阶段检测验收卷09概率与统计（综合训练）（浙江专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

阶段检测验收卷 第九章 概率与统计 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列事件中，为不可能事件的是（  ） A．守株待兔 B．旭日东升 C．当为某一实数时可使 D．明天要下雨 【答案】C 【分析】本题考查了随机事件、必然事件、不可能事件，熟练掌握在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件，是解题的关键； 根据不可能事件的定义，即在任何情况下都不会发生的事件，判断各选项是否可能发生即可． 【详解】解：A、守株待兔虽发生的概率小但可能发生，故不符合题意，此选项错误； B、旭日东升是必然事件，故不符合题意，此选项错误； C、∵对于任何实数，都有恒成立， ∴ 不可能成立，故符合题意，此选项正确； D、明天要下雨是随机事件，故不符合题意，此选项错误； 故选：C． 2．我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示，下列统计图中，能反映样本或总体中各组的分布情况的是（   ） A．条形图 B．扇形图 C．折线图 D．频数分布直方图 【答案】D 【分析】本题考查了统计图，熟练掌握各统计图的特点是解题的关键．根据统计图的特点判定即可． 【详解】解：A、条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目，故此选项不符合题意； B、扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据，故此选项不符合题意； C、折线统计图表示的是事物的变化情况，故此选项不符合题意； D、频数分布直方图，反映样本或总体各组的分布情况，易于显示各组之间频数的差别，故此选项符合题意． 故选：D． 3．为了调查国庆期间游客在龙门石窟、云台山、少林寺和老君山这四个风景区旅游的满意度，在以下四个方案中，最合理的方案是（    ） A．在多家旅游公司调查100名导游 B．在龙门石窟景区调查100名游客 C．在少林寺调查100名游客 D．在四个景区各调查100名游客 【答案】D 【分析】根据选择调查对象的代表性、广泛性和可操作性，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵调查的目的是“为了解游客对龙门石窟、云台山、少林寺和老君山这四个风景区旅游的满意程度"， ∴A．导游不能代表游客，因此选项A不符合题意； B．在龙门石窟景区调查100名游客，具有片面性，不能准确反映出“云台山、少林寺和老君山”的满意度，因此选项B不符合题意； C．在少林寺调查100名游客，具有片面性，不能准确反映出“龙门石窟、云台山和老君山”的满意度，因此选项C不符合题意； D．在上述四个景区各调查100名游客，比较具有代表性，因此选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查调查收集数据的过程与方法，理解选择调查对象的代表性、广泛性和可操作性是正确判断的关键． 4．某市 2024 年秋一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，31，34，30，32，31，这组数据的中位数、众数分别是（    ） A．34， 31 B．31，32 C．31，31 D．32，35 【答案】C 【分析】本题考查中位数和众数的概念，中位数是排序后中间的数，众数是出现次数最多的数． 中位数是将数据排序后中间的数，众数是出现次数最多的数． 【详解】解：将数据从小到大排列：30，31，31，31，32，34，35． ∵数据个数为7，是奇数， ∴中位数为第4个数，即31； ∵31出现3次，次数最多， ∴众数为31； 因此中位数和众数都是31． 故选：C． 5．若样本，，…，的平均数为10，方差为6，则对于样本，，…，，下列结论正确的是（   ） A．平均数为10，方差为6 B．平均数为12，方差为6 C．平均数为12，方差为8 D．平均数为13，方差为9 【答案】B 【分析】本题主要考查了平均数和方差，根据平均数的定义可得，则可推出，可求出，根据方差的定义可推出，则可求出，据此可得答案． 【详解】解：∵样本，，…，的平均数为10， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴样本，，…，的平均数为12； ∵样本，，…，的方差为6， ∴， ∴， ∴ ， ∴样本，，…，的方差为6， 故选：B． 6．在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年主题活动中，某班级准备举办一场故事分享会，筹备组制作了张不透明的故事卡片，其中张的故事内容是关于“著名战役”，另外张的故事内容是关于“英雄人物”（卡片除故事内容外其余都相同）．活动环节，将这张卡片背面朝上洗匀，主持人从中随机抽取张，不放回，再从剩余的张中随机抽取张，抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了树状图法求概率，用表示张的故事内容是关于“著名战役”的卡片，用表示张的故事内容是关于“英雄人物”的卡片，共有种等可能得结果，其中抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的结果数有种，然后利用概率公式即可求解，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解题的关键． 【详解】解：用表示张的故事内容是关于“著名战役”的卡片，用表示张的故事内容是关于“英雄人物”的卡片，画树状图为， 共有种等可能得结果，其中抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的结果数有种， ∴抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的概率是， 故选：． 7．一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数．若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要设（   ） A．五位 B．四位 C．三位 D．二位 【答案】B 【分析】本题考查了概率．概率计算基于总可能结果数，每位有10种选择，位密码总可能数为 一次拨对密码的概率为，需满足，即 【详解】解：∵每个数位上的数都是从0到9的自然数．要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于， 则，， ∴密码位数至少需要4位， 故选：B 8．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现 分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分）．若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了几何概率，勾股定理．根据题意易得，则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三角形组成的，利用三角形和正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图， 由题意可知，，， ∴， ∴， 则中间小正方形的面积为， 小正方形的外阴影部分的， ∴阴影部分的面积为， ∴针尖落在阴影区域的概率为． 故选：D． 9．明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率 B．掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率 C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率 D．从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率 【答案】C 【分析】本题考查频率与概率的关系，概率的计算方法，掌握相关知识是解决问题的关键．在大量重复试验中，试验的频率逐步稳定在理论概率附近，先计算每个选项的概率，再结合统计图中频率稳定在左右的特征，匹配对应的试验． 【详解】解：由题意知，试验的频率约为， A：掷均匀骰子，总共有 6 个等可能结果，出现 1 点的结果有 1 种，概率 ，与不符； B：掷均匀硬币，总共有 2 个等可能结果，反面朝上的结果有 1 种，概率，与不符； C：从标有 1、2、3 的纸条中抽取，总共有 3 个等可能结果，偶数只有  1 种，概率，与统计图中频率的稳定值一致； D：单项选择题有 4 个选项，且只有 1 个正确答案，总共有 4 个等可能结果，选对正确答案的结果有 1 种，概率 ，与不符． 故选：C． 10．A，B，C，D，E五位同学依次围成一个圆圈做益智游戏，规则是：每个人心里先想好一个实数，并把这个数悄悄地告诉相邻的两个人，然后每个人把与自己相邻的两个人告诉自己的数的平均数报出来．若A，B，C，D，E五位同学报出来的数恰好分别是1，2，3，4，5，则D同学心里想的那个数是（  ） A．-3 B．4 C．5 D．9 【答案】D 【分析】设报2的人心里想的数是x，因为报2与报4的两个人报的平均数是3，则报4的人心里想的数应是6- x，以此类推，最后建立方程，解方程即可． 【详解】如图所示 设报2的人心里想的数是x，因为报2与报4的两个人报的平均数是3，则报4的人心里想的数应是6- x，以此类推： 于是报1的人心里想的数是10-(6- x)=4 +x， 报3的人心里想的数是4-(4+x)=-x, 报5的人心里想的数是8-(-x)=8+x 报4的人心里想的数是2-(8+x)=-6- x， 于是得-6-x=x 解得：x=-3 所以D同学报4的人心里想的数应是: 6-x=6-(-3)= 9， 答:D同学心里想的数应是9． 故选：D 【点睛】本题考查的知识点有平均数的相关计算及方程思想的运用．这道题题意理解起来比较容易，但从哪下手却不容易想到，一般地，当数字比较多时，方程是首选的方法，而且多设几个未数，把题中的等量关系全部展示出来，再结合题意进行整合，问题即可解决． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求频率，用字母e的个数除以字母的总个数即可得到答案． 【详解】解：“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是， 故答案为：． 12．某高铁站出站后有出租车、地铁、汽车、公交等出行方式，高铁站为调查各个出行方式的人流，先对1000人展开调查，结果如图所示，那么某日高铁站出站客流约为24000人，其中有约 人选择出租车． 【答案】2400 【分析】根据扇形统计图求出样本中乘坐出租车离开的人数所占的比例，再用总人数乘以这个比例，进行计算即可． 本题考查了扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：根据题意，出租车占比为：， 故客流约为24000人，其中有约（人）选择出租车， 故答案为：2400． 13．某超市对员工进行三项测试：电脑操作，销售术语，商品知识，并将三项测试按的比例计算测试总分，若某员工三项测试得分分别是，，，则他的总分为 ． 【答案】 【分析】本题考查了加权平均数的计算，运用加权平均数的计算公式求解，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键． 【详解】解：他的总分为：， 故答案为：． 14．一组数据的平均数为5，方差为16，n是正整数，则另一组数据的标准差是 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了求平均数、标准差、方差的方法，理解并掌握平均数、标准差和方差的定义是解题关键．方差和标准差的关系．标准差是方差的平方根． 分别列出二组数据的平均数和方差的数学式子，进行对比容易得出方差，即可求出结果． 【详解】解：根据题意，数据的平均数为5，方差为16， 即， ， 则的平均数 ， 另一组数据的方差 ， ∴标准差． 故答案为：12． 15．五种不发生反应的化合物Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、V在一个密封的容器中，经过物质检验，得到如下两张图．如果条形图中每个横线刻度间的距离相等，那么化合物Ⅱ的质量是 ． 【答案】72 【分析】本题考查了统计图．熟练掌握条形统计图和扇形统计图的互补性质，是解题的关键．根据化合物Ⅲ、Ⅴ的质量相差，与化合物Ⅲ、Ⅴ所占总质量的百分比，求出总质量，再求出化合物Ⅰ、Ⅱ的质量和，设化合物Ⅱ的质量为,列方程解答即可． 【详解】解：五种化合物的总质量， 化合物Ⅴ的质量， 化合物Ⅲ的质量， 化合物Ⅰ、Ⅱ的总质量， 设化合物Ⅱ的质量为， ∵条形图中每个横线刻度间的距离相等， ∴， 解得． 故答案为：72． 16．五个互不相等的正偶数，，，，的平均数和中位数都是，且六个数，，，，，的众数是6，平均数还是，则这五个互不相等的正偶数，，，，的方差为 . 【答案】8 【分析】本题考查数据的数字特征及应用，熟练掌握平均数与方差的计算方法是解题的关键，根据题意得到，再根据，，，，是五个互不相等的正偶数，且，，，，，的众数是6，可得到，进而推算出，，，，对应的五个互不相等的正偶数所对应的数，利用方差的计算公式即可得到答案． 【详解】解：∵，，，，的平均数是， ∴, ∵，，，，，的平均数还是， ∴, ∴, ∵，，，，是五个互不相等的正偶数，且，，，，，的众数是6， ∴, ∴，，，，对应的五个互不相等的正偶数分别是：2、4、6、8、10， ∴，，，，的方差为：． 故答案为：8． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．其中17-21题每题8分，22题、23题每题10分，24题12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．某校生物兴趣小组的同学们想探究、、、型四种血型的人在人群中占的比例，于是他们就在中心医院采血室门前调查了从上午到这一个小时内参加献血的人员． (1)本问题中的总体、样本分别是什么？他们的抽样是简单的随机抽样吗？ (2)你还能想出其他调查方案吗？请写出来． 【答案】(1)总体是人的四种血型，样本是一小时内参加献血人员的血型，他们的抽样不是简单的随机抽样 (2)在大街上随机询问经过此地的人员的血型（答案不唯一） 【分析】本题考查了总体、样本的概念以及简单随机抽样的判断和抽样调查方案的设计，解题的关键是理解相关概念，并能根据实际情况判断抽样方式和设计合理方案． （1）根据总体和样本的定义，确定本题中的总体与样本，再依据简单随机抽样的特征判断该抽样方式是否属于简单随机抽样． （2）根据抽样调查的原则，设计出能更广泛涵盖不同人群的方案，从而使调查结果更接近真实比例． 【详解】（1）解：总体是人的四种血型，样本是一小时内参加献血人员的血型，简单随机抽样要求总体中的每个个体被抽取的机会均等，而在中心医院采血室门前调查的只是愿意献血的人群，这部分人群不能代表整个社会人群（比如存在害怕献血等原因而不会出现在该样本中的人群），即总体中的个体被抽取的机会不均等，所以他们的抽样不是简单的随机抽样． 故答案为：总体是人的四种血型，样本是一小时内参加献血人员的血型，他们的抽样不是简单的随机抽样； （2）解：我还能想出其他调查方案：在大街上随机询问经过此地的人员的血型（答案不唯一）． 18．为了迎接铜仁市2026年中考体育测试，“教联体”根据实际情况，决定主要开设：排球；：跑步；：立定跳远；：跳绳这四种运动项目．为了解学生喜欢哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下的条形统计图和扇形统计图，请你结合图中解答下列问题： (1)样本中喜欢项目的人数所在扇形统计图中的圆心角的度数是_______； (2)把条形统计图补充完整； (3)已知该校有2000人，根据样本估计全校喜欢跳绳的人数是多少？ 【答案】(1) (2)见详解 (3)560人 【分析】本题主要考查条形统计图，用样本估计总体， （1）利用乘以B所占的百分比，即可求出答案； （2）根据A的人数和所占的百分比求出总人数，即可求出喜欢跑步的人数，从而补全统计图； （3）用该校的总人数乘以喜欢跳绳的人数所占的百分比，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 即样本中喜欢项目的人数所在扇形统计图中的圆心角的度数是． 故答案为：； （2）根据题意，参与调查的学生总人数为（人）， 则喜欢项目的人数为（人）， 故可补全条形统计图，如下图所示： （3）人， ∴全校喜欢跳绳的人数是560人． 19．某校学生会向全校800名学生发起了“爱心捐助”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额．利用得到的数据绘制了如图所示的统计图： 请根据相关信息，解答下列问题： (1)本次接受随机调查的学生人数为______人； (2)本次调查获取的样本数据的众数和中位数分别为______元，_______元； (3)根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数． 【答案】(1)50； (2)10，15； (3)学生人数为256人． 【分析】（1）根据捐5元的人数与所占百分比求出本次接受随机调查的学生人数 （2）根据条形统计图中的数据可以确定本次调查获取的样本数据的众数和中位数； （3）根据全校人数乘以捐10元的所占比例求出该校本次活动捐款金额为10元的学生人数． 【详解】（1）解：∵捐5元的有4人，占， ∴本次接受随机调查的学生人数为（人）， 故答案为：50； （2）∵本次调查中10的人数最多， ∴本次调查获取的样本数据的众数为10元， ∵本次接受随机调查的学生人数为50人， ∴本次调查获取的样本数据的中位数为第25，26位， ∵捐5元的和捐10元的共（人），捐15元的有12人， ∴第25，26位都在15元处， ∴本次调查获取的样本数据的中位数为15元， 故答案为：10，15； （3）∵全校800名学生， ∴估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数为（人）． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，求中位数，求众数，由样本所占百分比估计总体的数量等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 20．为了提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，记分员记录了他们在近六场比赛中关于得分、篮板的情况． 信息1：甲的得分情况：20，14，28，30，32，32； 乙的得分情况：24，28，24，28，28，27． 信息2： 信息3：技术统计表 队员 平均得分 得分众数 得分中位数 平均每场篮板 篮板方差 甲 26 32 m 9 乙      n      8 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的_____，_____，_____（填“＞”“=”或“＜”）； (2)本次队员综合得分按平均得分的，平均每场篮板的计算，综合得分越高表现越好，则甲、乙哪名队员的表现更好？ (3)选择一个方面进行分析，甲、乙两名队员谁表现的更好？ 【答案】(1)29，28， (2)甲队员表现更好 (3)乙在篮板方面表现的更好 【分析】本题考查了方差，统计表，中位数，加权平均数等知识． （1）根据众数、中位数、方差的定义求解即可； （2）分别求出甲、乙的综合得分，然后判断即可； （3）合理即可． 【详解】（1）解：甲的得分从小到大排列：14，20，28，30，32，32， ∴中位数； 乙的得分情况：24，28，24，28，28，27， ∴； 篮板箱线图（即箱线图）中，箱体的长度越大，通常表示数据的方差越大， 可知， 故答案为：29，28，； （2）解：甲：， 乙：， ∵， ∴甲队员表现更好． （3）解：根据篮板的方差，甲的方差大于乙，说明乙在篮板方面表现的更好． （①根据得分或篮板的最大值，甲的最大值均高于乙，所以甲更有爆发力；②根据得分中位数，甲得分的中位数高于乙，说明甲在排除最低分的影响后，甲在大多数比赛中的得分比乙更高；③根据篮板的中位数，乙高于甲，说明乙在大部分场次的篮板表现更好等．分析合理即可．） 21．数学学科周开展“讲数学家故事”的活动．主持人准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面印有四位中国数学家纪念邮票的图案（分别记作A，B，C，D），卡片背面保持完全相同．将四张卡片背面朝上，洗匀，同学们从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． (1)从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是______； (2)甲同学从这四张卡片中随机抽取一张卡片，记下卡片内容后，放回，背面朝上，洗匀，然后乙同学随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求他们抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法、概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片上是数学家刘徽邮票图案的结果有1种，结合概率公式可得答案； （2）列表可得出所有等可能的结果以及抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的结果，再利用概率公式可得答案． 【详解】（1）解：有A，B，C，D四张卡片， 卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率为； （2）解：列表如下： A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 共有16种等可能的结果，其中他们抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的结果共有7种， 抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率为． 22．某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被分成面积相等的小扇形），如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 0.296 (1)填空：________________，__________________； (2)当转动转盘的次数n很大时，估计转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率；（结果精确到0.1）； (3)若顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为比较与的大小． 【答案】(1)0.305，148 (2)当转动转盘的次数n很大时，估计转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率为0.3； (3) 【分析】本题考查了利用频率估计概率及概率公式的应用． （1）根据频率的计算公式即可得出结果； （2）由大量重复试验中频率稳定值估计概率，根据前面统计的数据可知，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近0.3，即转动一次转到“谢谢参与”的概率约是0.3； （3）根据概率公式分别计算和然后进行大小比较即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：0.305，148． （2）解：当转动转盘的次数n很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近0.3，转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率为0.3． （3）解：观察转盘可知转盘被分成10等份，其中奖品“盲盒”有2份，奖品“贴纸”有5份， ∴，， ∴． 23．在大力推进生态文明建设的当下，垃圾分类乃是城市绿色发展的关键之举．按照相关标准，“厨余垃圾正确投放率”不低于即为达标．为深入了解某地区垃圾分类的落实情况，相关部门在该地区开展专项调查，从150个小区中随机抽取10个小区调查“厨余垃圾正确投放率”，数据如下（单位：％）：82，75，90，68，85，78，92，8，87，73．根据以上信息，回答下列问题： (1)这组数据的中位数是__________％； (2)估计该地区150个小区中时“厨余垃圾正确投放率”达标的小区数量； (3)将抽取的10个小区作为试点，其中未达标的小区立即整改（已达标的小区无需整改），整改后全部达标，并且“厨余垃圾正确投放率”的中位数提升至，那么试点中整改小区的“厨余垃圾正确投放率”提升总和至少是__________． 【答案】(1)81； (2)90； (3)36 【分析】（1）将数据按从小到大排序，再求出中位数； （2）先求出根据达标标准求出达标比例，再乘以总小区个数即可； （3）根据整改后数据的中位数是第5和第6个数据的平均值，为了使中位数达到85%，第5和第6个数据必须满足：(第5个数据 + 第6个数据) 求解． 【详解】（1）解：将给定的10个数据按从小到大排序：68， 73， 75， 78， 80， 82， 85， 87， 90， 92 中位数是第5和第6个数据的平均值； 故答案为：81； （2）∵达标标准是“厨余垃圾正确投放率” ≥ 80%， ∴在排序后的数据中，达标的数据有：80，82，85，87，90，92共5个小区达标， ∴样本中达标比例为 ， ∴估计总体达标数量 ； （3）∵根据（2）部分，达标小区有6个，未达标小区有4个， ∴将所有未达标数据提升到80： 68提升到80，； 73提升到80，； 75提升到80，； 78提升到80，； 提长的总和：， 此时数据排序为：80， 80， 80， 80， 80， 82， 85， 87， 90， 92， 中位数：，不满足85， 进一步调整： 将第3个数据（80）提升到85，； 将第4个数据（80）提升到85，， 总和增加：， 总提升：， 数据排序：，，，，，，，，，， 中位数：，满足条件． 【点睛】本题考查了中位数的计算、求一组数据的平均数、样本估计总体以及调查收集数据的过程与方法，解题的关键是掌握中位数的计算方法、理解样本与总体的关系，以及灵活运用数据调整策略． 24．计数问题是我们经常遇到的一类问题，学会解决计数问题的方法，可以使我们方便快捷，准确无误的得到所要求的结果，下面让我们借助两个问题，了解计数问题中的两个基本原理---加法原理、乘法原理. 问题1.从青岛到大连可以乘坐飞机、火车、汽车、轮船直接到达.如果某一天中从青岛直接到达大连的飞机有3班，火车有4班，汽车有8班，轮船有5班，那么这一天中乘坐某种交通工具从青岛直接到达大连共有 种不同的走法： 问题2.从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有4条路，那么从甲地经过乙地到丙地，共有 种不同的走法： 方法探究 加法原理：一般的，完成一件事有两类不同的方案,在第一类方案中有m种不同的方法,在第二类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法,这是分类加法计数原理;完成一件事需要两个步骤,做第一步有m种不同的方法,做第二步有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法,这就是分步乘法计数原理. 实践应用1 问题3.如图1，图中线段代表横向、纵向的街道，小明爸爸打算从A点出发开车到B点办事(规定必须向北走,或向东走，不走回头路)，问他共有多少种不同的走法？其中从A点出发到某些交叉点的走法数已在图2填出. (1)根据以上原理和图2的提示，算出从A出发到达其余交叉点的走法数，如果将走法数填入图2的空圆中，便可以借助所填数字回答：从A点出发到B点的走法共有 种： (2)根据上面的原理和图3的提示，请算出从A点出发到达B点，并禁止通过交叉点C的走法有 种. (3)现由于交叉点C道路施工,禁止通行．小明爸爸如果任选一种走法,从A点出发能顺利开车到达B点(无返回)概率是 实践应用2 问题4.小明打算用 5种颜色给如下图的5个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色，问共有 种不同的染色方法. 【答案】问题1：20；问题2：12；问题3：（1）35；（2）17；（3）；问题4：240种. 【分析】问题1. 根据一天中乘飞机有3种走法，乘火车有4种走法，乘汽车有8种走法，轮船有5种走法，再由加法原理求解即可， 问题2. 根据乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，再由乘法原理求解即可， 问题3. （1）根据完成一件事有两类不同的方案，在第一类方案中有m种不同的方法，在第二类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法，则到达A点以外的任意交叉点的走法数只能是与其相邻的南边交叉点和西边交叉点的数字之和．从而计算出从A点到达其余各交叉点的走法数； （2）此题有两种计算方法：方法一是先求从A点到B点，并经过交叉点C的走法数，再用从A点到B点总走法数减去它；方法二是删除与C点紧相连的线段，运用分类加法计数原理，算出从A点到B点并禁止通过交叉点C的走法； （3）结合（1）和（2）的结论，即可求得概率． 问题4. 因为A与其它4个区域都相邻，所以先填A区域，有5种选择；那么B区域，有4种选择；由于C区域与A和B都相邻，所以有3种选择；同理，E区域与A、B、C都相邻，所以有2种选择；而D区域只与A、C、E相邻，不与B相邻，因此可以和B区域同色，所以D区域有2种选择；根据乘法原理可得共有：5×4×3×2×2=240（种）染色方法． 【详解】问题1. 一天中乘飞机有3种走法，乘火车有4种走法，乘汽车有8种走法，轮船有5种走法，每一种走法都可以从青岛直接到达大连，按加法原理，所以共有3+4+8+5=20种不同的走法． 问题2. 因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，按乘法原理，共有 3×2=6种不同的走法． 问题3. （1）∵完成从A点到B点必须向北走，或向东走， ∴到达A点以外的任意交叉点的走法数只能是与其相邻的南边交叉点和西边交叉点的数字之和，故使用分类加法计数原理，由此算出从A点到达其余各交叉点的走法数，填表如图1． 答：从A点到B点的走法共有35种． （2）方法一：可先求从A点到B点，并经过交叉点C的走法数，再用从A点到B点总走法数减去它，即得从A点到B点，但不经过交叉点C的走法数． 完成从A点出发经C点到B点这件事可分两步，先从A点到C点，再从C点到B点， 使用分类加法计数原理，算出从A点到C点的走法是3种，见图2；算出从C点到B点的走法为6种，见图3，再运用分步乘法计数原理，得到从A点经C点到B点的走法有3×6=18种． ∴从A点到B点但不经过C点的走法数为35-18=17种． 方法二：由于交叉点C道路施工，禁止通行，故视为相邻道路不通，可删除与C点紧相连的线段，运用分类加法计数原理，算出从A点到B点并禁止通过交叉点C的走法有17种．从A点到各交叉点的走法数见图4， ∴从A点到B点并禁止经过C点的走法数为35-18=17种． （3）P（顺利开车到达B点）=． 答：任选一种走法，顺利开车到达B点的概率是． 问题4. 解：乘法原理可得： 5×4×3×2×2=240（种）． 答：共有240种染色方法． 【点睛】此题考查了加法原理与乘法原理．此题难度较大，理解题意，能利用题意中的方法进行计算是解此题的关键，注意利用画图的方法求解比较简单． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段检测验收卷 第九章 概率与统计 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列事件中，为不可能事件的是（  ） A．守株待兔 B．旭日东升 C．当为某一实数时可使 D．明天要下雨 2．我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示，下列统计图中，能反映样本或总体中各组的分布情况的是（   ） A．条形图 B．扇形图 C．折线图 D．频数分布直方图 3．为了调查国庆期间游客在龙门石窟、云台山、少林寺和老君山这四个风景区旅游的满意度，在以下四个方案中，最合理的方案是（    ） A．在多家旅游公司调查100名导游 B．在龙门石窟景区调查100名游客 C．在少林寺调查100名游客 D．在四个景区各调查100名游客 4．某市 2024 年秋一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，31，34，30，32，31，这组数据的中位数、众数分别是（    ） A．34， 31 B．31，32 C．31，31 D．32，35 5．若样本，，…，的平均数为10，方差为6，则对于样本，，…，，下列结论正确的是（   ） A．平均数为10，方差为6 B．平均数为12，方差为6 C．平均数为12，方差为8 D．平均数为13，方差为9 6．在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年主题活动中，某班级准备举办一场故事分享会，筹备组制作了张不透明的故事卡片，其中张的故事内容是关于“著名战役”，另外张的故事内容是关于“英雄人物”（卡片除故事内容外其余都相同）．活动环节，将这张卡片背面朝上洗匀，主持人从中随机抽取张，不放回，再从剩余的张中随机抽取张，抽到的卡片恰好张是“著名战役”、张是“英雄人物”的概率是（    ） A． B． C． D． 7．一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数．若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要设（   ） A．五位 B．四位 C．三位 D．二位 8．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现 分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分）．若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为（　　） A． B． C． D． 9．明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率 B．掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率 C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率 D．从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率 10．A，B，C，D，E五位同学依次围成一个圆圈做益智游戏，规则是：每个人心里先想好一个实数，并把这个数悄悄地告诉相邻的两个人，然后每个人把与自己相邻的两个人告诉自己的数的平均数报出来．若A，B，C，D，E五位同学报出来的数恰好分别是1，2，3，4，5，则D同学心里想的那个数是（  ） A．-3 B．4 C．5 D．9 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．“深度求索”的英语单词“”中，字母“e”出现的频率是 ． 12．某高铁站出站后有出租车、地铁、汽车、公交等出行方式，高铁站为调查各个出行方式的人流，先对1000人展开调查，结果如图所示，那么某日高铁站出站客流约为24000人，其中有约 人选择出租车． 13．某超市对员工进行三项测试：电脑操作，销售术语，商品知识，并将三项测试按的比例计算测试总分，若某员工三项测试得分分别是，，，则他的总分为 ． 14．一组数据的平均数为5，方差为16，n是正整数，则另一组数据的标准差是 ． 15．五种不发生反应的化合物Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、V在一个密封的容器中，经过物质检验，得到如下两张图．如果条形图中每个横线刻度间的距离相等，那么化合物Ⅱ的质量是 ． 16．五个互不相等的正偶数，，，，的平均数和中位数都是，且六个数，，，，，的众数是6，平均数还是，则这五个互不相等的正偶数，，，，的方差为 . 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．其中17-21题每题8分，22题、23题每题10分，24题12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．某校生物兴趣小组的同学们想探究、、、型四种血型的人在人群中占的比例，于是他们就在中心医院采血室门前调查了从上午到这一个小时内参加献血的人员． (1)本问题中的总体、样本分别是什么？他们的抽样是简单的随机抽样吗？ (2)你还能想出其他调查方案吗？请写出来． 18．为了迎接铜仁市2026年中考体育测试，“教联体”根据实际情况，决定主要开设：排球；：跑步；：立定跳远；：跳绳这四种运动项目．为了解学生喜欢哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下的条形统计图和扇形统计图，请你结合图中解答下列问题： (1)样本中喜欢项目的人数所在扇形统计图中的圆心角的度数是_______； (2)把条形统计图补充完整； (3)已知该校有2000人，根据样本估计全校喜欢跳绳的人数是多少？ 19．某校学生会向全校800名学生发起了“爱心捐助”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额．利用得到的数据绘制了如图所示的统计图： 请根据相关信息，解答下列问题： (1)本次接受随机调查的学生人数为______人； (2)本次调查获取的样本数据的众数和中位数分别为______元，_______元； (3)根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数． 20．为了提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，记分员记录了他们在近六场比赛中关于得分、篮板的情况． 信息1：甲的得分情况：20，14，28，30，32，32； 乙的得分情况：24，28，24，28，28，27． 信息2： 信息3：技术统计表 队员 平均得分 得分众数 得分中位数 平均每场篮板 篮板方差 甲 26 32 m 9 乙      n      8 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的_____，_____，_____（填“＞”“=”或“＜”）； (2)本次队员综合得分按平均得分的，平均每场篮板的计算，综合得分越高表现越好，则甲、乙哪名队员的表现更好？ (3)选择一个方面进行分析，甲、乙两名队员谁表现的更好？ 21．数学学科周开展“讲数学家故事”的活动．主持人准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面印有四位中国数学家纪念邮票的图案（分别记作A，B，C，D），卡片背面保持完全相同．将四张卡片背面朝上，洗匀，同学们从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． (1)从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是______； (2)甲同学从这四张卡片中随机抽取一张卡片，记下卡片内容后，放回，背面朝上，洗匀，然后乙同学随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求他们抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率． 22．某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被分成面积相等的小扇形），如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 0.296 (1)填空：________________，__________________； (2)当转动转盘的次数n很大时，估计转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率；（结果精确到0.1）； (3)若顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为比较与的大小． 23．在大力推进生态文明建设的当下，垃圾分类乃是城市绿色发展的关键之举．按照相关标准，“厨余垃圾正确投放率”不低于即为达标．为深入了解某地区垃圾分类的落实情况，相关部门在该地区开展专项调查，从150个小区中随机抽取10个小区调查“厨余垃圾正确投放率”，数据如下（单位：％）：82，75，90，68，85，78，92，8，87，73．根据以上信息，回答下列问题： (1)这组数据的中位数是__________％； (2)估计该地区150个小区中时“厨余垃圾正确投放率”达标的小区数量； (3)将抽取的10个小区作为试点，其中未达标的小区立即整改（已达标的小区无需整改），整改后全部达标，并且“厨余垃圾正确投放率”的中位数提升至，那么试点中整改小区的“厨余垃圾正确投放率”提升总和至少是__________． 24．计数问题是我们经常遇到的一类问题，学会解决计数问题的方法，可以使我们方便快捷，准确无误的得到所要求的结果，下面让我们借助两个问题，了解计数问题中的两个基本原理---加法原理、乘法原理. 问题1.从青岛到大连可以乘坐飞机、火车、汽车、轮船直接到达.如果某一天中从青岛直接到达大连的飞机有3班，火车有4班，汽车有8班，轮船有5班，那么这一天中乘坐某种交通工具从青岛直接到达大连共有 种不同的走法： 问题2.从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有4条路，那么从甲地经过乙地到丙地，共有 种不同的走法： 方法探究 加法原理：一般的，完成一件事有两类不同的方案,在第一类方案中有m种不同的方法,在第二类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法,这是分类加法计数原理;完成一件事需要两个步骤,做第一步有m种不同的方法,做第二步有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法,这就是分步乘法计数原理. 实践应用1 问题3.如图1，图中线段代表横向、纵向的街道，小明爸爸打算从A点出发开车到B点办事(规定必须向北走,或向东走，不走回头路)，问他共有多少种不同的走法？其中从A点出发到某些交叉点的走法数已在图2填出. (1)根据以上原理和图2的提示，算出从A出发到达其余交叉点的走法数，如果将走法数填入图2的空圆中，便可以借助所填数字回答：从A点出发到B点的走法共有 种： (2)根据上面的原理和图3的提示，请算出从A点出发到达B点，并禁止通过交叉点C的走法有 种. (3)现由于交叉点C道路施工,禁止通行．小明爸爸如果任选一种走法,从A点出发能顺利开车到达B点(无返回)概率是 实践应用2 问题4.小明打算用 5种颜色给如下图的5个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色，问共有 种不同的染色方法. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $