阶段检测验收卷07圆（综合训练）（浙江专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

阶段检测验收卷 第七章 圆 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列说法正确的是（　　） A．直径是弦，弦是直径 B．过圆心的线段是直径 C．圆中最长的弦是直径 D．圆是轴对称图形，但不是中心对称图形 2．如图，是的弦，于H，连接、，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，顶点A、B、C均在上，，则为（   ） A． B． C． D． 4．如图，四边形为的内接四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，以点C为圆心，以为半径作圆，则与边的公共点个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 6．如图所示，与的边相切，切点为B．将绕点B按顺时针方向旋转得到，使点落在上，边交线段于点C．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，半径为的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线，然后把半圆沿直线进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线重合为止，则圆心运动路径的长度等于（       ） A． B． C． D． 8．如图，边长为1的正六边形可绕原点旋转，若反比例函数与这个正六边形有交点，则的最大值为（   ） A． B． C． D．2 9．某校九年级学生参加社会实践活动，学习编织圆锥形工艺品．如图，扇形是圆锥的侧面展开图，点，，均在格点上．若每个小正方形的边长为1，则这个圆锥的底面直径是（   ） A． B． C．3 D． 10．如图，等腰内接于，直径，D是圆上一动点，连接，且交于点G．下列结论：①平分；②；③当时，四边形的周长最大；④当，四边形的面积为．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．如图，是直径，，，的度数是 ． 12．如图，为的直径，点C，D在上．若，则的度数为 °． 13．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于 度时，AC才能成为⊙O的切线． 14．任意一个五边形，以每个顶点为圆心作半径为R的等圆，如图所示，则阴影部分面积为 ． 15．如图，圆锥的底面半径，高．现在有一只蚂蚁从底边上一点出发，在侧面上爬行一周又回到点，则蚂蚁爬行的最短距离为 ． 16．已知：如图，三个半圆彼此相外切，它们的圆心都在x轴的正半轴上并与直线相切，设半圆、半圆、半圆的半径分别是、、，则当时，则 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．其中17-21题每题8分，22题、23题每题10分，24题12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．如图，在等腰中，，以为直径的与相交于点，过点作交的延长线于点，垂足为点． (1)求证：与相切； (2)若，求的长． 18．已知一根排水管的截面圆直径为． (1)如图1所示，当水面宽时，求水面的最大深度； (2)在图1的情况下，如果排水量增大，当水面上升到宽度时，求水面上升了多少厘米？ 19．如图1所示，有一种单层绒布料子的台灯灯罩，灯罩的上下都是空的把这个灯罩抽象成一个几何体时，我们称之为圆台，它可以理解为把大的圆锥沿着平行于底面的圆面裁切掉上面的小圆锥得到的，如图2所示现在要制作这种灯罩，若已知的直径，的直径，点O、、共线，与AB、CD都垂直，，请问制作一个这样的台灯的灯罩需要多少平方厘米的绒布？（接缝处的布料忽略不计，，结果保留整数）         20．如图，是圆的内接三角形，点在弦上，且点为的内心． (1)求证：； (2)若为直径，且，求的长． 21．如图，已知是与的公共弦，与交于点C，的延长线与交于点P，连接并延长，交于点D． (1)连接如果．求证： ； (2)如果，求证：． 22．如图，内接于，为的直径，．连接，，交延长线于点． (1)证明：平分； (2)若平分， ①当时，求的长； ②设，直接写出与的函数关系式． 23．在直角坐标系xOy中，已知点P是反比例函数y＝(x＞0)图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A． (1)如图1，当⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由； (2)如图2，当⊙P运动到与x轴相交，设交点为点B、C．当四边形ABCP是菱形时，求出点A、B、C的坐标； (3)在(2)的条件下，求出经过A、B、C三点的抛物线的解析式． 24．【概念理解】 定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．例如，如图①，与相切于点C，是的弦，则和都是的弦切角． 【性质探究】 （1）性质：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 已知：如图②，与相切于点C，是的外接圆． 求证：． 【性质应用】 （2）如图③，与相切于点C，是的弦，E是上的动点．若是等腰三角形，，则的度数为 ______． （3）如图④，是的弦，C是上的动点，的半径为10，．若四边形有一条边所在的直线与相切，且有一条对角线平分一组对角，直接写出的长= ______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段检测验收卷 第七章 圆 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列说法正确的是（　　） A．直径是弦，弦是直径 B．过圆心的线段是直径 C．圆中最长的弦是直径 D．圆是轴对称图形，但不是中心对称图形 【答案】C 【分析】本题考查圆的基本性质，包括弦、直径的定义以及圆的对称性，掌握相关知识是解决问题的关键． 直径是经过圆心的弦，且是圆中最长的弦；圆既是轴对称图形也是中心对称图形． 【详解】解：A：直径是弦，但弦不一定是直径（如非直径的弦），故A错误； B：过圆心的线段必须连接圆上两点才是直径，否则不是，故B错误； C： 直径是经过圆心的弦，且是圆中最长的弦，故C正确； D：圆有无数条对称轴（任何直径所在直线），且以圆心为中心对称点，故是中心对称图形，故D错误． 故选：C． 2．如图，是的弦，于H，连接、，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据垂径定理及等腰三角形三线合一逐项判断即可． 【详解】解：A：，， ∴，正确，故该选项不合题意； B：根据题目条件无法推出，错误，故该选项符合题意； C：由及可知，垂直平分， ∴， D：，， ∴平分， ∴，正确，故该选项不合题意． 故选：B ． 3．如图，顶点A、B、C均在上，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理及等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．先利用圆周角定理可得：，再结合已知可得，然后再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理，进行计算即可解答． 【详解】解：由圆周角定理可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 4．如图，四边形为的内接四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 根据圆内接四边形的对角互补即可求解． 【详解】解：四边形为的内接四边形， ， ， ， 故选：D． 5．如图，在中，，，以点C为圆心，以为半径作圆，则与边的公共点个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系．熟练掌握点、直线和圆的位置关系，勾股定理，面积法求三角形的高，是解本题的关键． 过点C作于点D，设的半径为r，求出，，比较， ， ，即得答案． 【详解】解：过点C作于点D，设的半径为r， ∵在中，，， ∴， 由三角形面积公式得：， 解得：， ∵， ∴， ∴点D在内， ∵， ∴点A在内， ∴与线段无交点； ∵， ∴点B在外， ∴与线段有一个交点． 综上，与边有一个交点． 故选：B． 6．如图所示，与的边相切，切点为B．将绕点B按顺时针方向旋转得到，使点落在上，边交线段于点C．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、切线的性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定和性质. 通过旋转得到对应角和边的关系，再利用圆的半径相等推出等边三角形，进而求出相关角度，最后根据三角形内角和求出． 【详解】解：∵绕点B按顺时针方向旋转得到， ∴， ∵和都是的半径， ∴， 又∵旋转后， ∴， 可得为等边三角形， ∴， ∴， ∵与的边相切于点B， ∴，即， ∴， 在中，， 在中，. 故选：D． 7．如图，半径为的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线，然后把半圆沿直线进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线重合为止，则圆心运动路径的长度等于（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轨迹、弧长公式、圆的周长公式等知识，解题的关键是搞清楚轨迹是什么图形，记住弧长公式，圆周长公式．通过观察图形可知圆心运动路径的长度等于长加上的长，其中的长为圆的周长，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图所示，圆心运动路径的长度等于． 故选：A． 8．如图，边长为1的正六边形可绕原点旋转，若反比例函数与这个正六边形有交点，则的最大值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】连接，交于点，连接，可得，故当反比例函数图象经过点时，会取得最大值，然后求出，设，由两点间距离公式得到，那么，可得，故． 【详解】解：连接，交于点，连接 由题意得点在以为圆心，为半径的圆上运动，点在以为圆心，为半径的圆上运动，点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∵正六边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴当反比例函数图象经过点时，会取得最大值， ∵正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，圆与正多边形的性质，两点之间距离公式，等边三角形的判定与性质，完全平方公式等知识点． 9．某校九年级学生参加社会实践活动，学习编织圆锥形工艺品．如图，扇形是圆锥的侧面展开图，点，，均在格点上．若每个小正方形的边长为1，则这个圆锥的底面直径是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥的计算及勾股定理，熟记弧长公式是解题的关键．根据勾股定理的逆定理得到，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，，， ，， ， ， 优弧的长为：， 则圆锥底面半径为：， 则圆锥底面直径为， 故选：． 10．如图，等腰内接于，直径，D是圆上一动点，连接，且交于点G．下列结论：①平分；②；③当时，四边形的周长最大；④当，四边形的面积为．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】证明，由圆周角定理以及三角形的外角性质即可证明①②正确；当时，四边形的周长最大，即可证明③正确；作，交延长线于M，证明，利用勾股定理以及三角形面积公式，可得四边形的面积，可得④错误，即可． 【详解】解：∵等腰内接于圆O，且为直径， ∴， ∴，即平分；故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴；故②正确； ∵为直径， ∴， ∵， ∵， ∴要使四边形的周长最大，要最大， ∴当时，四边形的周长最大， 此时，，故③正确； 作，交延长线于M， ∵， ∴， ∵A、C、B、D四点共圆， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ∵， ∴； ∵， ∴； ∵直径，，， ∴，， ∴， 四边形的面积为 ，故④错误； 综上，①②③正确； 故选：C 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质等知识点的综合运用，综合性比较强，难度偏大． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．如图，是直径，，，的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据同圆中，等弧所对的圆心角相等得到，再根据平角的定义可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，为的直径，点C，D在上．若，则的度数为 °． 【答案】30 【分析】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，先根据直径所对的圆周角是直角得到，则由三角形内角和定理可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得． 【详解】解：为直径， ， ， ， ∵， ． 故答案为：． 13．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于 度时，AC才能成为⊙O的切线． 【答案】60 【分析】由已知可求得∠OAB的度数，因为OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线，从而可求得∠CAB的度数． 【详解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°， ∴， ∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线， ∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线． 故答案为：60． 【点睛】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解答此题的关键． 14．任意一个五边形，以每个顶点为圆心作半径为R的等圆，如图所示，则阴影部分面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了五边形内角和以及扇形的面积公式，学会把图中不规则图形的面积由几何关系转化为规则图形的面积． 先求出五边形的内角和，再根据扇形的面积公式即可求出． 【详解】解：∵五边形的内角和为， ∴阴影部分面积的和为． 故答案为：． 15．如图，圆锥的底面半径，高．现在有一只蚂蚁从底边上一点出发，在侧面上爬行一周又回到点，则蚂蚁爬行的最短距离为 ． 【答案】 【分析】蚂蚁爬行的最短路径是圆锥的侧面展开图扇形中的长度．根据勾股定理求得母线长后，利用弧长等于底面周长求得扇形的圆心角度数为，再用勾股定理求解． 【详解】解：如图，设扇形的圆心角为． ， 由勾股定理可得母线， ， 解得， 即是等腰直角三角形． 由勾股定理，得， ∴蚂蚁爬行的最短距离为． 【点睛】本题考查了勾股定理、弧长公式和圆的周长公式，解题关键是找到蚂蚁爬行的最短路径． 16．已知：如图，三个半圆彼此相外切，它们的圆心都在x轴的正半轴上并与直线相切，设半圆、半圆、半圆的半径分别是、、，则当时，则 ． 【答案】 【分析】设三个半圆与直线分别相切于、、点，分别连接圆心与切点，根据切线的性质得到三个直角三角形，再由直线的方程得到直线的倾斜角为，根据角所对直角边等于斜边的一半得到，，，再由三半圆彼此外切，得到相两圆的圆心距等于两半半径相加，得出、、间的关系，由的值可得出、的值，按照此规律可归纳出的值． 【详解】解：设半圆、半圆、半圆与直线分别相切于点，，，连接，，，则，，， ， ， 又三半圆彼此相外切， ，，， ，， ，， ， ， ， 按此规律归纳得：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了两圆相切的性质，切线的性质，含直角三角形的性质以及一次函数的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．其中17-21题每题8分，22题、23题每题10分，24题12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．如图，在等腰中，，以为直径的与相交于点，过点作交的延长线于点，垂足为点． (1)求证：与相切； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理解三角形，需熟练掌握圆的相关性质，包括直径所对的圆周角为． （1）根据等边对等角可得，，由此可得，即可得平行，再由平行线的性质即可证明． （2）根据直径所对的圆周角为，可得，再设，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图， ， ． ， ， ， ． ， ， 与相切． （2）解：为的直径， ， ， 设，则， 在中，则， 又， 即， ， ． 18．已知一根排水管的截面圆直径为． (1)如图1所示，当水面宽时，求水面的最大深度； (2)在图1的情况下，如果排水量增大，当水面上升到宽度时，求水面上升了多少厘米？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）连接，过点作垂足为，交于．由垂径定理可得出的长，由即可得出结论； （2）分水面在水面平行的直径下方和水面在水面平行的直径上方，两种情况结合垂径定理和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：连接，过点作垂足为，交于． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：水面的最大深度是． （2）解：①当水面在与水面平行的直径下方． 过点作于点， 且与交于点， ∵，， ∴，， 在中，， ∴； 在中， ， 上升的距离为； ②当水面在水面平行的直径上方，过点作于点，过点作于点， 同理可得：，， ∴上升的距离为：． 答：排水管水面上升了或． 19．如图1所示，有一种单层绒布料子的台灯灯罩，灯罩的上下都是空的把这个灯罩抽象成一个几何体时，我们称之为圆台，它可以理解为把大的圆锥沿着平行于底面的圆面裁切掉上面的小圆锥得到的，如图2所示现在要制作这种灯罩，若已知的直径，的直径，点O、、共线，与AB、CD都垂直，，请问制作一个这样的台灯的灯罩需要多少平方厘米的绒布？（接缝处的布料忽略不计，，结果保留整数）         【答案】 【分析】将圆锥的侧面展开，转化出平面几何图形，用大扇形的面积减去小扇形的面积再加上的面积即为所求． 【详解】解：过点作交于点，作出圆锥的侧面展开图扇形，如图： ∵的直径，的直径，点O、、共线，与AB、CD都垂直， ∴在中， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴制作一个这样的台灯的灯罩大约需要的绒布． 故答案是： 【点睛】本题解决的关键在于将立体图形转化为平面图形，涉及到的知识点有圆的周长、面积公式，勾股定理，平行线分线段成比例定理，特殊的锐角三角函数，扇形的面积公式等知识点；解决问题时切入点不同则思路方法略有不同，不管哪种思路都要条理清晰的推理演算． 20．如图，是圆的内接三角形，点在弦上，且点为的内心． (1)求证：； (2)若为直径，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆的综合，涉及三角形内心，圆周角定理，勾股定理等知识点； （1）由内心可得，，则，即可得到，得到； （2）作交的延长线于点F，由为直径，得到，则，，在中求出，再证明，得到，则，最后根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵点为的内心， ∴，， 由题意得， ∴， ∴， ， ∴， ∴； （2）解：作交的延长线于点F， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 21．如图，已知是与的公共弦，与交于点C，的延长线与交于点P，连接并延长，交于点D． (1)连接如果．求证： ； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相交圆的性质，综合运用垂径定理、直角三角形的判定以及平行线分线段成比例是本题解题的关键． （1）连接，由直角三角形的判定可知为直角三角形，然后根据圆周角定理求出的度数即可证明； （2）过作于E，过作于F，根据垂径定理和平行线分线段成比例来证明即可． 【详解】（1）连接，如图： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ∴， 由圆周角定理可知，， ∵是与的公共弦，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴； （2）过作于E，过作于F，如图： ∴， ∴， ∴， 由垂径定理可知，， ∴， ∴． 22．如图，内接于，为的直径，．连接，，交延长线于点． (1)证明：平分； (2)若平分， ①当时，求的长； ②设，直接写出与的函数关系式． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）由圆内接四边形的性质可知，根据等弧或同弧所对圆周角相等得到，，则有，由此即可求解； （2）①如图，作，垂足为，可证，得到，再证，得到，则，根据为的直径，平分，得到，在中，由勾股定理得到，代入计算即可求解； ②根据为的直径，平分，得到，，，如图所示，过点作于点，过点作于点，则都是等腰直角三角形，根据锐角三角函数的计算得到，再证明，得到，，由，得到即可求解． 【详解】（1）证明：由圆内接四边形的性质可知， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：①如图，作，垂足为， ∵，平分（已证）， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵，即， ∴； ②∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴，， ∵， ∴， 如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴，， ∴都是等腰直角三角形， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得，． 【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质，同弧或等弧所对圆周角相等，直径或半圆所对圆周角为直径，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，锐角三角函数的计算等知识的综合运用，掌握圆与四边形，三角形的综合运用，数形结合思想是解题的关键． 23．在直角坐标系xOy中，已知点P是反比例函数y＝(x＞0)图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A． (1)如图1，当⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由； (2)如图2，当⊙P运动到与x轴相交，设交点为点B、C．当四边形ABCP是菱形时，求出点A、B、C的坐标； (3)在(2)的条件下，求出经过A、B、C三点的抛物线的解析式． 【答案】(1)四边形OKPA是正方形，理由见解析；(2)A(0，)，B(1，0)，C(3，0)；(3)y＝x2﹣x+． 【分析】（1）先证明四边形OKPA是矩形，又PA＝PK，故可得四边形OKPA是正方形； （2）证明△PBC为等边三角形；在Rt△PBG中，∠PBG＝60°，设PB＝PA＝a，BG＝，由勾股定理得：PG＝，所以P（a，），将P点坐标代入y＝，求出PG＝，PA＝BC＝2，又四边形OGPA是矩形，PA＝OG＝2，BG＝CG＝1，故OB＝OG﹣BG＝1，OC＝OG+GC＝3，即可求解； （3）设二次函数的解析式为：y＝ax2+bx+c，将（2）中三点坐标分别代入，利用待定系数法进行求解即可. 【详解】(1)四边形OKPA是正方形， 理由：∵⊙P分别与两坐标轴相切， ∴PA⊥OA，PK⊥OK， ∴∠PAO＝∠OKP＝90°， 又∵∠AOK＝90°， ∴∠PAO＝∠OKP＝∠AOK＝90°， ∴四边形OKPA是矩形， 又∵PA＝PK， ∴四边形OKPA是正方形； (2)连接PB，过点P作PG⊥BC于G， ∵四边形ABCP为菱形，∴BC＝PA＝PB＝PC， ∴△PBC为等边三角形， 在Rt△PBG中，∠PBG＝60°， 设PB＝PA＝a，BG＝， 由勾股定理得：PG＝， 所以P(a，)，将P点坐标代入y＝， 解得：a＝2或﹣2(舍去负值)， ∴PG＝，PA＝BC＝2， 又四边形OGPA是矩形，PA＝OG＝2，BG＝CG＝1， ∴OB＝OG﹣BG＝1，OC＝OG+GC＝3． ∴A(0，)，B(1，0)，C(3，0)； (3)二次函数的解析式为：y＝ax2+bx+c， 根据题意得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣x+． 【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的判定、菱形的性质、切线的性质、待定系数法求二次函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征等，综合性较强，难度较大，熟练掌握相关的性质定理以及待定系数法是解题的关键. 24．【概念理解】 定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．例如，如图①，与相切于点C，是的弦，则和都是的弦切角． 【性质探究】 （1）性质：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 已知：如图②，与相切于点C，是的外接圆． 求证：． 【性质应用】 （2）如图③，与相切于点C，是的弦，E是上的动点．若是等腰三角形，，则的度数为 ______． （3）如图④，是的弦，C是上的动点，的半径为10，．若四边形有一条边所在的直线与相切，且有一条对角线平分一组对角，直接写出的长= ______． 【答案】（1）见解析；（2）或或或；（3）的长度为或或 【分析】本题主要考查切线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的性质与判定、圆周角的性质等知识点，理解弦切角的以以及分类讨论思想是解题的关键． （1）如图：连接并延长交于点F，连接，则为的直径，由圆周角定理和切线的性质可得、，根据等角的余角相等可得，再根据圆周角定理以及等量代换即可解答； （2）分点E在优弧上且、点E在优弧上且、点E在优弧上且、点E在劣弧上且四种情况，分别根据弦切角的性质等腰三角形的性质求解即可； （3）由题意可分①当与相切，平分一组对角时；②当与相切，平分一组对角时；③当DC与相切，BD平分一组对角时；④当与相切，平分一组对角时四种情况，分别利用弦切角性质、相似三角形的判定与性质等知识点解答即可． 【详解】（1）证明：如图：连接并延长交于点F，连接，则为的直径， ∴， ∴． ∵与相切于点C， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴．         （2）解：①如图：点E在优弧上且时， ∵与相切于点C，是⊙O的弦， ∴． ∵， ∴； ②如图，点E在优弧上且时， ∵与相切于点C，是⊙O的弦， ∴． ∵， ∴． ③如图，点E在优弧上且时， ∵与相切于点C，是⊙O的弦， ∴． ∵， ∴， ∴． ④如图，点E在劣弧上且时，在优弧上任取一点F，连接， ∵与相切于点C，是⊙O的弦， ∴． ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∴． ∵， ∴． 综上，的度数为或或或．           （3）解：的长度为或或．理由如下：        ①如图，当与相切，平分一组对角时，则， ∵与相切， ∴， ∴， ∴． 如图：过点C作，连接，则， ∴经过圆心O， ∴， ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； ②当与相切，平分一组对角时，如图， 同①可证：， ∴四边形关于轴对称，，， ∴经过圆心O， 如图：连接交于点F，连接，则， 设，则， ∵， ∴，解得：． ∵与相切， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴； ③如图，当与相切，平分一组对角时， 同②可求； ④如图，当与相切，平分一组对角时，则， ∵与相切， ∴， ∴， ∴． 如图：作于点E，过点O作于点F，则，， ∴经过圆心O， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 综上，CD的长度为或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $