专题06 一次函数全章21题型（期末复习专项训练）七年级数学上学期新教材鲁教版五四制

专题06 一次函数 题型1 函数的概念 题型12 一次函数的性质（重难点） 题型2 函数的表示方法 题型13 一次函数图像的平移（难点） 题型3 自变量的取值范围与函数值（重点） 题型14 一次函数的增减性（难点） 题型4 列关系式 题型15 比较一次函数值的大小（重难点） 题型5 一次函数的概念 题型16 一次函数的规律探究问题（常考点） 题型6 正比例函数的概念 题型17 利用一次函数解决实际问题（常考点） 题型7 根据一次函数定义求参数 题型18 一次函数与一元一次方程的关系（重难点） 题型8 利用一次函数解决分段计费问题（重点） 题型19 两个一次函数图像的实际应用（难点） 题型9 正比例函数的图像 题型20 一次函数的几何变换（重难点） 题型10 正比例函数的性质 题型21 一次函数动点问题（重难点） 题型11 一次函数的图像（重难点） 题型1 函数的概念（共3小题） 1．（24-25六年级下·山东泰安·期末）在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中自变量、因变量分别是（     ） A．热水器里水的温度、所晒时间 B．热水器里水的温度、太阳光强弱 C．所晒时间、热水器的容积 D．所晒时间、热水器里水的温度 2．（24-25六年级下·山东烟台·期末）五一”节放假期间，兄、弟两人沿同一路线登山，当兄出发时，弟已经在距地面的高度为处了，兄在登山时开始加速，兄、弟两人距地面的高度y（单位：m）与登山时间t（单位：min）的关系如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题． (1)在兄的登山过程中自变量是_，因变量是______； (2)求弟登山上升的速度及b的值； (3)兄出发______min后追上弟，此时距地面的高度为______m； (4)当兄距地面的高度为时停下等待弟，弟还需多长时间与兄会合？ 3．（24-25六年级下·山东烟台·期末）地表以下岩层温度是研究地球内部热传递和热平衡的关键因素．通过对不同深度岩层温度的测量和分析，科学家可以构建地球内部的热结构模型． 测量发现，地表以下岩层的温度与它所处的深度有下表中的关系： 岩层的深度 1 2 3 4 5 6 … 岩层的温度 55 90 125 m 195 230 … (1)在上述变化过程中，自变量是______，因变量是______，表格中m的值为______； (2)请直接写出岩层的温度t与岩层的深度h之间的关系式； (3)当岩层的温度为时，求岩层的深度． 题型2 函数的表示方法（共3小题） 4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，下表是海拔高度与此高度处的气温之间的关系： 海拔高度 0 1 2 3 4 5 … 气温 20 14 8 2 … 下列说法错误的是（   ） A．海拔高度为自变量，气温为因变量 B．在一定范围内，海拔高度每增加，气温就下降 C．在一定范围内，气温t与海拔高度h之间的关系式为 D．当海拔高度为时，此高度处的气温是零下 5．（23-24八年级下·吉林四平·期末）某科技小组在网上获取了声音在空气中传播速度与空气温度之间关系的一些数据，如下表所示： 空气温度 0 10 20 30 声音在空气中传播速度 318 324 330 336 342 348 给出下面三个结论：①空气温度越高声音在空气中传播速度越快；②声音在空气中传播速度与空气温度关系式可以是；③温度每升高，声音在空气中传播速度增加．上述结论中，所有正确结论的序号是_________． 6．（24-25七年级下·陕西西安·月考）汽车开始行驶时，油箱中有油45升，如果每小时耗油6升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为______． 题型3 自变量的取值范围与函数值（共3小题） 7．（24-25七年级下·广东清远·期末）婴儿在个月生长发育非常快，他们的体重y（单位：）和月龄x（单位：月）之间的关系可以用来表示，其中a是婴儿出生时的体重．若某婴儿出生时的体重为，则该婴儿第3个月时的体重是（　　） A． B． C． D． 8．（22-23七年级下·陕西榆林·期末）如图，在长方形中，．点在上运动，设，图中阴影部分的面积为． (1)在这个变化过程中，自变量是_____________，因变量是_________________； (2)写出阴影部分的面积与之间的关系式； (3)点在什么位置时，阴影部分的面积为20？ 9．（23-24七年级下·重庆·期末）6月4日7时许，嫦娥六号将五星红旗在月球背面成功展开．该国旗是科研人员通过一年多时间攻关，利用玄武岩熔融拉丝技术制作而成的，具有更强的耐腐蚀性，耐高温，耐低温等优异性能．现科研人员将一块粉碎熔融的圆柱体玄武岩材料进行锻造拉丝，当圆柱的底面积由大到小变化时，圆柱的高也随之发生了变化，数据记录如下表所示： 圆柱的底面积 … 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.1 … 圆柱的高 … 24 30 40 60 120 240 … (1)在这个变化过程中，自变量是_____，因变量是_____； (2)当圆柱的底面积为时，圆柱的高是_____； (3)根据上表反映的规律写出锻造过程中圆柱的高与底面积之间的关系式，并标注自变量取值范围：_____； (4)科研人员将这块粉碎熔融的圆柱体玄武岩材料进行锻造拉丝，拉丝后的圆柱体底面直径是头发丝直径的三分之一，然后把它纺成线，织成布，从而制作成五星红旗．已知头发丝的直径是，请你计算说明这块圆柱体玄武岩材料能纺线多少cm?（结果保留π） 题型4 列关系式（共3小题） 10．（24-25七年级下·四川达州·期末）已知当某衬衣的定价为100元时，每月可卖出2000件，衬衣的价格每上涨10元，每月的销售量便减少50件，则该衬衣每月的销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元）之间的关系式为________；若某月售出衬衣1500件，则衬衣的单价为________元． 11．（24-25七年级下·甘肃张掖·期末）某小区物业打算将小区内的一块空地建成周长为米的长方形花园，若花园的宽为米，面积为平方米，则关于的关系式为______． 12．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）“6.18”购物节期间，某商场做优惠活动，对于标价超过600元的服饰先按标价减80元再打七折，小辰的妈妈在该商场购买了标价x元的服饰，则应付款y（元）与标价x（元）之间的关系式为________． 题型5 一次函数的概念（共3小题） 13．（24-25八年级下·云南红河·期末）常数项是的函数是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）下列四个函数中属于一次函数的是（   ） A． B． C． D． 15．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）下列各表达式中，表示y是x的一次函数的是（ ） A． B． C． D． 题型6 正比例函数的概念（共3小题） 16．（25-26八年级上·全国·期末）已知自变量为x的函数是正比例函数，则_______，该函数的表达式为_______． 17．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知函数是正比例函数，则___________． 18．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）若与成正比例，且当时，，则与的函数关系式是__________． 题型7 根据一次函数定义求参数（共3小题） 19．（24-25八年级下·云南红河·期末）已知函数是关于x的一次函数，则m的值为（   ） A． B．2 C． D．4 20．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）已知一次函数（为常数），若它的图象过原点，则m的值是_________． 21．（25-26八年级上·广东佛山·期末）已知直线与直线平行，则____． 题型8 利用一次函数解决分段计费问题（共3小题） 22．（25-26八年级上·山西运城·期中）某市为鼓励居民节约用电，计划采用分段计费的方法收取电费．月用电量不超过时，按元计费；月用电量超过时，其中的仍按元计费，超过的部分按元计费．若某户家庭月用电量为，则应交电费（单位：元）与月用电量之间的函数关系式为___________． 23．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）某文具商店销售某种文具时，顾客一次购买10件以内的（含10件）按原价付款，超过10件的，超出部分按原价的8折付款．若付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系如图所示，则这件商品每件的原价为______元． 24．（25-26八年级上·河南郑州·期中）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，某市出台了“阶梯价格”制度，具体收费标准如表所示： 阶梯 月用电量 单价元 第一档 第二档 第三档      (1)当时，写出电费（单位：元）与x之间的关系式； (2)小亮家6月份用电，应缴纳电费多少元？ (3)小亮家7月份开始用电增多，缴纳电费220元，求小亮家7月份的用电量． 题型9 正比例函数的图像（共3小题） 25．（24-25八年级下·云南临沧·期末）若点在正比例函数（k为常数，且）的图象上，则（   ） A．8 B．6 C．2 D．1 26．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·月考）下列图形能表示一次函数与正比例函数（，为常数，且）图象的是（    ） A．B． C． D． 27．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）一次函数与（a，b为常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C． D． 题型10 正比例函数的性质（共3小题） 28．（25-26八年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，点的坐标，将点关于轴对称得到点，若正比例函数的图象经过点，则的值为（   ） A．6 B． C． D． 29．（24-25八年级上·浙江·期末）已知点和点在正比例函数的图象上，则与的大小关系是（      ） A． B． C． D． 30．（25-26八年级上·山西运城·期中）平面直角坐标系第三象限内有一点P，它到x轴的距离为2，到y轴的距离为6，则直线的表达式为_________． 题型11 一次函数的图像（共3小题） 31．（24-25八年级上·山东青岛·期末）已知点在第三象限，则直线图象大致是下列的（　　） A． B． C． D． 32．（25-26八年级上·全国·期末）一次函数与（m，n常数，且）是在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ） A．B．C． D． 33．（24-25八年级下·云南丽江·期末）下列表示一次函数（是常数，且）的图象与正比例函数的图象可能的是（    ） A．B．C． D． 题型12 一次函数的性质（共3小题） 34．（24-25八年级下·山东临沂·期末）对于一次函数，下列结论中正确的个数是（   ） ①它的图象与y轴交于点，②y随x的增大而减小，③当时，，④它的图象经过第一、二、三象限． A．1 B．2 C．3 D．4 35．（24-25八年级下·山东临沂·期末）函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 36．（24-25七年级下·山东东营·期末）关于一次函数的图象，下列表述正确的是（    ） A．与轴交于点 B．经过第一、二、三象限 C．函数值随自变量的增大而减小 D．当时， 题型13 一次函数图像的平移（共3小题） 37．（24-25八年级下·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向左平移个单位长度后，图象经过点，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 38．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）若将直线向上平移3个单位长度，则关于平移后的直线，下列描述正确的是（    ） A．随的增大而减小 B．不经过第一象限 C．平移后的直线可看作二元一次方程 D．与轴交于点 39．（25-26八年级上·山东枣庄·月考）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．函数的图象不经过第二象限 B．函数的图象与轴的交点坐标是 C．函数的图象向下平移4个单位长度后得到的图象 D．若两点，在该函数图象上，则 题型14 一次函数的增减性（共3小题） 40．（24-25八年级下·山东临沂·期末）关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．与轴交点坐标为 B．若为图象上两点，当时， C．不会同时经过第一和第二象限 D．与一次函数的图象平行 41．（24-25八年级下·山东滨州·期末）已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 42．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）关于直线，下列说法错误的是（    ） A．图象与轴交于点 B．点，在图象上，当时， C．图象经过第一、二、四象限 D．图象经过定点 题型15 比较一次函数值的大小（共3小题） 43．（23-24七年级上·山东泰安·期末）已知点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是（  ） A． B． C． D．无法确定 44．（24-25八年级上·山东青岛·期末）点和都在直线上，则与的关系是（　　） A． B． C． D． 45．（24-25八年级下·山东滨州·期末）直线过点，，若，则与大小关系为________． 题型16 一次函数的规律探究问题（共3小题） 46．（23-24八年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、正方形．使得点均在直线上，点在轴正半轴上，则点的纵坐标是___________． 47．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…都在轴上，点，，，…都在直线上，，且，，，…，，…分别是以，，，…，，…为直角顶点的等腰直角三角形，则的面积是________ ． 48．（24-25八年级下·山东德州·月考）正方形，，按如图的方式放置，，，和点，，分别在直线和轴上，则点的横坐标是______． 题型17 利用一次函数解决实际问题（共3小题） 49．（24-25八年级上·广东深圳·期末）某服装经销商计划购进型、型两种型号的童装．若购进1件型童装和1件型童装需用50元，若购进2件型童装和3件型童装需用120元． (1)求每件型童装和每件型童装的进价各多少元； (2)该经销商计划用不超过2500元的成本，购进型童装和型童装共100件．若型童装的定价为260元；型童装的定价为220元，且全部以定价售完该批童装．该经销商获得的最大利润是多少？ 50．（25-26九年级上·广东深圳·期中）第十五届全运会将于年在粤港澳三地联合举办，口号为“激情全运会，活力大湾区（，）”全运会吉祥物是名为“喜洋洋”和“乐融融”的中华白海豚，寓意“喜气洋洋、其乐融融、团圆和美”．全运会特许商品零售店预售吉祥物“乐融融”，该吉祥物每个进价为元，规定售价不低于进价，现在售价为每个元，每天可销售个．经市场调查发现，若售价每降价元，则每天销售量将增加个，设每个吉祥物降价元（为整数），每天销售量为y个． (1)写出关于的函数表达式，并写出的取值范围； (2)设每天销售吉祥物“乐融融”的利润为元，零售店如何定价，才能使得每天销售吉祥物“乐融融”的利润最大？最大利润是多少元？ 51．（24-25八年级下·重庆巴南·期末）城有肥料200吨，城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往、两乡．从城运往、两乡运肥料的费用分别是每吨20元和25元，从城往、两乡运肥料的费用分别为每吨15元和24元，现在乡需要肥料240吨，乡需要肥料260吨． (1)若从城运往乡所需运费是从城运往乡所需运费的一半，求从A城运往D乡的肥料为多少吨？ (2)怎样调运化肥，可使总运费最少？最少运费是多少？ 题型18 一次函数与一元一次方程的关系（共3小题） 52．（24-25八年级下·山东聊城·期末）对于一次函数，下列结论错误的是（    ） A．函数值随自变量的增大而减小 B．函数图象不经过第一象限 C．函数图象与轴的交点坐标是 D．函数图象与函数的图象平行 53．（22-23七年级上·山东东营·期末）如图，直线经过点，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 54．（23-24七年级上·山东济宁·期末）已知一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则一元一次方程的解为_______． 题型19 两个一次函数图像的实际应用（共3小题） 55．（24-25八年级上·山东青岛·期末）某校八年级同学到距学校6千米的郊外春游，一部分同学步行，另一部分同学骑自行车，沿相同路线前往．如图，、分别表示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程（千米）与所用时间（分钟）之间的函数图象，则以下四个结论中正确的有______（填序号）． ①骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟； ②步行的速度是千米/时； ③骑车的同学从出发到追上步行的同学用了20分钟； ④骑车的同学和步行的同学同时到达目的地． 56．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）A、B两地相距，甲、乙两车从A地出发前往B地，在整个行程中，汽车离A地的距离与时间间的函数关系图象如图所示． (1)求甲车离A 地的距离与时间间的函数表达式； (2)求乙车离A 地的距离)与时间间的函数表达式． 57．（24-25七年级下·山东济南·期末）2025端午节济南大明湖举行龙舟赛活动，参赛队伍有15支．设若甲、乙两个龙舟队分别同时从起点出发，划行的路程y（米）与划行的时间x（分）（其中）之间满足的关系如图所示，根据图象所提供的信息，解答下列问题： (1)甲队划行的速度为_；当时，乙队划行的速度为_；当时，乙队划行的速度为_； (2)当_分钟时，甲、乙两队划行的路程相等； (3)求出当甲、乙两队划行的路程相差100米时x的值． 题型20 一次函数的几何变换（共3小题） 58．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，直线分别与轴、轴交于两点，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，又经直线反射后回到点，则光线所经过的路线长是（   ）    A． B．2 C． D． 59．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的，并写出的坐标； (2)计算：的面积； (3)若点P为轴上一动点，使得的值最小，直接写出点P的坐标． 60．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型21 一次函数动点问题（共3小题） 61．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图1，动点从的点A处出发，沿边匀速运动，当返回A点时停止运动，设点运动的路程为x，的面积为y，y与的函数图象如图2所示，则A到的距离为（   ） A．4 B． C． D．8 62．（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图①，在长方形中，动点以秒的速度从点出发，沿的方向运动至点处停止．设点运动的时间为秒，的面积为．若与之间的关系图象如图②所示，则长方形的面积是（    ） A． B． C． D． 63．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知直线：与x轴交于点A；直线与x轴交于点C，与y轴交于点，与直线交于点． (1)点A的坐标为_； (2)求直线的表达式； (3)直线上是否存在动点P，使得的面积等于面积的倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 一次函数 题型1 函数的概念 题型12 一次函数的性质（重难点） 题型2 函数的表示方法 题型13 一次函数图像的平移（难点） 题型3 自变量的取值范围与函数值（重点） 题型14 一次函数的增减性（难点） 题型4 列关系式 题型15 比较一次函数值的大小（重难点） 题型5 一次函数的概念 题型16 一次函数的规律探究问题（常考点） 题型6 正比例函数的概念 题型17 利用一次函数解决实际问题（常考点） 题型7 根据一次函数定义求参数 题型18 一次函数与一元一次方程的关系（重难点） 题型8 利用一次函数解决分段计费问题（重点） 题型19 两个一次函数图像的实际应用（难点） 题型9 正比例函数的图像 题型20 一次函数的几何变换（重难点） 题型10 正比例函数的性质 题型21 一次函数动点问题（重难点） 题型11 一次函数的图像（重难点） 题型1 函数的概念（共3小题） 1．（24-25六年级下·山东泰安·期末）在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中自变量、因变量分别是（     ） A．热水器里水的温度、所晒时间 B．热水器里水的温度、太阳光强弱 C．所晒时间、热水器的容积 D．所晒时间、热水器里水的温度 【答案】D 【分析】本题考查的是函数的概念，根据函数的定义，自变量是主动变化的量，因变量是随之变化的量．题目中水温的变化是由所晒时间的长短引起的，因此时间为自变量，水温为因变量． 【详解】解：在太阳能热水器加热过程中，水的温度随着所晒时间的增加而变化． 根据函数关系，所晒时间（自变量）是主动变化的量，水的温度（因变量）受时间影响而变化． 选项中只有D正确指出自变量为所晒时间，因变量为水温． 其他选项混淆了变量关系或引入无关量（如太阳光强弱、热水器容积），均不符合题意． 故选D． 2．（24-25六年级下·山东烟台·期末）五一”节放假期间，兄、弟两人沿同一路线登山，当兄出发时，弟已经在距地面的高度为处了，兄在登山时开始加速，兄、弟两人距地面的高度y（单位：m）与登山时间t（单位：min）的关系如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题． (1)在兄的登山过程中自变量是_，因变量是______； (2)求弟登山上升的速度及b的值； (3)兄出发______min后追上弟，此时距地面的高度为______m； (4)当兄距地面的高度为时停下等待弟，弟还需多长时间与兄会合？ 【答案】(1)登山时间；距地面的高度 (2)弟登山上升的速度为15米/分， (3)12，280 (4)当兄距地面的高度为400米时停下等待弟，弟还需3分钟才能与兄会合 【分析】本题主要考查函数的图象，考查学生从坐标系中提取信息的能力，掌握数形结合的方法是解答本题的关键． （1）根据函数的定义解答即可； （2）结合图象，根据“速度=路程÷时间”列式计算即可求解； （3）根据两条线段的交点坐标的意义解答即可； （4）根据“时间=路程÷速度”求出兄到达高度为400米时所需要的时间即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得，在兄的登山过程中自变量是登山时间，因变量是距地面的高度． 故答案为：登山时间；距地面的高度； （2）由题意可得，弟登山上升的速度为：（米/分）， ； （3）由图象可知，兄出发12分钟后追上弟，此时距地面的高度为280米； 故答案为：12，280； （4）兄出发2分钟后的速度为：（米/分）； 兄到达高度为400米时所需要的时间为：（分钟），（分钟）， 答：当兄距地面的高度为400米时停下等待弟，弟还需3分钟才能与兄会合． 3．（24-25六年级下·山东烟台·期末）地表以下岩层温度是研究地球内部热传递和热平衡的关键因素．通过对不同深度岩层温度的测量和分析，科学家可以构建地球内部的热结构模型． 测量发现，地表以下岩层的温度与它所处的深度有下表中的关系： 岩层的深度 1 2 3 4 5 6 … 岩层的温度 55 90 125 m 195 230 … (1)在上述变化过程中，自变量是______，因变量是______，表格中m的值为______； (2)请直接写出岩层的温度t与岩层的深度h之间的关系式； (3)当岩层的温度为时，求岩层的深度． 【答案】(1)岩层的深度h；岩层的温度t；160 (2) (3) 【分析】本题考查了函数关系式． （1）根据题意找出自变量、因变量，根据岩层的深度每增加，岩层的温度就升高计算即可得出m的值； （2）由表格列出，再整理即可； （3）把代入（2）中的函数关系式计算即可． 【详解】（1）解：在上述变化过程中，自变量是岩层的深度h； 因变量是岩层的温度t； 由表格可知，岩层的深度每增加，岩层的温度就升高， 表格中m的值为160； 故答案为：岩层的深度h；岩层的温度t；160； （2）岩层的深度每增加，岩层的温度就升高， ； （3）当时，即， 解得， 即岩层的深度为． 题型2 函数的表示方法（共3小题） 4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，下表是海拔高度与此高度处的气温之间的关系： 海拔高度 0 1 2 3 4 5 … 气温 20 14 8 2 … 下列说法错误的是（   ） A．海拔高度为自变量，气温为因变量 B．在一定范围内，海拔高度每增加，气温就下降 C．在一定范围内，气温t与海拔高度h之间的关系式为 D．当海拔高度为时，此高度处的气温是零下 【答案】D 【分析】本题主要考查常量与变量；根据表格数据，逐一判断选项，海拔高度每增加，气温下降，得到关系式在给定范围内成立，再把代入关系式计算，即可得出结果． 【详解】解：∵从表格数据可得， 海拔高度为自变量，气温为因变量，故A正确， 在一定范围内，海拔高度每增加，气温就下降，B正确， 当时，时，时，时，时，时，， ∴关系式成立．故C正确， 对于选项D，当时，，但选项D是，与计算不符， ∴选项D错误． 选项A、B、C均正确． 故选：D． 5．（23-24八年级下·吉林四平·期末）某科技小组在网上获取了声音在空气中传播速度与空气温度之间关系的一些数据，如下表所示： 空气温度 0 10 20 30 声音在空气中传播速度 318 324 330 336 342 348 给出下面三个结论：①空气温度越高声音在空气中传播速度越快；②声音在空气中传播速度与空气温度关系式可以是；③温度每升高，声音在空气中传播速度增加．上述结论中，所有正确结论的序号是_________． 【答案】①③ 【分析】本题考查了用表格表示变量之间的关系，正确从表格获取信息是解答本题的关键． 根据表格中所描述的声音在空气中传播的速度与空气中的温度之间的关系进行逐项分析，进行判断，即可作答． 【详解】解：由题意可得：在这变化过程中，空气的温度越高声音传播的速度越快，故①说法正确； 温度每升高，声音速度增加，故③说法正确； 即温度每升高，声音速度增加， 又∵温度为时，声音的速度是， ∴声音速度与关系式可以是，故②说法不正确； 故答案为：①③ 6．（24-25七年级下·陕西西安·月考）汽车开始行驶时，油箱中有油45升，如果每小时耗油6升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了函数关系式，本题关键是明确油箱内余油量，原有的油量，x小时消耗的油量，三者之间的数量关系，根据数量关系可列出函数关系式． 根据油箱内余油量=原有的油量−x小时消耗的油量，可列出函数关系式． 【详解】解：依题意得，油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为：． 故答案为：． 题型3 自变量的取值范围与函数值（共3小题） 7．（24-25七年级下·广东清远·期末）婴儿在个月生长发育非常快，他们的体重y（单位：）和月龄x（单位：月）之间的关系可以用来表示，其中a是婴儿出生时的体重．若某婴儿出生时的体重为，则该婴儿第3个月时的体重是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求解函数值，正确得出a，x的值是解题的关键．把a，x的值代入进而得出答案． 【详解】解：由题意可得：， 当时，（）． 故选C． 8．（22-23七年级下·陕西榆林·期末）如图，在长方形中，．点在上运动，设，图中阴影部分的面积为． (1)在这个变化过程中，自变量是_____________，因变量是_________________； (2)写出阴影部分的面积与之间的关系式； (3)点在什么位置时，阴影部分的面积为20？ 【答案】(1)的长，阴影部分的面积 (2)； (3)点到点的距离为3时，阴影部分的面积为20． 【分析】该题考查了变量、函数关系式，解题的关键是列出函数关系式． （1）根据题意即可解答； （2）根据梯形面积公式即可求出y与x的函数关系式； （3）直接将代入（1）中所得的关系式，从而可求得x的值． 【详解】（1）解：自变量是的长，因变量是阴影部分的面积； （2）解：因为， 所以图中阴影部分的面积为：， 所以阴影部分的面积与之间的关系式为； （3）解：由题意得，则， 解得：， 所以， 即点到点的距离为3时，阴影部分的面积为20． 9．（23-24七年级下·重庆·期末）6月4日7时许，嫦娥六号将五星红旗在月球背面成功展开．该国旗是科研人员通过一年多时间攻关，利用玄武岩熔融拉丝技术制作而成的，具有更强的耐腐蚀性，耐高温，耐低温等优异性能．现科研人员将一块粉碎熔融的圆柱体玄武岩材料进行锻造拉丝，当圆柱的底面积由大到小变化时，圆柱的高也随之发生了变化，数据记录如下表所示： 圆柱的底面积 … 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.1 … 圆柱的高 … 24 30 40 60 120 240 … (1)在这个变化过程中，自变量是_____，因变量是_____； (2)当圆柱的底面积为时，圆柱的高是_____； (3)根据上表反映的规律写出锻造过程中圆柱的高与底面积之间的关系式，并标注自变量取值范围：_____； (4)科研人员将这块粉碎熔融的圆柱体玄武岩材料进行锻造拉丝，拉丝后的圆柱体底面直径是头发丝直径的三分之一，然后把它纺成线，织成布，从而制作成五星红旗．已知头发丝的直径是，请你计算说明这块圆柱体玄武岩材料能纺线多少cm?（结果保留π） 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查函数的概念与实际应用，求函数的表示式，以及根据表达式求函数值，正确的求出函数的表示式是解题的关键． （1）根据当圆柱的底面积由大到小变化时，圆柱的高也随之发生了变化，可得自变量是圆柱的底面积，因变量是圆柱的高； （2）根据表格数据可知，与的乘积始终为，即可求出答案； （3）根据表格数据可知，与的乘积始终为，即可求出圆柱的高与底面积之间的关系式为：； （4）先求出圆柱体底面半径，再根据体积不变计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，在这个变化过程中，自变量是圆柱的底面积，因变量是圆柱的高． 故答案为：， ． （2）解：根据表格数据可知，与的乘积始终为， 所以当圆柱的底面积为时，圆柱的高是． 故答案为：． （3）解：根据表格数据可知，与的乘积始终为， 所以圆柱的高与底面积之间的关系式为：． 故答案为：． （4）解：由题意得，拉丝后的圆柱体底面半径， 体积， ． 答：这块圆柱体玄武岩材料能纺线． 题型4 列关系式（共3小题） 10．（24-25七年级下·四川达州·期末）已知当某衬衣的定价为100元时，每月可卖出2000件，衬衣的价格每上涨10元，每月的销售量便减少50件，则该衬衣每月的销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元）之间的关系式为________；若某月售出衬衣1500件，则衬衣的单价为________元． 【答案】 200 【分析】本题考查的是根据实际问题列一次函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键，难点是根据题意得到相应的数量的代数式． 根据某衬衣定价为100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨10元，销售量便减少50件，即可得到月售出衬衣的总件数y（件）与衬衣价格x（元）之间的关系式． 【详解】解：根据题意得：， 即该衬衣每月的销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元）之间的关系式为； 当时，， 解得：， 即某月售出衬衣1500件，则衬衣的单价为200元． 故答案为：；200 11．（24-25七年级下·甘肃张掖·期末）某小区物业打算将小区内的一块空地建成周长为米的长方形花园，若花园的宽为米，面积为平方米，则关于的关系式为______． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式，理解题意是解题的关键． 根据长方形的面积公式进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）“6.18”购物节期间，某商场做优惠活动，对于标价超过600元的服饰先按标价减80元再打七折，小辰的妈妈在该商场购买了标价x元的服饰，则应付款y（元）与标价x（元）之间的关系式为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了用关系式表示变量间的关系，解题的关键是理解题意．根据优惠规则，对于标价超过600元的服饰，先减80元，再打七折，即可得到应付款y与标价x的关系式． 【详解】解：标价x元，先减80元，得元，再打七折，即乘以，故应付款． 故答案为：． 题型5 一次函数的概念（共3小题） 13．（24-25八年级下·云南红河·期末）常数项是的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据常数项是函数中不含变量的常数部分，对于一次函数形式 中为常数项，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、中常数项为，原选项不符合题意； 、中常数项为，原选项符合题意； 、中常数项为，原选项不符合题意； 、中常数项为，原选项不符合题意； 故选：． 14．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）下列四个函数中属于一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的定义，掌握定义是解题关键．即一般地，形如，为常数，则是的一次函数，由一次函数的定义可得答案． 【详解】解：A、不是一次函数，故不符合题意； B、是一次函数，故符合题意； C、不是一次函数，故不符合题意； D、不是一次函数，故不符合题意； 故选：B． 15．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）下列各表达式中，表示y是x的一次函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的定义，判断每个选项是否符合（、为常数，，自变量次数为 ）的形式． 本题主要考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数（、为常数，，自变量次数为 ）的形式是解题的关键． 【详解】解：，自变量的次数是，不符合一次函数自变量次数为的要求，故A项不符合题意； ，符合一次函数（，，自变量次数为 ）的形式，故B项符合题意； 可写成，自变量的次数是，不是，不符合一次函数定义，故C项不符合题意； ，自变量的最高次数是，不符合一次函数自变量次数为的要求，故D项不符合题意． 故选：B． 题型6 正比例函数的概念（共3小题） 16．（25-26八年级上·全国·期末）已知自变量为x的函数是正比例函数，则_______，该函数的表达式为_______． 【答案】 3 【分析】此题考查了正比例函数，根据正比例函数的定义，函数中常数项必须为零，且比例系数不为零，据此求解即可． 【详解】∵自变量为x的函数是正比例函数， ∴，且， ∴ ∴该函数的表达式为． 故答案为：3，． 17．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知函数是正比例函数，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义，函数形式应为（其中），因此指数必须为 1 且系数不为零，由此计算即可得解，熟练掌握正比例函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴，， 解得， 故答案为：． 18．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）若与成正比例，且当时，，则与的函数关系式是__________． 【答案】/ 【分析】本题求正比例函数解析式，设，将和代入，求出k的值即可． 【详解】解：设， 将和代入，得：， 解得， 所以与的函数关系式是， 故答案为：． 题型7 根据一次函数定义求参数（共3小题） 19．（24-25八年级下·云南红河·期末）已知函数是关于x的一次函数，则m的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义，x的指数必须为1，且系数不能为0，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵函数是关于x的一次函数， ∴ ∴， 解得m的值为， 故选：A． 20．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）已知一次函数（为常数），若它的图象过原点，则m的值是_________． 【答案】1 【分析】本题考查一次函数的图像，熟练掌握一次函数的图像是解题的关键． 根据一次函数图象过原点，将点代入函数解析式，求解关于的方程． 【详解】将点代入， 得，即， 解得， 故答案为：1． 21．（25-26八年级上·广东佛山·期末）已知直线与直线平行，则____． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质． 根据两条直线平行时，k相等但b不同列方程求解即可． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴且 ∴且， ∴． 故答案为：． 题型8 利用一次函数解决分段计费问题（共3小题） 22．（25-26八年级上·山西运城·期中）某市为鼓励居民节约用电，计划采用分段计费的方法收取电费．月用电量不超过时，按元计费；月用电量超过时，其中的仍按元计费，超过的部分按元计费．若某户家庭月用电量为，则应交电费（单位：元）与月用电量之间的函数关系式为___________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意是解决本题的关键． 由于月用电量，电费计算分为两部分：前按元计费，超过部分按元计费即可． 【详解】解：根据题意可得，前的电费为元； 超过部分的电费为元， ∴总电费 ， 故答案为：． 23．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）某文具商店销售某种文具时，顾客一次购买10件以内的（含10件）按原价付款，超过10件的，超出部分按原价的8折付款．若付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系如图所示，则这件商品每件的原价为______元． 【答案】4 【分析】设这件商品每件的原价为a元，当购买的件数x超过10件时，所付的款数，再根据点在一次函数的图象上得，由此解出a即可得出答案． 此题主要考查了一次函数的应用，理解题意，正确的列出，当购买的件数x超过10件时，所付的款数元与件之间的函数关系，读懂函数的图象，并从函数的图象中获取准确的解题信息是解决问题的关键． 【详解】解：设这件商品每件的原价为a元， 当购买的件数x超过10件时，所付的款数， 整理得：， 根据元与件之间的函数关系可知：点在一次函数的图象上， ， 解得： 答：这件商品每件的原价为4元． 故答案为4． 24．（25-26八年级上·河南郑州·期中）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，某市出台了“阶梯价格”制度，具体收费标准如表所示： 阶梯 月用电量 单价元 第一档 第二档 第三档      (1)当时，写出电费（单位：元）与x之间的关系式； (2)小亮家6月份用电，应缴纳电费多少元？ (3)小亮家7月份开始用电增多，缴纳电费220元，求小亮家7月份的用电量． 【答案】(1)y与x的关系式为； (2)应缴纳电费129元； (3)小亮家7月份用电量为． 【分析】本题主要考查了一次函数及一元一次方程的应用，能根据题意列出函数关系式是解题的关键． （1）根据所给收费标准，得出y与x的关系式即可； （2）根据所给收费标准及用电量进行计算即可； （3）根据所给收费标准及电费进行计算即可； 【详解】（1）解：当时，月用电量属于第二组， 则， 所以y与x的关系式为； （2）解：将代入得， 元， 所以应缴纳电费129元； （3）解：因为，，且， 则将代入得， ， 解得， 所以小亮家7月份用电量为 题型9 正比例函数的图像（共3小题） 25．（24-25八年级下·云南临沧·期末）若点在正比例函数（k为常数，且）的图象上，则（   ） A．8 B．6 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的概念，已知点的坐标求比例系数，将点的坐标代入函数解析式求解即可． 【详解】解：∵点在函数图象上， ∴， ∴． 故选：C． 26．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·月考）下列图形能表示一次函数与正比例函数（，为常数，且）图象的是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数的图象有四种情况：①当，，函数的图象经过第一、二、三象限；②当，，函数的图象经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限． 根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论的符号，然后根据m、n同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断． 【详解】解：①当，m，n同号，同正时过一、二、三象限，同负时过二、三、四象限； ②当时，m，n异号，则过一、三、四象限或一、二、四象限． 故选：A． 27．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）一次函数与（a，b为常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键． 根据、的符号，分别判断出两个函数图象所经过的象限，注意分类讨论． 【详解】解：若、时， 则一次函数经过一、二、三象限，经过二、四象限， 若、时， 则一次函数经过一、三、四象限，经过一、三象限， 若、时， 则一次函数经过一、二、四象限，经过一、三象限， 若、时， 则一次函数经过二、三、四象限，经过二、四象限， 故选：D． 题型10 正比例函数的性质（共3小题） 28．（25-26八年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，点的坐标，将点关于轴对称得到点，若正比例函数的图象经过点，则的值为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式．根据对称性质求B点坐标，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴点B的坐标为． ∵正比例函数的图象经过点B， ∴， ∴． 故选：C． 29．（24-25八年级上·浙江·期末）已知点和点在正比例函数的图象上，则与的大小关系是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的增减性，熟练掌握时，y随x的增大而减小是解题的关键．根据正比例函数y随x的增大而减小可作出判断． 【详解】解：∵正比例函数，， ∴y随x的增大而减小， 又∵点和点中，， ∴， 故选：A． 30．（25-26八年级上·山西运城·期中）平面直角坐标系第三象限内有一点P，它到x轴的距离为2，到y轴的距离为6，则直线的表达式为_________． 【答案】/ 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征及正比例函数表达式的求解，解题的关键是根据点所在象限与点到坐标轴的距离确定点P的坐标，再用待定系数法求直线的表达式． 由第三象限点的横、纵坐标均为负，结合点到x轴、y轴的距离确定点P的坐标；设直线的表达式为，将点P坐标代入求出的值，进而得到表达式． 【详解】解：∵点P在第三象限，到x轴的距离为2，到y轴的距离为6， ∴点P的坐标为． 设直线的表达式为， 将代入得：， 解得， ∴直线的表达式为． 故答案为：． 题型11 一次函数的图像（共3小题） 31．（24-25八年级上·山东青岛·期末）已知点在第三象限，则直线图象大致是下列的（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象、点所在的象限，熟练掌握一次函数的图象特点是解题关键．先根据点所在的象限可得，则可得，再判断出一次函数图象经过的象限，由此即可得． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴， ∴， ∴直线图象经过第一、二、四象限， 故选：D． 32．（25-26八年级上·全国·期末）一次函数与（m，n常数，且）是在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数图象与系数的关系，分析一次项系数与常数项判断一次函数的大致图象是解题的关键． 首先通过分析一次项系数与常数项的符号，再逐一验证选项是否符合图象特征即可． 【详解】解：对于A：的图象从左到右上升，∴，与y轴交于正半轴，∴，即；此时的斜率，，图象应下降，且与y轴交于负半轴，∴与图象不符，故A错误； 对于B：的图象从左到右上升，∴，与y轴交于正半轴，∴，即；此时的斜率，，图象应下降，且与y轴交于负半轴，∴与图象相符合，故B正确； 对于C：的图象从左到右上升，∴，与y轴交于负半轴，∴，即；此时的斜率，，图象应上升，且与y轴交于负半轴，∴与图象不符，故C错误； 对于D：的图象从左到右上升，∴，与y轴交于负半轴，∴，即；此时的斜率，，图象应上升，且与y轴交于负半轴，∴与图象不符，故D错误； 故选：B． 33．（24-25八年级下·云南丽江·期末）下列表示一次函数（是常数，且）的图象与正比例函数的图象可能的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象与正比例函数图象的综合判断，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质以及正比例函数的图象与性质． 分别对每个选项中一次函数中的与正比例函数中的的符号进行判断是否一致即可． 【详解】解：A、由图象可得一次函数中，正比例函数中，矛盾，故本选项不符合题意； B、由图象可得一次函数中，正比例函数中，矛盾，故本选项不符合题意； C、由图象可得一次函数中，正比例函数中，矛盾，故本选项不符合题意； D、由图象可得一次函数中，正比例函数中，正确，故本选项符合题意； 故选：D． 题型12 一次函数的性质（共3小题） 34．（24-25八年级下·山东临沂·期末）对于一次函数，下列结论中正确的个数是（   ） ①它的图象与y轴交于点，②y随x的增大而减小，③当时，，④它的图象经过第一、二、三象限． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质．根据一次函数的图象与性质，逐一分析各结论的正确性即可． 【详解】解：结论①：当时，，故图象与y轴交于点 ，正确． 结论②：函数中，故y随x的增大而增大，而非减小，错误． 结论③：解不等式得，即当时，，结论③错误． 结论④：，图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，结论④错误． 故选：A 35．（24-25八年级下·山东临沂·期末）函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握、的符号与一次函数图象经过的象限之间的关系是解题的关键：当，时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当，时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当，时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当，时，一次函数图象经过第二、三、四象限．根据、的符号进行判断即可得出答案． 【详解】解：对于一次函数， ，， 函数图象经过第一、二、三象限， 即：函数图象不经过第四象限， 故选：D． 36．（24-25七年级下·山东东营·期末）关于一次函数的图象，下列表述正确的是（    ） A．与轴交于点 B．经过第一、二、三象限 C．函数值随自变量的增大而减小 D．当时， 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质逐一判断选项，即可解答，明确题意，熟练利用一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、当时，，则与轴交于点，原选项错误，不符合题意； 、由，，图象从左下方向右上方延伸，经过第一、二、三象限，原选项正确，符合题意； 、由，则随的增大而增大，原选项错误，不符合题意； 、当时，，且随增大而增大，故当时，，原选项错误，不符合题意； 故选：． 题型13 一次函数图像的平移（共3小题） 37．（24-25八年级下·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向左平移个单位长度后，图象经过点，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的平移，以及正比例函数图象上点的坐标特征，根据正比例函数平移的规律，向左平移m个单位后的解析式为．将点代入解析式即可求解m的值． 【详解】原函数向左平移m个单位后，解析式变为． ∵平移后的图象经过点， ∴将，代入，得方程： 解得：． 故选A． 38．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）若将直线向上平移3个单位长度，则关于平移后的直线，下列描述正确的是（    ） A．随的增大而减小 B．不经过第一象限 C．平移后的直线可看作二元一次方程 D．与轴交于点 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象的平移，一次函数的图象及性质．根据一次函数图象的平移规律得到新直线的解析式，再根据一次函数图象及性质逐一分析各选项是否正确即可． 【详解】解：向上平移3个单位，得到． A：平移后的直线随的增大而增大，故本选项描述错误； B：平移后的直线经过第一、二、三象限，故本选项描述错误； C：平移后的直线可整理为，与选项中的不符，故本选项的描述错误； D：对于直线，令，得，则直线与轴交于点，故本选项的描述正确． 故选：D 39．（25-26八年级上·山东枣庄·月考）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．函数的图象不经过第二象限 B．函数的图象与轴的交点坐标是 C．函数的图象向下平移4个单位长度后得到的图象 D．若两点，在该函数图象上，则 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，涉及一次函数的增减性，一次函数与坐标轴的交点，一次函数的平移等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据一次函数的图象与性质，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、∵，， ∴函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故此选项结论错误，不符合题意； B、当时，则，解得， ∴函数的图象与轴的交点坐标是，故此选项结论错误，不符合题意； C、函数的图象向下平移4个单位长度后得到， 即，故此选项结论正确，符合题意； D、∵， ∴函数的图象随的增大而减小， ∵， ∴，故此选项结论错误，不符合题意； 故选：C． 题型14 一次函数的增减性（共3小题） 40．（24-25八年级下·山东临沂·期末）关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．与轴交点坐标为 B．若为图象上两点，当时， C．不会同时经过第一和第二象限 D．与一次函数的图象平行 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象性质，掌握一次函数的图像性质是解题的关键．根据一次函数图像交点坐标、增减性、象限分布及直线平行条件需逐一分析各选项即可得出结论． 【详解】解：A. 一次函数与轴交点时，可得，解得，交点为，故选项说法错误，不符合题意； B. 当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，因符号未定，故选项说法不恒成立，不符合题意； C. 当时，函数的图象经过第一、二、三象限，当时，经过第二、三、四象限，故选项说法错误，不符合题意； D. 一次函数是由一次函数平移得到的，故选项说法正确，符合题意； 故选：D． 41．（24-25八年级下·山东滨州·期末）已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数的性质和各个选项中的条件，可以判断是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵直线， ∴y随x的增大而增大，直线过第一、三、四象限，当时，， ∵，，为直线上的三个点，且， ∴若，则，同号，但不能确定，的正负， 故选项A不符合题意； 若，则，异号， ∵， ∴，， ∴，在第三象限， ∴，， ∴， 故选项B符合题意； 若，则，同号，或，但不能确定、的正负， 故选项C不符合题意； 若，则，异号，，但不能确定、的正负，故选项D不符合题意； 故选：B． 42．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）关于直线，下列说法错误的是（    ） A．图象与轴交于点 B．点，在图象上，当时， C．图象经过第一、二、四象限 D．图象经过定点 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据一次函数图象的性质逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：A：当时，，故图象与轴交于，正确，故该选项不符合题意； B：当时，对于函数，随的增大而减小，，故，正确，故该选项不符合题意； C. 当时，，直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限，错误，故该选项符合题意； D. 将代入函数，，故图象恒过定点，正确，故该选项不符合题意． 故选：C． 题型15 比较一次函数值的大小（共3小题） 43．（23-24七年级上·山东泰安·期末）已知点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是（  ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质、实数的大小比较等知识点，熟知一次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的性质，可得y随x的增大而减小，再判断即可． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵点，在一次函数的图象上，且， ∴． 故选：C 44．（24-25八年级上·山东青岛·期末）点和都在直线上，则与的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，由，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，再结合即可得出． 【详解】解：， ， 随x的增大而减小， 又， ． 故选：D． 45．（24-25八年级下·山东滨州·期末）直线过点，，若，则与大小关系为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质， 根据时，一次函数中函数值y随着x的增大而减小，再判断即可. 【详解】解：因为一次函数中， 所以函数值y随着x的增大而减小. 因为，， 所以. 故答案为：. 题型16 一次函数的规律探究问题（共3小题） 46．（23-24八年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、正方形．使得点均在直线上，点在轴正半轴上，则点的纵坐标是___________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点、的坐标，同理可得出、、、、的坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律，依此规律即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得， ∴点的坐标为． ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为． 当时，有，解得：， ∴点的坐标为． 同理，可得出：， ∴的纵坐标为（为正整数）， ∴点的纵坐标是． 故答案为：． 47．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…都在轴上，点，，，…都在直线上，，且，，，…，，…分别是以，，，…，，…为直角顶点的等腰直角三角形，则的面积是________ ． 【答案】 【分析】本题属于规律探索的问题，熟悉等腰直角三角形的性质以及一次函数的特点是解题的关键．找出，，，…，面积之间的规律，根据规律即可求出的面积． 【详解】解：由题意得， ∴将代入， 则， ∴， ∵，，，…，，…分别是以，，，…，，…为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，则； ，则； ，则， ……， ，则， ∴的面积为． 故答案为：． 48．（24-25八年级下·山东德州·月考）正方形，，按如图的方式放置，，，和点，，分别在直线和轴上，则点的横坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，点的坐标变化规律，分别求出点的横坐标，可得点的横坐标为，即得点的横坐标为，进而即可求解，找到点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵直线，当时，， ， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ， ∴点的横坐标为， 把代入，得， ， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ， ∴点的横坐标为， 同理可得，， ∴点的横坐标为， , 点的横坐标为， 设，则， ∴②①，得, 即， ∴点的横坐标为， ∴点的横坐标是， 故答案为：． 题型17 利用一次函数解决实际问题（共3小题） 49．（24-25八年级上·广东深圳·期末）某服装经销商计划购进型、型两种型号的童装．若购进1件型童装和1件型童装需用50元，若购进2件型童装和3件型童装需用120元． (1)求每件型童装和每件型童装的进价各多少元； (2)该经销商计划用不超过2500元的成本，购进型童装和型童装共100件．若型童装的定价为260元；型童装的定价为220元，且全部以定价售完该批童装．该经销商获得的最大利润是多少？ 【答案】(1)每件型童装的进价30元，每件型童装的进价20元 (2)该经销商获得最大利润是21500元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设每件型童装的进价是元，每件型童装的进价是元，根据购进1件型童装和1件型童装需用50元，购进2件型童装和3件型童装需用120元，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进件型童装，则购进件型童装，根据进货总价不超过2500元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设售完该批童装该经销商获得的总利润为元，利用总利润=每件型童装的销售利润购进型童装的数量+每件型童装的销售利润购进型童装的数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）设每件型童装的进价元，每件型童装的进价元， 根据题意得：， 解得：， 答：每件型童装的进价30元，每件型童装的进价20元． （2）设购进型童装件，则型童装件，利润为元，根据题意得： 即：， 随着的增大而增大， 当时，最大，最大值为： 该经销商获得最大利润是21500元 50．（25-26九年级上·广东深圳·期中）第十五届全运会将于年在粤港澳三地联合举办，口号为“激情全运会，活力大湾区（，）”全运会吉祥物是名为“喜洋洋”和“乐融融”的中华白海豚，寓意“喜气洋洋、其乐融融、团圆和美”．全运会特许商品零售店预售吉祥物“乐融融”，该吉祥物每个进价为元，规定售价不低于进价，现在售价为每个元，每天可销售个．经市场调查发现，若售价每降价元，则每天销售量将增加个，设每个吉祥物降价元（为整数），每天销售量为y个． (1)写出关于的函数表达式，并写出的取值范围； (2)设每天销售吉祥物“乐融融”的利润为元，零售店如何定价，才能使得每天销售吉祥物“乐融融”的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)，且为整数； (2)当定价为56元时，才能使得每天销售吉祥物“乐融融”的利润最大，最大利润为2112元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用、二次函数的最值问题，熟练掌握根据实际问题列函数表达式并利用函数性质求解是解题的关键． （1）解题思路：根据“销售量原销售量降价增加的数量”列出函数表达式，结合“定价不低于进价”确定的范围； （2）根据“利润=（售价进价降价）销售量”列出利润函数，结合二次函数性质求最大值． 【详解】（1）解：由题意可得， ∵ 定价不低于进价，即， ∴ ， 又∵ 为非负整数， ∴ 且为整数； （2）解：； ， ∵，且x为整数， ∴当时，最大值为2112，此时定价为． ∴当定价为56元时，才能使得每天销售吉祥物“乐融融”的利润最大，最大利润为2112元 51．（24-25八年级下·重庆巴南·期末）城有肥料200吨，城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往、两乡．从城运往、两乡运肥料的费用分别是每吨20元和25元，从城往、两乡运肥料的费用分别为每吨15元和24元，现在乡需要肥料240吨，乡需要肥料260吨． (1)若从城运往乡所需运费是从城运往乡所需运费的一半，求从A城运往D乡的肥料为多少吨？ (2)怎样调运化肥，可使总运费最少？最少运费是多少？ 【答案】(1)从城运往乡的化肥为110吨 (2)从城运往乡化肥0吨，从A城运往乡化肥200吨，从城运往乡化肥240吨，从城运往乡化肥60吨时，总运费最少，为10040元 【分析】本题考查了一次函数的应用，难点在于表示出运往各地的化肥吨数． （1）设从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，根据题意得：，求解即可． （2）设从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，总运费为y，然后根据总运费的表达式列式整理，再根据运往各地的肥料数不小于0列式求出x的取值范围，根据一次函数的增减性解答即可.. 【详解】（1）解：设从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨； 由题意得：，解得：， （吨） 答：从A城运往D乡的化肥为110吨： （2）解：设从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨，从城运往乡化肥吨； 由题意得：利润， ，随增大而增大． 又 当时，总运费最少，最少为（元） 答：从A城运往C乡化肥0吨，从A城运往D乡化肥200吨，从B城运往C乡化肥240吨，从B城运往D乡化肥60吨时，总运费最少，为10040元． 题型18 一次函数与一元一次方程的关系（共3小题） 52．（24-25八年级下·山东聊城·期末）对于一次函数，下列结论错误的是（    ） A．函数值随自变量的增大而减小 B．函数图象不经过第一象限 C．函数图象与轴的交点坐标是 D．函数图象与函数的图象平行 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，包括增减性、图象所经象限、与坐标轴的交点及图象的平行．根据一次函数解析式，分析各选项的正误即可． 【详解】A．∵，∴函数值随自变量增大而减小，结论正确，不符合题意． B．∵，，函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，结论正确，不符合题意． C．令，解方程得，故与轴交点为，而非，结论错误，符合题意． D．函数与的自变量系数均为，故两图象平行，结论正确，不符合题意． 故选C． 53．（22-23七年级上·山东东营·期末）如图，直线经过点，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程．根据直线经过点，利用数形结合的思想即可解决问题． 【详解】解：由题知，方程的解可看成函数的图象和直线交点的横坐标， 由所给函数图象可知， 直线和直线的交点坐标为， 方程的解为． 故选：A． 54．（23-24七年级上·山东济宁·期末）已知一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则一元一次方程的解为_______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键．根据“一次函数与一元一次方程的关系”求解． 【详解】解：∵一次函数的图象与x轴的交点坐标为， ∴一元一次方程的解为：， 故答案为：． 题型19 两个一次函数图像的实际应用（共3小题） 55．（24-25八年级上·山东青岛·期末）某校八年级同学到距学校6千米的郊外春游，一部分同学步行，另一部分同学骑自行车，沿相同路线前往．如图，、分别表示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程（千米）与所用时间（分钟）之间的函数图象，则以下四个结论中正确的有______（填序号）． ①骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟； ②步行的速度是千米/时； ③骑车的同学从出发到追上步行的同学用了20分钟； ④骑车的同学和步行的同学同时到达目的地． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据一次函数的图象上特殊点的坐标和实际意义逐项判断即可求解，熟练掌握函数图象信息是解题的关键． 【详解】解：①骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟，①正确； ②，步行的速度是（千米/时），②正确； ③骑车的同学从出发到追上步行的同学用了（分钟），③正确； ④骑车的同学到达目的地时间为54分钟，步行的同学到达目的地时间为60分钟，不同时到达目的地，④不正确． ∴正确的有①②③， 故答案为：①②③． 56．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）A、B两地相距，甲、乙两车从A地出发前往B地，在整个行程中，汽车离A地的距离与时间间的函数关系图象如图所示． (1)求甲车离A 地的距离与时间间的函数表达式； (2)求乙车离A 地的距离)与时间间的函数表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）在中，当时，，再利用待定系数法计算即可得解． 【详解】（1）解：设甲车离A 地的距离与时间间的函数表达式为， 将代入函数解析式可得：， 解得， ∴甲车离A 地的距离与时间间的函数表达式为； （2）解：在中，当时，， 设乙车离A 地的距离)与时间间的函数表达式， 将，代入函数解析式可得， 解得：， ∴乙车离A 地的距离)与时间间的函数表达式． 57．（24-25七年级下·山东济南·期末）2025端午节济南大明湖举行龙舟赛活动，参赛队伍有15支．设若甲、乙两个龙舟队分别同时从起点出发，划行的路程y（米）与划行的时间x（分）（其中）之间满足的关系如图所示，根据图象所提供的信息，解答下列问题： (1)甲队划行的速度为_；当时，乙队划行的速度为_；当时，乙队划行的速度为_； (2)当_分钟时，甲、乙两队划行的路程相等； (3)求出当甲、乙两队划行的路程相差100米时x的值． 【答案】(1)200米/分，300米/分，100米/分 (2)4 (3)1，3或5 【分析】本题考查函数的图象，一元一次方程，利用数形结合的思想解答和分类讨论的思想解答是解答本题的关键． （1）结合图象，利用速度等于路程除以时间，即可求出甲队的速度以及乙队在时和时的速度； （2）结合图象，可知在时间2分钟后，两者划行的路程相等，根据路程相等列方程求解即可； （3）结合图象，可知在和两个时间段内，都存在甲、乙两队划行的路程相差100米的情况，分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：由图象可知，甲队划行的速度为：（米/分）； 当时，乙队划行的速度为：（米/分）； 当时，乙队划行的速度为：（米/分）； 故答案为：200米/分，300米/分，100米/分． （2）设时间为x时，甲、乙两队划行的路程相等， 由图象可知，在2分钟后，即划行600米后，甲、乙两队的图象相交，此时对应路程相等， ， 解得， 即分钟时，甲、乙两队划行的路程相等； （3）根据甲、乙的函数图象可知， ①当，乙比甲快，在时，两者划行的路程相差最大为(米)， 在存在一个时刻，两者划行的路程相差100米，设时间为x分，则， 解得，符合题意； ②当，由于在时，两者划行的路程相差为200米，甲、乙相遇后，甲超过乙，并在时，两者划行的路程相差为， 在存在两个时刻，两者划行的路程相差100米， 设时间为x分，则 或 解得或，符合题意； 综上所述，即当，3或5分钟时，甲、乙两队划行的路程相差100米． 题型20 一次函数的几何变换（共3小题） 58．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，直线分别与轴、轴交于两点，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，又经直线反射后回到点，则光线所经过的路线长是（   ）    A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的应用，轴对称的性质，勾股定理等知识点，由题意由题意知的点点，点，设光线分别射在上的M、N处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点，反射角等于入射角，则；．由而求得． 【详解】解：由题意知中， 当时，， 当时，，得到； ∴点，点， ∴， ∴，    ∵点， 设光线分别射在上的M、N处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点， 根据反射规律，则． 作出点P关于的对称点，作出点P关于的对称点， 则， ∴共线，， ∵， 即； ∴． 故选：A． 59．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于y轴对称的，并写出的坐标； (2)计算：的面积； (3)若点P为轴上一动点，使得的值最小，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)见解析， (2) (3) 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，利用网格求三角形面积，一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可，再结合图形写出的坐标； （2）利用割补法求三角形面积即可； （3）连接交轴于，连接，此时的值最小，利用待定系数法求出直线的解析式为，即可得解． 【详解】（1）解：如图，即为所作， 由图可得：； （2）解：的面积为； （3）解：连接交轴于，连接， 由轴对称的性质可得：， ∴， 故当点、、在同一直线上时，的值最小， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为． 60．（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数解析式的求解、轴对称的性质，求一次函数的解析式时常用待定系数法，本题的解题关键是作定点的两个对称点． 作点关于直线的对称点，关于轴的对称点，则，通过轴对称的性质可求出，待定系数法可求出 的直线方程，结合轴对称的性质可得当，在同一直线上时三角形周长最小，与 联立可求出E的坐标即可． 【详解】解：作 点关于直线的对称点，连接 ，于 轴的对称点 ，则 由题意知，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B， 故，即 是等腰直角三角形， ∵关于对称， ∴， ∴ 轴，， ∴， 则 的周长， 根据两点之间线段最短可得，当 ， 在同一直线上时，三角形周长最小， 设直线 的解析式为， 则 解得 ， ∴直线 的解析式为， 与直线联立得 ， 解得，， ∴， 故选∶A． 题型21 一次函数动点问题（共3小题） 61．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图1，动点从的点A处出发，沿边匀速运动，当返回A点时停止运动，设点运动的路程为x，的面积为y，y与的函数图象如图2所示，则A到的距离为（   ） A．4 B． C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查了动点与函数图形的综合，熟练掌握三角形面积公式，函数图象的增减性，是解题的关键． 根据题意可得点点P在边上时，的面积为0，由函数图象得，当点P在边上由B到C时，的面积由0增大到24，由函数图象得，由三角形面积公式求得A到的距离为． 【详解】解：∵点P从的点A处出发，沿边匀速运动， 当点P在边上时， 的面积为0， 由图2看出， 当点P在边上由B到C时， 的面积由0增大到24， 由图2看出， 则A到的距离为． 故选：C． 62．（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图①，在长方形中，动点以秒的速度从点出发，沿的方向运动至点处停止．设点运动的时间为秒，的面积为．若与之间的关系图象如图②所示，则长方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是根据y与x的函数图象求出长方形的长和宽． 根据的面积与点P的位置的关系分情况讨论，结合图②求出长方形的长和宽，再由长方形的面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意得：动点P从点B出发，沿运动至点A停止， 当点P在点B，C之间运动时，， 的面积， 由图②得，当时，y到达最大值，此时点P到达点C处， ∴； 当点P运动到点C，D之间时， 的面积，保持不变， 由图②得，当时，点P运动到点A， ∴， ∴长方形的面积． 故选：B． 63．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知直线：与x轴交于点A；直线与x轴交于点C，与y轴交于点，与直线交于点． (1)点A的坐标为_； (2)求直线的表达式； (3)直线上是否存在动点P，使得的面积等于面积的倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数与面积的综合问题，用待定系数法求一次函数的解析式，求一次函数与x轴的交点坐标，熟练掌握一次函数与面积的综合问题是解题的关键． （1）令，得到方程，求解方程即得答案； （2）用待定系数法求一次函数的解析式即可； （3）设点，当点P在射线上时，根据，得到，再根据三角形面积公式列方程求出点P的纵坐标，即可进一步得到答案；当点P在射线上时，可得，再根据三角形面积公式列方程求出点P的纵坐标，即可进一步得到答案． 【详解】（1）解：令，则， 解得， 点A的坐标为． 故答案为：． （2）解：设直线的表达式为， 将，的坐标代入，得， 解得， 直线的表达式为； （3）解：设点， 当点P在射线上时，即点在处， ， ， ， 解得， ， 解得， ； 当点P在射线上时，即点在处， ， ， ， 解得， ， 解得， ； 综上所述，存在动点P，使得的面积等于面积的倍，点P的坐标为或． / 学科网（北京）股份有限公司 $