专题04 实数全章22题型（期末复习专项训练）七年级数学上学期新教材鲁教版五四制

专题04实数 题型1 无理数的定义 题型12 算数平方根、平方根、立方根综合（难点） 题型2 实数及其分类 题型13 立方根的应用 题型3 实数的大小比较 题型14 规律探索（难点） 题型4 利用算术平方根进行计算 题型15 二次根式的概念 题型5 利用算术平方根的非负性求值（重点） 题型16 二次根式的乘法（重点） 题型6 无理数整数部分的有关计算（常考点） 题型17 二次根式的除法（重点） 题型7 算数平方根的实际应用 题型18 最简二次根式（重点） 题型8 平方根的定义（易错点） 题型19 二次根式的加减运算 题型9 开平方及简单应用 题型20 分母有理化（难点） 题型10 立方根的概念及性质 题型21 二次根式的混合运算（重难点） 题型11 开立方运算 题型22 二次根式的化简求值（重难点） 题型1 无理数的定义（共3小题） 1．（25-26八年级上·全国·期末）在0，，，，…（相邻两个1之间0的个数逐次加）中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级上·全国·期末）下列七个实数：，，，，，，，其中无理数的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（25-26八年级上·四川资阳·期中）下列各数，，，，，，中，无理数有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 题型2 实数及其分类（共3小题） 4．（24-25七年级下·山东滨州·期末）在，，0，，，，13，（每两个3之间依次增加一个2）中，有理数的个数有（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（24-25七年级下·山东济宁·期末）下列四个数中，属于有理数的是（   ） A． B． C．3．1010010001…（相邻1之间依次多一个0） D． 6．（24-25七年级下·吉林白山·期末）在实数、、0、、、中，有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型3 实数的大小比较（共3小题） 7．（24-25八年级下·山东青岛·期末）比较大小：______3．（选填“>”“<”或“=”） 8．（24-25七年级下·山东德州·期末）比较大小：_____1 9．（24-25八年级下·山东滨州·期末）把一条线段分为两部分，此时较短线段与较长线段之比等于较长线段与整条线段之比，这个比值就是黄金数，即为．比较大小：________（填“”“”或“”） 题型4 利用算术平方根进行计算（共3小题） 10．（23-24七年级上·山东泰安·期末）下列说法中正确的是（    ） A．9的平方根是3 B． C．的算术平方根是4 D．的立方根是 11．（25-26八年级上·全国·期末）9的算术平方根是（    ） A． B．3 C．9 D． 12．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图，正方形的面积为10，点A表示的数为1，以点A为圆心，的长为半径画圆，交数轴于M，N两点（点M在点N的左侧），则点M表示的数为 _____ ． 题型5 利用算术平方根的非负性求值（共3小题） 13．（24-25八年级下·山东青岛·期末）若三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，则这个三角形的形状为（  ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 14．（24-25七年级下·山东临沂·期末）已知实数，满足，则代数式的立方根是______． 15．（24-25八年级下·山东聊城·期末）已知的三边分别为、、，且，求的面积． 题型6 无理数整数部分的有关计算（共3小题） 16．（24-25七年级下·山东德州·期末）请写出一个整数部分为2的无理数___________． 17．（24-25七年级上·山东烟台·期末）已知：的算术平方根是2，的立方根为，c是的整数部分．求的值． 18．（24-25七年级下·山东日照·期末）已知的平方根是，是的立方根，c是的小数部分，则的值为________． 题型7 算数平方根的实际应用（共3小题） 19．（24-25七年级下·山东临沂·期末）如图，将长为8，宽为4的长方形纸片分割成3个三角形后，恰好拼成一个正方形，则正方形边长最接近的整数是_______． 20．（24-25七年级下·山东济宁·期末）二十五宝玺为清代乾隆皇帝指定的代表国家政权的二十五方御用国宝的总称，其中大清受命之宝，白玉质，面是正方形．已知玉玺面的面积为，则其边长为（   ） A． B． C． D． 21．（24-25七年级下·山东济南·期末）（1）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点均在格点上． ①的长度为 ___________；的面积=___________； ②在图（1）中作出关于直线l对称的； ③若点P为直线l上的一点，在图（1）中标出的值最小时点P的位置．（仅用无刻度的直尺在网格中完成画图） （2）如图（2），在的正方形网格中，点A，B在格点上． ①请在网格中找出一个格点C（一个即可），使成为轴对称图形，画出； ②符合条件的格点C有___________个． 题型8 平方根的定义（共3小题） 22．（24-25七年级下·山东滨州·期末）下列四种说法：①1的平方根是1；②的立方根是；③介于和之间的实数都是无理数；④是无理数．其中正确的说法是（   ） A．①②③④ B．②③④ C．①③ D．②④ 23．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）下列说法错误的是（    ） A．是16的平方根 B．17是的算术平方根 C．的算术平方根是 D．0.9的算术平方根是0.03 24.（25-26七年级上·山东临沂·期中）下列说法不正确的是 （    ）． A．既不是正数也不是负数 B．绝对值是本身的数是和正数 C．的倒数是它本身 D．不是有理数 题型9 开平方及简单应用（共3小题） 25．（25-26八年级上·甘肃·期末）的平方根是（    ） A． B． C． D． 26．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）已知的算术平方根是，的立方根为1，求的平方根． 27．（25-26八年级上·广西柳州·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是2，是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 题型10 立方根的概念及性质（共3小题） 28．（24-25七年级下·山东济宁·期末）下列说法中错误的是（    ） A．是5的算术平方根 B．0的平方根和立方根都是0 C．的平方根是±3 D．是的一个平方根 29．（24-25七年级下·山东济宁·期末）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 30．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型11 开立方运算（共3小题） 31．（24-25八年级下·山东聊城·期末）已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 32．（24-25七年级下·河南许昌·期末）已知，，，则______． 33．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）计算：． 题型12 算数平方根、平方根、立方根综合（共3小题） 34．（25-26八年级上·广西柳州·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是2，是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 35．（24-25七年级上·山东烟台·期末）已知：的算术平方根是2，的立方根为，c是的整数部分．求的值． 36．（24-25七年级下·吉林·期末）是的立方根，是14的算术平方根，求的平方根． 题型13 立方根的应用（共3小题） 37．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体．如果这个几何体的体积为，那么每个小正方体的棱长为（    ） A． B． C． D． 38．（25-26八年级上·上海闵行·期中）如图①，由8个同样大小的正方体组成一个“二阶魔方”，整个魔方的体积为．图①中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，若把正方形放到数轴上，如图②．使得点与重合．若以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴交于点，那么点在数轴上表示的数为_______． 39．（24-25七年级下·山东济宁·期末）综合与实践 在综合实践课上，老师让同学们用一张正方形纸片制作一个无盖长方体盒子． (1)操作计算：如图①，在边长为a的正方形的四个角分别剪去边长为b的小正方形，再将剩余部分折成无盖长方体盒子，如图②． 计算：ⅰ．折成的长方体盒子的高______；（用含a或b的代数式表示）． ⅱ．折成的长方体盒子的底面面积______．（用含a或b的代数式表示） (2)规律探究：设图①中正方形纸片的边长为，小正方形的边长b取不同值时，对应的长方体盒子的容积如下表： 边长 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 容积 40.5 m 73.5 72 62.5 n 31.5 16 4.5 ⅰ．表格中，______，______； ⅱ．在图③中近似画出长方体盒子的容积随小正方形边长变化的趋势图，并根据趋势图写出一条正确的信息：______． (3)拓展应用：如图④，该长方形纸片的长是宽的2倍，且小正方形的边长等于长方形宽的，剪去小正方形后，若用剩余纸片折成的长方体盒子的容积为，求长方形纸片的长． 题型14 规律探索（共3小题） 40．（24-25七年级下·山东临沂·期末）按一定规律排列的代数式：1，，，，，…，第4049个代数式是________ 41．（24-25七年级下·山东临沂·期末）下面是一个按某种规律排列的数阵： 第一行            1     第二行            2          第三行          3                第四行            4                ……           …… 根据数阵规律，第八行第十五个数是（   ） A． B． C． D． 42.（23-24八年级下·山东泰安·期末）计算：＝_____________． 题型15 二次根式的概念（共3小题） 43．（24-25八年级下·云南红河·期末）下列式子中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 44．（24-25八年级下·广西河池·期末）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 45．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 题型16 二次根式的乘法（共3小题） 46．（24-25八年级下·山东淄博·期末）计算的结果是______． 47．（24-25八年级上·全国·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 48．（24-25八年级下·山东济宁·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型17 二次根式的除法（共3小题） 49．（24-25八年级下·山东烟台·期末）下列各式中，化简正确的是（  ） A． B． C． D． 50．（24-25八年级下·山东聊城·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 51．（24-25八年级下·山东烟台·期末）下列运算正确的是（    ）． A． B． C． D． 题型18 最简二次根式（共3小题） 52．（24-25八年级下·山东烟台·期末）若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ）． A． B． C． D． 53．（24-25八年级下·山东威海·期末）下列根式和是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 54．（24-25八年级下·山东聊城·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型19 二次根式的加减运算（共3小题） 55．（24-25八年级下·山东淄博·期末）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 56．（24-25八年级下·山东临沂·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 57．（24-25八年级下·山东烟台·期末）计算： (1) (2) 题型20 分母有理化（共3小题） 58．（24-25八年级下·山东泰安·期末）在进行二次根式运算时，我们有时会遇到这样的式子，小明和小新对这类式子有不同的化简方法． 小明的方法： 小新的方法： (1)请你选择一种你喜欢的方法化简：． (2)化简：． 59．（24-25八年级下·山东德州·期末） 为我们定义一种运算——取一个实数的整数部分，即取出不超过实数x的最大整数，简称取整，记为．这里，其中是一个整数，，a称为实数x的“小数部分”，记作，所以有．例如，，，，． 关于取整运算有部分性质如下： ①； ②若n为整数，则． 请根据以上材料，解决问题： (1)________；若，则________（用含的式子表示）； (2)记，求； (3)若，求x的值． 60．（24-25八年级下·山东聊城·期末）先阅读，再解答：由可以看出，如果两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，那么我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如： ． 请完成下列问题： (1)的有理化因式是______； (2)化去式子分母中的根号：______；（直接写结果） (3)利用你发现的规律计算：． 题型21 二次根式的混合运算（共3小题） 61．（24-25八年级上·山东青岛·期末）计算： (1)； (2)． 62．（24-25八年级下·山东淄博·期末）（1）计算：； （2）已知，，求的值． 63．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）计算： (1) (2) 题型22 二次根式的化简求值（共3小题） 64．（23-24八年级下·山东·期末）计算∶ (1)； (2)先化简，再求值∶，其中． 65．（24-25八年级下·山东临沂·期末）（1）计算：； （2）已知，求代数式的值． 66．（24-25八年级下·山东泰安·期末）解方程： 阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 这种方法称为“构造对偶式”． 问题：已知． (1)求的值； (2)求x的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04实数 题型1 无理数的定义 题型12 算数平方根、平方根、立方根综合（难点） 题型2 实数及其分类 题型13 立方根的应用 题型3 实数的大小比较 题型14 规律探索（难点） 题型4 利用算术平方根进行计算 题型15 二次根式的概念 题型5 利用算术平方根的非负性求值（重点） 题型16 二次根式的乘法（重点） 题型6 无理数整数部分的有关计算（常考点） 题型17 二次根式的除法（重点） 题型7 算数平方根的实际应用 题型18 最简二次根式（重点） 题型8 平方根的定义（易错点） 题型19 二次根式的加减运算 题型9 开平方及简单应用 题型20 分母有理化（难点） 题型10 立方根的概念及性质 题型21 二次根式的混合运算（重难点） 题型11 开立方运算 题型22 二次根式的化简求值（重难点） 题型1 无理数的定义（共3小题） 1．（25-26八年级上·全国·期末）在0，，，，…（相邻两个1之间0的个数逐次加）中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无限不循环小数即为无理数，逐一判断每个数，即可作答． 【详解】解：依题意，0是整数，是有理数； ∵是π的倍数，π是无理数， ∴是无理数； ∵无意义， 则不是实数，故不是无理数， ，…（相邻两个1之间0的个数逐次加）都是无限不循环小数，都是无理数； ∴无理数有3个， 故选：C 2．（25-26八年级上·全国·期末）下列七个实数：，，，，，，，其中无理数的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，关键是熟练掌握定义并进行判断； 无理数是无限不循环小数，包括开方开不尽的数和等. 逐个判断每个实数是否为无理数． 【详解】解：∵ 是整数，是有理数； ∵ 是无理数， ∵ 是分数，是有理数； ∵ 中是无理数， ∴ 是无理数； ∵ ，是整数，是有理数； ∵ 是有限小数，是有理数； ∵ 是无限不循环小数，是无理数； ∴ 无理数共个． 故答案选：B． 3．（25-26八年级上·四川资阳·期中）下列各数，，，，，，中，无理数有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查无理数的概念，关键区分有限小数、无限循环小数（有理数）和无限不循环小数（无理数） 无理数是无限不循环小数，不能表示为两个整数的比，逐个判断各数的类型即可． 【详解】解：∵ 是有限小数， ∴ 是有理数； ∵ 是无理数， ∴ 是无理数； ∵ 是无限不循环小数， ∴ 是无理数； ∵ 是有限小数， ∴ 是有理数； ∵ 是无理数； ∵是分数， ∴ 是有理数； ∵ 是整数， ∴ 是有理数； ∴ 无理数共个； 故选：C． 题型2 实数及其分类（共3小题） 4．（24-25七年级下·山东滨州·期末）在，，0，，，，13，（每两个3之间依次增加一个2）中，有理数的个数有（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查有理数的定义，根据有理数的定义（整数和分数，包括有限小数和无限循环小数），逐一判断各数是否为有理数． 【详解】解：：整数，属于有理数； ：分数，属于有理数； 0：整数，属于有理数； ：即，分数，属于有理数； ：含无理数π，属于无理数； ：有限小数，属于有理数； 13：整数，属于有理数； （每两个3之间依次增加一个2）：虽有一定规律，但无循环节，属于无理数． 综上，有理数有6个（、、0、、、13）， 故选：B． 5．（24-25七年级下·山东济宁·期末）下列四个数中，属于有理数的是（   ） A． B． C．3．1010010001…（相邻1之间依次多一个0） D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数和有理数，掌握其定义是解决此题的关键． 根据无理数是无限不循环小数，有理数分为整数和分数，进行判断即可． 【详解】A：是圆周率，属于无限不循环小数，是无理数，故本选项不符合题意； B：是分数，属于有理数，故本选项符合题意； C：3．1010010001…（相邻1之间依次多一个0），属于无限不循环小数，是无理数，故本选项不符合题意； D：无法化简为整数或分数，属于无理数，故本选项不符合题意； 故选：B． 6．（24-25七年级下·吉林白山·期末）在实数、、0、、、中，有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了实数的分类，以及有理数的概念． 根据有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，判断每个数是否满足定义，并统计符合定义的个数，即可解题． 【详解】解：∵是无理数（5不是完全平方数）， （分数）是有理数， 0（整数）是有理数， 是无理数， （整数）是有理数， （有限小数）是有理数， ∴有理数有4个， 故选：D． 题型3 实数的大小比较（共3小题） 7．（24-25八年级下·山东青岛·期末）比较大小：______3．（选填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查了实数大小比较，算术平方根，利用平方法比较大小即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·山东德州·期末）比较大小：_____1 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，做题关键是掌握比较大小的方法．通过平方法估算的范围，进而可知的范围，则可得结果． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·山东滨州·期末）把一条线段分为两部分，此时较短线段与较长线段之比等于较长线段与整条线段之比，这个比值就是黄金数，即为．比较大小：________（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，不等式的性质等知识，根据夹逼法得出，，根据不等式的性质得出，进而得出，然后根据不等式的性质即可求解． 【详解】解∶∵，， ∴，， 即，， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为∶． 题型4 利用算术平方根进行计算（共3小题） 10．（23-24七年级上·山东泰安·期末）下列说法中正确的是（    ） A．9的平方根是3 B． C．的算术平方根是4 D．的立方根是 【答案】B 【分析】本题考查平方根、算术平方根和立方根的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．根据定义逐项判断即可． 【详解】解： 9的平方根是，A选项只说了3，忽略负根，∴ A错误； ，∵ ，∴ B正确； ，4的算术平方根是2，∴ C错误； 的立方根是，不是，∴ D错误． 故选：B． 11．（25-26八年级上·全国·期末）9的算术平方根是（    ） A． B．3 C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根是非负的平方根是解题关键．9的算术平方根是正数3． 【详解】解：9的算术平方根是3， 故选：B． 12．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图，正方形的面积为10，点A表示的数为1，以点A为圆心，的长为半径画圆，交数轴于M，N两点（点M在点N的左侧），则点M表示的数为 _____ ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，根据正方形面积计算公式可得的长，即可得到的长，再用点A表示的数减去的长即可得到答案． 【详解】解：∵正方形的面积为10， ∴， ∵在数轴上点A表示的数为1，点M在点A的左侧，且， ∴点M表示的数为， 故答案为：． 题型5 利用算术平方根的非负性求值（共3小题） 13．（24-25八年级下·山东青岛·期末）若三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，则这个三角形的形状为（  ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，非负数的性质，根据绝对值非负性，算术平方根的非负性质得方程求出出a，b，c的值，再利用勾股定理的逆定理即可得出三角形的形状． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴这个三角形是等腰直角三角形， 故选：D． 14．（24-25七年级下·山东临沂·期末）已知实数，满足，则代数式的立方根是______． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，求代数式的值，求立方根，先根据非负数的性质求出，，再求出的值，最后根据立方根的定义计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴代数式的立方根是， 故答案为：2． 15．（24-25八年级下·山东聊城·期末）已知的三边分别为、、，且，求的面积． 【答案】30 【分析】本题考查了二次根式的应用，非负数的性质，先求出的值，再判断的形状，最后求出面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 的面积． 题型6 无理数整数部分的有关计算（共3小题） 16．（24-25七年级下·山东德州·期末）请写出一个整数部分为2的无理数___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的定义以及无理数的估算，解题的关键是掌握无理数估算的方法．设这个无理数为，根据题意可得：，即，即可求解． 【详解】解：设这个无理数为 这个无理数的整数部分为2， ，即， （答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一）． 17．（24-25七年级上·山东烟台·期末）已知：的算术平方根是2，的立方根为，c是的整数部分．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，实数的运算，无理数的估算等知识，根据算术平方根和立方根的定义得到，，再利用无理数的估算得到，再求出a、b，然后把它们代入所求的代数式中进行有理数的混合运算即可． 【详解】解：的算术平方根是2，的立方根为，c是的整数部分． ，，， 解得，，， 原式． 18．（24-25七年级下·山东日照·期末）已知的平方根是，是的立方根，c是的小数部分，则的值为________． 【答案】/ 【分析】本题考查平方根、立方根，估算无理数的大小，掌握算术平方根、立方根的定义是正确解答的关键．根据平方根、立方根的定义以及估算无理数的方法进行解答即可． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， 解得， ∵是的立方根， ∴， 解得； 又∵c是的小数部分，而， ∴， ∴． 故答案为：． 题型7 算数平方根的实际应用（共3小题） 19．（24-25七年级下·山东临沂·期末）如图，将长为8，宽为4的长方形纸片分割成3个三角形后，恰好拼成一个正方形，则正方形边长最接近的整数是_______． 【答案】6 【分析】本题考查算术平方根的应用，无理数的估算，根据拼接过程中面积不变，求出正方形的面积，进而求出边长，利用夹逼法进行估算即可． 【详解】解：由题意，正方形的面积为：， ∴边长为， ∵， ∴， ∴正方形边长最接近的整数是6； 故答案为：6． 20．（24-25七年级下·山东济宁·期末）二十五宝玺为清代乾隆皇帝指定的代表国家政权的二十五方御用国宝的总称，其中大清受命之宝，白玉质，面是正方形．已知玉玺面的面积为，则其边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是算术平方根的应用，已知正方形面积为，求边长，根据正方形面积公式，边长等于面积的算术平方根即可得出结论． 【详解】解：设正方形边长为，则面积为， ， 综上，边长为， 故选：B． 21．（24-25七年级下·山东济南·期末）（1）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点均在格点上． ①的长度为 ___________；的面积=___________； ②在图（1）中作出关于直线l对称的； ③若点P为直线l上的一点，在图（1）中标出的值最小时点P的位置．（仅用无刻度的直尺在网格中完成画图） （2）如图（2），在的正方形网格中，点A，B在格点上． ①请在网格中找出一个格点C（一个即可），使成为轴对称图形，画出； ②符合条件的格点C有___________个． 【答案】（1）①，5；②见解析；③见解析 （2）①见解析；②4 【分析】本题考查了利用网格求三角形的面积，算术平方根的应用，作轴对称图形，轴对称最短线段问题，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． （）①利用算术平方根的定义求解，利用割补法计算面积即可；②根据轴对称图形的性质作图即可；③连接，与直线相交于点，点即为所求； （）①根据轴对称图形的性质画图即可；②根据①所画图形即可求解； 【详解】（1）解：①：以为边作正方形， 则 ∴（舍负）， 的面积， 故答案为：，； ②如图所示，即为所求； ③如上图，点即为所求； （2）解：①如图所示，即为所求； ②由图可知，符合条件的格点有个， 故答案为：． 题型8 平方根的定义（共3小题） 22．（24-25七年级下·山东滨州·期末）下列四种说法：①1的平方根是1；②的立方根是；③介于和之间的实数都是无理数；④是无理数．其中正确的说法是（   ） A．①②③④ B．②③④ C．①③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题考查了平方根、立方根、有理数、无理数的概念的应用，区别有理数和无理数是解题关键．逐一分析四个说法的正确性，结合平方根、立方根、有理数与无理数的定义进行判断． 【详解】解：①：1的平方根是，故错误； ②：的立方根是，故正确； ③：，则与之间存在有理数，故错误； ④：是无理数，故正确． 综上，正确的说法是②④． 故选：D． 23．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）下列说法错误的是（    ） A．是16的平方根 B．17是的算术平方根 C．的算术平方根是 D．0.9的算术平方根是0.03 【答案】D 【分析】本题考查了平方根、算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根的定义是解题的关键． 根据平方根与算术平方根的定义，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、是16的平方根，故原说法正确，不符合题意； B、17是的算术平方根，故原说法正确，不符合题意； C、的算术平方根是，故原说法正确，不符合题意； D、0．9的算术平方根不是0．03，故原说法错误，符合题意； 故选：D． 24.（25-26七年级上·山东临沂·期中）下列说法不正确的是 （    ）． A．既不是正数也不是负数 B．绝对值是本身的数是和正数 C．的倒数是它本身 D．不是有理数 【答案】D 【分析】本题考查有理数、绝对值、倒数和立方根的概念，准确分析判断是解题的关键． 正确理解有理数、绝对值、倒数和立方根的定义是解题基础，逐项判断即可； 【详解】选项：既不是正数也不是负数，正确； 选项：绝对值是本身的数是和正数（负数的绝对值是相反数，不是本身），正确； 选项：的倒数是，是它本身，正确； 选项：，是有理数，错误， 故选． 题型9 开平方及简单应用（共3小题） 25．（25-26八年级上·甘肃·期末）的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根、算术平方根的概念，先计算的值，再求其平方根． 【详解】解：∵， ∴ 2 的平方根是 ， 即 的平方根是． 故选：C． 26．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）已知的算术平方根是，的立方根为1，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的概念，立方根的概念，求一个数的平方根． 根据算术平方根的概念，立方根的概念求出，，则，求其平方根即可． 【详解】解：的算术平方根是，的立方根为1， ，， 解得，． ， 的平方根为． 27．（25-26八年级上·广西柳州·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是2，是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，熟练掌握平方根、算术平方根、立方根的定义是解题的关键． （1）根据立方根，算术平方根的定义，无理数的估算分别求得的值，进而求解即可； （2）由（1）可知，再代入求值，根据平方根的定义，即可求解． 【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是2，是的整数部分，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴的平方根为． 题型10 立方根的概念及性质（共3小题） 28．（24-25七年级下·山东济宁·期末）下列说法中错误的是（    ） A．是5的算术平方根 B．0的平方根和立方根都是0 C．的平方根是±3 D．是的一个平方根 【答案】C 【分析】本题考查平方根与算术平方根的概念，需逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：选项A：是5的算术平方根， 算术平方根是非负数，且满足，故A正确； 选项B：0的平方根和立方根都是0， 平方根和立方根的定义中，0的平方根和立方根均为0，故B正确； 选项C：的平方根是， ，而3的平方根应为，而非，的平方是9，属于的平方根混淆错误，故C错误； 选项D：是的一个平方根， ，9的平方根为，因此是9的一个平方根，故D正确； 故选C． 29．（24-25七年级下·山东济宁·期末）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的性质，由已知可得与互为相反数，即得，进而解方程即可求解，掌握立方根的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与互为相反数， 即， 解得， 故选：． 30．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方根和立方根的概念及计算，注意被开方数的取值范围和根式的性质是解题的关键； 直接分析计算每个选项即可判断． 【详解】A、∵ 被开方数不能为负数，∴ 无意义，故此选项错误； B、∵ 表示25的算术平方根，∴ ，故此选项正确； C、∵ ，∴ ，故此选项错误； D、∵ ，∴ ，故此选项错误； 故选：B． 题型11 开立方运算（共3小题） 31．（24-25八年级下·山东聊城·期末）已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先根据算术平方根的定义确定x的值，再计算的值，最后求其立方根． 本题主要考查了算术平方根的定义和立方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵x是5的算术平方根， ∴， ∴， 的立方根， ∴的立方根是， 故选：C． 32．（24-25七年级下·河南许昌·期末）已知，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点移动规律是解题的关键．根据立方根的小数点就向左移动一位，其被开方数小数点向左移动三位即可求出的值． 【详解】解：∵，， ， 故答案为：． 33．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）计算：． 【答案】3 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握算术平方根，立方根的意义是解答本题的关键． 先计算算术平方根，立方根，再计算绝对值，最后计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 题型12 算数平方根、平方根、立方根综合（共3小题） 34．（25-26八年级上·广西柳州·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是2，是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，熟练掌握平方根、算术平方根、立方根的定义是解题的关键． （1）根据立方根，算术平方根的定义，无理数的估算分别求得的值，进而求解即可； （2）由（1）可知，再代入求值，根据平方根的定义，即可求解． 【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是2，是的整数部分，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴的平方根为． 35．（24-25七年级上·山东烟台·期末）已知：的算术平方根是2，的立方根为，c是的整数部分．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，实数的运算，无理数的估算等知识，根据算术平方根和立方根的定义得到，，再利用无理数的估算得到，再求出a、b，然后把它们代入所求的代数式中进行有理数的混合运算即可． 【详解】解：的算术平方根是2，的立方根为，c是的整数部分． ，，， 解得，，， 原式． 36．（24-25七年级下·吉林·期末）是的立方根，是14的算术平方根，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了立方根、算术平方根和平方根的概念，掌握这些概念是解题的关键．根据是的立方根，是14的算术平方根，求出x、的值，代入求值即可得结果． 【详解】解：是的立方根，是14的算术平方根， ， 的平方根为． 题型13 立方根的应用（共3小题） 37．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体．如果这个几何体的体积为，那么每个小正方体的棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的实际应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先求出大正方体的棱长，即可求出每个小正方体的棱长． 【详解】解：根据题意得几何体的边长为， 每个小正方体的棱长为， 故选：B． 38．（25-26八年级上·上海闵行·期中）如图①，由8个同样大小的正方体组成一个“二阶魔方”，整个魔方的体积为．图①中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，若把正方形放到数轴上，如图②．使得点与重合．若以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴交于点，那么点在数轴上表示的数为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出正方形的边长． 先用立方体的体积公式求出魔方的棱长，然后再求出侧面的面积，进而可求出的边长，进而可求出点代表的数． 【详解】解：∵魔方的体积为， ∴魔方的棱长为：， ∴侧面面积为：， ∴正方形的面积为：， ∴正方形的边长为：， ∴点与重合．若以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴交于点，点在数轴上表示的数为， 故答案为： ． 39．（24-25七年级下·山东济宁·期末）综合与实践 在综合实践课上，老师让同学们用一张正方形纸片制作一个无盖长方体盒子． (1)操作计算：如图①，在边长为a的正方形的四个角分别剪去边长为b的小正方形，再将剩余部分折成无盖长方体盒子，如图②． 计算：ⅰ．折成的长方体盒子的高______；（用含a或b的代数式表示）． ⅱ．折成的长方体盒子的底面面积______．（用含a或b的代数式表示） (2)规律探究：设图①中正方形纸片的边长为，小正方形的边长b取不同值时，对应的长方体盒子的容积如下表： 边长 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 容积 40.5 m 73.5 72 62.5 n 31.5 16 4.5 ⅰ．表格中，______，______； ⅱ．在图③中近似画出长方体盒子的容积随小正方形边长变化的趋势图，并根据趋势图写出一条正确的信息：______． (3)拓展应用：如图④，该长方形纸片的长是宽的2倍，且小正方形的边长等于长方形宽的，剪去小正方形后，若用剩余纸片折成的长方体盒子的容积为，求长方形纸片的长． 【答案】(1)ⅰ．b．ⅱ． (2)ⅰ．64，48，ii，见解析 (3)长方形纸片的长为 【分析】本题主要考查了几何体的展开与折叠，列代数式，长方体的体积公式，立方根的应用； （1）根据剪去的小正方形边长为b可知，长方体盒子底部的长与宽均为，然后根据长方形的面积公式列式即可； （2）根据长方体体积公式，分别代入计算即可求出m，n；根据表格中的数据在坐标系中描点，再用平滑的曲线连接起来，观察趋势图即可写出一个正确的信息； （3）设正方形的边长为x，进一步写出长方形的长与宽，依据长方体体积公式列出方程，求出正方形的边长，从而求得长方形纸片的长． 【详解】（1）解：∵剪去的小正方形边长为b， ∴，长方体盒子底部的长与宽均为， ∴底面积， 故答案为：ⅰ．b．ⅱ．； （2）ⅰ．当时，， 当时，； 故答案为：64；48； ②趋势图如下： 信息为：当小正方形的边长大于2时，折成的长方体盒子的容积随着的增大而减小；（答案不唯一） （3）设小正方形的边长为， 由题意可知，长方形的宽为，长为， ∴折成的长方体盒子的容积， ∴， ∴， ∴长方形纸片的长为． 题型14 规律探索（共3小题） 40．（24-25七年级下·山东临沂·期末）按一定规律排列的代数式：1，，，，，…，第4049个代数式是________ 【答案】 【分析】本题主要考查了规律题，正确分析得出规律的变化情况是解题的关键； 先确定系数及字母指数的变化规律，进而得出答案． 【详解】解：因为第1个式子为， 第2个式子为， 第3个式子为， 第4个式子为， 所以第4049个式子为 故答案为：． 41．（24-25七年级下·山东临沂·期末）下面是一个按某种规律排列的数阵： 第一行            1     第二行            2          第三行          3                第四行            4                ……           …… 根据数阵规律，第八行第十五个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数阵的排列规律，需确定第八行第十五个数对应的被开方数．通过观察数阵，每行末尾数的被开方数为行数与的乘积，且每行有个数．利用此规律推导第八行的起始和末尾数，进而定位第十五个数的位置． 【详解】解：根据题中规律确定每行末尾数：， 则第行的末尾数为． 故第八行末尾数为． 根据题中规律每行数的个数是：， 则第行有个数， 故第八行共有个数． 定位第八行第十五个数：第十五个数为倒数第二个数（因总数为16）．末尾数的被开方数为，倒数第二个数的被开方数为，故该数为． 综上，第八行第十五个数为， 故选：B． 42.（23-24八年级下·山东泰安·期末）计算：＝_____________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则是解题的关键．先利用积的乘法和平方差公式进行计算，再根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：原式 = ， 故答案为：． 题型15 二次根式的概念（共3小题） 43．（24-25八年级下·云南红河·期末）下列式子中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，熟练掌握二次根式的定义是解此题的关键． 根据二次根式的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】二次根式需满足根指数为且被开方数， 对于：，根指数为，不是二次根式； 对于：，被开方数，无意义，不是二次根式； 对于：，，，恒成立，是二次根式； 对于：，当时，，被开方数不能保证为非负数，不属于二次根式的式子； 故选． 44．（24-25八年级下·广西河池·期末）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式，根据二次根式的定义，形如，这样的式子叫做二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，不符合题意； B、是二次根式，符合题意； C、不是二次根式，不符合题意； D、，，不是二次根式，不符合题意； 故选B． 45．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根、立方根和平方根的定义，求出，的值是解题关键；先根据算术平方根和立方根的根指数定义列出方程组，求解得到的值，再代入的表达式求出，最后计算的立方根． 【详解】解：由题意知：， 解得：，， ∴ ∴，， ∴ ∴的立方根等于． 题型16 二次根式的乘法（共3小题） 46．（24-25八年级下·山东淄博·期末）计算的结果是______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用二次根式的乘除法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 47．（24-25八年级上·全国·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算，二次根式的定义，根据二次根式的运算法则和二次根式定义逐一排除即可，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 【详解】解：、与不能合并，原选项计算错误，不符合题意； 、被开方数为非负数，则无意义，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、与不能合并，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 48．（24-25八年级下·山东济宁·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 根据二次根式的加减法对A、B、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断． 【详解】解：A、与不属于同类二次根式，不能合并，故A不符合题意； B、与不属于同类二次根式，不能合并，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、与不属于同类二次根式，不能合并，故D不符合题意； 故选：C． 题型17 二次根式的除法（共3小题） 49．（24-25八年级下·山东烟台·期末）下列各式中，化简正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的化简及运算，根据二次根式的性质化简及二次根式的运算法则逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：选项A：，但原式结果为，错误； 选项B：，错误； 选项C： 无法合并为（因），错误； 选项D：，正确． 故选：D． 50．（24-25八年级下·山东聊城·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的运算性质，明确算理是解决问题的关键．运用二次根式的运算性质逐一检验即可． 【详解】A、与不是同类二次根式，不能合并； 故A选项错误； B、根据二次根式的除法法则，，故 ； 故B选项正确； C、平方根的结果非负，，而非 ； 故C选项错误； D. 合并同类二次根式，，而非 ； 故D选项错误． 故选： B 51．（24-25八年级下·山东烟台·期末）下列运算正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．根据二次根式的运算，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故此选项运算错误； B、，故此选项运算正确； C、，故此选项运算错误； D、，故此选项运算错误； 故选：B． 题型18 最简二次根式（共3小题） 52．（24-25八年级下·山东烟台·期末）若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式，化简二次根式，由最简二次根式与可以合并，可知与是同类二次根式，由此求出m的值，代入计算即可． 【详解】解：由题意知与是同类二次根式， ， 解得， ， 故选B． 53．（24-25八年级下·山东威海·期末）下列根式和是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式，正确理解同类二次根式的定义是解题关键．先根据二次根式的性质化简个选项根式，再根据含有相同的被开方数的最简二次根式是同类二次根式判断即可． 【详解】解：A、，和不是同类二次根式，不符合题意； B、，和不是同类二次根式，不符合题意； C、，和是同类二次根式，符合题意； D、，和不是同类二次根式，不符合题意； 故选：C． 54．（24-25八年级下·山东聊城·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算性质，包括加减、乘除及化简，需逐一分析各选项的正确性． 【详解】选项A：二次根式加减需为同类根式（被开方数相同），而与不同类，无法合并，故A错误； 选项B：根据二次根式除法法则：，则，故B错误； 选项C：化简：，故C正确； 选项D： 根据算术平方根的非负性：，故D错误； 故选：C． 题型19 二次根式的加减运算（共3小题） 55．（24-25八年级下·山东淄博·期末）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的加减乘除运算，掌握二次根式运算法则是解题的关键． 根据二次根式的加减乘除运算法则验证算式的正误即可． 【详解】解：A．有理数3与无理数不能直接合并，结果为，而表示3乘以，显然不等，故该选项计算错误，不符合题意； B．二次根式减法需被开方数相同才能合并，与无法相减得到，实际差值为，故该选项计算错误，不符合题意； C．根据二次根式乘法法则：等式成立，故该选项计算正确，符合题意； D．根据二次根式除法法则：结果不等于，故该选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 56．（24-25八年级下·山东临沂·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，二次根式的乘法及减法运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则． 逐一验证各选项的二次根式运算是否正确，依据二次根式的化简及运算法则进行判断． 【详解】解：选项A：， 化简得，则左边为，右边，显然，故选项A错误，不符合题意； 选项B：， 根据二次根式乘法法则，，与右边相等，故选项B正确，符合题意； 选项C：， 合并同类项得，而右边为2，显然，故选项C错误，不符合题意； 选项D：， 化简，则左边为，右边为，显然，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 57．（24-25八年级下·山东烟台·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算二次根式的除法、乘法、化简二次根式，再计算二次根式的加减法即可得； （2）先计算二次根式的乘法、化简二次根式，再计算二次根式的乘法，然后计算二次根式的加减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 题型20 分母有理化（共3小题） 58．（24-25八年级下·山东泰安·期末）在进行二次根式运算时，我们有时会遇到这样的式子，小明和小新对这类式子有不同的化简方法． 小明的方法： 小新的方法： (1)请你选择一种你喜欢的方法化简：． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了分母有理化的知识，解题的关键是理解题意，掌握分母有理化的两种方法． （1）首先理解题意，根据题目的解析，即可利用两种不同的方法化简求得答案； （2）结合题意，可将原式化为，继而求得答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 59．（24-25八年级下·山东德州·期末） 为我们定义一种运算——取一个实数的整数部分，即取出不超过实数x的最大整数，简称取整，记为．这里，其中是一个整数，，a称为实数x的“小数部分”，记作，所以有．例如，，，，． 关于取整运算有部分性质如下： ①； ②若n为整数，则． 请根据以上材料，解决问题： (1)________；若，则________（用含的式子表示）； (2)记，求； (3)若，求x的值． 【答案】(1)3；； (2) (3)或． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，弄清定义，熟练掌握不等式的基本性质，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据定义直接求解即可； （2）先进行分母有理化，找出无理数的取值范围，再根据定义求解即可； （3）先得出，再求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴；； （2） ， ， ， ； （3）， ， ， 解得； ； 是整数， 或， 解得或． 60．（24-25八年级下·山东聊城·期末）先阅读，再解答：由可以看出，如果两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，那么我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如： ． 请完成下列问题： (1)的有理化因式是______； (2)化去式子分母中的根号：______；（直接写结果） (3)利用你发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3)2024 【分析】本题考查了二次根式的运算、分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据有理化因式的定义即可解答； （2）利用有理化因式，化去分母中的根号即可； （3）利用的规律化简式子，再利用平方差公式即可计算． 【详解】（1）解：， 所以的有理化因式是． 故答案为：； （2）解：． 故答案为：； （3）解：， 原式 ． 题型21 二次根式的混合运算（共3小题） 61．（24-25八年级上·山东青岛·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式混合运算，熟练掌握二次根式运算法则、完全平方和平方差公式是解题的关键． （1）先根据地二次根式性质化简二次根式，再根据二次根式除法法则计算，最后合并同类二次根式即可； （2）先运用完全平方公式计算，再计算加减即可． 【详解】（1）解：原式= =； （2）解：原式= = =． 62．（24-25八年级下·山东淄博·期末）（1）计算：； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查二次根式的混合运算，化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键： （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）求出的值，将代数式转化为，整体代入法进行求解即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2） ， ． 63．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式混合运算，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键． （1）先把各二次根式化简，再根据平方差与完全平方公式计算，然后合并即可； （2）先把各二次根式化简，再根据二次根式乘除法法则计算，然后合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型22 二次根式的化简求值（共3小题） 64．（23-24八年级下·山东·期末）计算∶ (1)； (2)先化简，再求值∶，其中． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查二次根式的混合运算，化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）根据混合运算的法则进行计算即可； （2）根据平方差公式，单项式乘以多项式的法则进行计算，化简后，再代值计算即可． 【详解】（1）解：原式； ； （2）原式； 当时， 原式 ． 65．（24-25八年级下·山东临沂·期末）（1）计算：； （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）3；（2） 【分析】本题考查二次根式的化简求值，灵活运用二次根式的性质进行解题是关键． （1）先进行二次根式的乘除法运算，然后再进行减法运算即可； （2）将利用完全平方公式进行变形，得到，然后代入进行计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）由可得， 则， ， 即， ∴． 66．（24-25八年级下·山东泰安·期末）解方程： 阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 这种方法称为“构造对偶式”． 问题：已知． (1)求的值； (2)求x的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握题干给定的方法，是解题的关键： （1）根据题干给定的方法，进行求解即可； （2）将两式相加后，利用平方法解方程即可． 【详解】（1）解： ， ， ， 的值为2； （2）由（1）得：，， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解． / 学科网（北京）股份有限公司 $