（1）中添加条件的情况分别判定． 【答案】(1)① (2)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）利用全等三角形的判定定理进行判断； （2）利用，进行证明即可． 【详解】（1）解：①已知，，且为公共边，根据全等三角形判定定理“”，可以判定； ②已知，，，但“”不能判定两个三角形全等； ③已知，，，根据全等三角形判定定理“”，可以判定 ； ④，，，“”不能判定两个三角形全等； 故答案为：①． （2）证明：选条件①时， 在和中， ， ∴； 选条件③时， 在和中， ， ∴． 32．如图，在四边形中，对角线，相交于点，，请你添加一个条件 ，使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法添加即可． 【详解】解：已知，， 可添加，证明． 故答案为：（答案不唯一）． 33．如图，已知，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握边边边，边角边，角边角，角角边的判定方法是关键． 根据全等三角形的判定方法逐一验证即可． 【详解】解：∵， ∴，即，且， 添加①，运用边角边可判定； 添加②，不能运用边边角判定； 添加③，运用角边角判定； 添加④，不能判定． 综上所述，可以使的有①③，共2个， 故选：C． 题型十二 灵活选用判定条件证明全等（共3小题） 34．下列命题中真命题的是（   ） A．如果两个直角三角形的两条边对应相等，那么这两个直角三角形全等； B．如果两个直角三角形的一条边和一个锐角对应相等，那么这两个直角三角形全等； C．如果两个直角三角形的两个角对应相等，那么这两个直角三角形全等； D．如果两个直角三角形的一条直角边和斜边对应相等，那么这两个直角三角形全等． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，命题真假的判断，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．根据三角形全等的判定方法，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．两个直角三角形中两条边对应相等，可能是一个直角三角形的一条直角边与另外一个三角形的斜边相等，因此两条边对应相等的两个直角三角形不一定全等，故A是假命题，不符合题意； B．两个直角三角形中可能是一个直角三角形的一条直角边与另外一个三角形的斜边相等，因此一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形不一定全等，故B是假命题，不符合题意； C．两个角对应相等，只有角相等，没有边，不一定全等，故C是假命题，不符合题意； D．两个直角三角形的一条直角边和斜边对应相等，符合全等条件，因此这两个直角三角形全等，故D为真命题，符合题意． 故选：D． 35．如图，已知的三个内角和三条边，则以下三个三角形中，一定和全等的是 ．（填“甲”“乙”“丙”） 【答案】乙 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：甲图形中只有一个内角和一条对边对应相等，无法证明全等； 乙图形可以根据三条边分别对应相等的两个三角形全等，证明乙图形和全等； 丙图形中只有两个内角对应相等，无法证明全等． 故答案为：乙． 36．如图，下面个条件：①；②；③；④．请你以其中两个为已知条件，剩下的两个中的一个为结论，组成一个正确的命题． (1)______（写成的形式，至少写个）； (2)选取其中一个加以证明． 【答案】(1)①②→④，①④→② (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握． （1）根据条件，则只要是由任两个条件推出结论，但必须保证结论的正确性即可，例如，； （2）要证结论的正确性，例如由，则只需证，即可． 【详解】（1）解：假设由为条件，有为公共角，由可得，可得，即结论正确， 若为条件，则由可得，得出，结论正确， 故答案为：，； （2）选 证明：，，， ∴ 选 证明：∵，，； ∴， ∴， 题型十三 结合尺规作图的全等问题（共3小题） 37．图①、图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1．在图①、图②中按下列要求各画一个三角形． 要求： (1)三角形的三个顶点都在格点上． (2)与全等，且位置不同． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用全等三角形的判定方法，画出图形即可； （2）利用全等三角形的判定方法，画出图形即可． 【详解】（1）如图，即为所求 （2）如图，即为所求 【点睛】本题考查作图，全等三角形的判定的知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 38．如图，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，试在方格纸上按下列要求画格点三角形（三角形的顶点在格点上），只需画出一个即可： (1)在图（1）中画出与全等的三角形，且有条公共边： (2)在图（2）中画出与全等的三角形，且有一个公共顶点： (3)在图（3）中画出与全等的三角形，且有一个公共角． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（ 1）可根据全等三角形判定中的边边边（）为依据作图； （2 ）（ 3）可根据全等三角形的判定中的边角边（）为依据作图． 【详解】（1）解：如图1，即为所求（答案不唯一）， ； （2）解：如图2，即为所求， ； （3）解：如图3，即为所求， ． 【点睛】本题考查的是作图－复杂作图，熟知全等三角形的作法是解答此题的关键． 39．如图，在中，延长，在射线的延长线上截取． 任务1：实践与操作： ①如图1，请用无刻度直尺与圆规作与全等（不写作法，保留作图痕迹）． ②你作的与全等的依据是 　　 、、、． 任务2：猜想与证明：如图2，，平分，平分． ①试猜想 　　 ． ②请你求出的度数． 【答案】任务1：①见解析 ；②； 任务2：①90； ②． 【分析】本题考查应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 任务一：根据作出三角形即可； 任务二：①猜想：； ②利用平行线的性质以及角平分线的定义证明即可． 【详解】解：任务一： ①如图1中，即为所求； ②依据是：， 故答案为：； 任务2： ①猜想：． 故答案为：90； ②， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ． 题型十四 全等三角形的综合问题（共3小题） 40．在中，，直线经过点，且于于． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时，则有，猜想，有怎样的数量关系，并进行证明； (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的猜想是否成立？若成立，写出证明，若不成立，请直接写出正确的结论． 【答案】(1)，见解析 (2)不成立， 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据，可得，再由，可得，从而得到，证，可得，，即可求证； （2）证明方法同（1）可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：（1）中的结论不成立，，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 41．如图，在与中，，点D在上，连接． (1) 吗？请说明理由； (2)若，点F在线段上，且，求的长． 【答案】(1)全等，见解析 (2)7 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握相关结论即可； （1）推出即可求证； （2）根据，，推出；证，得，即可求解； 【详解】（1）证明：， 理由：∵， ∴， ∴， ∵ ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴ 42．如图，点D在的边上，连接，点F在上，连接， (1)如图（1），求的度数； (2)如图（2），延长交于点E，，延长至G，使，连接，求证：； (3)在（2）的条件下，如图（3），点H为中点，连接，若，，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练证明三角形全等是关键． （1）根据各角之间的关系进行解答即可； （2）证明≌，即可得到结论； （3）延长至N，使，连接，证明，又由，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）证明：，， ， 又，， ≌， ； （3）解：如图，延长至N，使，连接， ≌， ， ， 点H为BC中点， ， 又，， ≌， ，， ∴， ， ， 又， ∴ ， ， 又， 题型十五 尺规作图（共3小题） 43．尺规作图． 已知：（如图）． 求作：，使与全等． 要求： (1)不写作法，保留作图痕迹； (2)写出作图时选取的相等的边或角． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图—作三角形，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键： （1）利用，作射线，截取，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，即可； （2）根据进行作答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）由作图，． 44．如图，已知． (1)过的顶点A画出它的高； (2)利用直尺和圆规作，，．（点D与点C在的不同侧） 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 【分析】本题主要考查三角形的高线及全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形的高线及全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）根据三角形的高线定义可进行作图； （2）先以点A为圆心，长为半径画弧，再以点B为圆心，长为半径画弧，两弧交于一点D，则根据“”可得，则问题可求解． 【详解】（1）解：所作高如图所示： （2）解：所作如图所示： 45．如图，已知线段a和，求作，使，根据作图痕迹补全作法． （1）作 ； （2）以点 为圆心，以 的长为半径在射线上画弧，交于点B； （3）以点 为顶点作 ，交射线于点C，则即为所求作的三角形． 【答案】 A a B 【分析】本题主要考查了尺规作三角形， 先作，在射线上截取，然后作，可得即为所求作. 【详解】解：（1）作； （2）以点A为圆心，以a的长为半径在射线上画弧，交于点B； （3）以点B为顶点作，交射线于点C，则即为所求作的三角形. 故答案为：. 题型十六 全等三角形的动点问题（共3小题） 46．如图，已知线段米，于点A，米，射线于B，P点从B点向A 运动，每秒走1米，Q点从B点向D运动，每秒走3米，P、Q同时从B出发，则出发x秒后，在线段上有一点C，使与全等，则x的值为（   ） A．5 B．5或10 C．10 D．6或10 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质，分和两种情况，根据全等三角形对应边相等，分别列式计算即可． 【详解】解：当时，，即， 解得：； 当时，米， 此时所用时间x为10秒， 米， ，不合题意，舍去； 综上，出发5秒后，在线段上有一点C，使与全等． 故选：A． 47．如图，在四边形中，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动，若与在某一时刻全等，则点Q运动速度为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动时间为t秒，点Q运动速度为，则，，根据，可得或，再根据全等三角形的性质分类讨论，即可求解． 【详解】解：设点P运动时间为t秒，点Q运动速度为，则，， ∴ ， ∵， ∴或， 当时，，， ∴，解得：， ∴ ，解得：； 当时，，， ∴ ，解得：； 综上所述，点Q运动速度为 或． 故答案为： 或． 48．如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，___________； (2)如图①当___________时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好，求点的运动速度． 【答案】(1)4 (2)或 (3)点的运动速度为或或或时，在两点运动过程中的某时刻，恰好与全等． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点在线段上，则点的运动距离即为的长； （2）先求出，进而得出，分两种情况讨论：当点在上时，，利用三角形面积公式求解即可；解得：；当点在上时，过点作于点，此时，先利用等面积法求出，再利用三角形面积公式求解即可； （3）分两种情况讨论：①当点在上，点在上；②当点在上，点在上，根据全等三角形的性质，得到，，再分别求出点的运动时间，进而求出点的运动速度即可． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，点的运动距离为， ， 当时，点在线段上，此时， 故答案为：； （2）解：在中，，，，， ， 的面积等于面积的一半， 当点在上时，如图，此时， ， 解得：； 当点在上时，如图，过点作于点，此时， ， ， ， ， ， 解得：， 综上可知，当或时，的面积等于面积的一半， 故答案为：或； （3）解：∵，，，，，，，， ∴， ①当点在上，点在上， 当时， ，， 点的运动时间， 点的运动速度为； 当时， ∴，， ∴点的运动时间， ∴点的运动速度为； ②当点在上，点在上， 当时， ，， 点的运动时间， 点的运动速度为； 当时， ∴，， ∴点的运动时间， ∴点的运动速度为； 综上可知，点的运动速度为或或或时，在两点运动过程中的某时刻，恰好与全等． 题型十七 全等三角形的判定与性质（共3小题） 49．如图，在中，平分，，，，，动点以的速度从点向点运动，动点以的速度从点向点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为． (1)求的长． (2)当时，求的值． (3)求证：在运动过程中，不管t取何值，都有． 【答案】(1) (2)当时， (3)见解析 【分析】本题主要综合考查了全等三角形的判定与性质，动点问题的分类讨论思想，三角形面积公式的应用． ()通过角平分线性质得，根据证明 ，得到线段相等，再结合已知线段长度计算目标线段； ()分两种情况讨论，根据动点运动的不同阶段(点在上)分类列方程，由全等三角形的性质可求解，舍去不合题意的解后确定值； ()利用三角形面积公式，结合全等得到的高相等的条件，将面积比转化为底的比，再根据动点速度表示出底的长度，推导出面积的固定比例关系． 【详解】（1）解：平分， ． ，， ． 在和中， ， ， ． ，， ． （2）， ． ①当时，点G在线段上运动，点E在线段上运动， ，， ， 解得（不合题意，舍去）； ②当时，点在线段上运动，点在线段上运动， ，， ， ． 综上所述，当时，． （3），，， ． 点以的速度从点向点F运动，动点以的速度从点向点运动， ，， ，即， 即， 在运动过程中，不管取何值，都有． 50．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题． 【模型呈现】 （1）如图1，点，，在同一直线上，，．求证：． 【模型拓展】 （2）如图2，点，，在同一直线上，，．猜想，，之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点，，点以2cm/s的速度从点出发，沿移动到点，点以3cm/s的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点也停止运动．过点，分别作，，垂足分别为点，．若，，设运动时间为s．当以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等时，直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）2或 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握一线三等角和一线三直角模型是解题的关键． （1）运用一线三等角的模型直接证明即可； （2）先证明，再用证明得到，，结合即可得到； （3）分①当点在边上，点在边上，即时，②当点在边上，点在边上即时，③当点在边上，点在边上时，即时三种情况讨论，分别列出方程求解即可． 【详解】解：（1）证明：∵，， ∴． ∵，，， ∴． （2）．理由如下： ∵， ∴，， ∴． ∵，，， ∴， ∴，． ∵， ∴． （3）2或．理由如下： 根据题意，得． ∵，， ∴． ∵， ∴当时，以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等． ①如图，当点在边上，点在边上，即时，，， ∴， 解得； ②如图，当点在边上，点在边上，即时，，， ∴， 解得； ③如图，当点在边上，点在边上时，即时，，， ∴， 解得(舍去)． 综上所述，的值为2或． 51．【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，是边上的高．延长交于点H，设的面积为，的面积为，猜想大小关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3），理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键． （1）由题意易得，，然后根据“”可证三角形全等； （2）由题意易得，则有，然后根据全等三角形的性质可进行求解； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，证明，，推出，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ． 题型十八 倍长中线模型（共3小题） 52．【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．当几何问题中出现“ 中点 ”“中线 ”等条件时，可通过把中线延长一倍，构造全等三角形，从而解决问题．这种方法称为“倍长中线法 ”，并且该方法有着广泛的应用． 【解决问题】某数学学习小组拟采用上述方法解决以下问题： (1)如图，在中，，是的中点，求的取值范围． 解决思路：延长到点，使，连接，构造．通过求出线段的取值范围即可解决该问题．请你直接写出的取值范围为_____； (2)如图，点为的中点，，，求； (3)如图，在和中，，连接，，作 边上的中线．请猜想和的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，关键是倍长中线法的应用； （1）利用三角形的三角形的三边关系可得的取值范围，进而得出的取值范围； （2）通过倍长中线构造两三角形全等，将转换成，即可求得； （3）通过倍长中线构造两三角形全等，再通过论证与全等即可得到． 【详解】（1）解：延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ； （2）如图，延长交的延长线于， ∵， ∴ ，因为点是的中点， ∴， 在 和 中， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴为线段的垂直平分线 ， ∴； （3） 证明 ：延长至点，使， 连接 ∵ 是的中点， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 53．（1）如图①，在中，是的中点，过点作直线，使，交的延长线于点，求证：．请结合图①写出完整的证明过程． （2）如图②，，，，连接、，是的中点，延长交于点，，，则的面积为________． 【答案】（1）见解析；（2）8 【分析】（1）证明，即可解答； （2）过点A作，交的延长线于点G，证明，可得，从而得到，，，再结合，可得到，可证明，可得，，从而得到，进而得到，然后三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过点A作，交的延长线于点G， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的面积，利用倍长中线模型构造全等三角形转化线段关系是解题关键． 54．阅读与思考 下面是小亮同学写的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应任务． 巧用中线构造全等 数学问题： 数学课上，老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，， 若的长度为奇数，求边的长度． 解决问题： 我通过小组交流，得到了如下解决方法： 如图2，延长至点，使，连接． 因为是边上的中线，所以． 可证，则． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件时，可以通过倍长中线构造全等三角形，从而转化已知线段和角． 任务： (1)小亮判断的依据是______； (2)请你根据小亮的思路写出完整的证明思路并求出边的长度； (3)迁移应用：如图3，是的中线，在边上取一点，连接交于点，若，，，则的度数为______． 【答案】(1) (2)1或3 (3) 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等知识点． （1）根据过程可得已知“两边一夹角”，故为； （2）由，得到，则，再由即可求解； （3）先证明，则，，由，得到，则 ，由于，，再由三角形内角和定理求解． 【详解】（1）解：在和中， 因为，，， 所以． 所以． 所以小亮判断的依据是“”， 故答案为：； （2）解：在和中， 因为，，， 所以． 所以． 因为， 所以， 所以， 所以 因为的长度为奇数， 所以可以为1或3； （3）解：延长至点，使得，连接， 同上可证明：， 所以，， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为，， 所以， ∴． 题型十九 一线三等角模型（共3小题） 55．（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）50；（3） 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的对应边相等得到； （2）根据全等三角形的性质得到，，，，根据梯形和三角形的面积公式计算，得到答案； （3）过点作于，过点作交的延长线于，推导出， ，即可证明，得到，再根据全等三角形的性质推导出进而求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】证明：（1）证明：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）中模型可知，，， ∴，，，， 则； （3）解：过点作于，过点作交的延长线于， 由（1）中模型可知，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 56．（1）提出问题：如图1，在直角中，，点正好落在直线上，则、的关系为______； （2）探究问题：如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，直线PQ经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若、，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时．求此时的值．（直接写出结果） 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或或 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等角的余角相等、三角形的内角和定理． （1）利用平角的定义即可求解； （2）先证明出，得出，，即可得出结果； （3）由以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由E，D的位置决定，故需要对E，D的位置分类讨论，分别画出图形，结合图形列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： ∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （3）当点移动到点时，，移动到点时，； 当点移动到点时，，移动到点时，； 分以下三种情况： ①当E在上，D在上时，即，如图，此时，， ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当E在上，D在上时，即，如图，此时，， ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当E在上，D在上时，即，如图，此时，， ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴， 不在范围内，不符合题意； ④当E到达A后，D在上时，即，如图，此时，， ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，当或或时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 57．如图，在中，，，为射线上一动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，． (1)如图1，当点在线段上时，求点到直线的距离； (2)如图2，当点运动到的延长线上时，连接，交直线于点，求证：； (3)点在运动过程中，连接，交直线于点，若，则的长为_____． 【答案】(1)点到直线的距离为1； (2)证明见解析； (3)或6． 【分析】（1）作交于，利用全等三角形判定方法证明，再利用全等三角形对应边相等，即可求解； （2）作交直线于，先利用证出，得到，再利用证出，即可完成证明； （3）由图可知，在射线运动过程中，在射线上运动，分2类情况讨论：①若在线段上；②若在延长线上，由，得出，设，则，利用（2）中的全等三角形结论，用表示出、，再利用列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：作交于，则， ， ， ， ， ， 又， ， ， 点到直线的距离为1． （2）作交直线于，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． （3）由图可知，在射线运动过程中，在射线上运动， 下面分2类情况讨论： ①若在线段上，同（2）作辅助线， 由（2）得，，， ， ， ， ， 设，则， ，， ， 解得：， ； ②若在延长线上，同（2）作辅助线， 同①可得：， 设，则， ，， ， 解得：， ． 综上所述，的长为或6． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、作垂线辅助线构造全等、三角形的面积问题，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质与判定，学会作垂线构造全等三角形并证明，以及学会将三角形面积关系转化为线段关系并通过方程思想解决问题，本题综合性较强，适合有能力解决难题的学生． 题型二十 半角模型（共3小题） 58．阅读理解 半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质．    【问题背景】 如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是______________． 【探索延伸】 如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为__________海里．    【答案】【问题背景】，理由见详解；【初步探索】；【探索延伸】仍然成立，理由见详解；【结论运用】 【问题背景】将绕点逆时针旋转得，与重合，可证点共线，可证，，由此即可求证；【初步探索】根据作图可证，再证即可；【探索延伸】证明方法与“初步探索”的证明方法相同；【结论运用】如图所示，连接，过点作轴于点，证明，，由此即可求解． 【详解】解：【问题背景】，理由如下， 如图所示，    ∵，， ∴将绕点逆时针旋转得，与重合， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴点共线， ∵，， ∴， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【初步探索】根据题意，，延长至点， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【探索延伸】仍然成立，理由如下， 如图所示，延长至点，使得，    ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 在中， ， ∴， ∴，且， ∴； 【结论运用】如图所示，连接，过点作轴于点，    根据题意可得，，，，， ∴在中，，，则， ∴， ∵， ∴， ∵舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙以海里/小时的速度前进，形式小时， ∴（海里），（海里）， 如图所示，延长至点，使得，则，    在中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴在中， ， ∴， ∴， ∴（海里）， ∴此时两舰艇之间的距离为海里， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查四边形的综合，全等三角形的判定和性质的综合，方位角的运用，理解图示，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 59．【问题背景】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折、旋转或截长补短等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，进一步构成全等三角形，从而构建模型，解决问题． 如图1，在四边形中，，点，分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小雨同学的方法是延长到点．使，连接，先证明，再证明，从而得出结论：_____； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立．理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明得到，再证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； （2）延长到，使，连接，先导角证明，再证明得到，再接着证明，得到，再由线段的和差关系可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：（1）中的结论仍然成立，证明如下： 如图，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ， ， ． 在和中 ， ． ． 60．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得． 大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故． 任务：如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】成立，见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 根据旋转的性质得到，，，，，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：成立． 证明：将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ，， ， ， ． 题型二十一 旋转模型（共3小题） 61．（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍然成立，理由见解析；（3）（1）中的结论不成立，，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，夹半角模型． （1）可通过构建全等三角形来实现线段间的转换．延长到G，使，连接．在和中，已知了一组直角，，，因此两三角形全等，可得，，进而得．由此可证，即可得，进而可得结论． （2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，只不过证明和全等中，证明时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样． （3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．根据（1）的证法，我们可得出，，那么．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的． 【详解】解：（1）延长到G，使，连接． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长至，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）（1）中的结论不成立，， 证明：如图3，在上截取，连接， ∵，， ∴． ∵在与中， ， ∴， ， ∴， 又∵， ， 在和中， ， ， ， ， ． 62．【初步探索】（1）如图1，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明：，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； 【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请判断与的数量关系．并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍成立，理由见解答过程；（3）．理由见解答过程． 证明见解析 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． （1）根据可判定，进而得出，，再根据判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先根据判定，进而得出，，再根据判定，可得出； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先根据判定，再根据判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）．理由如下： 如图1，延长到点，使，连接， ， ， 又， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， 即， ； 在与中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）（1）中的结论仍成立，理由如下： 如图2，延长到点，使，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， 又， ， ； （3）． 证明：如图3，延长到点，使，连接， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 即， ． 63．在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 【答案】(1) (2)的大小不变， (3) 【分析】此题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识． （1）由，得，而，所以，于是得到问题的答案； （2）作交于点F，则，而，即可证明，得，则，所以的大小不改变，； （3）作交于点G，作于点H，可证明，得，由，得，则，由，得，则，所以，即可推导出． 【详解】（1）∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）的大小不改变， 如图①，作交于点F，则，    ∴， 由（1）得， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴的大小不改变，． （3）， 理由：如图②，作交于点G，作于点H，则    ∴， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型二十二 手拉手模型（共3小题） 64．某学校的数学兴趣小组发现这样一个模型，两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，会形成一组全等的三角形，具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)［自主探究］如图1，在中，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角， ，连接，，求证：； (2)［拓展提升］如图2，如图，，，，连接、，射线交于点，求度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质及判定、三角形内角和定理的应用，准确识图，正确使用相关定理是正确解答此题的关键． （1）根据等腰直角和等腰直角， ，只要证明，即可解决问题； （2）同法证明，根据全等三角形的性质得出，根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：设与交于点， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又，， ． 65．（1）如图1，和是等腰直角三角形，，，连接，，构建“手拉手”模型，可证明________；在此基础上，我们把如图2的画斜线部分称为“蝴蝶型”，可通过证明得到________； （2）如图3，和是等边三角形，，连接，，的延长线与相交于点．求的度数； （3）如图4，在和中，，，，，连接，．则直线与直线的夹角为________度． 【答案】（1），；（2）60度；（3）40 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质等知识，能够在图中找到全等三角形并证明是解题关键； （1）先通过证得，进而通过全等三角形性质可得到； （2）先证明，再证明可得，再根据三角形内角和定理可得； （3）方法同（2），需要先证，然后再根据全等三角形性质即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴，即， ∵和是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， 如图，与交点为，与交点为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． （2）∵和是等边三角形， ， ，即， ， ， 设与相交于点，则， ； （3）延长交于点F，设交于点G， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， 即直线与直线的夹角为； 故答案为：． 66．我们把有公共顶点且形状相同的两个三角形组成的图形称为“手拉手”图形．数学兴趣小组的几名同学对“手拉手”图形进行了探究． (1)初步探究：如图，与的顶点重合，，，，连接，他们通过测量发现在和绕点转动的过程中，，请你证明他们的结论； (2)大胆猜想：如图，在（）的条件下，连接，他们猜想的面积与的面积相等，请证明他们的猜想是正确的； (3)拓展延伸：如图，在（）的条件下，当时，延长交于点，，的面积为，求的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)他们的猜想正确，证明见解析； (3)． 【分析】（）由，得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （）过作于，过作交延长线于点，根据余角的性质得到，证明，根据性质得，然后由，，，即可得到结论； （）过作交的延长线于，根据余角的性质得到，证明，根据性质得，，再证明，则有，又，即，求出，再根据线段和差得出，从而求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，掌握知识点的应用及正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）证明：过作于，过作交延长线于点，则， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴； （3）解：过作交的延长线于， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴（负值舍去）， ∵， ∴， ∴． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形全章22大常考易错压轴题型 题型1 命题与证明 题型13 结合尺规作图的全等问题 题型2 图形的全等 题型14 全等三角形的综合问题 题型3 将已知图形分割成几个全等图形（常考点） 题型15 尺规作图 题型4 全等三角形的概念与性质（重点） 题型16 全等三角形的动点问题（难点） 题型5 用SSS判定三角形全等 题型17 全等三角形的判定与性质（难点） 题型6 全等的性质与SSS综合 题型18 倍长中线模型（难点） 题型7 用SAS判定三角形全等 题型19 一线三等角模型（难点） 题型8 全等的性质与SAS综合（重点） 题型20 半角模型（难点） 题型9 用ASA（AAS）证明三角形全等 题型21 旋转模型（难点） 题型10 全等的性质与ASA（AAS）综合（重点） 题型22 手拉手模型（难点） 题型11 添加条件使三角形全等 题型12 灵活选用判定条件证明全等（常考点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 命题与证明（共3小题） 1．下列命题中，其逆命题是假命题的是（   ） A．偶数一定能被2整除 B．对顶角相等 C．两直线平行，同位角相等 D．同角（或等角）的余角相等 2．关于命题“对顶角相等”，有下列两个说法： ①该命题的逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角； ②该命题的逆命题是假命题． 对于说法①和②，判断正确的是（   ） A．①和②都正确 B．①和②都不正确 C．只有①正确 D．只有②正确 3．举反例说明命题对于“对于任意实数x，代数式的值总是正数”是假命题，你举的反例是 （写出一个x的值即可）． 题型二 图形的全等（共3小题） 4．请观察图中的6组图案，其中是全等图形的是（   ） A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（3）（4）（5） D．（4）（5）（6） 5．佳佳想在图中再加一个正方形方格，使整个图形被直线分成的两部分全等，这个方格可放的位置为（   ） A．① B．②或③ C．② D．③或④ 6．如图，四边形四边形，则的度数是 题型三 将已知图形分割成几个全等图形（共3小题） 7．如示例图将的棋盘沿格线划分成两个全等的图形，请再用另外3种方法将的棋盘沿格线划分成两个全等图形（约定分割线必须经过网格线）． 8．用不同的方法沿着网格线把正方形分割成两个全等的图形．（至少画3种，分割线用粗实线） 9．知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等形．” 理解应用：我们可以把4×4网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1和图2是两种不同的划分方法，其中图3与图1视为同一种划分方法． 请你再提供四种与上面不同的划分方法，分别在图4中画出来． 题型四 全等三角形的概念与性质（共3小题） 10．已知：如图，，，，． (1)写出和的对应边和对应角． (2)求的度数和边的长． 11．如图，点、、、在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 12．如图，点B、E、C、F在同一直线上，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型五 用SSS判定三角形全等（共3小题） 13．小青同学用尺规作一个，根据作图痕迹，可得，其依据是（    ） A． B． C． D． 14．如图，已知，小明利用圆规和直尺，按照如下操作作出： （1）作射线； （2）以点D为圆心，为半径作弧交射线于点E； （3）以点D为圆心，为半径作弧； （4）以点E为圆心，为半径作弧，与上一步的弧相交于点F； （5）连接，． 小明说作出的与全等，依据是 ． 15．风筝，古称“纸鸢”，距今已有两千余年历史，是中华传统工艺与智慧的璀璨结晶．它不仅是嬉戏之具，更在古代被用于军事侦察、信息传递，承载着古人“御风而行”的科学探索精神．其造型优美，结构严谨，骨架设计更是深谙对称、全等、比例之妙，体现了东方美学与数学理性的完美融合．晚唐时期，风筝上已有用丝条或竹笛做成的响器，风吹声鸣，因而有了“风筝”的名字．如图是一个四边形风筝的骨架示意图，其中，是风筝的支架且，，． (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 题型六 全等的性质与SSS综合（共3小题） 16．如图，、交于点O，，． 求证： (1)； (2)． 17．已知：如图，，，点、、在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若．求的度数． 18．如图，点、、、在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 题型七 用SAS判定三角形全等（共3小题） 19．如图，点，，，在同一直线上，，，；求证：． 20．如图，已知，， (1)求证： (2)若，则等于多少？ 21．如图，已知，，． (1)求证：． (2)若，则_____． 题型八 全等的性质与SAS综合（共3小题） 22．如图，点，，，在同一条直线上，，，． (1)求证： (2)若，，求度数． 23．如图，已知在同一条直线上，，，，与交于点G． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 24．如图，在中，，于点，，平分交于点的延长线交于点．求证： (1)； (2)； (3)． 题型九 用ASA（AAS）证明三角形全等（共3小题） 25．如图，点D在上，点E在上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 26．如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 27．如图，在中，，，于点，于点，且，，在同一直线上． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型十 全等的性质与ASA（AAS）综合（共3小题） 28．如图，在中，，，直线经过点，且于点，于点E． (1)如图1，求证：①；②； (2)如图2，求证：； (3)如图3，直接写出线段之间的数量关系． 29．如图，点在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 30．如图，点，，，在同一条直线上，，，，且．． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型十一 添加条件使三角形全等（共3小题） 31．如图，在与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能利用“”使的条件有______（填序号）； ①；②；③；④． (2)根据（1）中添加条件的情况分别判定． 32．如图，在四边形中，对角线，相交于点，，请你添加一个条件 ，使． 33．如图，已知，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型十二 灵活选用判定条件证明全等（共3小题） 34．下列命题中真命题的是（   ） A．如果两个直角三角形的两条边对应相等，那么这两个直角三角形全等； B．如果两个直角三角形的一条边和一个锐角对应相等，那么这两个直角三角形全等； C．如果两个直角三角形的两个角对应相等，那么这两个直角三角形全等； D．如果两个直角三角形的一条直角边和斜边对应相等，那么这两个直角三角形全等． 35．如图，已知的三个内角和三条边，则以下三个三角形中，一定和全等的是 ．（填“甲”“乙”“丙”） 36．如图，下面个条件：①；②；③；④．请你以其中两个为已知条件，剩下的两个中的一个为结论，组成一个正确的命题． (1)______（写成的形式，至少写个）； (2)选取其中一个加以证明． 题型十三 结合尺规作图的全等问题（共3小题） 37．图①、图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1．在图①、图②中按下列要求各画一个三角形． 要求： (1)三角形的三个顶点都在格点上． (2)与全等，且位置不同． 38．如图，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，试在方格纸上按下列要求画格点三角形（三角形的顶点在格点上），只需画出一个即可： (1)在图（1）中画出与全等的三角形，且有条公共边： (2)在图（2）中画出与全等的三角形，且有一个公共顶点： (3)在图（3）中画出与全等的三角形，且有一个公共角． 39．如图，在中，延长，在射线的延长线上截取． 任务1：实践与操作： ①如图1，请用无刻度直尺与圆规作与全等（不写作法，保留作图痕迹）． ②你作的与全等的依据是 　　 、、、． 任务2：猜想与证明：如图2，，平分，平分． ①试猜想 　　 ． ②请你求出的度数． 题型十四 全等三角形的综合问题（共3小题） 40．在中，，直线经过点，且于于． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时，则有，猜想，有怎样的数量关系，并进行证明； (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的猜想是否成立？若成立，写出证明，若不成立，请直接写出正确的结论． 41．如图，在与中，，点D在上，连接． (1) 吗？请说明理由； (2)若，点F在线段上，且，求的长． 42．如图，点D在的边上，连接，点F在上，连接， (1)如图（1），求的度数； (2)如图（2），延长交于点E，，延长至G，使，连接，求证：； (3)在（2）的条件下，如图（3），点H为中点，连接，若，，求的长． 题型十五 尺规作图（共3小题） 43．尺规作图． 已知：（如图）． 求作：，使与全等． 要求： (1)不写作法，保留作图痕迹； (2)写出作图时选取的相等的边或角． 44．如图，已知． (1)过的顶点A画出它的高； (2)利用直尺和圆规作，，．（点D与点C在的不同侧） 45．如图，已知线段a和，求作，使，根据作图痕迹补全作法． （1）作 ； （2）以点 为圆心，以 的长为半径在射线上画弧，交于点B； （3）以点 为顶点作 ，交射线于点C，则即为所求作的三角形． 题型十六 全等三角形的动点问题（共3小题） 46．如图，已知线段米，于点A，米，射线于B，P点从B点向A 运动，每秒走1米，Q点从B点向D运动，每秒走3米，P、Q同时从B出发，则出发x秒后，在线段上有一点C，使与全等，则x的值为（   ） A．5 B．5或10 C．10 D．6或10 47．如图，在四边形中，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动，若与在某一时刻全等，则点Q运动速度为 ． 48．如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，___________； (2)如图①当___________时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好，求点的运动速度． 题型十七 全等三角形的判定与性质（共3小题） 49．如图，在中，平分，，，，，动点以的速度从点向点运动，动点以的速度从点向点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为． (1)求的长． (2)当时，求的值． (3)求证：在运动过程中，不管t取何值，都有． 50．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题． 【模型呈现】 （1）如图1，点，，在同一直线上，，．求证：． 【模型拓展】 （2）如图2，点，，在同一直线上，，．猜想，，之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点，，点以2cm/s的速度从点出发，沿移动到点，点以3cm/s的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点也停止运动．过点，分别作，，垂足分别为点，．若，，设运动时间为s．当以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等时，直接写出的值． 51．【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，是边上的高．延长交于点H，设的面积为，的面积为，猜想大小关系，并说明理由． 题型十八 倍长中线模型（共3小题） 52．【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．当几何问题中出现“ 中点 ”“中线 ”等条件时，可通过把中线延长一倍，构造全等三角形，从而解决问题．这种方法称为“倍长中线法 ”，并且该方法有着广泛的应用． 【解决问题】某数学学习小组拟采用上述方法解决以下问题： (1)如图，在中，，是的中点，求的取值范围． 解决思路：延长到点，使，连接，构造．通过求出线段的取值范围即可解决该问题．请你直接写出的取值范围为_____； (2)如图，点为的中点，，，求； (3)如图，在和中，，连接，，作 边上的中线．请猜想和的数量关系并说明理由． 53．（1）如图①，在中，是的中点，过点作直线，使，交的延长线于点，求证：．请结合图①写出完整的证明过程． （2）如图②，，，，连接、，是的中点，延长交于点，，，则的面积为________． 54．阅读与思考 下面是小亮同学写的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应任务． 巧用中线构造全等 数学问题： 数学课上，老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，， 若的长度为奇数，求边的长度． 解决问题： 我通过小组交流，得到了如下解决方法： 如图2，延长至点，使，连接． 因为是边上的中线，所以． 可证，则． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件时，可以通过倍长中线构造全等三角形，从而转化已知线段和角． 任务： (1)小亮判断的依据是______； (2)请你根据小亮的思路写出完整的证明思路并求出边的长度； (3)迁移应用：如图3，是的中线，在边上取一点，连接交于点，若，，，则的度数为______． 题型十九 一线三等角模型（共3小题） 55．（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 56．（1）提出问题：如图1，在直角中，，点正好落在直线上，则、的关系为______； （2）探究问题：如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，直线PQ经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若、，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时．求此时的值．（直接写出结果） 57．如图，在中，，，为射线上一动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，． (1)如图1，当点在线段上时，求点到直线的距离； (2)如图2，当点运动到的延长线上时，连接，交直线于点，求证：； (3)点在运动过程中，连接，交直线于点，若，则的长为_____． 题型二十 半角模型（共3小题） 58．阅读理解 半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质．    【问题背景】 如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是______________． 【探索延伸】 如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为__________海里．    59．【问题背景】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折、旋转或截长补短等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，进一步构成全等三角形，从而构建模型，解决问题． 如图1，在四边形中，，点，分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小雨同学的方法是延长到点．使，连接，先证明，再证明，从而得出结论：_____； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 60．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得． 大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故． 任务：如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 题型二十一 旋转模型（共3小题） 61．（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 62．【初步探索】（1）如图1，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明：，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； 【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请判断与的数量关系．并证明你的结论． 63．在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 题型二十二 手拉手模型（共3小题） 64．某学校的数学兴趣小组发现这样一个模型，两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，会形成一组全等的三角形，具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)［自主探究］如图1，在中，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角， ，连接，，求证：； (2)［拓展提升］如图2，如图，，，，连接、，射线交于点，求度数． 65．（1）如图1，和是等腰直角三角形，，，连接，，构建“手拉手”模型，可证明________；在此基础上，我们把如图2的画斜线部分称为“蝴蝶型”，可通过证明得到________； （2）如图3，和是等边三角形，，连接，，的延长线与相交于点．求的度数； （3）如图4，在和中，，，，，连接，．则直线与直线的夹角为________度． ∵， 66．我们把有公共顶点且形状相同的两个三角形组成的图形称为“手拉手”图形．数学兴趣小组的几名同学对“手拉手”图形进行了探究． (1)初步探究：如图，与的顶点重合，，，，连接，他们通过测量发现在和绕点转动的过程中，，请你证明他们的结论； (2)大胆猜想：如图，在（）的条件下，连接，他们猜想的面积与的面积相等，请证明他们的猜想是正确的； (3)拓展延伸：如图，在（）的条件下，当时，延长交于点，，的面积为，求的长度． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $