提分小卷限时练01浙江专用（8解答，ABC三组，综合训练）2026年中考数学一轮复习讲练测

提分小卷：解答题 限时训练01（A组+B组+C组） （考试时间：80分钟 试卷满分：72分） 解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算： (1)； (2) 18．（8分）解下列方程（组）： (1)； (2)． 19．（8分）如图，四边形是平行四边形． (1)用尺规作图作的平分线交于E(保留作图痕迹，不要求写作法，不要求证明) (2)求证：． 20．（8分）如图，小李和小颖制作了两个质地均匀、可以自由转动的转盘，转盘A被等分为四个扇形，上面分别标有数字2，3，5，6；转盘B中圆心角为的扇形上面标有数字4，其余部分上面标有数字5． (1)小李转动一次转盘A，指针指向数字为5的概率是； (2)小李和小颖用如图所示的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，将转盘A转出的数字作为被减数，转盘B转出的数字作为减数，如果差为正数，则小李胜；若差为负数，则小颖胜．这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 21．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与反比例函数的图象交于两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式（不用写自变量的取值范围）； (2)根据图象，直接写出使成立的的取值范围． 22．（10分）周末天气晴好，热爱户外运动的黄老师去爬山．途中有一段山的形状如图①，爬山路线示意图如图②，黄老师从起点A出发，沿走460米到B点，再沿到山顶C点，已知山高为392米，，，交的延长线于点F，．（图中所有点均在同一平面内） (1)求的长； (2)求黄老师从山脚A点到达山顶C点共走了多少米？（结果精确到1米）．（参考数据：） 23．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若抛物线过点，求该抛物线的解析式； (2)当时，y的最小值是，则当时，求y的最大值； (3)已知直线与抛物线存在两个交点，若两交点到x轴的距离相等，求a的值． 24．（12分）已知是的直径，点C，D在上，位于两侧，且，连接，，与交于点E． (1)如图①，若，连接，求和的大小； (2)如图②，过点C作的切线，与的延长线交于点F，若，，求的长． （考试时间：80分钟 试卷满分：72分） 解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算． (1)； (2)． 18．（8分）解方程 (1) (2) 19．（8分）如图，已知，请按要求完成尺规作图： (1)在图1中，画出的角平分线； (2)在图2中，画出等腰三角形，使点E在边上． 20．（8分）2025年6月16日，中央宣传部、公安部联合启动“全民反诈在行动”集中宣传月活动，主题为“反诈是门必修课，筑牢防线守好责”．某校积极响应推进反诈宣传的工作，在校内进行了“防电信网络诈骗”的知识竞赛活动，随机抽取了部分学生成绩进行统计，发现所有学生的成绩均不低于75分，并绘制了如下3幅不完整的统计图表．根据统计图表提供的信息解答下列问题： 组别 成绩（单位：分） 频数 A 10 B m C D E n (1)频数分布统计表中的_____，请补全频数分布直方图； (2)若该校有2000名学生，请你估计该校学生竞赛成绩在90分及以上的学生人数； (3)该校决定从获得满分的甲、乙、丙、丁名学生中随机选取2名参加校内的“防诈反诈”宣传工作．请用列表或画树状图的方法，求恰好选中甲、乙2名学生的概率． 21．（8分）小明和小亮相约去城墙游玩并打算用学过的知识测量城墙的高度．如图，CD是城墙外的一棵树，小明首先在城墙上从A处观察树顶C，测得树顶C的俯角为；然后，小亮在城墙外，阳光下，某一时刻，当他走到点F处时，他的影子顶端与树的影子顶端恰好在G处重合，即点C、E、G在同一直线上．小亮的身高米，米，米，米，已知点B、G、F、D在一条水平线上，图中所有的点都在同一平面内，，，，请求出城墙的高度．（参考数据：，，） 22．（10分）已知二次函数． (1)求二次函数顶点的坐标（用含的代数式表示），并证明：无论取何值，顶点总在一条直线上． (2)若二次函数与x轴交于，两点（点在点左侧），且，求的值． (3)若点，，都在这个二次函数的图象上，且，求的取值范围． 23．（10分）在平行四边形中，对角线交于点O，P是线段上一个动点（不与点O、点C重合），过点P分别作的平行线，交于点E，交于点F、G，连接． (1)如图1，如果，求证：； (2)如图2，如果，，且与相似，并求的值； (3)如图3，如果，且射线过点A．请补全图形，并求的度数． 24．（12分）如图，已知中，，平分，交于点，以上某一点为圆心作使经过点和点，交于点，连接并延长交的延长线于点．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，求阴影区域的面积． （考试时间：80分钟 试卷满分：72分） 解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算： (1)； (2)． 18．（8分）已知关于的方程． (1)求证：无论常数取何值，方程总有实数根； (2)当整数取何值时，方程有两个整数根？ 19．（8分）如图，在矩形中，，点分别从三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点的速度为，点F的速度为，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，的面积为． (1)当秒时，S的值是多少？ (2)若点F在矩形的边上移动，当t为何值时，以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似？请说明理由． 20．（8分）百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ：，：，：，：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中_______， _______， _______． (2)在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． (3)（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 21．（8分）如图，已知是边上的一点，以为圆心、为半径的圆与边相切于点，且，连接，交于点，连接并延长，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 22．（10分）综合与探究 问题情境： 如图，在四边形中，，，平分交于点，连接，将线段绕点逆时针旋转到，使，连接． 问题初探： （1）如图1，当时，线段和线段的数量关系为 ，位置关系为 ． 深入探究： （2）对问题（1）进一步研究之后发现，线段与线段之间存在特定的数量关系．请你写出这种关系，并予以证明． 解决问题： （3）如图2，连接，当，时，请直接写出四边形的面积． 23．（10分）已知二次函数和一次函数． (1)若对任意实数b，上述两个函数图像，总有两个相异交点A，B，求a的取值范围； (2)在（1）的条件下，若二次函数图像上M，N两点的横坐标，分别等于A，B的横坐标，且M，N两点，关于直线对称，求b的最小值． 24．（12分）学校数学社团在学完圆周角的有关知识后，进行了如下的探究活动． 【问题发现】 已知内接于，点D是弦所对弧的中点，连接，则弦，，之间一定存在某种等量关系． 【问题探究】    (1)如图1，若，，当点A、D位于弦的异侧，且D是的中点，容易得到：　 ； (2)如图2，若，D是弦所对的优弧的中点，请你探索弦，，之间的等量关系，并说明理由； 【迁移应用】 (3)如图3，若，，，点D是弦所对弧的中点，连接，求的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 提分小卷：解答题 限时训练01（A组+B组+C组） （考试时间：80分钟 试卷满分：72分） 解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算： (1)； (2) 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂． （1）先计算有理数的乘方，算术平方根，立方根，再进行加法计算即可求解； （2）先计算算术平方根，零指数幂，负整数指数幂，再进行加减计算即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．（8分）解下列方程（组）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次方程以及解二元一次方程组，熟练掌握相关解法和步骤是解题关键． （1）依次去括号、依次移项、合并同类项、系数化1，即可解方程； （2）利用加减消元法解答，即可求解． 【详解】（1）， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：， 由，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 所以该方程组的解为． 19．（8分）如图，四边形是平行四边形． (1)用尺规作图作的平分线交于E(保留作图痕迹，不要求写作法，不要求证明) (2)求证：． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查尺规作图和平行四边形的性质，熟练掌握“等边对等角”是解题的关键． （1）利用尺规作图作的平分线，以点B为圆心，任意长为半径画弧，交和于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点的距离为半径画弧，在内交于一点，作射线交于E即可； （2）由（1）可得，根据得到，进而得到，根据等边对等角证明即可． 【详解】（1）解：以点B为圆心，任意长为半径画弧，交和于两点， 再分别以这两点为圆心，大于两点的距离为半径画弧，在内交于一点，作射线交于E，如图所示： （2）证明：平分 四边形是平行四边形 ． 20．（8分）如图，小李和小颖制作了两个质地均匀、可以自由转动的转盘，转盘A被等分为四个扇形，上面分别标有数字2，3，5，6；转盘B中圆心角为的扇形上面标有数字4，其余部分上面标有数字5． (1)小李转动一次转盘A，指针指向数字为5的概率是； (2)小李和小颖用如图所示的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，将转盘A转出的数字作为被减数，转盘B转出的数字作为减数，如果差为正数，则小李胜；若差为负数，则小颖胜．这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 【答案】(1)指针指向数字为5的概率是 (2)这个游戏对双方不公平，理由见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可得出答案； （2）根据题意画出表格得出所有等可能的情况数，再找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】（1）解：A盘被等分为四个扇形，上面分别标有数字2，3，5，6，共4种情况，其中数字为5的有1种， ∴指针指向数字为5的概率是． （2）解：这个游戏对双方不公平，理由如下： 列表如下： 被减数 减数 2 3 5 6 5 0 1 5 0 1 4 1 2 由表知，共有12种等可能结果，其中差为负数的有6种结果，差为正数的有4种结果， ∴小李获胜的概率为，小颖获胜的概率为， ∵， ∴这个游戏对双方不公平． 21．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与反比例函数的图象交于两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式（不用写自变量的取值范围）； (2)根据图象，直接写出使成立的的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，求函数解析式，根据待定系数法求出函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）根据函数图象结合交点坐标即可解答． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴ 点，在一次函数的图象上， ，解得， 一次函数的表达式为； （2）解：根据图象可知使成立的的取值范围是或． 22．（10分）周末天气晴好，热爱户外运动的黄老师去爬山．途中有一段山的形状如图①，爬山路线示意图如图②，黄老师从起点A出发，沿走460米到B点，再沿到山顶C点，已知山高为392米，，，交的延长线于点F，．（图中所有点均在同一平面内） (1)求的长； (2)求黄老师从山脚A点到达山顶C点共走了多少米？（结果精确到1米）．（参考数据：） 【答案】(1)230米 (2)670米 【分析】本题考查了解直角三角形应用．熟练掌握含30度的直角三角形的性质，矩形的判定和性质，正弦函数，是解题的关键． （1）在中，根据，可得，即可求解； （2）根据，，得出，再根据四边形是矩形，结合即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， 故的长为230米； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴． 故黄老师从山脚A点到达山顶点的路程约为670米． 23．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若抛物线过点，求该抛物线的解析式； (2)当时，y的最小值是，则当时，求y的最大值； (3)已知直线与抛物线存在两个交点，若两交点到x轴的距离相等，求a的值． 【答案】(1) (2)当时，y的最大值为17；当时，y的最大值为； (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数与一次函数的交点问题，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出对称轴为直线；当时，则离对称轴越远，函数值越大，当时，函数有最小值，据此可求出a的值，进而得到抛物线解析式，再确定当时，函数有最大值，据此求解即可；时，则离对称轴越远，函数值越小，当时，函数有最小值，据此可求出a的值，进而得到抛物线解析式，再确定当时，函数有最大值，据此求解即可； （3）联立两函数解析式，求出两函数的两个交点的坐标，根据两个交点到x轴的距离相等建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，则离对称轴越远，函数值越大， ∵当时，y的最小值是， ∴当时，， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴当时，当时，函数有最大值，最大值为； 当时，则离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，当时，函数有最小值，最小值为， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， ∵对称轴为直线 ∴当时，当时，函数有最大值，最大值为； 综上所述，当时，y的最大值为17；当时，y的最大值为； （3）解：，解得或， ∴直线与抛物线的两个交点的坐标分别为， ∵两交点到x轴的距离相等， ∴， 解得（此时两个交点重合，不符合题意）或． 24．（12分）已知是的直径，点C，D在上，位于两侧，且，连接，，与交于点E． (1)如图①，若，连接，求和的大小； (2)如图②，过点C作的切线，与的延长线交于点F，若，，求的长． 【答案】(1)， (2)1 【分析】（1）连接，由，，可得是等腰直角三角形，则．结合，可得，根据圆周角定理，可得．由直径所对圆周角为直角，可得与互余，计算出即可； （2）连接，作，垂足为H，根据切线的性质可得，． 设半径为r，使用勾股定理构建方程，计算出r的值．由三角形面积公式可得的值，使用勾股定理可以求出的值．易证得，则有，从而求出的长． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； （2）如图，连接，作，垂足为H， ∵是的切线， ∴， 设半径为r，则， 在直角中，， ∴，解得， ∵，， ∴， ∵， ∴，解得， 在直角中，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，解得，． 【点睛】本题考查圆周角定理、等腰直角三角形判定与性质、直角三角形的性质、切线的性质、勾股定理和相似三角形的判定与性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （考试时间：80分钟 试卷满分：72分） 解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及负整数指数幂、零指数幂、算术平方根、乘方，开立方、绝对值等知识．解题的关键在于熟练掌握各类运算法则． （1）先进行负整数指数幂、零指数幂、算术平方根、乘方，然后算加减即可； （2）先进行算术平方根、立方根、绝对值，然后算加减即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 18．（8分）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元二次方程，解题的关键在于正确掌握相关运算方法． （1）利用加减消元法求解，即可解题； （2）利用因式分解法求解，即可解题． 【详解】（1）解：， 由得：， ， 将代入①中得：， ， 方程的解为； （2）解： 则或， 解得． 19．（8分）如图，已知，请按要求完成尺规作图： (1)在图1中，画出的角平分线； (2)在图2中，画出等腰三角形，使点E在边上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线，尺规作图—作垂线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据角平分线的作法作图即可； （2）作线段的垂直平分线交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图：即为所求； ； （2）解：如图，点即为所求， ， 由作图可得， 故为等腰三角形． 20．（8分）2025年6月16日，中央宣传部、公安部联合启动“全民反诈在行动”集中宣传月活动，主题为“反诈是门必修课，筑牢防线守好责”．某校积极响应推进反诈宣传的工作，在校内进行了“防电信网络诈骗”的知识竞赛活动，随机抽取了部分学生成绩进行统计，发现所有学生的成绩均不低于75分，并绘制了如下3幅不完整的统计图表．根据统计图表提供的信息解答下列问题： 组别 成绩（单位：分） 频数 A 10 B m C D E n (1)频数分布统计表中的_____，请补全频数分布直方图； (2)若该校有2000名学生，请你估计该校学生竞赛成绩在90分及以上的学生人数； (3)该校决定从获得满分的甲、乙、丙、丁名学生中随机选取2名参加校内的“防诈反诈”宣传工作．请用列表或画树状图的方法，求恰好选中甲、乙2名学生的概率． 【答案】(1)30，图见解析 (2)1120人 (3) 【分析】本题考查统计图表，利用列表法求概率，从统计图表中有效的获取信息是解题的关键： （1）根据组学生所占的比例，求出总人数，再乘以组、组学生所占的比例，求出的值，补全直方图即可； （2）利用样本估计总体的思想进行求解即可； （3）利用列表法求概率即可． 【详解】（1）解：；，， 补全直方图如图： （2）（人）； 答：估计该校学生竞赛成绩在90分及以上的学生人数为1120． （3）由题意，列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲，乙 甲，丙 甲，丁 乙 乙，甲 乙，丙 乙，丁 丙 丙，甲 丙，乙 丙，丁 丁 丁，甲 丁，乙 丁，丙 共12种等可能的结果，其中选中甲，乙的情况有2种， ∴． 21．（8分）小明和小亮相约去城墙游玩并打算用学过的知识测量城墙的高度．如图，CD是城墙外的一棵树，小明首先在城墙上从A处观察树顶C，测得树顶C的俯角为；然后，小亮在城墙外，阳光下，某一时刻，当他走到点F处时，他的影子顶端与树的影子顶端恰好在G处重合，即点C、E、G在同一直线上．小亮的身高米，米，米，米，已知点B、G、F、D在一条水平线上，图中所有的点都在同一平面内，，，，请求出城墙的高度．（参考数据：，，） 【答案】城墙的高度为米 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质和解直角三角形的应用．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．过点C作于H，在中，解直角三角形求出，根据相似三角形的判定和性质求出，即可求得． 【详解】解：如图，过点C作于H， ， 四边形是矩形， （米）， 在中， （米）， ， ， ，即， 解得：， （米）， 城墙的高度为米 22．（10分）已知二次函数． (1)求二次函数顶点的坐标（用含的代数式表示），并证明：无论取何值，顶点总在一条直线上． (2)若二次函数与x轴交于，两点（点在点左侧），且，求的值． (3)若点，，都在这个二次函数的图象上，且，求的取值范围． 【答案】(1)顶点的坐标为；见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与坐标轴的交点问题，一元二次方程根与系数的关系； （1）利用配方法或顶点公式求出顶点坐标，并通过代数变形证明顶点在某条直线上； （2）设，两点的横坐标为，进而用一元二次方程根与系数的关系建立方程求解参数； （3）将分别代入解析式，求得，根据得出的范围，根据，，关于直线对称得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴顶点的坐标为 设顶点的坐标为，则，， 消去得： 故无论取何值，顶点总在直线上 （2）设，两点的横坐标为， 当时， ∴ 解得：， ， ∴ 由， ∴ 解得： （3）解：∵，，都在这个二次函数的图象上，二次函数图象的对称轴为直线 ∴，关于直线对称 ∴ ∴ 将分别代入解析式得 ， ∵ ∴ 解不等式①得： 解不等式②得：或 ∴不等式组的解集为： ∵ ∴ 23．（10分）在平行四边形中，对角线交于点O，P是线段上一个动点（不与点O、点C重合），过点P分别作的平行线，交于点E，交于点F、G，连接． (1)如图1，如果，求证：； (2)如图2，如果，，且与相似，并求的值； (3)如图3，如果，且射线过点A．请补全图形，并求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据平行线分线段成比例得到，，，即可求解； （2）根据题意得到当时，，则，结合题意，设，则，，，，，，根据即可求解； （3）根据菱形的性质，找出线段比例关系，证明，设，则，结合两直线平行同旁内角互补，列式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 设，则，， 在平行四边形中，，则， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2， ∵， ∴平行四边形为矩形，则， ∴，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵，且， ∴当时，， ∴， ∵， ∴设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴， ∴； （3）解：补全图形如下， ∵， ∴平行四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负根已舍）， ∴， ∴，且， ∴， 又∵， ∴， ∴设，则， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形，矩形，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例等知识的综合运用，掌握以上知识，找出三角形相似得到线段之间的关系是解题的关键． 24．（12分）如图，已知中，，平分，交于点，以上某一点为圆心作使经过点和点，交于点，连接并延长交的延长线于点．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，求阴影区域的面积． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）连接，根据角平分线的定义得出，由等边对等角得出，即可得出，进而判定，根据平行线的性质得到，即，即可得解； （2）由是直径得出，进而得到，，根据两角相等的两个三角形相似得到，即可得出，求出，再根据锐角三角函数定义求出，即得，再根据直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半得出，即可求解； （2）根据阴影部分面积等于的面积减去扇形的面积求解即可． 【详解】（1）证明：直线与相切，理由如下： 如图，连接，    平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）是直径， ， ， 平分，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ； （3），，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟记相关的定理及证明直线与相切是解题的关键． （考试时间：80分钟 试卷满分：72分） 解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是： （1）先把特殊角的三角函数值代入，然后进行二次根式运算即可； （2）根据负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值，二次根式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．（8分）已知关于的方程． (1)求证：无论常数取何值，方程总有实数根； (2)当整数取何值时，方程有两个整数根？ 【答案】(1)见解析 (2)或或或 【分析】本题考查根据方程的根的情况，求参数的值．熟练掌握一元二次方程判别式和根的个数关系，以及根与系数的关系，是解题的关键． （1）根据二次项系数为零和不为零两种情况进行分类讨论，利用判别式的取值进行证明即可； （2）根据方程的两个根都是整数，说明方程为一元二次方程，利用根与系数的关系，结合两个根都是整数，进行计算即可． 【详解】（1）证明：当，即：时， 方程变为：， 解得：，方程有实数根； 当，即：时，方程为一元二次方程， ， ∴方程有两个不相等的实数根； ∴无论m为何值，方程总有实数根． （2）解：依题意，方程有两个整数根，则该方程为一元二次方程，故，即， 设方程的两个根为：， 则：， ， ∵方程的两个根都为整数， ∴和为整数，即为整数， ∴或， 解得：或或或， ∴当或或或时，该方程的两个根都为整数． 19．（8分）如图，在矩形中，，点分别从三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点的速度为，点F的速度为，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，的面积为． (1)当秒时，S的值是多少？ (2)若点F在矩形的边上移动，当t为何值时，以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似？请说明理由． 【答案】(1)； (2)，或． 【分析】本题主要考查了矩形的性质、三角形面积公式、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形对应边成比例的分类讨论是解题的关键． （1）当时，先计算各点移动的距离得到相关线段长度，再用矩形面积减去三个直角三角形的面积，求出的面积． （2）点在上时，先表示出、、、的长度，分“”和“”两种相似情况，利用相似三角形对应边成比例列方程求解． 【详解】（1）解：当时, ，，， ，， 矩形面积：， ， ， ， ； （2）解：点在上， ，即， 此时，，，， 情况1：当时， ， ， 即， 解得， 情况2：当时， ， ，即 解得， 综上，或时，以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似． 20．（8分）百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ：，：，：，：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中_______， _______， _______． (2)在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． (3)（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 【答案】(1)，， (2)估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人 (3)图见解析， 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体，列表法或树状图法求概率等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键． （1）根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值，用分别减去其他三个等级所占百分比可得的值，即可得出的值； （2）由甲、乙两款的非常满意的人数之和即可得出答案； （3）用树状图法求解即可． 【详解】（1）解：甲款评分数据中“满意”的数据中出现的次数最多， 众数． 乙款评分数据中、两组共有个数据， 乙款评分数据的中位数为第个和第个数据的平均数，而这两个数据分别为、，中位数． 乙款评分数据在组人数所占百分比为， 即． 故答案为：，，． （2）解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比， 对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为： （人）． 答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人． （3）解：画树状图为： 由树状图可知，共有种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为种，所以两人都选择同款聊天机器人的概率为． 21．（8分）如图，已知是边上的一点，以为圆心、为半径的圆与边相切于点，且，连接，交于点，连接并延长，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、切线的判定、切线长定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识与方法．在解圆的相关题型中，连接常用的辅助线是解题关键． （1）连接，由与相切于点，得，可证明，得，即可证明是的切线； （2）由，得，由勾股定理得，则，即可求得，，由，且，得，可求得． 【详解】（1）证明：如图，连接， 与相切于点， ． ． 在和中， ， ． ． 是的半径，且， 是的切线． （2）解：， ． ． ． ． ， ，解得． 的长是． 22．（10分）综合与探究 问题情境： 如图，在四边形中，，，平分交于点，连接，将线段绕点逆时针旋转到，使，连接． 问题初探： （1）如图1，当时，线段和线段的数量关系为 ，位置关系为 ． 深入探究： （2）对问题（1）进一步研究之后发现，线段与线段之间存在特定的数量关系．请你写出这种关系，并予以证明． 解决问题： （3）如图2，连接，当，时，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）；．（2），证明见解析．（3） 【分析】（1）根据角边角的证明方法可证明与全等，由此可得数量关系为，再由，可得点共线，即可得位置关系． （2）根据（1）可知，，再由边角边的证明方法证明与全等，由此可得，再由即可得关系． （3）可先根据菱形的判定证明四边形为菱形，即可得，由（1）与（2）可知，，再由等边三角形的性质可得，再由梯形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）∵， 且，， ∴， ∵，， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴线段和线段的数量关系为， ∵在四边形中，， ∴， 又， ∴， ∴点共线， 又， ∴， ∴线段和线段的位置关系为． 故答案为：；． （2）．证明如下： 连接，如图， 由（1）知，， ∵平分， ∴， 又，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴． （3）过点A作，如图， 由（1）和（2）可知，，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，勾股定理的应用，菱形的判定与性质，平行线的性质，解决本题的关键是适当添加辅助线证明全等转化边长的关系． 23．（10分）已知二次函数和一次函数． (1)若对任意实数b，上述两个函数图像，总有两个相异交点A，B，求a的取值范围； (2)在（1）的条件下，若二次函数图像上M，N两点的横坐标，分别等于A，B的横坐标，且M，N两点，关于直线对称，求b的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令两个函数的函数值相等，得到一个关于x的一元二次方程，有两个交点意味着这个方程的判别式大于0，从而得到a和b之间的关系．利用二次函数的性质，进一步求出a的取值范围； （2）由对称的性质可得，线段的中点在直线上，且与直线垂直，从而得到a和b之间的关系，利用韦达定理求出b的最小值． 【详解】（1）解：当两个函数图象相交时， ， 化简得，， ∵两个函数的图像有两个相异交点A，B， ∴方程的判别式， 代入得，， 化简得，， 设，则该函数可以看作s关于b的二次函数， 由题意可知，对任意实数b，该二次函数的函数值均大于0，即其最小值大于0， 由顶点公式可得，的对称轴为直线， 当时，函数取最小值， ∴， 化简得，， 当时，，即，该不等式无解； 当时，，即， 综上所述， ； （2）解：设点A横坐标为，点B横坐标为，点M纵坐标为，点N纵坐标为， ∵点M和点N的横坐标分别等于点A和点B的横坐标， ∴点M的坐标为，点N的坐标为， ∵点A和点B是两个函数的交点， ∴和是方程的解， 由韦达定理可得，，， 由完全平方公式得，  ， ∵点M，N在二次函数图象上， ∴点M的坐标为，点N的坐标为， 设直线的函数解析式为， 代入点M和点N的坐标得， ， 将得，， 由于，故两边同除以得，， 将代入得，， 设点M和点N的中点为点E， 由中点公式可得，，  ， ∴点E的坐标为， ∵点E也在直线上， ∴，解得，， ∴直线的函数解析式为，此直线为一三象限的角平分线所在的直线，与之垂直的是二四象限的角平分线所在的直线，即直线， ∵点M和点N关于直线对称， ∴直线与直线垂直，同时点E在直线上， ∴直线与直线平行， ∴，即， 将点E的坐标代入得，， 化简得，， 把它当作以a为主元的一元二次方程，则其判别式， ∴，即， ∴， 由韦达定理可得，， 由（1）得，， ∴，， ∴，解得， ∴， 代入①得，，即， 当时，符合题意， ∴的最小值为． 【点睛】本题是函数的综合题，考查二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，轴对称的性质以及一元二次方程的根与系数的关系，掌握函数与方程之间的关系是解题关键． 24．（12分）学校数学社团在学完圆周角的有关知识后，进行了如下的探究活动． 【问题发现】 已知内接于，点D是弦所对弧的中点，连接，则弦，，之间一定存在某种等量关系． 【问题探究】    (1)如图1，若，，当点A、D位于弦的异侧，且D是的中点，容易得到：　 ； (2)如图2，若，D是弦所对的优弧的中点，请你探索弦，，之间的等量关系，并说明理由； 【迁移应用】 (3)如图3，若，，，点D是弦所对弧的中点，连接，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）在上截取一点E，使得，连接，，根据，D是弦所对的优弧的中点，得到，利用同弧所对的圆周角相等证明和都为等边三角形，得到，再证明，得到，即可得到结论； （3）分两种情况讨论，①当点D是弦所对的劣弧的中点时，延长到E，使得，连接，，，过点D作交于点F，根据四点共圆得到，点D是弦所对弧的中点，得到，，证明，得到，再证明，得到，在中，利用即可求解；②当点 D是弦所对的优弧的中点时，连接，，延长，过点B作，交延长线与点Q，点B作交于点G，由同弧所对的圆周角相等，得到，证明，得到，，证明，得到，在中，，得到，即可求出结果． 【详解】（1）解： ，， ， ，都是的直径， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，在上截取一点E，使得，连接，，    ，D是弦所对的优弧的中点， ， ，，， 和都为等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：①当D是弦所对的劣弧的中点时，如图，延长到E，使得，连接，，，过点D作交于点F，    A，B，C，D四点共圆， ， ， ， 点D是弦所对弧的中点， ， ， 在和中， ， ，，， 在和中， ， ， ， ，，， ， ， 点D是弦所对弧的中点，， ， 在中， ， ； ②当点 D是弦所对的优弧的中点时，如图，连接，，延长，过点B作，交延长线与点Q，点B作交于点G，   点D是弦所对弧的中点， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ，， 在中， ， ， ， ， 综上所述，或． 【点睛】此题属于圆的综合题，全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，锐角三角函数解直角三角形，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，作辅助线，一定要注意将所学知识贯穿起来． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $