专题03 一元一次方程章末易错压轴题型21易错+7压轴（专项训练）数学冀教版2024七年级上册

专题03 一元一次方程章末易错压轴题型（21易错+7压轴） 目录 易错题型一、列方程 易错题型二、方程的相关概念 易错题型三、等式的性质 易错题型四、方程的解 易错题型五、根据方程的解求参数 易错题型六、一元一次方程的概念与解 易错题型七、解一元一次方程 易错题型八、已知一元一次方程的解求参数 易错题型九、一元一次方程解的关系 易错题型十、绝对值方程 易错题型十一、配套问题 易错题型十二、工程问题 易错题型十三、销售问题 易错题型十四、方案问题 易错题型十五、数字问题 易错题型十六、几何问题 易错题型十七、动点问题 易错题型十八、和差倍分问题 易错题型十九、水电费问题 易错题型二十、行程问题 易错题型二十一、日历问题 压轴题型一、根据一元一次方程的解求另一个方程的解 压轴题型二、一元一次方程解的含参问题 压轴题型三、一元一次方程中的最值问题 压轴题型四、一元一次方程解的关系压轴 压轴题型五、一元一次方程与数轴、绝对值压轴 压轴题型六、一元一次方程中的实际应用压轴 压轴题型七、一元一次方程的新定义运算 易错题型一、列方程 1．有一所寄宿制学校，开学安排宿舍，如果每间宿舍住人，将会空出间宿舍；如果每间宿舍住人，就有人没床位，设在学校住宿的学生有人，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是列一元一次方程，解题关键是正确找出题目中的等量关系并列出方程． 学校的宿舍数不变，可根据两种安排宿舍的方法分别表示出宿舍数，如果每间宿舍安排人，将会空出间宿舍，则宿舍数可表示为；如果每间宿舍安排人，就会有人没床位，则宿舍数可表示为，从而列出方程． 【详解】解：设在学校住宿的学生有人， 依题得：． 故选：． 2．根据“的2倍与4的和比的一半少1”可以列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据等式基本性质列出一元一次方程，根据等量关系列出方程是解题的关键． 根据已知表示出等式两边，左边表示x的2倍，然后在加上4,右边表示x的减1，然后依据等式基本性质整理判断即可. 【详解】解根据题意列方程得：， A、，表示的2倍与4的差，故不符合题意； B、，是根据等式基本性质方程两边同时加1，故符合题意； C、，表示的一半多1，故不符合题意； D、，表示的2倍与4的差比的一半多1，故不符合题意； 故选：B 3．请你写出一个解为的一元一次方程，这个方程可以是： 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元一次方程定义和一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的定义是解题关键．只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是（a，b是常数且），据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴根据一元一次方程的一般形式（a，b是常数且）， 可列方程， 故答案为：（答案不唯一）． 易错题型二、方程的相关概念 4．下列选项中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查方程，根据方程的定义，判断各选项是否为含有未知数的等式即可． 【详解】解：A、是方程，故此选项符合题意； B、是代数式，不是等式，即不是方程，故此选项不符合题意； C、是等式，不是方程，故此选项不符合题意； D、表示不等关系，不是方程，故此选项不符合题意． 故选：A． 5．下列各式中①，②，③，④，⑤，⑥．其中是方程的有（   ） A．①②④⑤ B．②③⑤⑥ C．②④⑤⑥ D．①②⑤⑥ 【答案】D 【分析】本题考查了方程的识别，根据含有未知数的等式是方程逐一进行判断即可． 【详解】解：①是方程， ②是方程， ③，不是等式，故不是方程． ④不是方程， ⑤是方程， ⑥是方程． 综上：①②⑤⑥， 故选：D． 6．下列式子是方程的是（    ） ①；②；③；④；⑤． A．②③⑤ B．①②③ C．②③④ D．②⑤ 【答案】A 【分析】本题考查方程的定义，根据方程的定义“含有未知数的等式叫方程”逐个判断即可得到答案，熟记方程的定义是解决问题的关键． 【详解】解：①不是等式，不是方程，不符合题意； ②是方程，符合题意； ③是方程，符合题意； ④不含未知数，不是方程，不符合题意； ⑤是方程，符合题意； 综上所述，②③⑤是方程， 故选：A． 易错题型三、等式的性质 7．下列各式进行的变形中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握并灵活运用等式的两个基本性质是解题的关键． 根据等式的基本性质逐一进行判断即可． 【详解】解：A、若，则，变形正确，不符合题意； B、若，则或，变形错误，符合题意； C、若，则，变形正确，不符合题意； D、若，则，变形正确，不符合题意； 故选：B． 8．下列方程的变形中，正确的是（　　） A．由得， B．由得， C．由得， D．由得， 【答案】C 【详解】本题考查了等式的性质． 逐一验证每个选项的变形是否符合等式的基本性质，如移项变号、等式两边同乘同除等． 【分析】解：A：，移项得，，原变形错误； B：，两边同乘2得，原变形错误； C：，移项得 ，，原变形正确； D：，两边同除以2得，原变形错误； 故选：C． 9．利用等式的性质解方程，并检验． (1)； (2)． 【答案】(1)是原方程的解 (2)是原方程的解 【分析】本题考查利用等式的基本性质解方程，方程的解，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． （1）根据等式的性质，给等式的两边同时减即可得到x的值，最后将x的值代入方程检验即可； （2）先根据等式的性质，给方程两边同时加可得，至此，再给方程两边同时乘以即可求出x的值，最后将x的值代入方程检验即可． 【详解】（1）解：两边都减8，得． 即． 检验：把代入原方程，得左边，右边， 左边右边． 所以是原方程的解； （2）解：两边都加上4，得． 即， 两边同乘以，得， 即． 检验：把代入原方程，得左边，右边，左边＝右边． 所以是原方程的解． 易错题型四、方程的解 10．下列一元一次方程中，解为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的概念，一元一次方程的解，掌握这两个知识点是关键；将代入各选项方程验证是否成立，并判断方程是否为一元一次方程即可． 【详解】解：选项A： 代入，左边为，等式成立；但该方程含分母，不符合一元一次方程的定义（整式方程），故排除． 选项B： 代入，左边为，等式成立；化简方程得，即，符合一元一次方程的定义，故选B． 选项C： 右边计算为，代入，左边为，，等式不成立，排除． 选项D： 代入，左边为，等式成立；但该方程次数为2，不符合一元一次方程的定义，排除． 故选：B． 11．已知方程：（1）；（2）；（3）．则所满足的方程是（　　） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3） 【答案】D 【分析】本题考查了方程的解，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键． 将代入各方程，验证左右两边是否相等，从而判断其是否满足该方程． 【详解】解：将代入， 左边： 右边： 两边相等，满足方程； 将代入， 左边： 右边： 两边相等，满足方程； 将代入， 左边： 右边： 两边相等，满足方程， 综上，满足所有三个方程， 故选：D． 12．有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，x＝2是其解的方程有 ．（填序号） 【答案】②④⑤⑥ 【分析】本题考查了方程的解，掌握方程的解的定义是解题的关键． 根据方程的解是使方程成立的未知数的值，可得答案． 【详解】解：当时，①的左边，右边，左边右边，所以不是①的解； 当时，②的左边，右边，左边右边，所以是②的解； 当时，③的左边，右边，左边右边，所以不是③的解； 当时，④的左边，右边，左边右边，所以是④的解； 当时，⑤的左边，右边，左边右边，所以是⑤的解； 当时，⑥的左边，左边右边，所以是⑥的解； 故答案为：②④⑤⑥． 易错题型五、根据方程的解求参数 13．若关于x的方程的解为，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了方程的解．把代入得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：把代入可得：， 解得：． 故答案为：5． 14．若是关于的一元一次方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 故答案为：． 15．例如“已知关于的方程的解为，求关于的方程的解．”可以这样解：可得，所以．若关于的方程的解是，且式子成立，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的解，理解其定义并运用是解题的关键．根据题意得到的值，然后化简条件式即可． 【详解】解：∵关于的方程的解是，且式子成立， ∴， ∴． 故答案为： ． 易错题型六、一元一次方程的概念与解 16．式子，，，，，，，，中是一元一次方程的有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的定义“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程”，熟练掌握一元一次方程的定义是解题关键．根据一元一次方程的定义逐个判断即可得． 【详解】解：中，不是整式，则不是一元一次方程； 中，不含有未知数，则不是一元一次方程； 中，的次数是2，则不是一元一次方程； 不是等式，则不是一元一次方程； 中，不含有未知数，则不是一元一次方程； 中，含有两个未知数，则不是一元一次方程； 中，含有一个未知数，未知数的次数是1，等号两边都是整式，则是一元一次方程； 中，含有一个未知数，未知数的次数是1，等号两边都是整式，则是一元一次方程； 不是等式，则不是一元一次方程； 综上，在这些式子中，是一元一次方程的有2个， 故选：A． 17．关于x的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．根据一元一次方程的定义可得． 【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程， 由题意得：． 故答案为：． 18．，，分别是下列哪个方程的解？ （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】是方程的解；是方程的解；是方程的解． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把，，分别代入四个方程中，看方程左右两边是否相等即可得到结论． 【详解】解：把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边相等，故是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边相等，故是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边相等，故是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 综上所述，是方程的解；是方程的解；是方程的解． 易错题型七、解一元一次方程 19．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解题关键是熟练掌握去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤． 解一元一次方程的一般步骤为去括号、移项、合并同类项、系数化为，根据每个方程的结构，依次应用这些步骤求解即可． 【详解】（1）解： 去括号： 移项： 合并同类项： 系数化为:． （2）解： 去括号： 移项： 合并同类项： 系数化为:． （3）解： 去括号： 移项： 合并同类项： 系数化为:． （4）解： 去括号： 合并同类项： 移项： 合并同类项： 系数化为:． 20．解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确计算是解题的关键． （1）通过去分母、去括号、移项、合并同类项即可求解； （2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 21． 解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． （1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解： 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 易错题型八、已知一元一次方程的解求参数 22．已知是关于x的方程的一个解，则a的值是（　　） A． B．1 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的解以及解一元一次方程，将代入原方程即可求出a的值． 【详解】解：将代， ， ， 故选：A． 23．若关于x的方程的解比的解小2，则a的值为 ． 【答案】1 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 先求出方程的解为，然后将代入方程，求出的值即可． 【详解】解：， 解得：， ∵关于的方程的解比的解小2， ∴将代入方程， 得到：， 解得：， 故答案为：． 24．若关于的一元一次方程与的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程，解题关键在于对同解性质的理解，其次解方程注意计算仔细即可． 先求出一元一次方程的解，然后代入另一个方程即可． 【详解】解：， 解得， 把代入， 解得． 易错题型九、一元一次方程解的关系 25．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义和解法，观察两个方程，利用换元法是解题关键．设，利用“整体换元”的方法根据题中方程的解确定出y的值即可． 【详解】解：设， 方程的解，即为的解， 的解为， ， 解得， 关于的一元一次方程的解为． 故选：D． 26．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了 一元一次方程的解．设，再根据题目中关于x的一元一次方程的解确定出y的值即可． 【详解】解：方程可变形为， 设，则关于y的方程化为：， ∵关于x的一元一次方程的解为， ∴， ∴， 故答案为：． 27．已知关于的方程与方程的解互为相反数，求的值 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，先求出两个方程的解，然后根据两个方程的解互为相反数得到，进而求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 解得：， 根据题意得， 解得：． 易错题型十、绝对值方程 28．数轴上一动点向右平移6个单位长度后到达点，再向左平移3个长度单位后达到点，若点表示的数的绝对值是1，则点表示的数是（    ） A．2 B． C．或 D．或2 【答案】C 【详解】解：设点A表示的数为x．   ∵ 点A向右移动6个单位到达点B， ∴ 点B表示的数为．   ∵ 点B向左移动3个单位到达点C， ∴ 点C表示的数为．   又∵ 点C表示的数的绝对值为1， ∴．   ∴或．   解得： 或．   ∴ 点A表示的数为或， 故选C． 29．方程的解为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值、解一元一次方程，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．根据绝对值的意义，将方程化简为或，再分别解方程求出的值即可． 【详解】解：， 或， 或． 故答案为：或． 30．阅读下面材料：若已知点表示数，点表示数，则两点之间的距离表示为，． 回答下列问题： (1)①点表示数x，点表示数1，则A、B两点之间的距离表示为 ； ②点表示数x，点表示数1，如果，那么x的值为 ； (2)如果，求的值． 【答案】(1)①；②7或 (2) 【分析】本题主要考查了数轴上两点间距离，代数式求值，绝对值方程，绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式． （1）①根据、两点之间的距离公式即可求解； ②根据及、两点之间的距离公式分情况讨论即可求解； （2）根据绝对值的非负性求出,，再代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：①∵点表示数，点表示数， ∴、两点之间的距离表示为； ②点表示数，点表示数， ∵， ∴ ∴或 ∴或； （2）解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 易错题型十一、配套问题 31．（工程问题）某车间有28名工人生产某种螺栓和螺母，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，为了合理分配劳动力，使生产的螺栓和螺母配套（一个螺栓套两个螺母），则应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母？ 【答案】12人生产螺栓，16人生产螺母 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设分配x人生产螺栓，则人生产螺母，根据生产的螺栓和螺母配套建立方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：设分配x人生产螺栓，则人生产螺母， 每天生产螺栓的数量为：个，每天生产螺母的数量为：个， ∴， 解方程得：， ∵ ∴12人生产螺栓，16人生产螺母． 32．在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板，为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得3张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示．（单位：cm） (1)每张原材料板材可以裁得A型纸板______张或裁得B型纸板______张； (2)现有130张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计），问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？ 【答案】(1)9，15 (2)用100张原材料板材裁剪A型纸板，用30张原材料板材裁剪B型纸板，能做225个纸盒 【分析】本题考查一元一次方程的应用 （1）根据题意，可得每张原材料板材可以裁得型纸板（张，每张原材料板材可以裁得型纸板（张； （2）设用张原材料板材裁剪型纸板，可得：，即可解得答案． 【详解】（1）解：根据题意，每张原材料板材可裁得3张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张型长方形纸板或5张型正方形纸板， 每张原材料板材可以裁得型纸板（张，每张原材料板材可以裁得型纸板（张； 故答案为：9，15； （2）解：设用张原材料板材裁剪型纸板，则用张原材料板材裁剪型纸板， 根据题意得：， 解得， ， ， 用100张原材料板材裁剪型纸板，用30张原材料板材裁剪型纸板，能做225个纸盒． 33．用长方形硬纸板做长方体盒子，底面为正方形．长方形硬纸板以如图两种方法裁剪．A方法：剪3个侧面；B方法：剪2个侧面和2个底面．现有35张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．    (1)用含x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数； (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 【答案】(1)侧面个，底面个 (2)能做21个盒子 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，整式的加减的应用，正确的找出题中的等量关系是解题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出一元一次方程，解方程求解即可． 【详解】（1）方法剪个侧面，方法剪个侧面和个底面， ，， 共有侧面个，底面个； （2）根据已知条件可得， 解得， ， 答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做21个盒子． 易错题型十二、工程问题 34．一项工程，甲单独做天完成，乙单独做天完成，两队合作多少天能完成这项工程的？ 【答案】天 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据甲单独做天完成，乙单独做天完成，可知甲的工作效率是，乙的工作效率是，甲、乙合作天的工作量是，用工作量等于工作效率乘以工作时间列方程求解即可． 【详解】解：设两队合作完成这项工程的需要的时间是天， 甲单独做天完成，乙单独做天完成， 甲的工作效率是，乙的工作效率是， 甲、乙合作天的工作量是， 根据题意可得：， 解得：， 答：两队合作天能完成这项工程的． 35．某校组织学生参加植树活动，原计划每天植树80棵，5天完成，后因天气原因需提前1天完成，问每天需多植树多少棵？ 【答案】每天需多植树20棵 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设实际每天种植棵树，则得到方程，求出实际每天种植100棵，再减去原计划每天植树80棵，即可求解． 【详解】解：设实际每天种植棵树， 由题意得， 解得， 则实际每天种植100棵， ∴（棵） 答：每天需多植树棵． 36．黄茅海跨海通道连接珠海市和江门市，是港珠澳大桥西延的关键通道，黄茅海大桥建设过程中，有甲、乙两个工程队参与其中，甲、乙两个工程队一天共铺设桥梁构件80件，甲工程队施工3天比乙工程队施工2天多铺设桥梁构件30件，问甲、乙工程队每天各铺设桥梁构件多少件？ 【答案】设甲工程队每天铺设桥梁构件 38 件，则乙工程队每天铺设桥梁构件 42 件 【分析】设甲工程队每天铺设桥梁构件 x 件，则乙工程队每天铺设桥梁构件件，根据甲工程队施工3天比乙工程队施工2天多铺设桥梁构件30件，即可求解． 本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，得出等量关系是解题关键． 【详解】解：设甲工程队每天铺设桥梁构件 x 件，则乙工程队每天铺设桥梁构件件， 解得： 乙工程队每天铺设桥梁构件为： 答：设甲工程队每天铺设桥梁构件 38 件，则乙工程队每天铺设桥梁构件 42 件． 易错题型十三、销售问题 37．列方程解决问题： 小美和她妈妈的对话如图所示： 问题：一听可乐多少钱？ 【答案】一听可乐3.5元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设一听果奶元，则一听可乐元，根据题意列出一元一次方程，求解即可． 【详解】解：设一听果奶元，则一听可乐元． 根据题意，得， 解得， 所以， 答：一听可乐3.5元． 38．【初次探究】某店家销售一款网红春联，将这款春联的成本价提价后标价，又以七五折优惠卖出，结果每副春联仍获利8元，求这款春联每副的标价． 小敏用下面的框图直观地表示了店家从进货、标价到销售获利的过程： 分析：设这款春联的成本价为x元/副 （1）请你用含x的代数式补全框图中空缺的部分，并利用一元一次方程的知识求这款春联每副的标价． 【尝试应用】 （2）该商店有两个进价不同的灯笼都卖了200元，其中一个盈利，另一个亏损．在这次买卖中，这家商店赚了还是赔了？请通过计算说明理由． 【答案】（1）这款春联每副的标价是64元；（2）这次买卖中，这家商店赔了；计算见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据标价、售价与成本价间的关系，可用含x的代数式表示出标价及售价，利用利润售价成本价，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入中，即可得出结论； （2）设盈利的灯笼成进价为a元，亏损的灯笼成进价为b元，根据题意列出方程，求出a、b的值，然后再进行判断即可． 【详解】（1）解：根据题意得标价为，售价为，则： ， 解得：， ∴（元）． 答：这款春联每副的标价是64元． （2）这次买卖中，这家商店赔了；理由如下： 设盈利的灯笼成进价为a元，亏损的灯笼成进价为b元，根据题意得： ，， 解得：，， （元）， ∴亏损了元． 39．根据以下材料，尝试解决相应问题． 探究不同活动方案的选择问题 材材 两家书店推出两种优惠活动，优惠活动具体方案如下： 书店一：所购书籍按原价打九折； 书店二：所购书籍按原价每满500元减80元，不满500元的按原价．（如原价780元，其中的500元减80元，剩余的280元按原价，共需付款700元） 问题解决 （1） 购买一些原价为300元的书籍时，选择哪家书店划算？请说明理由 （2） 购买一些原价在1000元以下的书籍时，若选择书店一和选择书店二的付款金额相等，求这些书籍的原价 （3） 如果你需要购买原价为900元的书籍，你会如何选择书店购买？请说明理由 【答案】（1）选择书店一购买更合算；（2）这些书籍的原价为元；（3）选择书店一购买，理由见解析 【分析】此题考查了有理数运算的应用及一元一次方程的应用，解题的关键是仔细审题，列出方程． （）分别计算出两个书店需要付款价格，进行比较即可； （）设这些书籍的原价是元，根据“选择书店一和选择书店二的付款金额相等”列方程求解即可； （3）分别计算出两个书店需要付款价格，进行比较即可得出结论． 【详解】解：（1）按书店一购买需要费用：（元）； 按书店二购买需费用：（元）； 因为， 所以选择书店一购买更合算； （2）当原价不满元时，书店一打折，书店二不优惠，所以不可能付款金额相同， 当原价满元且在1000元以下时，设这些书籍的原价为元， 依题意得：， 解得：， 答：这些书籍的原价为元； （3）购买原价为900元的书籍， 按书店一购买需要费用：（元）； 按书店二购买需费用：（元）； 因为， 所以选择书店一购买更合算，选择书店一购买． 易错题型十四、方案问题 40．随着体育中考项目的确认，某校为了能让学生更好的进行排球和篮球的训练，现重新采购a个排球和100个篮球．王老师通过某购物平台了解到甲、乙两家商店出售同样品牌的排球和篮球的价格（单位：元/个）如下表： 排球 篮球 甲商店 20 30 乙商店 25 28 经洽谈后，甲商店全部按售价的8折优惠；乙商店的排球按售价的6折优惠，篮球按售价的9折优惠． (1)用含a的代数式分别表示在甲、乙两家商店采购所需的费用． (2)请你试着帮王老师计算下，选择哪一家商店购买更划算？ 【答案】(1)在甲商店购买所需的费用为元，在乙商店购买所需的费用为元 (2)当时，在甲、乙两商店购买所需的费用是相同的；当时，在乙商店购买更划算；当时，在甲商店购买更划算 【分析】本题主要考查的是代数式的表示方法以及应用． （1）根据甲、乙两家商店的优惠政策分别得出甲、乙两店的代数式； （2）先求出在甲、乙两商店购买所需的费用是相同的a的值，再分类求解，从而得出答案． 【详解】（1）解：在甲商店购买所需的费用为（元）； 在乙商店购买所需的费用为（元）； （2）解：． 令，解得． 当时，在甲、乙两商店购买所需的费用是相同的； 当时，在乙商店购买更划算； 当时，在甲商店购买更划算． 41．某体育用品商店销售的乒乓球拍每副定价为元，乒乓球每桶定价元．元旦期间，该商店推出让利大酬宾活动，如图，某学校到该商店购买了副乒乓球拍和桶乒乓球．    (1)若该学校按方案一购买，需付款______元；若该学校按方案二购买，需付款______元．（用含x的代数式表示） (2)购买乒乓球多少桶时，两种方案的费用相同？ (3)若两种方案可同时使用，当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？写出你的购买方案，并计算需付款多少元． 【答案】(1)； (2)购买乒乓球桶时，方案一和方案二的费用相同 (3)先按方案一购买副乒乓球拍，再按方案二购买桶乒乓球时，费用最低，最低费用为元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解商家的活动内容是解题关键． （1）根据两家商家的活动内容即可求解； （2）求解方程即可； （3）分别计算方案一、方案二、先按方案一购买副乒乓球拍，则可获赠桶乒乓球，再按方案二购买桶乒乓球的费用，即可判断． 【详解】（1）解：若该学校按方案一购买，需付款：（元）； 若该学校按方案二购买，需付款：（元）； 故答案为：；． （2）解：若方案一和方案二的费用相同，则有： ， 解得 故购买乒乓球桶时，方案一和方案二的费用相同 （3）解：当时，按方案一需付款：（元）． 按方案二需付款：（元）． 先按方案一购买副乒乓球拍，则可获赠桶乒乓球，再按方案二购买桶 乒乓球，此时需付款：（元）． 因为， 所以先按方案一购买10副乒乓球拍，再按方案二购买桶乒乓球时，费用最低，最低费用为元 42．某服装厂生产一种夹克和恤，夹克每件定价150元，恤每件定价75元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一件夹克送一件恤；②夹克和恤都按定价的付款，现某客户要到该服装厂购买夹克30件，恤件． (1)若按方案①购买夹克和恤共需付款______元（用含的式子表示）； 按方案②购买夹克和恤共需付款______元（用含的式子表示）； (2)当购买的恤为多少件时，两种方案所需费用相同？ 【答案】(1)； (2)90件 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的实际应用： （1）根据所给的优惠方案列式求解即可； （2）根据（1）所求可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，按方案①购买夹克和恤共需付款元； 按方案②购买夹克和恤共需付款元； 故答案为：；； （2）解：由题意得，， 解得， 答：当购买的恤为90件时，两种方案所需费用相同． 易错题型十五、数字问题 43．阅读下列材料． 问题：怎样将表示成分数？ 小明的探究过程如下： 设，① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ ．⑦ 根据以上信息，回答下列问题： (1)从步骤①到步骤②，变形的依据是________；从步骤⑤到步骤⑥，变形的依据是________． (2)仿照上述探究过程，请你分别将和表示成分数的形式． 【答案】(1)等式的基本性质2；等式的基本性质1 (2) 【分析】（1）根据等式的性质进行填空即可； (2)设两边同时乘以，可得，解方程可得结论；设两边同时乘以，可得，解方程可得结论；对于因为，所以设两边同时乘以，可得，解方程得出即可． 【详解】（1）解：从步骤①“两边同乘以”到步骤②，所以变形的依据是等式的基本性质2；从步骤⑤到步骤⑥，“两边同时减去”变形的依据是等式的基本性质1. （2）解：设， ， ， ， ， ， ． 解：设， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等式的基本性质与一元一次方程的应用，仿照示例列方程是解题的关键． 44．一个两位数，个位数字比十位数字大1，交换两数位置得到新的两位数与原两位数之和等于33，求这个两位数． 【答案】两位数是12 【分析】设十位数字为x，则各位数字为，列出方程解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，解答时注意等量关系的确定，这是解题的关键． 【详解】解：设十位数字为x，则各位数字为， 根据题意，得， 解得， 则， 这个两位数是42， 答：这个两位数是12． 45．观察下列两列数： 、……① 、……② (1)第①行第10个数是______，第②行第10个数是______； (2)在第②行中，是否存在三个连续数，其和为83？若存在，求出这三个数；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，这三个数分别为85，，89 【分析】本题主要考查了数字规律，一元一次方程的应用，做题的关键是找出数字规律． （1）第①和②行规律进行解答即可； （2）设三个连续整数为，，，根据题意列出方程，即可出答案． 【详解】（1）解：根据规律可得，第①行第10个数是； 第②行第10个数是； 故答案为：；； （2）解：存在．理由如下： 由（1）可知，第②行数的第n个数是， 设三个连续整数为，，， 当n为奇数时，则， 化简得， 解得， 这三个数分别为85，，89； 当n为偶数时，则， 化简得， 解得（不符合题意舍去）， 这三个数分别为85，，89； 综上，存在三个连续数，其和为83，这三个数分别为85，，89． 易错题型十六、几何问题 46．在如图所示的数轴上，已知，点表示的数为． (1)写出点所表示的数： (2)将点向右平移个单位后，若，求的值． 【答案】(1)， (2)的值为或 【分析】本题主要考查数轴的点表示有理数，数轴上两点之间的计算，点的平移，一元一次方程的运用，掌握两点之间距离的计算，点平移的计算，一元一次方程的运用是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间距离的计算方法求解即可； （2）根据点的平移得到平移后点表示的数为，再根据两点之间距离的计算方法列方程求解． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，， ∴，即点表示的数为， ∵， ∴，即点表示的数为； （2）解：∵平移后，， ∴平移后点在点左边时，， 解得，， 平移后点在点右边时，， 解得，， 综上所述，的值为或． 47．如图，已知、和的度数之比是，且，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用，解题的关键是正确列出方程． 设，，，表示出，，然后根据列方程求出，求出，，进而求解即可． 【详解】∵、和的度数之比是 ∴设，， ∴， ∵ ∴ 解得 ∴， ∴． 48．如图是某市民健身广场的平面示意图，它是由6个正方形拼成的长方形，已知中间最小的正方形A的边长是1米． (1)若设图中最大正方形B的边长是x米，请用含x的代数式分别表示出正方形F的边长=_______；正方形E的边长=________；正方形C的边长=________； (2)观察图形的特点可知，长方形相对的两边是相等的．试根据此等量关系求出x的值； (3)此健身广场的周长为 ． 【答案】(1)米；米；米或米 (2)7 (3)48米 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的运用，在求x的值时运用长方形的性质建立方程是关键． （1）根据图形由最小的正方形的边长为1可以得出正方形F、E和C的边长； （2）由建立方程求出其解即可； （3）根据周长公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得 正方形F的边长米， 正方形E的边长米， 正方形C的边长米或米； 故答案为：米；米；米或米； （2）解：由图形，得 ，， ∵， ∴， ∴． （3）解：∵米， 米， ∴周长为：米． 故答案为：52． 易错题型十七、动点问题 49．【问题呈现】 数轴上的点、点表示的数分别为、，则、两点之间的距离，线段的中点表示的数为．如图，现数轴上有一点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为秒． 【初步发现】 （1）求、两点之间的距离及线段的中点表示的数； 【深入探究】 （2）当、两点相遇时，的值为多少？相遇点所表示的数为多少？ 【拓展延伸】 （3）当时，求的值． 【答案】（1），4；（2），6；（3）或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及了数轴上两点间的距离公式、一元一次方程．根据动点的起始位置、运动方向和运动速度确定动点在数轴上对应的数是解题关键． （1）根据定义即可求解； （2）根据题意可得：，，当、两点相遇时，，得出，即可求解； （3）分类讨论①当点、还未相遇时：②当点、相遇后两种情况即可求解． 【详解】解：（1）， 线段的中点表示的数为：． （2）根据题意可得：，， 当、两点相遇时，， ∴， 解得：， ∴相遇点所表示的数为：． （3）∵， ∴， ①当点、还未相遇时：， 解得：； ②当点、相遇后：， 解得：； 综上：或． 50．如图1，电脑显示屏上画出了一条不完整的数轴，并标出了表示的点．小明同学设计了一个电脑程序：点M，N分别从点同时出发，每按一次键盘，点向右平移2个单位长度，点向左平移1个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点，的位置如图2． (1)第_______次按键后，点正好到达原点； (2)第6次按键后，点到达的点表示的数字比点到达的点表示的数字大多少？ (3)第次按键后，点到达的点表示的数为______（用含的式子表示），点到达的点表示的数为______（用含n的式子表示），若这两个数互为相反数，则______． 【答案】(1)3 (2)18 (3)；；12 【分析】本题主要考查数轴，相反数，解一元一次方程，根据题意列出点M、N表示的数是本题的关键． （1）设进行a次按键，由题意得，M点表示的数是，因为点M正好到达原点，所以，解得a的值，即得第几次按键后，点M正好到达原点； （2）第6次按键后，点M表示的数为，点N表示的数为，可得点M到达的点表示的数字比点N到达的点表示的数字大多少； （3）由题意得，M点表示的数是，N点表示的数是，因为点M，N到达的点表示的数互为相反数，所以，可解得n的值． 【详解】（1）解：设进行a次按键，点正好到达原点，由题意得，M点表示的数是， 点M正好到达原点， ， 解得：， 第3次按键后，点M正好到达原点， 故答案为：3； （2）解：第6次按键后，点M表示的数为，点N表示的数为， ， 第6次按键后，点M到达的点表示的数字比点N到达的点表示的数字大18； （3）解：由题意得，第n次按键后，M点表示的数是，N点表示的数是， 点M，N到达的点表示的数互为相反数， ， 解得：． 51．【阅读理解】点A，B在数轴上分别表示有理数a，b．A，B两点之间的距离表示为，在数轴上A，B两点之间的距离． 【知识应用】利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示3和两点之间的距离是__________；数轴上表示x和3的两点之间的距离表示为__________； （2）可表示数轴上x与数__________的距离；若，则__________； （3）若x表示一个有理数，则的最小值是__________； 【拓展探究】（4）已知，如图A，B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90．若当电子蚂蚁P从B点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度？ 【答案】（1）5；；（2）；或；（3）6；（4）经过12秒或28秒后，两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，解绝对值方程，有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握两点间距离公式． （）根据数轴上两点之间的距离的求法即可求解； （）根据绝对值意义即可求解； （3）分当时，当时，当时，三种情况分别去绝对值或解方程即可得到答案； （4）分相遇前和相遇后两种情况，根据时间等于路程除以速度求解即可． 【详解】解：（1）数轴上表示3和两点之间的距离是； 数轴上表示x和3的两点之间的距离表示为； （2）可表示数轴上x与数的距离； ∵， ∴， 解得：或； （3）当时，， 当时，， 当时，， 当时，的最小值； （4）由题意得，， 设经过t秒，两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度，根据题意得： 当两只蚂蚁相遇前，， 解得：； 当两只蚂蚁相遇后，， 解得：， 综上所述，经过秒或秒，只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度． 易错题型十八、和差倍分问题 52．张老师带领班级45名学生外出植树，男生每两人为一组，女生每三人为一组．活动完成后统计结果，男生每组平均植树7棵，女生每组平均植树5棵，共计植树119棵．求出该班级男生和女生各有多少人？ 【答案】该班级男生有人，女生有人． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设该班级男生有人，女生有人，根据题意列出二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设该班级男生有人，女生有人， 根据题意得， 解得， 答：该班级男生有人，女生有人． 53．在综合与实践课程中，小丽同学在学习完“你的膳食健康吗？”课程后，对顾村实验学校为学生提供的午餐有A、B两种套餐进行了调查研究．（每天只提供一种午餐） 套餐 主食（克） 肉类（克） 蔬菜类（克） 其它（克） A 160 95 120 125 B 200 70 140 90 为了膳食平衡，建议合理控制学生的主食摄入量，一周内学生午餐主食摄入总量建议为880克．那么在一周里小丽同学应该选择A、B套餐各几天时，能达到控制主食摄入量的目的（说明：一周按5天计算） 【答案】在一周里小丽同学应该选择A套餐3天，B套餐2天时，能够达到控制主食摄入量的目的． 【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题， 设在一周里小丽同学应该选择A套餐m天，则选择B套餐天，根据一周内学生午餐主食摄入总量建议为880克，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设在一周里小丽同学应该选择A套餐m天，则选择B套餐天， 根据题意得：， 解得：， ∴， 答：在一周里小丽同学应该选择A套餐3天，B套餐2天时． 54．钢琴素有“乐器之王”的美称，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，黑色琴键比白色琴键少16个，请列一元一次方程求白色琴键和黑色琴键各有多少个？ 【答案】白色琴键有52个，黑色琴键有36个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设白色琴键有x个，则黑色琴键有个，根据键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入中，即可求出黑色琴键的个数． 【详解】解：设白色琴键有x个，则黑色琴键有）个， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：白色琴键有52个，黑色琴键有36个． 易错题型十九、水电费问题 55．为增强居民节约用水意识，某市在2020年开始对供水范围内的居民用水实行“阶梯收费”，具体收费标准如表： 每月用水量x立方米 水费单价（元/立方米） a 超出22立方米的部分 某户居民六月份用水18立方米时，收缴水费元． (1)求a的值． (2)若该户居民七月份所缴水费为元，求该户居民七月份的用水量．（用方程求解）． 【答案】(1) (2)30立方米 【分析】（1）根据时的水费标准，列出方程，即可求解； （2）根据题意可得，再根据超出22立方米的部分水费单价为元/立方米，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：． 答：a的值为； （2）解：设该户居民四月份的用水量为x立方米． ∵，， ∴． 根据题意得：， 解得：． 答：该户居民七月份的用水量为30立方米． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 56．电力公司为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方式计算电费，每月用电不超过100kw·h时，按每千瓦时a元计算；每月用电超过100kw·h时，其中100kw·h仍按原价收费，超过部分按每千瓦时b元计算（a<b）． (1)小王家1月用了67kw·h电，2月用了120kw·h电，则他家1，2月应分别缴纳多少元电费？ (2)若a=0.49，b=1.50，则小王家1，2月应分别缴纳多少元电费？ (3)在第（2）问的条件下，若小王家3月缴纳76元电费，则他家3月共用电多少千瓦时？ 【答案】(1)1月缴纳电费为67a元；2月缴纳电费为（100a+20b）元 (2)1月应缴纳电费32.83元，2月应缴纳电费79元 (3)3月共用电118千瓦时 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）由（1）可进行求解； （3）设3月共用电x千瓦时，由（2）可知3月的电费超过100千瓦时，进而可列出方程进行求解． 【详解】（1）解：由题意得： 1月应缴纳电费为：67a元；2月应缴纳电费为100a+（120-100）b=100a+20b（元）； 答：1月缴纳电费为67a元；2月缴纳电费为（100a+20b）元． （2）解：由（1）及把a=0.49，b=1.50代入得： （元）；（元）； 答：1月应缴纳电费32.83元，2月应缴纳电费79元． （3）解：由（2）可知：3月的电费超过100千瓦时，设3月共用电x千瓦时， ∴， 解得：； 答：3月共用电118千瓦时． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键． 57．某市为更有效地利用水资源，制定了居民用水收费标准：如果一户每月用水量不超过10立方米，每立方米按2元收费；如果超过10立方米，超过部分按每立方米2.5元收费，其余仍按每立方米2元计算，另外，每立方米水加收污水处理费1元．若某户一月份共支付水费65元，求该户一月份用水量为多少立方米？ 【答案】该户一月份用水量为20立方米 【分析】由题意得，设该用户用水量为x，根据等量关系“水费＝2×10＋2.3×超出10立方米的部分＋污水处理费”列出一元一次方程即可求解． 【详解】解：若用水量不超过10立方米，用户应付水费最多为10×（2＋1）＝30元， ∵65＞30， ∴该用户一月份用水量超过10立方米， 设该户一月份用水量为立方米， 根据题意可得：， 解得， 答：该户一月份用水量为20立方米． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是判断出这户居民用水量的大致范围，运用方程思想求解． 易错题型二十、行程问题 58．周末小育和小才相约去登山．小育平均每分钟登高10米，并且先出发40分钟，小才平均每分钟登高15米，两人同时登上山顶．设小育登山用了x分钟． (1)小才登山所用时间为　　　分钟（用x的代数式表示）； (2)试用方程求x的值．由x的值能求出山高吗？如果能，山高多少米？ 【答案】(1) (2)的值为120；由的值能求出山高，山高为1200米 【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据小才登山所用时间等于小育登山所用时间减去小育提前出发的时间即可得； （2）根据两人登上山顶时，两人登的高度相等建立方程，解方程可得的值，再利用的值乘以小育登高的速度即可得山的高度． 【详解】（1）解：∵小育登山用了分钟，且小育先出发40分钟，两人同时登上山顶， ∴小才登山所用时间为分钟， 故答案为：． （2）解：由题意得：， 解得， 则山高为（米）， 答：的值为120；由的值能求出山高，山高为1200米． 59．小秦和小明在操场练习跑步，两人从同一起点A出发，小秦每分钟跑300米，小明每分钟跑200米，小秦比小明晚出发3分钟，结果两人同时到达终点B，求两地的路程． 【答案】A，B两地的路程为1800米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设A，B两地的路程为x米，利用时间路程速度，结合小秦比小明少用3分钟，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设A，B两地的路程为x米， 根据题意得：， 解得：． 答：A，B两地的路程为1800米． 60．，两站间的距离为，一辆慢车从站出发，每小时行驶；一辆快车从站出发，每小时行驶． (1)若两车同时开出，相向而行，则出发多少小时后相遇？ (2)若两车同时开出，同向而行，且慢车在前，则出发多少小时后快车能追上慢车？ 【答案】(1)出发小时后相遇． (2)出发小时后快车能追上慢车． 【分析】（1）设出发小时后相遇，则慢车走的距离为千米，快车走的距离为千米，两车走的距离之和为千米，由此列出方程，求出的值即可． （2）设出发小时后快车追上慢车，则慢车走的距离为千米，快车走的距离为千米，快车追上慢车，则快车比慢车多走了千米，由此列出方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：设出发小时后相遇， 根据题意，得， 解得． 答：若两车同时开出，相向而行，出发后小时相遇． （2）解：设出发小时后快车能追上慢车， 根据题意，得， 解得． 答：若两车同时开出，同向而行，且慢车在前，则出发小时后快车能追上慢车． 【点睛】本题考查了一元一次方程实际问题，解题关键是根据两车行驶距离的关系列出方程． 易错题型二十一、日历问题 61．如图为年月的日历：    (1)在日历上任意框出一个竖列上相邻的3个数： ①若框出的3个数中最小的数是9，则这3个数中最大的数是______； ②若框出的3个数的和为，则这3个数在星期几？ (2)在日历上用一个“十”字（如图中阴影部分）任意框出其中的5个数，设框出的5个数最中间的数为b，若这5个数的和为，求的值． 【答案】(1)①；②星期六 (2) 【分析】（1）①根据同列数字间差值为7，即可作答； ②列一元一次方程计算即可； （2）根据（1）方法，找到数据间关系列一元一次方程即可求解； 【详解】（1）解：①因为日历上任意框出一个竖列上相邻的3个数，且框出的3个数中最小的数是9， 那么这3个数中最大的数是； ②设框出的3个数中最小的数是， 依题意得：， 解得， 由日历可知，则这3个数在星期六； （2）解：因为框出的5个数最中间的数为b，若这5个数的和为， 那么， 解得， 则． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，涉及日历问题，解题的关键是找出日历里数据间关系列出等价式子． 62．如图是2022年2月的日历表：    (1)在图中用优美的“”U形框框住五个数，其中最小的数为1，则U形框中的五个数字之和为 　 　； (2)在图中将U形框上下左右移动，框住日历表中的5个数字，设最小的数字为x，用代数式表示U形框框住的五个数字之和为 　 　； (3)在图中移动U形框的位置，框住的五个数字之和可以为63吗？若能，求出这五个数字中最小的数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)38 (2) (3)框住的五个数字之和不可以为63，理由见解答过程 【分析】（1）写出框出的5个数，相加即可 ； （2）用含x的代数式表示出框住的5个数，再相加即可； （3）列出方程，解方程 ，再根据图形可得答案； 【详解】（1）由图可知，框住的5个数分别是1，8，16，3，10， ∵， ∴U形框中的五个数字之和为38， 故答案为：38； （2）U形框框住的5个数分别是， ∴U形框框住的五个数字之和为； 故答案为：； （3）框住的五个数字之和不可以为63，理由如下： 设最小的数字为x，由（2）可知这5个数和为， ∴， 解得， ∴要求框出的5个数中最小的是6，由图可知，不能框出这样的5个数． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出框出的5个数的大小规律，列出一元一次方程． 63．将连续的奇数按如表所示的方式排列，用长方形任意圈出四个数，如图，若圈出的四个数中，第一行第一列上的数表示为a，其余各数分别用b，c，d表示．    【观察与发现】 （1）分别用含a的代数式表示b，c，d三个数：b＝ ，c＝ ，d＝ ． 【归纳与总结】 （2）求圈出的四个数的和（用含a的代数式表示，并化简） （3）圈出的四个数的和会等于2028吗？如果会，请求出这四个数，如果不会，请说明理由．（列方程解答） 【答案】（1），，；（2）；（3）会，501，503，511，513 【分析】（1）观察表格直接得到答案； （2）将四个数相加，合并同类项即可； （3）根据四个数的和等于2028，列出方程，再检验即可． 【详解】解：（1）第一行第一列上的数表示为a， ∴则，，； （2）四个数的和是： ； （3）四个数的和会等于2028，理由如下： 令， 解得：， 这四个数是501，503，511，513． 【点睛】本题考查列代数式及一元一次方程的应用，解题的关键是观察表格，得到表格中数的关系，再列方程解决问题． 压轴题型一、根据一元一次方程的解求另一个方程的解 64．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握新定义，是解题的关键：先求出的解，根据新定义，得到的解，再利用换元法求出的解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于x的方程与是“美好方程”， ∴方程的解为：， ∴关于y的方程即：的解为：， ∴； 故选A． 65．若关于的方程的解为正整数，则满足条件的所有整数值的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解，先解一元一次方程，再根据其解为正整数解答即可． 【详解】解：， ， ， ， 当，即时，方程的解是， ∵关于x的方程的解为正整数，a为整数， ∴或或或， ∴或或或， 所以满足条件的所有整数a值的个数是4， 故选：D． 66．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义和解法，观察两个方程，利用换元法是解题关键．设，利用“整体换元”的方法根据题中方程的解确定出y的值即可． 【详解】解：设， 则方程，可化为， 的解为， ， 解得， 关于的一元一次方程的解为． 故选：B． 压轴题型二、一元一次方程解的含参问题 67．已知关于的一元一次方程解为正整数，则所有满足条件的的整数有（   ）个． A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据一元一次方程的解的情况求参数，先解原方程得到，根据原方程的解为正整数得到是正整数，则或或或，据此求出a的值即可得到答案． 【详解】解： 去括号得： 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于的一元一次方程解为正整数， ∴是正整数， ∴或或或， ∴或或或， 故选：B． 68．方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”． (1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则___； (2)若关于的方程的解也是“立信方程”的解，则______； (3)若关于的方程的解也是关于的方程的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数和正整数的值． 【答案】(1)1 (2)5 (3)， 【分析】本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解立信方程的意义是解此题的关键． （1）根据“立信方程”的定义解答即可； （2）根据，可得，再代入，即可求解； （3）先根据方程，得出的取值，再根据方程，得出的取值，最后根据相同的解，即可确定的值． 【详解】（1）解： ， 将，代入得， ， 故答案为：1； （2）解：∵ ∴ ∴，代入得， ， ， 故答案为：5； （3）解：由，得， ∵的值为整数， ∴为整数，且取正整数， ∴或或 当时，； 当时，； 当时，； ∵ ∴ ∴， ∵的值为整数， ∴或或， 当时，； 当时，； 当时，； ∵方程的解也是关于的方程的解， ∴，． 69．规定关于的一元一次方程的解为，则称该方程是定解方程， 例如：的解为，则该方程就是定解方程； (1)若关于的一元一次方程是定解方程，则的值为______； (2)若关于的一元一次方程是定解方程，它的解为，求，的值； (3)若关于的一元一次方程和都是定解方程，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、代数式求值等知识点，理解定解方程的定义是解题的关键． （1）根据定解方程的概念列式求解即可； （2）根据a是方程的解得到关于a、b的一个方程，再反而不好根据定解方程的概念列式得到关于a、b的一个等式，然后联立两方程求解即可； （3）根据定解方程的概念列式得到关于m、n的两个方程，联立求解得到m、n的关系，然后代入化简后的代数式进行计算求解即可． 【详解】（1）解：解方程可得：， ∵关于的一元一次方程是定解方程， ∴，解得：． （2）解：解方程可得：， ∵关于的一元一次方程是定解方程，它的解为， ∴①， ∵关于的一元一次方程是定解方程， ∴②， ①②联立得∶解得：． （3）解：∵关于的一元一次方程和都是定解方程， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ． 压轴题型三、一元一次方程中的最值问题 70．一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离可记为．例如表示5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)数轴上表示1和的两点之间的距离是______．数轴上表示x和的两点之间的距离表示为______． (2)若，则______．若，则______． (3)当整数是______，取得最小值______． (4)当______时，的值最小，最小值是______． 【答案】(1) (2)或3，； (3)，0，1，2，3；4； (4)1，7 【分析】本题主要考查了数轴与绝对值的知识，熟练掌握两点间的距离的表示方法是解题的关键． （1）利用两点间的距离公式即可求解； （2）利用绝对值的性质进行求解即可； （3）分情况讨论，确定当时，取得最小值，即可获得答案； （4）利用数形结合的思想，确定当点A与点C重合时，的值最小，并计算最小值即可． 【详解】（1）解：数轴上表示1和的两点之间的距离是， 数轴上表示x和-3的两点之间的距离表示为 ， 故答案为： （2）∵， 或， 解得或； ∵， ∴或， 解得， 故答案为：或3，； （3）当时，， ∵， ∴； 当时，； 当时，， ∵， ∴； 综上所述，当，即当x取整数-1，0，1，2，3时，的值最小，最小值为4． 故答案为：，0，1，2，3；4； （4）设x表示的数为A，B表示的数为-3，C表示的数为1，D表示的数为4，如图所示， 由图像可知，当点A与点C重合时，的值最小， 即，此时． 故答案为：1，7． 71．阅读理解： 定义：在数轴上表示和的两点之间的距离是，这是绝对值的几何意义．如图，在数轴上，点表示的数是，点表示的数为3，则之间的距离为．另，线段的中点表示的数是，即； (1)若在数轴上有、、三点，点对应的数是，且、两点间的距离为6，为的中点，则点所对应的数是___________． (2)当满足___________时，的值最小，最小值为___________． (3)，则___________． (4)若数轴上点表示的数是4，点表示的数是16，动点从点开始以每秒3个单位长度的速度向数轴正半轴方向运动，求多少秒后点到点的距离是到点距离的2倍？ 【答案】(1)或 (2)；1 (3)或 (4)或8秒后点到点的距离是到点距离的2倍 【分析】本题主要考查数轴上的点表示有理数，两点之间距离的计算，一元一次方程的运用，掌握两点之间距离的计算，一元一次方程的运用是解题的关键． （1）根据两点之间距离的计算方法，分类讨论即可求解； （2）根据两点之间距离的计算方法，当表示数x的点在表示数2的点与表示数3的点之间时，值最小，由此即可求解； （3）根据绝对值的几何意义可得表示x与y在数轴上的距离为16，表示x与z在数轴上的距离为30，再分类讨论y和z在x的同侧或异侧时进行求解； （4）根据题意，设运动时间为t，则点P表示的数为，根据两点之间距离的计算方法，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵A点对应的数是，且A、B两点间的距离为6， ∴当B点在A点的右边时，， ∴点B表示的数为2， ∴点C表示的数为：； 当B点在A点的左边时，， ∴点B表示的数为， ∴点C表示的数为：； 故答案为：或； （2）解：根据题意，表示数轴上x到2和3的距离之和， ∴当x在2和3之间时，距离和最小，最小值为， ∴x的取值范围， 故答案为：，1； （3）解：根据绝对值的几何意义可得表示x与y在数轴上的距离为16， 表示x与z在数轴上的距离为30， 当y和z在x的同侧时，假设x在数轴上的某点，y和z都在x的左边（或都在右边）， ∴此时y和z的距离为“x到z的距离”与“x到y的距离”的差， ∴， 当y和z在x的异侧时，假设y在x的左边，z在x的右边（或反之）， ∴此时y和z的距离为“x到z的距离”与“x到y的距离”的和， ∴， 综上，的值为或， 故答案为：或； （4）解：∵点M表示的数是4，点N表示的数是16，动点P从点M开始以每秒3个单位长度的速度向数轴正半轴方向运动， ∴设运动时间为t， ∴点P表示的数为， ∴当点P在之间时，， 解得秒； 当点P在点N右边时，， 解得秒； 综上所述，点P到点M的距离是到点N距离的2倍时，时间为或8秒． 72．点A在数轴上距原点3个单位长度，且位于原点左侧，若一个点从点A处向右移动4个单位长度到达点B． (1)点B表示的数是______； (2)C点表示的数是6，A、B从初始位置分别以4单位长度/s和2单位长度/s的速度同时向右运动，是否存在t的值，使t秒后点B到C的距离与点A到C距离相等？若存在请求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)一般地，点X、点Y在数轴上分别表示有理数x、y，那么点X、点Y之间的距离可表示为．若此数轴上有一点P，点P表示的数为a， ①求的最小值，并求出所有符合条件的非负整数a的值； ②当_______时，的值最小，最小值是_____．（直接写出答案） 【答案】(1)1 (2)2或 (3)①0，1；②1；6 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离解答即可； （2）表示出A运动后表示的数，B运动后表示的数是，分两种情况可解得答案； （3）①根据题意得：表示数轴上表示a的数的点到表示和1的点的距离之和，即可求解；②根据题意得：表示数轴上表示a的数的点到表示，1，3的点的距离之和，可得到答案． 【详解】（1）解：∵点A在数轴上距原点3个单位长度，且位于原点左侧， ∴A表示的数是， ∵一个点从点A处向右移动4个单位长度到达点B， ∴B表示的数是， 故答案为：1； （2）解：存在t的值，使t秒后点B到C的距离与点A到C距离相等，理由如下： 由题意得，A运动后表示的数，B运动后表示的数是， 当A，B重合时，， 解得； 当A在C右侧，B在C左侧时，， 解得：， 综上所述，t的值为2或； （3）解：①根据题意得：表示数轴上表示a的数的点到表示和1的点的距离之和， ∴当a在和1之间时，表示a的数的点到表示和1的点的距离之和最小， 即当时，的最小值， 此时所有符合条件的非负整数a的值0，1； 故答案为：0，1； ②根据题意得：表示数轴上表示a的数的点到表示，1，3的点的距离之和， ∴当时，数轴上表示a的数的点到表示，1，3的点的距离之和最小，最小为， 即当时，的值最小，最小值是6； 故答案为：1；6 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和数轴，解决本题的关键是读懂题意并列出方程． 压轴题型四、一元一次方程解的关系压轴 73．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，将方程变形得，设，可得方程的解即为方程的解，即得，据此即可求解，掌握换元法是解题的关键． 【详解】解：方程变形得，， 设， 则方程的解即为方程的解， ∵方程的解为， ∴， ∴， ∴一元一次方程的解为， 故答案为：． 74．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”． 例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查一元一次方程，解题的关键是根据“和谐方程”的定义，一元一次方程的解，进行解答即可． （1）解出和的解，再根据“和谐方程”的定义列式即可． （2）根据“和谐方程”的定义，则一个方程的解为：；另一个方程的解为：，分成两种情况即可求解． （3）先解出的解，再根据“和谐方程”的定义可得，即可列式求解和的值，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， 解得：， ∵， ∴， ∵与方程是“和谐方程”， ∴， ∴． （2）解：∵“和谐方程”的两个解的差为，其中一个解为， ∴另一个方程的解为：， ∴或， 解得：或， ∴的值为或． （3）解：∵， ∴， ∴方程的解为：， ∴， ∴， ∴， ∵取任何有理数上式都成立， ∴， 解得：， ∴． 75．规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“阳光方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“阳光方程”．请根据上述规定解答下列问题． (1)一元一次方程______（填“是”或“不是”）“阳光方程”． (2)若关于的一元一次方程是“阳光方程”，求的值． (3)若关于的一元一次方程和关于的一元一次方程都是“阳光方程”，求代数式的值． 【答案】(1)不是 (2) (3) 【分析】本题考查了新定义——“阳光方程”．熟练掌握方程的解的定义，新定义，整体代入（或加减）法求代数式的值，解含参数的一元一次方程，是解题的关键． （1），由“阳光方程”的定义得，即可得解； （2）解得，由“阳光方程”的定义得，即可求解； （3）由“阳光方程”得，，即得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴不是“阳光方程”， 故答案为：不是； （2）解：∵关于的一元一次方程是“阳光方程”， ∴， ∴， 解得：； （3）解：∵关于的一元一次方程是“阳光方程”， ∴， ∴， ∴①， ∵关于的一元一次方程是“阳光方程”， ∴， ∴， ∴②， ∴． 压轴题型五、一元一次方程与数轴、绝对值压轴 76．已知点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，、之间的距离记为或，请回答问题： (1)如果，求． (2)设点在数轴上对应的数为，若，则 ． (3)如图，点，，是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为，动点表示的数为． ①若点在点、之间，则 ； ②若，则 ； ③若点表示的数是，现在有一蚂蚁从点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是9？直接写出答案： 【答案】(1) (2)8或 (3)①5；②或7；③经过2秒或11秒时，蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是9 【分析】（1）根据绝对值的非负性，求出，，然后代入求值即可； （2）由，可得或 从而可得答案； （3）①表示之间的距离与之间的距离之和，可得答案； ②由①得：点P在之间，则当时，则P在N的左边，或M的右边，再分两种情况讨论即可； ③P运动秒对应的数为此时即蚂蚁所在的位置，记为  则 结合题意可得：，由②得：当在表示对应的点之间时，在表示的点的左边，或在表示的点的右边，再分两种情况讨论． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∴； （2）解：∵， ∴或 解得：或 故答案为：或． （3）解：①∵表示之间的距离与之间的距离之和， 又∵点P在之间， ∴； ②由①得：点P在之间，则， ∴当时，点P在N的左边，或M的右边， 当P在N的左边，则， ∴， 解得：； 当P在M的右边，则， ∴， 解得：， 综上：当时，或； 故答案为：或7； ③∵P运动秒对应的数为，此时即蚂蚁所在的位置，记为， ∴， ∴， 由②得：当在表示对应的点之间时，， ∴在表示的点的左边，或在表示的点的右边， 当在表示的点的左边，即时， ∴ 解得：； 当在表示的点的右边，则， ∴， 解得：， 综上可知：经过2秒或11秒时，蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是9． 【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，绝对值方程的应用，一元一次方程的应用，利用数形结合，方程思想解决问题是解本题的关键． 77．如图1将一根长为木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点M重合，右端与数轴上的点N重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点N时，它的右端在数轴上所对应的数为12；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点M时，它的左端在数轴上所对应的点为A．如图2，数轴上点A，O，B，C，D对应的数分别为a，0，4，8，12，点P，Q是数轴上的两个动点，P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴的正方向运动，同时Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴的负方向运动，设运动的时间为t秒． (1)图中点A所表示的数是 ，移动后点Q所表示的数是 ；（用含t的式子表示） (2)若动点P从点O到点B的速度为起始速度的一半，从点B到点C的速度为起始速度的两倍，点C之后立刻恢复起始速度；同时动点Q一直以原速度向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．当P，Q两点在数轴上相距时，求运动时间t． 【答案】(1)， (2)运动时间为5秒或秒 【分析】本题考查了数轴、有理数四则运算的应用、一元一次方程的应用，分类讨论，是解题关键． （1）根据数轴上12所对应的点与点A的距离为3根木棒的长度，即可得点A所表示的数；根据点的运动速度和方向、以及数轴的性质即可得点Q所表示的数； （2）分、、和四种情况，分别求出点P所表示的数，根据P、Q两点在数轴上相距建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：A点表示的数为：； Q表示的数为：． 故答案为：，． （2）解：∵点A表示的数为，即， ∴， 当时，在线段上，表示的数是，运动后表示的数是， ， 解得（大于3，舍去）或（舍去）， 当时，在线段上，表示的数是，运动后表示的数是， ， 解得或（舍去）， 当时，在线段上，表示的数是，运动后表示的数是， ， 解得（舍去）或（舍去）， 当时，在线段上，表示的数是，运动后表示的数是， ， 解得（舍去）或， 综上所述，运动时间为5秒或秒． 78．如图，已知数轴上点与点相距个单位长度，点在原点的右侧，到原点的距离为个单位长度，点在点的左侧，点表示的数与点表示的数互为相反数． (1)点表示的数为__________，点表示的数为__________，点表示的数为__________． (2)若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左移动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当点到达点后，运动停止．设移动时间为秒，在点运动过程中， ①请求出点运动几秒后与点相遇？ ②两点之间的距离能否为个单位？如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由． (3)点在数轴上，，将图的数轴在点处各折一下，得到图的“折线数轴”，点从点出发沿着“折线数轴”运动至点，同时点从点出发沿着“折线数轴”向点运动，点的初始速度分别是个单位长度秒和个单位长度秒，点运动到折线时速度才会发生变化，“上坡”时速度为初始速度一半，“下坡”时速度为初始速度倍，离开折线后速度恢复为初始速度．当点和点相遇时，直接写出此时点表示的数． 【答案】(1)，， (2)①秒；②或 (3) 【分析】（）根据题意解答即可； （）①移动秒，点表示的数为，点表示的数为，进而根据题意列出方程即可求解；②由题意可得点到达点需要的时间为秒，当两点之间的距离为个单位时，可得，解方程即可求解； （）由题意可得，即可得点到达点的时间为秒，到达点的时间为秒； 点到达点的时间为秒，到达点的时间为秒，即得到点和点在线段上相遇，设点表示的数为，根据题意列出方程即可求解； 本题考查了数轴与有理数，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点在原点的右侧，到原点的距离为个单位长度， ∴点表示的数为， ∵点与点相距个单位长度，点在点的左侧， ∴点表示的数为， ∵点表示的数与点表示的数互为相反数， ∴点表示的数为， 故答案为：，，； （2）解：①移动秒，点表示的数为，点表示的数为， 当点与点相遇时，， 解得， 答：点运动秒后与点相遇； ②两点之间的距离能为个单位． 点到达点需要的时间为秒， 当两点之间的距离为个单位时，则， 整理得， 解得或，符合题意， 当时，点表示的数为； 当时，点表示的数为； 综上，两点之间的距离能为个单位，此时点表示的数为或； （3）解：∵点表示的数为, ∴， ∵折叠后，， ∴， 由题意可得，点到达点的时间为秒，到达点的时间为秒； 点到达点的时间为，到达点的时间为秒， ∴点和点在线段上相遇， 设点表示的数为，则， 解得， ∴此时点表示的数为． 压轴题型六、一元一次方程中的实际应用压轴 79．某纺织厂生产床品四件套（1个床单，1个被套，2个枕套），现计划安排15名工人缝制枕套和被套，已知每人每天可缝制200个枕套或50个被套． (1)为使每天缝制的枕套和被套刚好配套，则每天缝制的被套有多少个？ (2)若每个枕套和每个被套均需1个拉链，现有600个枕套，300个被套，300个床单以及885个拉链，则最终能组成多少套四件套？ 【答案】(1)每天缝制的被套有个 (2)最终能组成套四件套 【分析】（1）先设缝制被套的工人数为未知数，根据工人 数和枕套、被套的配套关系列方程求解被套数 量； （2）每个枕套和每个被套均需1个拉链，故一套四件套（个床单，个被套，个枕套）需要三个拉链，设有套四件套，则需要个拉链，列不等式组即可求解． 【详解】（1）解：设每天安排名工人缝制被套，则安排名工人缝制枕套． 根据题意，得，解得， （个）． 故每天缝制的被套有个． （2）解：设最终能组成套四件套，根据题意，组成套四件套需要枕套个，被套个，床单个，拉链个.则有： ， 解得.故最终能组成套四件套． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，配套问题，认真审题，找准等量关系是解题的关键． 80．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，还可按如下方案获得相应金额的奖券： 消费金额a（元） 获得奖券的金额（元） 30 50 110 150 按上述促销方法，顾客在该商场购物可获得双重优惠．如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：（元）． 注：购买商品获得的优惠额购买商品得到的优惠率商品的标价． 试问： (1)购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠额是多少？ (2)对于标价在500元900元之间（含500元和900元）的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可以得到的优惠率？ 【答案】(1)310 (2)825 【分析】本题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法， （1）先计算出顾客的消费金额，以确定顾客得到的奖券金额，再计算出顾客得到的“优惠率”即可； （2）设顾客购买的商品的标价为x元，先计算出商品的标价在的范围内顾客的消费金额的范围是，则顾客得到的奖券金额是50元或110元，列方程求出相应的x的值并进行检验，得出符合题意的结果即可． 弄清商品的标价与顾客的消费金额之间的关系是解题的关键． 【详解】（1）∵（元），且， ∴顾客得到110元奖券， ∴（元）， 答：顾客得到的优惠率额是310元． （2）设顾客购买的商品的标价为x元， （元），（元）， ∴顾客的消费金额， ∴或， 由解得，不符合题意，舍去； 由解得， ∵，且， ∴符合题意， 答：顾客购买标价为825元的商品，可以得到的“优惠率”． 81．下表是中国电信两种“套餐”计费方式．（月基本费固定收，主叫不超过主叫时间，流量不超上网流量不再收费，主叫超时和上网超流量部分加收超时费和超流量费） 月基本费/元 主叫通话/分钟 上网流量 接听 主叫超时部分（元/分/钟） 超出流量部分/（元/） 方式一 免费 方式二 免费 (1)若某月小萱主叫通话时间为分钟，上网流量为，则她按方式一计费需________元，按方式二计费需________元；若她按方式二计费需元，主叫通话时间为分钟，则上网流量为________． (2)若上网流量为，是否存在某主叫通话时间（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)若上网流量为，直接写出当月主叫通话时间（分钟）满足什么条件时，选择方式一省钱；当每月主叫通话时间（分钟）满足什么条件时，选择方式二省钱． 【答案】(1)，， ； (2)； (3)当时方式一比较划算，当方式二比较划算； 【分析】（1）根据方式一、二月基本费加超时费直接计算即可得答案，设上网流量为x，根据费用列方程求解即可得到答案； （2）假设存在根据费用相等列方程求解即可得到答案； （3）由（2）及单价对比可直接得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得， ∵小萱主叫通话时间为分钟，上网流量为， ∴方式一收费为：（元）； 方式二收费为：（元）； 设上网流量为x，由题意可得， ， 解得， 故答案为：，，； （2）解：假设存在， ∵， ∴， ∴ 解得：， ∴假设成立，上网流量为当时，方式一和方式二的计费相等； （3）解：∵上网流量为当时，方式一和方式二的计费相等为元， ①当时，方式一费用为：， 方式二费用为：， ， ∴当方式二比较划算． ②当时， 方式一费用为：， 方式二费用为：， 当时，， ∴当时方式一比较划算，当方式二比较划算． 【点睛】本题考查利用一元一次方程解决阶梯收费问题，解题的关键是读懂收费方式找到等量关系式． 压轴题型七、一元一次方程的新定义运算 82．定义：数轴上三个不重合的点，若三个点中，其中一点到另外两点的距离恰满足2倍的数量关系时，我们称这个点是其他两个点的“倍分点”．已知点代表的数是，点表示的数是13，若点是其他两个点的“倍分点”，则点到点的距离不可能是（　　） A．6 B．12 C．18 D．35 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的几何问题． 设点表示的数为，需要分三种情况进行讨论，①当点在点左边时，②当点在点，之间靠近点时；当点在点，之间靠近点时，③当点在点的右边时，可画出相应图形，然后列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设点表示的数为， ①当点在点左边时，有， 即， 解得：，则； ②当点在点，之间靠近点时，有， 即， 解得：，则； 当点在点，之间靠近点时，有， 即， 解得：，则； ③当点在点的右边时，有， 即， 解得：，则， 综上，点到点的距离不可能是35， 故选：D． 83．如果关于的一元一次方程的解是整数，则称该方程为“整”方程；如果不是整数，则称为“分”方程．例如方程是“整”方程，方程是“分”方程．按此定义解答下列问题： (1)方程是________方程； (2)已知为整数，试判断关于的方程是否可能是“整”方程，并说明理由； (3)若关于的方程是“分”方程，则关于的方程是_______方程． 【答案】(1)“分” (2)不可能，理由见解析 (3)“整” 【分析】（）求出方程的解，再根据定义判断即可； （）把代入方程，求出值即可判断； （）由“分”方程可得，再把所解方程转化为，代入计算即可求解； 本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴方程是“分”方程， 故答案为：“分”； （2）解：不可能，理由如下： 当方程是“整”方程时，， 把代入方程得，， 解得， ∵为整数， ∴关于的方程不能是“整”方程； （3）解：∵关于的方程是“分”方程， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵方程， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴方程是“整”方程， 故答案为：“整”． 84．定义：若关于x的一个方程为（a为常数），关于y的一个方程的解为（b为常数），且a，b满足（m为正数），则称这两个方程是“m差解友好方程”， 例如：方程的解是，方程的解是，因为，所以方程与方程是“1差解友好方程”． (1)请通过计算判断关于x的方程与关于y的方程是不是“4差解友好方程”； (2)如果关于x的方程与关于y的方程（k为常数）是“1差解友好方程”，求k的值； (3)关于x，y的两个方程与方程（t，n为常数），若对于任何有理数t，都使得它们是“2差解友好方程”，求n的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)或 (3) 【分析】本题考查的是新定义的含义，一元一次方程的解法，绝对值方程的应用； （1）由方程的解是，方程的解是，再利用新定义的含义计算并判断即可； （2）分别解方程，，再结合新定义可得：，即，进一步求解即可； （3）分别解方程，，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：方程的解是； 方程的解是． 根据题意可得， ∴这两个方程是“4差解友好方程”； （2）解：∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵关于x的方程与关于y的方程（k为常数）是“1差解友好方程” ∴，即， ∴或， 解得：或； （3）解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∵关于x，y的两个方程与方程（t，n为常数），对于任何有理数t，都使得它们是“2差解友好方程”， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元一次方程章末易错压轴题型（21易错+7压轴） 目录 易错题型一、列方程 易错题型二、方程的相关概念 易错题型三、等式的性质 易错题型四、方程的解 易错题型五、根据方程的解求参数 易错题型六、一元一次方程的概念与解 易错题型七、解一元一次方程 易错题型八、已知一元一次方程的解求参数 易错题型九、一元一次方程解的关系 易错题型十、绝对值方程 易错题型十一、配套问题 易错题型十二、工程问题 易错题型十三、销售问题 易错题型十四、方案问题 易错题型十五、数字问题 易错题型十六、几何问题 易错题型十七、动点问题 易错题型十八、和差倍分问题 易错题型十九、水电费问题 易错题型二十、行程问题 易错题型二十一、日历问题 压轴题型一、根据一元一次方程的解求另一个方程的解 压轴题型二、一元一次方程解的含参问题 压轴题型三、一元一次方程中的最值问题 压轴题型四、一元一次方程解的关系压轴 压轴题型五、一元一次方程与数轴、绝对值压轴 压轴题型六、一元一次方程中的实际应用压轴 压轴题型七、一元一次方程的新定义运算 易错题型一、列方程 1．有一所寄宿制学校，开学安排宿舍，如果每间宿舍住人，将会空出间宿舍；如果每间宿舍住人，就有人没床位，设在学校住宿的学生有人，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．根据“的2倍与4的和比的一半少1”可以列方程为（    ） A． B． C． D． 3．请你写出一个解为的一元一次方程，这个方程可以是： 易错题型二、方程的相关概念 4．下列选项中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 5．下列各式中①，②，③，④，⑤，⑥．其中是方程的有（   ） A．①②④⑤ B．②③⑤⑥ C．②④⑤⑥ D．①②⑤⑥ 6．下列式子是方程的是（    ） ①；②；③；④；⑤． A．②③⑤ B．①②③ C．②③④ D．②⑤ 易错题型三、等式的性质 7．下列各式进行的变形中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．下列方程的变形中，正确的是（　　） A．由得， B．由得， C．由得， D．由得， 9．利用等式的性质解方程，并检验． (1)； (2)． 易错题型四、方程的解 10．下列一元一次方程中，解为的是（　　） A． B． C． D． 11．已知方程：（1）；（2）；（3）．则所满足的方程是（　　） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3） 12．有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，x＝2是其解的方程有 ．（填序号） 易错题型五、根据方程的解求参数 13．若关于x的方程的解为，则 ． 14．若是关于的一元一次方程的解，则的值为 ． 15．例如“已知关于的方程的解为，求关于的方程的解．”可以这样解：可得，所以．若关于的方程的解是，且式子成立，则的值为 ． 易错题型六、一元一次方程的概念与解 16．式子，，，，，，，，中是一元一次方程的有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 17．关于x的方程是一元一次方程，则 ． 18．，，分别是下列哪个方程的解？ （1）； （2）； （3）； （4）． 易错题型七、解一元一次方程 19．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．解下列方程： (1)． (2)． 21． 解方程： (1)； (2)． 易错题型八、已知一元一次方程的解求参数 22．已知是关于x的方程的一个解，则a的值是（　　） A． B．1 C． D．5 23．若关于x的方程的解比的解小2，则a的值为 ． 24．若关于的一元一次方程与的解相同，求的值． 易错题型九、一元一次方程解的关系 25．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 26．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 27．已知关于的方程与方程的解互为相反数，求的值 易错题型十、绝对值方程 28．数轴上一动点向右平移6个单位长度后到达点，再向左平移3个长度单位后达到点，若点表示的数的绝对值是1，则点表示的数是（    ） A．2 B． C．或 D．或2 29．方程的解为 ． 30．阅读下面材料：若已知点表示数，点表示数，则两点之间的距离表示为，． 回答下列问题： (1)①点表示数x，点表示数1，则A、B两点之间的距离表示为 ； ②点表示数x，点表示数1，如果，那么x的值为 ； (2)如果，求的值． 易错题型十一、配套问题 31．（工程问题）某车间有28名工人生产某种螺栓和螺母，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，为了合理分配劳动力，使生产的螺栓和螺母配套（一个螺栓套两个螺母），则应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母？ 32．在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板，为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得3张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示．（单位：cm） (1)每张原材料板材可以裁得A型纸板______张或裁得B型纸板______张； (2)现有130张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计），问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？ 33．用长方形硬纸板做长方体盒子，底面为正方形．长方形硬纸板以如图两种方法裁剪．A方法：剪3个侧面；B方法：剪2个侧面和2个底面．现有35张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．    (1)用含x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数； (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 易错题型十二、工程问题 34．一项工程，甲单独做天完成，乙单独做天完成，两队合作多少天能完成这项工程的？ 35．某校组织学生参加植树活动，原计划每天植树80棵，5天完成，后因天气原因需提前1天完成，问每天需多植树多少棵？ 36．黄茅海跨海通道连接珠海市和江门市，是港珠澳大桥西延的关键通道，黄茅海大桥建设过程中，有甲、乙两个工程队参与其中，甲、乙两个工程队一天共铺设桥梁构件80件，甲工程队施工3天比乙工程队施工2天多铺设桥梁构件30件，问甲、乙工程队每天各铺设桥梁构件多少件？ 易错题型十三、销售问题 37．列方程解决问题： 小美和她妈妈的对话如图所示： 问题：一听可乐多少钱？ 38．【初次探究】某店家销售一款网红春联，将这款春联的成本价提价后标价，又以七五折优惠卖出，结果每副春联仍获利8元，求这款春联每副的标价． 小敏用下面的框图直观地表示了店家从进货、标价到销售获利的过程： 分析：设这款春联的成本价为x元/副 （1）请你用含x的代数式补全框图中空缺的部分，并利用一元一次方程的知识求这款春联每副的标价． 【尝试应用】 （2）该商店有两个进价不同的灯笼都卖了200元，其中一个盈利，另一个亏损．在这次买卖中，这家商店赚了还是赔了？请通过计算说明理由． 39．根据以下材料，尝试解决相应问题． 探究不同活动方案的选择问题 材材 两家书店推出两种优惠活动，优惠活动具体方案如下： 书店一：所购书籍按原价打九折； 书店二：所购书籍按原价每满500元减80元，不满500元的按原价．（如原价780元，其中的500元减80元，剩余的280元按原价，共需付款700元） 问题解决 （1） 购买一些原价为300元的书籍时，选择哪家书店划算？请说明理由 （2） 购买一些原价在1000元以下的书籍时，若选择书店一和选择书店二的付款金额相等，求这些书籍的原价 （3） 如果你需要购买原价为900元的书籍，你会如何选择书店购买？请说明理由 易错题型十四、方案问题 40．随着体育中考项目的确认，某校为了能让学生更好的进行排球和篮球的训练，现重新采购a个排球和100个篮球．王老师通过某购物平台了解到甲、乙两家商店出售同样品牌的排球和篮球的价格（单位：元/个）如下表： 排球 篮球 甲商店 20 30 乙商店 25 28 经洽谈后，甲商店全部按售价的8折优惠；乙商店的排球按售价的6折优惠，篮球按售价的9折优惠． (1)用含a的代数式分别表示在甲、乙两家商店采购所需的费用． (2)请你试着帮王老师计算下，选择哪一家商店购买更划算？ 41．某体育用品商店销售的乒乓球拍每副定价为元，乒乓球每桶定价元．元旦期间，该商店推出让利大酬宾活动，如图，某学校到该商店购买了副乒乓球拍和桶乒乓球．    (1)若该学校按方案一购买，需付款______元；若该学校按方案二购买，需付款______元．（用含x的代数式表示） (2)购买乒乓球多少桶时，两种方案的费用相同？ (3)若两种方案可同时使用，当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？写出你的购买方案，并计算需付款多少元． 42．某服装厂生产一种夹克和恤，夹克每件定价150元，恤每件定价75元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一件夹克送一件恤；②夹克和恤都按定价的付款，现某客户要到该服装厂购买夹克30件，恤件． (1)若按方案①购买夹克和恤共需付款______元（用含的式子表示）； 按方案②购买夹克和恤共需付款______元（用含的式子表示）； (2)当购买的恤为多少件时，两种方案所需费用相同？ 易错题型十五、数字问题 43．阅读下列材料． 问题：怎样将表示成分数？ 小明的探究过程如下： 设，① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ ．⑦ 根据以上信息，回答下列问题： (1)从步骤①到步骤②，变形的依据是________；从步骤⑤到步骤⑥，变形的依据是________． (2)仿照上述探究过程，请你分别将和表示成分数的形式． 44．一个两位数，个位数字比十位数字大1，交换两数位置得到新的两位数与原两位数之和等于33，求这个两位数． 45．观察下列两列数： 、……① 、……② (1)第①行第10个数是______，第②行第10个数是______； (2)在第②行中，是否存在三个连续数，其和为83？若存在，求出这三个数；若不存在，说明理由． 易错题型十六、几何问题 46．在如图所示的数轴上，已知，点表示的数为． (1)写出点所表示的数： (2)将点向右平移个单位后，若，求的值． 47．如图，已知、和的度数之比是，且，求的度数． 48．如图是某市民健身广场的平面示意图，它是由6个正方形拼成的长方形，已知中间最小的正方形A的边长是1米． (1)若设图中最大正方形B的边长是x米，请用含x的代数式分别表示出正方形F的边长=_______；正方形E的边长=________；正方形C的边长=________； (2)观察图形的特点可知，长方形相对的两边是相等的．试根据此等量关系求出x的值； (3)此健身广场的周长为 ． 易错题型十七、动点问题 49．【问题呈现】 数轴上的点、点表示的数分别为、，则、两点之间的距离，线段的中点表示的数为．如图，现数轴上有一点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为秒． 【初步发现】 （1）求、两点之间的距离及线段的中点表示的数； 【深入探究】 （2）当、两点相遇时，的值为多少？相遇点所表示的数为多少？ 【拓展延伸】 （3）当时，求的值． 50．如图1，电脑显示屏上画出了一条不完整的数轴，并标出了表示的点．小明同学设计了一个电脑程序：点M，N分别从点同时出发，每按一次键盘，点向右平移2个单位长度，点向左平移1个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点，的位置如图2． (1)第_______次按键后，点正好到达原点； (2)第6次按键后，点到达的点表示的数字比点到达的点表示的数字大多少？ (3)第次按键后，点到达的点表示的数为______（用含的式子表示），点到达的点表示的数为______（用含n的式子表示），若这两个数互为相反数，则______． 51．【阅读理解】点A，B在数轴上分别表示有理数a，b．A，B两点之间的距离表示为，在数轴上A，B两点之间的距离． 【知识应用】利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示3和两点之间的距离是__________；数轴上表示x和3的两点之间的距离表示为__________； （2）可表示数轴上x与数__________的距离；若，则__________； （3）若x表示一个有理数，则的最小值是__________； 【拓展探究】（4）已知，如图A，B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90．若当电子蚂蚁P从B点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度？ 易错题型十八、和差倍分问题 52．张老师带领班级45名学生外出植树，男生每两人为一组，女生每三人为一组．活动完成后统计结果，男生每组平均植树7棵，女生每组平均植树5棵，共计植树119棵．求出该班级男生和女生各有多少人？ 53．在综合与实践课程中，小丽同学在学习完“你的膳食健康吗？”课程后，对顾村实验学校为学生提供的午餐有A、B两种套餐进行了调查研究．（每天只提供一种午餐） 套餐 主食（克） 肉类（克） 蔬菜类（克） 其它（克） A 160 95 120 125 B 200 70 140 90 为了膳食平衡，建议合理控制学生的主食摄入量，一周内学生午餐主食摄入总量建议为880克．那么在一周里小丽同学应该选择A、B套餐各几天时，能达到控制主食摄入量的目的（说明：一周按5天计算） 54．钢琴素有“乐器之王”的美称，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，黑色琴键比白色琴键少16个，请列一元一次方程求白色琴键和黑色琴键各有多少个？ 易错题型十九、水电费问题 55．为增强居民节约用水意识，某市在2020年开始对供水范围内的居民用水实行“阶梯收费”，具体收费标准如表： 每月用水量x立方米 水费单价（元/立方米） a 超出22立方米的部分 某户居民六月份用水18立方米时，收缴水费元． (1)求a的值． (2)若该户居民七月份所缴水费为元，求该户居民七月份的用水量．（用方程求解）． 56．电力公司为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方式计算电费，每月用电不超过100kw·h时，按每千瓦时a元计算；每月用电超过100kw·h时，其中100kw·h仍按原价收费，超过部分按每千瓦时b元计算（a<b）． (1)小王家1月用了67kw·h电，2月用了120kw·h电，则他家1，2月应分别缴纳多少元电费？ (2)若a=0.49，b=1.50，则小王家1，2月应分别缴纳多少元电费？ (3)在第（2）问的条件下，若小王家3月缴纳76元电费，则他家3月共用电多少千瓦时？ 57．某市为更有效地利用水资源，制定了居民用水收费标准：如果一户每月用水量不超过10立方米，每立方米按2元收费；如果超过10立方米，超过部分按每立方米2.5元收费，其余仍按每立方米2元计算，另外，每立方米水加收污水处理费1元．若某户一月份共支付水费65元，求该户一月份用水量为多少立方米？ 易错题型二十、行程问题 58．周末小育和小才相约去登山．小育平均每分钟登高10米，并且先出发40分钟，小才平均每分钟登高15米，两人同时登上山顶．设小育登山用了x分钟． (1)小才登山所用时间为　　　分钟（用x的代数式表示）； (2)试用方程求x的值．由x的值能求出山高吗？如果能，山高多少米？ 59．小秦和小明在操场练习跑步，两人从同一起点A出发，小秦每分钟跑300米，小明每分钟跑200米，小秦比小明晚出发3分钟，结果两人同时到达终点B，求两地的路程． 60．，两站间的距离为，一辆慢车从站出发，每小时行驶；一辆快车从站出发，每小时行驶． (1)若两车同时开出，相向而行，则出发多少小时后相遇？ (2)若两车同时开出，同向而行，且慢车在前，则出发多少小时后快车能追上慢车？ 易错题型二十一、日历问题 61．如图为年月的日历：    (1)在日历上任意框出一个竖列上相邻的3个数： ①若框出的3个数中最小的数是9，则这3个数中最大的数是______； ②若框出的3个数的和为，则这3个数在星期几？ (2)在日历上用一个“十”字（如图中阴影部分）任意框出其中的5个数，设框出的5个数最中间的数为b，若这5个数的和为，求的值． 62．如图是2022年2月的日历表：    (1)在图中用优美的“”U形框框住五个数，其中最小的数为1，则U形框中的五个数字之和为 　 　； (2)在图中将U形框上下左右移动，框住日历表中的5个数字，设最小的数字为x，用代数式表示U形框框住的五个数字之和为 　 　； (3)在图中移动U形框的位置，框住的五个数字之和可以为63吗？若能，求出这五个数字中最小的数；若不能，请说明理由． 63．将连续的奇数按如表所示的方式排列，用长方形任意圈出四个数，如图，若圈出的四个数中，第一行第一列上的数表示为a，其余各数分别用b，c，d表示．    【观察与发现】 （1）分别用含a的代数式表示b，c，d三个数：b＝ ，c＝ ，d＝ ． 【归纳与总结】 （2）求圈出的四个数的和（用含a的代数式表示，并化简） （3）圈出的四个数的和会等于2028吗？如果会，请求出这四个数，如果不会，请说明理由．（列方程解答） 压轴题型一、根据一元一次方程的解求另一个方程的解 64．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解为（   ） A． B． C． D． 65．若关于的方程的解为正整数，则满足条件的所有整数值的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 66．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 压轴题型二、一元一次方程解的含参问题 67．已知关于的一元一次方程解为正整数，则所有满足条件的的整数有（   ）个． A．3 B．4 C．6 D．8 68．方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”． (1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则___； (2)若关于的方程的解也是“立信方程”的解，则______； (3)若关于的方程的解也是关于的方程的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数和正整数的值． 69．规定关于的一元一次方程的解为，则称该方程是定解方程， 例如：的解为，则该方程就是定解方程； (1)若关于的一元一次方程是定解方程，则的值为______； (2)若关于的一元一次方程是定解方程，它的解为，求，的值； (3)若关于的一元一次方程和都是定解方程，求代数式的值． 压轴题型三、一元一次方程中的最值问题 70．一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离可记为．例如表示5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)数轴上表示1和的两点之间的距离是______．数轴上表示x和的两点之间的距离表示为______． (2)若，则______．若，则______． (3)当整数是______，取得最小值______． (4)当______时，的值最小，最小值是______． 71．阅读理解： 定义：在数轴上表示和的两点之间的距离是，这是绝对值的几何意义．如图，在数轴上，点表示的数是，点表示的数为3，则之间的距离为．另，线段的中点表示的数是，即； (1)若在数轴上有、、三点，点对应的数是，且、两点间的距离为6，为的中点，则点所对应的数是___________． (2)当满足___________时，的值最小，最小值为___________． (3)，则___________． (4)若数轴上点表示的数是4，点表示的数是16，动点从点开始以每秒3个单位长度的速度向数轴正半轴方向运动，求多少秒后点到点的距离是到点距离的2倍？ 72．点A在数轴上距原点3个单位长度，且位于原点左侧，若一个点从点A处向右移动4个单位长度到达点B． (1)点B表示的数是______； (2)C点表示的数是6，A、B从初始位置分别以4单位长度/s和2单位长度/s的速度同时向右运动，是否存在t的值，使t秒后点B到C的距离与点A到C距离相等？若存在请求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)一般地，点X、点Y在数轴上分别表示有理数x、y，那么点X、点Y之间的距离可表示为．若此数轴上有一点P，点P表示的数为a， ①求的最小值，并求出所有符合条件的非负整数a的值； ②当_______时，的值最小，最小值是_____．（直接写出答案） 压轴题型四、一元一次方程解的关系压轴 73．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 74．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”． 例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值． 75．规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“阳光方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“阳光方程”．请根据上述规定解答下列问题． (1)一元一次方程______（填“是”或“不是”）“阳光方程”． (2)若关于的一元一次方程是“阳光方程”，求的值． (3)若关于的一元一次方程和关于的一元一次方程都是“阳光方程”，求代数式的值． 压轴题型五、一元一次方程与数轴、绝对值压轴 76．已知点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，、之间的距离记为或，请回答问题： (1)如果，求． (2)设点在数轴上对应的数为，若，则 ． (3)如图，点，，是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为，动点表示的数为． ①若点在点、之间，则 ； ②若，则 ； ③若点表示的数是，现在有一蚂蚁从点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是9？直接写出答案： 77．如图1将一根长为木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点M重合，右端与数轴上的点N重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点N时，它的右端在数轴上所对应的数为12；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点M时，它的左端在数轴上所对应的点为A．如图2，数轴上点A，O，B，C，D对应的数分别为a，0，4，8，12，点P，Q是数轴上的两个动点，P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴的正方向运动，同时Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴的负方向运动，设运动的时间为t秒． (1)图中点A所表示的数是 ，移动后点Q所表示的数是 ；（用含t的式子表示） (2)若动点P从点O到点B的速度为起始速度的一半，从点B到点C的速度为起始速度的两倍，点C之后立刻恢复起始速度；同时动点Q一直以原速度向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．当P，Q两点在数轴上相距时，求运动时间t． 78．如图，已知数轴上点与点相距个单位长度，点在原点的右侧，到原点的距离为个单位长度，点在点的左侧，点表示的数与点表示的数互为相反数． (1)点表示的数为__________，点表示的数为__________，点表示的数为__________． (2)若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左移动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当点到达点后，运动停止．设移动时间为秒，在点运动过程中， ①请求出点运动几秒后与点相遇？ ②两点之间的距离能否为个单位？如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由． (3)点在数轴上，，将图的数轴在点处各折一下，得到图的“折线数轴”，点从点出发沿着“折线数轴”运动至点，同时点从点出发沿着“折线数轴”向点运动，点的初始速度分别是个单位长度秒和个单位长度秒，点运动到折线时速度才会发生变化，“上坡”时速度为初始速度一半，“下坡”时速度为初始速度倍，离开折线后速度恢复为初始速度．当点和点相遇时，直接写出此时点表示的数． 压轴题型六、一元一次方程中的实际应用压轴 79．某纺织厂生产床品四件套（1个床单，1个被套，2个枕套），现计划安排15名工人缝制枕套和被套，已知每人每天可缝制200个枕套或50个被套． (1)为使每天缝制的枕套和被套刚好配套，则每天缝制的被套有多少个？ (2)若每个枕套和每个被套均需1个拉链，现有600个枕套，300个被套，300个床单以及885个拉链，则最终能组成多少套四件套？ 80．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，还可按如下方案获得相应金额的奖券： 消费金额a（元） 获得奖券的金额（元） 30 50 110 150 按上述促销方法，顾客在该商场购物可获得双重优惠．如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：（元）． 注：购买商品获得的优惠额购买商品得到的优惠率商品的标价． 试问： (1)购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠额是多少？ (2)对于标价在500元900元之间（含500元和900元）的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可以得到的优惠率？ 81．下表是中国电信两种“套餐”计费方式．（月基本费固定收，主叫不超过主叫时间，流量不超上网流量不再收费，主叫超时和上网超流量部分加收超时费和超流量费） 月基本费/元 主叫通话/分钟 上网流量 接听 主叫超时部分（元/分/钟） 超出流量部分/（元/） 方式一 免费 方式二 免费 (1)若某月小萱主叫通话时间为分钟，上网流量为，则她按方式一计费需________元，按方式二计费需________元；若她按方式二计费需元，主叫通话时间为分钟，则上网流量为________． (2)若上网流量为，是否存在某主叫通话时间（分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)若上网流量为，直接写出当月主叫通话时间（分钟）满足什么条件时，选择方式一省钱；当每月主叫通话时间（分钟）满足什么条件时，选择方式二省钱． 压轴题型七、一元一次方程的新定义运算 82．定义：数轴上三个不重合的点，若三个点中，其中一点到另外两点的距离恰满足2倍的数量关系时，我们称这个点是其他两个点的“倍分点”．已知点代表的数是，点表示的数是13，若点是其他两个点的“倍分点”，则点到点的距离不可能是（　　） A．6 B．12 C．18 D．35 83．如果关于的一元一次方程的解是整数，则称该方程为“整”方程；如果不是整数，则称为“分”方程．例如方程是“整”方程，方程是“分”方程．按此定义解答下列问题： (1)方程是________方程； (2)已知为整数，试判断关于的方程是否可能是“整”方程，并说明理由； (3)若关于的方程是“分”方程，则关于的方程是_______方程． 84．定义：若关于x的一个方程为（a为常数），关于y的一个方程的解为（b为常数），且a，b满足（m为正数），则称这两个方程是“m差解友好方程”， 例如：方程的解是，方程的解是，因为，所以方程与方程是“1差解友好方程”． (1)请通过计算判断关于x的方程与关于y的方程是不是“4差解友好方程”； (2)如果关于x的方程与关于y的方程（k为常数）是“1差解友好方程”，求k的值； (3)关于x，y的两个方程与方程（t，n为常数），若对于任何有理数t，都使得它们是“2差解友好方程”，求n的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $