专题04 实数（期末复习讲义，6知识+19大题型精讲+分层通关练）七年级数学上学期新教材鲁教版五四制

该初中数学实数专题复习讲义通过表格系统梳理知识模块，涵盖无理数与实数概念、平方根与立方根等五大模块，明确核心考点、复习目标及考情规律，并用层次结构呈现知识点内在联系，突出重难点分布。 讲义亮点在于19种题型的精准分类，如无理数定义辨析、算术平方根非负性应用等，每种题型配有解题技巧和典例，培养抽象能力与运算能力。分层练习设计满足不同学生需求，基础通关练夯实基础，重难突破练提升能力，助力教师实施精准化教学。

专题04 实数（期末复习讲义） 知识模块 核心考点 复习目标 考情规律 1. 无理数与实数概念 1. 无理数：无限不循环小数（如π、√2）。 2. 实数：有理数与无理数的统称。 3. 实数与数轴上的点一一对应。 1. 能辨析无理数，理解实数的定义与分类。 2. 理解实数与数轴的对应关系。 选择题、填空题高频考点。主要考查：①从π、带根号（非完全平方数）、构造数（如0.101001…）中识别无理数；②理解数轴的稠密性。 2. 平方根与算术平方根 1. 平方根：若x²=a，则x是a的平方根，记作±√a。 2. 算术平方根：非负的平方根，记作√a（a≥0）。 3. 性质：√a ≥ 0； (√a)² = a（a≥0）。 1. 理解并区分平方根与算术平方根的概念、符号。 2. 掌握求一个非负数的算术平方根，估算近似值。 必考核心。考查方式：①选择题、填空题直接求算术平方根或平方根；②结合非负性（√a ≥ 0）进行求值或化简。易错点：混淆表示法与“±”符号的意义。 3. 立方根 1. 定义：若x³=a，则x是a的立方根，记作³√a。 2. 性质：³√a可为任意实数；(³√a)³ = a。 1. 理解立方根与平方根在定义、符号、性质上的区别。 2. 掌握求一个数的立方根。 常与平方根对比考查。考题相对直接，多为选择题、填空题求立方根，或利用性质³√a³ = a进行化简。 4. 实数的性质与运算 1. 相反数、绝对值：定义与有理数一致。 2. 运算律：满足加、减、乘、除、乘方的运算律（除数不为0）。 3. 比较大小：利用数轴、差值法、平方法等。 1. 能求实数的相反数与绝对值。 2. 理解实数的运算律，能进行简单混合运算。 3. 掌握比较实数大小的方法。 运算贯穿于各类题目。混合运算常出现在解答题中，要求步骤清晰，结果准确。比较大小常在选择题中以估算或与常见无理数（如π、√10）比较的形式出现。 5. 实数的估算与近似 1. 估算：确定无理数在哪两个连续整数之间。 2. 近似计算：按精确度要求取近似值。 1. 会估算一个无理数的大致范围。 2. 能按要求的精确度（精确到某一位或保留几位有效数字）求近似值。 常与平方根、立方根结合考查。出现在选择题、填空题，要求写出“与√20最接近的整数”等。是体现数感的重要考点。 知识点01实数的分类  1、按定义分类：   2.按性质符号分类： 注：0既不是正数也不是负数. 知识点02实数的相关概念 1.相反数 (1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0. (2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数，或数轴上，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称. (3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数 a+b=0. 2.绝对值       |a|≥0． 3.倒数 （1）0没有倒数  (2)乘积是1的两个数互为倒数．a、b互为倒数 . 知识点03平方根 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。 2. 如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“±” （a称为被开方数）。 3. 正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 4. 平方根和算术平方根的区别与联系： 区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个。 联系：（1）被开方数必须都为非负数；（2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。（3）0的算术平方根与平方根同为0。 知识点03立方根 1.如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“” （a称为被开方数）。 2. 正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。 3. 求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。 4. 立方根与平方根的区别： 一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为0. 9. 一般来说，被开放数扩大（或缩小）倍，算术平方根扩大（或缩小）倍，例如. 10.平方表：（自行完成） 12= 62= 112= 162= 212= 22= 72= 122= 172= 222= 32= 82= 132= 182= 232= 42= 92= 142= 192= 242= 52= 102= 152= 202= 252= 知识点04实数与数轴 实数与数轴上的点一一对应． 知识点05实数大小的比较 1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大； 2.正数都大于0，负数都小于0，两个正数，绝对值较大的那个正数大；两个负数；绝对值大的反而小； 3.无理数的比较大小： 知识点06实数的运算 1.加法同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数． 2.减法：减去一个数等于加上这个数的相反数． 3.乘法 几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 4.除法 除以一个数，等于乘上这个数的倒数．两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0． 5.乘方与开方 (1)an所表示的意义是n个a相乘，正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数． (2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方 题型一、无理数定义辨析 解｜题｜技｜巧 抓住“无限”和“不循环”两个关键特征进行判断。典型无理数有三类：①特定意义的数（如π）；②开方开不尽的数（如√2、√3，但注意√4、√9是有理数）；③人为构造的无限不循环小数（如0.1010010001...）。 【典例1】（25-26七年级上·山东东营·月考）在，，，，，3.14，（每两个2之间1的个数逐次增加1）这些数中，无理数的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】．（24-25七年级下·山东临沂·期末）在下列实数中，无理数是（   ） A． B．3.14 C． D． 【变式2】（24-25七年级上·山东淄博·期末）下列四个选项中，不是无理数的是（   ） A． B． C．1.010010001… D． 题型二、求一个数的算术平方根 解｜题｜技｜巧 明确算术平方根是非负的平方根。先判断被开方数是否为非负数。求法：①完全平方数直接开方；②非完全平方数，先化简（如√12=2√3），再利用近似值估算或保留根号形式。 【典例2】（25-26八年级上·河北唐山·期中）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·山东临沂·期中）下列运算正确的是 （    ）． A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山东枣庄·期中）一个数值转换器，如图所示： (1)当输入的为16时，输出的值是_____； (2)若输出的是，请写出两个满足要求的值：______； (3)若输入有效的值后，始终输不出值，请写出所有满足要求的的值，并说明你的理由． 题型三、算术平方根的应用 解｜题｜技｜巧 核心应用是其双重非负性：√a ≥ 0且a ≥ 0。常见题型：①已知√(x-2) + √(2-x)，由定义域可得x=2；②与绝对值、平方结合，利用“几个非负数之和为0，则每个非负数均为0”求值。 【典例3】（25-26八年级上·山东枣庄·月考）电流通过导线时会产生热量，电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足．已知导线的电阻为时间导线产生1000 J的热量，电流的值是（   ） A．0.1 B．1 C．10 D．100 【变式1】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若实数a，b满足，则的立方根为（    ） A．2 B． C． D．8 【变式2】（25-26八年级上·山东青岛·期中）观察下表，我们可以发现被开方数和它的算术平方根的变化规律： a 1 100 10000 1000000 1 10 100 1000 根据发现的规律，若，，那么的值为 ． 题型四、求平方根 解｜题｜技｜巧 注意平方根有两个（互为相反数），表示为±√a。步骤：先求算术平方根，再写出其相反数。例如，4的平方根是±2。特别注意0的平方根是0。 【典例4】（25-26八年级上·山东青岛·月考）有下列说法错误的是（   ） A．1的平方根是1 B．的立方根是 C．是17的平方根 D．是的平方根 【变式1】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）若、互为相反数，、互为倒数，的平方为4，求的值为（   ） A．1 B．5 C．1或 D．1或5 【变式2】（25-26七年级上·全国·期中）已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 题型五、已知平方根求这个数 解｜题｜技｜巧 利用平方根的定义逆推。若一个数a的平方根是±b，则a = b²。解题关键是区分“平方根”与“算术平方根”。若告知算术平方根为m，则该数为m²；若告知平方根为±m，则该数同样为m²。 【典例5】（25-26八年级上·江苏泰州·月考）已知的平方根是，则的值为（   ） A．4 B．2 C． D． 【变式1】（25-26八年级上·山东枣庄·月考）若一个正数的平方根分别是与，则这个正数为 ． 【变式2】（24-25八年级上·福建宁德·月考）已知，． (1)已知x的算术平方根为3，求a的值； (2)如果x，y都是同一个正数的两个平方根，求这个数． 六、平方根的实际应用 题型六、平方根的实际应用 解｜题｜技｜巧 通常将实际问题转化为“已知某数的平方，求这个数”的模型。例如，已知正方形面积为S，求边长，即为求S的算术平方根。关键是准确建立数学模型。 【典例6】（25-26八年级上·上海虹口·期中）有一个圆的面积和边长为的正方形的面积相同，则此圆的半径为 ． 【变式1】（25-26八年级上·福建泉州·期中）哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”刚好围成一个面积为的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【变式2】（25-26八年级上·河北邢台·期中）嘉淇计划用一张如图所示的面积为的正方形纸片沿边的方向裁一个长方形． (1)求这个正方形纸片的边长． (2)若根据实际需要，长方形的长与宽之比为，且面积为，问能否裁出这样的长方形？判断并说明理由． 题型七、求一个数的立方根 解｜题｜技｜巧 立方根与被开方数同号，且每个实数只有一个立方根。对于负数的立方根，先求其绝对值的立方根，再加上负号。熟记-1、-8、-27等常见负数的立方根。 【典例1】（23-24七年级上·山东泰安·期末）下列说法中正确的是（    ） A．9的平方根是3 B． C．的算术平方根是4 D．的立方根是 【变式1】（25-26八年级上·河北邢台·月考）式子表示的意义是（   ） A．的平方根是 B．的立方根是 C．的立方根是 D．的平方根是 【变式2】21．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）（1）已知的平方根是，的算术平方根为4，求的立方根； （2）已知，，求． 题型八、已知立方根求这个数 解｜题｜技｜巧 利用定义逆运算：若一个数a的立方根是b（即³√a = b），则a = b³。注意，立方根可以是任意实数，因此已知立方根求原数时，直接进行三次方运算即可，无需讨论正负。 【典例1】（25-26八年级上·广东深圳·月考）若一个数的立方根是3，则这个数是 ． 【变式1】23．（25-26八年级上·河南郑州·期中）已知的算术平方根是5，的立方根为，求的平方根． 【变式2】（25-26八年级上·广东深圳·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是，c是的倒数． (1)求a，b，c的值； (2)求的算术平方根． 题型九、平方根与立方根的综合 解｜题｜技｜巧 解题关键在于准确辨析概念与性质。根据已知条件判断是求平方根还是立方根，特别注意“±”符号的使用、结果的个数以及被开方数的符号要求（平方根要求非负，立方根无要求）。 【典例9】（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知的算术平方根是3，b的立方根为． (1)求a与b的值； (2)求的立方根． 【变式1】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）若实数，满足，请按要求解答下列问题： (1)若，都是整数，请写出两对符合条件的，的值． (2)若，都是分数，请写出一对符合条件的，的值． 【变式2】（25-26八年级上·广东梅州·月考）已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 题型十、利用平（立）方根的性质解方程 解｜题｜技｜巧 解形如x² = a或x³ = b的方程。方法：① x² = a (a≥0)：x = ±√a；② x³ = b：x = ³√b。这是将方程问题转化为求平方根或立方根的问题。 【典例1】（23-24八年级上·贵州贵阳·月考）求下列各式中x的值： (1) (2) 【变式1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）解方程： (1)； (2)． 【变式2】30．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）求下列各式中的值： (1) (2) 题型十一、无理数的估算 解｜题｜技｜巧 核心是找到该无理数前后两个连续的完全平方数或完全立方数。例如，估算√a：找到相邻的整数m、n，使 m² < a < n²，则m < √a < n。进一步，通过比较a与中点数的平方来精确估算。 【典例11】（25-26七年级上·山东临沂·期中）若，是两个连续整数，且，则 ． 【变式1】（25-26八年级上·山东枣庄·期中）已知a为正整数，，则 ． 【变式2】（25-26八年级上·山东济南·期中）已知，则的整数部分是 ． 题型十二、立方根的实际应用 解｜题｜技｜巧 常见于体积问题。已知立方体体积V求棱长，即为求V的立方根。解题时，先写出体积公式（棱长³ = 体积），再转化为求立方根运算。注意实际意义下棱长取正值。 【典例12】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体．如果这个几何体的体积为，那么每个小正方体的棱长为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）某喷水池中央的顶端放置了一个大理石球，已知球的质量公式为．其中，表示球的质量，表示球的半径，为大理石的密度．如果球的质量m为，大理石的密度为，那么这个大理石球的半径r是多少？（取，结果精确到） 【变式2】（25-26八年级上·陕西渭南·期中）某农户计划利用原有的一面墙为载体，在此基础上再修三面墙，建造如图①所示的无盖长方体池塘来培育鱼苗，其中新建的三面墙的长度依次为、，墙的高度．后听从建筑师的建议改为建造等体积的无盖正方体池塘，如图②所示，则待建的三面墙的总长度是多少？（不考虑墙的厚度；原有的墙面足够高、足够长） 题型十三、无理数整数部分有关的运算 解｜题｜技｜巧 先估算出该无理数的整数部分a和小数部分b（b = 原数 - a，且0<b<1）。然后代入所求代数式进行运算。常见题型：已知√x的整数部分为a，小数部分为b，求关于a、b的代数式的值。关键是准确估算。 【典例1】（25-26八年级上·山东青岛·月考）若的整数部分是a，的整数部分是b，则的值是（    ） A．0 B．6 C． D．5 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·月考）已知x是的整数部分，y是的小数部分，则的相反数为 ． 【变式2】（25-26八年级上·山东青岛·期中）某数学兴趣小组准备探究无理数． (1)到底有多大？下面是探索的近似值的过程，请补充完整： 如图甲所示，我们知道面积是5的正方形边长是，且． 设．由图形可得： 因为x值很小，所以更小，略去，得方程， 解得______（保留到0.001），即______． (2)数学兴趣小组依据上面的方法接着探究的近似值，如图乙所示，面积是10的正方形边长是，且．设，……请把图乙和剩余的过程补充完整（结果保留到0.001） (3)怎样画出和，请你一起参与探索画的过程．兴趣小组的做法是：设新正方形的边长为x（）．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把5个边长为1的正方形，如图①所示进行分割，然后在图②中用实线画出拼接成的新正方形．如图③所示，现有10个边长为1的正方形，请参考上面的做法，把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图③中画出分割线，并在图④中用实线画出拼接成的新正方形，直接画出图形即可． 题型十四、实数的分类 解｜题｜技｜巧 分类的关键是把握定义。实数分为有理数和无理数。有理数包括整数和分数（有限小数和无限循环小数）。无理数是无限不循环小数，典型代表是开方开不尽的数（如√2）和特定意义的数（如π）。分类时要确保集合间不重不漏。 【典例1】（25-26七年级上·山东临沂·期中）把下列各数填在相应的横线上．(填序号) ①；②；③；④0 ；⑤；⑥；⑦ (依次多一个0)． (1)正分数： (2)整数： (3)无理数： (4)实数： 【变式1】（25-26七年级上·山东菏泽·期中）把下列各数填入相应的大括号内： ，，，，，，，， 整数集合：{                                             ．．． } 分数集合：{                                             ．．． } 非负数集合：{                                         ．．． } 【变式2】（25-26七年级上·山东临沂·期中）已知一组数2，，，，0，，，．把这些数分别填在下面对应的集合中． ①负数集合：{                    }； ②整数集合：{                    }； ③分数集合：{                    }； ④非负数集合：{                    }； 题型十五、实数的性质 解｜题｜技｜巧 关注实数的“四性”：有序性（可比较大小）、稠密性（任意两实数间存在无数实数）、封闭性（四则运算结果仍为实数）、与数轴一一对应。解题时，常利用其与有理数共有的运算律（交换、结合、分配律）进行简便计算。 【典例15】（25-26七年级上·江苏南京·月考）实数2023的相反数是（   ） A． B．2023 C． D． 【变式1】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）下列各组数中互为相反数的是() A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2】（24-25七年级下·云南普洱·期末）计算： ． 题型十六、实数与数轴 解｜题｜技｜巧 理解“一一对应”是核心：每个实数都能用数轴上唯一的点表示；反之，数轴上每个点都对应唯一的一个实数。应用时，可在数轴上标出无理数的近似位置（如√2在1和2之间），或将几何距离问题转化为实数计算。 【典例16】（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点A与表示的点重合，圆沿着数轴滚动一周，此时点A表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1】（2012·江苏盐城·一模）如图，数轴上表示1，的点分别为A，B，且，则点C所表示的数是 ． 【变式2】（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，． (1)点A表示的数是______，点A表示的数______（填“”、“”或“=”）； (2)在数轴上作出所对应的点（保留作图痕迹）； (3)这种研究和解决问题的方式，体现了______的数学思想． A．数形结合    B．方程   C．分类讨论    D．化归 题型十七、实数的比较大小 解｜题｜技｜巧 常用四法：①数轴法：右边的数总比左边的大。②差值法：若a-b>0，则a>b。③平方法：比较正数a、b时，若a²>b²，则a>b（适用于含根号的数）。④近似值法：取无理数的近似小数进行比较。 【典例17】（25-26八年级上·山东青岛·期中）我国东汉时期数学家张衡首先推导出圆周率的近似值为，到南北朝时期，数学家祖冲之又给出圆周率分数形式的近似值为，试判断这两个数的大小关系： ．（填“”或“”） 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·期中）比较大小： 1(填“”“”或“”)． 【变式2】（25-26八年级上·山东青岛·月考）比较大小：（1） ；（2） ；（3） （填“>”或“<”） 题型十八、实数的混合运算 解｜题｜技｜巧 遵循运算顺序：先乘方开方，再乘除，后加减；有括号先算括号内。关键：1. 将根式看作一个整体参与运算；2. 灵活运用运算律（如分配律）简化计算；3. 结果通常化为最简形式（合并同类项，分母有理化）。 【典例18】（25-26八年级上·山东青岛·月考） ． 【变式1】（25-26七年级上·山东泰安·期中）计算： (1)； (2)； (3)已知a和b是实数，且，求的平方根． 【变式2】（25-26七年级上·山东泰安·月考）计算： (1) (2) (3) (4) 题型十九、实数混合运算的应用 解｜题｜技｜巧 常以实际应用题形式出现，如几何图形中的长度、面积、体积计算。解题步骤：1. 根据题意建立数学模型（公式或方程）；2. 代入数值进行实数运算；3. 根据实际意义（如长度为正）取舍结果，并按要求取近似值。 【典例19】（25-26八年级上·山东青岛·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是64，则输出的的值是（    ） A． B． C．2 D．3 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·期中）定义一种新运算：对于任意的非零实数下，．若，则的值为 ． 【变式2】（24-25七年级下·福建福州·期中）哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（23-24七年级上·山东泰安·期末）下列说法中正确的是（    ） A．9的平方根是3 B． C．的算术平方根是4 D．的立方根是 2．（25-26七年级上·山东济南·期中）定义关于有理数a，b的新运算：，其中a，b为整数且．例如：若，，则．若，则的结果为（     ） A．1 B． C．3 D． 3．（25-26七年级上·山东威海·月考）下列说法错误的是（　　） A．与相等 B．与相等 C．与 是互为相反数 D．与互为相反数 4．（25-26七年级上·山东东营·月考）已知的算术平方根是，的立方根是，则的值为（    ） A．3 B．5 C．3或7 D．5或7 5．（25-26七年级上·山东滨州·期中）如图表示的数表，数表每个位置所对应的数都是1，2或3．定义为数表中第行第列的数．例如，数表第3行第1列所对应的数是2，所以．若，则的值为（   ） A．0，2 B．1，2 C．1，0 D．1，3 6．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）下列说法：①每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示；②没有平方根；③的算术平方根是4；④平方根与立方根相同的数是0和1；⑤的算术平方根是；⑥是的平方根．其中是真命题的有（   ） A．①②⑤ B．①⑤⑥ C．①②④ D．①②④⑤ 7．（25-26八年级上·山西运城·期中）下列式子中表示“9的平方根是”的是（） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·山东枣庄·月考）与最接近的整数是 ． 9．（25-26七年级上·山东青岛·月考）如果定义新运算“※”，满足，那么 ． 10．（25-26八年级上·山东滨州·月考）定义运算“”，其法则为，则方程的解是 ． 11．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）铺装一间面积为的办公室地面，恰好用完大小相同的75块正方形地板砖，则每块地板砖的边长是 m． 12．（25-26八年级上·山东·月考）（1）计算：； （2）解方程：． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 13．（23-24七年级上·山东泰安·期末）下列实数，，，，，（每相邻两个4之间一个0）中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）若、互为相反数，、互为倒数，的平方为4，求的值为（   ） A．1 B．5 C．1或 D．1或5 15．（24-25八年级上·四川内江·月考）如图，若数轴上的点，，，，分别表示数，，，，，则表示的点应在线段（    ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 16．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）将全体自然数的算术平方根如图进行排列，如第3行第2列是，那么第101行第100列是（    ） A． B． C． D． 17．（25-26八年级上·广东佛山·月考）对于实数P，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作后变为2．类似的，要想让2025变为2，需进行的操作次数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 18．（24-25七年级下·福建漳州·期末）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 19．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数． (1)实数的值是 ； (2)求的值； (3)数轴上另有，两点分别表示实数和，且，求的算术平方根． 20．（25-26八年级上·广东深圳·期中）计算： (1)； (2)． 21．（25-26七年级上·山东威海·期中）（1）已知一个正数的两个不相等的平方根与，求这个正数的值； （2）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的平方根． 22．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）对于任意有理数m，n定义一种新运算： (1)若，，求的值； (2)已知点A，点B在数轴上表示的数分别为，x（点A在点B的左侧），且A，B两点的距离是7，y是的相反数，求的值． 23．（25-26八年级上·山东枣庄·月考）数学张老师在课堂上提出一个问题：通过探究知道：…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答： (1)的整数部分是________． (2)a为的小数部分，b为的整数部分，求的值． (3)已知，为的整数部分，y为的小数部分，求的值 24．（25-26六年级上·山东烟台·期中）规定一种新运算：，例如，根据此规定，计算下列各式： (1)求的值； (2)求的值． 25．（25-26八年级上·全国·期中）如图，已知点A表示的数为，点A向右平移3个单位长度到达点B． (1)点B表示的数为 ； (2)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 26．（25-26八年级上·山东济南·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷． (1)如图，在数轴上找出表示的点，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，的长为半径作弧，则弧与数轴的交点表示的数是 ； (2)如图，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出尺，斜放就恰好等于门的对角线（），已知门宽尺，求竹竿长． 27．（25-26八年级上·河南驻马店·月考）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚不假思索就准确地说出了答案．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．（参考数据：，，，，，，，，） (1)你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请你将下面的步骤补充完整； 由，可知是________位数． 因为59319的个位上的数是9， 所以的个位上的数是________． 因为若划去59319后面的三位319得到59，而， 所以十位上的数是________． (2)已知12167是整数的立方，请你按照（1）中的方法求出它的立方根； (3)请直接写出________． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 28．（25-26七年级上·河南濮阳·期中）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．例如：，．下列说法：①；②；③若，且，则或，其中正确的有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 29．（25-26九年级上·山东济宁·月考）定义表示不超过实数x的最大整数，如，，，则方程的解为（   ） A．或 B．或或 C．或 D．或或或 30．（25-26九年级上·北京·开学考试）如图，正方形的两个顶点在数轴上，分别表示数和，以表示数的顶点为圆心，以正方形的对角线为半径画弧，分别交数轴于点A，，设点A，表示的数分别为，，则下列说法不正确的是（   ） A．的值随着的变化而变化 B．线段的长始终不变 C．一定是无理数 D．的面积随着的变化而变化 31．（23-24七年级下·山东德州·月考）已知，，，…，，其中n为正整数．设，则值是（    ） A． B． C． D． 32．（24-25八年级上·四川成都·期中）比较大小： （填“”、“”或“”）． 33．（2025·甘肃张掖·一模）记实数中的最小数为，例如．已知，a，b是两个连续的正整数，记的算术平方根为，记y的最大值为N，则 ． 34．（25-26八年级上·上海·月考）是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可以用来表示的小数部分． (1)的小数部分是____________ (2)已知，其中x是整数，且，求的平方根． 35．（24-25七年级下·福建厦门·期末）某校的数学兴趣小组开展主题为“纸张中的奥秘”的探究活动． 【探究一】正方形纸张的对角线的长 如图1，该小组用了两个面积为的小正方形分别沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到一个面积为的大正方形． （1）根据上述操作过程，小正方形的对角线的长为_____； 【探究二】A型纸中的奥秘 根据国际标准，系列纸为长方形，其中A4纸的宽为．将A0纸沿长边对折、裁开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、裁开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、裁开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、裁开，便成A4纸；……将A4纸按如图2所示的方式折叠． 根据上述操作过程， （2）直接写出A4纸的长； （3）求A0纸的长和宽；（结果保留根号） 【探究三】拓展迁移 该兴趣小组类比A型纸，设计了一种长方形纸张，该长方形纸张沿着长边的五等分点所连线段裁开成5个相同的小长方形，这5个小长方形的长宽比与大长方形的长宽比相同，记该种长方形纸张为型纸．他们用5个边长为的正方形，通过剪拼得到宽为的型纸的长，截取该长度，画出一张型纸． （4）根据上述描述，请你借助5个图3的正方形，剪拼得到M型纸的长，并在图4中画出这张型纸．（说明：不需要尺规作图，但需要保留类似于图2的裁切线和设计的操作步骤） 试卷第34页，共35页 17 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 实数（期末复习讲义） 知识模块 核心考点 复习目标 考情规律 1. 无理数与实数概念 1. 无理数：无限不循环小数（如π、√2）。 2. 实数：有理数与无理数的统称。 3. 实数与数轴上的点一一对应。 1. 能辨析无理数，理解实数的定义与分类。 2. 理解实数与数轴的对应关系。 选择题、填空题高频考点。主要考查：①从π、带根号（非完全平方数）、构造数（如0.101001…）中识别无理数；②理解数轴的稠密性。 2. 平方根与算术平方根 1. 平方根：若x²=a，则x是a的平方根，记作±√a。 2. 算术平方根：非负的平方根，记作√a（a≥0）。 3. 性质：√a ≥ 0； (√a)² = a（a≥0）。 1. 理解并区分平方根与算术平方根的概念、符号。 2. 掌握求一个非负数的算术平方根，估算近似值。 必考核心。考查方式：①选择题、填空题直接求算术平方根或平方根；②结合非负性（√a ≥ 0）进行求值或化简。易错点：混淆表示法与“±”符号的意义。 3. 立方根 1. 定义：若x³=a，则x是a的立方根，记作³√a。 2. 性质：³√a可为任意实数；(³√a)³ = a。 1. 理解立方根与平方根在定义、符号、性质上的区别。 2. 掌握求一个数的立方根。 常与平方根对比考查。考题相对直接，多为选择题、填空题求立方根，或利用性质³√a³ = a进行化简。 4. 实数的性质与运算 1. 相反数、绝对值：定义与有理数一致。 2. 运算律：满足加、减、乘、除、乘方的运算律（除数不为0）。 3. 比较大小：利用数轴、差值法、平方法等。 1. 能求实数的相反数与绝对值。 2. 理解实数的运算律，能进行简单混合运算。 3. 掌握比较实数大小的方法。 运算贯穿于各类题目。混合运算常出现在解答题中，要求步骤清晰，结果准确。比较大小常在选择题中以估算或与常见无理数（如π、√10）比较的形式出现。 5. 实数的估算与近似 1. 估算：确定无理数在哪两个连续整数之间。 2. 近似计算：按精确度要求取近似值。 1. 会估算一个无理数的大致范围。 2. 能按要求的精确度（精确到某一位或保留几位有效数字）求近似值。 常与平方根、立方根结合考查。出现在选择题、填空题，要求写出“与√20最接近的整数”等。是体现数感的重要考点。 知识点01实数的分类  1、按定义分类：   2.按性质符号分类： 注：0既不是正数也不是负数. 知识点02实数的相关概念 1.相反数 (1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0. (2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数，或数轴上，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称. (3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数 a+b=0. 2.绝对值       |a|≥0． 3.倒数 （1）0没有倒数  (2)乘积是1的两个数互为倒数．a、b互为倒数 . 知识点03平方根 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。 2. 如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“±” （a称为被开方数）。 3. 正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 4. 平方根和算术平方根的区别与联系： 区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个。 联系：（1）被开方数必须都为非负数；（2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。（3）0的算术平方根与平方根同为0。 知识点03立方根 1.如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“” （a称为被开方数）。 2. 正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。 3. 求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。 4. 立方根与平方根的区别： 一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为0. 9. 一般来说，被开放数扩大（或缩小）倍，算术平方根扩大（或缩小）倍，例如. 10.平方表：（自行完成） 12= 62= 112= 162= 212= 22= 72= 122= 172= 222= 32= 82= 132= 182= 232= 42= 92= 142= 192= 242= 52= 102= 152= 202= 252= 知识点04实数与数轴 实数与数轴上的点一一对应． 知识点05实数大小的比较 1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大； 2.正数都大于0，负数都小于0，两个正数，绝对值较大的那个正数大；两个负数；绝对值大的反而小； 3.无理数的比较大小： 知识点06实数的运算 1.加法同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数． 2.减法：减去一个数等于加上这个数的相反数． 3.乘法 几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 4.除法 除以一个数，等于乘上这个数的倒数．两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0． 5.乘方与开方 (1)an所表示的意义是n个a相乘，正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数． (2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方 题型一、无理数定义辨析 解｜题｜技｜巧 抓住“无限”和“不循环”两个关键特征进行判断。典型无理数有三类：①特定意义的数（如π）；②开方开不尽的数（如√2、√3，但注意√4、√9是有理数）；③人为构造的无限不循环小数（如0.1010010001...）。 【典例1】（25-26七年级上·山东东营·月考）在，，，，，3.14，（每两个2之间1的个数逐次增加1）这些数中，无理数的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，正确把握相关定义是解题关键． 无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数；③虽有规律但却是无限不循环的小数，根据无理数的特征即可解答． 【详解】解：，是开方开不尽的数，是无理数， ，是分数，属于有理数，不是无理数， ，，是开方开不尽的数，是无理数， ，，是无限不循环小数，是无理数， ，是正整数，属于有理数，不是无理数， 3.14，是有限小数，属于有理数，不是无理数， 3.212212221…（每两个2之间1的个数逐次增加1），是无限不循环小数，是无理数， ∴ 无理数共4个。 故选：B． 【变式1】．（24-25七年级下·山东临沂·期末）在下列实数中，无理数是（   ） A． B．3.14 C． D． 【答案】C 【详解】根据无理数的定义，即无限不循环小数，判断各选项是否为无理数． 根据无理数的定义逐一判断即可． 【分析】A： 是分数，属于有理数； B：3.14 是有限小数，属于有理数； C：，因为5不是完全平方数，无法化简为整数或分数，属于无理数； D：是整数，属于有理数； 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·山东淄博·期末）下列四个选项中，不是无理数的是（   ） A． B． C．1.010010001… D． 【答案】A 【分析】本题考查无理数的概念，解题的关键是明确无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，包括有限小数和无限循环小数． 分别分析每个选项，判断其是否为无限不循环小数，进而确定是否为无理数． 【详解】A、是无限循环小数，属于有理数，不是无理数，符合题意； B、开方开不尽，其结果是一个无限不循环小数，所以是无理数，不符合题意； C、是无限不循环小数，属于无理数，不符合题意； D、中是无限不循环小数，所以也是无限不循环小数，属于无理数，不符合题意； 故选：A． 题型二、求一个数的算术平方根 解｜题｜技｜巧 明确算术平方根是非负的平方根。先判断被开方数是否为非负数。求法：①完全平方数直接开方；②非完全平方数，先化简（如√12=2√3），再利用近似值估算或保留根号形式。 【典例2】（25-26八年级上·河北唐山·期中）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的定义，逐一进行计算即可． 【详解】解：A中，，故该选项不正确，不符合题意；     B中，，故该选项不正确，不符合题意； C中，，故该选项正确，符合题意；     D中，无意义，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【变式1】（25-26七年级上·山东临沂·期中）下列运算正确的是 （    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根和立方根的概念，根据算术平方根为非负数，负数没有实数平方根，但立方根可以为负数准确分析是解题的关键． 根据平方根和立方根的性质逐项分析判断即可； 【详解】表示算术平方根，结果为4，而非，错误； 负数没有实数平方根，错误； ，，故正确； ，，而，且，故错误； 故选． 【变式2】（25-26八年级上·山东枣庄·期中）一个数值转换器，如图所示： (1)当输入的为16时，输出的值是_____； (2)若输出的是，请写出两个满足要求的值：______； (3)若输入有效的值后，始终输不出值，请写出所有满足要求的的值，并说明你的理由． 【答案】(1) (2)5和25 (3)0或1 【分析】本题考查了算术平方根，正确理解转换器的运算法则、熟知算术平方根的定义是解题的关键； （1）根据转换器的运算程序求解即可； （2）根据25的算术平方根是5，5的算术平方根是，即可得到答案； （3）0或1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，即可解答． 【详解】（1）解：是有理数， 是有理数， 是无理数， ∴当输入的为16时，输出的值是； （2）解：∵输出的是， ∴若输入一次就输出，那么输入的输为， ∴若输入两次就输出，那么输入的输为， ∴若输入三次就输出，那么输入的输为， ……， ∴满足题意的x的值可以为5和25； （3）解：符合要求的x的值为0或1，理由如下： ∵输入有效的值后，始终输不出值， ∴x取算术平方根后一定是有理数，且x的算术平方根再取算术平方根后有一定是有理数， ......， ∴x取算术平方根后的结果再一直取算术平方根的结果都是有理数， ∴x的算术平方根一定要满足等于它本身， ∴x的值为0或1 题型三、算术平方根的应用 解｜题｜技｜巧 核心应用是其双重非负性：√a ≥ 0且a ≥ 0。常见题型：①已知√(x-2) + √(2-x)，由定义域可得x=2；②与绝对值、平方结合，利用“几个非负数之和为0，则每个非负数均为0”求值。 【典例3】（25-26八年级上·山东枣庄·月考）电流通过导线时会产生热量，电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足．已知导线的电阻为时间导线产生1000 J的热量，电流的值是（   ） A．0.1 B．1 C．10 D．100 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，将电阻的阻值，时间和热量代入关系式，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵电阻为时间导线产生1000 J的热量， ∴； 故选C． 【变式1】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若实数a，b满足，则的立方根为（    ） A．2 B． C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查非负数的性质和立方根的计算，注意正数的立方根是正数． 根据非负数的性质，平方根和平方项均非负，和为零则每个部分为零，从而求出 a 和 b 的值，再计算 并求其立方根． 【详解】解：∵， ，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵8的立方根为2， ∴的立方根为2． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·山东青岛·期中）观察下表，我们可以发现被开方数和它的算术平方根的变化规律： a 1 100 10000 1000000 1 10 100 1000 根据发现的规律，若，，那么的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查的是算术平方根的探索规律题． 通过观察表格，发现被开方数每扩大或缩小100倍，其算术平方根相应地扩大或缩小10倍．已知和，比较可知是的倍，因此是3的 倍． 【详解】解：由表格规律可知，被开方数与算术平方根满足： 被开方数每扩大或缩小100倍，其算术平方根相应地扩大或缩小10倍． 已知，， 因为，即， 所以． 故答案为：． 题型四、求平方根 解｜题｜技｜巧 注意平方根有两个（互为相反数），表示为±√a。步骤：先求算术平方根，再写出其相反数。例如，4的平方根是±2。特别注意0的平方根是0。 【典例4】（25-26八年级上·山东青岛·月考）有下列说法错误的是（   ） A．1的平方根是1 B．的立方根是 C．是17的平方根 D．是的平方根 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方根和立方根的概念，注意一个正数的平方根有两个且互为相反数．根据平方根和立方根的概念判断即可． 【详解】解：A、1的平方根是，说法正确，故本选项不符合题意； B、的立方根是，说法正确，故本选项不符合题意； C、是17的平方根，说法正确，故本选项不符合题意； D、，而3的平方根是，所以不是的平方根，原说法错误，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）若、互为相反数，、互为倒数，的平方为4，求的值为（   ） A．1 B．5 C．1或 D．1或5 【答案】C 【分析】本题考查相反数、倒数、乘方的性质，涉及的知识点是“互为相反数的两数和为0”“互为倒数的两数积为”“平方为的数有两个”．解题方法是先根据定义求出、、的值，再分情况代入式子计算；解题关键是注意的取值有两个，需分情况讨论．易错点是忽略的正负两种情况，导致漏解．解题思路为：先利用相反数、倒数、乘方的性质得到、、，再分和两种情况代入式子计算结果． 【详解】∵互为相反数， ∴． ∵互为倒数， ． ， 或． 当时，=． 当时，=． 故选C． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期中）已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的求值以及求平方根，解题的关键是根据平方根的性质求出的值，再整体代入计算． 先由求出的值，再将变形为，最后整体代入求值． 【详解】解：因为， 所以， 对进行变形可得：， 当时，代入上式可得：， 当时，代入上式可得：， 所以，代数式的值是9或1， 故选：D． 题型五、已知平方根求这个数 解｜题｜技｜巧 利用平方根的定义逆推。若一个数a的平方根是±b，则a = b²。解题关键是区分“平方根”与“算术平方根”。若告知算术平方根为m，则该数为m²；若告知平方根为±m，则该数同样为m²。 【典例5】（25-26八年级上·江苏泰州·月考）已知的平方根是，则的值为（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方根，根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵的平方根是， ∴． 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·山东枣庄·月考）若一个正数的平方根分别是与，则这个正数为 ． 【答案】16 【分析】本题考查平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意可得，， 解得． 则这两个平方根为，， 则这个正数为， 故答案为：16． 【变式2】（24-25八年级上·福建宁德·月考）已知，． (1)已知x的算术平方根为3，求a的值； (2)如果x，y都是同一个正数的两个平方根，求这个数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根，解一元一次方程，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据算术平方根的定义求出，即得关于的方程，求解即可； （2）一个正数的两个平方根互为相反数，据此列方程求出，再求即可． 【详解】（1）解：∵x的算术平方根为3， ∴， 即 ； （2）解：∵x，y都是同一个正数的两个平方根， 解得， ∴． 答：这个数是． 六、平方根的实际应用 题型六、平方根的实际应用 解｜题｜技｜巧 通常将实际问题转化为“已知某数的平方，求这个数”的模型。例如，已知正方形面积为S，求边长，即为求S的算术平方根。关键是准确建立数学模型。 【典例6】（25-26八年级上·上海虹口·期中）有一个圆的面积和边长为的正方形的面积相同，则此圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的应用，先计算正方形的面积，再根据圆的面积与正方形面积相等建立方程，求解圆的半径即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由正方形的边长为，则其面积为， 设圆的半径为，则圆的面积为， 根据题意，， 解得：（负值不符合题意，舍去）， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·福建泉州·期中）哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”刚好围成一个面积为的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【答案】(1)“混天绫”的总长度 (2)能够完成新阵法，见解析 【分析】本题考查了平方根的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据算术平方根的意义求出正方形的边长为，进而计算即可； （2）根据题意列方程，求出长方形的长与宽，可得长方形的周长，再经过估算即得答案． 【详解】（1）解： “混天绫”围成一个面积为 的正方形， 正方形的边长为， “混天绫”的总长度． 答：“混天绫”的总长度； （2）解：能，理由如下： 设长方形的长为米，宽为米， 依题意得，即． 解得， ∵， ∴， ∴长方形的长为20米，宽为12米， ∴长方形的周长为米， ∵， ∴能够完成新阵法． 【变式2】（25-26八年级上·河北邢台·期中）嘉淇计划用一张如图所示的面积为的正方形纸片沿边的方向裁一个长方形． (1)求这个正方形纸片的边长． (2)若根据实际需要，长方形的长与宽之比为，且面积为，问能否裁出这样的长方形？判断并说明理由． 【答案】(1) (2)不能裁出这样的长方形，理由见解析 【分析】本题主要考查了算术平方根与平方根的应用，理解算术平方根和平方根的定义是正确解答的前提． （1）直接开平方求解即可； （2）设长方形纸片的长为，宽为，由题意可得，求解出x的值，即可求解出此时的长方形的长，由（1）可知正方形纸片的边长，进而比较即可判断． 【详解】（1）解：正方形纸片的面积为， 正方形纸片的边长是； （2）不能裁出这样的长方形； 理由：设长方形纸片的长为，宽为，则， 解得， 则， 所以沿此正方形纸片的边的方向裁一个长方形，不能使裁出的长方形纸片的长与宽之比为，且面积为． 题型七、求一个数的立方根 解｜题｜技｜巧 立方根与被开方数同号，且每个实数只有一个立方根。对于负数的立方根，先求其绝对值的立方根，再加上负号。熟记-1、-8、-27等常见负数的立方根。 【典例1】（23-24七年级上·山东泰安·期末）下列说法中正确的是（    ） A．9的平方根是3 B． C．的算术平方根是4 D．的立方根是 【答案】B 【分析】本题考查平方根、算术平方根和立方根的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．根据定义逐项判断即可． 【详解】解： 9的平方根是，A选项只说了3，忽略负根，∴ A错误； ，∵ ，∴ B正确； ，4的算术平方根是2，∴ C错误； 的立方根是，不是，∴ D错误． 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·河北邢台·月考）式子表示的意义是（   ） A．的平方根是 B．的立方根是 C．的立方根是 D．的平方根是 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义判断即可． 【详解】∵表示的立方根， ∴表示的立方根是， 故选：C． 【变式2】21．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）（1）已知的平方根是，的算术平方根为4，求的立方根； （2）已知，，求． 【答案】（1）4；（2）或3 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据平方根和算术平方根的定义得到，，再利用立方根的定义即可求解； （2）根据平方根的定义得到，再分两种情况讨论，利用算术平方根的定义即可求解． 【详解】解：（1）∵的平方根是，的算术平方根为4， ∴，， ∴， ∴的立方根是4； （2）∵， ∴， 当时，； 当时，； ∴或3． 题型八、已知立方根求这个数 解｜题｜技｜巧 利用定义逆运算：若一个数a的立方根是b（即³√a = b），则a = b³。注意，立方根可以是任意实数，因此已知立方根求原数时，直接进行三次方运算即可，无需讨论正负。 【典例1】（25-26八年级上·广东深圳·月考）若一个数的立方根是3，则这个数是 ． 【答案】27 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的意义是解答本题的关键．如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根． 根据立方根的定义，这个数是3的立方． 【详解】解：∵， ∴27的立方根是3， ∴这个数是27． 故答案为：27． 【变式1】23．（25-26八年级上·河南郑州·期中）已知的算术平方根是5，的立方根为，求的平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，根据算术平方根和立方根求原数，根据算术平方根和立方根的定义可求出a、b的值，进而求出的值，再由平方根的定义可得答案． 【详解】解：∵的算术平方根是5，的立方根为， ∴， ∴， ∴， ∵16的平方根为， ∴的平方根为． 【变式2】（25-26八年级上·广东深圳·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是，c是的倒数． (1)求a，b，c的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根、立方根的定义，倒数的定义，熟练掌握算术平方根、立方根定义和倒数的定义是解题的关键． （1）根据算术平方根、立方根的定义，以及倒数的定义即可求解、、的值； （2）先将（1）中求得的、、的值代入计算出结果，再根据算术平方根的定义计算即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是， ，即， ； 的立方根是， ， 把代入得：，即， ； c是的倒数， ， 综上，，，； （2）解：把，，代入， ， ， 的算术平方根是， 即的算术平方根是． 题型九、平方根与立方根的综合 解｜题｜技｜巧 解题关键在于准确辨析概念与性质。根据已知条件判断是求平方根还是立方根，特别注意“±”符号的使用、结果的个数以及被开方数的符号要求（平方根要求非负，立方根无要求）。 【典例9】（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知的算术平方根是3，b的立方根为． (1)求a与b的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2)2 【分析】本题考查算术平方根和立方根，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据算术平方根和立方根的定义，进行求解即可； （2）根据立方根的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， 解得，； （2）由（1）可知，； ∴的立方根为2． 【变式1】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）若实数，满足，请按要求解答下列问题： (1)若，都是整数，请写出两对符合条件的，的值． (2)若，都是分数，请写出一对符合条件的，的值． 【答案】(1)，或（答案不唯一） (2)，（答案不唯一） 【分析】本题考查了实数的运算，掌握算术平方根、立方根的意义是解题的关键． （1）根据，都是整数，利用算术平方根及立方根定义找出符合题意的值即可； （2）根据，都是分数，利用算术平方根及立方根定义找出符合题意的值即可． 【详解】（1）解：当时，则， ，则， 则符合题意， 当时，则， ，则， 则符合题意， 故，或（答案不唯一） （2）解：当时，则， ，则， 则符合题意， 故，（答案不唯一） 【变式2】（25-26八年级上·广东梅州·月考）已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，代数求值，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义． （1）根据算术平方根和立方根的定义，列出方程求出的值，再求a，b的值即可； （2）将a，b的值代入式子求值即可． 【详解】（1）解：根据是的算术平方根得，， 解得， ∴； 根据是的立方根得，， 解得， ∴； （2）解：将代入得， ． 题型十、利用平（立）方根的性质解方程 解｜题｜技｜巧 解形如x² = a或x³ = b的方程。方法：① x² = a (a≥0)：x = ±√a；② x³ = b：x = ³√b。这是将方程问题转化为求平方根或立方根的问题。 【典例1】（23-24八年级上·贵州贵阳·月考）求下列各式中x的值： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了求平方根和求立方根的方法解方程，熟练掌握求平方根和求立方根的方法是解题的关键． （1）根据求平方根的方法解方程即可； （2）根据求立方根的方法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得：或； （2）解：， ， 解得：． 【变式1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了平方根和立方根的知识，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据立方根的定义解方程即可； （2）根据平方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， 或， 或． 【变式2】30．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）求下列各式中的值： (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 当时，， 当时，， 或； （2）解：， ， ， ， ． 题型十一、无理数的估算 解｜题｜技｜巧 核心是找到该无理数前后两个连续的完全平方数或完全立方数。例如，估算√a：找到相邻的整数m、n，使 m² < a < n²，则m < √a < n。进一步，通过比较a与中点数的平方来精确估算。 【典例11】（25-26七年级上·山东临沂·期中）若，是两个连续整数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键． 通过估算的范围，确定连续整数和的值． 【详解】， ，即， ， 和是两个连续整数，且， ，， ． 故答案是：． 【变式1】（25-26八年级上·山东枣庄·期中）已知a为正整数，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查估算无理数的大小，熟练掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【详解】解：∵，，而， ∴， 又∵a为正整数，， ∴． 故答案为：3． 【变式2】（25-26八年级上·山东济南·期中）已知，则的整数部分是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了无理数的估算，熟练掌握算术平方根定义，是解题的关键．通过比较平方数确定和的整数部分，从而得出a的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴a的整数部分是3． 故答案为：3． 题型十二、立方根的实际应用 解｜题｜技｜巧 常见于体积问题。已知立方体体积V求棱长，即为求V的立方根。解题时，先写出体积公式（棱长³ = 体积），再转化为求立方根运算。注意实际意义下棱长取正值。 【典例12】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体．如果这个几何体的体积为，那么每个小正方体的棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的实际应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先求出大正方体的棱长，即可求出每个小正方体的棱长． 【详解】解：根据题意得几何体的边长为， 每个小正方体的棱长为， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）某喷水池中央的顶端放置了一个大理石球，已知球的质量公式为．其中，表示球的质量，表示球的半径，为大理石的密度．如果球的质量m为，大理石的密度为，那么这个大理石球的半径r是多少？（取，结果精确到） 【答案】米． 【分析】本题主要考查了立方根的实际应用，设出该小球的半径，再根据球的体积计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵m为，大理石的密度为，， ∴米， ∴这个大理石球的半径是米． 【变式2】（25-26八年级上·陕西渭南·期中）某农户计划利用原有的一面墙为载体，在此基础上再修三面墙，建造如图①所示的无盖长方体池塘来培育鱼苗，其中新建的三面墙的长度依次为、，墙的高度．后听从建筑师的建议改为建造等体积的无盖正方体池塘，如图②所示，则待建的三面墙的总长度是多少？（不考虑墙的厚度；原有的墙面足够高、足够长） 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，掌握长方体和正方体的体积公式是解题关键．根据题意求出长方体的体积，进而求出建造后等体积的正方体池塘的长，即可求解． 【详解】解：∵无盖长方体池塘三面墙的长度依次为、，墙的高度， ∴长方体的体积为， ∵改为建造等体积的无盖正方体池塘， ∴正方体的体积也为， ∴正方体的边长为， ∴待建的三面墙的总长度是． 题型十三、无理数整数部分有关的运算 解｜题｜技｜巧 先估算出该无理数的整数部分a和小数部分b（b = 原数 - a，且0<b<1）。然后代入所求代数式进行运算。常见题型：已知√x的整数部分为a，小数部分为b，求关于a、b的代数式的值。关键是准确估算。 【典例1】（25-26八年级上·山东青岛·月考）若的整数部分是a，的整数部分是b，则的值是（    ） A．0 B．6 C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的估算及其整数部分，根据无理数的估算得出，代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·月考）已知x是的整数部分，y是的小数部分，则的相反数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了无理数的估算、整数部分与小数部分的定义及相反数的概念，解题的关键是通过“夹逼法”确定的取值范围，进而推导的范围，求出其整数部分和小数部分． 先利用“夹逼法”，根据确定的范围；再根据不等式性质变形，得到的取值范围，从而确定其整数部分；用减去整数部分，得到小数部分；计算的值后，根据相反数定义求出最终结果． 【详解】解：∵，即；   ∴不等式两边同乘，得；   不等式两边同加，得，即；   ∵是的整数部分，   ∴；   ∵是的小数部分，且“小数部分原数整数部分”，   ∴；   ；   ∵相反数是“绝对值相等、符号相反的数”，   ∴的相反数为， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·山东青岛·期中）某数学兴趣小组准备探究无理数． (1)到底有多大？下面是探索的近似值的过程，请补充完整： 如图甲所示，我们知道面积是5的正方形边长是，且． 设．由图形可得： 因为x值很小，所以更小，略去，得方程， 解得______（保留到0.001），即______． (2)数学兴趣小组依据上面的方法接着探究的近似值，如图乙所示，面积是10的正方形边长是，且．设，……请把图乙和剩余的过程补充完整（结果保留到0.001） (3)怎样画出和，请你一起参与探索画的过程．兴趣小组的做法是：设新正方形的边长为x（）．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把5个边长为1的正方形，如图①所示进行分割，然后在图②中用实线画出拼接成的新正方形．如图③所示，现有10个边长为1的正方形，请参考上面的做法，把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图③中画出分割线，并在图④中用实线画出拼接成的新正方形，直接画出图形即可． 【答案】(1)0.036，2.236 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意先补充图形，然后可得方程，进而根据题意的解题过程可进行求解； （3）根据题意可进行作图． 【详解】（1）解：由题意得：，； 故答案为0.036，2.236； （2）解：补充图形如图所示： 由图形可得：． 因为x值很小，所以更小，略去，得方程， 解得（保留到0.001），即； （3）解：所作图形如图所示： 题型十四、实数的分类 解｜题｜技｜巧 分类的关键是把握定义。实数分为有理数和无理数。有理数包括整数和分数（有限小数和无限循环小数）。无理数是无限不循环小数，典型代表是开方开不尽的数（如√2）和特定意义的数（如π）。分类时要确保集合间不重不漏。 【典例1】（25-26七年级上·山东临沂·期中）把下列各数填在相应的横线上．(填序号) ①；②；③；④0 ；⑤；⑥；⑦ (依次多一个0)． (1)正分数： (2)整数： (3)无理数： (4)实数： 【答案】(1)②⑤ (2)①④⑥ (3)③⑦ (4)①②③④⑤⑥⑦ 【分析】本题考查了实数的分类．立方根． （1）根据正分数的定义判断即可； （2）根据整数的定义判断即可； （3）根据无理数的定义判断即可； （4）根据实数的定义判断即可． 【详解】（1）解：， 正分数：②⑤； （2）解：整数：①④⑥； （3）解：无理数：③⑦； （4）解：实数：①②③④⑤⑥⑦． 【变式1】（25-26七年级上·山东菏泽·期中）把下列各数填入相应的大括号内： ，，，，，，，， 整数集合：{                                             ．．． } 分数集合：{                                             ．．． } 非负数集合：{                                         ．．． } 【答案】见解析 【分析】本题考查了实数的分类，解答本题的关键是明确它们各自的定义，从而可以将题目中的数据写入相应的集合中．根据题目中的数据可以将相应的数据写入相应的集合中即可． 【详解】解：，， 整数集合：，，，，； 分数集合：，， ； 非负数集合：，，，，，． 【变式2】（25-26七年级上·山东临沂·期中）已知一组数2，，，，0，，，．把这些数分别填在下面对应的集合中． ①负数集合：{                    }； ②整数集合：{                    }； ③分数集合：{                    }； ④非负数集合：{                    }； 【答案】见解析 【分析】本题考查了实数的分类，绝对值，非负数是指大于或等于0的数，包括正数和0． 首先化简绝对值，然后根据有理数的分类求解即可． 【详解】解：， ①负数集合：{，，}； ②整数集合：{ 2，，0 }； ③分数集合：{，，， }； ④非负数集合：{2，， 0，，}； 题型十五、实数的性质 解｜题｜技｜巧 关注实数的“四性”：有序性（可比较大小）、稠密性（任意两实数间存在无数实数）、封闭性（四则运算结果仍为实数）、与数轴一一对应。解题时，常利用其与有理数共有的运算律（交换、结合、分配律）进行简便计算。 【典例15】（25-26七年级上·江苏南京·月考）实数2023的相反数是（   ） A． B．2023 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相反数定义：只有符号不同的两个数互为相反数．根据相反数定义直接求值即可得到答案． 【详解】解：实数2023的相反数是． 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）下列各组数中互为相反数的是() A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查了求立方根与算术平方根，相反数，实数的性质；通过计算每组数的值，判断其和是否为零，只有选项C中的两个数互为相反数． 【详解】解：A：∵=，∴与相等，不互为相反数． B：∵，∴，∴与相等，不互为相反数． C：∵=，∵=．∴与互为相反数， D：∵，∴不互为相反数． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·云南普洱·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的绝对值，熟记绝对值定义是解决问题的关键． 根据绝对值的定义，负数的绝对值是它的相反数即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 题型十六、实数与数轴 解｜题｜技｜巧 理解“一一对应”是核心：每个实数都能用数轴上唯一的点表示；反之，数轴上每个点都对应唯一的一个实数。应用时，可在数轴上标出无理数的近似位置（如√2在1和2之间），或将几何距离问题转化为实数计算。 【典例16】（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点A与表示的点重合，圆沿着数轴滚动一周，此时点A表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查数轴上的点，圆的周长，掌握相关知识是解题关键．分两种情况讨论：当圆沿着数轴往右或往左滚动一周，所经过的路径长为圆的周长，据此解答． 【详解】解：圆滚动一周所经过的路径长为： 当圆沿着数轴往右滚动一周，此时点A表示的数是：； 当圆沿着数轴往左滚动一周，此时点A表示的数是：， 综上所述，点A表示的数是或， 故选：C． 【变式1】（2012·江苏盐城·一模）如图，数轴上表示1，的点分别为A，B，且，则点C所表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴与实数；首先根据数轴上表示1，的对应点分别为A，B可以求出线段的长度，然后由利用两点间的距离公式便可解答．解题的关键是掌握数轴上两点间距离公式． 【详解】解：∵数轴上表示1，的对应点分别为A，B， ∴， ∵， ∴点C的坐标为：． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，． (1)点A表示的数是______，点A表示的数______（填“”、“”或“=”）； (2)在数轴上作出所对应的点（保留作图痕迹）； (3)这种研究和解决问题的方式，体现了______的数学思想． A．数形结合    B．方程   C．分类讨论    D．化归 【答案】(1)， (2)见解析 (3)A 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，无理数的大小估算等知识点． （1）根据勾股定理得到，即可求解点A表示的数，再根据无理数的估算方法比较大小； （2）以点为圆心画弧，交原点右侧数轴即点，则可得，那么点表示的数即为； （3）根据题干以及解析即可确定解题思想． 【详解】（1）解：∵，且在原点左侧， ∴点A表示的数是为， ∵， ∴， 点A表示的数， 故答案为：，； （2）解：点表示的数即为； （3）解：这种研究和解决问题的方式，体现了数形结合的数学思想， 故答案为：A． 题型十七、实数的比较大小 解｜题｜技｜巧 常用四法：①数轴法：右边的数总比左边的大。②差值法：若a-b>0，则a>b。③平方法：比较正数a、b时，若a²>b²，则a>b（适用于含根号的数）。④近似值法：取无理数的近似小数进行比较。 【典例17】（25-26八年级上·山东青岛·期中）我国东汉时期数学家张衡首先推导出圆周率的近似值为，到南北朝时期，数学家祖冲之又给出圆周率分数形式的近似值为，试判断这两个数的大小关系： ．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查比较实数的大小关系，通过比较两个数的平方值来判断大小关系即可． 【详解】解：∵，， 又∵，， ∴ ， 故． 故答案为： 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·期中）比较大小： 1(填“”“”或“”)． 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，解题的关键是掌握实数的大小比较．根据，则，得到，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·山东青岛·月考）比较大小：（1） ；（2） ；（3） （填“>”或“<”） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较； （1）分别进行次方运算，再比较大小，即可求解； （2）分别平方，再根据两个负数的大小比较，即可求解； （3）根据得出，即可求解． 【详解】解：（1）∵ ∵ ∴ 故答案为：． （2）∵， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． （3）∵ ∴ ∴ 故答案为：． 题型十八、实数的混合运算 解｜题｜技｜巧 遵循运算顺序：先乘方开方，再乘除，后加减；有括号先算括号内。关键：1. 将根式看作一个整体参与运算；2. 灵活运用运算律（如分配律）简化计算；3. 结果通常化为最简形式（合并同类项，分母有理化）。 【典例18】（25-26八年级上·山东青岛·月考） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算算术平方根和化简绝对值，再计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级上·山东泰安·期中）计算： (1)； (2)； (3)已知a和b是实数，且，求的平方根． 【答案】(1)0 (2) (3)的平方根为 【分析】（1）先算出，，最后计算出结果； （2）先算出，，最后计算出结果； （3）先根据非负性求出a、b的值，然后计算后利用平方根的定义求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：， ， ， ， 的平方根为． 【点睛】本题考查了实数的运算、算术平方根、平方根和立方根、非负数的性质，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 【变式2】（25-26七年级上·山东泰安·月考）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查立方根、算术平方根、零次幂、负指数幂及实数的运算，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）根据立方根、算术平方根可进行求解； （2）根据立方根及实数的运算的可进行求解； （3）根据立方根、算术平方根及实数的运算可进行求解； （4）根据负指数幂、零次幂及实数的运算可进行求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 题型十九、实数混合运算的应用 解｜题｜技｜巧 常以实际应用题形式出现，如几何图形中的长度、面积、体积计算。解题步骤：1. 根据题意建立数学模型（公式或方程）；2. 代入数值进行实数运算；3. 根据实际意义（如长度为正）取舍结果，并按要求取近似值。 【典例19】（25-26八年级上·山东青岛·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是64，则输出的的值是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了无理数、算术平方根、立方根及计算程序的应用，正确理解计算程序图的计算步骤，会正确计算数的算术平方根及立方根，能正确判断有理数及无理数是解题的关键． 根据题意，利用算术平方根及立方根的定义计算，直至结果为无理数即可完成解答． 【详解】解：的算术平方根是， ∵是有理数， ∴取立方根为， ∵是有理数， ∴取算术平方根为， ∵是无理数， ∴． 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·期中）定义一种新运算：对于任意的非零实数下，．若，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了求分式的值；根据新运算的定义，将已知条件代入，求出关系式，然后代入所求表达式进行计算. 【详解】解：由定义， 则 故答案为：6. 【变式2】（24-25七年级下·福建福州·期中）哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)能；理由见解析 【分析】本题考查了平方根的应用，无理数的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据平方根的意义即可求解； （2）根据题意列方程，求出长方形的长与宽，可得长方形的周长，再经过估算即得答案． 【详解】（1）解： “混天绫”围成一个面积为 的正方形， 正方形的边长为， “混天绫”的总长度． 答：“混天绫”的总长度． （2）解：能，理由如下： 设长方形的长为米，宽为米， 依题意得 ， 解得或， ， ， 长方形的长为米，宽为米， 长方形的周长为， ， ， 能够完成新阵法． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（23-24七年级上·山东泰安·期末）下列说法中正确的是（    ） A．9的平方根是3 B． C．的算术平方根是4 D．的立方根是 【答案】B 【分析】本题考查平方根、算术平方根和立方根的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．根据定义逐项判断即可． 【详解】解： 9的平方根是，A选项只说了3，忽略负根，∴ A错误； ，∵ ，∴ B正确； ，4的算术平方根是2，∴ C错误； 的立方根是，不是，∴ D错误． 故选：B． 2．（25-26七年级上·山东济南·期中）定义关于有理数a，b的新运算：，其中a，b为整数且．例如：若，，则．若，则的结果为（     ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的运算，解题的关键是掌握新定义的运算法则．根据可推出，再根据，即可求解． 【详解】， ， ． 故选：B． 3．（25-26七年级上·山东威海·月考）下列说法错误的是（　　） A．与相等 B．与相等 C．与 是互为相反数 D．与互为相反数 【答案】D 【分析】本题考查平方、平方根、立方根及绝对值的性质． 解决本题的关键是根据平方、平方根、立方根及绝对值的性质得到正确结果，再进行判断． 【详解】A选项： ，与相等，故A选项正确，不符合题意； B选项：，， 与相等，故B选项正确，不符合题意； C选项：，与互为相反数，故C选项正确，不符合题意； D选项：，， ，两者相等，不互为相反数，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 4．（25-26七年级上·山东东营·月考）已知的算术平方根是，的立方根是，则的值为（    ） A．3 B．5 C．3或7 D．5或7 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的意义． 先计算的值，再求其算术平方根得到；计算的值，再求其立方根得到；最后求． 【详解】解：∵， ∴， ∵的算术平方根是， ∴． ∵的立方根是，， ∴． ∴． 故选B． 5．（25-26七年级上·山东滨州·期中）如图表示的数表，数表每个位置所对应的数都是1，2或3．定义为数表中第行第列的数．例如，数表第3行第1列所对应的数是2，所以．若，则的值为（   ） A．0，2 B．1，2 C．1，0 D．1，3 【答案】C 【分析】本题考查新定义运算，理解新定义运算规则是解决问题的关键． 由新定义计算，表示第行第列的数，再由在第列中，第行的数是；第行的数也是，从而列方程求解即可得到答案． 【详解】解：由定义为数表中第行第列的数， ，表示第行第列的数， 又在第列中，第行的数是；第行的数也是， 或， 解得或， 故选：C． 6．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）下列说法：①每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示；②没有平方根；③的算术平方根是4；④平方根与立方根相同的数是0和1；⑤的算术平方根是；⑥是的平方根．其中是真命题的有（   ） A．①②⑤ B．①⑤⑥ C．①②④ D．①②④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了实数的性质，利用平方根、算术平方根的意义，无理数与数轴的关系是解题的关键．根据平方根、算术平方根的意义，无理数与数轴的关系，可得答案． 【详解】解：①每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示，正确； ②当时，有平方根0，故原说法错误； ③的算术平方根是2，故原说法错误； ④平方根与立方根相同的数是0，故原说法错误； ⑤的算术平方根是，正确； ⑥是的平方根，正确． 综上所述：正确的有①⑤⑥． 故选：B． 7．（25-26八年级上·山西运城·期中）下列式子中表示“9的平方根是”的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解题思路是根据平方根的定义与表示方法，逐一分析每个选项的式子所表达的含义，匹配9的平方根是的正确表示．本题考查平方根的表示方法，涉及的知识点是平方根与算术平方根的定义及符号表示．解题中用到的方法是概念辨析法，通过区分平方根、算术平方根、立方根的符号与含义来判断．解题关键是明确表示算术平方根， 表示平方根．易错点是混淆平方根与算术平方根的符号表示，或误将立方根与平方根混淆． 【详解】选项A：表示的是的算术平方根是，不是平方根，不符合题意； 选项B：，符合的平方根是的表示方法； 选项C：是的立方根，与平方根无关，不符合题意； 选项D：表示的是的算术平方根的相反数是，不符合题意． 故选B． 8．（25-26八年级上·山东枣庄·月考）与最接近的整数是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了算术平方根的估算，利用“夹逼法”估算出的范围即可． 【详解】解：∵，即 ∴， ∴与最接近的整数是8． 故答案为：8． 9．（25-26七年级上·山东青岛·月考）如果定义新运算“※”，满足，那么 ． 【答案】5 【分析】此题主要考查新定义运算． 根据新定义运算，将a和b的值代入表达式进行计算． 【详解】解：由定义，，代入，，得： ． 故答案为：5． 10．（25-26八年级上·山东滨州·月考）定义运算“”，其法则为，则方程的解是 ． 【答案】或 【分析】本题属于新定义计算，根据平方根的定义解方程，掌握新的运算法则是解答本题的关键．按照题中给出的运算法则将所给式子进行变形，得到关于x的方程，然后利用平方根解方程即可得答案． 【详解】解：根据运算定义，， 因此． ∵， ∴， 移项得， 即， 解得． 故答案为：或． 11．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）铺装一间面积为的办公室地面，恰好用完大小相同的75块正方形地板砖，则每块地板砖的边长是 m． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的应用．根据总面积和地板砖数量，先求出每块地板砖的面积，再根据正方形面积公式求边长，即可作答． 【详解】办公室总面积为，使用块相同的正方形地板砖， 则每块地板砖的面积为， ∴每块地板砖的边长 故答案为： 12．（25-26八年级上·山东·月考）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）先计算算术平方根，立方根，绝对值，有理数的乘方，最后进行加减即可； （2）根据解方程的步骤和平方根的定义求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ， ， 解得：，． 【点睛】本题考查算术平方根，立方根，绝对值，有理数的乘方与加减，利用平方根解方程，掌握相应的定义、性质及运算顺序是解题的关键． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 13．（23-24七年级上·山东泰安·期末）下列实数，，，，，（每相邻两个4之间一个0）中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义． 根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断每个数是否为无理数即可． 【详解】解：∵中的π是无理数，∴是无理数； ∵，是整数，∴是有理数； ∵，是整数，∴是有理数； ∵，是整数，∴是有理数； 是无理数； ∵（每相邻两个4之间一个0）是无限循环小数，∴是有理数； ∴无理数有2个． 故选：B． 14．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）若、互为相反数，、互为倒数，的平方为4，求的值为（   ） A．1 B．5 C．1或 D．1或5 【答案】C 【分析】本题考查相反数、倒数、乘方的性质，涉及的知识点是“互为相反数的两数和为0”“互为倒数的两数积为”“平方为的数有两个”．解题方法是先根据定义求出、、的值，再分情况代入式子计算；解题关键是注意的取值有两个，需分情况讨论．易错点是忽略的正负两种情况，导致漏解．解题思路为：先利用相反数、倒数、乘方的性质得到、、，再分和两种情况代入式子计算结果． 【详解】∵互为相反数， ∴． ∵互为倒数， ． ， 或． 当时，=． 当时，=． 故选C． 15．（24-25八年级上·四川内江·月考）如图，若数轴上的点，，，，分别表示数，，，，，则表示的点应在线段（    ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数与数轴，无理数的大小估计， 先估算出，然后根据数轴上点的位置即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 点代表数， 点代表数， 表示的点应在线段上， 故选：D． 16．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）将全体自然数的算术平方根如图进行排列，如第3行第2列是，那么第101行第100列是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根及规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键．通过观察可知第n行第列：n为偶数时，n为奇数时，由此规律即可求解． 【详解】解：第2行第1列， 第3行第2列， 第4行第3列， 第5行第4列， …… 第n行第列： n为偶数时， n为奇数时， 当时，第101行第100列为． 故选：B． 17．（25-26八年级上·广东佛山·月考）对于实数P，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作后变为2．类似的，要想让2025变为2，需进行的操作次数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，实数的运算，理解已知条件的规定：用表示不小于的最小整数，是解题的关键．仿照题目已知的例题即可解答． 【详解】解：由题意得： 2025， ∴对2025只需进行4次操作后变为2； 故选：B． 18．（24-25七年级下·福建漳州·期末）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值，熟练掌握整式的运算法则进行化简是解题的关键，根据已知得出，根据整式的运算法则进行化简，再代入求出即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ． 故答案为：9． 19．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数． (1)实数的值是 ； (2)求的值； (3)数轴上另有，两点分别表示实数和，且，求的算术平方根． 【答案】(1) (2)的值为； (3)的算术平方根为． 【分析】（1）根据题意可知比小2，即可求解； （2）结合（1），把的值代入计算即可； （3）根据绝对值和算术平方根的非负性，可得，，可得，即可得，求算术平方根即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， ∴实数的值是． 故答案为：． （2）解：∵， ∴ ． ∴的值为． （3）解：∵，，， ∴，， 解得，， ∴， ∴， ∵， ∴的算术平方根为． 【点睛】本题考查实数与数轴，绝对值，代数式求值，绝对值的非负性，算术平方根的非负性，求算术平方根． 20．（25-26八年级上·广东深圳·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，以及负整数指数幂、零指数幂、绝对值、完全平方公式、平方差公式、实数运算；解题关键点在于公式正确应用，符号与正负判断；易错点在于负整数指数符号幂、绝对值化简、公式漏项； （1）先将负整数指数幂、零指数幂、绝对值，分别处理，再相加减，计算结果即可； （2）用完全平方公式展开，用平方差公式，再将两部分相加即可． 【详解】（1） ． （2） ． 21．（25-26七年级上·山东威海·期中）（1）已知一个正数的两个不相等的平方根与，求这个正数的值； （2）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的平方根． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据平方根求原数． （1）一个正数的两个平方根互为相反数，据此可得，解方程求出平方根，即可求出这个数； （2）根据平方根的定义得到，，据此求出a、b的值，进而求出的值，最后根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不相等的平方根与， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵的平方根是，的算术平方根是4， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根为． 22．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）对于任意有理数m，n定义一种新运算： (1)若，，求的值； (2)已知点A，点B在数轴上表示的数分别为，x（点A在点B的左侧），且A，B两点的距离是7，y是的相反数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义的运算，有理数的加减混合运算，数轴上两点的距离，绝对值的化简，相反数的定义，理解新定义运算规则，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据新定义运算规则，将，代入直接计算即可； （2）先根据数轴上两点的距离和相反数的定义得出的值分别为，然后根据新定义计算，最后计算即可． 【详解】（1）解：， ， 答：的值为． （2）解：∵点A，点B在数轴上表示的数分别为，且在的左侧，距离是， ∴， 是的相反数，且， ∴， ， ， 答：的值为． 23．（25-26八年级上·山东枣庄·月考）数学张老师在课堂上提出一个问题：通过探究知道：…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答： (1)的整数部分是________． (2)a为的小数部分，b为的整数部分，求的值． (3)已知，为的整数部分，y为的小数部分，求的值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数的运算，熟知无理数的估算方法是解题的关键． （1）根据无理数的估算方法求出的取值范围即可得到答案； （2）根据无理数的估算方法求出和的取值范围，进而确定a、b的值，再代值计算即可； （3）估算出的取值范围，进而确定x、y的值，再代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为3； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为，的整数部分为1， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴的整数部分为9，小数部分为， ∴， ∴ ． 24．（25-26六年级上·山东烟台·期中）规定一种新运算：，例如，根据此规定，计算下列各式： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义下的运算，含乘方的有理数的混合运算，掌握知识点是解题的关键． （1）根据新定义下的运算列式，再进行有理数的混合运算即可； （2）根据新定义下的运算列式并计算乘方，再进行有理数的混合运算即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ． （2）解： ． 25．（25-26八年级上·全国·期中）如图，已知点A表示的数为，点A向右平移3个单位长度到达点B． (1)点B表示的数为 ； (2)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握互为相反数的定义和绝对值与算术平方根的非负性． （1）根据数轴上点的移动规律：左减右加的性质，进行计算即可； （2）根据互为相反数的定义和绝对值与算术平方根的非负性，列出关于，得到方程，求出，，从而求出答案． 【详解】（1）解：设点B表示的数为x， ∵点A表示的数为，， ， ∴点B表示的数是， 故答案为：； （2）解：∵与互为相反数， ∴， ， ∴，， 解得：，， ∴ ， ∴的平方根是． 26．（25-26八年级上·山东济南·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷． (1)如图，在数轴上找出表示的点，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，的长为半径作弧，则弧与数轴的交点表示的数是 ； (2)如图，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出尺，斜放就恰好等于门的对角线（），已知门宽尺，求竹竿长． 【答案】(1) (2)竹竿长尺 【分析】本题考查了勾股定理的应用，实数与数轴，理解题意，熟练掌握勾股定理是解答的关键． 1）根据勾股定理求得，根据实数与数轴关系解答； （2）竹竿长x尺，则门高尺，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，，， 在中，， ， 点表示的数为， 故答案为：； （2）解：设竹竿长尺， 由题意得，竹竿，门高尺，门宽尺， 在中，， ， ， 解得， 答：竹竿长尺． 27．（25-26八年级上·河南驻马店·月考）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚不假思索就准确地说出了答案．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．（参考数据：，，，，，，，，） (1)你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请你将下面的步骤补充完整； 由，可知是________位数． 因为59319的个位上的数是9， 所以的个位上的数是________． 因为若划去59319后面的三位319得到59，而， 所以十位上的数是________． (2)已知12167是整数的立方，请你按照（1）中的方法求出它的立方根； (3)请直接写出________． 【答案】(1)两；； (2) (3) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据所给案例分析解题方法是解题的关键． （1）根据解题思路进行判断即可； （2）根据，可得是两位数，根据末尾上是，确定个位数是，再根据，可得十位上是，即可得解； （3）根据（2）可得，即，可得，即可得解； 【详解】（1）由，可知是两位数． 因为59319的个位上的数是9，， 所以的个位上的数是9． 因为若划去59319后面的三位319得到59，而， 所以十位上的数是3． 故答案是：两，，． （2）由，可得是两位数， 末尾上是，， 个位数是， 划去后面三位数，剩下， ， 十位数是， ． （3）根据（2）可得，即， ， ． 故答案是：． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 28．（25-26七年级上·河南濮阳·期中）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．例如：，．下列说法：①；②；③若，且，则或，其中正确的有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义理解以及整数部分的确定和分类讨论思想．根据整数部分和小数部分的定义，表示不超过的最大整数，表示不超过的最大整数，若，需分和进行讨论，逐项判断每个说法的正误即可． 【详解】表示不超过的最大整数，为，故①正确； 表示不超过的最大整数，为，故②正确； ，， 当时，，， 当时，，， 或，故③正确； 综上，正确的有个， 故选：． 29．（25-26九年级上·山东济宁·月考）定义表示不超过实数x的最大整数，如，，，则方程的解为（   ） A．或 B．或或 C．或 D．或或或 【答案】D 【分析】本题考查了新定义的理解与应用，运用分类讨论思想是解题的关键．设（为整数），则方程可化为．因为，所以．那么，即，解得，再对整数进行分类讨论，分别求解方程，最后综合所有情况得到方程的解． 【详解】设（为整数）， 则方程可化为． 因为， 所以． 那么，即． 先看，移项可得， 因式分解为， 解得． 再看， 展开可得，移项得到， 对于二次函数， 其判别式， 且二次项系数大于0，所以恒大于，为任意整数都成立． 当时，，即，解得，此时，符合题意． 当时，，即，解得，所以符合题意． 当时，，即，解得，，所以符合题意． 当时，，即，解得，所以符合题意． 综上，方程的解为或或或． 答案选． 30．（25-26九年级上·北京·开学考试）如图，正方形的两个顶点在数轴上，分别表示数和，以表示数的顶点为圆心，以正方形的对角线为半径画弧，分别交数轴于点A，，设点A，表示的数分别为，，则下列说法不正确的是（   ） A．的值随着的变化而变化 B．线段的长始终不变 C．一定是无理数 D．的面积随着的变化而变化 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，无理数，实数与数轴，关键是由勾股定理求出的长．求出，由勾股定理得到，因此，由三角形面积公式得到的面积，求出，由，得到． 【详解】解：、分别表示数和， ， 四边形是正方形， ，， ， ，故B不符合题意； 的面积， 故D符合题意； ，表示的数分别为，， ， ， 一定是无理数，故C不符合题意； ，，， ， ， 的值随的变化而变化， 故A不符合题意． 故选：D． 31．（23-24七年级下·山东德州·月考）已知，，，…，，其中n为正整数．设，则值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的化简以及实数数字类的规律探索；探索规律，准确计算是解题关键．根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案． 【详解】解：由题意，可得 ， ， ， …… ， ∴ ． 故选：A． 32．（24-25八年级上·四川成都·期中）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟悉掌握二次根式的估算是解题的关键． 由于两个分数的分母相同，只需比较分子的大小关系即可． 【详解】解：比较分子和 ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 33．（2025·甘肃张掖·一模）记实数中的最小数为，例如．已知，a，b是两个连续的正整数，记的算术平方根为，记y的最大值为N，则 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，算术平方根，以及一次函数与反比例函数的交点问题，夹逼法求出的范围，进而求出的值，根据算术平方根的定义，求出的值，画出函数图象，确定y的最大值，进而确定的值，进一步求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，且a，b是两个连续的正整数， ∴， ∴， 画出函数的图象如图： 由图象可知，的最大值为点的纵坐标， 联立，解得：或， ∴， ∴； 故答案为：． 34．（25-26八年级上·上海·月考）是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可以用来表示的小数部分． (1)的小数部分是____________ (2)已知，其中x是整数，且，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，能估算出，的范围是解此题的关键． （1）先估算出的范围，即可得出答案； （2）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的小数部分为：． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，其中x是整数，且， ∴，， ∴， ∴的平方根是． 35．（24-25七年级下·福建厦门·期末）某校的数学兴趣小组开展主题为“纸张中的奥秘”的探究活动． 【探究一】正方形纸张的对角线的长 如图1，该小组用了两个面积为的小正方形分别沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到一个面积为的大正方形． （1）根据上述操作过程，小正方形的对角线的长为_____； 【探究二】A型纸中的奥秘 根据国际标准，系列纸为长方形，其中A4纸的宽为．将A0纸沿长边对折、裁开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、裁开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、裁开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、裁开，便成A4纸；……将A4纸按如图2所示的方式折叠． 根据上述操作过程， （2）直接写出A4纸的长； （3）求A0纸的长和宽；（结果保留根号） 【探究三】拓展迁移 该兴趣小组类比A型纸，设计了一种长方形纸张，该长方形纸张沿着长边的五等分点所连线段裁开成5个相同的小长方形，这5个小长方形的长宽比与大长方形的长宽比相同，记该种长方形纸张为型纸．他们用5个边长为的正方形，通过剪拼得到宽为的型纸的长，截取该长度，画出一张型纸． （4）根据上述描述，请你借助5个图3的正方形，剪拼得到M型纸的长，并在图4中画出这张型纸．（说明：不需要尺规作图，但需要保留类似于图2的裁切线和设计的操作步骤） 【答案】（1）（2）（3）长为，宽为（4）图见解析 【分析】本题考查折叠的性质，算术平方根的实际应用，熟练掌握折叠的性质，算术平方根的定义，是解题的关键： （1）由图可知，小正方形的对角线的长即为大正方形的边长，进行求解即可； （2）根据折叠得到A型纸的长与宽的比为正方形的对角线与边长的比即为：，进行求解即可； （3）纸是由纸经过4次折叠后得到的，进而得到纸的长和宽均为纸的长和宽的4倍，进行求解即可； （4）设型纸的长为，宽为，根据题意得到，得到M型纸的长为，而5个小正方形的面积恰好为，进而得到M型纸的长为5个小正方形构成的一个大正方形的边长，画图即可． 【详解】解：（1）由图可知，小正方形的对角线的长即为大正方形的边长， ∵大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为，即小正方形的对角线长为； 故答案为：； （2）由图可知，折叠上去的斜边正好与长方形的长相等， ∴A型纸的长与宽的比为正方形的对角线与边长的比， 由（1）可知，正方形的对角线与边长的比为， ∴故A型纸的长与宽的比为， ∵纸的宽为， ∴纸的长为； （3）∵纸是由纸经过4次折叠后得到的， ∴纸的长和宽均为纸的长和宽的4倍， ∵纸的长为，宽为， ∴纸的长和宽分别为和； （4）设型纸的长为，宽为， ∵该长方形纸张沿着长边的五等分点所连线段裁开成5个相同的小长方形， ∴小长方形的长为，宽为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴M型纸的长为， ∵5个小正方形的面积恰好为， ∴将5个小正方形按照如下图剪拼成一个大正方形的边长即为M型纸的长， 因此如下图即为所求： 试卷第34页，共35页 17 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $