阶段检测验收卷02方程与不等式（综合训练）（浙江专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

阶段检测验收卷 第二章 方程与不等式 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列利用等式的性质进行变形，变形错误的是（　　） A．由，得到 B．由，得到 C．由，得到 D．由，得到 2．若关于x的方程是一元一次方程，则a的值为（   ） A．1 B． C． D．0 3．已知x，y满足方程组，则的值为（   ） A．9 B．7 C．5 D．3 4．若，且，则（） A． B． C． D． 5．已知m是一元二次方程的一个根，则的值是（    ） A．13 B． C．39 D．65 6．不等式组的解集在数轴上的表示是（   ） A． B． C． D． 7．用配方法解方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 8．我国古代数学家张丘建在《张丘建算经》里，提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题．用100个钱买100只鸡，公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．问公鸡，小鸡各买了多少只？在这个问题中，小鸡的只数不可能是（ ） A．87 B．84 C．81 D．78 9．如果关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则符合条件的所有整数m的和为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 10．定义：已知是关于的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“友好方程”．如：一元二次方程的两根为，且，所以一元二次方程为“友好方程”．关于的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“友好方程”；②若该方程是“友好方程”，则有且仅有个整数满足要求．对于这两个结论判断正确的是（　　） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．若关于的分式方程无解，则的值为 ． 12．若二次函数的图与轴有两个交点，则实数的取值范围是 ． 13．若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和 ． 14．元旦期间某商场为了吸引顾客，对某种商品连续两次降价，每次降价的百分率相同．已知该商品原来每件售价为元，降价两次后每件售价为元，则每次降价的百分率是 ． 15．已知关于，的方程组的解是，则方程组的解为 ． 16．若实数，同时满足，，则的值为 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．其中17-21题每题8分，22题、23题每题10分，24题12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．下列是小明和小华同学关于一元一次方程的解答过程，已知这两个同学的解答过程都有错误，请你从小明、小华两名同学中选择一名同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正． 小明同学： 解方程． 解：……第①步 ………………第②步 ……………………第③步 ……………………第④步   ………………………………第⑤步 …………………………………第⑥步 小华同学： 解方程． 解：…………第①步 ………………第②步   ……………………第③步 ………………………第④步 ………………………………第⑤步 …………………………………第⑥步 (1)选择______同学的解答过程进行分析（选填“小明”或“小华”）； (2)该同学的解答过程从第______（填序号）步开始出现错误，错误的原因是______． (3)请写出正确的解答过程． 18．计算： (1)分别用代入消元法和加减消元法解方程组； (2)解不等式组，并把解集表示在数轴上． 19．解方程： (1) (2) 20．商场计划拨款9万元，从厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元． (1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案． (2)若商场用9万元同时购进三种不同型号的电视机50台，请你研究一下是否可行？若可行，请给出设计方案；若不可行，请说明理由． 21．某手工材料厂生产甲、乙两种手工材料包，已知该厂每天生产甲、乙两种材料包的总数为60个，且乙每天生产材料包的数量是甲的两倍． (1)求该厂每天生产甲、乙两种材料包的数量分别是多少个？ (2)为满足订单需求，该厂进行技术升级提升生产效率．升级后，每天只生产一种材料包，且每天生产材料包的数量有所增加．每天生产乙材料包的增加数量是每天生产甲材料包增加数量的2倍．若需用升级后的设备生产甲，乙两种材料包各120个，生产这两种材料包共用6天，求每天生产甲材料包的增加数量． 22．某公园要铺设广场地面，其图案设计如图，矩形地面的长，宽，四周各角留一个矩形花坛，中心建设一个正方形景观空地，其边长等于四个角上每个矩形花坛的宽的4倍，图中阴影处铺设地砖．已知矩形花坛的长比宽多，设每个矩形花坛的宽均为． (1)用的式子表示：每个矩形花坛的长为_______m；铺设地砖的面积为________． (2)若铺设地砖的面积为，则求正方形景观空地的面积； (3)若四个角的矩形花坛面积之和为，则求出当面积最大时，矩形花坛的长和宽各是多少m？ 23．我们定义：方程的解为整数的方程为“完美”方程． (1)一元一次方程：为“完美”方程，求整数a的值； (2)已知关于x的方程：（，且a为整数）是“完美”方程，且其中整数a使关于y的不等式组有解且至多有3个整数解，求符合条件的所有整数a的和； (3)已知关于x的方程：是“完美”方程，求满足条件的所有实数k的值． 24．定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“立格方程”．如：一元二次方程的两根为，，因为，，所以一元二次方程为“立格方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“立格方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“立格方程”．且两根，满足．求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“立格方程”，求m的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段检测验收卷 第二章 方程与不等式 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列利用等式的性质进行变形，变形错误的是（　　） A．由，得到 B．由，得到 C．由，得到 D．由，得到 【答案】D 【分析】本题考查了等式的基本性质“性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等”，熟练掌握等式的基本性质是解题关键．根据等式的基本性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、由，得到（等式的性质1），则此项正确，不符合题意； B、由，得到（等式的性质2），再得到（等式的性质1），则此项正确，不符合题意； C、由，得到（等式的性质2），则此项正确，不符合题意； D、当时，由，得到（等式的性质2）；当时，由，不能得到；则此项错误，符合题意； 故选：D． 2．若关于x的方程是一元一次方程，则a的值为（   ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【分析】根据一元一次方程的定义，x的指数必须为1，且系数不为0． 本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵ 方程是一元一次方程， ∴ 且 由，得或， 又∵， ∴ ∴ ， 故选：C． 3．已知x，y满足方程组，则的值为（   ） A．9 B．7 C．5 D．3 【答案】C 【分析】此题考查解二元一次方程组-特殊方法，根据所求的式子中各系数与方程组的关系，将原方程组对应相加或相减即可得到答案的方法更为简便． 根据两个方程系数的关系将两个方程相加即可得到答案． 【详解】解：， 得：， 则， 故选：C． 4．若，且，则（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质3，是解题的关键．由已知条件和推导出，即．将不等式两边除以负数b，不等式方向反转，直接得到． 【详解】∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 故选：C． 5．已知m是一元二次方程的一个根，则的值是（    ） A．13 B． C．39 D．65 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 利用m是方程的根，满足方程关系，将所求表达式中的用m表示后代入计算． 【详解】解：∵m是方程的根， ∴，即， ∴． 故选：B． 6．不等式组的解集在数轴上的表示是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式组的解集，解题的关键是熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则． 求出不等式组的解集，再在数轴上表示不等式组的解集，即可得答案． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为：， 在数轴上表示不等式的解集时，大于号用空心圆圈，小于号也用空心圆圈，选项C表示的是，符合题意． 故选：C． 7．用配方法解方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用配方法解方程，根据配方法解一元二次方程，需将常数项移至右边，然后两边加上一次项系数一半的平方，形成完全平方式即可求解，掌握配方法解方程是解题的关键， 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8．我国古代数学家张丘建在《张丘建算经》里，提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题．用100个钱买100只鸡，公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．问公鸡，小鸡各买了多少只？在这个问题中，小鸡的只数不可能是（ ） A．87 B．84 C．81 D．78 【答案】A 【分析】根据题意列出三元一次方程组,根据题意一一验证即可． 【详解】设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得： 有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解． 令②×3－①得：7x+4y=100； 所以 令=t, (t为整数)所以x=4t 把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t 易得z=75+3t 所以：x=4t,y=25-7t,z=75+3t A.当z=87时,t=4,则x=16,y=﹣3,不符合实际; B.当z=84时,t=3,则x=12,y=4,符合实际; C.当z=81时,t=2,则x=8,y=11,符合实际; D.当z=78时,t=1,则x=4,y=18,符合实际; 故选A． 【点睛】本题考查三元一次方程组的应用,关键在于理解题意找出等量关系． 9．如果关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则符合条件的所有整数m的和为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则，求得m的取值范围是解本题的关键． 根据已知不等式的解集确定出m的范围，再由分式方程解为正数，确定出m的范围，进而确定出满足题意整数m的值，求出之和即可． 【详解】解：不等式组整理得， 不等式组的解集为， ， 分式方程去分母，得：， 解得：， 分式方程的解为正数， ，且， 解得：且， 且， 符合条件的整数m的值有0，1，3，4这4个， 这4个整数的和为8， 故选：C． 10．定义：已知是关于的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“友好方程”．如：一元二次方程的两根为，且，所以一元二次方程为“友好方程”．关于的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“友好方程”；②若该方程是“友好方程”，则有且仅有个整数满足要求．对于这两个结论判断正确的是（　　） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】A 【分析】本题考查了新定义方程，解一元二次方程，根的判别式，把代入方程，求出方程的根，再根据“友好方程”的定义即可判断①；利用因式分解法解方程得或，再分两种情况，根据“友好方程”的定义求出的取值范围，进而可判断②，综上即可求解，理解新定义方程是解题的关键． 【详解】解：①当时，方程为， 解得， ∴， ∵符合，且， ∴该方程是“友好方程”，故①正确； ②， ∴， 解得或， ∵该方程是“友好方程”， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ∴， 当时，，且， ，且， ∵为整数， 此时的值不存在； 当时，，且， ，且， ∴， 是整数， ∴或，故②正确； 综上，①②都正确， 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程无解的知识点，分式方程无解有两种情况：整式方程无解或分母为，本题中简后的整式方程总有解，因此只需考虑增根的情况． 【详解】解：， 得 即 去分母得： 解得 若分式方程无解，则其解为增根，即， ∴时方程无解 故答案为2． 12．若二次函数的图与轴有两个交点，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键．二次函数的图象与轴有两个交点，即令后的一元二次方程有两个不等实根，得到 且，据此求解即可． 【详解】解：二次函数 的图象与 轴有两个交点， 则一元二次方程 有两个不相等的实数根， ∴ 且， 则， 即， 解得， ∵， ∴且． 故答案为 ：且． 13．若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组解的情况求参数，解不等式组得到解集为 ，根据有且仅有4个整数解，得到，解得，整数的值为，，，求和即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 故不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有4个整数解， ∴整数解为，，，， ∴， 解得：， ∴整数的值为，，， ∴和为， 故答案为：． 14．元旦期间某商场为了吸引顾客，对某种商品连续两次降价，每次降价的百分率相同．已知该商品原来每件售价为元，降价两次后每件售价为元，则每次降价的百分率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设每次降价的百分率为，根据连续两次降价后价格的关系列出方程，解方程得到的值，并验证合理性． 【详解】解：设每次降价的百分率为，则第一次降价后价格为元，第二次降价后价格为元． 根据题意，有 解得：或（舍去） 故答案为：． 15．已知关于，的方程组的解是，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用换元法解二元一次方程组，通过整体代换，将新方程组中的表达式转化为原方程组的形式，利用已知解求解． 【详解】解：整理方程组， 可得： 令 ，， 则新方程组化为：， 方程组的解为， 方程组的解为， ， 解得：． 16．若实数，同时满足，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了化简绝对值，二元一次方程组，分类讨论思想，由 和 ，当时，，则方程组化为，解得 ，若，则，得，矛盾；若，则，得 ，代入，得，然后检验即可；当时，，则方程组化为，由得，代入得，即 ，所以，由于，有，即，又 ，则，所以，代入得，即，矛盾，无解，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由和 当时，，则方程组化为： ， 由得，代入得：， 即， 所以， 由于，有，解， 若，则，得，矛盾； 若，则，得， 代入，得 验证第二方程：，成立； 当时，，则方程组化为： ， 由得 ，代入得：， 即，所以， 由于，有，即， 又 ，则 ，所以， 代入得，即，矛盾，无解， 因此，唯一解为，，故， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．其中17-21题每题8分，22题、23题每题10分，24题12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．下列是小明和小华同学关于一元一次方程的解答过程，已知这两个同学的解答过程都有错误，请你从小明、小华两名同学中选择一名同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正． 小明同学： 解方程． 解：……第①步 ………………第②步 ……………………第③步 ……………………第④步   ………………………………第⑤步 …………………………………第⑥步 小华同学： 解方程． 解：…………第①步 ………………第②步   ……………………第③步 ………………………第④步 ………………………………第⑤步 …………………………………第⑥步 (1)选择______同学的解答过程进行分析（选填“小明”或“小华”）； (2)该同学的解答过程从第______（填序号）步开始出现错误，错误的原因是______． (3)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)小明或小华 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，熟练掌握“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤，尤其注意去括号时的符号变化”是解题的关键． （1）选择一名同学（如小明），分析其解题过程的错误； （2）找出该同学解题中出错的步骤，说明错误原因； （3）按照一元一次方程的解法（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）正确求解． 【详解】（1）解：答案一，小明；答案二，小华； （2）解：选择小明同学时，解答过程从第③步开始出现错误，错误原因是去括号时，未变号，应为； 故答案为：③，括号内的项没有变号； 选择小华同学时，解答过程从第①步开始出现错误，错误原因是利用等式的性质等式右边漏乘； 故答案为：①，利用等式的性质等式右边漏乘； （3）解：正确的解答过程： ， 方程两边同时乘以，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 18．计算： (1)分别用代入消元法和加减消元法解方程组； (2)解不等式组，并把解集表示在数轴上． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）根据代入消元法和加减消元法解二元一次方程即可； （2）根据解一元一次不等式组的步骤即可解答．本题考查了利用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，一元一次不等式组的解，利用数轴表示一元一次不等式，熟练运用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：代入消元法： ， 由①得：③， 将③代入②，得：， 解得， 将代入③，得：， ∴该方程组的解是； 加减消元法： ， ，得：， 将代入①，得：， ∴该方程组的解是； （2）解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴该不等式组的解集是， 其解集在数轴上表示如下： ． 19．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）先移项，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴，即， ∴， ∴或， 解得． 20．商场计划拨款9万元，从厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元． (1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案． (2)若商场用9万元同时购进三种不同型号的电视机50台，请你研究一下是否可行？若可行，请给出设计方案；若不可行，请说明理由． 【答案】(1)商场可购进甲种型号电视机25台，乙种型号电视机25台或购进甲种型号电视机35台，丙种型号电视机15台 (2)当购进丙种型号的电视机3台时，可购进甲种型号的电视机27台，乙种型号的电视机20台；当购进丙种型号的电视机6台时，可购进甲种型号的电视机29台，乙种型号的电视机15台；当购进丙种型号的电视机9台时，可购进甲种型号的电视机31台，乙种型号的电视机10台；当购进丙种型号的电视机12台时，可购进甲种型号的电视机33台，乙种型号的电视机5台 【分析】本题考查二元一次方程组的应用和方案选择，三种不同型号的电视机，购进其中两种不同型号的电视机，有三种可能． （1）通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即“购进其中两种不同型号的电视机共50台”和“两种不同型号的电视机共用去9万元”，根据这两个等量关系可列出方程组． （2）当题中要问三个未知数的值时，尽量设两个未知数，减少运算量，那么，本题中只需找到两个等量关系即可，在本题中为“三种不同型号的电视机50台”和“三种不同型号的电视机共用去9万元”． 【详解】（1）解：设购进甲、乙、丙种型号电视机的数量分别为： 当购进甲种型号及乙种型号的电视机时， 由题意，得 解得 当购进乙种型号及丙种型号的电视机时， 由题意，得 解得（舍去）； 当购进甲种型号及丙种型号的电视机时， 由题意，得 解得 综上，商场可购进甲种型号电视机25台，乙种型号电视机25台 或购进甲种型号电视机35台，丙种型号电视机15台． （2）解：可行． 设购进甲、乙、丙种型号电视机的数量分别为：时；由题意，得 ∵均是大于0且小于50的整数， ∴当购进丙种型号的电视机3台时，可购进甲种型号的电视机27台，乙种型号的电视机20台； 当购进丙种型号的电视机6台时，可购进甲种型号的电视机29台，乙种型号的电视机15台； 当购进丙种型号的电视机9台时，可购进甲种型号的电视机31台，乙种型号的电视机10台； 当购进丙种型号的电视机12台时，可购进甲种型号的电视机33台，乙种型号的电视机5台 21．某手工材料厂生产甲、乙两种手工材料包，已知该厂每天生产甲、乙两种材料包的总数为60个，且乙每天生产材料包的数量是甲的两倍． (1)求该厂每天生产甲、乙两种材料包的数量分别是多少个？ (2)为满足订单需求，该厂进行技术升级提升生产效率．升级后，每天只生产一种材料包，且每天生产材料包的数量有所增加．每天生产乙材料包的增加数量是每天生产甲材料包增加数量的2倍．若需用升级后的设备生产甲，乙两种材料包各120个，生产这两种材料包共用6天，求每天生产甲材料包的增加数量． 【答案】(1)每天生产甲材料包20个，乙材料包40个； (2)10个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用． （1）设每天生产甲材料包x个，则每天生产乙材料包个，根据甲、乙数量之和及倍数关系列一元一次方程求解； （2）设每天生产甲材料包的增加数量为a个，则每天生产乙材料包的增加数量为个，设生产甲材料包的天数为m天，生产乙材料包的天数为n天，根据生产各120个和总天数6天列分式方程求解． 【详解】（1）解：设每天生产甲材料包x个，则每天生产乙材料包个． 根据题意，， 解得， 所以， 答：每天生产甲材料包20个，乙材料包40个； （2）解：设每天生产甲材料包的增加数量为a个，则每天生产乙材料包的增加数量为个， 升级后每天生产甲材料包个，每天生产乙材料包个， 设生产甲材料包的天数为m天，生产乙材料包的天数为n天，则， 生产甲材料包总数：个，生产乙材料包总数：个， 由，得， 由，得， 代入，得， 即， 解得：． 经检验，是原分式方程的解， 答：每天生产甲材料包的增加数量为10个． 22．某公园要铺设广场地面，其图案设计如图，矩形地面的长，宽，四周各角留一个矩形花坛，中心建设一个正方形景观空地，其边长等于四个角上每个矩形花坛的宽的4倍，图中阴影处铺设地砖．已知矩形花坛的长比宽多，设每个矩形花坛的宽均为． (1)用的式子表示：每个矩形花坛的长为_______m；铺设地砖的面积为________． (2)若铺设地砖的面积为，则求正方形景观空地的面积； (3)若四个角的矩形花坛面积之和为，则求出当面积最大时，矩形花坛的长和宽各是多少m？ 【答案】(1)， (2)正方形景观空地的面积为 (3)矩形的长为，宽为 【分析】本题考查列代数式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确的列出方程和函数解析式，是解题的关键： （1）根据矩形花坛的长比宽多，求出矩形花坛的长，分割法求出铺设地砖的面积即可； （2）令（1）中铺设地砖的面积等于，列出方程进行求解即可； （3）根据矩形的面积列出二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：由题意，每个矩形花坛的长为，中间正方形的边长为， 故铺设地砖的面积为； 故答案为：，； （2）由题意，， 解得（不合题意，舍去）； ∴正方形景观空地的边长为， ∴正方形景观空地的面积为； （3）由题意，， 由图可知：， 解得， ∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，最大，此时； 故当矩形的长为，宽为时，最大． 23．我们定义：方程的解为整数的方程为“完美”方程． (1)一元一次方程：为“完美”方程，求整数a的值； (2)已知关于x的方程：（，且a为整数）是“完美”方程，且其中整数a使关于y的不等式组有解且至多有3个整数解，求符合条件的所有整数a的和； (3)已知关于x的方程：是“完美”方程，求满足条件的所有实数k的值． 【答案】(1)或 (2) (3)满足条件的实数k的值有或或或或 【分析】（1）解一元一次方程可得，再根据题意取的值即可； （2）先解分式方程可得，，再解一元一次不等式组可得，根据解集依次取的值，找出所以满足为整数的的值，再相加即可解题； （3）根据题意分①当方程为一元二次方程时，②当方程为一元一次方程时，先将原方程根据平方差公式，完全平方公式化为，得到或，进而得到，再找出所以满足解为整数的整数的值，进而得到的值，以及根据二次项系数为零，一次项系数不为零求解判断，即可解题． 【详解】（1）解：， ， 为“完美”方程， 或； （2）解：（，且a为整数）是“完美”方程， 解得：， ， ， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 不等式组至多有3个整数解， 当其有一个整数解时，即y取，则，解得：，将代入得：，不是整数，故不满足条件； 当其有两个整数解时，即y取、，则，解得：，为整数，故不满足条件； 当其有三个整数解时，即y取、、，则，解得：，将代入得：，是整数，满足条件； 综上，符合条件的所有整数a的和为； （3）解：①当方程为一元二次方程时， ， 或， 或， 且， 是“完美”方程， 和为整数， 又，， ， 即， 整理后得， ，为整数，且，不为， 或， 即（舍去）或或或， 或或， 满足条件的实数k的值有或或； ②当方程为一元一次方程时， ， 当时，，解得， 当时，，解得． 综上所述，满足条件的实数k的值有或或或或． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元二次方程，解分式方程，解一元一次不等式组，以及分式整除的情况，平方差公式，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 24．定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“立格方程”．如：一元二次方程的两根为，，因为，，所以一元二次方程为“立格方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“立格方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“立格方程”．且两根，满足．求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“立格方程”，求m的取值范围． 【答案】(1)是“立格方程” (2)k的值不存在 (3)m的取值范围为或 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．读懂题意，理解“立格方程”的定义是解题关键． （1）解该一元二次方程，得出，，再根据“立格方程”的定义判断即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得出，，代入整理可得，根据一元二次方程的判别式可得知该一元二次方程无解，即k的值不存在； （3）解该一元二次方程，得出，，或，，再根据此方程为“立格方程”，即得出此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出，且，可求出m的取值范围，最后分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：是“立格方程”，理由如下： ， 则或， ，， ，， 是“立格方程”； （2） 即 ，， ， ， 即， 由于， 则无解， 故k的值不存在； （3） ， 或， ，，或，， 由于一元二次方程是“立格方程”， 此方程有两个不相等的实数根， ，即， 且， 分类讨论：①当，时， ， ， ， ， 当，时， ， ， ， ， 综上所述，m的取值范围为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $