专题03 代数式+整式的加减（期末复习讲义，知识必备+20大重难点题型+过关验收）七年级数学上学期新教材冀教版

该初中数学讲义通过表格系统梳理代数式与整式加减的核心考点、复习目标及考情规律，按“概念-运算-应用”逻辑串联14个知识点，分层呈现基础必考点与核心难点，清晰构建知识脉络与内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，如规律探索题型培养抽象能力与推理意识，化简求值题强化运算能力，综合拓展练提升应用意识。基础、重难、拓展三层练习适配不同学生，教师可据此实施精准教学，助力学生系统复习与能力提升。

专题03 代数式+整式的加减（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 代数式的概念 能准确理解代数式的概念 基础必考点，常出现在小题 代数式的书写 掌握代数式的书写格式要求 基础必考点，常出现在小题 列代数式 能根据题意列出代数式，注意形式 基础必考点，一般出现在选择题中 代数式的实际意义 能准确表述出代数式的实际含义 基础必考点，一般出现在小题中 代数式的求值 能根据代数式求出代数式的值 重要考点，小题和解答题中均可能出现 用代数式表示数字、图形规律 能根据数字、图形的规律列出通式 重要考点，一般出现在压轴题中 数字类规律探索 掌握数字类规律问题计算 必考点，小题考查的频率高 图形类规律探索 掌握图形类规律问题计算 必考点，小题的考查频率高 单项式的概念 能正确理解单项式的概念 基础必考点，常出现在小题 多项式的概念 能正确理解多项式的概念 基础必考点，常出现在小题 整式的概念 掌握整式的概念与分类，学会表示整式 重要考点，关键要掌握整式的概念 合并同类项 理解合并同类项的概念，学会对式子进行合并同类项 重要考点，常出现在大题，计算题型为主 添括号、去括号 掌握添括号、去括号的方法和技巧 基础考点，常出现在小题中，做题时需注意括号和负号的添加 整式的加减 掌握整式加减计算规则 核心考点，常出现在解答题中，有计算题型 整式加减中的无关型问题 掌握整式加减中的无关型问题的解决方法与技巧 重要考点，常出现在小题中 整式加减的应用 掌握整式加减的应用，学会用整式表示数量关系 核心考点，常出现在大题中 知识点01 用字母表示数 【概念】用字母表示数，使得字母和数一样可以参与运算，用式子把数量关系简明地表示出来. 用字母表示数的特点： （1）任意性； （2）限制性； （3）确定性； （4）一般性. 【注意】 （1）同一个问题中，相同的字母必须表示相同的量，不同的量必须用不同的字母表示； （2）用字母表示数时，某些特定的字母只能表示特定的数，如“π”表示圆周率； （3）用字母表示数时，数字与字母或字母与字母相乘，通常将乘号写成“·”或直接省略不写（数字要写在字母的前面）； （4）当“1”与任何字母相乘时，“1”可以省略不写； （5）用含字母的式子表示问题的最终答案时，除数一般写成分母，若式子是和或差的形式，要用括号把含有字母的式子括起来，再在括号的后面写上单位. 知识点02 用字母表示数的常见应用 用字母表示运算律 用字母表示运算律，说明运算律不是针对某一个具体的数的运算，使得运算律更具有代表性和一般性，如果用a、b、c表示任意三个有理数，那么加法交换律可以用字母表示为a＋b＝b＋a，加法结合律可以用字母标书为（a＋b＋c）＝a＋（b＋c）. 用字母表示公式 对于任意一个三角形，我们可以用S表示三角形的面积，用a表示三角形的底，用h表示对应底边上的高，则，除此之外，如长方形面积公式可以用S=ab表示，长方体的体积公式可以用V=abc表示. 用字母表示各种数 当n为整数时，我们可以用2n表示任意一个偶数，可以用2n＋1表示任意一个奇数等. 用字母表示数量关系 如小明有a颗糖果，小红的糖果比小明的2倍还多3颗，则小红的糖果数为（2a＋3）颗. 知识点03 代数式 【概念】用运算符号把数和式子连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或字母也是代数式. 知识点04 代数式的书写要求 1、数字与字母相乘或字母与字母相乘，通常把乘号写成“· ”或省略不写； 2、字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面； 3、如果字母前面的数字是1或-1时，通常省略不写； 4、带分数与字母相乘时，要将带分数转化成假分数； 5、除法运算要用分数线； 6、若式子后面有单位且式子是和或差的形式，式子应看作是一个整体，要用括号括起来，再在括号后面写上单位. 知识点05 列代数式 【概念】把问题中的数量关系用代数式表示出来； 列代数式常用的方法： （1）抓关键性词语，如“大”、“小”、“多”、“少”、“差”、“积”、“商”、“倍”等； （2）在具体情境中，运用公式或数量关系列代数式. 知识点06 代数式的实际意义 明白每个符号代表的意义以及整个式子所表示的数量关系，用字母表示数后，同一个代数式可以表示不同的实际问题中的数量关系. 知识点07 代数式的值 【概念】根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫做代数式的值. 求代数式的值的步骤 （1）代入； （2）计算； 【注意】 代数式的值并不是固定的，它会随着代数式中字母取值的变化而变化. 代数式中的字母取值并不是任意的； 知识点08 单项式 【概念】如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式. 【概念】单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. 【概念】单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. 知识点09 多项式 【概念】多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式； 【概念】多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； 【概念】多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. 知识点10 整式 【概念】单项式与多项式统称为整式. 【注意】 1、单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立. 2、分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式. 知识点11 合并同类项 【概念】同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项. 【注意】 1.判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可； 2.同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关； 3.一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项； 4.同类项不一定只有两项，也可以是三项、四项或更多项，但至少有两项，且每一项都是单项式. 5.合并同类项的概念：根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项. 6.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变. 7.合并同类项的一般步骤（一找、二移、三合、四排）： 8.易错点： （1）不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄； （2）所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并； （3）系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)； （4）若两个同类项的系数互为相反数，则合并同类项的结果为0. 知识点12 添括号、去括号 【概念】去括号法则： 括号前面是“＋”号，把括号和前面的“＋”号去掉，括号里各项符号都不改变，如； 括号前面是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里各项符号都要改变，如. 【概念】添括号法则： 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号，如； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号，如． 知识点13 整式的加减 【基本步骤】利用合并同类项和去括号法则，我们可以进行整式的加减运算. 整式的加减运算，像数的运算一样满足各种运算律，如果有括号要先去括号，再合并同类项. 【注意事项】整式加减的结果要最简，不能有同类项，含字母的项的系数不要出现带分数（化成假分数），能去括号的要去括号，一般不含有括号. 整式加减的应用 （1）整式的化简求值 （2）整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法 （3）解决多项式能否被一个数整除类问题 知识点14 整式的化简求值 【求值技巧】求代数式的值时，如果代数式中含有同类项和括号，通常先去括号，合并同类项后再计算. 整式的化简求值步骤（一化、二代、三计算）： （1）利用整式的加减运算将整式化简； （2）把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子； （3）依据有理数的运算法则进行计算. 题型一 代数式的相关概念 解｜题｜技｜巧 学会根据题干中的数量关系，运用所学的公式，正确列出代数式；理解用运算符号把数和式子连接而成的式子叫做代数式，注意常数也是一个代数式； 1．一个两位数，它个位上的数字与十位上的数字之和为，设它个位上的数字为，则这个两位数可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列代数式表示两位数，熟练掌握两位数的数位表示规则（十位数字乘加个位数字）是解题的关键． 先根据个位与十位数字的和表示出十位数字，再结合两位数的表示方法（十位数字个位数字）得出这个两位数的表达式． 【详解】解：∵个位数字为，个位与十位数字和为， ∴十位数字为， ∵两位数表示为：十位数字个位数字， ∴这个两位数为：， 故选：． 2．孙老师买了一些练习本，准备奖励给个学生，若每个学生分本，还剩本，则孙老师买的练习本共有（    ） A．本 B．本 C．本 D．本 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式，根据题意，总练习本数等于分给学生的本数加上剩余的本数． 【详解】解：孙老师买的练习本共有本， 故选：A． 3．经过研究，人们发现，一般情况下大气压强与海拔高度存在着以下规律，在海拔3000米以内，海拔每升高10米，大气压强减小．已知某地区海拔最低处大气压强为，且此地区最低海拔为50米，最高海拔不超过3000米，设此地区内某一地点的海拔为a（）米，则用代数式表示这一地点的大气压强为 ． 【答案】 【分析】本题考查列代数式，根据海拔每升高10米大气压强减小，求出每米减小量，再结合最低海拔和压强列出表达式． 【详解】解：∵海拔每升高10米，大气压强减小， ∴海拔每升高1米，大气压强减小， ∵最低海拔为50米，大气压强为， ∴海拔a米处的大气压强为， 故答案为：． 4．列代数式． （1）的3倍与b的一半的和： ． （2）的平方的2倍减b的平方的4倍的差： ． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，理解各数之间的关系是解题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出代数式即可． 【详解】解：（1）； （2）． 题型二 代数式的书写方法与实际意义 解｜题｜技｜巧 代数式的书写格式注意以下6点： 1、数字与字母相乘或字母与字母相乘，通常把乘号写成“· ”或省略不写； 2、字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面； 3、如果字母前面的数字是1或-1时，通常省略不写； 4、带分数与字母相乘时，要将带分数转化成假分数； 5、除法运算要用分数线； 6、若式子后面有单位且式子是和或差的形式，式子应看作是一个整体，要用括号括起来，再在括号后面写上单位. 5．下列代数式中，符合代数式书写要求的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦千米． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查代数式的书写习惯，掌握代数式的书写习惯是解题的关键． 根据代数式书写规则，检查每个式子是否符合要求，如不使用带分数、除号，数字应在字母前，单位需加括号等． 【详解】解：∵①应写成，不符合书写要求； ②是加法运算，符合书写要求； ③是分数形式，符合书写要求； ④是分数形式，符合书写要求； ⑤数字在括号前，符合书写要求； ⑥应写成，不符合书写要求； ⑦千米应写成千米，不符合书写要求. ∴符合要求的是②③④⑤，共4个， 故选：C． 6．我们知道，用字母表示的代数式是可以具有实际意义的．下列赋予实际意义的例子中，不正确的是（   ） A．若某款笔记本的售价是4元/本，则表示购买a本笔记本所需的钱数 B．若平行四边形的底为，面积为，则它的高为 C．若某校六年级共有4个班，平均每个班有名女生，则表示六年级女生的总人数 D．若表示一个正方形的边长，则表示这个正方形的周长 【答案】B 【分析】本题考查代数式的实际意义，解题的关键是读懂题意，需根据各选项中的情境判断是否合理. 【详解】解：选项A.，赋予实际意义正确，不符合题意； 选项B.∵，已知底，面积，∴，而非，故赋予表示高的意义不正确，符合题意.； 选项C.，赋予实际意义正确，不符合题意； 选项D.，赋予实际意义正确，不符合题意； 故选B． 7．有下列各式：①；②；③米；④；⑤；⑥．其中，符合代数式书写要求的有 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查代数式的书写规则，根据代数式的书写规则逐一进行判断即可． 【详解】①符合书写要求； ②百分比符号符合书写要求； ③米应写成米，不符合书写要求； ④符合书写要求； ⑤应写成，不符合书写要求； ⑥应写成，不符合书写要求． 故符合要求的有①②④． 故答案为：①②④． 8．一本书有280页，每天看页，看了4天，还剩余多少页没有看？ (1)用含的代数式表示剩余页数； (2)已知代数式的意义是的3倍与2的和，请写出代数式的意义． 【答案】(1) (2)表示与2的和的3倍 【分析】本题考查了列代数式，代数式的意义，理解题意，正确列出代数式是解此题的关键． （1）用总页数减去已经看了的页数即可得解； （2）表示与2的和，乘以表示3倍，由此即可得解． 【详解】（1）解：∵一本书有280页，每天看页，看了4天， ∴剩余页数为页； （2）解：代数式的意义为与2的和的3倍． 题型三 用代数式表示数、图形的规律 9．如图都是由同样大小的黑棋子按一定规律摆出的图案，第①个图案有4个黑棋子，第②个图案有9个黑棋子，第③个图案有14个黑棋子，⋯⋯依此规律，第100个图案有（   ）个黑棋子． A．500 B．498 C．497 D．499 【答案】D 【分析】本题主要考查图形规律问题，解题的关键是得到图形的一般变化规律． 仔细观察每一个图形中黑棋子的个数与图形序列号的关系,找到规律,利用规律求解即可． 【详解】解：观察图形的变化可知： 第①个图案有4个黑棋子， 第②个图案有9个黑棋子， 第③个图案有14个黑棋子， 发现规律， 第个图案有黑棋子数为：； ∴第个图案有黑色棋子的数量为（个）； 故选：D． 10．观察下列等式：．．．根据规律，第n个等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查规律探索，掌握相关知识是解决问题的关键．观察已知等式，左边均为连续奇数的和，右边为平方数，且平方数的底数等于左边奇数的个数．因此第n个等式对应n个奇数的和，等于． 【详解】解：观察给定等式： 可以发现规律：前个奇数的和等于， 前个奇数的序列为：， ∴第个等式为： 故选：A． 11．请将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第个图形有个小圆，第个图形有个小圆，第个图形有个小圆，第个图形有个小圆……按此规律依次递增，第个图形有 个小圆． 【答案】 【分析】本题主要考查代数式，可先分别列出前四个图形中计算小圆个数的算式，找到规律，即可求得第个图形中小圆的个数． 【详解】第个图形中小圆的个数； 第个图形中小圆的个数； 第个图形中小圆的个数； 第个图形中小圆的个数； ······ 第个图形中小圆的个数． 故答案为： 12．若，则的值是（   ） A． B．1 C． D．2025 【答案】A 【分析】本题考查绝对值，平方的非负性，代数式求值．根据题意计算出，，再代入代数式即可得到本题答案． 【详解】解： 且 ， 又， 且， 且， 即，， ． 故选：A． 题型四 已知字母与式子的值，求代数式的值 解｜题｜技｜巧 要注意对代数式进行简化，代入值时要注意计算结果。 13．已知 则代数式 的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了代数式的整体代入求值，解题的关键是将已知式子变形后整体代入待求代数式． 观察到待求代数式中是已知式子的2倍，故先将变形为，再代入计算． 【详解】解：由，得， ． 故选：A． 14．如果代数式，那么代数式的值是 ． 【答案】 【分析】该题考查了代数式求值，根据已知条件求出的值，然后将目标代数式变形，整体代入求值． 【详解】解：由 ，得 ， 所以 ． 故答案为：． 15．【阅读理解问题】数学中，运用整体思想的方法在求代数式的值中非常重要． 例如：已知，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)当时，代数式的值是5，求当时，代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求代数式的值： （1）将代数式适当变形后，利用整体代入的思想方法解答即可； （2）将代数式适当变形后，利用整体代入的思想方法解答即可； （3）将代入计算得到关于的代数式的值，再用整体代入的思想方法解答即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， ； （3）解：当时，代数式的值是， ， 当时， ． 16．【阅读理解】在解决数学问题时，整体思想有着广泛的应用，尤其在解决整式加减的运算中经常使用．比如，已知：，求代数式的值． 解：小明在做作业时采用整体代入的方法，解答如下： 在解决上面问题时，我们无需知道a的具体数值，只需将前两项利用乘法分配律的逆运用，变为已知的形式，再将已知代入求值即可． 请你利用上述整体思想方法，解决以下问题： (1)若，求代数式的值． (2)若，求代数式的值． 【答案】(1)6 (2)1 【分析】本题主要考查了求代数式的值，理解和熟练运用整体思想是解题的关键； （1）将原式变形后，然后整体代入已知条件计算即可； （2）将原式变形后，然后整体代入已知条件计算即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）当时 题型五 程序流程图与代数式求值 解｜题｜技｜巧 程序流程图要注意值代入时的循环情况，如果不满足要求要再进行循环，直到符合要求才行。 17．如图所示运算程序中，若开始输入的值为，第一次输出的结果为，第二次输出的结果为．……，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查代数式的值，解题的关键是理解运算程序图；由程序运算图可把代入进行计算，然后可得从第3次开始，按照6和3重复计算下去，进而问题可求解． 【详解】解：开始输入的值为， 第次：为偶数，则输出为； 第次：为偶数，则输出为； 第次：为偶数，则输出为； 第次：为偶数，则输出为； 第次：为奇数，则输出为； 第次：为偶数，则输出为； 第次：为奇数，则输出为； ……； 由此可知：从第3次开始，按照6和3重复计算下去， ∴第次，， ∴第次的数是， 故选：． 18．根据图中的程序，当输入数值为时，输出数值y为 ． 【答案】8 【分析】本题考查程序流程图与代数式求值，根据流程图，把代入，进行计算即可． 【详解】解：由图可知，当时， ； 故答案为：8． 19．下图是“数值转换机”的示意图． (1)用含x，y的式子把图中输出的式子列出来； (2)当输入，时，求出输出的数是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了程序流程图与代数式求值，读懂流程图是解题关键． （1）根据示意图中的运算关系列出代数式即可得； （2）将，代入计算即可得． 【详解】（1）解：图中输出的式子为． （2）解：当输入，时， 则输出的数是 ． 20．如图是一个运算程序： (1)当，时，求输出结果m的值； (2)当，时，求输出结果m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含绝对值的代数式的求解，解决本题的关键是判断a与b的大小． （1）根据，，即，进行“否”的指令求解m的值即可； （2）根据，，即，进行“是”的指令求解m的值即可． 【详解】（1）解：∵，， 即， ∴； （2）解：∵，， 即， ∴． 题型六 数字类规律探索 解｜题｜技｜巧 学会根据数字间的规律，得到普遍的数字规律；常见的例如，可以用裂项相消法进行计算； 21．3的正整数次幂：观察归纳，可得的个位数字是（　　） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字类规律的探索，有理数的乘方运算，解题的关键是找出数字规律． 通过观察3的正整数次幂的个位数字，发现其按3、9、7、1的顺序循环出现，周期为4，因此，求的个位数字只需计算2022除以4的余数，并对应循环中的位置． 【详解】解：∵的个位数字周期为4：当时个位为3，时为9，时为7，时为1，以此循环； 又∵， ∴的个位数字与的个位数字相同，为9， 故选：D． 22．如图，将连续奇数1，3，5，7，…，排成图表．将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，若设中间数为a，则十字框中的五个数的和为（    ） A．a B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，列代数式，整式的加减，能根据题意得出十字框内5个数之间的关系是解题的关键．根据题意，得出十字框所框5个数之间的关系即可解决问题． 【详解】解：由题意可知， 当中间数为时， 左边数为，右边数为，上面数为，下面数为， ∴十字框的五个数之和为：． 故选：C． 23．计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1．将一个十进制数转换为二进制，只把该数写成若干个数的和，依次写出1或0即可．如，为二进制下的五位数，则十进制数65是二进制下的（   ） A．5位数 B．6位数 C．7位数 D．8位数 【答案】C 【分析】本题考查了数字规律，有理数的乘方运算，将十进制数65转换为二进制数，再进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵为二进制下的7位数， ∴十进制数65是二进制下的7位数， 故选：C． 24．观察下面三行数： 第①行：，4，，16，，64，…； 第②行：0，6，，18，，66，⋯； 第③行：，2，，8，，32，．．．． (1)第①行中的第个数是_____（用含的代数式表示）； (2)观察第②、③行与第①行中每个对应位置上的数，写出第②、③行的第个数（用含的代数式表示）； (3)取每行中的第10个数，计算这三个数的和． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了数字规律探索，列代数式，有理数混合运算，根据已知数据找到变化规律是解题的关键． （）根据第①行的数排列为：，，，，，即可求解； （）根据第②行的数比第①行对应的数大，第③行的数是第①行对应的数的即可求解； （）根据找到的规律列式计算即可． 【详解】（1）解：∵第①行的数排列为：，，，，，， ∴第①行第个数是， 故答案为：； （2）解：第②行的第个数是． 第③行的第个数是． （3）解：每行中第10个数的和是 ． 题型七 图形类规律探索 解｜题｜技｜巧 常见的图象规律探索，需要先将图形规律转化为数字，根据数字类的规律进行探索即可； 25．如图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两个顶点）有个点，记第1个图形中总的点数为，第2个图形中总的点数为，依次为，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形变化的规律探究，找出总点数与边点数之间的数量关系是解题的关键． 先观察边点数与总点数的对应值，归纳出总点数公式，再代入数值计算即可． 【详解】解：由图可知， 第1个图形中总的点数为， 第2个图形中总的点数为， 第3个图形中总的点数为， 第4个图形中总的点数为， …， ∴， ∴． 故选：B． 26．用火柴按如图的方式摆六边形组成新的图形，如图①摆1个六边形的图形需要6根火柴；如图②摆2个六边形的图形需要11根火柴，如图③摆3个六边形的图形需要16根火柴，…，按此规律，摆2025个六边形的图形需要 根火柴． 【答案】10126 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察可知每多一个六边形，则多5根火柴，据此规律求解即可． 【详解】解：摆1个六边形的图形需要根火柴， 摆2个六边形的图形需要根火柴， 摆3个六边形的图形需要根火柴， ……， 以此类推可知，摆n个六边形的图形需要根火柴， ∴摆2025个六边形的图形需要根火柴， 故答案为：10126． 27．如图，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两个顶点）有n（n为正整数）个点． (1)当时，图形的点数为_________个； (2)当时，图形的点数为_________个； (3)当时，图形的点数为_________个； (4)每个图形的点数用含n的式子表示为_________个． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是图形类规律探究，列代数式，观察图形，找出相应的规律是解题的关键． （1）由观察图形直接便可得出，，时点的数量，进一步可得时点的数量． （2）结合（1）可得时点的数量． （3）结合（1）可得时点的数量． （4）结合（1）归纳可得每个图形的点数． 【详解】（1）解：依题意得：，点数为， ，点数为， ，点数为， ，点数为（个）． 故答案为：12． （2）解：结合（1）可得： 当时，图形的点数为（个）． 故答案为：30． （3）解：结合（1）可得： 当时，图形的点数为（个）． 故答案为：． （4）解：由（1），（2），（3）归纳可得： 每个图形的点数用含n的式子表示为：个． 故答案为：个． 28．归纳是数学中发现规律的常用方法，我们可以通过具体的例子来发现一般的规律．例如：线段有两个端点，在内部画1个点，可以得到2条基本线段，总线段条数是3；继续在线段内部画点……如果线段上一共有个点，那么基本线段有多少条？总线段条数是多少？ 为了解决这个问题，我们可以从点的个数等简单情形入手，探索其中的规律． 图形 点的个数 基本线段条数 总线段条数 2 1 3 2 4 3 5 4 … … … … ①__________ ②__________ 通过观察、比较，可以发现规律，请利用你所发现的规律解决问题： (1)猜一猜：每增加一个点，基本线段增加__________条，当点的个数为6时，总线段条数为_________条； (2)想一想：用代数式填表：①=__________，②=__________； (3)算一算：． 【答案】(1)1，15； (2)，； (3) 【分析】本题考查了图形规律，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察表格数据，得出每增加一个点，基本线段增加1条，即可作答． （2）当点的个数为时，所以基本线段条数为，则总线段条数为（条），即可作答． （3）直接计算，即可作答． 【详解】（1）解：观察表格数据，当点的个数为2时，则基本线段条数为1条， 当点的个数为3时，则基本线段条数为2条， 当点的个数为4时，则基本线段条数为3条， 当点的个数为5时，则基本线段条数为4条， ∴得出每增加一个点，基本线段增加1条， 当点的个数为6时，基本线段条数为（条） ∴（条）， ∴总线段条数为15条； （2）解：观察表格数据，点的个数为时，则基本线段条数为， 则总线段条数为（条）． （3）解：依题意，． 题型八 单项式的相关概念 解｜题｜技｜巧 数与字母的积称为单项式；注意单项式的系数是除字母外的数字，要看是否有负号； 29．在代数式，，，，，，，中，单项式共有（　　）个． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式，根据单项式的定义逐个判定即可求解，掌握单项式的定义是解题的关键． 【详解】解： 是数字与字母的积，是单项式； 是数字与字母的积，是单项式； 分母含字母，不是单项式； 含加减运算，不是单项式； 含加减运算，不是单项式； 含加减运算，不是单项式； 是数字，是单项式； 含加减运算，不是单项式； ∴单项式有 、、，共个， 故选：． 30．下列代数式中，属于单项式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式的定义，熟练掌握由数字与字母的乘积组成的式子是单项式是解题的关键，还要注意分母中不能有字母．根据单项式的定义，逐一判断即可． 【详解】∵、含有加法运算，不是单项式； 、分母中含字母，不是单项式； 、是数字与字母的乘积； 、含有加法运算，不是单项式． ∴选项是单项式 故选：． 31．式子，，，，中，单项式有 个． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式的定义，数字或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．根据单项式定义逐个判断即可． 【详解】解：单项式有：，共2个， 故答案为：． 32．已知关于m、n的多项式的次数是6，且与关于m、n的单项式的次数相同． (1)求x、y的值； (2)求该多项式各项的系数之和． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了单项式的次数和多项式的次数，解题的关键是熟练掌握单项式和多项式次数的定义． （1）根据单项式的次数和多项式的次数的意义列方程可求x、y的值； （2）由（1）可得多项式，从而可得结论． 【详解】（1）解：根据题意可知，， 解得． 由多项式与单项式的次数相同，可得， 解得． （2）解：由（1）可知，该多项式为， 所以该多项式各项的系数和为． 题型九 单项式规律题 解｜题｜技｜巧 观察单项式的类型，用通过看系数、项、指数的变化，如果出现一正一负这种情况的时候，要用（-1）来进行调节 33．观察下列单项式：，探究发现其中规律，你认为从左到右第15个单项式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式，正确找出规律是解题的关键． 先找出规律，再得出第15个单项式． 【详解】解：观察可得，从左到右第个单项式是， ∴第15个单项式是， 故选：B． 34．以下是一组按规律排列的多项式：，，，……，其中第n个多项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的规律问题． 通过观察给定多项式的规律，发现x的指数与序号n相同，y的系数是且为负号，因此第n个多项式为． 【详解】解：第1个多项式为， 第2个多项式为， 第3个多项式为， 以此类推，第n个多项式为． 故选：D． 35．按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了单项式的规律探究，通过观察单项式的系数符号、分母和字母指数的变化规律，得出规律求解即可． 【详解】解：给定单项式：， ， ， ， ， … 观察可知，第 个单项式的符号为 ，分母为 ，字母指数为 ， 因此第n个单项式为 ． 代入 ，符号 ，分母 ，字母指数 ， 故第 100 个单项式为 ． 故答案为：． 36．观察下列单项式： (1)写出第8个单项式； (2)请你猜想第n个单项式是什么，它的系数、次数分别是多少？ 【答案】(1) (2)第n个单项式是，系数是，次数是 【分析】本题考查了单项式，观察发现规律系数是，字母部分是是解题关键． （1）根据观察，可发现规律：系数是，字母部分是，可得答案； （2）根据观察，可发现规律：系数是，字母部分是，可得答案． 【详解】（1）解：由观察下列单项式：，得 系数是，字母部分是， 第8个单项式； （2）解：由观察下列单项式：，得 第n个单项式是，系数是，次数是． 题型十 多项式的相关概念 解｜题｜技｜巧 几个单项式的和称为多项式； 37．下列说法：①是多项式；②单项式的系数是；③是单项式；④是多项式．其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了单项式和多项式的定义，关键是熟练应用知识点进行判断； 根据单项式和多项式的定义判断每个说法的正确性． 【详解】解：∵ ① 是多个单项式的和，∴ 是多项式，正确； ∵ ② 单项式 的数字因数为 ，∴ 系数是 ，正确； ∵ ③ 是单独的数字，∴ 是单项式，正确； ∵ ④ ，是多个单项式的和，∴ 是多项式，正确； ∴ 所有说法正确，共个， 故答案选：D． 38．下列结论中正确的是（    ） A．单项式的系数是，次数是3 B．是多项式 C．单项式m的次数是1，无系数 D．多项式是二次三项式 【答案】B 【分析】本题考查单项式的系数和次数、多项式的定义，单项式的系数是数字因数（包括常数如π），次数是所有字母指数之和；多项式是几个单项式的和，由此问题可求解． 【详解】解：∵选项A中，单项式的系数是，不是，故A错误； ∵选项B中，可表示为和的和，是多项式，故B正确； ∵选项C中，单项式的系数是1，次数是1，故“无系数”错误； ∵选项D中，多项式的最高次项次数为4，是四次三项式，故D错误； 故选B． 39．下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥，属于多项式的有 ．（填序号） 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了多项式的定义． 根据多项式的定义，几个单项式的和叫做多项式，逐一判断每个式子是否可表示为单项式的和． 【详解】①，是单项式和的和，因此是多项式； ②分母中含有字母，是分式，不是多项式； ③是单项式、和的和，因此是多项式； ④是单项式； ⑤是常数，是单项式； ⑥分母中含有字母，不是多项式； 故属于多项式的有①③． 故答案为：①③． 40．下列代数式中哪些是负有理数？哪些是单项式？哪些是多项式？分别填入所属的集合中． 负有理数集合：{               }． 单项式集合：{               }． 多项式集合：{               }． 【答案】 见解析 【分析】本题主要考查了有理数的分类，单项式、多项式及整式的定义．根据单项式、多项式及整式的概念来分类：1、单项式：数与字母的乘积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式．（1）数字与字母的乘积的形式叫做单项式；（2）单个字母也是单项式；（3）单个数字是单项式；2、多项式：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式． 【详解】解：在中， 负有理数集合：； 单项式集合：； 多项式集合：． 题型十一 多项式系数、指数中字母求值 41．已知是关于x的二次多项式，则m的值是（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． 多项式为二次多项式，需满足三次项系数为零且二次项系数不为零． 【详解】解：∵多项式是关于的二次多项式， ∴且． 由，得，即或． 当时，，不满足条件； 当时，，满足条件． ∴． 故选C． 42．已知为关于x的二次三项式，当时，该多项式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的次数、项数，求代数式的值，根据多项式为二次三项式的条件，得到，，从而求出a和b的值，再代入计算多项式的值即可． 【详解】解：∵为关于x的二次三项式， ∴，， ∴，， ∴该多项式为， 当时，原式． 故选：A． 43．若关于的多项式为二次三项式，则当时，这个二次三项式的值是（   ） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式定义，代数式求值，熟练掌握多项式定义，是解题的关键．根据二次三项式的定义，多项式最高次项为二次且共有三项，因此三次项系数为零，且二次项指数为2，从而求出a和b的值，再代入计算多项式的值． 【详解】解：∵多项式为二次三项式， ∴三次项系数为零，即， ∴， 且最高次项为二次， ∴， 此时多项式为：， 当时，多项式的值为： ． 故选：D． 44．已知多项式． (1)写出该多项式的第2项的系数和第4项的次数． (2)求这个多项式中各项系数之和． (3)若这个多项式的次数和单项式的次数相同，求k的值． 【答案】(1)第2项的系数为，第4项的次数为2 (2) (3) 【分析】（1）根据多项式的系数及某一项的次数的定义即可求解． （2）先找出各项的系数，再相加即可求解． （3）根据多项式的次数与单项式的次数相等得：，进而可求解． 【详解】（1）解：第2项的系数为，第4项的次数为2． （2）根据题意得： ． （3）多项式的次数为5， 所以， 解得：． 【点睛】本题考查了多项式的系数、次数及单项式的次数，熟练掌握基础知识是解题的关键． 题型十二 多项式升幂（降幂）排列 解｜题｜技｜巧 多项式的升幂与降幂，要看是哪个字母，只针对这一个字母进行升幂或者降幂排列，其他字母可以不管； 45．多项式 按x的升幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的升幂排列，解题的关键是确定多项式各项中的次数．按的次数由低到高排列各项，然后对比选项即可． 【详解】解：按的升幂排列（次数由低到高）为：．     故选：C． 46．把多项式按字母升幂排列是 ，其中第三项是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式，把多项式按照字母y的指数从小到大顺序的排列，即可得解． 【详解】解：多项式按字母升幂排列后为：， 故第三项是， 故答案为：，． 47．已知多项式． (1)将其重新排列为，则该排列方式是按照x的__________（填“升幂”或“降幂”）排列的； (2)将多项式按照y的降幂重新排列； (3)将多项式按照y的升幂重新排列． 【答案】(1)升幂 (2) (3) 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握多项式升幂、降幂排序的定义． （1）根据升幂排列和降幂排列的定义，观察字母x、y的指数即可求解； （2）先分清多项式的各项，然后按多项式中y的降幂排列的定义排列； （3）先分清多项式的各项，然后按多项式中y的升幂排列的定义排列． 【详解】（1）解：将其重新排列为，则该排列方式是按照x的升幂排列的， 故答案为：升幂； （2）解：多项式按照y的降幂重新排列为； （3）解：多项式按照y的升幂重新排列为． 48．已知关于的多项式是二次三项式． (1)______，______； (2)将这个多项式按的降幂排列； (3)求当时，这个多项式的值． 【答案】(1)5；2 (2) (3) 【分析】本题主要考查了多项式次数和项的定义，降幂排列多项式，代数式求值： （1）几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数，据此可得，则； （2）根据（1）所求把原多项式按照x的次数从高到低排列即可； （3）直接把代入（2）所求多项式中求解即可． 【详解】（1）解：∵关于的多项式是二次三项式， ∴， ∴， 故答案为：5；2； （2）解：由（1）得原多项式为， 将这个多项式按的降幂排列为； （3）解：当时，． 题型十三 整式的相关概念 解｜题｜技｜巧 记住单项式和多项式合起来称为整式； 49．在、、、、、、这些代数式中，整式的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了整式的判断．整式是单项式和多项式的统称，分母中不能含有字母． 据此判断每个代数式是否为整式． 【详解】解：∵ 整式的分母中不能含有字母， ∴ 是常数，是整式； 是单项式，是整式； 是多项式，是整式； 分母含，不是整式； 分母π是常数，是整式； 是多项式，是整式； 分母含字母，不是整式． ∴ 整式有、、、、共5个． 故选：D． 50．下列说法中错误的是（   ） A．的系数是 B．不是整式 C．是四次三项式 D．次数是5 【答案】D 【分析】本题考查代数式的基本概念，包括系数、整式、多项式的次数和项数，通过逐一验证选项，判断其是否符合定义，熟练掌握代数式的基本概念是解此题的关键． 【详解】解：A、的系数是，故原说法正确，不符合题意； B、中分母含有字母，不是整式，故原说法正确，不符合题意； C、是四次三项式，故原说法正确，不符合题意； D、次数是，故原说法错误，符合题意； 故选：D． 51．将下列各式的序号填入相应的大括号中： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧． 单项式：{                                                   …}； 多项式：{                                                   …}； 三次多项式：{                                                   …}； 整式：{                                                   …}． 【答案】见解析 【分析】本题考查了单项式、多项式、三次多项式和整式的定义进行判断；单项式是由数字或字母的积组成的代数式，单独的一个数或字母也是单项式；多项式是几个单项式的和；三次多项式是多项式中最高次项的次数为3；整式是单项式和多项式的统称，据此求解即可． 【详解】解：单项式：{①⑤⑧…}； 多项式：{②③⑦…}； 三次多项式：{⑦…}； 整式：{①②③⑤⑦⑧…}． 52．把下列各代数式的序号分别填在相应的横线上： 下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？．分别将序号填入所属的横线上． ①7，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨． 单项式：__________； 多项式：__________； 二次三项式：__________； 整式：__________； 【答案】单项式： 多项式： 二次三项式： 整式： 【分析】本题主要考查了单项式，多项式和整式的识别，解题的关键是掌握以上定义． 根据单项式，多项式和整式的定义进行判断即可． 【详解】解：∵①7为单项式，②为单项式，③为多项式，且为一次二项式，④为多项式，且为三次二项式，⑤为多项式，且为二次二项式，⑥不是整式，⑦为单项式，⑧为多项式，且为二次三项式，⑨为单项式； 单项式和多项式统称为整式； ∴单项式：， 多项式：， 二次三项式： 整式：． 题型十四 去括号与添括号 解｜题｜技｜巧 添（去）括号法则：括号外是“+”，添(去)括号不变号；括号外是“-”，添(去)括号都变号. 【补充】去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误. 53．下列各式中，去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查去括号法则．根据分配律和符号规则判断每个选项的正确性即可． 【详解】解：对于选项A∶ ，故本选项错误，不符合题意． 对于选项B∶ ，故本选项错误，不符合题意． 对于选项C∶ ，故本选项正确，符合题意． 对于选项D∶ ，故本选项错误，不符合题意． 故选：C 54．下列各式中，去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了去括号法则，熟练掌握“括号前是负号时，去括号后括号内各项要变号”是解题的关键． 根据去括号法则（括号前是“”，去括号后括号内各项要变号），逐一判断每个选项的去括号结果是否正确． 【详解】解：，故A项错误． ，故B项正确． ，故C项错误． ，故D项错误． 故选：B． 55．化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了去括号，再合并同类项．解决本题的关键是根据去括号法则去括号，再根据合并同类项法则合并同类项． 【详解】解：． 故答案为：． 56．下列去括号正确吗？如果不正确，请加以改正． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不正确，见详解 (2)不正确，见详解 (3)不正确，见详解 (4)正确 【分析】本题主要考查去括号，熟练掌握去括号法则是解题的关键；因此可根据去括号法则进行求解（1）（2）（3）（4）即可． 【详解】（1）解：不正确，改正如下：； （2）解：不正确，改正如下：； （3）解：不正确，改正如下：； （4）解：正确，． 题型十五 整式的加减运算 解｜题｜技｜巧 运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 【补充说明】整式加减实际上就是：去括号、合并同类项； 57．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减， （1）先去括号，再合并同类项得出答案； （2）先去括号，再合并同类项得出答案． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 58．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的化简，通过合并同类项进行简化． （1）直接合并同类项； （2）先去掉括号，再合并同类项． 【详解】（1）解： （2）解： 59．化简： (1)已知，化简； (2)求整式与的差． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式加减运算，涉及去括号法则及合并同类项，熟记整式加减运算法则是解决问题的关键． （1）先化简符号，再合并同类项即可得到答案； （2）先去括号，再合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解：， ； （2）解： ． 60．已知，求 (1) (2)当时，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的化简求值，给出整式中字母的值，求整式的值的问题； （1）先根据，去括号合并同类项化简， （2）代入，求值即可． 【详解】（1）解： （2）解：∵     ∴当时，原式． 题型十六 整式的加减中的化简求值 解｜题｜技｜巧 整式加减运算，化简求值时一定要先化简，在进行计算求值；顺序不能搞乱，如果直接代入求出的结果是不得分的； 61．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式加减中的化简求值．熟练掌握合并同类项法则，正确地进行化简，是解题的关键．先去括号，再合并同类项，然后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 62．化简求值：已知代数式，，若，求的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查整式加减的化简求值及偶次幂与绝对值的非负性，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键；由题意易得，，然后化简，进而代值求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由，得到，， 则原式． 63．先化简，再求值：若，求代数式的值． 【答案】；3 【分析】本题考查了整式加减运算中的化简求值，绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握去括号法则以及合并同类项法则． 先根据去括号法则以及合并同类项法则化简代数式，再根据绝对值以及完全平方式的非负性求解，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ． ∵， ∴， ∴ ∴原式． 64．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【分析】本题考查了整式的加减－化简求值，一般先把所给整式去括号合并同类项，再把所给字母的值或代数式的值代入计算． 先根据整式的加减运算进行化简，再将，代入求值． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 题型十七 整式的加减中的无关型问题 解｜题｜技｜巧 整式加减中的无关型问题主要是涉及到某一项或者某个字母，这时候我们需要把含有这一项或者这个字母的单项式全部合并起来，再令这一项的系数为0，即可求出结果； 65．已知关于，的代数式中不含有项，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式加减运算中无关型问题，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键；根据题意，代数式中不含有项，则项的系数之和为零，即，得．代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ∵代数式中不含有项， ∴，即． 则； 故答案为． 66．若多项式与多项式的和不含x的二次项，则m的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，将两个多项式相加，合并同类项后，根据和不含二次项的条件，令二次项系数为零，求解m即可． 【详解】解：， ∵不含的二次项， ∴， 解得． 故答案为：4． 67．若关于的多项式的值与的取值无关，则的值是 【答案】3 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，去括号、合并同类项，当式子的值与的取值无关时，项和x项的系数均为零，由此可解． 【详解】解： 式子的值与的取值无关， ，， ，， ． 故答案为：3． 68．学习了整式的加减后，老师给出了一道课堂练习题：已知两个多项式A，B，其中，求．某同学把“”误看成“”，结果求出的答案为． (1)请你帮这位同学求出多项式A； (2)当x取任意数值时，的值是一个定值，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算以及无关型问题，熟练掌握去括号法则以及合并同类项法则是解题的关键． （1）依题意得：，，然后根据，结合整式的加减运算法则求解即可； （2）先根据整式的加减运算法则求出，再由的值是一个定值得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：依题意得：，． ∴ ； （2）解： ， ， ， 因为当取任意数值时，的值是一个定值， 所以， 解得． 题型十八 整式加减的应用 解｜题｜技｜巧 整式加减的应用，关键在于列出关系式； 69．第六届山西文化产业博览交易会以下简称文博会于月日在山西潇河国际会展中心开幕，据悉，本届文博会门票种类及价格如图所示七年级某研学小组的名同学利用周末到文博会参观已知他们中有名同学抢到了早鸟门票，其余同学购买了常规门票． 常规门票元张； 早鸟门票元张； 岁以上人员，现役军人， 残疾人可凭有效证件免票． (1)求该研学小组此次购买文博会门票的总费用；用含的代数式表示 (2)若有人抢到早鸟门票，求该研学小组购买文博会门票的总费用． 【答案】(1)该研学小组购买文博会门票的总费用是元 (2)该研学小组购买文博会门票共花费元 【分析】本题主要考查了列代数式，整式加减运算，代数式求值；解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变． （1）根据题意列出式子，根据整式加减运算法则进行计算即可； （2）把代入求值即可． 【详解】（1）解：元； 答：该研学小组购买文博会门票的总费用是元； （2）解：当时，（元）； 答：该研学小组购买文博会门票共花费299元． 70．“作差法”是比较两个数或两个代数式大小的常用方法．如比较a、b两数的大小，若，则；若，则；若，则． (1)比较大小：_______（填“”“”或“”）； (2)设，，请比较A与B的大小． 【答案】(1) (2)当时，；当 时，；当时， 【分析】本题考查比较代数式的大小，整式的加减运算，熟练掌握作差法是解题的关键： （1）利用作差法比较大小即可； （2）利用作差法比较大小即可． 【详解】（1）解：， ∴； 故答案为：； （2）， ∴当时，；当 时，；当时，． 71．如图，这是淇淇家的住房平面图及其尺寸数据（单位：m）． (1)请用含有、的式子表示淇淇家这套住房的总面积；（结果化为最简形式） (2)若，，购买时房价为万元，在计算房价时需另外加的公摊面积，求淇淇家这套住房的总价格． 【答案】(1) (2)62万元 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，解题的关键是理解题意． （1）根据图形，结合长方形面积公式，列出代数式即可； （2）将，，代入数据求出住房面积，然后另外加的公摊面积，最后根据购买时房价为万元，列出算式，进行计算即可． 【详解】（1）解： ， 答：淇淇家这套住房的总面积是． （2）解：当，时， （平方米）， （万元）， 答：淇淇家这套住房的总价格为62万元． 72．请阅读以下素材，并完成相应任务． 项目主题 探究嵩山少林寺常住院建筑房间数 素材1 嵩山少林寺位于河南省登封市，是“天下第一名刹”，是少林武术的发源地，2010年被列入《世界文化遗产名录》． 素材2 少林寺常住院有多重院落，其中核心区域包含： ●第二进院（两层）：每层有x间房； ●第三进院（单层）：比第二进院每层少了3间房； ●大雄宝殿所在的主院（三层）：每层房间数等于“第二进院每层房间数+第三进院房间数”． 任务1 用含x的代数式表示： ①第三进院的房间数为________________； ②第二进院的房间数为________________； ③主院的房间数为________________． 任务2 已知，求这三处院落的总房间数． 【答案】任务1：① ；② ；③ ；任务2：78 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减及求代数式的值；正确列出代数式是关键； 任务1：①根据“第三进院（单层）比第二进院每层少了3间房”，即可列出代数式； ②根据“第二进院（两层），每层有x间房”，即可列出代数式； ③根据主院（三层）每层房间数等于“第二进院每层房间数+第三进院房间数”，即可列出代数式． 任务2：三处院落的房间数相加并化简，最后代值求解． 【详解】解：任务1： ①； 故答案为：； ② 故答案为：； ③ ； 故答案为：； 任务2： ， 当时，原式（间）； 答：这三处院落的总共有78间房． 题型十九 带有绝对值的字母化简问题 解｜题｜技｜巧 带有绝对值的字母化简问题，要考虑字母式子的取值范围，最后根据绝对值里边的式子的正负性去掉绝对值符号； 73．有理数在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“”或“”填空： ， ， ． (2)化简： ． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了数轴、绝对值以及整式的加减： （1）根据数轴得出，，再依次判断即可； （2）先去掉绝对值，再合并同类项． 【详解】（1）解：根据数轴得出，， ， 故答案为：；； ． （2）解：， ． 74．有理数在数轴上的位置如图所示，且． (1)用“”“ ”或“”填空： ______________________0； (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了绝对值，数轴，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． （1）根据各点在数轴上的位置判断出其符号及绝对值的大小，进而可得出结论； （2）根据（1）中各式的符号，去绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：观察数轴得：， ∵， ∴，，； 故答案为：，，； （2）解：由（1）得，，， ． ． 75．综合应用题： 的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离． (1)的几何意义是数轴上表示________的点与_______之间的距离，则______； (2)数轴上表示x和的两点M和N之间的距离是_______，如果，则_______； (3)令，问当x取何值时，y最小，最小值为多少？请求解． 【答案】(1)2，1，1 (2)，， (3)时，y最小，最小值为4 【分析】本题考查绝对值，熟练掌握绝对值表示两点距离是解题的关键． （1）根据绝对值的意义进行解答即可； （2）根据绝对值的意义列出代数式，再令或，进行计算求解即可； （3）根据绝对值的意义可知，表示点到点、、的距离之和，当时，y最小，最小值为． 【详解】（1）解：的几何意义是数轴上表示的点与之间的距离， 则， 故答案为：2，1，1； （2）解：数轴上表示x和的两点M和N之间的距离是， 由于， 则或， 解得或， 故答案为：，，； （3）解：表示点到点、、的距离之和， 当时，y最小， 最小值为： , 故时，y最小，最小值为4． 76．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】 解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即，， 时， 则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则． 综上所述，值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)，则_______，，则_______，，则_______； (2)三个有理数，，满足 ，求的值． (3)若，， 为三个不为的有理数，且 ，求的值． 【答案】(1) ，1 ， (2)1或 (3)1 【分析】本题考查带绝对值的分式运算，熟练运用“分类讨论”的数学思想是解题的关键． （1）根据绝对值的性质，去绝对值进行计算求解即可； （2）由于 ，则，，都是负数或其中两个为正数，另一个为负数，进行分类讨论，求解代数式的值即可； （3），，为三个不为 0 的有理数，且，则，，中负数有 2 个，正数有 1 个，求出，再代入代数式计算求解即可． 【详解】（1）解：，则， ，则， ，则两者同号， 设、，则， 设、，则， 故答案为：，，； （2）解；由于 ， 则，，都是负数或其中两个为正数，另一个为负数， ①当 ，，都是负数，即 、， 时， 则：； ② ，，有一个为负数，另两个为正数时，设，， 则 ， 因此的值为或； （3）解：，，为三个不为 0 的有理数，且， 则，，中负数有 2 个，正数有 1 个， 所以， 则． 题型二十 整式加减中的新定义运算 77．定义：若，则称与是关于6的平衡数． (1)7与_______是关于6的平衡数，与__________是关于6的平衡数； (2)若，，判断与是否是关于6的平衡数，并说明理由． 【答案】(1) (2)与是关于6的平衡数，理由见解析 【分析】本题考查了整式的加减运算，有理数的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平衡数的定义进行列式计算，得出7与是关于6的平衡数，与是关于6的平衡数，即可作答． （2）先计算，化简整理后，结合平衡数的定义进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵，则称与是关于6的平衡数， ∴， 则7与是关于6的平衡数， ∴， ∴与是关于6的平衡数； （2）解：与是关于6的平衡数 理由： ， ∴与是关于6的平衡数． 78．对任意的有理数a，b，定义一种新运算T：规定，例如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)10 【分析】此题考查了有理数的混合运算及整式的加减运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）原式利用题中的新定义化简即可得到结果． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得，． 79．给出如下定义：对于有理数对，我们称使等式成立的一对有理数为“有趣数对”．例如，，所以数对都是“有趣数对”． (1)在有理数对和中，是“有趣数对”的为________； (2)若是“有趣数对”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“有趣数对”的定义分别判断即可； （2）先根据“有趣数对”的定义，得，再代入化简后的式子计算，即可作答. 【详解】（1）解：对于有理数对，我们称使等式成立的一对有理数为“有趣数对” 在中， 是“有趣数对”. 在中， 不是“有趣数对”. 故答案为：.    （2）解：因为是“有趣数对”，所以；所以， 原式. 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值和有理数的混合运算，解决问题的关键是理解题意，掌握去括号法则和合并同类项法则以及有理数的混合运算法则． 80．定义：若，则称A与B是“关于1的单位数”．已知，请判断A与B是否是“关于1的单位数”，并说明理由． 【答案】A与B是“关于1的单位数”．理由见解析 【分析】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键． 利用整式的加减运算法则得出，进而得出答案． 【详解】解：A与B是“关于1的单位数”．理由如下： ， ， ， 所以A与B是“关于1的单位数”． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级上·河北·期末）用文字语言叙述代数式“”的意义是（   ） A．a与的和 B．a与b的和的2倍 C．与b的和 D．a的平方与b的和 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式的意义，“”号前面表示的2倍，则原式表示与b的和或的2倍与b的和，据此可得答案． 【详解】解：代数式“”的意义是与b的和或的2倍与b的和， 故选：C． 2．（24-25七年级上·河北邢台·期末）“这么近那么美，周末到河北”．某校组织了师生y人来到白洋淀划船游玩，租用的每条船可乘坐x人，全部上船后，发现租用的游船只剩一个空位．用含x，y的代数式表示该校租用游船的数量为（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】A 【分析】本题主要考查了列代数式，正确理解题意是解决此题的关键．先计算出所有船只坐满的人数，即可列出代数式． 【详解】解：租用的游船数量为：， 故选：A． 33．（24-25七年级上·河北·期末）下列属于同类项的一组是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义是解决问题的关键.根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）即可判断. 【详解】解：A. 与中所含字母的指数不同，不是同类项，故该选项不符合题意；     B. 与中所含字母的指数不同，不是同类项，故该选项不符合题意；     C. 与是同类项，故该选项正确，符合题意； D. 与中所含字母不同，不是同类项，故该选项不符合题意； 故选：C． 4．（24-25七年级上·河北唐山·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查整式的加减，利用整式的加减的法则进行求解即可． 【详解】解：， ． 故选：B． 5．（24-25七年级上·河北·期末）当，时，代数式的值为 ； 【答案】5 【分析】本题考查了代数式求值．把、的值代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：将，代入得： ． 故答案为：5． 6．（24-25七年级上·河北·期末）一个关于的二次三项式，它的二次项系数为2，一次项系数为，常数项为1，则这个二次三项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的各项、系数和次数．直接根据题目要求求解即可． 【详解】解：根据题意，这个二次三项式为， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：，则所捂的多项式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减的应用，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键． 根据“加减法互为逆运算”，先移项，然后去括号、合并同类项即可． 【详解】解：捂住的多项式是： ， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）观察图，找出规律． ，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是计算规律的探究，同时考查的是有理数的加减运算，掌握以上知识是解题的关键． 由题意可发现规律：上面的数加上左下的数再减去右下的数，从而可得答案． 【详解】 解：∵， ， ， ∴． 故答案为： 9．（25-26七年级上·河北·期末）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的加减混合运算，有理数的乘方、化简绝对值等，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘方、化简绝对值和有理数的混合运算法则进行计算，即可求解； （2）根据整式的加减混合运算法则进行计算，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 10．（24-25七年级上·吉林·期末）某数学兴趣小组利用A、B、C三张卡片做游戏．卡片上写有代数式，C卡片上的代数式模糊不清，但知道它是A、B两张卡片上代数式的和． (1)请通过计算求出C卡片上的代数式； (2)当时，求C卡片上的代数式的值． 【答案】(1) (2)38 【分析】本题考查了整式的加减的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据整式的加减运算，计算即可； （2）把代入（1）中代数式，即可． 【详解】（1）解：根据题意得： （2）解：当时， ． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 11．（24-25七年级上·河北邢台·期末）下列说法正确的是（    ） A．的系数是−2 B．的次数是6 C．是三次三项式 D．的常数项是1 【答案】C 【分析】本题考查了单项式和多项式的相关概念，熟练掌握多项式的相关概念是解题关键． 根据单项式的系数、次数，多项式的系数、次数、项数和常数项的概念逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、的系数是，原说法错误，故该选项错误； B、的次数是3次，原说法错误，故该选项错误； C、多项式是三次三项式，原说法正确，故该选项正确； D、多项式的常数项为，原说法错误，故该选项错误． 故选：C． 12．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减，根据整式的加减运算法则，先去括号，然后合并同类项． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确． 故选：D． 13．（24-25七年级上·河北廊坊·期末）已知，那么代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的加减运算和代数式求值，将代数式进行整式的加减计算，然后变形为，从而整体代入求解即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴原式， 故选：． 14．（24-25七年级上·河北沧州·期末）课堂上，李老师给出一个三位数，让同学们把它各位上的数字倒序排列后得到一个新的三位数，用新的三位数减去原来的三位数，小聪、小明、小智、小慧四名同学计算的结果分别为560，396，275，183，李老师判断有且只有一名同学计算正确，那么计算正确的这位同学是（    ） A．小慧 B．小智 C．小明 D．小聪 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减，整除，根据题意设原数为，则得出是99的倍数，进而即可求解． 【详解】解：答对的是乙同学． 设原数为，则 是的倍数． ∵560，396，275，183中，只有396是99的倍数，． ∴答对的是小明同学， 故选：C． 15．（24-25七年级上·河北唐山·期末）若与是同类项，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类项的定义，熟练掌握所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式是同类项是解题的关键．根据同类项的定义，可得 ，即可求解． 【详解】解：∵与是同类项， ∴ ， ∴． 故答案为：． 16．（24-25七年级上·河北沧州·期末）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，则：的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求代数式的值．根据题意可得，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， 即， ∴． 故答案为：2 17．（24-25七年级上·河北张家口·期末）小明用边长为的小正方形纸片在桌面上摆放成如图所示的塔状图．第n（n是正整数）个塔状图的周长为 （用含n的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查图形的变化规律，代数式．根据题意分别求出前三次所摆图形周长，观察并得出规律进行分析求解即可． 【详解】解：第一次所摆图形周长是； 第二次所摆图形的周长是； 第三次所摆图形的周长是； … 第n次所摆图形的周长是． 故答案为：． 18．（23-24七年级上·河北秦皇岛·期末）从边长为的正方形纸片上剪下一个边长为m的正方形后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠，无缝隙） （1）如图①方式，剪拼成的长方形一边长为3，另一边长为 ； （2）如图②方式，剪拼成的长方形一边长为，另一边长为 ． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查了列代数式，整式的加减应用，解答的关键是读懂题意，看懂图形． （1）依据操作的过程可知，矩形的另一边长是，由此解答即可； （2）依据操作的过程可知，矩形的另一边长是，由此解答即可 【详解】解：（1）图①方式，剪拼成的长方形一边长为3，另一边长为： ； 故答案为：； （2）图②方式，剪拼成的长方形一边长为，另一边长为： ． 故答案为：． 19．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）下面是佳佳同学先化简再求值的全过程． ，其中，． 解： =① =② 当，时， 原式=③ = (1)请指出佳佳从第______步开始出错；（填序号） (2)写出正确的化简求值过程． 【答案】(1)① (2)见解析 【分析】本题主要考查了整式的加减法的化简求值， 对于（1），根据①中是否漏乘得出答案； 对于（2），先去括号，再合并同类项，然后将数值代入计算即可． 【详解】（1）第①步去括号出现错误，漏乘3； 故答案为：①； （2）解： ． 当时， 原式 ． 20．（24-25七年级上·河北承德·期末）如图，在长方形中，，分别是边，上一点，连接，． 按图中各部分尺寸解决下列问题： (1)用含的代数式表示阴影部分的面积； (2)当时，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)20 【分析】本题考查了代数式与求不规则图形的面积．解题的关键在于利用作差法将各规则图形的面积表示出来． （1）不规则图形的面积可以用规则图形的面积作差得到，图中阴影部分的面积可看作由长方形的面积减去两个直角三角形的面积，即可得到含有的代数式； （2）将代入求解即可． 【详解】（1）解：阴影部分的面积： 答：阴影部分面积为：． （2）解：当时， 答：阴影部分面积为20． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 21．（23-24七年级上·重庆南岸·期末）下列说法中错误的有（    ） ① 多项式的常数项是1；② 单项式的次数是5； ③ 单项式和多项式统称为整式；④若与是同类项，那么 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查多项式常数项、单项式次数、整式定义和同类项概念，掌握基本概念是解题关键．①根据常数项的概念即可得出；②把单项式中字母的次数进行相加计算即可；③根据整式的定义即可判断；④根据题意得，，求出，的值再求解即可． 【详解】解：①∵多项式的常数项是，∴说法错误； ②∵ 单项式的次数是字母指数和，∴说法错误； ③∵ 单项式和多项式统称为整式，∴说法正确； ④∵ 与是同类项， ∴ 且， 解得，， ∴，与说法一致，∴说法正确。 综上，错误的有①和②，共个． 故选：B． 22．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式加减的应用，解题关键是正确列出算式．先列出算式，再利用整式加减化简，然后代入求值． 【详解】解：设小长方形卡片的长为，宽为， 则下面的阴影的周长为， 上面的阴影的周长为， 所以两块阴影部分的周长和为 ． 因为， 所以 ， 即图②中两块阴影部分的周长和是， 故选：A． 23．（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，每个小正方形的面积均为1． 已知一个草垛（按如图所示的阶梯方式摆放）的最底端有2024个类似小正方体的草堆，则该草垛共有（   ）个草堆． A．12144 B．4098600 C．1025156 D．4094552 【答案】C 【分析】本题主要考查图形的变化规律，分析等式规律题时，观察等式的两边的特征，解答的关键是由所给的图形分析出存在的规律．分析所给的等式，等式左边是连续的偶数之和，右边是两个连续整数的乘积，进行求解即可． 【详解】解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ， ∴第个等式：， ∴当最底端有2024个类似小正方体的草堆时，； 故选C． 24．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）天干地支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，天干有十，即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸：地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．2049年是新中国成立100周年，使用天干地支纪年法（天干地支纪年法对应的规律如下表），已知2021年是辛丑年，可以推知2049年是什么年（   ） 天 干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 地 支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 干 支 纪 年 甲 子 年 乙 丑 年 丙 寅 年 丁 卯 年 戊 辰 年 己 巳 年 庚 午 年 辛 未 年 壬 申 年 癸 酉 年 甲 戌 年 乙 亥 年 丙 子 年 A．乙巳 B．己巳 C．己酉 D．乙亥 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确发现规律是解题关键．根据表格得出天干是以10年为一个周期，地支是以12年为一个周期，据此求解即可得． 【详解】解：由题意得：天干是以年为一个周期，地支是以年为一个周期， ∵年和年相差年, 且年是辛丑年， ∴年对应的天干是己，地支是巳，即年是己巳年， 故选: B． 25．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图所示，各正方形中的四个数之间都具有同一种规律，按此规律得出的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律；由题意易得每个正方形的左上角是按连续的正整数进行排列，右上角是按从3开始的连续整数进行排列，左下角是右上角数字的平方，右下角是每个正方形的其他三个数之和，由此问题可求解． 【详解】解：由题意得：每个正方形的左上角是按连续的正整数进行排列，右上角是按从3开始的连续整数进行排列，左下角是右上角数的平方，右下角是每个正方形的其它三个数之和， ∴， ∴； 故答案为． 26．（24-25七年级上·河北唐山·期末）观察下面一列数，按某种规律在横线上填上适当的数：，，，，…，第8个数是 ；则第个数是 ． 【答案】 【分析】本题是对数字变化规律的考查，根据分母是平方数，分子是连续的奇数得出变化规律是解题的关键． 观察数列，分子是连续的奇数，分母是序数的平方，且奇数项是负数，偶数项是正数，根据此规律写出即可． 【详解】解：观察数据的规律可知：分子的规律是连续的奇数即，分母是、、、，且奇数项是负数，偶数项是正数即，则第个数是，第8个数是， 故答案为：，． 27．（25-26七年级上·山东青岛·期末）如图所示，在这个运算程序中，若开始输入的值为，结果输出的是，将第次输出的结果，再次输入运算程序，进行第次运算，结果输出的是，则第次输出的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探索、求代数式的值；根据题意和运算程序可以计算出前几次的输出结果，从而可以发现结果的变化特点并得到第次输出的结果. 【详解】解：由题意可得， 第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， …， 由上可得，从第二次输出结果开始，以，，依次循环出现， ∵， ∴第次输出的结果是． 故答案为：． 28．（25-26七年级上·河南南阳·期末）定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．如：2的差倒数是，－1的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了新定义运算，找数字规律，解题的关键是理解题意，算出、、，找出规律．根据题目中给出的信息，依次算出、、，然后找出规律，进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ，，……， ∴每3次运算结果循环出现一次， ∵， ∴， 故答案为：． 29．（25-26七年级上·湖南怀化·期末）已知代数式． (1)求的值． (2)当的值与y的值无关时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算及代数式与字母取值无关的条件，解题的关键是正确去括号、合并同类项，以及利用“与某字母无关则该字母的系数为0”求解． （1）将、代入，去括号后合并同类项化简式子； （2）整理，令的系数为0，解方程求的值． 【详解】（1）解：，， （2）解：， 其值与无关， ， 解得． 30．（25-26七年级上·河北邢台·期末）综合与实践 问题情境：我国古建筑中有一种凹凸结合的连接方式--榫卯（sǔnmǎo）结构，精密严谨天衣无缝．小悦和同学参观完某古建筑后自己制作了如图所示的榫卯结构（如图1），图2为其上表面的示意图，小悦计划利用长为的金色彩条贴在上表面的四周（长方形的四条边长）和榫卯结构缝隙处（两个正方形的四条边长），增加结构的美观性． 数学建模：如图2，上表面的长为，宽为，中间两个正方形榫卯结构缝隙的边长为，贴上金色彩条后，金色彩条有剩余． 趣味问题： (1)求使用的金色彩条的长． (2)求剩余的金色彩条的长． (3)若剩余的金色彩条的长为，请直接写出使用的金色彩条的长． 【答案】(1)使用的金色彩条的长为 (2)剩余的金色彩条的长为 (3) 【分析】本题考查了整式的加减的应用，代数式求值； （1）根据长方形的周长加上2个正方形的周长，即可求解； （2）计算，即可求解． （3）根据题意得出，则，整体代入，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ． 答：使用的金色彩条的长为． （2）剩余的金色彩条的长为 ． 答：剩余的金色彩条的长为． （3）解：由题意得，所以， 所以，所以． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 代数式+整式的加减（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 代数式的概念 能准确理解代数式的概念 基础必考点，常出现在小题 代数式的书写 掌握代数式的书写格式要求 基础必考点，常出现在小题 列代数式 能根据题意列出代数式，注意形式 基础必考点，一般出现在选择题中 代数式的实际意义 能准确表述出代数式的实际含义 基础必考点，一般出现在小题中 代数式的求值 能根据代数式求出代数式的值 重要考点，小题和解答题中均可能出现 用代数式表示数字、图形规律 能根据数字、图形的规律列出通式 重要考点，一般出现在压轴题中 数字类规律探索 掌握数字类规律问题计算 必考点，小题考查的频率高 图形类规律探索 掌握图形类规律问题计算 必考点，小题的考查频率高 单项式的概念 能正确理解单项式的概念 基础必考点，常出现在小题 多项式的概念 能正确理解多项式的概念 基础必考点，常出现在小题 整式的概念 掌握整式的概念与分类，学会表示整式 重要考点，关键要掌握整式的概念 合并同类项 理解合并同类项的概念，学会对式子进行合并同类项 重要考点，常出现在大题，计算题型为主 添括号、去括号 掌握添括号、去括号的方法和技巧 基础考点，常出现在小题中，做题时需注意括号和负号的添加 整式的加减 掌握整式加减计算规则 核心考点，常出现在解答题中，有计算题型 整式加减中的无关型问题 掌握整式加减中的无关型问题的解决方法与技巧 重要考点，常出现在小题中 整式加减的应用 掌握整式加减的应用，学会用整式表示数量关系 核心考点，常出现在大题中 知识点01 用字母表示数 【概念】用字母表示数，使得字母和数一样可以参与运算，用式子把数量关系简明地表示出来. 用字母表示数的特点： （1）任意性； （2）限制性； （3）确定性； （4）一般性. 【注意】 （1）同一个问题中，相同的字母必须表示相同的量，不同的量必须用不同的字母表示； （2）用字母表示数时，某些特定的字母只能表示特定的数，如“π”表示圆周率； （3）用字母表示数时，数字与字母或字母与字母相乘，通常将乘号写成“·”或直接省略不写（数字要写在字母的前面）； （4）当“1”与任何字母相乘时，“1”可以省略不写； （5）用含字母的式子表示问题的最终答案时，除数一般写成分母，若式子是和或差的形式，要用括号把含有字母的式子括起来，再在括号的后面写上单位. 知识点02 用字母表示数的常见应用 用字母表示运算律 用字母表示运算律，说明运算律不是针对某一个具体的数的运算，使得运算律更具有代表性和一般性，如果用a、b、c表示任意三个有理数，那么加法交换律可以用字母表示为a＋b＝b＋a，加法结合律可以用字母标书为（a＋b＋c）＝a＋（b＋c）. 用字母表示公式 对于任意一个三角形，我们可以用S表示三角形的面积，用a表示三角形的底，用h表示对应底边上的高，则，除此之外，如长方形面积公式可以用S=ab表示，长方体的体积公式可以用V=abc表示. 用字母表示各种数 当n为整数时，我们可以用2n表示任意一个偶数，可以用2n＋1表示任意一个奇数等. 用字母表示数量关系 如小明有a颗糖果，小红的糖果比小明的2倍还多3颗，则小红的糖果数为（2a＋3）颗. 知识点03 代数式 【概念】用运算符号把数和式子连接而成的式子叫做代数式，单独的一个数或字母也是代数式. 知识点04 代数式的书写要求 1、数字与字母相乘或字母与字母相乘，通常把乘号写成“· ”或省略不写； 2、字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面； 3、如果字母前面的数字是1或-1时，通常省略不写； 4、带分数与字母相乘时，要将带分数转化成假分数； 5、除法运算要用分数线； 6、若式子后面有单位且式子是和或差的形式，式子应看作是一个整体，要用括号括起来，再在括号后面写上单位. 知识点05 列代数式 【概念】把问题中的数量关系用代数式表示出来； 列代数式常用的方法： （1）抓关键性词语，如“大”、“小”、“多”、“少”、“差”、“积”、“商”、“倍”等； （2）在具体情境中，运用公式或数量关系列代数式. 知识点06 代数式的实际意义 明白每个符号代表的意义以及整个式子所表示的数量关系，用字母表示数后，同一个代数式可以表示不同的实际问题中的数量关系. 知识点07 代数式的值 【概念】根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫做代数式的值. 求代数式的值的步骤 （1）代入； （2）计算； 【注意】 代数式的值并不是固定的，它会随着代数式中字母取值的变化而变化. 代数式中的字母取值并不是任意的； 知识点08 单项式 【概念】如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式. 【概念】单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. 【概念】单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. 知识点09 多项式 【概念】多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式； 【概念】多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； 【概念】多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. 知识点10 整式 【概念】单项式与多项式统称为整式. 【注意】 1、单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立. 2、分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式. 知识点11 合并同类项 【概念】同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项. 【注意】 1.判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可； 2.同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关； 3.一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项； 4.同类项不一定只有两项，也可以是三项、四项或更多项，但至少有两项，且每一项都是单项式. 5.合并同类项的概念：根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项. 6.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变. 7.合并同类项的一般步骤（一找、二移、三合、四排）： 8.易错点： （1）不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄； （2）所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并； （3）系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)； （4）若两个同类项的系数互为相反数，则合并同类项的结果为0. 知识点12 添括号、去括号 【概念】去括号法则： 括号前面是“＋”号，把括号和前面的“＋”号去掉，括号里各项符号都不改变，如； 括号前面是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里各项符号都要改变，如. 【概念】添括号法则： 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号，如； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号，如． 知识点13 整式的加减 【基本步骤】利用合并同类项和去括号法则，我们可以进行整式的加减运算. 整式的加减运算，像数的运算一样满足各种运算律，如果有括号要先去括号，再合并同类项. 【注意事项】整式加减的结果要最简，不能有同类项，含字母的项的系数不要出现带分数（化成假分数），能去括号的要去括号，一般不含有括号. 整式加减的应用 （1）整式的化简求值 （2）整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法 （3）解决多项式能否被一个数整除类问题 知识点14 整式的化简求值 【求值技巧】求代数式的值时，如果代数式中含有同类项和括号，通常先去括号，合并同类项后再计算. 整式的化简求值步骤（一化、二代、三计算）： （1）利用整式的加减运算将整式化简； （2）把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子； （3）依据有理数的运算法则进行计算. 题型一 代数式的相关概念 解｜题｜技｜巧 学会根据题干中的数量关系，运用所学的公式，正确列出代数式；理解用运算符号把数和式子连接而成的式子叫做代数式，注意常数也是一个代数式； 1．一个两位数，它个位上的数字与十位上的数字之和为，设它个位上的数字为，则这个两位数可以表示为（　　） A． B． C． D． 2．孙老师买了一些练习本，准备奖励给个学生，若每个学生分本，还剩本，则孙老师买的练习本共有（    ） A．本 B．本 C．本 D．本 3．经过研究，人们发现，一般情况下大气压强与海拔高度存在着以下规律，在海拔3000米以内，海拔每升高10米，大气压强减小．已知某地区海拔最低处大气压强为，且此地区最低海拔为50米，最高海拔不超过3000米，设此地区内某一地点的海拔为a（）米，则用代数式表示这一地点的大气压强为 ． 4．列代数式． （1）的3倍与b的一半的和： ． （2）的平方的2倍减b的平方的4倍的差： ． 题型二 代数式的书写方法与实际意义 解｜题｜技｜巧 代数式的书写格式注意以下6点： 1、数字与字母相乘或字母与字母相乘，通常把乘号写成“· ”或省略不写； 2、字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面； 3、如果字母前面的数字是1或-1时，通常省略不写； 4、带分数与字母相乘时，要将带分数转化成假分数； 5、除法运算要用分数线； 6、若式子后面有单位且式子是和或差的形式，式子应看作是一个整体，要用括号括起来，再在括号后面写上单位. 5．下列代数式中，符合代数式书写要求的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦千米． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．我们知道，用字母表示的代数式是可以具有实际意义的．下列赋予实际意义的例子中，不正确的是（   ） A．若某款笔记本的售价是4元/本，则表示购买a本笔记本所需的钱数 B．若平行四边形的底为，面积为，则它的高为 C．若某校六年级共有4个班，平均每个班有名女生，则表示六年级女生的总人数 D．若表示一个正方形的边长，则表示这个正方形的周长 7．有下列各式：①；②；③米；④；⑤；⑥．其中，符合代数式书写要求的有 ．（填序号） 8．一本书有280页，每天看页，看了4天，还剩余多少页没有看？ (1)用含的代数式表示剩余页数； (2)已知代数式的意义是的3倍与2的和，请写出代数式的意义． 题型三 用代数式表示数、图形的规律 9．如图都是由同样大小的黑棋子按一定规律摆出的图案，第①个图案有4个黑棋子，第②个图案有9个黑棋子，第③个图案有14个黑棋子，⋯⋯依此规律，第100个图案有（   ）个黑棋子． A．500 B．498 C．497 D．499 10．观察下列等式：．．．根据规律，第n个等式为（    ） A． B． C． D． 11．请将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第个图形有个小圆，第个图形有个小圆，第个图形有个小圆，第个图形有个小圆……按此规律依次递增，第个图形有 个小圆． 12．若，则的值是（   ） A． B．1 C． D．2025 题型四 已知字母与式子的值，求代数式的值 解｜题｜技｜巧 要注意对代数式进行简化，代入值时要注意计算结果。 13．已知 则代数式 的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．如果代数式，那么代数式的值是 ． 15．【阅读理解问题】数学中，运用整体思想的方法在求代数式的值中非常重要． 例如：已知，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)当时，代数式的值是5，求当时，代数式的值． 16．【阅读理解】在解决数学问题时，整体思想有着广泛的应用，尤其在解决整式加减的运算中经常使用．比如，已知：，求代数式的值． 解：小明在做作业时采用整体代入的方法，解答如下： 在解决上面问题时，我们无需知道a的具体数值，只需将前两项利用乘法分配律的逆运用，变为已知的形式，再将已知代入求值即可． 请你利用上述整体思想方法，解决以下问题： (1)若，求代数式的值． (2)若，求代数式的值． 题型五 程序流程图与代数式求值 解｜题｜技｜巧 程序流程图要注意值代入时的循环情况，如果不满足要求要再进行循环，直到符合要求才行。 17．如图所示运算程序中，若开始输入的值为，第一次输出的结果为，第二次输出的结果为．……，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 18．根据图中的程序，当输入数值为时，输出数值y为 ． 19．下图是“数值转换机”的示意图． (1)用含x，y的式子把图中输出的式子列出来； (2)当输入，时，求出输出的数是多少？ 20．如图是一个运算程序： (1)当，时，求输出结果m的值； (2)当，时，求输出结果m的值． 题型六 数字类规律探索 解｜题｜技｜巧 学会根据数字间的规律，得到普遍的数字规律；常见的例如，可以用裂项相消法进行计算； 21．3的正整数次幂：观察归纳，可得的个位数字是（　　） A．1 B．3 C．7 D．9 22．如图，将连续奇数1，3，5，7，…，排成图表．将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，若设中间数为a，则十字框中的五个数的和为（    ） A．a B． C． D． 23．计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1．将一个十进制数转换为二进制，只把该数写成若干个数的和，依次写出1或0即可．如，为二进制下的五位数，则十进制数65是二进制下的（   ） A．5位数 B．6位数 C．7位数 D．8位数 24．观察下面三行数： 第①行：，4，，16，，64，…； 第②行：0，6，，18，，66，⋯； 第③行：，2，，8，，32，．．．． (1)第①行中的第个数是_____（用含的代数式表示）； (2)观察第②、③行与第①行中每个对应位置上的数，写出第②、③行的第个数（用含的代数式表示）； (3)取每行中的第10个数，计算这三个数的和． 题型七 图形类规律探索 解｜题｜技｜巧 常见的图象规律探索，需要先将图形规律转化为数字，根据数字类的规律进行探索即可； 25．如图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两个顶点）有个点，记第1个图形中总的点数为，第2个图形中总的点数为，依次为，，则的值是（    ） A． B． C． D． 26．用火柴按如图的方式摆六边形组成新的图形，如图①摆1个六边形的图形需要6根火柴；如图②摆2个六边形的图形需要11根火柴，如图③摆3个六边形的图形需要16根火柴，…，按此规律，摆2025个六边形的图形需要 根火柴． 27．如图，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两个顶点）有n（n为正整数）个点． (1)当时，图形的点数为_________个； (2)当时，图形的点数为_________个； (3)当时，图形的点数为_________个； (4)每个图形的点数用含n的式子表示为_________个． 28．归纳是数学中发现规律的常用方法，我们可以通过具体的例子来发现一般的规律．例如：线段有两个端点，在内部画1个点，可以得到2条基本线段，总线段条数是3；继续在线段内部画点……如果线段上一共有个点，那么基本线段有多少条？总线段条数是多少？ 为了解决这个问题，我们可以从点的个数等简单情形入手，探索其中的规律． 图形 点的个数 基本线段条数 总线段条数 2 1 3 2 4 3 5 4 … … … … ①__________ ②__________ 通过观察、比较，可以发现规律，请利用你所发现的规律解决问题： (1)猜一猜：每增加一个点，基本线段增加__________条，当点的个数为6时，总线段条数为_________条； (2)想一想：用代数式填表：①=__________，②=__________； (3)算一算：． 题型八 单项式的相关概念 解｜题｜技｜巧 数与字母的积称为单项式；注意单项式的系数是除字母外的数字，要看是否有负号； 29．在代数式，，，，，，，中，单项式共有（　　）个． A． B． C． D． 30．下列代数式中，属于单项式的是（　　） A． B． C． D． 31．式子，，，，中，单项式有 个． 32．已知关于m、n的多项式的次数是6，且与关于m、n的单项式的次数相同． (1)求x、y的值； (2)求该多项式各项的系数之和． 题型九 单项式规律题 解｜题｜技｜巧 观察单项式的类型，用通过看系数、项、指数的变化，如果出现一正一负这种情况的时候，要用（-1）来进行调节 33．观察下列单项式：，探究发现其中规律，你认为从左到右第15个单项式是（  ） A． B． C． D． 34．以下是一组按规律排列的多项式：，，，……，其中第n个多项式是（　　） A． B． C． D． 35．按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是 ． 36．观察下列单项式： (1)写出第8个单项式； (2)请你猜想第n个单项式是什么，它的系数、次数分别是多少？ 题型十 多项式的相关概念 解｜题｜技｜巧 几个单项式的和称为多项式； 37．下列说法：①是多项式；②单项式的系数是；③是单项式；④是多项式．其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 38．下列结论中正确的是（    ） A．单项式的系数是，次数是3 B．是多项式 C．单项式m的次数是1，无系数 D．多项式是二次三项式 39．下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥，属于多项式的有 ．（填序号） 40．下列代数式中哪些是负有理数？哪些是单项式？哪些是多项式？分别填入所属的集合中． 负有理数集合：{               }． 单项式集合：{               }． 多项式集合：{               }． 题型十一 多项式系数、指数中字母求值 41．已知是关于x的二次多项式，则m的值是（    ） A． B．0 C．1 D． 42．已知为关于x的二次三项式，当时，该多项式的值是（   ） A． B． C． D． 43．若关于的多项式为二次三项式，则当时，这个二次三项式的值是（   ） A． B． C．4 D．2 44．已知多项式． (1)写出该多项式的第2项的系数和第4项的次数． (2)求这个多项式中各项系数之和． (3)若这个多项式的次数和单项式的次数相同，求k的值． 题型十二 多项式升幂（降幂）排列 解｜题｜技｜巧 多项式的升幂与降幂，要看是哪个字母，只针对这一个字母进行升幂或者降幂排列，其他字母可以不管； 45．多项式 按x的升幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 46．把多项式按字母升幂排列是 ，其中第三项是 ． 47．已知多项式． (1)将其重新排列为，则该排列方式是按照x的__________（填“升幂”或“降幂”）排列的； (2)将多项式按照y的降幂重新排列； (3)将多项式按照y的升幂重新排列． 48．已知关于的多项式是二次三项式． (1)______，______； (2)将这个多项式按的降幂排列； (3)求当时，这个多项式的值． 题型十三 整式的相关概念 解｜题｜技｜巧 记住单项式和多项式合起来称为整式； 49．在、、、、、、这些代数式中，整式的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 50．下列说法中错误的是（   ） A．的系数是 B．不是整式 C．是四次三项式 D．次数是5 51．将下列各式的序号填入相应的大括号中： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧． 单项式：{                                                   …}； 多项式：{                                                   …}； 三次多项式：{                                                   …}； 整式：{                                                   …}． 52．把下列各代数式的序号分别填在相应的横线上： 下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？．分别将序号填入所属的横线上． ①7，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨． 单项式：__________； 多项式：__________； 二次三项式：__________； 整式：__________； 题型十四 去括号与添括号 解｜题｜技｜巧 添（去）括号法则：括号外是“+”，添(去)括号不变号；括号外是“-”，添(去)括号都变号. 【补充】去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误. 53．下列各式中，去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 54．下列各式中，去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 55．化简： ． 56．下列去括号正确吗？如果不正确，请加以改正． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十五 整式的加减运算 解｜题｜技｜巧 运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 【补充说明】整式加减实际上就是：去括号、合并同类项； 57．化简： (1) (2) 58．化简： (1)； (2)． 59．化简： (1)已知，化简； (2)求整式与的差． 60．已知，求 (1) (2)当时，求的值 题型十六 整式的加减中的化简求值 解｜题｜技｜巧 整式加减运算，化简求值时一定要先化简，在进行计算求值；顺序不能搞乱，如果直接代入求出的结果是不得分的； 61．先化简，再求值：，其中． 62．化简求值：已知代数式，，若，求的值． 63．先化简，再求值：若，求代数式的值． 64．先化简，再求值：，其中，． 题型十七 整式的加减中的无关型问题 解｜题｜技｜巧 整式加减中的无关型问题主要是涉及到某一项或者某个字母，这时候我们需要把含有这一项或者这个字母的单项式全部合并起来，再令这一项的系数为0，即可求出结果； 65．已知关于，的代数式中不含有项，则代数式 ． 66．若多项式与多项式的和不含x的二次项，则m的值为 ． 67．若关于的多项式的值与的取值无关，则的值是 68．学习了整式的加减后，老师给出了一道课堂练习题：已知两个多项式A，B，其中，求．某同学把“”误看成“”，结果求出的答案为． (1)请你帮这位同学求出多项式A； (2)当x取任意数值时，的值是一个定值，求m的值． 题型十八 整式加减的应用 解｜题｜技｜巧 整式加减的应用，关键在于列出关系式； 69．第六届山西文化产业博览交易会以下简称文博会于月日在山西潇河国际会展中心开幕，据悉，本届文博会门票种类及价格如图所示七年级某研学小组的名同学利用周末到文博会参观已知他们中有名同学抢到了早鸟门票，其余同学购买了常规门票． 常规门票元张； 早鸟门票元张； 岁以上人员，现役军人， 残疾人可凭有效证件免票． (1)求该研学小组此次购买文博会门票的总费用；用含的代数式表示 (2)若有人抢到早鸟门票，求该研学小组购买文博会门票的总费用． 70．“作差法”是比较两个数或两个代数式大小的常用方法．如比较a、b两数的大小，若，则；若，则；若，则． (1)比较大小：_______（填“”“”或“”）； (2)设，，请比较A与B的大小． 71．如图，这是淇淇家的住房平面图及其尺寸数据（单位：m）． (1)请用含有、的式子表示淇淇家这套住房的总面积；（结果化为最简形式） (2)若，，购买时房价为万元，在计算房价时需另外加的公摊面积，求淇淇家这套住房的总价格． 72．请阅读以下素材，并完成相应任务． 项目主题 探究嵩山少林寺常住院建筑房间数 素材1 嵩山少林寺位于河南省登封市，是“天下第一名刹”，是少林武术的发源地，2010年被列入《世界文化遗产名录》． 素材2 少林寺常住院有多重院落，其中核心区域包含： ●第二进院（两层）：每层有x间房； ●第三进院（单层）：比第二进院每层少了3间房； ●大雄宝殿所在的主院（三层）：每层房间数等于“第二进院每层房间数+第三进院房间数”． 任务1 用含x的代数式表示： ①第三进院的房间数为________________； ②第二进院的房间数为________________； ③主院的房间数为________________． 任务2 已知，求这三处院落的总房间数． 题型十九 带有绝对值的字母化简问题 解｜题｜技｜巧 带有绝对值的字母化简问题，要考虑字母式子的取值范围，最后根据绝对值里边的式子的正负性去掉绝对值符号； 73．有理数在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“”或“”填空： ， ， ． (2)化简： ． 74．有理数在数轴上的位置如图所示，且． (1)用“”“ ”或“”填空： ______________________0； (2)化简：． 75．综合应用题： 的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离． (1)的几何意义是数轴上表示________的点与_______之间的距离，则______； (2)数轴上表示x和的两点M和N之间的距离是_______，如果，则_______； (3)令，问当x取何值时，y最小，最小值为多少？请求解． 76．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】 解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即，， 时， 则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则． 综上所述，值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)，则_______，，则_______，，则_______； (2)三个有理数，，满足 ，求的值． (3)若，， 为三个不为的有理数，且 ，求的值． 题型二十 整式加减中的新定义运算 77．定义：若，则称与是关于6的平衡数． (1)7与_______是关于6的平衡数，与__________是关于6的平衡数； (2)若，，判断与是否是关于6的平衡数，并说明理由． 78．对任意的有理数a，b，定义一种新运算T：规定，例如． (1)求的值； (2)求的值． 79．给出如下定义：对于有理数对，我们称使等式成立的一对有理数为“有趣数对”．例如，，所以数对都是“有趣数对”． (1)在有理数对和中，是“有趣数对”的为________； (2)若是“有趣数对”，求的值． 80．定义：若，则称A与B是“关于1的单位数”．已知，请判断A与B是否是“关于1的单位数”，并说明理由． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级上·河北·期末）用文字语言叙述代数式“”的意义是（   ） A．a与的和 B．a与b的和的2倍 C．与b的和 D．a的平方与b的和 2．（24-25七年级上·河北邢台·期末）“这么近那么美，周末到河北”．某校组织了师生y人来到白洋淀划船游玩，租用的每条船可乘坐x人，全部上船后，发现租用的游船只剩一个空位．用含x，y的代数式表示该校租用游船的数量为（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 33．（24-25七年级上·河北·期末）下列属于同类项的一组是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．（24-25七年级上·河北唐山·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·河北·期末）当，时，代数式的值为 ； 6．（24-25七年级上·河北·期末）一个关于的二次三项式，它的二次项系数为2，一次项系数为，常数项为1，则这个二次三项式是 ． 7．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：，则所捂的多项式为 ． 8．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）观察图，找出规律． ，，，则的值为 ． 9．（25-26七年级上·河北·期末）计算： (1)； (2)； 10．（24-25七年级上·吉林·期末）某数学兴趣小组利用A、B、C三张卡片做游戏．卡片上写有代数式，C卡片上的代数式模糊不清，但知道它是A、B两张卡片上代数式的和． (1)请通过计算求出C卡片上的代数式； (2)当时，求C卡片上的代数式的值． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 11．（24-25七年级上·河北邢台·期末）下列说法正确的是（    ） A．的系数是−2 B．的次数是6 C．是三次三项式 D．的常数项是1 12．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25七年级上·河北廊坊·期末）已知，那么代数式的值为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级上·河北沧州·期末）课堂上，李老师给出一个三位数，让同学们把它各位上的数字倒序排列后得到一个新的三位数，用新的三位数减去原来的三位数，小聪、小明、小智、小慧四名同学计算的结果分别为560，396，275，183，李老师判断有且只有一名同学计算正确，那么计算正确的这位同学是（    ） A．小慧 B．小智 C．小明 D．小聪 15．（24-25七年级上·河北唐山·期末）若与是同类项，则的值为 ． 16．（24-25七年级上·河北沧州·期末）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，则：的值为 ． 17．（24-25七年级上·河北张家口·期末）小明用边长为的小正方形纸片在桌面上摆放成如图所示的塔状图．第n（n是正整数）个塔状图的周长为 （用含n的代数式表示）． 18．（23-24七年级上·河北秦皇岛·期末）从边长为的正方形纸片上剪下一个边长为m的正方形后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠，无缝隙） （1）如图①方式，剪拼成的长方形一边长为3，另一边长为 ； （2）如图②方式，剪拼成的长方形一边长为，另一边长为 ． 19．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）下面是佳佳同学先化简再求值的全过程． ，其中，． 解： =① =② 当，时， 原式=③ = (1)请指出佳佳从第______步开始出错；（填序号） (2)写出正确的化简求值过程． 20．（24-25七年级上·河北承德·期末）如图，在长方形中，，分别是边，上一点，连接，． 按图中各部分尺寸解决下列问题： (1)用含的代数式表示阴影部分的面积； (2)当时，求阴影部分的面积． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 21．（23-24七年级上·重庆南岸·期末）下列说法中错误的有（    ） ① 多项式的常数项是1；② 单项式的次数是5； ③ 单项式和多项式统称为整式；④若与是同类项，那么 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（    ） A． B． C． D． 23．（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，每个小正方形的面积均为1． 已知一个草垛（按如图所示的阶梯方式摆放）的最底端有2024个类似小正方体的草堆，则该草垛共有（   ）个草堆． A．12144 B．4098600 C．1025156 D．4094552 24．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）天干地支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，天干有十，即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸：地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．2049年是新中国成立100周年，使用天干地支纪年法（天干地支纪年法对应的规律如下表），已知2021年是辛丑年，可以推知2049年是什么年（   ） 天 干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 地 支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 干 支 纪 年 甲 子 年 乙 丑 年 丙 寅 年 丁 卯 年 戊 辰 年 己 巳 年 庚 午 年 辛 未 年 壬 申 年 癸 酉 年 甲 戌 年 乙 亥 年 丙 子 年 A．乙巳 B．己巳 C．己酉 D．乙亥 25．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图所示，各正方形中的四个数之间都具有同一种规律，按此规律得出的值为 ． 26．（24-25七年级上·河北唐山·期末）观察下面一列数，按某种规律在横线上填上适当的数：，，，，…，第8个数是 ；则第个数是 ． 27．（25-26七年级上·山东青岛·期末）如图所示，在这个运算程序中，若开始输入的值为，结果输出的是，将第次输出的结果，再次输入运算程序，进行第次运算，结果输出的是，则第次输出的结果是 ． 28．（25-26七年级上·河南南阳·期末）定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．如：2的差倒数是，－1的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则的值是 ． 29．（25-26七年级上·湖南怀化·期末）已知代数式． (1)求的值． (2)当的值与y的值无关时，求x的值． 30．（25-26七年级上·河北邢台·期末）综合与实践 问题情境：我国古建筑中有一种凹凸结合的连接方式--榫卯（sǔnmǎo）结构，精密严谨天衣无缝．小悦和同学参观完某古建筑后自己制作了如图所示的榫卯结构（如图1），图2为其上表面的示意图，小悦计划利用长为的金色彩条贴在上表面的四周（长方形的四条边长）和榫卯结构缝隙处（两个正方形的四条边长），增加结构的美观性． 数学建模：如图2，上表面的长为，宽为，中间两个正方形榫卯结构缝隙的边长为，贴上金色彩条后，金色彩条有剩余． 趣味问题： (1)求使用的金色彩条的长． (2)求剩余的金色彩条的长． (3)若剩余的金色彩条的长为，请直接写出使用的金色彩条的长． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $