精品解析：安徽省亳州市利辛县2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

八年级数学 （沪科版） 注意事项： 1．数学试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在平面直角坐标系中，下列与直线平行的直线是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，≌，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，和都是的外角，已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于D，P；作一条射线，以点F圆心，长为半径作弧l，交于点H；以H为圆心，长为半径作弧，交弧于点Q；作射线．这样可得，其依据是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一次函数与的图象在同一平面直角坐标系中，则二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，下列添加任何条件不能证明的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与（其中，，，，为常数）的图象分别为直线，．下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边缘时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长24，厚度为2，则两摞书之间的距离的长度为（ ） A. 28 B. 26 C. 24 D. 22 10. 如图，在中，和分别平分和，和分别平分和，，下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知等腰三角形的两边长分别为和，则此三角形的周长为____________． 12. 如图，点A在点O的北偏西方向，点B在点O的北偏东方向，若，则点C在点O的_____方向． 13. 如图，是中边上的中线，若，，设，则的取值范围是____________． 14. 已知一次函数（是常数且）． （1）若该一次函数是正比例函数，则____________； （2）当时，该一次函数有最大值8，则的值为____________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 如图，C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE，求证：∠D＝∠E． 16. 如图，在中，是边上的高，，平分交于点，，求的度数． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 下表是一次函数（，为常数，）中与的两组对应值． 1 3 （1）求该一次函数的表达式； （2）求该一次函数的图象与轴和轴的交点坐标． 18. 如图，在平面直角坐标系中，把向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到． （1）在平面直角坐标系中画出； （2）求的面积； （3）若与全等（点与点不重合），直接写出点的全部坐标． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 在一次数学实践活动课中，有一个课题是“测量河两岸，两点间的距离”，项目组的同学们经过研究，共同设计了如下方案． 课题 测量河两岸，两点间的距离 测量工具 测角仪，皮尺等 测量方案 示意图 测量步骤 ①在点所在河岸同侧的平地上取，两点，使，，三点在同一条直线上，且． ②测得， ③在的延长线上取点，使． ④测得的长为． 求河两岸，两点间的距离． 20. 如图，点，均在线段上，且，分别过点，在的异侧作，，连接交于点，． （1）求证：； （2）求证：． 六、（本题满分12分） 21. 如图所示，与相交于点，，，，点从点出发，在线段上沿以3的速度运动，点从点出发，在线段上沿以1的速度运动，，两点同时出发，当点回到点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为s． （1）求证：； （2）写出线段的长（用含的代数式表示）； （3）连接，当线段经过点时，求的值． 七、（本题满分12分） 22. 鹤壁市在2023年被授予“中国匹克球之城”称号，各个学校大力发展匹克球运动．某体育用品商店抓住商机，计划购进A，B两种型号匹克球球拍共200套进行销售，其中购进A型号球拍的套数不超过120套，它们的进价和售价如表所示．已知购进2套A型球拍和1套B型球拍共需花费105元，购进4套A型球拍和3套B型球拍共需花费255元． 商品 进价 售价 A型球拍（元/套） 50 B型球拍（元/套） 80 （1）求的值； （2）该商店根据以往的销售经验，决定购进A型球拍的套数不少于B型球拍套数的一半．设购进A型球拍套，售完这批体育用品共获利元． ①求关于的函数解析式，并写出的取值范围； ②如何购货才能使这批体育用品全部售完时，获利最大？ 八、（本题满分14分） 23. 已知在四边形中，，． （1）如图1，，，分别是边，上的点，延长至，使，连接，求证：； （2）已知． （ⅰ）如图2，，分别是边，上的点，求证：； （ⅱ）如图3，，分别是边，延长线上的点，（ⅰ）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 （沪科版） 注意事项： 1．数学试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一象限：，第二象限：，第三象限：，第四象限：，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0． 根据点的坐标符号判断象限，横坐标恒为正，纵坐标为负，故点在第四象限． 【详解】解：∵对于任意实数成立， ∴，即横坐标为正， 又∵纵坐标为， ∴点在第四象限． 故选：D． 2. 在平面直角坐标系中，下列与直线平行的直线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质． 两条直线平行的条件是自变量的系数相等，给定的值为5，比较各选项即可． 【详解】解：A．，，与直线不平行； B．，，与直线不平行； C．，，与直线平行； D．，，与直线不平行； 故选：C． 3. 如图，≌，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质求出和，即可求出答案． 【详解】解：≌，，， ，， ， 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质．熟练掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键． 4. 如图，和都是的外角，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质．根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和得到，再利用求出，即可解题． 【详解】解：和都是的外角， ， ， ， 故选：B． 5. 如图，已知，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于D，P；作一条射线，以点F圆心，长为半径作弧l，交于点H；以H为圆心，长为半径作弧，交弧于点Q；作射线．这样可得，其依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得出，，利用证明，根据全等三角形的性质即可得出． 【详解】解：如图，连接，， 根据题意得，，， 在和中，， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 6. 如图，一次函数与的图象在同一平面直角坐标系中，则二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组）．根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点的坐标，即可解题． 【详解】解：由图知，二元一次方程组的解是， 故选：B． 7. 如图，已知，下列添加任何条件不能证明的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：在和中 ． ， ． ． 在和中 ． 在和中 ． 故B、C、D选项正确符合题意，A选项不符合题意． 故选：A． 8. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与（其中，，，，为常数）的图象分别为直线，．下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质，并能根据函数图象准确判断、的正负是解题的关键．本题考查的是一次函数的图象与性质，直接利用一次函数的图象经过的象限以及与轴的交点位置再判断即可． 【详解】解：由一次函数：的图象可得： ，， 由一次函数：的图象可得： ，， ∵一次函数与都过， ∴， ∴，， ∴， ，，， 正确的结论是D，符合题意， 故选D． 9. 如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边缘时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长24，厚度为2，则两摞书之间的距离的长度为（ ） A. 28 B. 26 C. 24 D. 22 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形性质和判定，根据题意证明，再结合全等三角形性质得到，最后利用求解，即可解题． 【详解】解：由题意可知：， ， ， ， ； 故选：A． 10. 如图，在中，和分别平分和，和分别平分和，，下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，根据角平分线的定义、三角形内角和定理求得、和成为解题的关键． 先根据角平分线的定义、三角形内角和定理求得、和，然后代入各选项判断即可． 【详解】解：∵和分别平分和，， ∴． ∴． ∵和分别平分和， ∴． ∴． A． ，故A选项不符合题意； B．，故B选项不符合题意； C．，故C选项不符合题意； D． ，故D选项符合题意． 故选D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知等腰三角形的两边长分别为和，则此三角形的周长为____________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系． 分腰长为与腰长为两种情况，结合三角形三边的关系即可求解． 【详解】解：当腰长为时， 三边为、、，，不满足三角形三边关系，故舍去； 当腰长为时， 三边为、、，，，满足三角形三边关系，周长为； 故答案为：20． 12. 如图，点A在点O的北偏西方向，点B在点O的北偏东方向，若，则点C在点O的_____方向． 【答案】南偏东 【解析】 【分析】本题考查方位角和角的有关计算的应用，解题的关键是利用数形结合解决问题． 根据方位角的表示方法，可得答案． 【详解】解：由题意可知， ∵， ∴， ∴点在点的南偏东， 故答案为：南偏东． 13. 如图，是中边上的中线，若，，设，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形性质和判定，三角形中线性质，三角形三边关系，解题的关键在于倍长中线构造全等三角形． 延长至点，取，连接，结合三角形中线性质证明，得到，再利用三角形三边关系求解，即可解题． 【详解】解：延长至点，取，连接， 是中边上的中线， ， ， ， ，， ， ， ， ， 整理得， 故答案为：． 14. 已知一次函数（是常数且）． （1）若该一次函数是正比例函数，则____________； （2）当时，该一次函数有最大值8，则的值为____________． 【答案】 ①. 2 ②. 0或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，包括正比例函数的定义和一次函数增减性问题． 对于（1），根据正比例函数要求常数项为零求解即可； 对于（2），分类讨论，根据一次函数的增减性确定最大值点求解即可． 【详解】（1）因为该一次函数是正比例函数， 所以常数项为零，即， 解得． 故答案为：2； （2）当时，即，函数随x的增大而增大，最大值在处取得． 代入得：， 化简得， 解得． 当时，即，函数随x的增大而减小，最大值在处取得． 代入得：， 化简得， 解得． 综上，m的值为0或． 故答案为：0或． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 如图，C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE，求证：∠D＝∠E． 【答案】证明：∵C是AB中点， ∴AC=BC， 在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（SSS）， ∴∠D=∠E．（全等三角形对应角相等） 【解析】 【分析】首先根据SSS证明△ACD≌△CBE，利用全等三角形的性质即可证明． 【详解】略 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型． 16. 如图，在中，是边上的高，，平分交于点，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高和角平分线，三角形内角和定理及外角性质，由三角形高的定义可得，进而由三角形外角性质得到，再由角平分线的定义得到，最后根据三角形内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 下表是一次函数（，为常数，）中与的两组对应值． 1 3 （1）求该一次函数的表达式； （2）求该一次函数的图象与轴和轴的交点坐标． 【答案】（1） （2）该一次函数的图象与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数表达式的确定及函数与坐标轴交点的求解，熟练掌握待定系数法求一次函数表达式以及求函数与坐标轴交点的方法是解题的关键； （1）已知一次函数（）的两组与的对应值，将其代入函数解析式，得到关于、的二元一次方程组，解方程组就能求出和的值，进而确定一次函数表达式； （2）求函数图象与轴交点，就是令，代入一次函数表达式求出对应的值；求与轴交点，就是令，代入求出对应的值，从而得到交点坐标． 【小问1详解】 解：把，和，代入中，得 ，解得 该一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，，解得， 该一次函数的图象与轴的交点坐标为， 当时，， 该一次函数的图象与轴的交点坐标为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，把向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到． （1）在平面直角坐标系中画出； （2）求的面积； （3）若与全等（点与点不重合），直接写出点的全部坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）10 （3）或或 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，求图形的面积，全等三角形判定定理，正确作出图形是解答本题的关键． （1）根据平移的性质确定出点对应点的位置，然后顺次连线即可； （2）根据三角形面积公式求解，即可解题； （3）根据三角形全等的条件，并结合网格特点进行分析即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：的面积为； 【小问3详解】 解：根据与全等（点与点不重合），作图如下： 由图知，点的坐标为或或． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 在一次数学实践活动课中，有一个课题是“测量河两岸，两点间的距离”，项目组的同学们经过研究，共同设计了如下方案． 课题 测量河两岸，两点间的距离 测量工具 测角仪，皮尺等 测量方案 示意图 测量步骤 ①在点所在河岸同侧的平地上取，两点，使，，三点在同一条直线上，且． ②测得， ③在的延长线上取点，使． ④测得的长为． 求河两岸，两点间的距离． 【答案】河两岸，两点间的距离为 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质. 由三角形内角和定理可得，再证明得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，， ， 又， 在和中， ， ， ， ， 即， 即河两岸，两点间的距离为． 20. 如图，点，均在线段上，且，分别过点，在的异侧作，，连接交于点，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质及平行线的判定，关键是全等三角形判定定理的应用． （1）由，得，，证明，即可证明； （2）证明△△，，得到，即可得出． 【小问1详解】 证明：，， ，， 在和中， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：在△和△中， ， △△， ， ， ． 六、（本题满分12分） 21. 如图所示，与相交于点，，，，点从点出发，在线段上沿以3的速度运动，点从点出发，在线段上沿以1的速度运动，，两点同时出发，当点回到点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为s． （1）求证：； （2）写出线段的长（用含的代数式表示）； （3）连接，当线段经过点时，求的值． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ， ； （2）当时，的长为，当时，的长为 （3）的值为或 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）根据题意证明，进而即可推出； （2）根据点运动状态分情况：当从点到点运动时，当点从点到点运动时，讨论求解，即可解题； （3）连接，且过点，证明，根据全等三角形性质得到，再点运动状态分情况：当时，当时，分别表示出，再根据建立方程求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当从点到点运动时，（）； 当点从点到点运动时， ， （）． 综上，当时，的长为，当时，的长为； 【小问3详解】 解：连接，且过点，如图： 由（1）得，. 在和中， ， ， ， 当时，，， ， 解得； 当时，，， ， 解得； 综上，的值为或． 七、（本题满分12分） 22. 鹤壁市在2023年被授予“中国匹克球之城”称号，各个学校大力发展匹克球运动．某体育用品商店抓住商机，计划购进A，B两种型号匹克球球拍共200套进行销售，其中购进A型号球拍的套数不超过120套，它们的进价和售价如表所示．已知购进2套A型球拍和1套B型球拍共需花费105元，购进4套A型球拍和3套B型球拍共需花费255元． 商品 进价 售价 A型球拍（元/套） 50 B型球拍（元/套） 80 （1）求的值； （2）该商店根据以往的销售经验，决定购进A型球拍的套数不少于B型球拍套数的一半．设购进A型球拍套，售完这批体育用品共获利元． ①求关于的函数解析式，并写出的取值范围； ②如何购货才能使这批体育用品全部售完时，获利最大？ 【答案】（1）a的值为30，b的值为45 （2）①（，x取整数）；②当购进乒乓球拍67套、羽毛球拍133 套时，获利最大 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，正确列出二元一次方程组、求出一次函数解析式是解此题的关键． （1）根据“购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费105元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费255元”列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）①由题意即可得出y关于x的函数关系式，根据“购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的一半”列出不等式，求出的取值范围即可；②根据一次函数的性质求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 解得：， 即的值为30，b的值为45； 【小问2详解】 解：①由题意得， ∵购进乒乓球拍的套数不超过120套 ∴， ∵购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的一半， ， 解得：， 则的取值范围为：， ∴关于的函数关系式为 （，取整数）； ②由中，，可得随的增大而减小， ，取整数， ∴当时，取最大值， 此时， 答：当购进乒乓球拍67套、羽毛球拍133套时，获利最大． 八、（本题满分14分） 23. 已知在四边形中，，． （1）如图1，，，分别是边，上的点，延长至，使，连接，求证：； （2）已知． （ⅰ）如图2，，分别是边，上的点，求证：； （ⅱ）如图3，，分别是边，延长线上的点，（ⅰ）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）（ⅰ）中的结论不成立，，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线是解题关键． （1）先证明，得到，，进而推出，即可证明； （2）（ⅰ）延长至，使，连接．类比（1）同理先证明，得到，，进而推出，再证明，最后结合全等三角形性质求解，即可解题； （ⅱ）延长至，使，连接，类比（ⅰ）的证明过程，先证明，再证明，并结合全等三角形性质进行分析，即可解题． 【小问1详解】 证明：， ， ，， ， ，． ， ， ， . 又， ； 【小问2详解】 （ⅰ）证明：如图，延长至，使，连接． ，， . ，， ， ，， ， ， ， . 又， ， ； （ⅱ）解：（ⅰ）中的结论不成立，， 理由：如图，延长至，使，连接． ，， ， ，， ， ，， ， ， . ， ， ， ， ． ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $