阶段检测验收卷04几何初步（综合训练）（浙江专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

阶段检测验收卷 第四章 几何初步 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下面几何图形中，不属于平面图形的是（    ） A．圆 B．正方形 C．圆锥 D．五角星 2．下列图形绕虚线旋转一周，能形成如图所示立体图形的是（　　） A． B． C． D． 3．下列选项中，说法正确的是（   ） A．五棱柱有7个面和10条棱 B．圆锥的侧面展开图是一个三角形 C．用一个平面去截圆柱，截面不可能是正方形 D．将一个长方形绕它的长旋转一周得到的立体图形是圆柱 4．如图所示，是线段上的点，分别是的中点，若，，则线段的长度是（　　） A． B． C． D． 5．下列命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．三角形中至少有一个钝角 C．等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 6．下图哪一个是左边正方体的展开图（   ） A． B． C． D． 7．如图，下列说法正确的是（   ） A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 8．如图，，，，则（     ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．若，则在中边上的高为（    ） A．3 B．4 C．8 D．6 10．如图，为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各个小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②与互补；③与互补；④其中正确结论的个数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．如图是底面边长均为3，侧棱长为4的直三棱柱，则该三棱柱的所有棱长之和为 ． 12．命题“若，则”的逆命题是 ． 13．如图，射线的方向为南偏西，若，则射线的方向为 ． 14．若是的补角，是的余角，且与的和是平角，则与的比值是 ． 15．如图，，，，则的度数为 时，． 16．如图，点在轴上，过点作轴的平行线与正比例函数的图像相交于点，连接，点在直线上，满足．则点坐标是 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．其中17-21题每题8分，22题、23题每题10分，24题12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．计算： (1)； (2)． 18．尺规作图：如图1、图2，已知和，求作，使．（只需作出正确图形，保留作图痕迹，不必写作法） 19．如图，平面上有六条两两不平行的直线．试证明：在所有的交角中，至少有一个角小于． 20．棱柱是一种常见的立体图形，它有两个底面，其余各面都是平行四边形，底面是几边形就称为几棱柱，棱柱的每一条边都叫做棱．观察下列棱柱，把表格补充完整，并回答问题．     名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数v 6 10 12 棱数e 9 12 面数f 5 8 （1）根据表中的规律推断，十四棱柱共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱． （2）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为 棱柱． （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有 个侧面，共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱． （4）观察表中的结果，你能发现v，e，f之间有什么关系吗？请写出关系式． 21．完成下面的推理说明： 已知： 如图，，、分别平分和． 求证： 证明：、分别平分和（已 知） ， ， （ ）． （ ）， （ ）． （ ）． （等式的性质） ． （ ）． 22．【问题背景】 同学们，我们已经学习过三角形外角的性质：“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．”那么三角形的两个外角与它们不相邻的内角之间有怎样的数量关系呢？四边形的两个外角与它们不相邻的内角之间的数量关系又如何呢？ 【问题初探】 （1）如图1，，是的两个外角． ①，与之间的数量关系是 ； ②请用无刻度的直尺和圆规作，的平分线，相交于点，试探究与之间的数量关系，并证明你的结论； 【问题再探】 （2）如图2，，是四边形的两个外角． ①，与，之间的数量关系是 ； ②如图3，，的平分线，相交于点，若，，则的度数是 °； 【迁移拓展】 （3）如图4，平分，平分，当与满足怎样的数量关系时，直线．请说明理由． 23．如图，在数轴上，点表示的数是最大的负整数，点在点的右侧，在数轴上方以点为圆心，长为半径的半圆弧与数轴相交于另一点，且． (1)填空：点表示的数为__________，点表示的数为__________； (2)点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动到点，再沿半圆弧以每秒的速度（即射线绕着点逆时针每秒旋转）运动到点后停止．点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动到点，再沿半圆弧以每秒的速度（即射线绕着点顺时针每秒旋转）运动到点后停止．点和点同时出发，设运动时间为秒． ）当点和点都在线段上时，若，求的值； ）当点在半圆弧上时，连接，，为半圆弧上一点，连接，且，射线为的角平分线．试探究：是否存在的值，使得？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 24．在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点P画直线AB的平行线的方法，折纸过程如下：． (1)通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是　　　　　；如图④，　　　　　，则与的位置关系为　　　　　 (2)张华在（1）的条件下继续探究，他在P、Q两点处安装了绚丽的小射灯，灯P射线从开始绕点P顺时针旋转至后立即回转，灯Q射线从开始绕点Q顺时针旋转至后立即回转，两灯不停旋转交叉照射，且灯P，灯Q转动的速度分别是/秒， /秒，若灯P射线转动20秒后，灯Q射线开始转动，在灯P射线第一次到达之前，当灯Q转动t秒时，灯P射线转动到如图⑤的位置． ①用含t的式子表示　　　　　； ②当时，两条射线所夹的锐角为　　　　　． (3)在（2）的条件下，在灯P射线第一次到达之前，灯Q转动　　　　　秒，两灯的光束互相平行． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段检测验收卷 第四章 几何初步 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下面几何图形中，不属于平面图形的是（    ） A．圆 B．正方形 C．圆锥 D．五角星 【答案】C 【分析】本题考查了几何图形的定义，几何图形分为立体图形和平面图形，各部分不在同一平面内的图形叫做立体图形；各部分都在同一平面内的图形叫做平面图形．点、直线、线段、射线、三角形、四边形等为平面图形；长方体、球体、圆锥等为立体图形． 根据几何图形的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．圆的各部分都在同一平面内，是平面图形； B．正方形的各部分都在同一平面内，是平面图形； C．圆锥各部分不在同一平面内，是立体图形，不是平面图形； D．五角星的各部分都在同一平面内，是平面图形； 故选：C． 2．下列图形绕虚线旋转一周，能形成如图所示立体图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查基本图形的旋转，熟练掌握旋转的定义是关键．根据基本图形旋转的性质和相关知识，结合题意解答即可． 【详解】解：A. 旋转后得到的形状为锥体，不符合题意； B. 旋转后得到的形状为球体，不符合题意； C. 旋转后得到的形状为圆台，符合题意； D. 旋转后得到的形状为圆柱，不符合题意． 故选：C． 3．下列选项中，说法正确的是（   ） A．五棱柱有7个面和10条棱 B．圆锥的侧面展开图是一个三角形 C．用一个平面去截圆柱，截面不可能是正方形 D．将一个长方形绕它的长旋转一周得到的立体图形是圆柱 【答案】D 【分析】本题考查几何图形的性质，包括棱柱的面与棱数、圆锥的侧面展开图、圆柱的截面以及旋转体的形成，需逐一验证各选项的正确性． 【详解】∵五棱柱有两个底面（五边形）和五个侧面（矩形）， ∴面数为7，但棱数应为上底面5条、下底面5条、侧棱5条，共15条，故A错误； ∵圆锥的侧面展开图是扇形，不是三角形，故 B错误； ∵当圆柱的高等于底面直径时，用垂直于底面的平面截圆柱，截面可为正方形，故C错误； ∵长方形绕其长旋转一周，长作为高，宽作为底面半径，形成圆柱，故D正确． 故选：D． 4．如图所示，是线段上的点，分别是的中点，若，，则线段的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段中点的定义，线段的和与差，由是的中点，得，然后通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是的中点， ∴， ∴， 故选：． 5．下列命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．三角形中至少有一个钝角 C．等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 【答案】D 【分析】本题考查真假命题的判断，根据绝对值的性质、三角形的定义、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质逐项分析命题是否始终成立，即可得出结果． 【详解】解：A、若，则，故原说法错误，是假命题，不符合题意； B、三角形可以有三个锐角（如等边三角形），不一定有钝角，故原说法错误，是假命题，不符合题意； C、等腰三角形只有顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，故原说法错误，是假命题，不符合题意； D、线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，故原说法正确，是真命题，符合题意； 故选：D． 6．下图哪一个是左边正方体的展开图（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方体的表面展开图及空间想象能力．根据有图案的表面之间的位置关系解答即可. 【详解】根据有图案的表面之间的位置关系，正确的展开图是D． 故选D． 7．如图，下列说法正确的是（   ） A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 【答案】D 【分析】本题考查了角的位置关系，熟悉掌握位置关系是解题的关键． 根据位置关系逐一判断即可． 【详解】解：A：与是同位角，故A错误； B：与是内错角，故B错误； C：与没有位置关系，故C错误； D：与是同旁内角，故D正确； 故选：D． 8．如图，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，作出平行线是解答本题的关键． 作，根据平行线的性质求出，再根据角的和差得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，作， ， ， ， 又， ， ， 故选B． 9．如图，在中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．若，则在中边上的高为（    ） A．3 B．4 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了作图−基本作图、角平分线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键． 由作图可知，为的平分线，过点D作于点E，结合勾股定理解题即可． 【详解】解：∵，， ∴， 过点D作于点E， 由作图可知，为的平分线， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， 解得：， ∴． 故选：B． 10．如图，为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各个小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②与互补；③与互补；④其中正确结论的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角的平分线定义，平角的定义，角的和的定义，互余，互补定义解答即可． 本题考查了角的和，角的平分线，平角的定义，互余，互补，熟练掌握平角定义，角的平分线是解题的关键． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴与互余； 故①正确； 根据题意，得， ∵平分，平分， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴与互补； 故②正确； ∵， ∴， ∴与不是互补； 故③错误； ， 故④正确； 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．如图是底面边长均为3，侧棱长为4的直三棱柱，则该三棱柱的所有棱长之和为 ． 【答案】30 【分析】本题考查棱柱的棱．根据三棱柱的侧棱长都相等，然后列式即可求解． 【详解】解：∵直三棱柱的底面边长均为3，侧棱长为4， ∴该三棱柱的所有棱长之和为： ． 故答案为：30． 12．命题“若，则”的逆命题是 ． 【答案】若，则 【分析】本题考查了写逆命题． 根据逆命题的定义，将原命题的条件和结论交换即可得到逆命题． 【详解】解：原命题的条件为“”，结论为“”， 则逆命题结论为“”，条件为“”， 即“若，则”． 故答案为：若，则． 13．如图，射线的方向为南偏西，若，则射线的方向为 ． 【答案】南偏东 【分析】本题主要考查了方位角和角的和差运算的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；根据方位角和角的和差运算的知识，进行作答，即可求解． 【详解】解：如图， 射线的方向为南偏西，， ， 射线的方向为南偏东． 故答案为：南偏东． 14．若是的补角，是的余角，且与的和是平角，则与的比值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角和补角的意义，如果两个角的和等于，那么这两个角互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角；如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角． 根据补角和余角的定义，建立关于的方程，通过求解得到和的度数，再计算比值． 【详解】解：设的度数为x度． 因为是的补角，所以． 因为是的余角，所以． 又因为与的和是平角，即，所以 ， ， ， ． 于是． 所以与的比值为． 故答案为：． 15．如图，，，，则的度数为 时，． 【答案】 【分析】设中间的一条直线为直线，当时，，首先证明，再证明，进而得到． 【详解】解：如图， 当时，. 理由如下：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：60°． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 16．如图，点在轴上，过点作轴的平行线与正比例函数的图像相交于点，连接，点在直线上，满足．则点坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式、平行线的判定，等腰三角形的性质和判定，两点间的距离等知识点，熟知相关性质进行分类讨论是正确解答此题的关键． 分两种情况：①点P在点A右侧，根据可知，设直线的解析式是，把点的坐标代入解析式求出直线的解析式，再根据直线上的点的纵坐标是求出点的横坐标．②点P在点A左侧，根据等腰三角形的性质及两点距离即可求解． 【详解】解：①点P在点A右侧，如下图所示，过点作， ， 设直线的解析式是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 当时， 可得：， 解得：， 点坐标是． ②点P在点A左侧，如图所示：交于点， ， ， 点在直线上， 设， 当时，， ，得， 解得， ， ， 设直线为， 分别代入，， 得， 解得， 直线为， 时，，， ， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．其中17-21题每题8分，22题、23题每题10分，24题12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查度分秒的换算，掌握度分秒的换算方法以及单位之间的进率是正确计算的前提． （1）按照度分的加法计算方法进行计算即可； （2）先将变形为，再按照减法的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．尺规作图：如图1、图2，已知和，求作，使．（只需作出正确图形，保留作图痕迹，不必写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图“作一个角等于已知角”．根据作一个角等于已知角的作法，在内部作，即可得到． 【详解】解：即为所求．      19．如图，平面上有六条两两不平行的直线．试证明：在所有的交角中，至少有一个角小于． 【答案】见解析 【分析】该题主要考查了平面内的相交线，反证法，解题的关键是用反证法证明． 把平面上的直线平行移动，则移动后的直线所成的角与移动前的直线所成的角是相等的，这样，我们就可将所有的直线移动，使它们相交于同一点，此时，情况就相对简单得多． 【详解】解：如图，在平面上任取一点O，过点O分别作这6条直线的平行线，则由平行线的特性，知直线之间互成的角与原来的6条直线之间互成的角相等． 现在我们考虑直线的情况，观察直线与，与与与所成的角，由图不难发现这6个角合成一个平角，即这6个角的和为． 假设这6个角没有一个小于，则这6个角都大于或等于，从而这6个角的和至少为，这是不可能的，所以这6个角中至少有一个角小于． 不妨设与所成的角小于， 则原来的直线与所成的角也必小于． 20．棱柱是一种常见的立体图形，它有两个底面，其余各面都是平行四边形，底面是几边形就称为几棱柱，棱柱的每一条边都叫做棱．观察下列棱柱，把表格补充完整，并回答问题．     名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数v 6 10 12 棱数e 9 12 面数f 5 8 （1）根据表中的规律推断，十四棱柱共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱． （2）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为 棱柱． （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有 个侧面，共有 个面，共有 个顶点，共有 条棱． （4）观察表中的结果，你能发现v，e，f之间有什么关系吗？请写出关系式． 【答案】补全表格：8；15；18；6；7；（1）16；28；42（2）二十八；（3）n；；；；（4） 【分析】本题主要考查了数字的变化，熟记常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n棱柱有个面，个顶点和条棱是解题关键． 根据图示信息填写表格即可； （1）根据表格信息找出规律即可求解； （2）根据棱、面的关系求解即可； （3）根据棱、面的关系求解即可； （4）根据棱、面的关系求解即可． 【详解】解：填表如下： 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数v 6 8 10 12 棱数e 9 12 15 18 面数f 5 6 7 8 （1）根据上表中的规律判断，十四棱柱有16个面，共有28个顶点，共有42条棱； （2）某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为二十八棱柱； （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有n个侧面，共有个面，共有个顶点，共有条棱； （4）∵在三棱柱中：，在四棱柱中：，在五棱柱中：， ∴v，e，f之间的关系：． 21．完成下面的推理说明： 已知： 如图，，、分别平分和． 求证： 证明：、分别平分和（已 知） ， ， （ ）． （ ）， （ ）． （ ）． （等式的性质） ． （ ）． 【答案】；；角平分线的定义；已知；两直线平行， 内错角相等；等量代换；内错角相等， 两直线平行 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的判定与性质，根据角平分线的定义可知，，根据两直线平行，内错角相等，可证，从而可证，再根据内错角相等，两直线平行证明结论成立． 【详解】证明：、分别平分和（已 知） ， ， （角平分线的定义）， （已知）， （两直线平行，内错角相等）． （等量代换）． （等式的性质） ． （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；；角平分线的定义；已知；两直线平行， 内错角相等；等量代换；内错角相等， 两直线平行． 22．【问题背景】 同学们，我们已经学习过三角形外角的性质：“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．”那么三角形的两个外角与它们不相邻的内角之间有怎样的数量关系呢？四边形的两个外角与它们不相邻的内角之间的数量关系又如何呢？ 【问题初探】 （1）如图1，，是的两个外角． ①，与之间的数量关系是 ； ②请用无刻度的直尺和圆规作，的平分线，相交于点，试探究与之间的数量关系，并证明你的结论； 【问题再探】 （2）如图2，，是四边形的两个外角． ①，与，之间的数量关系是 ； ②如图3，，的平分线，相交于点，若，，则的度数是 °； 【迁移拓展】 （3）如图4，平分，平分，当与满足怎样的数量关系时，直线．请说明理由． 【答案】（1）①；②，见解析；（2）①；②；（3）当时，，见解析 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，作角平分线，角平分线的定义，平行线的判定，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键； （1）①根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理可得，即可得出； ②根据题意作出，的平分线，相交于点，根据角平分线的定义得出，，结合①的结论可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解； （2）①连接，根据三角形的外角的性质可得，，进而可得 ②根据①的结论得出，，即可求解． （3）延长交于点，根据角平分线的定义得出，，根据②的结论得出，即可得出，进而根据得出，根据内错角相等，即可得证 【详解】解：（1）①解：∵，是的两个外角． ∴ ∴； 故答案为：． ②. 证明如下： ∵，分别平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴. （2）①如图，连接， ∵，是，的外角 ∴， ∴； 故答案为：． ②∵，， ∴ ∵，的平分线，相交于点， ∴ 由①可得， ∴ 故答案为：； （3）当时，.理由如下： 延长交于点， ∵，分别平分，， ∴，， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴. 23．如图，在数轴上，点表示的数是最大的负整数，点在点的右侧，在数轴上方以点为圆心，长为半径的半圆弧与数轴相交于另一点，且． (1)填空：点表示的数为__________，点表示的数为__________； (2)点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动到点，再沿半圆弧以每秒的速度（即射线绕着点逆时针每秒旋转）运动到点后停止．点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动到点，再沿半圆弧以每秒的速度（即射线绕着点顺时针每秒旋转）运动到点后停止．点和点同时出发，设运动时间为秒． ）当点和点都在线段上时，若，求的值； ）当点在半圆弧上时，连接，，为半圆弧上一点，连接，且，射线为的角平分线．试探究：是否存在的值，使得？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)（）或；（），，， 【分析】（）根据题意求出点表示的数，进而根据两点距离公式求出点表示的数； （）（）分两种情况：①当点在点左侧，点在点右侧 时；当点都在点左侧时， 根据题意列出方程解答即可；（）分四种情况：①当点在上，点在弧上，在左侧时；②当点在上，点在弧上，在右侧时；③当点在弧，点在弧上，在右侧时；④当点在弧，点在弧上，在左侧时，分别画出图形，根据题意列出方程解答即可求解； 本题考查了数轴与有理数，角平分线的定义，一元一次方程的应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点表示的数是最大的负整数， ∴点表示的数是， ∵， ∴， ∴点表示的数是， 故答案为：，； （2）解：（）①当点在点左侧，点在点右侧 时， ∵，，， ∴，， 又∵， ∴， 解得； ②当点都在点左侧时， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， 解得； 综上所述，当时，的值为或； （）由题知， ∴点从到的时间为秒，点从到的时间为秒， 点从到的时间为秒， ①当点在上，点在弧上，在左侧时，如图， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即， 解得； ②当点在上，点在弧上，在右侧时，如图， 此时， ∴， ∴， 即， 解得； ③当点在弧，点在弧上，在右侧时， 此时，， ∴， 同理可得， ∵平分， ∴， 即， 解得； ④当点在弧，点在弧上，在左侧时，如图， 此时， ∴， 同理可得， ∵平分， ∴， 即， 解得； 综上所述，的值为，，，． 24．在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点P画直线AB的平行线的方法，折纸过程如下：． (1)通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是　　　　　；如图④，　　　　　，则与的位置关系为　　　　　 (2)张华在（1）的条件下继续探究，他在P、Q两点处安装了绚丽的小射灯，灯P射线从开始绕点P顺时针旋转至后立即回转，灯Q射线从开始绕点Q顺时针旋转至后立即回转，两灯不停旋转交叉照射，且灯P，灯Q转动的速度分别是/秒， /秒，若灯P射线转动20秒后，灯Q射线开始转动，在灯P射线第一次到达之前，当灯Q转动t秒时，灯P射线转动到如图⑤的位置． ①用含t的式子表示　　　　　； ②当时，两条射线所夹的锐角为　　　　　． (3)在（2）的条件下，在灯P射线第一次到达之前，灯Q转动　　　　　秒，两灯的光束互相平行． 【答案】(1)垂直，，平行 (2)①；② (3)10或 【分析】（1）根据折叠的性质，补角特点，以及平行线的判定定理分析求解，即可解题； （2）①根据题意列出代数式即可； ②记两条射线相交于点，作，证明，分别算出，，再结合平行线性质推出，进而求出，即可解题； （3）根据题意得到灯P射线到达时，所用时间为秒，再结合灯Q射线运动状态分情况，当，且时，当，且时，当，且时，分别表示出，，最后结合平行线性质建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：结合折叠的性质，以及图③可知，， ， 图②的折痕与直线的位置关系是垂直； 由折叠的性质，同理可得， ； 内错角相等，两直线平行， 则与的位置关系为平行； 故答案为：垂直，，平行； （2）解：①由题意知，； 故答案为：． ②如图，记两条射线相交于点，作， ， ， 当，，， ， ， ， 即当时，两条射线所夹的锐角为； 故答案为：． （3）解： ，， 记灯P射线为交于点，灯Q射线， 当，且时， ，， ， ， ， ，即，解得； 当，且时， ，， ， ， ， ，即，解得； 当，且时， ，， ， ， ， ，即，解得(不合题意，舍去)； 综上所述，在灯P射线第一次到达之前，Q灯转动10秒或秒，两灯的光束互相平行． 故答案为：10或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，补角特点，平行线性质和判定，列代数式，一元一次方程的实际应用，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $