阶段检测验收卷03函数（综合训练）（浙江专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

阶段检测验收卷 第三章 函数 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若函数有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．、两地相距千米，慢车从地到地，快车从地到地，慢车的速度为千米/小时，快车的速度为千米/小时，两车同时出发．设两车的行驶时间为（小时），两车之间的路程为（千米）．则能大致表示与之间函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 4．已知为双曲线上的三个点，且，则以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．一次函数()和二次函数()在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 6．把抛物线的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 7．已知直线与的交点的坐标为，则方程组的解是（） A． B． C． D． 8．如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图像交于点和点，若点是轴上的任意一点，连接，，若的面积为10，则的值为（   ）． A． B． C．6 D． 9．已知二次函数（）的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④（）；⑤，其中正确的为（   ） A．①② B．③④ C．④⑤ D．③⑤ 10．定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为．已知点，的坐标分别为，，连结，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则的取值范围为(　　) A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．若函数，则当自变量时，函数值 ． 12．已知一次函数的图象经过点，且与轴交点的纵坐标为2，则它的解析式为 ． 13．如图，在平面直角坐标系中放置了一个边长为的正方形，点O为坐标原点，已知B点横坐标为，则A点坐标为 ． 14．已知点在抛物线上，点在抛物线上，若，则h的最大值为 ． 15．在平面直角坐标系中，直线交x轴负半轴于点A，交双曲线于B，C两 点，，过点B 作轴于点D，与交于点E，记的面积为，的面积为，当 时，k的值为 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为．将轴绕原点逆时针旋转，交抛物线于点，将直线绕点顺时针旋转，交抛物线于点，将直线绕点逆时针旋转，交抛物线于点，将直线绕点顺时针旋转，交抛物线于点…，依次进行下去，则点的坐标为 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．其中17-21题每题8分，22题、23题每题10分，24题12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．在平面直角坐标系中，已知函数与的图象有一个公共点．    (1)______； (2)画出这两个函数的图象； (3)根据图象，写出不等式的解集______． 18．为建设社会主义新农村，某市出台了一系列对口帮扶优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为每千克20元．经市场预测，销售价定为每千克26元时，日销量为32千克，若该产品每天的销售价每增加1元，则日销量就减少2千克．设这种产品的销售价为每千克元，日销量为千克． (1)求与之间的函数关系式．（写出自变量的取值范围） (2)当销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 19．某公园“水上滑梯”侧面图，建立平面直角坐标系，其中段可看成是反比例函数图象的一段，为水面，矩形为向上攀爬的梯子，每节梯子高米，宽1米，其中点，，均在坐标轴上，且轴． (1)求的值； (2)求出口点到的距离的长； 20．问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，对称轴为直线，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为，落地点为．以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点正上方的点处起跳，落地点为，点的坐标为，点在轴的正半轴上．求起跳点与落地点的水平距离的长． 21．如图，一次函数（b为常数）的图像与y轴交于点，与反比例函数（k为常数，且）的图像交于点B、，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)点是轴上一点，是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，且为等腰三角形的腰，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 22．已知抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，点为轴上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点与不重合）． (1)求点的坐标（用含的式子表示）； (2)当时，若，求的最大值； (3)对于的每一个确定的值，有最小值，若，请直接写出的取值范围___________． 23．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 24．我们约定：平面直角坐标系中不重合的两点，．若，则称点为点的“亮粹点”． (1)已知点为点的“亮粹点”，点的坐标为，且在直线上，求点的坐标； (2)如果直线经过点，，那么直线的斜率，已知点为点的“亮粹点”，其中，点且，求直线的解析式； (3)函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，已知，两部分组成的图象上恰有点的两个“亮粹点”，令，其中的值恒不大于，求实数的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段检测验收卷 第三章 函数 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，第一象限内的点的横纵坐标都为正，第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，第三象限内的点的横纵坐标都为负，第四象限内的点的横坐标为正，纵坐标为负，据此可得答案． 【详解】解：∵点P的坐标为， ∴点P的横坐标为负，纵坐标为正， ∴点P在第二象限， 故选：B． 2．若函数有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．根据分式的分母不为以及二次根式的被开方数为非负数进行求解即可． 【详解】解： 分母 要求根号内 ，且分母不能为零， ，即 ， 故选：D． 3．、两地相距千米，慢车从地到地，快车从地到地，慢车的速度为千米/小时，快车的速度为千米/小时，两车同时出发．设两车的行驶时间为（小时），两车之间的路程为（千米）．则能大致表示与之间函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意，确定分段函数的解析式，并根据函数解析式确定函数图象是解题关键．分别求出慢车到达地、快车到达地、两车相遇时间，然后分、、三段求出函数关系式，再结合函数图象即可求解． 【详解】解：根据题意得：慢车从地到地所用时间为（小时）， 快车从地到地所用时间为（小时）， 两车同时出发，相遇时慢车所用时间为（小时）． 当时，﹔ 当时，； 当时，快车已到地，； 故选：C． 4．已知为双曲线上的三个点，且，则以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，根据题意可得在反比例函数的图像上的点其横纵坐标的符号相同，据此根据横坐标的乘积判断出横坐标的符号是同号还是异号，进而可得纵坐标的符号是同号还是异号，据此求解即可． 【详解】解：A、当时，则同号， ∴此时点在同一象限， ∴此时同号，即，原说法错误，不符合题意； B、当时，则异号， ∵， ∴此时点在第三象限，点在第一象限， ∴， ∴，原说法正确，符合题意； C、当时，则同号， ∴此时点在同一象限， ∴此时同号，即，原说法错误，不符合题意； D、当时，则异号， ∵， ∴此时点在第三象限，点在第一象限，点在第一象限， ∴， ∴，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 5．一次函数()和二次函数()在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数、二次函数图象综合判断，二次函数的图象与各项系数符号，根据一次函数解析式判断其经过的象限等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 利用一次函数和二次函数的图象与系数的关系逐项判断即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，与y轴交点在正半轴， ∴，， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，故A不符合题意； ∵二次函数的图象开口向上，与y轴交点在负半轴， ∴，， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，故B不符合题意； ∵二次函数的图象开口向上，与y轴交点在负半轴， ∴，， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，故C符合题意； ∵二次函数的图象开口向下，与y轴交点在正半轴， ∴，， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，故D不符合题意． 故选：C． 6．把抛物线的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据函数图象平移规则“左加右减，上加下减”进行变换即可． 【详解】解：根据题意得 ， ∴所得函数为， 故选：C． 7．已知直线与的交点的坐标为，则方程组的解是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两直线交点问题．两条直线的交点坐标即为对应方程组的解，先根据交点坐标求出a的值，再得到方程组的解． 【详解】解：∵直线与的交点坐标为， ∴将代入中，得， ∴交点坐标为， 因为直线可化为，直线可化为，所以该方程组的解即为两直线的交点坐标 ∴方程组的解为． 故选：B． 8．如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图像交于点和点，若点是轴上的任意一点，连接，，若的面积为10，则的值为（   ）． A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，掌握系数的几何意义是解题关键． 连接和，由平行线间的距离处处相等，可知和的面积相等．根据反比例函数的几何意义，可以用表示出的面积，构建等式求出即可． 【详解】解：如图，连接和， ∵轴， ∴和的边上的高相等， ∴， 由反比例函数的几何意义可得，，， ∴，解得，， ∵反比例函数的图像在第二象限， ∴， ∴． 故选：B． 9．已知二次函数（）的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④（）；⑤，其中正确的为（   ） A．①② B．③④ C．④⑤ D．③⑤ 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数关系，由二次函数图象的开口方向、对称轴、与轴的交点即可判断①；由二次函数图象与x轴交于不同两点，即可判断②；根据图象，当时，得，当时，，即可判断③；根据函数的最值即可判断④；由抛物线的对称轴为直线：，可得，结合，即可判断⑤． 【详解】解：∵图象开口向下， ∴， ∵对称轴在轴的右侧，a与b异号， ∴， ∵与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵二次函数图象与x轴交于不同两点，则． ∴，故②错误； ∵当时，．即．故③正确； ∵时函数有最大值， ∴当时的y值大于当时的y值， 即 ∴成立，故④正确． ∵抛物线的对称轴为直线：， ∴， ∵， ∴，故⑤错误． 综上：③④正确． 故选：B． 10．定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为．已知点，的坐标分别为，，连结，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则的取值范围为(　　) A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系，理解互为相关函数的定义是解题的关键，本题是选择题使用排除法更简单．求出二次函数的相关函数的解析式，结合图像分析选项中的几个关键点，，再解方程结合图象判断即可． 【详解】二次函数的相关函数为， 大致函数图像如下： 如图1所示，当线段与二次函数的相关函数的图象有1个公共点时， ∵二次函数的对称轴为 ， ∴当时，，则 解得， 如图2所示，当线段与二次函数的相关函数的图象有3个公共点时， ∵抛物线与轴交点纵坐标为1， ∴，解得； ∴当时，线段与二次函数的相关函数的图象有2个公共点； 如图3所示：线段与二次函数的相关函数的图象有3个公共点， ∵二次函数经过点， ∴， 如图4所示：线段与二次函数的相关函数的图象有2个公共点， ∵抛物线y=经过点， ∴，解得 ， ∴时，线段与二次函数的相关函数的图象有个公共点． 综上所述，的取值范围是或． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．若函数，则当自变量时，函数值 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了求函数值．把代入，即可求解． 【详解】解：当自变量时， 函数值． 故答案为：3 12．已知一次函数的图象经过点，且与轴交点的纵坐标为2，则它的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，根据题意将和，代入，待定系数法求解析，即可求解． 【详解】解：根据题意将和，代入，得 解得： 所以一次函数解析式为， 故答案为：． 13．如图，在平面直角坐标系中放置了一个边长为的正方形，点O为坐标原点，已知B点横坐标为，则A点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，解决本题的关键是证明 过点A，B，作轴，轴于点D，E，证明 ，根据勾股定理得，，进而可得A点坐标． 【详解】解：如图，过点A，B，作轴，轴于点D，E， ， 在平面直角坐标系中放置了一个边长为的正方形， ，， ， ， ，， 点横坐标为， ， ， 点坐标为， 故答案为： 14．已知点在抛物线上，点在抛物线上，若，则h的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握配方法是解题的关键． 根据点A和点B在抛物线上的条件，结合，推导出h关于的二次函数表达式，利用二次函数最大值求解． 【详解】由点A在抛物线上，得， 由点B在抛物线上， 得， 即， 则， 又， ， 所以当时，h的最大值为； 故答案为：． 15．在平面直角坐标系中，直线交x轴负半轴于点A，交双曲线于B，C两 点，，过点B 作轴于点D，与交于点E，记的面积为，的面积为，当 时，k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数，反比例函数，平行线间线段成比例，掌握知识点是解题的关键． 过点C作轴于点F，先求出，，推导出，得到，设，则，，继而求出，则，解得，即可解答． 【详解】解：过点C作轴于点F，如图 ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设， ∴，， ∴ ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为．将轴绕原点逆时针旋转，交抛物线于点，将直线绕点顺时针旋转，交抛物线于点，将直线绕点逆时针旋转，交抛物线于点，将直线绕点顺时针旋转，交抛物线于点…，依次进行下去，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标规律探索，求一次函数解析式，一次函数和二次函数交点的坐标，根据坐标的变化找出规律是解题的关键．根据二次函数性质可得出点的坐标，求得直线的解析式，联立方程求得的坐标，即可求得的坐标，同理求得、的坐标，根据坐标的变化找出规律，即可找出点的坐标． 【详解】解：设，直线的解析式为， ∵将轴绕原点逆时针旋转，交抛物线于点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴ 解得或， ∴， 又∵将直线绕点顺时针旋转，交抛物线于点， ∴轴，， 中，令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴，即， ∴直线的解析式为， ∴ 解得或， ∴ 中，令，则， ∴， 同理，， ， …， 即的横坐标为，纵坐标为 的横坐标为，纵坐标为， 的横坐标为，纵坐标为， …， ∴的坐标中，当n为奇数时，横坐标为，纵坐标为， ∴的横坐标为，纵坐标为， 即 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．其中17-21题每题8分，22题、23题每题10分，24题12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．在平面直角坐标系中，已知函数与的图象有一个公共点．    (1)______； (2)画出这两个函数的图象； (3)根据图象，写出不等式的解集______． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）将代入中求出m，再将代入中即可求出k值； （2）根据函数图象的画法画图即可； （3）找到的图象在图象上方部分对应的x值即可得解． 【详解】（1）解：将代入中， 得，解得：， ∴，代入中， 得：； （2）列表： x 0 1 2 3 4 3 2 1 0 1 2 如图所示：    （3）如图，两函数图象交于，， 当或时，的图象在图象上方， ∴不等式的解集为或． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数综合，画函数图象，解题的关键是准确把握图象，利用数形结合思想解决问题． 18．为建设社会主义新农村，某市出台了一系列对口帮扶优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为每千克20元．经市场预测，销售价定为每千克26元时，日销量为32千克，若该产品每天的销售价每增加1元，则日销量就减少2千克．设这种产品的销售价为每千克元，日销量为千克． (1)求与之间的函数关系式．（写出自变量的取值范围） (2)当销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) () (2)当销售价定为31元时，每天的销售利润最大，最大利润是242元 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用． （1）根据销售价与日销量的线性关系求函数表达式，并考虑日销量非负和成本价确定自变量取值范围． （2）先建立销售利润与销售价的二次函数关系，然后利用二次函数的性质求最大值． 【详解】（1）解：根据题意，当销售价为26元时，日销量为32千克，销售价每增加1元，日销量减少2千克 ∴ ， 日销量，即，解得． 又（成本价）， ∴ 与的函数关系式为 ()． （2）每天的销售利润． 代入，得． ∵ ， ∴ 有最大值． 当时，最大， 最大利润． ∴ 当销售价定为31元时，每天的销售利润最大，最大利润是242元． 19．某公园“水上滑梯”侧面图，建立平面直角坐标系，其中段可看成是反比例函数图象的一段，为水面，矩形为向上攀爬的梯子，每节梯子高米，宽1米，其中点，，均在坐标轴上，且轴． (1)求的值； (2)求出口点到的距离的长； 【答案】(1)的值为3 (2)的长为4米 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，解分式方程，反比例函数的性质等知识点，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式及反比例函数的性质是解题的关键． （1）先求出点B的坐标，然后将其代入反比例函数解析式，得到关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值； （2）先求出点C的纵坐标，然后将其代入反比例函数解析式，得到关于x的分式方程，解方程即可求出x的值，进而得出点C的坐标，于是即可求出的长； 【详解】（1）解：由题意可得：（米），（米）， 点B的坐标为， 点B在反比例函数的图象上， ， 解得：； （2）解：（米）， 点的纵坐标为， 由①得：反比例函数的解析式为， 当时，， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 点的坐标为， （米）． 20．问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，对称轴为直线，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为，落地点为．以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点正上方的点处起跳，落地点为，点的坐标为，点在轴的正半轴上．求起跳点与落地点的水平距离的长． 【答案】（1），；（2）起跳点与落地点的水平距离的长为 【分析】本题考查了二次函数的其他应用，求二次函数的解析式，平移的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，得出抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为60，再设抛物线的函数解析式为：，把代入进行计算，即可作答． （2）理解题意，且结合从点正上方的点处起跳，落地点为，点的坐标为，得出第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度得到的，再列式计算，即可作答． 【详解】解：（1）由题意得，抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为60， ∴顶点坐标为， 设抛物线的函数解析式为：， ∵图象过原点， ， 解得， ； （2）依题意，抛物线的形状不变，且点的坐标为， 故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：，（舍去）， 故起跳点与落地点的水平距离的长为； 21．如图，一次函数（b为常数）的图像与y轴交于点，与反比例函数（k为常数，且）的图像交于点B、，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)点是轴上一点，是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，且为等腰三角形的腰，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2)存在，点的坐标为，， 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，勾股定理，等腰三角形定义．准确计算是解题的关键． （1）利用待定系数法求解； （2）分，两种情况，根据等腰三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）将代入中，得， 一次函数的表达式为， 在一次函数图像上， ， 将代入中，得：， 反比例函数的表达式为； （2）存在，理由如下： 由（1）知：点的坐标为， 如图，过点作轴于点， 由勾股定理得：， ①如图，当时，点的坐标为，； ②如图，当时，过点作轴于点， 易证四边形为矩形，则， ，点的坐标为， 综上所述，存在满足要求的点，点的坐标为，，． 22．已知抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，点为轴上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点与不重合）． (1)求点的坐标（用含的式子表示）； (2)当时，若，求的最大值； (3)对于的每一个确定的值，有最小值，若，请直接写出的取值范围___________． 【答案】(1) (2)的最大值 (3)或 【分析】（1）令即可求解； （2）令，求得A、B的坐标，即可求得的长，由则可求得a的值，从而求得二次函数解析式，再由求得关于t的函数式，即可求得其最大值； （3）由求得关于t的函数式，分两种情况考虑，利用函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：对于，令，得， ∴； （2）解：令， 解得：， ∴点A、B的坐标分别为， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴ 令，整理得：， ∵M、N不重合， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，其中， 对于一次函数，且， 当时，函数取得最大值17，从而取得最大值， ∴的最大值为； （3）解：令， 整理得：， 由题意知，方程必有两个不相等的实数根，设这两个实数根分别为， ∴， ∴，其中， ∵M、N不重合， ∴， 当时，对于的每一个确定的值，当时，取得最小值， 由题意知， ∴， 解得：； 当时，对于的每一个确定的值，当时，取得最小值， 由题意知， ∴， 解得：； 综上，a的取值范围为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，一次函数的性质，解不等式组等知识，有一定的综合性，熟练运用这些知识是关键． 23．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，．； (2)． (3)能，边上的顶点的坐标为，或． 【分析】（1）求得点A，C坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；利用抛物线的解析式令，解方程即可求得点B在横坐标；利用配方法即可求得点D的坐标； （2）利用勾股定理及其逆定理得到，延长至点，使，连接，交直线于点P，利用轴对称的性质可得，B关于直线对称，此时的周长最小，过点作轴于点E，利用三角形的中位线定理得到点坐标，利用待定系数法求得直线的解析式为，再与直线联立即可求得点P坐标； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①设与交于点K，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得其面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可；②顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得据的面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可． 【详解】（1）解：中， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∵抛物线经过A，B，C三点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 令，则， ∴，或， ∴． ∵ ∴顶点； （2）∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 延长至点，使，连接，交直线于点P，如图， 则，B关于直线对称，此时的周长最小， 过点作轴于点E， ∵轴，轴， ∴ ， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴． （3）在内部能截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． ①如图，顶点E，F，G，H在各边上，设与交于点K， 设， ∵四边形为矩形，， ∴四边形，为矩形，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形EFGH的面积取得最大值为． ∴， ∵， ∴H为的中点， ∴． 同理，点G为的中点， ∴． ②如图，顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合， 设， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形的面积取得最大值为． ∴， ∴点G为的中点， ∵， ∴为的中位线， ∴ ∴， ∴． 综上，在内部能截出面积最大的矩形(顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，配方法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，轴对称的性质，分类讨论的思想方法，矩形的性质，直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 24．我们约定：平面直角坐标系中不重合的两点，．若，则称点为点的“亮粹点”． (1)已知点为点的“亮粹点”，点的坐标为，且在直线上，求点的坐标； (2)如果直线经过点，，那么直线的斜率，已知点为点的“亮粹点”，其中，点且，求直线的解析式； (3)函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，已知，两部分组成的图象上恰有点的两个“亮粹点”，令，其中的值恒不大于，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设点，根据“亮粹点”的定义得出，解方程即可求解； （2）根据“亮粹点”的定义可求出，根据待定系数法可求出直线的解析式为，再由已知等式可得，即，，则点M、N在二次函数上，从而可得，，且，再根据面积建立方程求解即可． （3）先求出翻折后的抛物线解析式为，设点在，两部分组成的图象上“亮粹点”的坐标为，根据“亮粹点”的定义，则点M的“亮粹点”在直线上，然后分①当时；②当时；③当时；④当时，四种情况讨论，可得出当时，，两部分组成的图象上恰有2个“亮粹点”，根据P的最大值不大于，再分①时；②时；③时，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：设点， ∵N为点的“亮粹点”， ∴， 解得：， ∴N的坐标为； （2）解：设直线的解析式为， ∵点为点的“亮粹点”， ∴，即， 将，代入得： ， 由得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴，即， ∴点M、N在二次函数上， 联立， 整理得， 根据题意可知，即， ∴，， 记直线与y轴交于点B，则， ∴， 不妨设， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴直线的解析式为； （3）解：函数关于直线的翻折后的抛物线解析式为， 设点在两部分组成的图象上“亮粹点”的坐标为， 由题知：， ∴点M的“亮粹点”在直线上， 由已知，则有： ①如下图，当时，直线与均无交点，即在上没有“亮粹点”，不符合题意； ②如下图，当时，直线过的交点，此时直线与仅有一个交点，即在上仅有一个“亮粹点”，不符合题意； ③如下图，当时，直线与各有一个交点，即在上有两个“亮粹点”，符合题意． ④如下图，当时，直线与各有一个交点，即在上有两个“亮粹点”，符合题意． ∴当时，两部分组成的图象上恰有2个“亮粹点”， 已知其最大值不大于， 当时，， 解得， 则此时t无解； ②时， ， 解得； 当时，， 解得， 则此时t无解． 综合，实数t的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数，不等式的应用，新定义等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，数形结合，分类讨论是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $