专题04 一元一次方程（期末复习讲义，知识必备+20大重难点题型+过关验收）七年级数学上学期新教材冀教版

该初中数学讲义通过表格系统梳理一元一次方程的核心考点、复习目标与考情规律，按“概念-性质-解法-应用”递进关系分设知识点模块，结合易错点拨和步骤表格呈现知识脉络，突出重点如解法步骤与实际应用的内在联系。 讲义亮点在于20类分层题型设计，涵盖基础辨析、参数求解到新定义问题，如配套问题、行程问题培养模型意识，新定义题型发展创新思维。易错点拨与分层练习助力不同学生突破难点，教师可据此实施精准教学，学生自主复习效率高。

专题04 一元一次方程（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 方程的概念与解 掌握方程的概念和方程的解； 基础必考点，一般出现在小题中，难度不大 等式的性质 掌握等式的基本性质，学会用等式的基本性质解方程； 基础必考点，一般出现在小题中，做题时要结合等式的性质来思考 一元一次方程的概念 掌握一元一次方程的概念，注意一元一次方程一次项系数不能为0； 基础常考点，一般出现在小题中 一元一次方程的解法 掌握一元一次方程的解法，会用消元法解较为复杂的一元一次方程 重要考点，一般出现在计算题 一元一次方程解的关系 掌握一元一次方程解的关系，如同解，相反数等 常考点，小题和解答题中均会出现 根据一元一次方程的解求参数 掌握一元一次方程的解求参数题型，要注意分析题意，得出结果后可以代入理解 常考点，一般出现在小题中 一元一次方程的实际应用 掌握一元一次方程各类实际应用题型 必考点，一般出现在解答题中，小题考查时难度不大 一元一次方程的新定义问题 掌握一元一次方程的新定义问题 重要考点，一般出现在解答题中，重点考查学生对一元一次方程的深度理解 知识点01 一元一次方程的相关概念 一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程. 一元一次方程的标准形式：ax+b=0（a、b是常数，且a≠0）. 方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解. 解方程：求方程的解得过程叫做解方程. 【易错易混】 1）方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个具体的数值，而解方程是求方程的解的过程； 2）方程的解是通过解方程求得的. 3）方程的解可能不止一个（如x=2和x=-2都是方程的解），也有可能无解（如无解）. 知识点02 等式的性质 等式的性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数（或同一个式子），所得的结果仍是等式.即： 如果a=b，那么a±c=a±c 等式的性质2：等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个不为0的数，结果仍相等.即： 如果a=b，那么ac = bc； 如果 a=b(c≠0)，那么 = 等式的性质3：如果a=b，则b=a （对称性） 等式的性质4：如果a=b，b=c，则a=c （传递性） 【易错易混】 1）利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算. 2）等式两边同时除以一个字母时，字母不能为0，若题目没有注明该字母不为0，那么这个变形就不成立. 知识点03 一元一次方程的解法 基本思路：通过适当的变形，把一元一次方程化简为ax=b（a、b为常数，且a≠0）的形式，得出方程的解为x=. 步骤 具体做法 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 移项 把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边 合并同类项 把方程变为ax=b（a≠0 )的形式 系数化为1 将方程两边都除以未知数系数a，得到方程的解x= 【补充说明】解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号. 知识点04 一元一次方程的实际应用 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤： 审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； 列：根据题中相等关系，列出方程； 解：解所列出的方程； 验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 答：写出答案，包括单位. 题型一 方程的定义 易｜错｜点｜拨 1．方程：含有未知数的等式叫作方程； 2．方程必备的两个条件：①是等式；②含有未知数； 3．方程一定是等式，等式不一定是方程. 1．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了方程的定义，掌握方程是含有未知数的等式是解题的关键． 根据方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：①，含有未知数x和y，且是等式，是方程； ② 含有未知数x，且是等式，是方程； ③ 没有未知数，不是方程； ④ 不是等式，不是方程； ⑤ 含有未知数x，且是等式，是方程； ⑥ 含有未知数x，且是等式，是方程． 综上，是方程的有①、②、⑤、⑥，共4个． 故选：D． 2．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是方程的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】此题考查方程的概念，解题关键在于掌握含有未知数的等式叫做方程． 由方程的概念可知，是方程则需满足以下条件：①方程中必须含有未知数；②是等式． 依据方程的概念对所给式子逐一进行判断，从而得出正确答案的． 【详解】解：①不含未知数，故①不是方程； ③④不是等式，故③④不是方程； ②⑤⑥⑦中含有未知数且是等式，符合方程的概念，故②⑤⑥⑦是方程． 综上所述，所给式子中是方程的有②⑤⑥⑦，共4个． 故选：C． 3．下列各式中①，②，③，④，⑤，⑥．其中是方程的有（   ） A．①②④⑤ B．②③⑤⑥ C．②④⑤⑥ D．①②⑤⑥ 【答案】D 【分析】本题考查了方程的识别，根据含有未知数的等式是方程逐一进行判断即可． 【详解】解：①是方程， ②是方程， ③，不是等式，故不是方程． ④不是方程， ⑤是方程， ⑥是方程． 综上：①②⑤⑥， 故选：D． 4．下列各式中 是等式， 是方程(填序号)． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． 【答案】①②③⑤⑥⑦；①③⑤⑥⑦ 【分析】本题主要考查等式和方程的概念，根据等式和方程的定义，等式是含有等号的式子，方程是含有未知数的等式，通过检查每个式子是否含有等号和未知数，进行分类． 【详解】解：①含有等号和未知数x，是等式也是方程； ②含有等号但没有未知数，是等式但不是方程； ③含有等号和未知数x，是等式也是方程； ④不含等号，既不是等式也不是方程； ⑤含有等号和未知数x、y、z，是等式也是方程； ⑥含有等号和未知数x、y，是等式也是方程； ⑦含有等号和未知数y，是等式也是方程； ⑧含有不等号，是不等式； ⑨含有不等号，是不等式； ⑩含有约等号，不是等式． 等式有：①②③⑤⑥⑦，方程有：①③⑤⑥⑦． 故答案为：①②③⑤⑥⑦；①③⑤⑥⑦． 题型二 方程的解 易｜错｜点｜拨 1．方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个具体的数值，而解方程是求方程的解的过程； 2．方程的解是通过解方程求得的. 3．方程的解可能不止一个 4．检验一个数是不是方程的解，不能将所给的数值直接代入方程中，而是要把这个数分别代入方程的左右两边，当左边＝右边时，这个数是方程的解，当左边≠右边时，这个数就不是方程的解. 5．是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的解，掌握方程解的定义是解题的关键．将 代入各方程，验证等式是否成立． 【详解】解：A．把代入方程，左边，右边，左边右边，故选项A不符合题意； B．把代入方程，左边，右边，左边右边，故选项B不符合题意； C．把代入，左边，右边，左边右边，故选项C不符合题意； D．把代入方程，左边，右边，故选项D符合题意． 故选：D． 6．当x的取值不同时，整式（其中，是常数，）的值也不同，具体情况如表所示．则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的变形与代数式的值的对应关系，熟练掌握“将方程转化为表格中整式的形式，再结合表格数据找对应值”是解题的关键． 先将方程变形为与表格中整式形式一致的式子，再结合表格数据找出对应的值． 【详解】解：∵， ∴ ， 从表格可知，当时，， 故选：． 7．下列是方程的解的是（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了方程的解，解题关键是理解使方程中等号两边相等的未知数的值叫做方程的解．将各选项中的值分别代入方程，观察等式两侧是否相等即可． 【详解】解：A、等式左边，等式右边，左边右边，是方程的解，选项正确； B、等式左边，等式右边，左边右边，是方程的解，选项错误； C、等式左边，等式右边，左边右边，是方程的解，选项错误； D、等式左边，等式右边，左边右边，是方程的解，选项错误； 故选：A． 8．判断是否为下列方程的解． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)是 (2)是 (3)不是 【分析】本题考查了方程的解，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）将代入方程左右两边并求解判断，即可解题； （2）将代入方程左边并求解判断，即可解题； （3）将代入方程左右两边并求解判断，即可解题． 【详解】（1）解：当时，方程的左边，右边， 方程左、右两边的值相等， 所以是方程的解． （2）解：当时，方程的左边，右边， 方程左、右两边的值相等， 所以是方程的解． （3）解：当时，方程的左边，右边， 方程左、右两边的值不相等， 所以不是方程的解． 题型三 已知方程的解求参数 易｜错｜点｜拨 要将方程的解代入原方程，再求出参数的值； 9．关于的方程的解是，则的值是（   ） A． B． C．1 D．7 【答案】A 【分析】本题考查方程解的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．将 代入方程，求解 m． 【详解】解：∵ 是方程的解， ∴ 代入得， ∴． 故选：A． 10．方程，处被盖住了一个数字，已知方程的解为，那么处的数字是（   ） A．7 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键． 将已知解代入方程，解出被盖住的数字． 【详解】解：∵ 方程的解是， ∴代入方程为：， 即， 两边乘以得， ∴， ∴， 故选：B． 11．方程与关于的方程的解相同，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查同解方程，先求出方程的解，再代入方程中求解即可． 【详解】解：解方程，得， 将代入方程，得， 解得， 故答案为：4． 12．方程与方程的解相等，求a的值． 【答案】4 【分析】本题考查了一元一次方程的同解方程，解答本题的关键是理解方程的解．先求出方程的解，再代入方程，即可求a的值 【详解】解：由解得， ∴方程的解也是， ∴把代入， 得， 移项，得， 合并同类项，得系数化为1， 得， ∴故的值为4． 题型四 一元一次方程的概念 易｜错｜点｜拨 1、一元一次方程的标准形式：（a、b是常数，且a）. 2、一个方程须同时满足：①只含有一个未知数；②未知数的次数都是1；③等号两边都是整式，这三个条件才可以判定它是一元一次方程. 13．下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的概念，即方程中只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程． 根据一元一次方程的概念判断即可． 【详解】解：选项A化简后为，未知数最高次数为2，不符合定义； 选项B中只有一个未知数y，且最高次数为1，方程两边均为整式，符合定义； 选项C中含有两个未知数x和y，不符合定义； 选项D中分母含有未知数，不是整式方程，不符合定义； 故选：B． 14．若关于x的方程是一元一次方程，则a的值为（   ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【分析】根据一元一次方程的定义，x的指数必须为1，且系数不为0． 本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵ 方程是一元一次方程， ∴ 且 由，得或， 又∵， ∴ ∴ ， 故选：C． 15．若关于x的方程是一元一次方程，则k的值为（    ）. A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 一元一次方程要求一次项系数不为0，未知数最高次幂为1，据此计算即可． 【详解】解：方程是一元一次方程， 则 解得，且， 当时，一次项系数，满足条件， 因此的值为1， 故选：C． 16．在一次数学活动课上，小军对小明说：我手中有四张卡片，它们上面分别写有9，，，．小明说：我用等号将这四张卡片中的任意两张卡片上的数或式子连接起来，就会得到等式或一元一次方程． 根据以上对话，回答下列问题： (1)小明一共能写出几个等式？ (2)在他写的这些等式中，有几个一元一次方程？请写出这几个一元一次方程． 【答案】(1)6个 (2)有3个，分别为：，， 【分析】本题考查一元一次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． （1）列出从四张卡片中任意选择两张卡片，所有的可能得到的等式； （2）根据一元一次方程的定义从（1）中判断哪些等式是一元一次方程，从而得到答案． 【详解】（1）解：可写出的等式有：、、、、、，共6个等式； （2）解：由（1）可知，一元一次方程有：、、， 共有3个一元一次方程． 题型五 一元一次方程的解 易｜错｜点｜拨 将解代入原一元一次方程中，可得到原方程是成立的，一定要检验答案的正确性； 17．是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入对应的方程中，计算出对应方程左边的值，看对应方程的左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：A、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意； B、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边相等，故是方程的解，符合题意； C、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意； D、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意； 故选：B． 18．若方程是关于x的一元一次方程，则这个方程的解是    （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解题的关键． 根据一元一次方程的定义列出关于m的方程，求出m的值即可得到关于x的一元一次方程，求出x的值即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴，解得， ∴原方程可化为，解方程得； 故选：B 19．写出一个一元一次方程， 同时满足下列两个条件： ． ① 某个未知数的系数是－，②方程的解为． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程的解的定义，利用了待定系数法求方程．设方程是，把代入即可求得的值，从而求解． 【详解】解：设方程是， 把代入，， 解得：， 则方程是：， 故答案是：． 20．，，分别是下列哪个方程的解？ （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】是方程的解；是方程的解；是方程的解． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把，，分别代入四个方程中，看方程左右两边是否相等即可得到结论． 【详解】解：把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边相等，故是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边相等，故是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边相等，故是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 综上所述，是方程的解；是方程的解；是方程的解． 题型六 等式的性质 易｜错｜点｜拨 1、等式的基本性质是等式变形的依据，等式两边的变形必须完全相同，等式才能成立，否则就会破坏相等关系. 2、等式的两个性质： （1）等式的传递性：若，； （2）等式的对称性：若，则. 21．下列变形中，符合等式性质的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题考查等式的变形，关键是掌握等式的基本性质． 等式两边同时加上或减去同一个数，或同时乘以或除以同一个非零数，等式仍然成立，据此逐项判断变形是否正确． 【详解】解：A、 ，但选项为，该选项错误，不符合题意； B、 ，但选项为，该选项错误，不符合题意； C、 ，该选项正确，符合题意； D、 ，但选项为，该选项错误，不符合题意； 故选C． 22．根据等式的性质，下列变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质．性质1：等式两边加同一个数或式子，结果仍得等式；性质2：等式两边乘同一个数或除以同一个不为零的数，结果仍得等式．根据等式的性质进行判断． 【详解】解：A．当时不成立，故本选项错误； B．在等式的两边同时乘以2，等式仍成立，即，故本选项错误； C．等式的左边减5，右边加5，等式不成立，故本选项错误； D．在等式的两边同时乘以，等式仍成立，故本选项正确； 故选D． 23．请在下列各题的横线上填上适当的式子． （1）如果，那么 ． （2）如果，那么 ． （3）如果，那么 ． （4）如果，那么 ． 【答案】 10 【分析】本题考查等式的基本性质．熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． （1）根据等式的性质1：等式的两边加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等，即可得出答案． （2）根据等式的性质1：等式的两边加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等，即可得出答案． （3）根据等式的性质1：等式的两边加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等，即可得出答案． （4）根据等式的性质2：等式的两边同乘（或除以）同一个数（除数不为0）结果仍相等即可得出答案． 【详解】解：（1）根据等式的性质1，两边都加2；如果，那么； 故答案为：10； （2）根据等式的性质1，两边都减3；如果，那么； 故答案为：； （3）根据等式的性质1，两边都加；如果，那么； 故答案为：； （4）根据等式的性质2，两边都除以5；如果，那么． 故答案为：． 24．阅读材料，回答下列问题： 问题：怎样将循环小数表示成分数？ 设① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦． (1)根据材料，判断_______有理数；（填“是”或“不是”） (2)从步骤①到步骤②，变形的依据是______；从步骤⑤到步骤⑥，变形的依据是______ 【答案】(1)是 (2)等式的性质；合并同类型和等式的性质 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握每一步变形是解题的关键． （1）根据材料求得判断即可； （2）根据等式的性质解答即可． 【详解】（1）解： ， 是有理数； 故答案为：是； （2）解：从步骤①到步骤②，变形的依据是等式的基本性质； 从步骤⑤到步骤⑥，变形的依据是合并同类项和等式的基本性质． 故答案为：等式的基本性质；合并同类项和等式的基本性质． 题型七 解一元一次方程 易｜错｜点｜拨 解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号. 25．解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1． （1）先去括号，然后移项，合并同类项，最后未知数系数化为1即可； （2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可； （3）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可； （4）先将原方程变为，然后去分母，去括号，再移项，合并同类项，最后未知数系数化为1即可． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （3）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （4）解：， 原方程可变为：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 26．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为1，求出解． （1）方程去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解： ， ∴ （2）解： ∴ 27．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握好解一元一次方程的步骤是解题关键． （1）先移项，再合并同类项计算即可； （2）先去分母，然后去括号、移项、合并同类项计算即可． 【详解】（1）解：， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为“1”得，； （2）解：， 两边同乘以12，去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为“1”得，． 28．解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，正确计算是解题的关键． （1）先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1即可得到方程的解； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得到方程的解． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：； （2）解：， 去分母得： 去括号得：， 移项合并得：， 解得：． 题型八 已知一元一次方程的解求参数 29．若方程与关于x的方程的解相同，则a的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了方程的同解问题． 先解第一个方程得到x的值，由于两个方程的解相同，将x的值代入第二个方程求解a． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 将代入方程， 得， ∴， ∴． 故选：A． 30．若不论取何值，关于的方程（，是常数）的解总是，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题关键；将代入中，化简得到，由不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是可知，k的值对方程没有影响，即可得到，求解即可． 【详解】解：不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是， ， ， ， ，， ， ， 故选：D． 31．若关于的方程的解是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解的概念，代入得到关于m的方程是解题的关键． 将代入方程，进而即可求解m的值． 【详解】解：将代入得， 解得． 故答案为：． 32．已知关于x的一元一次方程的解是正整数，则所有符合条件的整数a的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的正整数解， 先解方程得到，由解是正整数可知是6的正因数，从而求出所有符合条件的整数，再求它们的和． 【详解】解：， 去括号得， 移项得， 合并得， 解得， ∵方程的解是正整数， ∴是正整数， ∴是6的正因数，即， 对应， 所有符合条件的整数为， 它们的和为， 故答案为：． 题型九 一元一次方程解的关系 33．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解 ． 【答案】 5 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程解的定义，是解题的关键．通过变量代换，将关于y的方程转化为与已知解方程相同的形式，利用已知解直接求解即可． 【详解】解：， 整理得：， 令，则关于y的方程化为： ， ∵该方程与已知方程形式相同，且已知解为， ∴，即， 解得：． 故答案为：5． 34．已知关于x的方程． （1）若，则代数式的值为 （2）已知关于x的方程的解比方程的解小6，则a的值为 【答案】 4 【分析】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程、代数式求值，熟练掌握一元一次方程的解法是解题关键． （1）将代入方程可求出的值，再代入计算即可得； （2）先分别求出两个方程的解，再根据它们的解的关系建立一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：（1）将代入方程得：， 解得， ∴， 故答案为：4． （2）， 去括号，得， 移项、合并同类项，得． ， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． ∵关于的方程的解比方程的解小6， ∴， 方程两边同乘以2去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 故答案为：． 35．一列方程如下排列：的解是， 的解是， 的解是， … 根据观察得到的规律，写出其中解是的方程： ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，能根据题意得出规律是解此题的关键． 先根据已知方程得出规律，再根据得出的规律得出答案即可． 【详解】解：∵一列方程如下排列： 的解是； 的解是； 的解是； ∴一列方程如下排列： 的解是； 的解是； 的解是； …， 由此可得：解为的方程为： ， 即， 故答案为：． 36．方程的解与关于的方程的解互为倒数，求的值． 【答案】 【分析】题目主要考查解一元一次方程及倒数的定义，熟练掌握解一元一次方程的解法是解题关键． 根据题意得出的解为，然后求出倒数代入求解即可． 【详解】解：， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得． ∵的倒数是， ∴将代入方程， ∴， 解得． 题型十 绝对值方程 易｜错｜点｜拨 解绝对值方程时，要注意去绝对值符号有两种情况，要进行分类讨论； 37．若为有理数且，则的取值是（    ） A． B． C．或2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了解绝对值方程，根据绝对值方程的性质，将方程分为两种情况求解． 【详解】解：， 或， 当时，； 当 时，， 的取值为或 2， 故选： C． 38．方程的解为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据绝对值的定义可得或，据此解方程即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解方程，得， 解方程，得， ∴方程的解为或， 故选：B． 39．，那么 ． 【答案】 或 【分析】本题考查绝对值方程，先计算等号右边的绝对值，得到，再根据绝对值的定义，将方程转化为两个一元一次方程求解即可． 【详解】解：，即， 则或， 解得或． 故答案为：或． 40．【阅读与思考】 在解形如()的方程时，我们可以根据绝对值的意义，分情况讨论： 当时，原方程化为，解得； 当时，原方程化为，解得． 所以，方程()的解为或． 【理解与应用】 利用上述方法解方程：． 【答案】或 【分析】本题主要考查绝对值方程，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键；因此此题可根据绝对值方程的解法进行求解即可． 【详解】解：根据阅读材料的方法： 当，即时，原方程化为， 解得：； 当，即时，原方程化为， 解得：， 综上所述，方程的解为或． 题型十一 配套问题 易｜错｜点｜拨 寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑． 41．某车间有33名工人生产螺丝和螺母，每人每天可生产螺丝1200个或螺母2000个，一个螺丝配两个螺母．要使每天的产品配套，应分配多少人生产螺丝？ 【答案】 应分配 人生产螺丝 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题意，列出方程是解题关键．设分配x名工人生产螺丝，则分配名工人生产螺母，根据一个螺丝要配两个螺母建立方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设分配x名工人生产螺丝，则分配名工人生产螺母， 根据题意，得，即， 解得， 答：应分配人生产螺丝． 42．某瓷器厂共有120名工人，每名工人一天能做200只茶杯或50只茶壶．如果8只茶杯和一只茶壶为一套，那么一天最多可以生产多少套这样成套的产品？ 【答案】一天最多可以生产2000套这样成套的产品 【分析】本题考查了配套问题(一元一次方程的应用)，解题关键是读懂题意，找到等量关系列方程． 设安排x名工人生产茶壶，根据题意列出一元一次方程求解，再求出一天最多可以生产这样成套的产品的数量． 【详解】解：设安排名工人生产茶壶， 则， 解得， 故需要安排40人加工茶壶，80人加工茶杯，刚好配套， 所以（套）， 答：一天最多可以生产2000套这样成套的产品． 43．粽子作为中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，传播甚远，最初是用来祭祀祖先神灵的贡品，某家庭制作的粽子礼盒每份由个蛋黄肉粽和个碱水粽组成．用千克糯米可做个蛋黄肉粽或个碱水粽，现要用千克糯米制作粽子，应用多少千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套． 【答案】应用千克糯米制作蛋黄肉粽 【分析】本题考查一元一次方程解应用题，读懂题意，找准等量关系列方程是解决问题的关键． 设用千克糯米制作蛋黄肉粽，则用千克糯米制作碱水粽，分别表示出制作的蛋黄肉粽和碱水粽数量，结合粽子礼盒每份由个蛋黄肉粽和个碱水粽组成，建立等量关系列一元一次方程求解即可得到答案． 【详解】解：设用千克糯米制作蛋黄肉粽，则用千克糯米制作碱水粽， 制作蛋黄肉粽的个数为，制作碱水粽的个数为， 粽子礼盒每份由个蛋黄肉粽和个碱水粽组成， ， 解得， 答：应用千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套． 44．近年来，随着全民健身公共服务体系的不断完善，把“健身房”建在市民身边，让体育更好地融入生活．某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个支架和三套脚踏板组装而成．工厂共有55名工人，每人每天可以生产42个支架或72套脚踏板．应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？ 【答案】20名工人生产支架，35名工人生产脚踏板才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设名工人生产支架，则名工人生产脚踏板，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：设名工人生产支架，则名工人生产脚踏板， 由题意得：， ， ， 解得：， （名）． 答：20名工人生产支架，35名工人生产脚踏板才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套． 题型十二 工程问题 易｜错｜点｜拨 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 45．有一些相同的房间需要粉刷，一天4名一级技工粉刷9个房间，结果还有30平方米没有刷完；同样的时间，6名二级技工刷完10个房间还多刷了35平方米，已知一名一级技工比一名二级技工每天多刷10平方米，求每个房间需要粉刷的面积． 【答案】每个房间需要粉刷的墙面面积为平方米 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，抓住关键语句，找出题目中的等量关系，列出方程． 设每个房间需要粉刷的面积为平方米，根据一级技工和二级技工的粉刷情况，列出关于每人每天粉刷量的方程，利用一级技工比二级技工每天多刷10平方米的关系求解． 【详解】解：设每个房间需要粉刷的面积为平方米， 根据题意可得， 解得：， 答：每个房间需要粉刷的墙面面积为40平方米． 46．某中学有甲、乙两台印刷机，学校期末考试所需数学试卷如果用甲、乙两台印刷机单独印刷分别需要1小时和小时，为了保密，学校决定在考试前的一小时开始印刷数学试卷． (1)若甲、乙两台印刷机同时印刷，共需要多少小时才能印完？（要求列方程解答） (2)在两台印刷机同时印刷半小时后，甲印刷机出现故障停止印刷，此时离发卷还有分钟．请你计算一下，如果乙印刷机单独完成剩下的印刷任务，会不会影响按时发卷？ 【答案】(1)0.6小时 (2)不会影响按时发卷 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题； （2）根据题意可以求出乙机单独完成剩下的印刷任务需要的时间，然后再与比较，即可解答本题． 【详解】（1）解：设甲乙两台印刷机同时印刷，共需要x小时才能印完， ， 解得，， 即甲乙两台印刷机同时印刷，共需要小时才能印完； （2）解：乙机单独完成剩下的印刷任务需要的时间为：， ∵， ∴乙机单独完成剩下的印刷任务，不会影响按时发卷考试． 47．现有一道路改造修复工程，甲工程队单独完成需要18天，乙工程队单独完成需要12天．甲队单独施工3天后接到通知要缩短工期，剩余的部分由甲、乙两工程队合作完成． (1)甲、乙两工程队还需合作多少天才能完成？（用方程解决） (2)若甲队每天的工资为1000元，乙队每天的工资为1500元，问完成这项工程需支付两队工资一共多少钱？ 【答案】(1)6 (2)18000 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 对于（1），设甲，乙两工程队还需要合作x天才能完成，再根据工作总量等于1列出方程，求出解即可； 对于（2），根据甲队需支付工资加上乙队需支付工资可得答案． 【详解】（1）解：甲，乙两工程队还需要合作x天才能完成，根据题意，得 ， 解得， 所以甲乙两工程队还需要合作6天才能完成； （2）解：， 所以完成这项工程需要支付两队工资一共18000元． 48．北京市为了能够成功举办2022年冬季奥运会．市政府要求各项工程在确保质量的前提下完成任务．其中有一项工程，请甲工程队独做要3个月完成，每月耗资12万元，若请乙工程队独做要6个月完成，每月耗资5万元，那么请甲，乙两工程队合做要几个月完成？耗资多少万元？ 【答案】甲、乙两工程队合做要2个月完成，耗资34万元 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设甲、乙两工程队合做要x个月完成，再结合合作的工作量为1建立方程求解，进一步求解费用即可． 【详解】解：设甲、乙两工程队合做要x个月完成， 依题意可得： 解得：， 耗资：（万元）． 答：甲、乙两工程队合做要2个月完成；耗资34万元． 题型十三 销售盈亏问题 易｜错｜点｜拨 1、利润率=利润÷进价×100% 2、标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) 3、实际售价＝标价×打折率 4、利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损，打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 49．小何同学用的数学练习本可以到甲、乙两家商店购买，已知两家商店的标价都是每本2元，元旦期间两商店均打折促销．甲商店全部按标价的出售，乙商店的优惠条件是购买12本以上，从第13本开始按标价的出售．设小明要购买本练习本． (1)当小明到甲商店购买时，需付款多少（请用含的式子表示）？ (2)购买多少本练习本时，两家商店花费相同？ (3)小明准备买50本练习本，为了节约开支，选择哪家更划算？ 【答案】(1) (2)本 (3)选择乙商店更划算 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及代数式求值； （1）利用总价=单价×数量，结合甲商店给出的优惠条件，即可用含x的代数式表示出到两家商店购买所需费用； （2）根据两家商店花费相同，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）分别将代入和中可求出到两家商店购买所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）小何到甲商店购买需付款（元）． （2）解：依题意得：小何到乙商店购买需付款（元）； ， 解得：． 答：买本练习本时，两家商店花费相同． （3）当时，； 当时，． ∵， ∴选择乙商店更划算． 50．某超市第一次用元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如表：（注：获利售价进价） 甲 乙 进价/（元/件） 售价/（元/件） (1)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品各多少件？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍．甲商品按原价销售，乙商品降价销售，第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多元，求第二次乙商品的售价是多少？ 【答案】(1)购进甲商品件，购进乙商品件 (2)第二次乙商品的售价为元 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，商品的打折销售问题，掌握利用一元一次方程解决商品的打折销售问题是解题的关键． （1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，利用第一次购进甲、乙两种商品的总价为元，可得，再解方程可得结论； （2）设第二次购进乙种商品是按原价打y折销售，可得：，解方程后可得答案． 【详解】（1）设购进甲商品x件，则购进乙商品件， ， 解得：， ∴， ∴购进甲商品件，购进乙商品件． （2）第二次购进甲商品件， 第二次购进乙商品（件）， 第一次利润为（元） 设第二次乙商品售价为y元， ， 解得： 第二次乙商品的售价为元． 51．盈盈超市第一次用5560元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的少12件，甲、乙两种商品的进价和零售价如下表（注：获利=售价－进价）： 甲 乙 进价（件/元） 22 30 售价（件/元） 29 40 (1)第一次进货时甲、乙两种商品各购进多少件？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的2倍，甲商品按原价销售，乙商品打折销售．第二次两种商品都销售完后盈利1392元，求第二次乙种商品是按原价打几折销售的． 【答案】(1)第一次甲，乙两种商品分别购进160件和68件 (2)第二次乙种商品是按原价打8折销售的 【分析】本题主要考查了利润一售价一进价的运用，列一元一次方程解实际问题的运用． （1）第一次甲种商品购进件， 则乙种商品的件数是，根据题意列出方程求出其解就可以； （2）设第二次种商品按打y折销售， 根据题意列出方程求出其解就可以； 【详解】（1）解：设第一次甲种商品购进件， 依题意∶ 解方程得：，则， 故第一次甲，乙两种商品分别购进160件和68件； （2）设第二次种商品按打y折销售， 依题意∶， 解得：， 故第二次乙种商品是按原价打8折销售的． 52．为了丰富学生的课余生活、拓展学生的视野，学校小卖部准备购进甲、乙两类中学生书刊若购买本甲和本乙共需要元其中甲、乙两类书刊的进价和售价如下表： 甲 乙 进价元本 售价元本 (1)求甲、乙两类书刊的进价各是多少元？ (2)第一次小卖部购进的甲、乙两类书刊共本，全部售完后总利润利润售价-进价为元，求小卖部甲、乙两类书刊分别购进多少本？ (3)第二次小卖部购进了与上次一样多的甲、乙两类书刊，由于两类书刊进价都比上次优惠了，小卖部准备对甲书刊进行打折出售，让利于学生，乙书刊价格不变，全部售完后总利润比上次还多赚元，求甲书刊打了几折？ 【答案】(1)甲类书刊的进价是元，乙类书刊的进价是元 (2)甲类书刊购进本，乙类书刊购进本 (3)甲书刊打了折 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用和找等量关系， 根据购买本甲和本乙共需要元列方程，解方程即可求解； 设甲类书刊购进本，则乙类书刊购进本，由全部售完后总利润利润售价进价为元可列方程，解方程结可求解； 设甲书刊打了折，分别求解本书的进价和售价，根据本书的利润列方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， （元）， 答：甲类书刊的进价是元，乙类书刊的进价是元． （2）设甲类书刊购进本，则乙类书刊购进本， 由题意得， 解得， 则乙类书刊购进（本）， 答：甲类书刊购进本，乙类书刊购进本． （3）设甲书刊打了折，则 本书的进价为（元）， 本书的售价为， 本书的利润为， 解得， 答：甲书刊打了折． 题型十四 方案选择问题 53．某中学组织一批学生开展社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元． (1)这批学生的人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？ (2)若租用同一种客车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用才合算？ 【答案】(1)这批学生的人数是240人，原计划租用45座客车5辆 (2)租用4辆60座客车才合算 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设原计划租用45座客车辆，根据学生的人数相同作为等量关系列出方程，解出的值即可解答； （2）分别求出租用45座客车和60座客车的租金，比较两者的大小即可得出结论． 【详解】（1）解：设原计划租用45座客车辆， 由题意得，， 解得：， 这批学生的人数为（人）， 答：这批学生的人数是240人，原计划租用45座客车5辆． （2）解：若租用45座客车，需要租用辆，租金为（元）， 若租用60座客车，需要租用辆，租金为（元）， ， 租用4辆60座客车才合算． 答：租用4辆60座客车才合算． 54．“书籍是人类进步的阶梯”，自开展全区读书宣传活动以来，某图书出租店为此开设两种租书方式．方式一：零星租书，每本收费元；方式二：会员卡租书，会员每月交会员费6元，租书费每本元．小李同学经常来该店为自己和本班同学租书，若小李同学每月租书数量为x本． (1)分别写出两种租书方式下，小李同学每月应付的租书金额（用含x的式子表示）； (2)若小李同学在一月内为班级租20本书，试问选用哪种租书方式合算？ (3)小李同学每月如何根据租书需求灵活选择省钱的租书方式？请通过计算验证你的看法． 【答案】(1)方式一：元；方式二：元 (2)选用方式二合算 (3)见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用， （1）根据题意列出代数式即可，方式一是元，方式二是元； （2）把代入两种方式下的代数式求值比大小即可； （3）先计算出两种租书方式收费一样多的租书数量x，然后分“租书数量，租书数量，租书数量”三种情况制定方案即可． 【详解】（1）解：方式一：元；方式二：元 （2）方式一：元， 方式二：元， ∴选用方式二合算． （3）解：令， 解得：， ∴当每月租书15本时，方式一和方式二都一样，当每月租书大于15本时选择方式二，当每月租书小于15本时选择方式一． 55．某服装厂生产西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一套西装赠送一条领带： 方案二：西装和领带都按定价的九折优惠． 现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带x条． (1)①若该用户按方案一购买，需付款___________元（用含x的式子表示，并化简）： ②若该用户按方案二购买，需付款___________元（用含x的式子表示，并化简）： (2)若客户现需要购买30条领带，则该客户选择哪种方案购买比较划算？请说明理由． 【答案】(1)，； (2)第一种方案，见详解． 【分析】（1）根据两种付款方式列出代数式即可； （2）将代入（1）中代数式，比较结果即可． 【详解】（1）若该客户按方案一购买， 需付款元， 若该客户按方案二购买，需付款 元； 故答案为：，； （2）当时， （元）， （元）， ，所以按方案一购买较为合算． 【点睛】本题考查了列代数式以及代数式求值，读懂题意，得出代数式是解本题的关键． 56．甲、乙两个仓库要向A、B两地运送水泥．已知甲库可调出100吨水泥，乙库可调出80吨水泥，A地需70吨水泥，B地需110吨水泥，两库到A、B两地的路程和运费如下表（表中的运费栏“元/吨，千米”表示每吨水泥运送1千米所需人民币）： 出发地 目的地 路程（千米） 运费（元/吨·千米） 甲库 乙库 甲库 乙库 A地 20 15 12 12 B地 25 20 10 8 (1)设甲库运往A地水泥x吨，则从乙库运往A地水泥___________吨． (2)用含x的式子表示出总运输费； (3)求总运费为38000时的具体运输方案． 【答案】(1) (2) (3)甲库运往A地40吨，甲库运往B地60吨，乙库运往A地30吨，乙库运往B地50吨 【分析】（1）根据A地需70吨水泥，列代数式即可； （2）根据题意，列出代数式即可； （3）使（2）中代数式等于38000，解方程求解即可． 【详解】（1）解：A地需70吨水泥，甲库运往A地水泥x吨， 则：从乙库运往A地水泥为：吨； 故答案为： （2）解：由题意得：从甲库运往地吨，从乙库运往地吨， ∴总费用， ； （3）解：， 解得：； 具体运输方案为： 甲库运往A地40吨，甲库运往B地吨， 乙库运往A地吨，乙库运往B地吨． 【点睛】本题考查列代数式，以及一元一次方程的应用．根据题意正确的列出代数式和一元一次方程是解题的关键． 题型十五 几何问题 57．已知数轴上有，两点，点表示的数为，点表示的数为． (1)当时，求线段的长； (2)若点与点关于原点对称，求点表示的数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查数轴上两点间的距离公式，一元一次方程的应用，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据两点间的距离公式进行求解即可； （2）根据关于原点对称的点表示的数互为相反数，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，点表示的数为，点表示的数为， 线段的长为． （2）点与点关于原点对称， ， 解得， 点表示的数为． 58．两个完全相同的长方形、，如图所示放置在数轴上． (1)求长方形的面积． (2)若点在线段上，且，求点在数轴上表示的数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，根据题意得出两点之间的距离是解题的关键． （1）先求出再根据长方形面积公式计算即可； （2）设点表示的数为，得出，，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∵两个长方形完全一样， ∴两个长方形的长和宽分别是， ∴长方形的面积为：； （2）解：设点表示的数为， ，， ∵， ∴， ∴ ∴点表示的数为 59．如图，点是线段上的三点，，点是的中点，． (1)求线段的长； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查线段的和差计算，一元一次方程的运用，理解线段的数量关系，正确列式表示各段的数量关系是解题的关键． （1）根据题意可得，，由即可求解； （2）根据，，设，则，可得，由即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得，， ∵， 设，则， ∴， 解得，，即， ∴， ∴． 60．如图所示，线段，点为线段上的一点，点是线段的中点，点是线段的中点， (1)求的长； (2)如果，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点，一元一次方程与线段数量关系的计算，掌握线段中点，一元一次方程的运用是解题的关键． （1）根据中点的性质可得，由即可求解； （2）设，则，根据题意可得，，解得，由此即可求解的长． 【详解】（1）解：∵点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∵点是的中点， ∴，则， ∵， ∴， 解得，，即， ∴． 题型十六 动点问题 61．如图，已知线段，点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿向点A运动，设运动时间为t秒． (1)当时，求线段的长度； (2)当时，求t的值． 【答案】(1) (2)3或5 【分析】本题考查了线段的和差关系，一元一次方程的动点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合运动速度以及运动时间得出，，再结合进行列式计算，即可作答． （2）先表达，再进行分类讨论，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，当时，， ∵， ∴ （2）解：∵点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿向点A运动，设运动时间为t秒． ∴， 分两种情况： ①相遇前，，解得， ②相遇后，，解得， 综上，t的值为3或5． 62．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为7，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动． 设运动时间为t秒（）． 【综合运用】 (1)A、B两点间的距离______，线段的中点表示的数为______； (2)用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为______，点Q表示的数为______． (3)求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数． 【答案】(1)10，2 (2)， (3)时，P、Q两点相遇；相遇点所表示的数为1 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用以及数轴，解题的关键是弄清点的运动方向、速度，并且用代数式表示运动的距离． （1）根据数轴上两点间的距离公式和线段中点的计算方法解答； （2）根据路程=时间×速度和数轴上两点间的距离公式解答； （3）根据数轴上两点间的距离公式得到，结合已知条件列出方程并解答即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为，点B表示的数为7， ∴，线段的中点表示的数为， 故答案为：10，2； （2）解：点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（）， ∴t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为， 故答案为：，； （3）解：由（2）可得t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴P、Q两点相遇时， ∴， 解得， ∴时， ∴， ∴相遇点所表示的数为1 63．已知数轴上有A，B两点，分别表示的数是，8，点A以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒2个单位长度向左匀速运动，设运动时间为． (1)点A运动后所在位置表示的数为 ；点B运动后所在位置表示的数为 ． (2)它们按上述方式运动，A，B两点经过多少秒会相遇，相遇点所表示的数是什么？ (3)它们按上述方式运动，A，B两点经过多少秒后相距2个单位长度？ 【答案】(1)；2 (2)A，B两点经过秒会相遇，相遇点所表示的数是 (3)4或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点距离，数轴上动点问题，数形结合是解题的关键． （1）根据运动方向和数轴的方向，路程等于速度乘以时间，即可求得t秒后A，B点表示的数； （2）先求出A，B之间的距离，再根据相遇时两点表示的数相等，据此列出一元一次方程解方程求解即可，进而求得相遇点所表示的数； （3）分两种情况，列出一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵A点表示的数是，点A以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴点A运动后所在位置表示的数为； ∵B点表示的数是8，点B以每秒2个单位长度向左匀速运动， ∴点B运动后所在位置表示的数为； 故答案为：；2 （2）解：∵A，B两点分别表示的数是，8， ∴A，B之间的距离为， 根据题意得：， 解得：， 此时相遇点所表示的数是； 即A，B两点经过秒会相遇，相遇点所表示的数是； （3）解：当两点相遇前相距2个单位长度时， ， 解得：； 当两点相遇后相距2个单位长度时，， 解得：； 综上所述，A，B两点经过4或秒后相距2个单位长度． 64．【知识拓展】学习绝对值的定义我们知道，的意义是数轴上表示数的点到原点的距离．由于原点表示的数是0，因此可以看作，那么的意义可以看作为数轴上表示数与0的两点间的距离．这个结论还可以推广为：的意义为数轴上表示数与的两点间的距离，若表示数的点是点，表示数的点是点，则线段；若线段的中点为，点表示的数是，则． 例如，点表示的数是5，点表示的数是7，则线段；若线段的中点为，点表示的数是，则． 若的意义为数轴上表示数与5的两点间的距离是2，则的值为3或7． 【拓展应用】 (1)若，则的值为_____；若，则的值为_____； (2)已知数轴上，两点对应数分别为和9，为数轴上一点，对应的数为． 当点在，两点之间且时，求的值； (3)在（2）的条件下，点，，同时开始在数轴上分别以每秒3个单位长度、每秒2个单位长度、每秒1个单位长度沿数轴正方向运动．设、、三点运动时间为秒， ①则运动秒后点表示的数为_____，点表示的数为_____，点表示的数为_____．（用含的式子表示）； ②若秒钟过后，，，三点中恰有一点为另外两点的中点，求值． 【答案】(1)5或；或 (2) (3)①；；②6或0 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及绝对值，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）由，可得或，解之可得出的值； 由，可得或，解之可得出的值； （2）根据点在，两点之间且，可得为中点，代入公式计算即可； （3）①分别用、、表示的数加上各自的运动长度即可； ②分B是的中点、A是的中点、P是中点三种情况根据中点公式列方程解答即可． 【详解】（1）解： 即或 解得或； 即或 解得或； （2）因为点在，两点之间且，，两点对应数分别为和9， 所以为中点， ； （3）①；； ②当B是的中点时，无解，此种情况不存在； 当A是的中点时；解得； 当P是中点时；解得； 所以的值为6或0． 题型十七 和差倍分问题 易｜错｜点｜拨 1基本量及关系：增长量＝原有量×增长率， 现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量． 2、寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 65．某工业园区机械厂的一个车间主要负责生产螺丝和螺母，该车间有工人44人，其中女工人人数比男工人的2倍少10人，该车间男工人有多少人？ 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，合理列出方程是解题的关键． 设男工人有人，则女工人有人，利用男工人人数女工人人数总人数列式运算即可． 【详解】解：设男工人有人，则女工人有人， 由题意可得： 解得：， 答：该车间男工人有人． 66．方程是一种重要的工具，利用它可以解决很多问题．试用一元一次方程解决以下两个问题： (1)某幼儿园给小朋友分苹果，若每个小朋友分3个则剩1个；若每个小朋友分4个则少2个，问有多少个小朋友？”若设共有个小朋友，则列出的方程是______． (2)某校综合实践小分队成一列在野外拓展训练，在队伍中的队长数了一下他前后的人数，发现他前面人数是他后面的三倍，他往前超了5位队友后，发现他前面的人数和他后面的人数一样多．这列队伍一共有多少名学生？ 【答案】(1) (2)21 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，读懂题意、找到所求的量的等量关系并列出方程是解题的关键． （1）设共有x个小朋友，根据“若每个小朋友分3个则剩1个；若每个小朋友分4个则少2个”以及苹果的个数不变列出方程即可； （2）设开始队长后面有x名学生，由“他前面人数是他后面的三倍，他往前超了5位队友后，发现他前面的人数和他后面的人数一样多”列出方程并解答即可． 【详解】（1）解：设共有x个小朋友，根据题意得：． 故答案为：． （2）解：设开始队长后面有x名学生， 由题意得， 解得：， 共有学生（名）， 答：这列队伍一共有21名学生． 67．列方程解答下面的问题． 某校组织师生去郊外进行植树活动，共有28人参加．为了减少碳排放，大家可以选择乘坐电动巴士或步行．已知步行的人数比乘坐电动巴士人数的3倍少4人．请问有多少人选择乘坐电动巴士？ 【答案】8 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设选择乘坐电动巴士的有人，则步行的人数为人，根据共有28人参加列出一元一次方程即可，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：设选择乘坐电动巴士的有人，则步行的人数为人， 由题意可得：， 解得：， 故有人选择乘坐电动巴士． 68．为落实国家关于中学生信息素养提升的若干要求，提升学生的信息素养，南湖未来学校举行了中学生信息素养提升实践活动．据统计，七年级和八年级共创作作品159个，且七年级创作的作品数量是八年级创作的作品数量的还少6个，求七年级创作的作品有多少个． 【答案】60个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设七年级创作的作品有x个，八年级创作的作品有y个，根据“七年级和八年级共创作作品159个，且七年级创作的作品数量是八年级创作的作品数量的还少6个”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设七年级创作的作品有x个，八年级创作的作品有y个， 根据题意得：， 解得：． 答：七年级创作的作品有60个． 题型十八 水电费问题 69．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费价格见价目表： 水费价格表 每月用水量 单价 不超过的部分 2 超过不超过的部分 4 超过的部分 8 （注：水费按月结算） (1)若某户居民1月份用水，则应缴水费多少元？ (2)若某户居民2月份缴水费40元，求该户居民2月份的用水量． 【答案】(1)20元 (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 对于（1），先确定用水量属于第二档，再求出水费即可； 对于（2），先确定该用户属于超过用水量，再根据水费相等列出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以（元）， 所以某户居民1月份用水，应缴水费20元； （2）解：第一档最高水费为（元）； 第二档最高水费为（元）； 可知， 所以该用户用水量超过10，设用水量为x，根据题意，得 ， 解得（）． 所以该用户2月份的用水量为11.5． 70．某地政府为鼓励节约用电，采用阶梯式电价计量标准，根据每户居民每月的用电量（用电量均为整数，单位：度）分为三档进行收费（第一档：月用电量不超过240度，第二档：月用电量为240～400度，第三档：月用电量超过400度）．设居民每月用电量为（度），收费标准如表． 月用电量（度） 收费（元） 不超过240度 每度元 超过240～400度 超过240度的部分每度元 超过400度 超过400度的部分每度元 (1)每月用电量不超过240度，应交电费 元；每月用电量超过400度，应交电费 元；（两空均填含的代数式） (2)若某户居民月用电量为150度，求应交电费多少元？ (3)若某户居民某月交费231元，求该户居民用电多少度？ 【答案】(1)； (2)应交电费元 (3)该户居民用电372度 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）利用每月应交电费月用电量，即可得出结论；利用每月应交电费超过400度的部分，即可得出结论； （2）利用每月应交电费月用电量，即可求出结论； （3）根据该户居民某月交费231元，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，每月用电量不超过240度，应交电费． 根据题意得，每月用电量超过400度，应交电费． 故答案为：；； （2）解：根据题意可得元， 答：应交电费82.5元； （3）解：（元，（元，， ． 根据题意得：， 解得：． 答：该户居民用电度． 71．为鼓励市民节约资源，某市实施阶梯电价制，居民生活用电价格表如下： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超出200度的部分 第2档 超出200度但不超出400度的部分 第3档 超出400度的部分 例如：若某用户2025年7月份的用电量为270度，则需缴电费为： （元）．设小辰家8月份用电量为x度． (1)若小辰家8月份用电量属于第2档，请用含x的代数式表示出她家8月应缴的电费金额； (2)若小辰家8月份所缴电费是190元，则她家8月份用电多少度? 【答案】(1)小辰家8月应缴的电费金额是元 (2)她家8月份用电350度 【分析】本题考查了列代数式，有理数的混合运算，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，结合8月份用电量属于第2档，进行列式计算化简，即可作答． （2）分别算出第一档和第二档的电费最大值，再结合8月份所缴电费是190元，进行分析，列出方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵小辰家8月份用电量属于第2档， ∴元． ∴小辰家8月应缴的电费金额是元； （2）解：依题意，（元）， （元）， ∵小辰家8月份所缴电费是190元，且， ∴小辰家8月份用电量属于第2档， ∴设她家8月份用电度 ∴， 解得：， 故她家8月份用电350度． 72．为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量 单价/（元/） 第一档 5 第二档 7 第三档 9 (1)当时，写出水费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用水量是，求该户这一年的水费； (3)某户去年一年的水费是1820元，求该户去年一年的用水量． 【答案】(1) (2)该户这一年的水费是元 (3)该户去年一年的用水量是 【分析】本题考查了列代数式，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据用水量及分档计费标准且结合进行列式化简，即可作答． （2）结合（1），得当时，，故代入进行计算，即可作答． （3）先充分分析题意，得出水费在第三档，再结合第三档的计费方式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，当时，； （2）解：由（1）得当时， 当时，， 答：该户这一年的水费是1040元； （3）解：依题意，；； ∵ ∴水费在第三档， 当时，可知， 令，即， 解得， 答：该户去年一年的用水量是． 题型十九 行程问题 易｜错｜点｜拨 1、三个基本量间的关系：路程=速度×时间 2、基本类型有： ①相遇问题（或相向问题）： Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题： Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ．寻找相等关系： 第一、同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第二、同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题： Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． 3、解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 73．A，B两站间的距离为，一辆慢车从站出发，每小时行驶；一辆快车从站出发，每小时行驶．若两车同时开出，相向而行，则出发多少小时后相遇？ 【答案】出发3.2小时后相遇 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；设出发x小时后相遇，由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】解：设出发x小时后相遇，由题意得： ， 解得：； 答：出发3.2小时后相遇． 74．甲乙两地相距，一列慢车从甲地开出，每小时行驶，一列快车从乙地开出，每小时行驶． (1)若两列车同时开出，相向而行，经过多少小时两列车相遇？ (2)若快车先开出，两列车相向而行，慢车开出多少小时两列车相遇？ 【答案】(1)2小时 (2)小时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）利用两车的速度结合甲、乙两地相距，得出等式求出答案； （2）利用快车先开出，再加上两列车以后行驶的路程总路程，进而列出方程求解． 【详解】（1）解：设经过x小时两列车相遇，根据题意可得： ， 解得：， 答：经过2小时两列车相遇； （2）解：设慢车开出x小时后两列车相遇，根据题意可得： ， 解得：， 答：慢车开出小时后两列车相遇． 75．我国高速铁路飞速发展，为了解“复兴号”列车的长度和行驶速度，小明所在的学习小组开展了一次课外探究活动．他们分工合作，在一架长的铁路桥附近进行了观察、测量和计算：“复兴号”列车从开始上桥到完全过桥的时间约为，列车完全在桥上的时间约为．你能根据该小组同学获得的数据，求出“复兴号”列车过桥时的速度和列车的长度吗？ 【答案】速度为，车长为 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设此列高铁的车长为，利用，结合该列高铁的速度不变，即可得出x的一元一次方程，解之即可求出此列高铁的车长，再将其代入中即可求出此列高铁的车速． 【详解】解：设此列高铁的车长为， 依题意得： 解得： 答：“复兴号”列车过桥时的速度为，车长为． 76．轻音部在夏日合宿时乘坐轮船出海游玩，轮船航行于A，B两个码头之间．她们测出水的流速为，轮船以相同的速度，顺水航行需要，逆水航行需要．求轮船的速度和A，B两个码头之间的距离． 【答案】轮船的速度为，A，B两个码头之间的距离为 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设A、B码头之间的距离为千米，根据船在静水中速度来得到等量关系为：航程÷顺水时间−水流速度=航程÷逆水时间+水流速度，进行列式，再把相关数值代入进行计算，即可求出答案． 【详解】解：设A、B码头之间的距离为千米， 根据题意，得， 解得：， 则， ∴轮船的速度为，A，B两个码头之间的距离为． 题型二十 一元一次方程的新定义问题 77．定义：我们称使等式成立的一对有理数为“相关有理数对”，记为．例如当，时，，，则是“相关有理数对”． (1)判断是否为“相关有理数对”，并说明理由； (2)若是“相关有理数对”，求m的值； (3)若是“相关有理数对”，请你判断是否为“相关有理数对”，并说明理由． 【答案】(1)是“相关有理数对”，理由见解析 (2) (3)是“相关有理数对”，理由见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，分别计算，，再结合“相关有理数对”的定义进行分析，即可作答． （2）根据“相关有理数对”的定义进行列式计算，即可作答． （3）先由是“相关有理数对”，得出，再整理，，即，故是“相关有理数对”． 【详解】（1）解： 是“相关有理数对”，理由如下： 依题意，，， 即， 则是“相关有理数对”； （2）解：是相关有理数对， ， 解得：； （3）解：是“相关有理数对”，理由如下： 是“相关有理数对”， ， ，， ， 是“相关有理数对” 78．【阅读材料】在学习一元一次方程后，数学老师给出一个新定义：若x是关于x的一元一次方程的解，y是关于y的方程的解或所有解的其中一个解，且x，y满足，则称关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”． (1)已知关于y的方程：①；②．请通过计算说明哪个方程是一元一次方程的“友好方程”？ (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”，求a的值． 【答案】(1)②是的“友好方程” (2)或 【分析】本题主要考查新定义下解一元一次方程和一元一次方程的解的定义，正确理解题意是解题的关键． （1）首先解关于x的方程，求得x的值，再分别解关于y的方程求得y的值，进一步根据“友好方程”的定义判断即可； （2）首先解关于y的方程求得y的值，再分别求得与其“友好方程”的x的值，进一步求得a即可． 【详解】（1）解：解方程得， 解方程，解得， ∵， ∴①不是的“友好方程”． 解方程得或． 当时，，则②是的“友好方程”． （2）解：解方程得或， ∵关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”， ∴当时，由题意，得， 将代入，得，解得， 当时，由题意得， 将代入，得，解得． 则a的值为或． 79．新定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“1方程”．例如：方程和为“1方程”． (1)若关于的方程与方程是“1方程”，求的值； (2)若“1方程”的两个解的差为8，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“1方程”，求关于的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义： （1）先解方程得，根据“1方程”的定义得到关于的方程的解为，则，解得； （2）由题意得，另一个解为，则根据“1方程”的定义得到或，解方程即可得到答案； （3）先解方程得：，根据“1方程”的定义得到关于的方程的解为，进而得到关于的方程的解为，即可求解． 【详解】（1）解：解方程得， ∵关于的方程与方程是“1方程”， ∴关于的方程的解为， ∴， ∴； （2）解：由题意得，另一个解为， ∵“1方程”的两个解的差为8， ∴或， 解得或； （3）解：解方程得：， ∵关于的一元一次方程和是“1方程”， ∴关于的一元一次方程的解为， ∴关于的一元一次方程的解为， 即的解为， ∴关于的方程的解为 解得： 80．我们定义：对于数对，若，则称为“差积等数对”．如：因为，，所以，都是“差积等数对”． (1)下列数对中，是“差积等数对”的是________；（填序号） ①；②；③． (2)若是“差积等数对”，求的值； (3)若是“差积等数对”，求代数式的值． 【答案】(1)①② (2) (3)11 【分析】本题考查了有理数的减法与乘法、一元一次方程的应用、整式加减中的化简求值，熟练掌握运算法则和方程的解法是解题关键． （1）根据“差积等数对”的定义，分别求出每个数对中两个数的差与积，由此即可得； （2）根据“差积等数对”的定义列出方程，解方程即可得； （3）根据“差积等数对”的定义可得，再去括号，计算整式的加减，代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴是“差积等数对”； ∵，， ∴， ∴是“差积等数对”； ∵，， ∴， ∴不是“差积等数对”； 故答案为：①②． （2）解：∵是“差积等数对”， ∴， 解得． （3）解：∵是“差积等数对”， ∴， ∴ ． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级上·河北·期末）方程的解为（   ） A．2 B．3 C．5 D．0 【答案】C 【分析】此题主要考查一元一次方程的求解，解题的关键是熟知等式的性质和一元一次方程的解法.根据等式的性质即可求解一元一次方程. 【详解】解： 移项得， 解得： 故选：C． 2．（24-25七年级上·河北唐山·期末）解方程时，去分母的步骤如图：则“□”内填的数是（   ） A．2 B．4 C．6 D．12 【答案】D 【分析】此题考查了解一元一次方程的去分母．根据去分母的步骤进行解答即可． 【详解】解： 两边同乘以6得到， 故“□”内填的数是12， 故选：D 3．（24-25七年级上·河北邢台·期末）我国古代有很多经典的数学古算诗，其中一首是：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”大意：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．根据题意，列方程得． 甲同学认为：表示竹竿的数量． 乙同学认为：表示牧童的人数． 以下对这两位同学的看法判断正确的是（    ） A．甲、乙都正确 B．甲、乙都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿，列方程得，其中的表示牧童的人数，然后进行判断得出答案即可． 【详解】解：∵根据每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿，列出方程， ∴表示牧童的人数，不能表示竹竿的数量， ∴甲错误，乙正确， 故选：D． 4．（24-25七年级上·北京顺义·期末）下列变形中，正确的是（      ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．解题的关键是熟练掌握等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数等式性质不变，等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数等式仍然成立． 【详解】解：若，则或，故选项A不符合题意； 若，则，故选项B不符合题意； 当时，若，则，故选项C不符合题意； 若，则，故选项D符合题意； 故选：D． 5．（24-25七年级上·河北承德·期末）如图所示的框图表示淇淇解方程的流程． 出现错误的步骤是 （用流程中的序号表示）． 【答案】④ 【分析】本题考查了解一元一次方程，其步骤是：移项，合并同类项，未知数的系数化为. 根据解一元一次方程的步骤判断即可 【详解】解： ， 出现错误的步骤是④， 故答案为：④. 6．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）小强在解方程时，不小心把一个数字用墨水污染，方程变成了，他翻阅了答案知道这个方程的解为，于是他判断被墨水污染的数字应该是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了方程的解的定义，设墨水污染的数为a，把代入方程得到一个关于a的方程，解方程求得a的值． 【详解】解：设墨水污染的数为a，把代入得： ， 解得， 故答案为：． 7．（23-24七年级上·云南昭通·期末）如果方程是关于的一元一次方程，那么 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，理解一元一次方程的定义是解题的关键． 根据一元一次方程的定义得到，求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴， 解得：， 故答案为：3． 8．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知是关于x的一元一次方程，则 ，方程的解 ． 【答案】 1 【分析】根据一元一次方程的定义及解一元一次方程，即可解答． 【详解】解：∵（m-3）x|m|-2+6=0是关于x的一元一次方程， ∴|m|-2=1且m-3≠0， ∴m=-3． 方程为-6x+6=0， 解得x=1． 故答案为：-3，1． 【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，即只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1次的整式方程，还涉及解一元一次方程，解决本题的关键是熟记一元一次方程的定义． 9．（23-24七年级上·河北邯郸·期末）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，正确计算是解题的关键： （1）移项，合并同类项，系数化为1，求解即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求解即可． 【详解】（1）解： 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：． 10．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）如图是某校运动场的平面图，学校计划在硬化的中心区域（阴影部分）铺设人造草坪，中心区域最中间是长方形，长为米，两端为两个半圆，半径为米． (1)运动场中心区域周长为_____米；（结果用含、的代数式表示，保留）； (2)若，且运动场中心区域周长为400米． ①求半径（取3）； ②在①的条件下，若人造草坪每平方米60元，则学校共需付多少铺设费用？（取3）． 【答案】(1) (2)①；②600000元 【分析】本题主要考查圆的周长，面积的计算，代数式的运用，一元一次方程的运用，理解数量关系，一元一次方程的运用是解题的关键． （1）根据图示，圆的周长的计算方法计算即可； （2）①代入计算即可求解；②根据图示先计算出阴影部分的面积，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：中心区域周长等于长方形的两条长与圆的周长的和， ∴运动场中心区域周长为， 故答案为：； （2）解：①，且运动场中心区域周长为400米， ， ， ； ②中心区域（阴影部分）面积， 铺设费用（元）， 学校共需付铺设费用600000元． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 11．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）方程被阴影盖住的是一个常数，此方程的解是，这个常数是(    ) A． B．0 C．5 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，将代入方程计算可求解这个常数，理解一元一次方程解的概念是解题的关键． 【详解】解：设被阴影盖住的常数为， 将代入原方程，得， 解得： 故选：A． 12．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）在解方程时，去分母正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程，在去分母时，方程两边同时乘以分母2和3的最小公倍数6，注意每一项都要乘以6，包括常数项，且保持括号正确. 【详解】解：， 方程两边同时乘以6，得： 化简得：， ∴去分母正确的是选项B 故选：B． 13．（25-26七年级上·全国·单元测试）《九章算术》是一部与现代数学的主流思想完全吻合的中国数学经典著作．其中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？意思是：有若干人共同购买某种物品，如果每人出8钱，则多3钱；如果每人出7钱，则少4钱，问共有多少人？物品的价格是多少钱？用一元一次方程的知识解答上述问题，设共有x人，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查一元一次方程的应用，正确理解“盈”和“不足”的含义是关键． 根据物品价格相等列方程即可． 【详解】解：∵每人出8钱，盈3钱， ∴物价为； ∵每人出7钱，不足4钱， ∴物价为． ∴． 故选：A． 14．（24-25七年级上·河北邢台·期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先将方程可变形为，根据关于的一元一次方程的解为，得出关于的一元一次方程的解满足，求出y的值，即可得出答案． 【详解】解：方程可变形为， 因为关于的一元一次方程的解为， 所以关于的一元一次方程的解满足， 解得：， 所以关于的方程的解为． 故选：C． 15．（25-26七年级上·重庆·期末）如果方程与关于的方程的解相同，则的值是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了方程的解及解一元一次方程，解题的关键是掌握方程的解的定义． 先求解方程得到的值，再将此值代入方程中求解． 【详解】解：解方程 ， 移项得 ， 即， 解得， 将代入方程，得， 两边同乘4得， 移项得， 故答案为：9 16．任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，现以无限循环小数为例说明如下：设，由可知，，所以，计算可得，于是，．请你把写成分数的形式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设，则，则可得，据此可得答案． 【详解】解：设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）哥哥8岁，妈妈32岁，弟弟年龄的16倍加上哥哥的年龄正好等于爸爸的年龄，弟弟年龄的4倍加上妈妈的年龄也恰好等于爸爸的年龄，那么弟弟的年龄是多大？ 解：设弟弟的年龄为x岁，则有： 嘉嘉同学的解法：移项得： 合并同类项得：，系数化为1得： 琪琪同学的解法：移项得：，， 两边同除以，得： （1）弟弟的年龄是 岁． （2）琪琪得出错误的结论的原因是 ． 【答案】 忽略了 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用及其解法； （1）根据嘉嘉同学的解法可得答案； （2）根据等式的基本性质：等式两边都除以同一个不为0的数或整式，所得的结果仍然是等式，从而可得答案． 【详解】解：（1）设弟弟的年龄为x岁，则有： 移项得： 合并同类项得：， 系数化为1得： 故答案为：； （2）∵只有当时，两边才能同除以； ∴琪琪得出错误的结论的原因是：忽略了． 故答案为：忽略了． 18．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）四季雪面粉厂生产分装两种不同重量的面粉，两种产品每天合计分装袋，两种产品的成本和售价如下表，设每天分装种面粉袋． 成本（元/袋） 售价（元/袋） 种面粉 种面粉 （1）每天两种面粉的生产成本分别是 元和 元（用含的整式表示并化简）； （2）若每天销售这两种产品所获得的总利润是元，则 ． 【答案】 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用，熟练掌握经济类实际问题的数量关系，能根据题意列式是解题的关键． （1）根据单价乘以数量等于总价，列出代数式即可； （2）根据两种产品的总利润为元，列出方程进行求解即可． 【详解】解：（1）设每天分装种面粉袋， 则每天分装种面粉袋， 由表知种面粉成本为元/袋，种面粉成本为元/袋， 则种面粉每天的生产成本是元， 种面粉每天的生产成本是（元）， 故答案为：；； （2）由题意，得：， 解得：， 故答案为：． 19．（24-25七年级上·河北唐山·期末）下面是“小迷糊”同学解方程时的部分解题过程，同桌在给他检查时发现每一步都有错误，请你帮助他改正并写出完整的解答过程． 解：去分母，，第一步 去括号，，第二步 移项，，第三步 (1)其中第三步错误的原因是______． (2)请你写出正确的解答过程． (3)请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程还需要注意的事项提一条建议． 【答案】(1)移项时没有变号 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查一元一次方程的解法，解题关键是掌握解方程各步骤的正确操作，如去分母，去括号，移项等规则． 分析原解题过程错误，再按正确步骤解方程，最后提解一元一次方程的注意事项． （1）根据解方程的步骤进行分析，即可得到答案； （2）依次去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，即可解方程； （3）解一元一次方程时，移项时注意变号等建议． 【详解】（1）第三步错误的原因是移项时没有变号； （2） 去分母， 去括号， 移项， 合并同类项， 系数化为1，； （3）去分母时，要防止漏乘；括号前面是减号，去掉括号时里面各项都要变号；移项要变号（答案不唯一）． 20．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）我们都知道乌鸦喝水的故事，现在来做一个道理相同的游戏：如图，在圆柱形玻璃桶里已有一定量的水，将大小相同的围棋子一个个慢慢投入其中，显然，在有水溢出之前，每投入一个棋子，桶里水位的高度都会有变化． (1)投入第一个棋子后，水位上升了多少厘米？ (2)设投入了个棋子，且没有水溢出．此时桶里水位的高度是，试用含的式子表示． (3)嘉琪经过思考和计算以后，认为投入72个棋子，正好可使水位达到桶的高度．你同意他的观点吗？说说理由． 【答案】(1) (2) (3)同意，理由见解析 【分析】本题主要考查代数式的运用一元一次方程的运用，理解数量关系，正确列式计算是关键． （1）根据题意，投入12个棋子，水位上升了，由此即可求解投入一个棋子，水位上升； （2）根据（1）的计算代入即可； （3）把代入（2）的式子计算即可求解． 【详解】（1）解：已知投入12个棋子，水位上升了， ∴投入一个棋子，水位上升． （2）解：∵投入一个棋子，水位上升， ∴投入了个棋子，且没有水溢出此时桶里水位的高度； （3）解：当时，，恰好达到玻璃桶的高度， ∴同意嘉琪的观点． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 21．（24-25七年级上·天津和平·期末）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．根据等式的性质解答即可． 【详解】解：A、若，则，不符合题意． B、若，则，不符合题意． C、若时， 才成立，符合题意． D、若，则，不符合题意． 故选：C． 22．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）我国古代数学著作《算法统宗》中有一首诗的大意为：有一批客人去住店，如果每一间客房住7个人，那么就有5个人没有房住；如果每一间客房住9个人，那么就会多出来一间房，这批住店的客人共(        ) A．63人 B．54人 C．45人 D．72人 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设客人总数为x人，根据房间数相等列方程求解． 【详解】解：设这批住店的客人共人． ∵住7人时，有5人没房住，∴房间数为． ∵住9人时，多出一间房，即客人按每间9人住，住满了间房后，还空1间房，∴房间数为． ∴． 两边同乘63得：， 即， ∴， ∴． 故选：B． 23．（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图所示，已知数轴上点A表示的数为8，点B表示的数为．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒．若点P、Q同时出发，当P、Q两点相距2个单位长度时，t的值为（   ） A．3 B．4 C．3或4 D．3或5 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，绝对值的方程求两点之间的距离问题．根据数轴上点的平移性质列出带有绝对值的方程，最后求解即可． 【详解】解：设运动时间为t秒，所以P表示的数是，Q表示的数是， 由题意得，即， 解得或， 故选：C． 24．（24-25七年级上·全国·阶段练习）如图，在大长方形（是宽）中放入6个长、宽都相同的小长方形，尺寸如图所示，求小长方形的宽．设，有下列分析思路：①以小长方形的长作相等关系可得方程；②以大长方形的长作相等关系可得方程．其中，正确的是（    ） A．①正确，②不完全正确 B．①不完全正确，②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据小长方形的长相等或大长方形的长相等，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：依题意找小长方形的长作为相等关系得； 找大长方形的宽相等关系得：． 故选：A． 25．（24-25七年级上·河北邢台·期末）盒子里有若干个相同的小球，甲取走一半后，乙又取走剩余的三分之一，丙再取走5个，这时，还剩3个，则盒子里原有 个小球． 【答案】24 【分析】本题主要考查一次方程的应用，设盒子原来有小球x个，取走一半后剩下,又取走，再取走5个，以小球的总数作为等量关系可列方程求解． 【详解】解：设盒子原来有小球x个． ， 解得，． 所以，盒子里有24个小球． 故答案为：24． 26．（24-25七年级上·北京·期末）若互为相反数，互为倒数，的绝对值等于2，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，根据相反数的定义，倒数的定义，绝对值的意义，得到，整体代入方程中，解方程即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵，即：， 解得：； 故答案为： 27．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在直角三角形中，，，，点P从点A开始以的速度向点B移动，点Q从点C开始以的速度沿的方向移动．如果点P，Q同时出发，点P到达点B时，P，Q两点都停止运动．设移动时间为t（），当时， s． 【答案】1或5 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．正确表示出和是解题的关键． 首先表示出，或，然后分两种情况：点Q在上运动和点Q在上运动，然后根据列方程求解即可． 【详解】解：因为点Q从点C开始以3cm/s 的速度沿C→A→B 的方向移动，移动时间用t（）表示， 所以当点Q在上运动时，， 所以， 分两种情况： ①当点Q在上运动时，，即， 解得； ②当点Q在上运动时，，即， 解得，此时点P与点Q同时到达点B， 综上所述，t的值为1或5． 故答案为：1或5． 28．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）体育课上，体育老师要求男、女各站成一队，记男生队为A队，女生队为B队． （1） 已知A队有32人，B队有28人，从A队调a人到B队后，B队人数比A队剩余人数的2倍多3人，则a的值为 ； （2） 设A队有x人， B队有人， 从A队调m人到B队， 则此时B队比A队多 人； 接下来，又从B队回调m人到A队 （，回调的人数里有男有女），则回调后A队中的女生人数和B队中的男生人数是否相同？ （填“是”或“否”）． 【答案】 13 是 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，整式的加减，解（1）的关键是根据题意列出方程，解（2）的关键是正确列出算式． （1）根据从A队调a人到B队后，B队人数比A队剩余人数的2倍多3人列方程求解即可； （2）用调配后B队人数减去调配后A队人数可求出此时B队比A队多的人数；设回调的m人中有n名男生，分别表示出A队的女生数和B队的男生数即可解答． 【详解】解：（1）由题意得 ， 解得． 故答案为：13． （2）∵调配后A队有人，B队有人， ∴此时B队比A队多：人； 设回调的m人中有n名男生， 则回调后A队的女生数有人，回调后B队的男生数有人， ∴回调后A队中的女生人数和B队中的男生人数相同． 故答案为：，是． 29．（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，O为数轴原点，点M，N在数轴上，点M在原点O左侧，点N在原点O右侧，且，．蚂蚁P从点N出发，以3个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，同时蚂蚁Q从点M出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴运动．设点P，Q的运动时间t（秒）． (1)点M表示的数为 ；点N表示的数为 ； (2)用含t的代数式表示经过t秒时点P表示的数； (3)若蚂蚁Q沿数轴向右运动，当两只蚂蚁之间的距离为6时，求t的值； (4)蚂蚁Q沿数轴向左运动，若无论t取何值，（m为常数）的值始终固定不变，求m的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4) 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，代数式表示，一元一次方程的应用，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据数轴上两点之间的距离求解，即可解题； （2）根据点P的运动情况，结合数轴上两点之间的距离求解，即可解题； （3）用t表示出点P、Q两点运动过程中表示的数，然后根据“两只蚂蚁之间的距离为6”分情况列方程求解，即可解题； （4）用m、t表示出，然后根据值始终固定不变可求出m的值． 【详解】（1）解：O为数轴原点，点M在原点O左侧，点N在原点O右侧，，． 点M表示的数为，点N表示的数为， 故答案为：，． （2）解：经过t秒时点P表示的数为； （3）解：蚂蚁Q沿数轴向右运动，经过t秒时点Q表示的数为， 两只蚂蚁之间的距离为6， 或， 解得或； （4）解：蚂蚁Q沿数轴向左运动，经过t秒时点Q表示的数为， ， 经过t秒时， 无论t取何值，（m为常数）的值始终固定不变， 中， 解得． 30．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）如图，在长方形中，，点E是边上的一点，分别长，满足．动点P从B点出发，以的速度沿运动，最终到达点D．设运动时间为． (1)___________，__________． (2)把四边形的周长平分，求t的值？ (3)另有一点Q从点E出发，按照的路径运动，且速度为，若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．___________时，的面积等于． 【答案】(1)6；6 (2) (3)3或或10 【分析】本题主要考查了矩形的性质、三角形的面积和绝对值与偶次方的非负性，解题关键是利用分类讨论的数学思想解决问题． （1）根据偶次方和绝对值的非负性，列出关于a，b的方程，解方程求出a，b即可； （2）先根据已知条件求出，，再根据把四边形的周长平分列出关于t的方程，解方程求出t即可； （3）分三种情况讨论：①点P在上时，②相遇前，点P在上，③相遇后，点P与点D重合，Q都在上，分别画出图形，再根据面积公式进行解答即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，； （2）解：∵，， ∴，， ∵运动时间为， ∴，， ∵把四边形的周长平分， ∴， ， 解得：； （3）解：分三种情况讨论： ①点P在上时，如图所示： ∵的面积， ， 解得：； ②相遇前，点P在上， 由题意得：，， ∴ ， ∴的面积， ， 解得：； ③相遇后，点P与点D重合，P，Q都在上，如图所示： 由题意得：，， ∴， ∴， ∴的面积， ， 解得：， ∴或或10， 故答案为：3或或10． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一元一次方程（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 方程的概念与解 掌握方程的概念和方程的解； 基础必考点，一般出现在小题中，难度不大 等式的性质 掌握等式的基本性质，学会用等式的基本性质解方程； 基础必考点，一般出现在小题中，做题时要结合等式的性质来思考 一元一次方程的概念 掌握一元一次方程的概念，注意一元一次方程一次项系数不能为0； 基础常考点，一般出现在小题中 一元一次方程的解法 掌握一元一次方程的解法，会用消元法解较为复杂的一元一次方程 重要考点，一般出现在计算题 一元一次方程解的关系 掌握一元一次方程解的关系，如同解，相反数等 常考点，小题和解答题中均会出现 根据一元一次方程的解求参数 掌握一元一次方程的解求参数题型，要注意分析题意，得出结果后可以代入理解 常考点，一般出现在小题中 一元一次方程的实际应用 掌握一元一次方程各类实际应用题型 必考点，一般出现在解答题中，小题考查时难度不大 一元一次方程的新定义问题 掌握一元一次方程的新定义问题 重要考点，一般出现在解答题中，重点考查学生对一元一次方程的深度理解 知识点01 一元一次方程的相关概念 一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程. 一元一次方程的标准形式：ax+b=0（a、b是常数，且a≠0）. 方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解. 解方程：求方程的解得过程叫做解方程. 【易错易混】 1）方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个具体的数值，而解方程是求方程的解的过程； 2）方程的解是通过解方程求得的. 3）方程的解可能不止一个（如x=2和x=-2都是方程的解），也有可能无解（如无解）. 知识点02 等式的性质 等式的性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数（或同一个式子），所得的结果仍是等式.即： 如果a=b，那么a±c=a±c 等式的性质2：等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个不为0的数，结果仍相等.即： 如果a=b，那么ac = bc； 如果 a=b(c≠0)，那么 = 等式的性质3：如果a=b，则b=a （对称性） 等式的性质4：如果a=b，b=c，则a=c （传递性） 【易错易混】 1）利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算. 2）等式两边同时除以一个字母时，字母不能为0，若题目没有注明该字母不为0，那么这个变形就不成立. 知识点03 一元一次方程的解法 基本思路：通过适当的变形，把一元一次方程化简为ax=b（a、b为常数，且a≠0）的形式，得出方程的解为x=. 步骤 具体做法 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 移项 把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边 合并同类项 把方程变为ax=b（a≠0 )的形式 系数化为1 将方程两边都除以未知数系数a，得到方程的解x= 【补充说明】解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号. 知识点04 一元一次方程的实际应用 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤： 审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； 列：根据题中相等关系，列出方程； 解：解所列出的方程； 验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 答：写出答案，包括单位. 题型一 方程的定义 易｜错｜点｜拨 1．方程：含有未知数的等式叫作方程； 2．方程必备的两个条件：①是等式；②含有未知数； 3．方程一定是等式，等式不一定是方程. 1．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是方程的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．下列各式中①，②，③，④，⑤，⑥．其中是方程的有（   ） A．①②④⑤ B．②③⑤⑥ C．②④⑤⑥ D．①②⑤⑥ 4．下列各式中 是等式， 是方程(填序号)． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． 题型二 方程的解 易｜错｜点｜拨 1．方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个具体的数值，而解方程是求方程的解的过程； 2．方程的解是通过解方程求得的. 3．方程的解可能不止一个 4．检验一个数是不是方程的解，不能将所给的数值直接代入方程中，而是要把这个数分别代入方程的左右两边，当左边＝右边时，这个数是方程的解，当左边≠右边时，这个数就不是方程的解. 5．是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 6．当x的取值不同时，整式（其中，是常数，）的值也不同，具体情况如表所示．则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 7．下列是方程的解的是（   ） A． B． C．0 D．2 8．判断是否为下列方程的解． (1)； (2)； (3)． 题型三 已知方程的解求参数 易｜错｜点｜拨 要将方程的解代入原方程，再求出参数的值； 9．关于的方程的解是，则的值是（   ） A． B． C．1 D．7 10．方程，处被盖住了一个数字，已知方程的解为，那么处的数字是（   ） A．7 B．5 C． D． 11．方程与关于的方程的解相同，则的值为 ． 12．方程与方程的解相等，求a的值． 题型四 一元一次方程的概念 易｜错｜点｜拨 1、一元一次方程的标准形式：（a、b是常数，且a）. 2、一个方程须同时满足：①只含有一个未知数；②未知数的次数都是1；③等号两边都是整式，这三个条件才可以判定它是一元一次方程. 13．下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 14．若关于x的方程是一元一次方程，则a的值为（   ） A．1 B． C． D．0 15．若关于x的方程是一元一次方程，则k的值为（    ）. A．0 B． C．1 D． 16．在一次数学活动课上，小军对小明说：我手中有四张卡片，它们上面分别写有9，，，．小明说：我用等号将这四张卡片中的任意两张卡片上的数或式子连接起来，就会得到等式或一元一次方程． 根据以上对话，回答下列问题： (1)小明一共能写出几个等式？ (2)在他写的这些等式中，有几个一元一次方程？请写出这几个一元一次方程． 题型五 一元一次方程的解 易｜错｜点｜拨 将解代入原一元一次方程中，可得到原方程是成立的，一定要检验答案的正确性； 17．是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 18．若方程是关于x的一元一次方程，则这个方程的解是    （   ） A． B． C． D． 19．写出一个一元一次方程， 同时满足下列两个条件： ． ① 某个未知数的系数是－，②方程的解为． 20．，，分别是下列哪个方程的解？ （1）； （2）； （3）； （4）． 题型六 等式的性质 易｜错｜点｜拨 1、等式的基本性质是等式变形的依据，等式两边的变形必须完全相同，等式才能成立，否则就会破坏相等关系. 2、等式的两个性质： （1）等式的传递性：若，； （2）等式的对称性：若，则. 21．下列变形中，符合等式性质的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 22．根据等式的性质，下列变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 23．请在下列各题的横线上填上适当的式子． （1）如果，那么 ． （2）如果，那么 ． （3）如果，那么 ． （4）如果，那么 ． 24．阅读材料，回答下列问题： 问题：怎样将循环小数表示成分数？ 设① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦． (1)根据材料，判断_______有理数；（填“是”或“不是”） (2)从步骤①到步骤②，变形的依据是______；从步骤⑤到步骤⑥，变形的依据是______ 题型七 解一元一次方程 易｜错｜点｜拨 解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号. 25．解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 26．解下列方程： (1)； (2)． 27．解方程： (1)； (2)． 28．解下列方程 (1)； (2)． 题型八 已知一元一次方程的解求参数 29．若方程与关于x的方程的解相同，则a的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 30．若不论取何值，关于的方程（，是常数）的解总是，则的值是（   ） A． B． C． D． 31．若关于的方程的解是，则的值为 ． 32．已知关于x的一元一次方程的解是正整数，则所有符合条件的整数a的和为 ． 题型九 一元一次方程解的关系 33．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解 ． 34．已知关于x的方程． （1）若，则代数式的值为 （2）已知关于x的方程的解比方程的解小6，则a的值为 35．一列方程如下排列：的解是， 的解是， 的解是， … 根据观察得到的规律，写出其中解是的方程： ． 36．方程的解与关于的方程的解互为倒数，求的值． 题型十 绝对值方程 易｜错｜点｜拨 解绝对值方程时，要注意去绝对值符号有两种情况，要进行分类讨论； 37．若为有理数且，则的取值是（    ） A． B． C．或2 D． 38．方程的解为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 39．，那么 ． 40．【阅读与思考】 在解形如()的方程时，我们可以根据绝对值的意义，分情况讨论： 当时，原方程化为，解得； 当时，原方程化为，解得． 所以，方程()的解为或． 【理解与应用】 利用上述方法解方程：． 题型十一 配套问题 易｜错｜点｜拨 寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑． 41．某车间有33名工人生产螺丝和螺母，每人每天可生产螺丝1200个或螺母2000个，一个螺丝配两个螺母．要使每天的产品配套，应分配多少人生产螺丝？ 42．某瓷器厂共有120名工人，每名工人一天能做200只茶杯或50只茶壶．如果8只茶杯和一只茶壶为一套，那么一天最多可以生产多少套这样成套的产品？ 43．粽子作为中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，传播甚远，最初是用来祭祀祖先神灵的贡品，某家庭制作的粽子礼盒每份由个蛋黄肉粽和个碱水粽组成．用千克糯米可做个蛋黄肉粽或个碱水粽，现要用千克糯米制作粽子，应用多少千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套． 44．近年来，随着全民健身公共服务体系的不断完善，把“健身房”建在市民身边，让体育更好地融入生活．某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个支架和三套脚踏板组装而成．工厂共有55名工人，每人每天可以生产42个支架或72套脚踏板．应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？ 题型十二 工程问题 易｜错｜点｜拨 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 45．有一些相同的房间需要粉刷，一天4名一级技工粉刷9个房间，结果还有30平方米没有刷完；同样的时间，6名二级技工刷完10个房间还多刷了35平方米，已知一名一级技工比一名二级技工每天多刷10平方米，求每个房间需要粉刷的面积． 46．某中学有甲、乙两台印刷机，学校期末考试所需数学试卷如果用甲、乙两台印刷机单独印刷分别需要1小时和小时，为了保密，学校决定在考试前的一小时开始印刷数学试卷． (1)若甲、乙两台印刷机同时印刷，共需要多少小时才能印完？（要求列方程解答） (2)在两台印刷机同时印刷半小时后，甲印刷机出现故障停止印刷，此时离发卷还有分钟．请你计算一下，如果乙印刷机单独完成剩下的印刷任务，会不会影响按时发卷？ 47．现有一道路改造修复工程，甲工程队单独完成需要18天，乙工程队单独完成需要12天．甲队单独施工3天后接到通知要缩短工期，剩余的部分由甲、乙两工程队合作完成． (1)甲、乙两工程队还需合作多少天才能完成？（用方程解决） (2)若甲队每天的工资为1000元，乙队每天的工资为1500元，问完成这项工程需支付两队工资一共多少钱？ 48．北京市为了能够成功举办2022年冬季奥运会．市政府要求各项工程在确保质量的前提下完成任务．其中有一项工程，请甲工程队独做要3个月完成，每月耗资12万元，若请乙工程队独做要6个月完成，每月耗资5万元，那么请甲，乙两工程队合做要几个月完成？耗资多少万元？ 题型十三 销售盈亏问题 易｜错｜点｜拨 1、利润率=利润÷进价×100% 2、标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) 3、实际售价＝标价×打折率 4、利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损，打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 49．小何同学用的数学练习本可以到甲、乙两家商店购买，已知两家商店的标价都是每本2元，元旦期间两商店均打折促销．甲商店全部按标价的出售，乙商店的优惠条件是购买12本以上，从第13本开始按标价的出售．设小明要购买本练习本． (1)当小明到甲商店购买时，需付款多少（请用含的式子表示）？ (2)购买多少本练习本时，两家商店花费相同？ (3)小明准备买50本练习本，为了节约开支，选择哪家更划算？ 50．某超市第一次用元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如表：（注：获利售价进价） 甲 乙 进价/（元/件） 售价/（元/件） (1)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品各多少件？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍．甲商品按原价销售，乙商品降价销售，第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多元，求第二次乙商品的售价是多少？ 51．盈盈超市第一次用5560元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的少12件，甲、乙两种商品的进价和零售价如下表（注：获利=售价－进价）： 甲 乙 进价（件/元） 22 30 售价（件/元） 29 40 (1)第一次进货时甲、乙两种商品各购进多少件？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的2倍，甲商品按原价销售，乙商品打折销售．第二次两种商品都销售完后盈利1392元，求第二次乙种商品是按原价打几折销售的． 52．为了丰富学生的课余生活、拓展学生的视野，学校小卖部准备购进甲、乙两类中学生书刊若购买本甲和本乙共需要元其中甲、乙两类书刊的进价和售价如下表： 甲 乙 进价元本 售价元本 (1)求甲、乙两类书刊的进价各是多少元？ (2)第一次小卖部购进的甲、乙两类书刊共本，全部售完后总利润利润售价-进价为元，求小卖部甲、乙两类书刊分别购进多少本？ (3)第二次小卖部购进了与上次一样多的甲、乙两类书刊，由于两类书刊进价都比上次优惠了，小卖部准备对甲书刊进行打折出售，让利于学生，乙书刊价格不变，全部售完后总利润比上次还多赚元，求甲书刊打了几折？ 题型十四 方案选择问题 53．某中学组织一批学生开展社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元． (1)这批学生的人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？ (2)若租用同一种客车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用才合算？ 54．“书籍是人类进步的阶梯”，自开展全区读书宣传活动以来，某图书出租店为此开设两种租书方式．方式一：零星租书，每本收费元；方式二：会员卡租书，会员每月交会员费6元，租书费每本元．小李同学经常来该店为自己和本班同学租书，若小李同学每月租书数量为x本． (1)分别写出两种租书方式下，小李同学每月应付的租书金额（用含x的式子表示）； (2)若小李同学在一月内为班级租20本书，试问选用哪种租书方式合算？ (3)小李同学每月如何根据租书需求灵活选择省钱的租书方式？请通过计算验证你的看法． 55．某服装厂生产西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一套西装赠送一条领带： 方案二：西装和领带都按定价的九折优惠． 现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带x条． (1)①若该用户按方案一购买，需付款___________元（用含x的式子表示，并化简）： ②若该用户按方案二购买，需付款___________元（用含x的式子表示，并化简）： (2)若客户现需要购买30条领带，则该客户选择哪种方案购买比较划算？请说明理由． 56．甲、乙两个仓库要向A、B两地运送水泥．已知甲库可调出100吨水泥，乙库可调出80吨水泥，A地需70吨水泥，B地需110吨水泥，两库到A、B两地的路程和运费如下表（表中的运费栏“元/吨，千米”表示每吨水泥运送1千米所需人民币）： 出发地 目的地 路程（千米） 运费（元/吨·千米） 甲库 乙库 甲库 乙库 A地 20 15 12 12 B地 25 20 10 8 (1)设甲库运往A地水泥x吨，则从乙库运往A地水泥___________吨． (2)用含x的式子表示出总运输费； (3)求总运费为38000时的具体运输方案． 题型十五 几何问题 57．已知数轴上有，两点，点表示的数为，点表示的数为． (1)当时，求线段的长； (2)若点与点关于原点对称，求点表示的数． 58．两个完全相同的长方形、，如图所示放置在数轴上． (1)求长方形的面积． (2)若点在线段上，且，求点在数轴上表示的数． 59．如图，点是线段上的三点，，点是的中点，． (1)求线段的长； (2)求线段的长． 60．如图所示，线段，点为线段上的一点，点是线段的中点，点是线段的中点， (1)求的长； (2)如果，求线段的长． 题型十六 动点问题 61．如图，已知线段，点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿向点A运动，设运动时间为t秒． (1)当时，求线段的长度； (2)当时，求t的值． 62．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为7，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动． 设运动时间为t秒（）． 【综合运用】 (1)A、B两点间的距离______，线段的中点表示的数为______； (2)用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为______，点Q表示的数为______． (3)求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数． 63．已知数轴上有A，B两点，分别表示的数是，8，点A以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒2个单位长度向左匀速运动，设运动时间为． (1)点A运动后所在位置表示的数为 ；点B运动后所在位置表示的数为 ． (2)它们按上述方式运动，A，B两点经过多少秒会相遇，相遇点所表示的数是什么？ (3)它们按上述方式运动，A，B两点经过多少秒后相距2个单位长度？ 64．【知识拓展】学习绝对值的定义我们知道，的意义是数轴上表示数的点到原点的距离．由于原点表示的数是0，因此可以看作，那么的意义可以看作为数轴上表示数与0的两点间的距离．这个结论还可以推广为：的意义为数轴上表示数与的两点间的距离，若表示数的点是点，表示数的点是点，则线段；若线段的中点为，点表示的数是，则． 例如，点表示的数是5，点表示的数是7，则线段；若线段的中点为，点表示的数是，则． 若的意义为数轴上表示数与5的两点间的距离是2，则的值为3或7． 【拓展应用】 (1)若，则的值为_____；若，则的值为_____； (2)已知数轴上，两点对应数分别为和9，为数轴上一点，对应的数为． 当点在，两点之间且时，求的值； (3)在（2）的条件下，点，，同时开始在数轴上分别以每秒3个单位长度、每秒2个单位长度、每秒1个单位长度沿数轴正方向运动．设、、三点运动时间为秒， ①则运动秒后点表示的数为_____，点表示的数为_____，点表示的数为_____．（用含的式子表示）； ②若秒钟过后，，，三点中恰有一点为另外两点的中点，求值． 题型十七 和差倍分问题 易｜错｜点｜拨 1基本量及关系：增长量＝原有量×增长率， 现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量． 2、寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 65．某工业园区机械厂的一个车间主要负责生产螺丝和螺母，该车间有工人44人，其中女工人人数比男工人的2倍少10人，该车间男工人有多少人？ 66．方程是一种重要的工具，利用它可以解决很多问题．试用一元一次方程解决以下两个问题： (1)某幼儿园给小朋友分苹果，若每个小朋友分3个则剩1个；若每个小朋友分4个则少2个，问有多少个小朋友？”若设共有个小朋友，则列出的方程是______． (2)某校综合实践小分队成一列在野外拓展训练，在队伍中的队长数了一下他前后的人数，发现他前面人数是他后面的三倍，他往前超了5位队友后，发现他前面的人数和他后面的人数一样多．这列队伍一共有多少名学生？ 67．列方程解答下面的问题． 某校组织师生去郊外进行植树活动，共有28人参加．为了减少碳排放，大家可以选择乘坐电动巴士或步行．已知步行的人数比乘坐电动巴士人数的3倍少4人．请问有多少人选择乘坐电动巴士？ 68．为落实国家关于中学生信息素养提升的若干要求，提升学生的信息素养，南湖未来学校举行了中学生信息素养提升实践活动．据统计，七年级和八年级共创作作品159个，且七年级创作的作品数量是八年级创作的作品数量的还少6个，求七年级创作的作品有多少个． 题型十八 水电费问题 69．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费价格见价目表： 水费价格表 每月用水量 单价 不超过的部分 2 超过不超过的部分 4 超过的部分 8 （注：水费按月结算） (1)若某户居民1月份用水，则应缴水费多少元？ (2)若某户居民2月份缴水费40元，求该户居民2月份的用水量． 70．某地政府为鼓励节约用电，采用阶梯式电价计量标准，根据每户居民每月的用电量（用电量均为整数，单位：度）分为三档进行收费（第一档：月用电量不超过240度，第二档：月用电量为240～400度，第三档：月用电量超过400度）．设居民每月用电量为（度），收费标准如表． 月用电量（度） 收费（元） 不超过240度 每度元 超过240～400度 超过240度的部分每度元 超过400度 超过400度的部分每度元 (1)每月用电量不超过240度，应交电费 元；每月用电量超过400度，应交电费 元；（两空均填含的代数式） (2)若某户居民月用电量为150度，求应交电费多少元？ (3)若某户居民某月交费231元，求该户居民用电多少度？ 71．为鼓励市民节约资源，某市实施阶梯电价制，居民生活用电价格表如下： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超出200度的部分 第2档 超出200度但不超出400度的部分 第3档 超出400度的部分 例如：若某用户2025年7月份的用电量为270度，则需缴电费为： （元）．设小辰家8月份用电量为x度． (1)若小辰家8月份用电量属于第2档，请用含x的代数式表示出她家8月应缴的电费金额； (2)若小辰家8月份所缴电费是190元，则她家8月份用电多少度? 72．为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量 单价/（元/） 第一档 5 第二档 7 第三档 9 (1)当时，写出水费（单位：元）与之间的关系式； (2)某户一年用水量是，求该户这一年的水费； (3)某户去年一年的水费是1820元，求该户去年一年的用水量． 题型十九 行程问题 易｜错｜点｜拨 1、三个基本量间的关系：路程=速度×时间 2、基本类型有： ①相遇问题（或相向问题）： Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题： Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 Ⅱ．寻找相等关系： 第一、同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第二、同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题： Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． 3、解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 73．A，B两站间的距离为，一辆慢车从站出发，每小时行驶；一辆快车从站出发，每小时行驶．若两车同时开出，相向而行，则出发多少小时后相遇？ 74．甲乙两地相距，一列慢车从甲地开出，每小时行驶，一列快车从乙地开出，每小时行驶． (1)若两列车同时开出，相向而行，经过多少小时两列车相遇？ (2)若快车先开出，两列车相向而行，慢车开出多少小时两列车相遇？ 75．我国高速铁路飞速发展，为了解“复兴号”列车的长度和行驶速度，小明所在的学习小组开展了一次课外探究活动．他们分工合作，在一架长的铁路桥附近进行了观察、测量和计算：“复兴号”列车从开始上桥到完全过桥的时间约为，列车完全在桥上的时间约为．你能根据该小组同学获得的数据，求出“复兴号”列车过桥时的速度和列车的长度吗？ 76．轻音部在夏日合宿时乘坐轮船出海游玩，轮船航行于A，B两个码头之间．她们测出水的流速为，轮船以相同的速度，顺水航行需要，逆水航行需要．求轮船的速度和A，B两个码头之间的距离． 题型二十 一元一次方程的新定义问题 77．定义：我们称使等式成立的一对有理数为“相关有理数对”，记为．例如当，时，，，则是“相关有理数对”． (1)判断是否为“相关有理数对”，并说明理由； (2)若是“相关有理数对”，求m的值； (3)若是“相关有理数对”，请你判断是否为“相关有理数对”，并说明理由． 78．【阅读材料】在学习一元一次方程后，数学老师给出一个新定义：若x是关于x的一元一次方程的解，y是关于y的方程的解或所有解的其中一个解，且x，y满足，则称关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”． (1)已知关于y的方程：①；②．请通过计算说明哪个方程是一元一次方程的“友好方程”？ (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”，求a的值． 79．新定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“1方程”．例如：方程和为“1方程”． (1)若关于的方程与方程是“1方程”，求的值； (2)若“1方程”的两个解的差为8，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“1方程”，求关于的一元一次方程的解． 80．我们定义：对于数对，若，则称为“差积等数对”．如：因为，，所以，都是“差积等数对”． (1)下列数对中，是“差积等数对”的是________；（填序号） ①；②；③． (2)若是“差积等数对”，求的值； (3)若是“差积等数对”，求代数式的值． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级上·河北·期末）方程的解为（   ） A．2 B．3 C．5 D．0 2．（24-25七年级上·河北唐山·期末）解方程时，去分母的步骤如图：则“□”内填的数是（   ） A．2 B．4 C．6 D．12 3．（24-25七年级上·河北邢台·期末）我国古代有很多经典的数学古算诗，其中一首是：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”大意：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．根据题意，列方程得． 甲同学认为：表示竹竿的数量． 乙同学认为：表示牧童的人数． 以下对这两位同学的看法判断正确的是（    ） A．甲、乙都正确 B．甲、乙都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 4．（24-25七年级上·北京顺义·期末）下列变形中，正确的是（      ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（24-25七年级上·河北承德·期末）如图所示的框图表示淇淇解方程的流程． 出现错误的步骤是 （用流程中的序号表示）． 6．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）小强在解方程时，不小心把一个数字用墨水污染，方程变成了，他翻阅了答案知道这个方程的解为，于是他判断被墨水污染的数字应该是 ． 7．（23-24七年级上·云南昭通·期末）如果方程是关于的一元一次方程，那么 ． 8．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知是关于x的一元一次方程，则 ，方程的解 ． 9．（23-24七年级上·河北邯郸·期末）解下列方程： (1) (2) 10．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）如图是某校运动场的平面图，学校计划在硬化的中心区域（阴影部分）铺设人造草坪，中心区域最中间是长方形，长为米，两端为两个半圆，半径为米． (1)运动场中心区域周长为_____米；（结果用含、的代数式表示，保留）； (2)若，且运动场中心区域周长为400米． ①求半径（取3）； ②在①的条件下，若人造草坪每平方米60元，则学校共需付多少铺设费用？（取3）． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 11．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）方程被阴影盖住的是一个常数，此方程的解是，这个常数是(    ) A． B．0 C．5 D．10 12．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）在解方程时，去分母正确的是（　　） A． B． C． D． 13．（25-26七年级上·全国·单元测试）《九章算术》是一部与现代数学的主流思想完全吻合的中国数学经典著作．其中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？意思是：有若干人共同购买某种物品，如果每人出8钱，则多3钱；如果每人出7钱，则少4钱，问共有多少人？物品的价格是多少钱？用一元一次方程的知识解答上述问题，设共有x人，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级上·河北邢台·期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 15．（25-26七年级上·重庆·期末）如果方程与关于的方程的解相同，则的值是 ． 16．任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，现以无限循环小数为例说明如下：设，由可知，，所以，计算可得，于是，．请你把写成分数的形式是 ． 17．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）哥哥8岁，妈妈32岁，弟弟年龄的16倍加上哥哥的年龄正好等于爸爸的年龄，弟弟年龄的4倍加上妈妈的年龄也恰好等于爸爸的年龄，那么弟弟的年龄是多大？ 解：设弟弟的年龄为x岁，则有： 嘉嘉同学的解法：移项得： 合并同类项得：，系数化为1得： 琪琪同学的解法：移项得：，， 两边同除以，得： （1）弟弟的年龄是 岁． （2）琪琪得出错误的结论的原因是 ． 18．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）四季雪面粉厂生产分装两种不同重量的面粉，两种产品每天合计分装袋，两种产品的成本和售价如下表，设每天分装种面粉袋． 成本（元/袋） 售价（元/袋） 种面粉 种面粉 （1）每天两种面粉的生产成本分别是 元和 元（用含的整式表示并化简）； （2）若每天销售这两种产品所获得的总利润是元，则 ． 19．（24-25七年级上·河北唐山·期末）下面是“小迷糊”同学解方程时的部分解题过程，同桌在给他检查时发现每一步都有错误，请你帮助他改正并写出完整的解答过程． 解：去分母，，第一步 去括号，，第二步 移项，，第三步 (1)其中第三步错误的原因是______． (2)请你写出正确的解答过程． (3)请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程还需要注意的事项提一条建议． 20．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）我们都知道乌鸦喝水的故事，现在来做一个道理相同的游戏：如图，在圆柱形玻璃桶里已有一定量的水，将大小相同的围棋子一个个慢慢投入其中，显然，在有水溢出之前，每投入一个棋子，桶里水位的高度都会有变化． (1)投入第一个棋子后，水位上升了多少厘米？ (2)设投入了个棋子，且没有水溢出．此时桶里水位的高度是，试用含的式子表示． (3)嘉琪经过思考和计算以后，认为投入72个棋子，正好可使水位达到桶的高度．你同意他的观点吗？说说理由． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 21．（24-25七年级上·天津和平·期末）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 22．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）我国古代数学著作《算法统宗》中有一首诗的大意为：有一批客人去住店，如果每一间客房住7个人，那么就有5个人没有房住；如果每一间客房住9个人，那么就会多出来一间房，这批住店的客人共(        ) A．63人 B．54人 C．45人 D．72人 23．（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图所示，已知数轴上点A表示的数为8，点B表示的数为．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒．若点P、Q同时出发，当P、Q两点相距2个单位长度时，t的值为（   ） A．3 B．4 C．3或4 D．3或5 24．（24-25七年级上·全国·阶段练习）如图，在大长方形（是宽）中放入6个长、宽都相同的小长方形，尺寸如图所示，求小长方形的宽．设，有下列分析思路：①以小长方形的长作相等关系可得方程；②以大长方形的长作相等关系可得方程．其中，正确的是（    ） A．①正确，②不完全正确 B．①不完全正确，②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 25．（24-25七年级上·河北邢台·期末）盒子里有若干个相同的小球，甲取走一半后，乙又取走剩余的三分之一，丙再取走5个，这时，还剩3个，则盒子里原有 个小球． 26．（24-25七年级上·北京·期末）若互为相反数，互为倒数，的绝对值等于2，则关于的方程的解为 ． 27．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在直角三角形中，，，，点P从点A开始以的速度向点B移动，点Q从点C开始以的速度沿的方向移动．如果点P，Q同时出发，点P到达点B时，P，Q两点都停止运动．设移动时间为t（），当时， s． 28．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）体育课上，体育老师要求男、女各站成一队，记男生队为A队，女生队为B队． （1） 已知A队有32人，B队有28人，从A队调a人到B队后，B队人数比A队剩余人数的2倍多3人，则a的值为 ； （2） 设A队有x人， B队有人， 从A队调m人到B队， 则此时B队比A队多 人； 接下来，又从B队回调m人到A队 （，回调的人数里有男有女），则回调后A队中的女生人数和B队中的男生人数是否相同？ （填“是”或“否”）． 29．（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，O为数轴原点，点M，N在数轴上，点M在原点O左侧，点N在原点O右侧，且，．蚂蚁P从点N出发，以3个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，同时蚂蚁Q从点M出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴运动．设点P，Q的运动时间t（秒）． (1)点M表示的数为 ；点N表示的数为 ； (2)用含t的代数式表示经过t秒时点P表示的数； (3)若蚂蚁Q沿数轴向右运动，当两只蚂蚁之间的距离为6时，求t的值； (4)蚂蚁Q沿数轴向左运动，若无论t取何值，（m为常数）的值始终固定不变，求m的值． 30．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）如图，在长方形中，，点E是边上的一点，分别长，满足．动点P从B点出发，以的速度沿运动，最终到达点D．设运动时间为． (1)___________，__________． (2)把四边形的周长平分，求t的值？ (3)另有一点Q从点E出发，按照的路径运动，且速度为，若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．___________时，的面积等于． 1 / 3 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