精品解析：天津市第五中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

数学学科 一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本大题共9个小题，每小题4分，共36分） 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的标准方程分析可得其焦点位置以及的值，计算可得答案． 【详解】根据题意，抛物线的标准方程为， 则其焦点在轴负半轴上，且， 则其准线方程为， 故选：D. 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，关键是掌握抛物线标准方程的形式． 2. 数列的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定条件归纳得到通项公式即可. 【详解】因为数列，所以其奇数项符号为负，偶数项符号为正， 而分母可归纳为，分子可归纳为， 故数列的一个通项公式是，故B正确. 故选：B 3. 已知实数成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设公比，利用等比数列的性质及等比中项得到方程，求出. 【详解】设等比数列的公比为，则，且，解得. 故选：C 4. 在正项等比数列中，，是方程的两个根，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】由韦达定理、等比数列通项公式的下标和性质求解即可. 【详解】因为，是方程的两个根，所以， 在正项等比数列中，有，所以，又，所以， 所以． 故选：B. 5. 已知抛物线上一点到焦点的距离为，则其焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线的定义可求的值，进而可求焦点坐标. 【详解】解：抛物线上一点到焦点的距离为， 由抛物线的定义知，即，所以，所以， 抛物线的焦点坐标为， 故选：A. 6. 记等差数列的前项和为，则（　　） A. 130 B. 135 C. 145 D. 150 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，则， 解得：，再由等差数列的前项和得：， 故选：C. 7. 已知数列满足，则数列的前10项和为（　　） A. 58 B. 52 C. 62 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】先根据判断数列的正负性，进而确定数列的表达式，再计算数列的前10项和. 【详解】因为，，令，得， 因为，所以当时，； 当时，. 所以，记数列的前项和为， 则 . 故选：B 8. 已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的焦距为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件可得，解出即可得到双曲线的焦距. 【详解】双曲线的左顶点为，渐近线方程为 抛物线的焦点为，准线方程为： 由条件可得： 解得：，所以 所以双曲线的焦距为 故选：B 【点睛】本题考查的是双曲线和抛物线的概念，考查了学生的计算能力，属于基础题. 9. 已知数列各项均为正数，为数列的前项和，，则的值为（　　） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据计算求解得出结合，计算求解. 【详解】因为，则， 当时，则，且，所以， 当时，，且，即， 则. 故选：C. 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 10. 期中考试以后，王老师把100个糖果分给5个人，使每人所得糖果个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份的个数为__________. 【答案】10 【解析】 【分析】利用等差数列的前n项和、通项公式列方程求基本量. 【详解】设5个人分得的糖果从小到大依次为，公差为， 所以，则， 所以，可得. 故答案为：10 11. 已知数列的通项公式为，前项和为，则的最大值为___________． 【答案】35 【解析】 【分析】首先根据通项公式判断为等差数列，再利用的公式求得为二次函数的性质，结合，即可求得的最大值. 【详解】因为数列的通项公式为，所以为等差数列，且； 所以，根据二次函数的性质可得，当时，取得最大值，又因为，所以当时，取得最大值； 12. 等差数列的前项和分别为，且，则___________． 【答案】 . 【解析】 【分析】先利用等差数列的性质，得出前项和公式并转化为项的形式，再将“项的比值”转化为“前特定项和的比值”，最后计算即可. 【详解】对于等差数列性质，知前项和，即， 同理：对于等差数列，则， 因此：， 即： ， 已知，代入得： ， 所以 ， 故答案为： . 13. 已知数列，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】运用裂项相消法求和即可. 【详解】， . 故答案为：. 14. 数列中，，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用递推式列出递推关系，再通过累加法求通项公式． 【详解】，， 时，， ， ， ，符合条件， ． 故答案为： 15. 已知数列是等差数列，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的基本量计算得，再根据等差数列求和公式计算即可. 【详解】设等差数列的公差为， 因为， 所以，解得，， 所以， 所以，， 从到共有项， 所以 故答案为： 三、解答题：（本大题共4个小题，共40分：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤：） 16. 倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，求弦的长． 【答案】8 【解析】 【分析】根据题意得出直线方程，与抛物线方程联立，结合弦长公式即可求解． 【详解】由抛物线得，焦点坐标， 因为直线倾斜角为，所以斜率为，则直线方程为， 联立方程组，整理得，， 所以． 17. 已知数列的前项和为，求数列的通项公式． 【答案】 【解析】 【分析】利用前项和公式与通项公式的关系，即可求得通项. 【详解】当时，， 当时，， 因为当时，上式不成立， 所以. 18. 已知等差数列的通项公式，数列满足． （1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式； （2）已知数列求数列的前项和． 【答案】（1） 因为数列满足，即 所以， 又，，故,， 所以，， 所以数列是等比数列，首项为，公比为， 所以，即， 所以的通项公式为. （2） 【解析】 【分析】（1）结合已知得，，再根据等比数列的定义与通项公式求解即可； （2）由题知，再根据错位相减法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为等差数列的通项公式， 可得， 所以 ①， ②， 得： ， 所以. 19. 已知数列通项公式为，求数列的前项和． 【答案】 【解析】 【分析】先利用已知数列的通项公式分别求出及时的通项公式，再分别求出及时的前项和，从而求出． 【详解】时，，即，是首项为，公差为的等差数列； 时，，即，是首项为，公差为的等差数列； 当时，前项包含个奇数项，个偶数项： 奇数项和， 偶数项和， ， ，， 当时，前项包含个奇数项，个偶数项： 奇数项和， 偶数项和， ， ，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学学科 一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本大题共9个小题，每小题4分，共36分） 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 数列的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 3. 已知实数成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 4. 在正项等比数列中，，是方程的两个根，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 5. 已知抛物线上一点到焦点的距离为，则其焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 记等差数列的前项和为，则（　　） A. 130 B. 135 C. 145 D. 150 7. 已知数列满足，则数列的前10项和为（　　） A. 58 B. 52 C. 62 D. 60 8. 已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的焦距为（ ） A. B. C. D. 9. 已知数列各项均为正数，为数列的前项和，，则的值为（　　） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 10. 期中考试以后，王老师把100个糖果分给5个人，使每人所得糖果个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份的个数为__________. 11. 已知数列的通项公式为，前项和为，则的最大值为___________． 12. 等差数列的前项和分别为，且，则___________． 13. 已知数列，则___________． 14. 数列中，，，则___________． 15. 已知数列是等差数列，，则___________． 三、解答题：（本大题共4个小题，共40分：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤：） 16. 倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，求弦的长． 17. 已知数列的前项和为，求数列的通项公式． 18. 已知等差数列的通项公式，数列满足． （1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式； （2）已知数列求数列的前项和． 19. 已知数列通项公式为，求数列的前项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $