专题03 整式的加减章末易错压轴题型13易错+7压轴（专项训练）数学冀教版2024七年级上册

专题03 整式的加减章末易错压轴题型（13易错+7压轴） 目录 易错题型一、单项式的相关概念 易错题型二、写出符合要求的单项式 易错题型三、单项式的规律题 易错题型四、多项式的相关概念 易错题型五、多项式系数、指数中字母求值 易错题型六、多项式升降幂排列问题 易错题型七、整式的相关概念 易错题型八、合并同类项 易错题型九、去括号 易错题型十、整式的加减运算 易错题型十一、整式加减中的化简求值 易错题型十二、整式加减的应用 易错题型十三、整式加减中的无关型问题 压轴题型一、整式压轴问题 压轴题型二、整式的加减运算综合 压轴题型三、整式加减无关型问题（几何类） 压轴题型四、整式加减的应用综合 压轴题型五、整式加减的新定义运算 压轴题型六、数字类、图形类规律探究综合 压轴题型七、整式加减与数轴、绝对值综合问题 易错题型一、单项式的相关概念 1．下列各式：，，，，，，，是单项式的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．下列说法正确的是（   ） A．的系数是3，次数是1 B．是多项式 C．的系数是，次数是4 D．的一次项系数是2 3．若单项式的次数是5，求代数式的值． 易错题型二、写出符合要求的单项式 4．已知一个单项式的系数是，次数是5，则这个单项式可以是（    ） A． B． C． D． 5．有一单项式的系数是2，次数为3，且只含有，，则这个单项式可能是 6．请写出一个单项式，同时满足以下条件：①系数为负数、②只含有字母a，b、③次数为3次，则这个单项式为 ． 易错题型三、单项式的规律题 7．一组按照规律排列的式子：，，其中第个式子是 ，第个式子是 为正整数 8．下列单项式：，，，，…，，， …，根据你发现的规律，第2024个单项式是 ． 9．观察下列单项式： (1)写出第8个单项式； (2)请你猜想第n个单项式是什么，它的系数、次数分别是多少？ 易错题型四、多项式的相关概念 10．下列说法错误的是（    ） A．是二次三项式 B．是多项式 C．的系数是 D．的次数是6 11．在代数式，，，，，中，多项式的个数是 ． 12．按单项式、多项式、整式对下面的式子进行分类． ，，，10，，，，，，． 易错题型五、多项式系数、指数中字母求值 13．已知多项式是六次四项式，那么（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 14．若多项式是关于、的四次三项式，则的值为 ． 15．已知是关于的二次三项式，且实数b，c满足，求的值． 易错题型六、多项式升降幂排列问题 16．把多项式，按的升幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 17．把多项式按x的降幂排列是 18．已知多项式． (1)将其重新排列为，则该排列方式是按照x的__________（填“升幂”或“降幂”）排列的； (2)将多项式按照y的降幂重新排列； (3)将多项式按照y的升幂重新排列． 易错题型七、整式的相关概念 19．下列说法正确的是（    ） A．是单项式，但不是整式 B．不是单项式 C．是多项式，它的项是4x，5 D．是三次三项式 20．下列式子：，，，，，，，其中属于单项式的是 ，属于多项式的是 ，属于整式的是 ． 21．把下列代数式：，0，填入相应的大括号内． 单项式：{                               …}； 多项式：{                               …}； 整式：{                               …}． 易错题型八、合并同类项 22．合并同类项 (1)； (2)； (3)； (4)． 23．合并同类项： (1) (2) 24．先去括号，再合并同类项 (1) ； (2) ． 易错题型九、去括号 25．下列各式变形正确的是（　　） A． B． C． D． 26．已知，，，则的值为 ． 27．小明在求一个多项式减去时，误认为加上，得到的答案是． (1)求出这个多项式； (2)求出正确结果． 易错题型十、整式的加减运算 28．（1）求整式与的和； （2）求与的差． 29． ， ，求的值． 30．某教辅书中一道整式运算题目参考答案破损看不见，形式如下： 解：原式． (1)求破损部分的整式； (2)当，时，求破损部分整式的值． 易错题型十一、整式加减中的化简求值 31．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 32．先化简，再求值：，其中，． 33．化简求值，已知，，当，时，试求出的值． 易错题型十二、整式加减的应用 34．某纪念馆要在两块紧挨在一起的长方形荒地上修建一个半圆形花圃，其余部分则需要铺设草皮，尺寸如图所示（单位：）． (1)用含x的代数式表示草皮部分的面积； (2)当时，草皮部分的面积是多少？（结果保留） 35．如图，小红用长为，宽为的宣纸书写了一幅毛笔字参加书法大赛，根据大赛要求需对作品进行装裱，装裱后作品的长上下各增加了，宽左右各增加了． (1)装裱后的书法作品的长是_____，宽为_____（用含的代数式表示）； (2)若，求装裱后的书法作品的周长． 36．如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个长方形，拿掉边长为n的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的长方形． (1)用含m或n的代数式表示拼成长方形的周长； (2)，，求拼成长方形的面积． 易错题型十三、整式加减中的无关型问题 37．已知多项式的值与x的取值无关，求多项式的值． 38．已知． (1)求； (2)若的值与y的取值无关，求x的值． 39．（1）若关于的多项式的值与的取值无关，则________； （2）7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 压轴题型一、整式压轴问题 40．若关于，的多项式是六次四项式，求多项式的值． 41．观察下列单项式：，，．写出第个单项式．为解答这个问题，特提供下面的解题思路： (1)这组单项式的系数依次是多少？其系数的符号和绝对值的规律分别是什么？ (2)这组单项式的次数的规律是什么？ (3)①根据上面的归纳，你可以猜想出第个单项式是什么吗？ ②请你根据猜想，直接写出第2025个单项式． 42．【阅读中思考】 设是不为和的有理数，我们把与的倒数的差，即称为的倒数差， 如：的倒数差是的倒数差是． 【探索中理解】 若是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推． （1）先写出计算的算式，再求出它们的值． （2）求的值． 【应用拓展】 设，，都是不为和的有理数，将一个数组中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第次变换后得到数组，第次变换后得数组第次变换后得到数组． （3）若数组确定为． 第一次变换后得到的数组为_______； 的值为_______．（直接写出答案） 压轴题型二、整式的加减运算综合 43．定义新运算“△”和“□”： ①定义新运算“△”：给定有理数a、b，对于整式A、B，规定，等式右边是通常的减法、乘法运算； ②定义新运算“□”：给定正整数n（），对于整式M，规定（按从左到右的顺序依次做“△”运算）例如：当、，时，对于，，则有，． (1)当，时，若，，求和． (2)直接写出一组a，b的值，使得对任意一个正整数n（）和任意—个整式M，都有成立． (3)当，时，若，，若（p、q为正整数，且、）中不含项，直接写出满足条件的一组p、q的值． 44．如果两个多项式的和为单项式，则称它们互为“孪生多项式”，这个单项式称为它们的“孪生式”．如多项式与多项式，，3是单项式，则与互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”为3；又如多项式与多项式，，不是单项式，则与不是“孪生多项式”． (1)分别判断下列两组多项式是否互为“孪生多项式”；如果是，写出它们的“孪生式”；如果不是，请说明理由： ①与；        ②与． (2)若与互为“孪生多项式”，和为常数，求的值； (3)在（2）问的条件下，若多项式（，，为常数且）与多项式互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”的取值与无关，直接写出满足条件的多项式． 45．有这样一道题“如果代数式的值为－4，那么代数式的值是多少？”爱动脑筋的吴爱国同学这样来解：原式，我们把看成一个整体，把式子两边乘以2得． 整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【简单应用】 （1）已知，则______． （2）已知，，求的值． 【拓展提高】 （3）已知，，求代数式的值． 压轴题型三、整式加减无关型问题（几何类） 46．如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，的相反数是，且、满足． (1)___________；___________； (2)若数轴上有一点为线段的三等分点（点在线段内），求点表示的数是多少？ (3)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，是否存在常数，使为定值，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 47．【问题背景】已知，若的值与的取值无关，则，解得． 【类比探究】（1）已知．若的值与的取值无关，求的值． 【拓展应用】（2）8个如图①所示的小长方形，长为，宽为，按如图②所示的方式不重叠地放在大长方形内．对于大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设．若当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． 48．中考新考法·过程性学习七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与的取值无关，求的值”，通常的解题方法是：把看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． (1)若关于的多项式的值与的取值无关，求值； (2)已知，，且的值与的取值无关，求的值； 【能力提升】 (3)7张如图1的小长方形纸片，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． (4) 压轴题型四、整式加减的应用综合 49．数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． (1)【知识呈现】 数轴上的点A，点C所表示的数如图1所示：若点B与点A表示的数互为相反数，则点B表示的数是______，点A与点C之间的距离 ______，点B与点C的中点D表示的数是______，且在图1的数轴上标出点D． (2)【定义】 一个点 （不是原点）在数轴上运动，第一次跳到 的位置（点 与点 表示的数互为相反数），点 称为点 的一次跳跃点，紧接着从 到 的位置（点 与点 位于点 的两侧，且 ），则点 称为点 关于点 的二次跳跃点．如图 2 所示； 【初步理解】 ①若点 表示的数是， 表示的数是 ，点 的一次跳跃点 表示的数是____， 关于点 的二次跳跃点 表示的数是____，线段 的长度为____． 【深入探究】 ②若点 为数轴正半轴的一个点，点 是数轴负半轴上一个点，点 为点 关于点 的二次跳跃点．若点 ，点 表示的数分别是 ，，当 变化时，探究 的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 ③若在数轴上点 ， 分别表示有理数 ，（其中 ，），点 为点 关于点 的二次跳跃点，直接写出线段 的长度． 50．如图，在长方形中，长为，宽为．除阴影部分M，N外，其余5块是全等的小长方形，小长方形的宽为． (1)求每个小长方形的长（用含x的代数式表示）； (2)分别用含x，y的代数式表示阴影M，N的面积； (3)若阴影M与阴影N的面积差不会随y的变化而变化，请求出x的值，并说明理由． 51．如图：在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为． 如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最大的负整数．且，满足与互为相反数． 点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟后． (1)请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； (2)探究：若点，向右运动，点向左运动，速度保持不变，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 压轴题型五、整式加减的新定义运算 52．设m为有理数，数轴上点A表示有理数a，给出以下两个定义：定义为点A向右移动m个单位长度后得到的点；定义为数轴上的一点从原点出发向右移动个单位长度后得到的点．（说明：向右移动负数个单位长度表示向左移动正数个单位长度．例如，向右移动个单位长度表示向左移动2个单位长度） (1)①若点表示有理数，则表示的有理数是__________； ②若点A，B分别表示有理数，，则与之间的距离为_________； (2)如图，点A，B分别表示有理数，2，试说明与之间的距离为定值，并求出这一定值． 53．定义：已知M，N都是关于x的多项式，若（，且k不含字母），则称M是N的“平移式”，k叫做M关于N的“平移值”．例如：，，，则称M是N的“平移式”，M关于N的“平移值”为4． (1)若，，则M是N的“平移式”吗？为什么？ (2)对于常数m，n，有，，若M是N的“平移式”，且“平移值”为3，求m，n的值； (3)若A，B，M都是关于x的多项式，且，．，且，试问：M是N的“平移式”吗？如果是，求出m，n的值及“平移值”；如果不是，请说明理由． 54．给定有理数，，对整式A，，定义新运算“”：；对正整数和整式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．特别地，．例如，当，时，若，，则，． (1)当，时，若，，则 ①_______，_______； ②_______． (2)当，时，若，，，，且的值与的取值无关，求整数的值． 压轴题型六、数字类、图形类规律探究综合 55．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，请解决如下问题： (1)请在图中括号内的数为________；展开式共有________项，第19项系数为________； (2)根据上面的规律，写出的展开式：________________； (3)利用上面的规律计算：； 56．【阅读】求值． 解：设， 将等式的两边同时乘以2得：， 由得：． 即：． (1)【运用】仿照此法计算：： (2)【延伸】如图，将边长为的正方形分成个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形，依次操作次，依次得到小正方形，，，，，完成下列问题： 小正方形的面积等于_______________； 求正方形，，，，的面积和． 57．观察下面三行数： ；    ① ；    ② ；    ③ (1)第①行的第8个数是_____；设第①行的第个数是，请用含的代数式分别表示；第②行的第个数是_____，第③行的第个数是_____． (2)取第①②③行的第9个数，分别记为，求的值． (3)取第①②③行每行的第个数，这三个数中任意两数之差的最大值为6146，请直接写出的值． 压轴题型七、整式加减与数轴、绝对值综合问题 58．我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．请用数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的意义是_______． （2）当取最小值时，可以取整数_______（符合条件的请写全）； （3）最小值为________； 【解决问题】 （4）如图，一条笔直的公路边有四个居民区、、、和市民广场．居民区、、、分别位于市民广场左侧，左侧右侧，右侧．现要在该公路边上建一个便民服务点，那么这个便民服务点建在何处，能使服务点到四个居民区、、、总路程最短？最短路程是多少？试说明理由． 59．如图1．在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为．我们规定：的大小用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即． 请用上面的知识解答下面的问题：如图2：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最大的负整数．且，满足与互为相反数． (1)____，____，____； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与表示数____的点重合； (3)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟后． 请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； 探究：若点，向右运动，点向左运动，速度保持不变，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 60．【背景介绍】：绝对值在初中数学中是一个基础核心概念和关键枢纽．它看似简单，但却是连接算术与代数、串联多种数学思想的重要节点． 【自主回忆】：（1）请写出一个你对绝对值的了解：________． 【引导思考1】：（2）分类讨论：如果，，求 【引导思考2】：几何意义：表示数、在数轴上对应的点、之间的距离 （3）如图表示数在数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为、、、．若，，，则的值是________． 【尝试应用】：（4）符号：表示：对于数轴上任一点，和是与点相距个单位长度的两点．如果点、是数轴上的两个动点，，（其中，）．两点同时从原点出发，点向左，点向右运动，当时，求点、之间的距离． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 整式的加减章末易错压轴题型（13易错+7压轴） 目录 易错题型一、单项式的相关概念 易错题型二、写出符合要求的单项式 易错题型三、单项式的规律题 易错题型四、多项式的相关概念 易错题型五、多项式系数、指数中字母求值 易错题型六、多项式升降幂排列问题 易错题型七、整式的相关概念 易错题型八、合并同类项 易错题型九、去括号 易错题型十、整式的加减运算 易错题型十一、整式加减中的化简求值 易错题型十二、整式加减的应用 易错题型十三、整式加减中的无关型问题 压轴题型一、整式压轴问题 压轴题型二、整式的加减运算综合 压轴题型三、整式加减无关型问题（几何类） 压轴题型四、整式加减的应用综合 压轴题型五、整式加减的新定义运算 压轴题型六、数字类、图形类规律探究综合 压轴题型七、整式加减与数轴、绝对值综合问题 易错题型一、单项式的相关概念 1．下列各式：，，，，，，，是单项式的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了单项式，根据单项式的定义逐个判断即可求解，掌握单项式的定义是解题的关键． 【详解】解：是数字与字母的积，是单项式； （约分后为常数），是单项式； ，不是单项式； 是常数，是单项式； ，不是单项式； 分母含字母，不是单项式； 分母含字母，不是单项式； 是常数，是单项式； ∴ 是单项式的有 、、、，共个， 故选：． 2．下列说法正确的是（   ） A．的系数是3，次数是1 B．是多项式 C．的系数是，次数是4 D．的一次项系数是2 【答案】B 【分析】本题考查了单项式的定义、多项式的定义． 逐一分析各选项是否符合定义即可． 【详解】解：选项A：单项式的系数是，次数是和的指数之和，即，故原说法错误； 选项B：可拆分为，即两个单项式和的和，因分母不含字母，均为整式，符合多项式的定义，故原说法正确； 选项C：单项式的系数是，次数是和的指数之和，即，故原说法错误； 选项D：多项式中，一次项为，其系数是，故原说法错误； 故选：B． 3．若单项式的次数是5，求代数式的值． 【答案】4 【分析】本题主要考查单项式的次数，解题的关键是掌握单项式的次数的定义． 根据单项式次数的定义得出的值，即所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，然后代数求值即可． 【详解】解：依题意，得， 解得：． 当时，． 易错题型二、写出符合要求的单项式 4．已知一个单项式的系数是，次数是5，则这个单项式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：A、系数是，次数是5，故本选项不符合题意； B、系数是2，次数是5，故本选项不符合题意； C、不是单项式，故本选项不符合题意； D、系数是-2，次数是5，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】此题考查单项式的次数与系数，解题的关键是掌握单项式的系数和次数的定义． 5．有一单项式的系数是2，次数为3，且只含有，，则这个单项式可能是 【答案】或 【分析】本题考查单项式． 根据单项式的定义写出符合条件的单项式即可． 【详解】解：系数是2，次数为3，且只含有，的单项式可能是或． 故答案为：或． 6．请写出一个单项式，同时满足以下条件：①系数为负数、②只含有字母a，b、③次数为3次，则这个单项式为 ． 【答案】答案不唯一 【分析】本题考查了单项式，熟知单项式的系数、次数的定义是解题的关键． 根据单项式的系数、次数的定义解答即可． 【详解】解：单项式可以是答案不唯一， 故答案为：答案不唯一 易错题型三、单项式的规律题 7．一组按照规律排列的式子：，，其中第个式子是 ，第个式子是 为正整数 【答案】 【分析】本题考查单项式规律探索，乘方运算，掌握相关知识是解决问题的关键．观察所给代数式发现，分子的底数都是，而指数是从开始的奇数；分母是底数从开始的自然数的平方． 【详解】解：，，其因此第个式子是，第个式子是． 故答案为，． 8．下列单项式：，，，，…，，， …，根据你发现的规律，第2024个单项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式中的规律探究，解题的关键是找出题目中单项式之间的规律，并用代数式表示出来． 根据单项式系数、字母指数之间的规律，第n个单项式是，即可求出结果． 【详解】解：根据题意，第n个单项式的系数是，次数是， ∴第n个单项式是， ∴第2024个单项式是． 故答案是：． 9．观察下列单项式： (1)写出第8个单项式； (2)请你猜想第n个单项式是什么，它的系数、次数分别是多少？ 【答案】(1) (2)第n个单项式是，系数是，次数是 【分析】本题考查了单项式，观察发现规律系数是，字母部分是是解题关键． （1）根据观察，可发现规律：系数是，字母部分是，可得答案； （2）根据观察，可发现规律：系数是，字母部分是，可得答案． 【详解】（1）解：由观察下列单项式：，得 系数是，字母部分是， 第8个单项式； （2）解：由观察下列单项式：，得 第n个单项式是，系数是，次数是． 易错题型四、多项式的相关概念 10．下列说法错误的是（    ） A．是二次三项式 B．是多项式 C．的系数是 D．的次数是6 【答案】D 【分析】本题考查了单项式和多项式的相关概念，包括次数、系数和定义．正确理解相关概念是解题的关键．根据多项式，单项式的系数，单项式的次数的定义进行回答即可． 【详解】解：A. 是二次三项式，此命题正确，不符合题意； B. 是多项式，此命题正确，不符合题意； C. 的系数是 ，此命题正确，不符合题意； D.的次数是4，此选项命题错误，符合题意． 故选：D． 11．在代数式，，，，，中，多项式的个数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式的定义，熟练掌握多项式的定义是解题的关键．根据多项式的定义即可得到答案． 【详解】解：根据多项式的定义，几个单项式的和称为多项式， 故多项式有，，， 故答案为：． 12．按单项式、多项式、整式对下面的式子进行分类． ，，，10，，，，，，． 【答案】单项式：，10，（n为正整数），；多项式：，，，；整式：，，，10，，（n为正整数），，（ 与 的分母中含有字母，是分式，不是整式） 【分析】此题考查单项式，多项式，整式的定义，正确理解各定义是解题的关键； 根据单项式，多项式，整式的定义进行判断即可 【详解】解：单项式：，10，（n为正整数），． 多项式：，，，． 整式：，，，10，，（n为正整数），，． （与 的分母中含有字母，是分式，不是整式） 易错题型五、多项式系数、指数中字母求值 13．已知多项式是六次四项式，那么（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的次数定义，解题的关键是明确多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数． 根据多项式是六次四项式，确定次数最高的项为，再根据该项次数为6列方程求解． 【详解】解：多项式的次数是指多项式中次数最高的项的次数． 已知多项式是六次四项式，分析各项次数： 项的次数：； 项的次数：3； 项6（常数项）的次数：0； 项的次数：的次数2加上的次数，即． 由于多项式是六次，因此次数最高的项为，且它的次数为6，由此列方程： 解得： 故选：D． 14．若多项式是关于、的四次三项式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式，根据多项式为四次三项式的条件，最高次数为4且项数为3，需满足第一项次数为4且第二项系数为零．掌握多项式的意义及项、项数、次数是解题的关键．也考查了求代数式的值． 【详解】解：∵多项式是关于、的四次三项式， 又∵多项式中，第一项次数为，第二项次数为，第三项次数为，第四项次数为， ∴，， 解得：， ∴． 故答案为：． 15．已知是关于的二次三项式，且实数b，c满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式，非负数的性质，解题的关键是根据多项式的定义求得a，再根据非负数的性质求得b、c，再代入计算即可． 【详解】解：是关于的二次三项式， 且， ， ， ， ， ． 易错题型六、多项式升降幂排列问题 16．把多项式，按的升幂排列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了将多项式按某个字母升幂排列，熟练掌握多项式的项与次数是解题关键．多项式共有四项，再求出每项中字母的指数，由此即可得． 【详解】解：多项式共有四项，其中，中字母的指数为2，中字母的指数为0，中字母的指数为1，中字母的指数为3， 所以把多项式，按的升幂排列为． 故选：A． 17．把多项式按x的降幂排列是 【答案】 【分析】本题考查多项式降幂排列，按x的指数从大到小依次排列即可． 【详解】解：多项式中，x的指数依次为1，4，3，2，0， 按x的降幂排列是：， 故答案为：． 18．已知多项式． (1)将其重新排列为，则该排列方式是按照x的__________（填“升幂”或“降幂”）排列的； (2)将多项式按照y的降幂重新排列； (3)将多项式按照y的升幂重新排列． 【答案】(1)升幂 (2) (3) 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握多项式升幂、降幂排序的定义． （1）根据升幂排列和降幂排列的定义，观察字母x、y的指数即可求解； （2）先分清多项式的各项，然后按多项式中y的降幂排列的定义排列； （3）先分清多项式的各项，然后按多项式中y的升幂排列的定义排列． 【详解】（1）解：将其重新排列为，则该排列方式是按照x的升幂排列的， 故答案为：升幂； （2）解：多项式按照y的降幂重新排列为； （3）解：多项式按照y的升幂重新排列为． 易错题型七、整式的相关概念 19．下列说法正确的是（    ） A．是单项式，但不是整式 B．不是单项式 C．是多项式，它的项是4x，5 D．是三次三项式 【答案】D 【分析】本题考查了单项式、多项式、整式的相关概念，根据单项式、多项式、整式的概念逐项判断即可求解﹒ 【详解】解：A. 是单项式，是整式，故原选项说法错误，不合题意； B. 是单项式，故原选项说法错误，不合题意； C. 是多项式，它的项是4x，，故原选项说法错误，不合题意； D. 是三次三项式，故原选项说法正确，符合题意﹒ 故选：D 20．下列式子：，，，，，，，其中属于单项式的是 ，属于多项式的是 ，属于整式的是 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式、多项式、整式的概念，解题的关键是准确理解并依据这些概念来对给定式子进行分类． ①依据单项式的定义找出单项式； ②依据多项式的定义找出多项式； ③根据整式包含单项式和多项式确定整式． 【详解】①单项式是数或字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式， 是单独的数，是数与字母的积，是单独的数，是数5与字母x，y的积，是数2与字母x，y的积，所以单项式是； ②几个单项式的和叫做多项式，是单项式与的和，所以多项式是，故（2）处填； ③整式为单项式和多项式的统称，所以整式是， 故答案为：① ② ③ 21．把下列代数式：，0，填入相应的大括号内． 单项式：{                               …}； 多项式：{                               …}； 整式：{                               …}． 【答案】见解析 【分析】本题考查了整式的定义，单项式和多项式统称整式． 根据单项式与多项式的定义进行分类即可． 【详解】解：单项式：； 多项式：； 整式：． 易错题型八、合并同类项 22．合并同类项 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查合并同类项，熟练掌握合并同类项的法则，是解题的关键： （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可； （3）直接合并同类项即可； （4）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 23．合并同类项： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则，是解题的关键． （1）先找出同类项，再根据合并同类项法则，进行计算即可； （2）先找出同类项，再根据合并同类项法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．先去括号，再合并同类项 (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了去括号，合并同类项，解题关键是掌握去括号法则． (1)先去括号，再合并同类项； (2)先去括号，再合并同类项． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 易错题型九、去括号 25．下列各式变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了去括号，熟练掌握去括号的法则是关键．去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．据此判断即可． 【详解】解：A．，故本选项正确，符合题意； B．，故本选项错误，不合题意； C．，故本选项错误，不合题意； D．，故本选项错误，不合题意； 故选：A． 26．已知，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了去括号，已知式子求代数式的值的知识，先去括号再对照已知的式子进行变形是解答本题的关键．原式去括号整理后，把已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：，， 原式 ． 故答案为：． 27．小明在求一个多项式减去时，误认为加上，得到的答案是． (1)求出这个多项式； (2)求出正确结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变． （1）根据题意得出这个多项式为，然后取括号，合并同类项即可； （2）根据去括号，合并同类项进行运算即可． 【详解】（1）解：∵误认为加上，得到的答案是， 这个多项式为： ； （2）解： ． 易错题型十、整式的加减运算 28．（1）求整式与的和； （2）求与的差． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查去括号和合并同类项，解题的关键是读懂题意，先列式再进行计算． （1）先把每个整式用括号括起来，再用加减号连接，然后去括号、合并同类项，即可； （2）先把每个整式用括号括起来，再用加减号连接，然后去括号、合并同类项，即可． 【详解】解：（1） （2） 29． ， ，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 先化简，再将、代入计算即可． 【详解】解： ． 30．某教辅书中一道整式运算题目参考答案破损看不见，形式如下： 解：原式． (1)求破损部分的整式； (2)当，时，求破损部分整式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的加减和求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）破损的整式由加式等于和式减另一个加式列式，去括号并合并同类项得到结果； （2）将x与y的值，代入（1）计算结果即可得到答案． 【详解】（1）解：依题意得 ． （2）当，时，． 易错题型十一、整式加减中的化简求值 31．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题考查了整式的化简求值，准确应用去括号法则、合并同类项法则，代入数值准确计算是解题关键． （1）先去括号，再合并同类项，最后再求值即可； （2）先去括号，再合并同类项，最后再求值即可． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式 ； （2）解： ， 当，时，原式 ． 32．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】此题考查了整式的加减化简求值．原式去括号合并得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当，时，原式． 33．化简求值，已知，，当，时，试求出的值． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值．先化简，得，再把，代入，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴ ， 当，时， ． 易错题型十二、整式加减的应用 34．某纪念馆要在两块紧挨在一起的长方形荒地上修建一个半圆形花圃，其余部分则需要铺设草皮，尺寸如图所示（单位：）． (1)用含x的代数式表示草皮部分的面积； (2)当时，草皮部分的面积是多少？（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值． （1）两个长方形的面积和减去一个半圆的面积就是阴影部分的面积； （2）由（1）的结果，代入数据求值即可． 【详解】（1）解：草皮部分的面积 ； （2）解：当时， 草皮部分的面积． 35．如图，小红用长为，宽为的宣纸书写了一幅毛笔字参加书法大赛，根据大赛要求需对作品进行装裱，装裱后作品的长上下各增加了，宽左右各增加了． (1)装裱后的书法作品的长是_____，宽为_____（用含的代数式表示）； (2)若，求装裱后的书法作品的周长． 【答案】(1)； (2)装裱后的书法作品的周长为 【分析】（1）根据题意即可求解；（2）根据长方形的周长公式求解即可． 【详解】（1）装裱后的书法作品的长是；宽为． （2）装裱后的书法作品的周长， 当时，原式 装裱后的书法作品的周长为． 【点睛】本题考查列代数式、代数式的值及整式加减,正确理解题意和准确代入求值计算是解题的关键． 36．如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个长方形，拿掉边长为n的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的长方形． (1)用含m或n的代数式表示拼成长方形的周长； (2)，，求拼成长方形的面积． 【答案】(1) (2)33 【分析】本题考查了整式加减的应用、代数式求值，熟练掌握整式的应用是解题关键． （1）先求出拼成长方形的长为，宽为，再根据长方形的周长公式计算即可得； （2）先求出拼成长方形的面积为，再将的值代入计算即可得． 【详解】（1）解：拼接方式如图所示： 所以拼成长方形的长为，宽为， 所以拼成长方形的周长为， 答：拼成长方形的周长为． （2）解：拼成长方形的面积为， ∵，， ∴， 答：拼成长方形的面积为33． 易错题型十三、整式加减中的无关型问题 37．已知多项式的值与x的取值无关，求多项式的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减—无关题型、求代数式的值，先去括号，再合并同类项即可化简，根据题意得出，，再代入所求式子计算即可得解． 【详解】解： ， ∵多项式的值与x的取值无关， ∴，， ∴，， ∴． 38．已知． (1)求； (2)若的值与y的取值无关，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减的化简求值， 对于（1），将代数式代入，再根据整式的加减法法则计算； 对于（2），先代入，再根据整式的加减法法则计算，然后根据与y的值无关，得其系数为0，求出答案即可． 【详解】（1）解：因为， 所以 ； （2）解：因为， 所以 . 因为的值与y的取值无关，所以， 解得：． 39．（1）若关于的多项式的值与的取值无关，则________； （2）7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 【答案】（1）2；（2） 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键． （1）先将多项式变形为，根据多项式的值与的取值无关得出，即可求解； （2）设，观察图形可得，，，通过计算可得，再根据的值始终保持不变，即可求解． 【详解】解：（1）， 关于的多项式的值与的取值无关， ， 解得：． 故答案为：2． （2）设， 观察图形可得，，， ， 的值始终保持不变， ，即， 与的等量关系为． 压轴题型一、整式压轴问题 40．若关于，的多项式是六次四项式，求多项式的值． 【答案】 【分析】本题考查了含参数的多项式. 先根据多项式是六次四项式，来确定多项式的项数、及最高次项的次数，从而求出、的值，再代入多项式计算结果. 【详解】解：关于，的多项式是六次四项式， 且， 解得， ． 41．观察下列单项式：，，．写出第个单项式．为解答这个问题，特提供下面的解题思路： (1)这组单项式的系数依次是多少？其系数的符号和绝对值的规律分别是什么？ (2)这组单项式的次数的规律是什么？ (3)①根据上面的归纳，你可以猜想出第个单项式是什么吗？ ②请你根据猜想，直接写出第2025个单项式． 【答案】(1)这组单项式的系数依次是，3，，7，…．因为第奇数个单项式的系数为负数，各个系数的绝对值为连续的奇数，所以其系数的符号是，绝对值是： (2)这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数 (3)①第n个单项式是 ②第2025个单项式是 【分析】（1）根据题目中的单项式，可以直接写出这组单项式的系数，绝对值规律； （2）根据题目中的单项式，观察找出这组单项式的次数的规律； （3）根据（1）和（2）中的发现，然后可以写出第n个单项 式，然后将2025代入计算即可解答第2025个单项式． 【详解】（1）解：一组单项式：，，， 奇数个单项式的系数为负数，各个系数的绝对值为连续的奇数， 其系数的符号是，绝对值是：． （2）解：一组单项式：，，， 这组单项式的次数的规律是从1开始的一些连续的自然数； （3）解：①根据上面的归纳，猜想出第n个单项式是； ②当时，这个单项式是． 【点睛】本题考查了数字的变化类、单项式，明确题意，发现单项式的变化特点，写出相应单项式是解题的关键． 42．【阅读中思考】 设是不为和的有理数，我们把与的倒数的差，即称为的倒数差， 如：的倒数差是的倒数差是． 【探索中理解】 若是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推． （1）先写出计算的算式，再求出它们的值． （2）求的值． 【应用拓展】 设，，都是不为和的有理数，将一个数组中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第次变换后得到数组，第次变换后得数组第次变换后得到数组． （3）若数组确定为． 第一次变换后得到的数组为_______； 的值为_______．（直接写出答案） 【答案】（1），，；  （2）   （3）     【分析】本题考查了有理数的混合运算，数字规律等知识，正确运用有理数的混合运算法则计算并发现规律是解答本题的关键． （1）根据“倒数差”的定义列式计算即可； （2）先根据“倒数差”的定义列式计算，，，然后求和即可； （3）根据“倒数差”的定义列式计算即可； 先根据“倒数差”的定义列式计算发现规律，然后运用规律解答即可． 【详解】解：（1）， ， ； （2）， ， ， ； （3）数组确定为， 第一次变换后， ， ，即变换后得到的数组为， 故答案为：； 第次变换后， ， ，即变换后得到的数组为； 第次变换后， ， ，即变换后得到的数组为； 同理可得：，，， ，，， ，，， ，， ， ， ， ， ， ． 压轴题型二、整式的加减运算综合 43．定义新运算“△”和“□”： ①定义新运算“△”：给定有理数a、b，对于整式A、B，规定，等式右边是通常的减法、乘法运算； ②定义新运算“□”：给定正整数n（），对于整式M，规定（按从左到右的顺序依次做“△”运算）例如：当、，时，对于，，则有，． (1)当，时，若，，求和． (2)直接写出一组a，b的值，使得对任意一个正整数n（）和任意—个整式M，都有成立． (3)当，时，若，，若（p、q为正整数，且、）中不含项，直接写出满足条件的一组p、q的值． 【答案】(1)，； (2)， (3)，. 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，整式的加减运算，理解新定义是解本题的关键； （1）由题意可得，再根据新定义运算法则计算即可； （2）令，，可得，再根据新定义推导即可； （3）由，，可得，结合，，（p、q为正整数，且、）中不含项，可得运算中只考虑项，再进一步利用新定义探索即可. 【详解】（1）解：当，时， ∴， ∵，， ∴ ； ； （2）解：当，时， ∴， ∴ ； （3）解：当，时， ∴， ∵，，（p、q为正整数，且、）中不含项， ∴运算中只考虑项， ∴， ， ； ， ∴ ， ∴（p、q为正整数，且、）中不含项，满足条件的，. 44．如果两个多项式的和为单项式，则称它们互为“孪生多项式”，这个单项式称为它们的“孪生式”．如多项式与多项式，，3是单项式，则与互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”为3；又如多项式与多项式，，不是单项式，则与不是“孪生多项式”． (1)分别判断下列两组多项式是否互为“孪生多项式”；如果是，写出它们的“孪生式”；如果不是，请说明理由： ①与；        ②与． (2)若与互为“孪生多项式”，和为常数，求的值； (3)在（2）问的条件下，若多项式（，，为常数且）与多项式互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”的取值与无关，直接写出满足条件的多项式． 【答案】(1)①不是；理由见解析  ②是； (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式四则混合运算、求代数式值，准确理解新定义是解题的关键． （1）运用题目中的定义进行逐一计算、辨别； （2）先运用题目中的定义求得m，n的值，再代入求解； （3）根据先求得，，再根据C与互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”的取值与无关，求出a，b的值，结合求出c的值，即得C表达式 【详解】（1）① 不是，理由： ∵，不是单项式， ∴①组多项式不是互为“孪生多项式”；， ②是， ∵，是单项式， ∴②组多项式是互为“孪生多项式”， 它们的“孪生式”为 （2）∵与互为“孪生多项式”， ∴，且， ∴， 故； （3）∵， ∴， ∴， ∵与多项式互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”的取值与无关， ∴，且， ∴， ∵， ∴， ∴． 45．有这样一道题“如果代数式的值为－4，那么代数式的值是多少？”爱动脑筋的吴爱国同学这样来解：原式，我们把看成一个整体，把式子两边乘以2得． 整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【简单应用】 （1）已知，则______． （2）已知，，求的值． 【拓展提高】 （3）已知，，求代数式的值． 【答案】（1）3；（2）；（3）． 【分析】本题考查了整式的加减-化简求值，掌握整体代入的思想，把每一个整式进行适当的变形是解题的关键． （1）根据，把化为，整体代入计算； （2）根据，把化为，整体代入计算； （3）根据，将要求的式子变形：即可得结果． 【详解】（1）解：依题意，当时， ； 故答案为：3； （2）解：当时， ； （3）解：∵，， ． 压轴题型三、整式加减无关型问题（几何类） 46．如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，的相反数是，且、满足． (1)___________；___________； (2)若数轴上有一点为线段的三等分点（点在线段内），求点表示的数是多少？ (3)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，是否存在常数，使为定值，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在， 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，数轴动点问题，整式加减的应用． （1）根据绝对值和平方的非负性，即可求出a， c的值； （2）由三等分点的定义得出或，即可求出点D表示的数； （3）根据题意得出点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，即可得出，，进而得出，即可解答． 【详解】（1）解：，，， ，， 故答案为：，； （2）解：∵点表示的数是，点表示的数是， 由三等分点得或， ∴表示的数为或． 故答案为：或； （3）解：存在，，理由如下： 的相反数为， ，即点表示数为 ∵点表示的数是，向左的速度为每秒个单位长度，点表示的数是，向右的速度为每秒个单位长度，点表示的数是，向右的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒， 点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ，， 为定值， 的值与无关， ， ∴． 47．【问题背景】已知，若的值与的取值无关，则，解得． 【类比探究】（1）已知．若的值与的取值无关，求的值． 【拓展应用】（2）8个如图①所示的小长方形，长为，宽为，按如图②所示的方式不重叠地放在大长方形内．对于大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设．若当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是整式的加减运算，多项式的值与某个字母的值无关的含义. （1）先转化为关于的多项式，然后去括号，合并同类项化简，再根据多项式的值与无关，再建立方程求解即可； （2）先分别表示，，再计算，再根据与无关，从而可得答案. 【详解】（1）解：由题意，得 ． ∵的值与的取值无关， ∴，解得． （2）由题意，得， ∴ ． 的值始终保持不变， ，即． 48．中考新考法·过程性学习七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与的取值无关，求的值”，通常的解题方法是：把看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． (1)若关于的多项式的值与的取值无关，求值； (2)已知，，且的值与的取值无关，求的值； 【能力提升】 (3)7张如图1的小长方形纸片，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． (4) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式加减的无关型问题，正确的将整式进行整理化简，令题中项的系数为零是解题的关键． （1）由题可知代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，故将多项式整理为，令的系数为0，即可求出； （2）根据整式的混合运算顺序和法则化简可得，根据其值与无关得出，即可得出答案； （3）设，由图可知，，即可得到关于的代数式，根据取值与无关可得． 【详解】（1）解：， 因为其值与的取值无关， 所以，解得， 故当时，多项式的值与的取值无关； （2）因为，， 所以 因为的值与的取值无关，所以，即； （3）解：设，由图可知，， 所以， 因为当的长变化时，的值始终保持不变， 即的值与的取值无关， 所以，即． 压轴题型四、整式加减的应用综合 49．数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． (1)【知识呈现】 数轴上的点A，点C所表示的数如图1所示：若点B与点A表示的数互为相反数，则点B表示的数是______，点A与点C之间的距离 ______，点B与点C的中点D表示的数是______，且在图1的数轴上标出点D． (2)【定义】 一个点 （不是原点）在数轴上运动，第一次跳到 的位置（点 与点 表示的数互为相反数），点 称为点 的一次跳跃点，紧接着从 到 的位置（点 与点 位于点 的两侧，且 ），则点 称为点 关于点 的二次跳跃点．如图 2 所示； 【初步理解】 ①若点 表示的数是， 表示的数是 ，点 的一次跳跃点 表示的数是____， 关于点 的二次跳跃点 表示的数是____，线段 的长度为____． 【深入探究】 ②若点 为数轴正半轴的一个点，点 是数轴负半轴上一个点，点 为点 关于点 的二次跳跃点．若点 ，点 表示的数分别是 ，，当 变化时，探究 的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 ③若在数轴上点 ， 分别表示有理数 ，（其中 ，），点 为点 关于点 的二次跳跃点，直接写出线段 的长度． 【答案】(1)1，6，3；见解析 (2)①3，9，12；②不变，；③ 【分析】本题主要考查了相反数、有理数、数轴两点的距离、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意即可得解； （2）①根据跳跃点的定义可得到表示的数，再根据二次跳跃点的定义可得表示的数，进而可求的长度； ②由题易知P是的中点，再分类讨论利用数轴上两点距离求解即可； ③同②思路即可得解． 【详解】（1）解：由题易知，点B表示的数是1，，D表示的数是3；如图所示，点D为所求． 故答案为：1，6，3； （2）解：①由数轴可知，表示的数是3， ∵点P表示的数为6， ， ， ∴表示的数是， ∴线段的长度为， 故答案为：3，9，12； ②解：的值不变，，理由如下： 依题意知点表示的数是， 若，如图所示， ∵点与点位于点P的两侧，且， ， ， ∴点表示的数是， ； 若，如图所示， ∵点与点位于点P的两侧，且， ， ， ∴点表示的数是， ， 综上所述：； ③∵点M表示的数是m， ∴一次跳跃点表示的数是， ∵点与点位于点P的两侧，且， ∴点P是的中点， ∵点P表示的数是p， ∴点表示的数是， ． 50．如图，在长方形中，长为，宽为．除阴影部分M，N外，其余5块是全等的小长方形，小长方形的宽为． (1)求每个小长方形的长（用含x的代数式表示）； (2)分别用含x，y的代数式表示阴影M，N的面积； (3)若阴影M与阴影N的面积差不会随y的变化而变化，请求出x的值，并说明理由． 【答案】(1) (2)阴影M的面积为：；阴影N的面积为： (3)，见解析 【分析】本题主要考查了列代数式、整式加减法应用，①根据题意，用含x的代数式表示出小长方形的长即可． ②根据题意，用含x，y的代数式分别表示出阴影部分M和N的面积即可． ③将②中所得M和N相减，再令y的系数为0即可． 【详解】（1）解：由图可知小长方形的长等于的长减去3个小长方形的宽， ∴每个小长方形的长为． （2）解：阴影M的面积为：． 阴影N的面积为：． （3）解： ∵阴影M与阴影N的面积差不会随y的变化而变化， ∴， 解得， 故x的值为． 51．如图：在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为． 如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最大的负整数．且，满足与互为相反数． 点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟后． (1)请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； (2)探究：若点，向右运动，点向左运动，速度保持不变，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)的值不会随着时间的变化而改变，其值为 (2)当时，的值会随着时间的变化而改变；当时，的值不会随着时间的变化而改变，其值为 【分析】（）根据负整数和相反数的定义可得点表示数，点表示数，点表示数，当运动秒钟后，得到，点表示的数为，点表示的数为，点表示数，即得到，，再根据整式的加减运算法则求出的值即可求解； （）由题意可得运动秒钟后，点表示的数为，点表示的数为，点表示数，即得，，再分和两种情况解答即可求解； 本题考查了非负数的性质，数轴上的动点问题，整式加减的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是最大的负整数， ∴， 又∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴点表示数，点表示数，点表示数， 当运动秒钟后，点表示的数为，点表示的数为，点表示数， ∴，， ∴， ∴的值不会随着时间的变化而改变，其值为； （2）解：运动秒钟后，点表示的数为，点表示的数为，点表示数， ∴，， 当，即时，， 此时的值会随着时间的变化而改变； 当，即时，， 此时的值不会随着时间的变化而改变，其值为； 综上，当时，的值会随着时间的变化而改变；当时，的值不会随着时间的变化而改变，其值为． 压轴题型五、整式加减的新定义运算 52．设m为有理数，数轴上点A表示有理数a，给出以下两个定义：定义为点A向右移动m个单位长度后得到的点；定义为数轴上的一点从原点出发向右移动个单位长度后得到的点．（说明：向右移动负数个单位长度表示向左移动正数个单位长度．例如，向右移动个单位长度表示向左移动2个单位长度） (1)①若点表示有理数，则表示的有理数是__________； ②若点A，B分别表示有理数，，则与之间的距离为_________； (2)如图，点A，B分别表示有理数，2，试说明与之间的距离为定值，并求出这一定值． 【答案】(1)①3；②3； (2)过程见解析，值为3． 【分析】本题考查数轴上的点表示数，新定义以及整式的加减运算，读懂题意是解题关键； （1）①直接根据新定义求解即可； ②根据新定义得出，，然后根据数轴上两点间的距离公式求解即可； （2）根据新定义得出，，然后根据数轴上两点间的距离公式列式求解即可． 【详解】（1）解： ， ②当A表示时，， 当B表示1.5时，， 则：与之间的距离为， 故填①3，②3； （2）根据题意，得，， ∴ 则：与之间的距离为定值，值为3． 53．定义：已知M，N都是关于x的多项式，若（，且k不含字母），则称M是N的“平移式”，k叫做M关于N的“平移值”．例如：，，，则称M是N的“平移式”，M关于N的“平移值”为4． (1)若，，则M是N的“平移式”吗？为什么？ (2)对于常数m，n，有，，若M是N的“平移式”，且“平移值”为3，求m，n的值； (3)若A，B，M都是关于x的多项式，且，．，且，试问：M是N的“平移式”吗？如果是，求出m，n的值及“平移值”；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)M不是N的“平移式”，理由见解析 (2)，； (3)当，时，M是N的“平移式”，“平移值”是5 【分析】本题考查了新定义，整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据新定义，仿照示例，可判断M不是N的“平移式”； （2）根据题意，得到，代入M，N的代数式，化简可得到结果； （3）先表示出N，判断当的条件，从而得到结果． 【详解】（1）解： M不是N的“平移式”，理由如下： ∵，， ∴ ， ∵， ∴M不是N的“平移式”； （2）解：∵M是N的“平移式”，且“平移值”为3， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 当，则或， ①若， 时，，， ∴，则M是N的“平移式”，“平移值”是5； ②当，时，， ∴，则M不是N的“平移式”， 综上，当， 时，M是N的“平移式”，“平移值”是5． 54．给定有理数，，对整式A，，定义新运算“”：；对正整数和整式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．特别地，．例如，当，时，若，，则，． (1)当，时，若，，则 ①_______，_______； ②_______． (2)当，时，若，，，，且的值与的取值无关，求整数的值． 【答案】(1)①；；② (2) 【分析】本题主要考查了新运算的定义与理解、整式的加减，熟练掌握新运算的理解和指数运算是解题的关键； （1）①根据新定义直接代入化简即可； ②根据新定义的运算，将运算展开，从左往右一次作“”运算，得到，将代数式A代入即可； （2）根据已知条件分别表示出P、Q，然后化简，根据不含有的项的系数为0，即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴当，，，时， ， ． 故答案为：；． ②∵， ∴当，，时， ． 故答案为： （2）解：∵由（1）同理可得，，， ∵，， ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴， ∴． 压轴题型六、数字类、图形类规律探究综合 55．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，请解决如下问题： (1)请在图中括号内的数为________；展开式共有________项，第19项系数为________； (2)根据上面的规律，写出的展开式：________________； (3)利用上面的规律计算：； 【答案】(1)6，22，1330 (2) (3)32 【分析】本题考查了多项式乘以多项式中的规律，数字的变化规律，解题关键是找出规律． （1）根据表中数据特点即可求出括号内数字；先找出规律，再求解即可； （2）根据图示顺推即可得到展开式； （3）根据展开式，令时代入展开式即可得到所求代数式的值； 【详解】（1）解：图中括号内的数为， 展开式有项， ，展开式有项， ，展开式有项， ，展开式有项， 展开式有项，第 4项为； ； 以此类推，展开式中共有项， ∴展开式共有 22项，第4项系数为，根据对称性可知第19项系数为1330， 故答案为：6， 22，1330 ； （2）解：根据图示，， 故答案为：； （3）解：， 当时，， ． 56．【阅读】求值． 解：设， 将等式的两边同时乘以2得：， 由得：． 即：． (1)【运用】仿照此法计算：： (2)【延伸】如图，将边长为的正方形分成个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形，依次操作次，依次得到小正方形，，，，，完成下列问题： 小正方形的面积等于_______________； 求正方形，，，，的面积和． 【答案】(1)； (2)；． 【分析】本题考查图形类规律探究、有理数的混合运算． 设，把等式两边都乘以可得：，把两个等式的左右两边分别相减即可求出结果； 根据图形的分割规律可知，设， 等式两边都乘以可得：，把两个等式两边同时相减即可得到结果． 【详解】（1）解：设， 得：， 得：， ；            （2）解：由图形可知， ， ， 故答案为：；             设， 得：， 得：， 即． 57．观察下面三行数： ；    ① ；    ② ；    ③ (1)第①行的第8个数是_____；设第①行的第个数是，请用含的代数式分别表示；第②行的第个数是_____，第③行的第个数是_____． (2)取第①②③行的第9个数，分别记为，求的值． (3)取第①②③行每行的第个数，这三个数中任意两数之差的最大值为6146，请直接写出的值． 【答案】(1)128；；； (2) (3) 【分析】本题考查新定义下的实数运算及数字类规律探索，通过观察归纳出所给数据的规律是解题关键． （1）根据第①行数的排列规律及三行数之间的关系求解； （2）根据上面得到的各行数的排列规律可以得解； （3）设第①行数的第n个数为x，则由（1）可以写出第②③行的第n个数，由题意列出方程，解方程后再根据第①行每个数的特征可以求得x的值． 【详解】（1）解：（1）通过观察可以发现： 第①行数的排列规律是：从第2个数开始，每个数等于它前面的数乘以的积， ∴根据第①行的第7个数是，可以得到第①行的第8个数是， 再通过观察可以发现： 第②行的每个数是第①行相同次序的数加上1得到，第③行的每个数是第①②行相同次序数的和的相反数， ∴设第①行第n个数为x，则第②行第n个数为，第③行第n个数为， 故答案为128；；； （2）解：由（1）可得： ，，， ∴； （3）解：设第①行数的第n个数为x，则第②行第n个数为，第③行第n个数为， 由题意可得： 或 (x为整数)， 解之可得：或 (x为整数)， 由题意可知x的绝对值应该是偶数，所以， 由（2）可得第①行数的第10个数为512， ∴第①行数的第11个数为，第12个数为2048， ∴． 压轴题型七、整式加减与数轴、绝对值综合问题 58．我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．请用数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的意义是_______． （2）当取最小值时，可以取整数_______（符合条件的请写全）； （3）最小值为________； 【解决问题】 （4）如图，一条笔直的公路边有四个居民区、、、和市民广场．居民区、、、分别位于市民广场左侧，左侧右侧，右侧．现要在该公路边上建一个便民服务点，那么这个便民服务点建在何处，能使服务点到四个居民区、、、总路程最短？最短路程是多少？试说明理由． 【答案】（1）数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；（2），，，，；（3）；（4）便民服务点P建在点B或点C处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短，最短距离是 【分析】本题考查了数轴表示数的意义和绝对值的意义，理解绝对值的意义是解题的关键． （1）根据题意即可得出结论； （2）的最小值表示有理数x的点到的点的距离与表示x的点到3的点的距离之和，x应该在和3之间的线段上，即可求出结果； （3）根据的几何意义是表示x的点到的距离减去x到3的距离，可得时取得最大值， 即可求出结果； （4）设便民服务点P在数轴上表示x的点处，由题意可得点P到各点的距离之和即，求出最小值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离； 故答案为：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离． （2）解：根据题意可得， 的几何意义是数轴上表示有理数x的点到表示的点距离与表示x的点到3的点的距离之和， ∴当时，取最小值， 即当x可以取整数，，，，； 故答案为：，，，，． （3）解：的几何意义是表示x的点到的点的距离减去表示x的点到表示3的点的距离， 时取得最小值， 的最小值是：． （4）解：设便民服务点P在数轴上表示x的点处， 根据题意可得，便民服务点到四点的距离为， 当表示x的点在表示的点到表示1的点的线段上，有最小值，即， 当时， 取得最小值， 此时， 答：便民服务点建在点或点处，能使服务点到四个居民区、、、总路程最短，最短距离是． 59．如图1．在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为．我们规定：的大小用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即． 请用上面的知识解答下面的问题：如图2：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最大的负整数．且，满足与互为相反数． (1)____，____，____； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与表示数____的点重合； (3)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟后． 请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； 探究：若点，向右运动，点向左运动，速度保持不变，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，，； (2)； (3)的值不会随着时间的变化而改变，理由见解析；当时，的值随着时间的变化而改变；当时，的值不会随着时间的变化而改变． 【分析】本题主要考查了整式加减，数轴上的动点问题，有理数概念，绝对值和偶次幂非负性等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据最大的负整数，绝对值和偶次方具有非负性可求解； （）由题意容易得出折叠点表示的数是，再根据与的距离可得答案； （）先表示出秒后表示的数，然后分别求出，，再代入计算即可得出结论； 先表示出秒后表示的数，然后分别求出，，然后分在的左侧；在的右侧讨论，再代入计算即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，满足与互为相反数， ∴， ∴，， ∵是最大的负整数， ∴， 故答案为：，，； （2）解：∵，，点与点重合， ∴折痕点为， ∴与点重合的点为：， 故答案为：； （3）解：的值不会随着时间的变化而改变，理由， 秒钟后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∴ ； 秒钟后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， 当与重合时，，解得：； 当在左侧时，即时， ∴ ； ∴的值随着时间的变化而改变； 当在右侧时，即时， ∴ ； ∴的值不贵随着时间的变化而改变； 综上可得：当时，的值随着时间的变化而改变；当时，的值不会随着时间的变化而改变． 60．【背景介绍】：绝对值在初中数学中是一个基础核心概念和关键枢纽．它看似简单，但却是连接算术与代数、串联多种数学思想的重要节点． 【自主回忆】：（1）请写出一个你对绝对值的了解：________． 【引导思考1】：（2）分类讨论：如果，，求 【引导思考2】：几何意义：表示数、在数轴上对应的点、之间的距离 （3）如图表示数在数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为、、、．若，，，则的值是________． 【尝试应用】：（4）符号：表示：对于数轴上任一点，和是与点相距个单位长度的两点．如果点、是数轴上的两个动点，，（其中，）．两点同时从原点出发，点向左，点向右运动，当时，求点、之间的距离． 【答案】（1）①正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值还是零. ②绝对值的几何定义是数轴上某点到原点的距离. （2）或，（3）5，（4）或． 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，解绝对值方程，一元一次方程的应用： （1）根据绝对值的意义回答即可； （2）根据绝对值的意义即可求出，，进而代入计算即可； （3）由图可知：，化简绝对值可得，，，再根据即可求解 （4）可得设点P和点Q表示的数分别为，根据定义可得，根据得到，即，据此把看作一个整体，解绝对值方程即可得到答案． 【详解】（1）（1）①正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值还是零. ②绝对值的几何定义是数轴上某点到原点的距离. （2）∵，， ∴，， ∴当，时，， ∴当，时，， （3）由图可知：， ∵，，， ∴，，， ， （4）设点P和点Q表示的数分别为， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴， ∴点P、Q之间的距离为； 当时， ∴， ∴， ∴点P、Q之间的距离为； 综上所述，点P、Q之间的距离为或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $