专题5-2 一元一次方程的应用（期末复习讲义，必备知识+14大题型+过关检测）七年级数学上学期新教材浙教版

该初中数学一元一次方程应用期末复习讲义通过表格系统梳理14个核心考点，明确各题型复习目标与考情规律，结合知识点框架图呈现列方程步骤及常见数量关系，清晰展现知识脉络与重难点内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，含典例及变式题覆盖各类应用场景，如顺逆流问题解题技巧强调路程相等关系，方案选择问题培养推理意识。配备易错点拨与通关练习，助力不同学生提升，支持教师精准教学与学生自主复习。

专题5-2 一元一次方程的应用（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 和差倍分问题 1. 能准确识别“和、差、倍、分”关键词；2. 会根据数量关系设未知数（通常设较小量或“是”后面的量为x）；3. 能列出一元一次方程并求解验证 高频必考考点，选择，填空，解答中都会考察，一般期末压轴题也会有方程的应用问题。 古典问题 1. 能理解古典问题的题意，提炼隐藏的数量关系；2. 会根据“总数量”“总价值”等核心条件列方程；3. 能结合实际意义验证解的合理性 普通行程问题 1. 熟练掌握行程问题核心公式及变形（速度=路程÷时间，时间=路程÷速度）；2. 能区分相遇、追击问题的等量关系；3. 会根据题意设元并列出方程 顺逆流问题 1. 牢记顺逆流速度的核心关系式；2. 能根据“路程相等”（如往返路程相同）或“时间关系”列方程；3. 会区分静水速度、水流速度、实际速度的概念 过桥/隧道问题 1. 理解过桥问题的总路程构成（桥长+车长）；2. 能结合行程公式列出方程；3. 会区分“完全过桥”“完全在桥上”的路程差异 日历问题 1. 掌握日历中数字的排列规律；2. 能根据规律设元表示未知日期；3. 会根据“日期和”“日期差”列方程并验证 工程问题 1. 熟练掌握工程问题核心公式及变形；2. 理解“工作效率”的含义（单位时间完成的工作量）；3. 能根据“工作总量为1”（通常设总工作量为1）或“部分工作量和为总工作量”列方程 配套问题 1. 能从题意中找出配套的比例关系；2. 会设元表示两种配套产品的数量；3. 能根据配套比例列方程 销售问题 1. 熟练掌握销售问题核心公式及变形；2. 理解“折扣”的含义（如8折=原价×0.8）；3. 能根据“盈利/亏损金额”“利润率”列方程 比赛积分问题 1. 能从题意中提炼比赛积分规则（如胜一场得3分，负一场得0分，平一场得1分）；2. 会设元表示胜、负、平的场数；3. 能根据总积分列方程并验证 方案选择问题 1. 能根据题意列出不同方案的费用（或收益）表达式；2. 会通过方程求两种方案费用相等时的临界值；3. 能根据临界值选择不同范围内的最优方案 数字问题 1. 掌握多位数的表示方法；2. 能根据“数字位置变化后的新数与原数的关系”列方程；3. 会验证解的合理性（数字为0-9的整数） 分段收费问题 1. 能从题意中找出分段节点和各段收费标准；2. 会根据“总费用”或“已知费用求用量”列方程；3. 能区分不同用量对应的收费区间 数轴上的动点问题 1. 能根据动点的起始位置、速度、方向，用含t的代数式表示动点位置；2. 会利用数轴上两点距离公式（|a-b|）列方程；3. 能分类讨论动点运动的不同情况（相遇、追击、距离最值） 知识点01列方程解应用题的步骤: ①审:审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设:设未知数(一般求什么，就设什么为x ③找:找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列:根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解:解所列出的方程，求出未知数的值固答:检验所求解是否符合题意，写出答案(包括单位名称) 知识点02一元一次方程应用问题常见题型数量关系 （1）和、差、倍、分问题：和、差、倍、分对应两个量之间的加、减、乘、除，解题时要注意弄清倍、分关系和多少关系等； （2）增长（减少）率问题：增长后的量=原有量×（1+增长率）；降低后的量=原有量×（1-降低率）； （3）等积变形问题：长方形体积=长×宽×高；圆柱体积=； （4）行程问题：路程=速度×时间；快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离（相向而行）；快车行驶路程-慢车行驶路程=原距离（同向而行）。 （5）航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度； （6）调配问题：从调配后的数量关系中找等量关系； （7）比例分配问题：全部数量=各种成分的数量之和； （8）年龄问题：大小两个年龄的差不会变； （9）工程问题：工作量=工作效率×工作时间；两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量；一般情况下，把总工作量设为1. （10）销售问题：商品的售价=商品的标价×折扣；商品的利润=商品售价-商品进价；商品的利润率=； （11）数字问题：设分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为； （12）储蓄问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×（1+利率×期数）； （13）浓度问题：溶液质量=溶质质量+溶剂质量；百分比浓度=；溶质质量=溶液质量×百分比浓度。 题型一 和差倍分问题 【典例1】（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）“我与好书为伴，千里江山万里海”，某校七年级开展阅读好书活动．小明5天里阅读的总页数比小亮7天里阅读的总页数少12页，小明平均每天阅读的页数比小亮平均每天阅读的页数的2倍少12页，若设小亮平均每天阅读页，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系是解题关键．设小亮平均每天阅读页，则小明平均每天阅读页，再根据“小明5天里阅读的总页数比小亮7天里阅读的总页数少12页”，列方程求解即可． 【详解】解：设小亮平均每天阅读页，则小明平均每天阅读页， 由题意可知，， 故选：A． 【变式1】（24-25七年级上·浙江·期末）某校组织七年级全体师生参加社会实践活动．如果单独租用30座客车若干辆，会有15人没有座位；如果单独租用45座客车，可少租3辆，且还余15个座位．由此可知，七年级全体师生的人数为 ． 【答案】345 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设单独租用30座客车x辆，根据总人数不变，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题． 【详解】解：设单独租用30座客车x辆，则七年级全体师生的人数为人， 由题意得：， 解得：， ∴， 即七年级全体师生的人数为345人， 故答案为：345． 【变式2】（24-25七年级上·浙江金华·期末）某班同学外出研学，途中班长在队伍中数了一下他前后的人数，发现前面人数是后面的三倍，他往前超了11位同学，发现前面的人数和后面的人数一样，则这个班级共有学生 人． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意假设这列队伍前面人，后面则有人，利用他往前超了11位同学，发现前面的人数和后面的人数一样得出方程求解即可． 【详解】解：设这列队伍前面人，后面则有人， 根据题意得出：， 解得：， 这个班级共有学生． 故答案为：． 【变式3】（22-23七年级上·浙江杭州·期末）有两所图书馆，自建馆以来每年各进图书0.5万册．若今年甲馆共有藏书27万册，乙馆共有藏书11万册，从今年起，n年后甲馆的藏书是乙馆的2倍，则 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题意知n年后甲馆共有藏书万册，乙馆共有藏书万册，结合n年后甲馆的藏书是乙馆的2倍列方程求解即可． 【详解】解：由题可知，n年后甲馆共有藏书万册，乙馆共有藏书万册， ∴， 解得， 故答案为：10． 题型二 古典问题 【典例1】（23-24七年级上·浙江宁波·月考）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一、书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六、问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：共有几个人？”设共有个人共同出钱买鸡，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键． 鸡的价钱是固定不变的，根据两种出钱方式分别表示鸡价，并令其相等即可列出方程． 【详解】设共有x个人， ∵每人出9钱，盈11钱， ∴鸡价； ∵每人出6钱，不足16钱， ∴鸡价； ∵鸡价不变， ∴． 故选：A． 【变式1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四；问人数、物价各几何？题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱；合伙人数、物品的价格分别是多少？解：设人数为x人，则下面列出的方程正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据“若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱”，可列出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：∵若每人出钱，则会多出钱， 物品的价格为钱； 若每人出钱，则还少钱， 物品的价格为钱， 根据题意得可列出方程． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）在《算法统宗》中有这样一个问题：牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童？题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个，则多2个杏．有多少个牧童？设有个牧童，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程．根据若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏，可以列出方程． 【详解】解：由题意可得，， 故选：D． 题型三 普通行程问题 【典例1】（25-26七年级上·江苏连云港·月考）甲乙两车在南北方向的笔直公路上相距190千米，相向而行，甲出发30分钟后，乙再出发，甲的速度为60千米/时，乙的速度为40千米/时，则乙出发（  ）小时后甲乙相距10千米． A．2或2.5 B．2.5 C．1.5或1.7 D．1.5 【答案】C 【分析】本题主要考查实际问题与一元一次方程；设乙出发x小时后甲乙相距10千米，分相遇前和相遇后两种情况列方程求解． 【详解】解：设乙出发x小时后甲乙相距10千米． ∵甲先出发30分钟（0.5小时）， ∴甲行驶时间为小时，甲行驶路程为千米， 乙行驶路程为千米． ①相遇前相距10千米时： 即 ， ； ②相遇后相距10千米时： 即， ， ， ∴或1.7， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）甲乙两人在400米的环形跑道上赛跑，若两人同时同地反向出发，则分钟相遇，且乙的速度是甲的速度的．现两人利用课间10分钟在环形跑道上赛跑，若他们在同一地点出发，同向而行，乙先跑15秒，再经过 分钟，两人相距80米． 【答案】3或9 【分析】该题考查了一元一次方程的应用，首先根据反向相遇条件求出甲、乙的速度，然后计算乙先跑15秒后的领先距离，再根据同向追及问题建立方程，考虑环形跑道相距80米的两种情况求解时间． 【详解】解：设甲的速度为米/分钟，则乙的速度为米/分钟． 则， 解得：， 则甲的速度为200米/分钟，乙的速度为米/分钟． 乙先跑15秒，即分钟，领先距离为米, 设甲开始跑后经过分钟，两人相距80米, 则或， 解得，或（舍去）, 解得或（舍去）, 故再经过3分钟或9分钟，两人相距80米． 故答案为：3或9． 【变式2】（25-26七年级上·江苏常州·月考）周末小明和小亮约定，两人沿恐龙园和青枫公园之间的同一条路线骑行，这条路线的总路程为．小明骑自行车从青枫公园出发，平均速度为；小亮骑自行车从恐龙园出发，平均速度是小明的倍．两人同时出发，相向而行，经过多少时间相遇？ 【答案】经过小时相遇． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 两人相向而行，相遇时间等于总路程除以速度之和．小亮的速度是小明的倍，先求出小亮的速度，再求相对速度，最后计算时间． 【详解】解：小明速度为，小亮速度为， 两人相向而行，相对速度为， 总路程为， 设相遇时间为t小时，则， 解得， 所以，相遇时间为小时． 题型四 顺逆流问题 解｜题｜技｜巧 1. 先明确已知量：区分静水速度（船本身速度）、水流速度、顺/逆流实际速度； 2. 找等量关系：多为“往返路程相等”（顺流路程=逆流路程），即顺流速度×顺流时间=逆流速度×逆流时间； 3. 设元：通常设静水速度或水流速度为x 易｜错｜点｜拨 1. 混淆顺逆流速度公式（如逆流速度误算为静水速度+水流速度）； 2. 未统一路程或时间单位； 3. 忽略“往返路程相同”的隐含条件； 4. 计算时符号错误 【典例1】（25-26七年级上·山东济宁·月考）港口之间的水流速度为，某轮船在静水中的速度为，已知该轮船在两港口之间往返一次的时间为，设两港口之间的距离为，则有（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，掌握顺流速度为静水速度加水流速度、逆流速度为静水速度减水流速度是解题关键． 轮船往返一次的时间包括顺流和逆流时间，顺流速度为静水速度加水流速度，逆流速度为静水速度减水流速度，总时间为顺流时间与逆流时间之和，据此列方程即可． 【详解】解：设A、B两港口之间的距离为， 顺流时间，逆流时间， ∵往返一次总时间为5h， ∴． 故选D． 【变式1】（25-26七年级上·浙江·月考）沿着水流速为每小时2千米的河边，有两个城镇、，在静水中速度为每小时10千米的船，往返、之间需要5小时．求、之间的距离． 【答案】24千米 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设、之间的距离为x千米，根据题意可求出船的顺水速度和逆水速度，再根据时间等于路程除以速度建立方程求解即可． 【详解】解：设、之间的距离为x千米， 由题意得，， 解得， 答：、之间的距离为24千米． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）一艘轮船在两码头之间匀速航行．已知水流的速度是，轮船顺水航行所需的时间是，逆水航行所需的时间是．求这两个码头之间的路程． 【答案】 【分析】此题考查了列一元一次方程解应用题，解题的关键是审题，找到题目中的数量关系．设船在静水中的速度为．根据顺水航行和逆水航行的速度关系，列出方程求解． 【详解】解：设船在静水中的速度为． 水流速度为，顺水航行时间为，逆水航行时间为， 顺水航行时，船速为，逆水航行时，船速为， 由于路程相同，得方程：， 解得：， 代入求路程：， 答：两个码头之间的路程是． 题型五 过桥/隧道问题 解｜题｜技｜巧 1. 核心公式：①完全过桥（车头进桥到车尾离桥）：总路程=桥长+车长；②完全在桥上（车尾进桥到车头离桥）：总路程=桥长-车长； 2. 设元：通常设车速或车长为x； 3. 结合行程公式：总路程=速度×时间列方程 易｜错｜点｜拨 1. 遗漏车长，将总路程误视为桥长； 2. 混淆“完全过桥”和“完全在桥上”的路程公式； 3. 单位不统一； 4. 计算总时间时漏算启动或停止的时间（题目未说明则忽略） 【典例1】（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）一列匀速行驶的火车，从车头进入米长的隧道到车尾离开隧道经历了秒，隧道顶部一盏固定的小灯的灯光在列车上照了秒，则这列火车的长度为 米． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用（行程问题），利用火车匀速行驶时速度不变的等量关系建立方程是解题的关键． 设这列火车长米，根据题意列方程解答即可． 【详解】解：设这列火车长米，由题意得 ， 解得， 所以这列火车的长度为米． 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级上·安徽六安·月考）一列普通列车匀速行驶，经过一条长的隧道，从车头进入隧道，到车尾离开隧道，共需要的时间．隧道口的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在列车上的时间是 设该列车的长度为． (1)用含的式子表示：从车头进入隧道到车尾离开隧道，列车所走的路程为__________，这段时间内列车的平均速度为___________； (2)求这列普通列车的长度； (3)相邻车道有一列长度为，匀速相向行驶的高铁列车经过．普通列车与高铁列车完成会车即从车头相遇开始到车尾相离时结束的时间是 求高铁列车的平均速度为多少？ 【答案】(1)， (2)这列普通列车的长为 (3)高铁列车的平均速度为 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的应用： （1）列车所走路程为隧道长与车身长之和，所走路程除以通过时间可得平均速度； （2）根据时间、速度、路程之间的关系列一元一次方程求解； （3）设高铁列车速度是，根据时间、速度、路程之间的关系列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：列车所走的路程为 ，这段时间内列车的平均速度为 ， 故答案为：，； （2）解：由题意可得，， 解得：， 答：这列普通列车的长为； （3）解：设高铁列车速度是， 普通列车的速度是， 依题意得：， 解得： 答：高铁列车的平均速度为． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）坐在匀速行驶的动车上的小宇在经过一座大桥时发现，车头刚上桥到车头离桥共需要150s；而从动车车尾上桥开始到车头离桥结束，整列动车完全在桥上的时间是148s．已知该列动车长为120m，求动车经过的这座大桥的长度． (1)小宇的思路是设这座大桥的长度为xm，则坐在动车上的小宇从刚上桥到离桥的路程为xm，所以动车的平均速度可表示为________m/s；从动车车尾上桥开始到车头离桥结束的路程为，所以动车的平均速度还可以表示为________m/s．再根据火车的平均速度不变，可列方程为________． (2)小恒认为，也可以设动车的平均速度为．按照小恒的思路可列方程为________． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）本题需要根据动车过桥的两种不同行程情况，利用 “速度 = 路程 ÷ 时间” 的关系，分别表示出动车的平均速度，再依据速度不变这一条件列出方程． （2）本题需要设动车的平均速度为，根据两种不同行程下桥长与速度、时间的关系，列出关于v的方程． 【详解】（1）车头刚上桥到车头离桥，路程为桥长x米，时间为150秒， ∵速度=路程÷时间， ∴速度可表示为， 动车车尾上桥开始到车头离桥结束，路程为米，时间为148秒， ∴速度还可表示为， ∵动车平均速度不变， ∴可列方程为：． （2）设动车的平均速度为， 车头刚上桥到车头离桥，路程为桥长，根据路程=速度×时间，桥长可表示为米， 动车车尾上桥开始到车头离桥结束，路程为桥长加动车长，即米， 所以可列方程为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，掌握 “速度 = 路程 ÷ 时间” 的公式，以及根据不同行程情况表示速度并利用速度不变列方程的方法是解题的关键． 题型六 日历问题 【典例1】（24-25七年级上·北京·期中）如图，图中给出的是某月的月历，任意选取“H”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，则这7个数的和不可能是（   ） A．63 B．70 C．96 D．105 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．根据题意设第一个数字为，再列方程依次等于选项，若解出未知数不为整数则符合题意． 【详解】解：设第一个数字为， 根据题意列这7个数的和的代数式为：， 当时，，即这7个数的和可能为63，A选项不符合题意， 当时，，即这7个数的和可能为70，B选项不符合题意， 当时，，即这7个数的和不可能为96，C选项符合题意， 当时，，即这7个数的和可能为105，D选项不符合题意， 故选：C． 【变式1】（25-26七年级上·湖北武汉·月考）如图所示的是某年2月份的月历，2月1日恰逢春节，也是农历壬寅虎年的开始．月历中，“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“U型”覆盖的五个数字之和为，“十字型”覆盖的五个数字之和为．若，则的最大值为（   ） A． B．69 C．59 D． 【答案】C 【分析】本题为日历规律探究，考查了整式的加减应用以及求代数式的值，一元一次方程的应用等知识﹒设“U型”覆盖的五个数字最小的数字为a，“十字型”覆盖的五个数字最小的为b，即可得到，，根据得到，根据a、b为正整数，即可得到a的最小值为1，b的最大值为11，此时的值最大，进而求出的最大值为59﹒ 【详解】解：设“U型”覆盖的五个数字最小的数字为a，“十字型”覆盖的五个数字最小的为b， 由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵a、b为正整数， ∴a的最小值为1，b的最大值为11，此时、均有意义，的值最大， 此时﹒ 故选：C 【变式3】（25-26七年级上·陕西延安·月考）如图是2025年10月份的日历表，用形如的框架框住日历表中的五个数（例如图中框住的五个数分别为5、7、13、19、21），对于框架框住的五个数字之和，计算结果不可能是（   ） A．75 B．100 C．115 D．120 【答案】D 【分析】本题考查了日历中数的排列规律，一元一次方程的应用及整数的计算，先设出中间的数，再根据日历中数的排列规律表示出其余四个数，进而得出这五个数的和的表达式，最后根据表达式逐一分析选项． 【详解】解：设中间的数为x，则上面一行的两个数分别为和，下面一行的两个数分别为和， ∴这五个数之和为， A项：若五个数之和为75，即，解得，此时最小的数是，最大的数是，在日历表中可以框出这样的五个数，不符合题意； B项：若五个数之和为100，即，解得，此时最小的数是，最大的数是，在日历表中可以框出这样的五个数，不符合题意； C项：若五个数之和为115，即，解得，此时最小的数是，最大的数是，在日历表中可以框出这样的五个数，不符合题意； D项：若五个数之和为120，即，解得，此时最小的数是，最大的数是，而日历中一个月最多31天，不存在32号，所以结果不可能是120，在日历表中不可以框出这样的五个数，符合题意， 故选：D． 题型七 工程问题 【典例1】（23-24七年级上·浙江温州·期末）综合与实践：设计完成工程的最短工期方案（最短工期是指完成某项工程所需的最短时间）． 【背景素材】某公司要生产某大型产品60件，已知甲，乙，丙三家子工厂完成一件产品的时间分别为4天，6天，5天．现计划：①三家子工厂同时开始生产；②分配给甲工厂的数量是丙的2倍． 【问题解决】为设计方案，可以通过特殊情况或满足部分条件逐步进行探究． 思考1（特值分析）：若该公司将20件产品分配给甲工厂，则最短工期为多少天？ 思考2（减少要素）：若不考虑素材②，仅由甲、乙两工厂完成，则当两家工厂同时完成生产时工期最短，求如何分配产品件数与最短工期． 思考3（方案探究）：如何分配三家工厂的生产任务使得工期最短，并求出最短工期． 【答案】思考1（特值分析）：最短工期为180天；思考2（减少要素）：分配给甲，乙工厂的产品数量分别为36件，24件，最短工期为144天；思考3（方案探究）：分配给甲，乙，丙工厂的产品数量分别为28件，18件，14件，最短工期为112天 【分析】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 思考1：分别求出三个工厂完成的时间，即可求解； 思考2：设分配给甲工厂x件，分配给乙工厂件，根据所需时间相等列方程，即可求解； 思考3：设分配给丙工厂件，分配给甲工厂件，分配给乙工厂件，根据甲、乙两家工厂同时完成生产时工期最短，列方程求出m的值，再根据为整数分析求解． 【详解】解：思考1：分配给甲工厂20件时，分配给丙工厂10件，分配给乙工厂件， 甲完成的时间为：（天）， 乙完成的时间为：（天）， 丙完成的时间为：（天）， 因此最短工期为180天； 思考2：设分配给甲工厂x件，分配给乙工厂件， 则， 解得， 则，， 因此分配给甲工厂36件，分配给乙工厂24件，最短工期为144天； 思考3：设分配给丙工厂件，分配给甲工厂件，分配给乙工厂件， 甲完成的时间为：（天）， 乙完成的时间为：（天）， 丙完成的时间为：（天）， ， 当甲、乙两家工厂同时完成生产时工期最短， 则， 解得， 为整数， 应取13或14， 当时，甲、乙完成的时间分别为104天，126天，最短工期为126天； 当时，甲、乙完成的时间分别为112天，108天，最短工期为112天； ， 时，工期最短， 即分配给甲，乙，丙工厂的产品数量分别为28件，18件，14件，最短工期为112天． 【变式1】（2025七年级上·浙江宁波·专题练习）完成一项工程，原计划甲、乙、丙三人合作13天完成．开工前，丙说：我需要完成另一项工程，中途要请假2天．乙说：那样的话我多做4天就可以了．甲说：那我和乙一起多做1天就行了．照这样计算，如果这项工程由甲单独做需要多少天？ 【答案】26 【详解】解：丙2天的工作量，相当于乙4天的工作量，丙的工作效率是乙的工作效率的（倍）， 甲、乙合作1天，与乙做4天一样，也就是甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍， 乙做13天，甲只要天，丙做13天，乙要26天，而甲只要天，他们共同做13天的工作量，由甲单独完成，甲需要天． 【变式2】（24-25七年级下·重庆渝北·期中）某工厂需要生产一批设备，每套设备由一个部件和3个部件组装而成；若工厂每人每天只能生产同一种部件，每人每天平均生产部件的个数比部件的个数少6个，且每天6个工人生产部件的数量与5个工人生产部件的数量相同． (1)工厂每人每天平均生产部件和部件各多少个？ (2)现共有21名工人，应如何分配工人才能使每天的生产的部件和部件配套？ 【答案】(1)工厂每人每天平均生产部件30个，部件36个 (2)每天应分配6名工人生产部件，分配15名工人生产部件，可使每天的生产的部件和部件配套 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键； （1）设工厂每人每天平均生产B部件x个，则每人每天平均生产A部件个，根据每天6个工人生产A部件的数量与5个工人生产B部件的数量相同，即可列出方程，解方程即可； （2）设每天应分配y名工人生产部件，名工人生产部件，可使每天的生产的部件和部件配套，根据B部件的数量=A部件数量的3倍，即可列出方程，解方程即可得. 【详解】（1）解：设工厂每人每天平均生产B部件x个，则每人每天平均生产A部件个， 根据题意可得：， 解得：， 则， 答：工厂每人每天平均生产部件30个，部件36个. （2）解：设每天应分配y名工人生产部件，名工人生产部件，可使每天的生产的部件和部件配套， 根据题意可得：， 解得：， 则， 答：每天应分配6名工人生产部件，15名工人生产部件时，可使每天的生产的部件和部件配套. 题型八 配套问题 【典例1】（24-25七年级上·浙江温州·期末）综合与实践：如何设计柜子的制作方案？ 【素材】学校制作一批横式柜和竖式柜用于开辟图书角．现有28张规格的长方形木板按照图1中A或两种方法裁剪，得到小长方形木板和小正方形木板．如图2所示，2块小长方形木板和2块小正方形木板可做成一个横式柜，2块小长方形木板和3块小正方形木板可做成一个竖式柜． 设张长方形木板用于A方法裁剪． 【项目解决】 任务1：填写表格（用含的代数式表示裁剪出的小长方形木板和小正方形木板的数量）． 裁剪方法 小长方形木板（块） 小正方形木板（块） A方法 ________ 0 方法 ________ 任务2：将裁剪出的木板全部用于制作竖式柜且恰好全部用完，求出制作竖式柜的数量． 任务3：将裁剪出的木板用于制作两种柜子且恰好全部用完，给出裁剪方案使得做出的柜子数量最多，并求出两种柜子的总数． 【答案】任务1：，；任务2：16个；任务3：当，时，柜子数量最多，为个 【分析】本题考查了列代数，一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）根据图1求解； （2）根据“小正方形和小长方形的数量比为”列方程求解； （3）设制作竖式柜子a个，先用x和a表示柜子的总数，当x增大时，柜子的数量也增大． 【详解】任务1：解：由题意得∶A方法得小长方形木块块，B方法得小正方形块， 故答案为∶，； 任务2：由题意得：， 解得， 则， 所以能做出16个竖式柜． 任务3：设制作竖式柜个，则制作横式柜个， 做出的柜子数量为个． 由题意得：， 化简得：． 因为，和均为正整数， 当增大时，柜子数量也增大， 所以当，时，柜子数量最多，为个． 【变式1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）七（1）班共有44名学生，其中男生人数比女生人数的2倍少4人．劳动课上，董老师组织七（1）班学生制作手工花朵，每名学生一节课可以制作4个花心或20个花瓣． (1)七（1）班各有多少名女生和男生？ (2)原计划女生负责制作花心，男生负责制作花瓣，如果1个花心匹配6个花瓣，那么这节课制作的花心和花瓣不能完全配套．最后决定男生去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的花心和花瓣刚好配套？ 【答案】(1)七（1）班有28名男生，16名女生 (2)有4名男生去支援女生，才能使这节课制作的花心和花瓣刚好配套 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设七（1）班有x名男生，则有名女生，根据男生人数比女生人数的2倍少4人，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出的值(即男生人数)，再将其代入中，即可求出女生人数． （2）设有y名男生去支援女生，才能使这节课制作的花心和花瓣刚好配套，利用制作的花瓣的总数量是制作花心总数量的6倍，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设七（1）班有x名男生，则有名女生， 根据题意得∶， 解得∶， (名)， 答∶七（1）班有28名男生，16名女生； （2）解：设有y名男生去支援女生，才能使这节课制作的花心和花瓣刚好配套， 根据题意得∶， 解得∶， 答∶有4名男生去支援女生，才能使这节课制作的花心和花瓣刚好配套． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）列方程解应用题：有一批生产桌椅的木料，每块木料均相同．已知一块该木料可以生产桌子2张或椅子5把，如何分配78块这样的木料，可使生产的桌子和椅子恰好配套（一张桌子配4把椅子）？ 【答案】用30块木料生产桌子，48块木料生产椅子 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，正确理解题意列方程并解方程即可解决，设用x块木料生产桌子，根据使生产的桌子和椅子恰好配套（一张桌子配4把椅子）列方程解决即可． 【详解】解：设用x块木料生产桌子． 由题意得：． ． ． ． 答：用30块木料生产桌子，48块木料生产椅子． 【变式3】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，将某种规格的长方形纸板按照图①、图②所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板或3块小正方形纸板．4块相同的小长方形纸板和1块小正方形纸板可做成图③所示的无盖长方体纸盒．而有盖长方体纸盒则需要4块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板．现有这种规格的长方形纸板21张． (1)怎样裁剪这21张纸板可制成的无盖纸盒数最多？最多能做多少个？ (2)根据需要，要求加工方再制成有盖长方体纸盒30个，则加工方还需要购进同样规格的长方形纸板多少张？ 【答案】(1)用张裁剪长方形，张裁剪正方形；个 (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用（配套问题），有理数四则混合运算的实际应用等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程或算式是解题的关键． （1）设用张裁剪长方形，则用张裁剪正方形，根据“4块相同的小长方形纸板和1块小正方形纸板可做成图③所示的无盖长方体纸盒”得，解方程即可得出答案； （2）制成有盖长方体纸盒30个，分别需要个小长方形纸板和个小正方形纸板，因而需要的长方形纸板数量为，依式计算即可得解． 【详解】（1）解：设用张裁剪长方形，则用张裁剪正方形，可制作个无盖纸盒， 根据题意得：， 解得：， ， ， 答：用张裁剪长方形，张裁剪正方形，可制成的无盖纸盒数最多，最多能做个； （2）解：制成有盖长方体纸盒30个，分别需要个小长方形纸板和个小正方形纸板， 需要的长方形纸板数量为：（张）， 答：加工方还需要购进同样规格的长方形纸板张． 题型九 销售问题 【典例1】（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）某店用10000元的资金购进A，B两种商品共400件，并在“双十二”期间销售，两种商品的进价和售价如表所示： 进价（元） 售价（元） 40 60 20 30 (1)求商品购进的数量． (2)商品售出商品售出后，由于销售情况不理想，该店推出“买一件商品送一件商品，单独购买商品优惠元”的促销活动．一段时间后，A，B两种商品全部售完．已知剩余的商品都参加了促销活动，销售A，B两种商品共获利2125元，求的值． 【答案】(1)购进商品的数量为100件 (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键． （1）设购进商品的数量为件，则购进商品的数量为件，根据400件商品的花的费用为10000元，列出方程，解方程即可； （2）根据销售A，B两种商品共获利2125元，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设购进商品的数量为件，则购进商品的数量为件， 依题意得， 解得：， （件）， 答：购进商品的数量为100件，则购进商品的数量为300件； （2）解：商品售出，即（件），剩余（件）， 商品售出，即（件），剩余（件）， 剩余的商品都参加了促销活动，即促销活动卖出商品75件，赠送商品75件，再剩下的125件商品以优惠全部卖出， 依题意得：， 整理得， 即， 解得． 【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）西湖龙井是中国十大名茶之一，因产于浙江省杭州市西湖龙井村周围群山而得名．在其三十多个品牌中，“狮峰龙井”和“梅坞龙井”尤为有名． 茶农李明种植了5亩“狮峰龙井”和10亩“梅坞龙井”，其中平均每亩“狮峰龙井”制成的茶叶重量是“梅坞龙井”的40%，今年共制成两种茶叶240千克． 两种茶叶的销售规格如下表： 狮峰龙井 梅坞龙井 装盒（克/盒） 125 250 售价（元/盒） 200 600 根据以上信息，回答下列问题： (1)求制成的“狮峰龙井”和“梅坞龙井”茶叶各多少千克？ (2)若销售这两种茶叶共盒．销售额为40000元，求销售“狮峰龙井”的数量．（用含的代数式表示） (3)若李明第一次销售两个品种茶叶共600盒，第二次销售时搞促销活动，对所有剩下的“狮峰龙井”打八折．两次销售完所有的茶叶后，他发现第二次的销售额比第一次的销售额多12800元．求第一次销售“狮峰龙井”多少盒？ 【答案】(1)“狮峰龙井”40千克，“梅坞龙井”200千克 (2) (3)240 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 对于（1），设制成“狮峰龙井”茶叶x千克，可表示“梅坞龙井”茶叶千克，根据茶叶重量得关系得出方程，求出解； 对于（2），先设销售“狮峰龙井”茶叶y盒，可得“梅坞龙井”茶叶盒，根据销售额等于40000列出方程，然后用含m的代数式表示即可； 对于（3），先求出今年制成“狮峰龙井”和 “梅坞龙井”茶叶的盒数，再设第一次销售“狮峰龙井”茶叶n盒，则第一次销售“梅乌龙井”茶叶盒，分别表示出第二次销售“狮峰龙井”和 “梅乌龙井”茶叶的盒数，根据两次销售额的差等于12800列出方程，求出解即可. 【详解】（1）解：设制成“狮峰龙井”茶叶x千克，则制成“梅坞龙井”茶叶千克，根据题意，得 ， 解得， ∴（千克）． 答：制成“狮峰龙井”茶叶40千克，“梅坞龙井”茶叶200千克； （2）解：设销售“狮峰龙井”茶叶y盒，则销售“梅坞龙井”茶叶盒，根据题意，得 ， 解得． 答：销售“狮峰龙井”茶叶盒； （3）解：今年制成“狮峰龙井”茶叶（盒），制成“梅坞龙井”茶叶（盒）． 设第一次销售“狮峰龙井”茶叶n盒，则第一次销售“梅乌龙井”茶叶盒，第二次销售“狮峰龙井”茶叶盒，“梅乌龙井”茶叶盒，根据题意，得 ， 解得， 答：第一次销售“狮峰龙井”240盒． 【变式2】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）2024年天猫平台“双十一”促销活动如火如荼地进行．小明发现天猫平台甲、乙两家店铺在销售同一款标价均为元的杯子．假设小明均一次性购买，但两家的促销方式不同，具体优惠信息如下： 店铺 优惠信息 是否包邮 甲 任买一件商品先享受九折优惠，同时参加平台每满元减元活动 是 乙 若购买数量不超过个，则不打折；若购买数量超过个但不超过个，则超过个部分打九折；若购买数量超过个但不超过个，则超过个部分打八折；若购买数量超过个，则超过个部分打七折．注：不参加平台满减活动． 是 (1)若小明想买个该款杯子，请你帮小明分别计算一下甲、乙两家店铺优惠后的实际价格，再挑选哪家店铺购买更优惠？ (2)若小明想从乙店铺购买个该款杯子，请用含的代数式表示优惠后购买的总价； (3)若小明想花费元在乙店铺来购买该款杯子且钱恰好用完，则他能买多少个该款杯子？ 【答案】(1)选择甲店铺优惠后的实际价格为元，选择乙店铺优惠后的实际价格为元，选择甲店铺购买更优惠 (2)元 (3)个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用总价单价数量，结合甲、乙两家店铺给出的优惠方案，可求出选择甲、乙两家店铺优惠后的实际价格，比较后，即可得出结论； （2）利用总价单价数量，结合乙店铺给出的优惠方案，即可用含的代数式表示优惠后购买的总价； （3）根据在乙店铺优惠后购买的总价为元，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：元，元， 选择甲店铺优惠后的实际价格为元； 选择乙店铺优惠后的实际价格为元． ， 选择甲店铺购买更优惠； （2）根据题意得：元． 答：优惠后购买的总价为元； （3）根据题意得：， 解得：． 答：他能买个该款杯子． 题型十 比赛积分问题 【典例1】（23-24七年级上·浙江台州·期末）为了大力弘扬亚运精神，某校特意举行了“扬帆起航，逐梦浙江”的知识竞赛，此次竞赛共20道选择题，且每题必答．评分标准如下：答对1题得5分，答错1题扣1分．已知小明的总分为82分，则他答对的题数是 ． 【答案】17 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．设答对的题数为，根据小明的总分为82分列出方程进行求解即可． 【详解】解：设小明答对的题数是，则答错的题数为， 由题意，得：， 解得：； 故答案为：17． 【变式1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）12月30日光明中学组织了“迎元旦知识竞赛”，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了三位参赛学生的得分情况，根据表中信息回答下列问题： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 (1)这次竞赛中答对一题得________分； (2)参赛学生小红得分为70分，求她答对了几道题? (3)参赛学生小明说他的得分为60分，你认为可能吗?请说明理由． 【答案】(1)5 (2)小红答对了15道题 (3)小明得分为60分是不可能的，见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用答对一题的得分参赛者的得分参赛者答对题目数，即可求出结论； （2）利用答错一题的得分参赛者的得分参赛者答对题目数，可求出答错一题的得分，设小红答对了道题，则答错了道题，根据小红的得分是70分，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）假设小明的得分能是60分，设小明答对了道题，则答错了道题，根据小明的得分是60分，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再结合需为整数，可得出不符合题意，舍去，进而可得出假设不成立，即小明的得分不可能是60分． 【详解】（1）解：根据题意得：这次竞赛中答对一题得（分． 故答案为：5； （2）解：这次竞赛中答错一题得（分， 设小红答对了道题，则答错了道题， 根据题意得：， 解得：． 答：小红答对了15道题； （3）解：不可能，理由如下： 假设小明的得分能是60分，设小明答对了道题，则答错了道题， 根据题意得得：， 解得：， 又需为整数， 不符合题意，舍去， 假设不成立， 即小明的得分不可能是60分． 【变式2】（21-22七年级上·浙江杭州·期末）在一次知识竞赛中，甲、乙两班各有50位同学参加比赛，每位同学都需要完成三道题的答题，竞赛规则为：“答对一题得10分，不答或者答错扣10分”． (1)请直接写出每位同学所有可能的得分情况； (2)甲班的答题情况为：有2位同学全部答错，全对的人数是答对1题人数的3倍少6人，答对两题的人数是答对1题人数的2倍；乙班的答题情况为：没有同学全部答错，答对一题人数的3倍和答对2题的人数之和等于全部答对的人数． ①求甲班全部答对的人数； ②请判断甲乙两班哪个班的得分更高，并说明理由． 【答案】(1)每位同学所有可能的得分情况是-30分、-10分、10分和30分； (2)①甲班全部答对的人数是21人；②乙班得分更高． 【分析】（1）根据竞赛的得分规则可得答案； （2）①设甲班答对1题的有x人，根据题意列出方程，解方程可得答案； ②首先算出甲班的得分，设乙班全部答对的有a人，答对1题的有b人，答对2题的有（a-3b）人，整理可得乙班的得分，再比较可得结论． 【详解】（1）解：若只答对1题，则不答或答错2题，得分为：1×10-2×10=-10， 若只答对2题，则不答或答错1题，得分为：2×10-1×10=10， 若只答对3题，得分为：3×10=30， 若不答或答错3题，得分为：0-3×10=-30， 答：每位同学所有可能的得分情况是-30分、-10分、10分和30分； （2）解：①设甲班答对1题的有x人， 由题意得，2+（3x-6）+2x+x=50， 解得x=9， 3×9-6=21（人）， 答：甲班全部答对的人数是21人； ②乙班得分更高． 由题意得，甲班答对3题有21人，答对2题的有18人，答对1题的有9人，全部答错的有2人， 故甲班的得分为21×30+18×10-9×10-2×30=660（分）， 设乙班全部答对的有a人，答对1题的有b人，答对2题的有（a-3b）人， 所以a+b+（a-3b）=50， 即a-b=25， 故乙班得分为30a+10（a-3b）-10b=40（a-b）=1000（分）， 1000＞660， 答：乙班得分更高． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际运用，整式加减的应用，找到等量关系列出方程是解决问题的关键． 题型十一 方案选择问题 【典例1】（21-22七年级上·浙江台州·期末）元旦期间，某火锅店开业大酬宾，推出以下两种优惠方案： 方案一 在美团上可购买100元代金券，每张79元，每次消费时最多使用3张，未满100元的部分不得使用代金券． 方案二 消费满300元按总价的九折优惠，不得同时使用代金券． 例：某次消费120元，使用代金券后，实际花费元． (1)若某次消费210元，使用代金券后，实际花费_________元； (2)小明一家元旦期间去该火锅店消费了元， ①若使用代金券，实际花费_________元（用含的代数式表示）； ②选择哪种方案更省钱？ 【答案】(1)168 (2)①；②当时，，则按方案一更省钱；当时，一样省钱；当时，，按方案二更省钱 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意通过所给的优惠方案列出算式和方程求解是解题的关键． （1）根据所给的方案一列式计算即可； （2）①用消费的钱数减去300再加上三张优惠券的钱即可得到答案；②先求出方案二的花费，再列方程求出两种方案花费一样时x的值，即可讨论得到答案． 【详解】（1）解：元， ∴某次消费210元，使用代金券后，实际花费168元， 故答案为：168； （2）解：①由题意得，若使用代金券，实际花费元， 故答案为：； ②使用方案二的实际花费为元， 当时， 解得， ∴当时，，则按方案一更省钱；当时，一样省钱；当时，，按方案二更省钱． 【变式1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）牛肉火锅店元旦促销，推出以下两种优惠方式（不能同时使用）： 方案A 在某团上可购买“50代100元代金券”（实付50元就能获得100元的代金券），消费每满100元才能使用1张代金券，最多使用3张． 方案B 除每桌50元的锅底外，其余菜品均打6折． (1)若小明一家去该火锅店吃火锅，消费总额原价为220元，并使用方案A买单，实际付款______元； (2)若小芳一家去该火锅店吃火锅，并使用方案B方式买单，结账时实际付款308元，请问优惠前消费总额是多少元？ (3)若小红一家在该火锅店点了一份锅底和其它菜品（消费总额原价超过100元），小红对比两种优惠方式后，发现方案A比方案B贵了30元，请问小红一家消费总额原价是多少？从实惠的角度，实际付款多少钱？ 【答案】(1)120 (2)480元 (3)原价为500元，从实惠的角度，应选择方案B，实际付款320元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键； （1）需要根据方案A的规则计算实际付款； （2）要根据方案B的优惠方式建立方程来求解菜品原价； （3）需要分别表示出方案A和方案B的实际付款，然后根据两者的价格关系建立方程求解菜品原价，并比较哪种方案更实惠． 【详解】（1）解：若小明一家使用方案A买单， 因为，菜品原价为220元，每满100元才能使用1张代金券， ，其中20是余数， 所以可以使用2张代金券．每张代金券实付50元， 那么使用代金券花费元．菜品原价220元，使用2张100元代金券后，还需支付元． 所以实际付款为元． 故答案为：120． （2）解：若小芳一家使用方案B买单， 设优惠前菜品原价是x元．方案B是除每桌50元的锅底外，其余菜品均打6折， 那么实际付款为锅底50元加上打折后的菜品费用元，可列方程 ． 解得， 故优惠前菜品原价为480元． （3）设小红一家消费的菜品原价是y元 方案A的实际付款：当时，可使用1张或2张代金券， 若，使用1张代金券，实际付款为元， 若，使用2张代金券，实际付款为元， 当时，使用3张代金券，实际付款为元， 方案B的实际付款：当时， 根据方案A比方案B贵30元，可列方程， 解得，不满足，舍去， 当时， 列方程， 解得，不满足，舍去， 当时，列方程， 解得元， 比较哪种方案更实惠： 方案A实际付款：元， 方案B实际付款：元， 综上，原价为500元，从实惠的角度，应选择方案B，实际付款320元． 【变式2】（23-24七年级上·浙江金华·期末）中国移动全球通有两种通话计费方法（接听全免，接听时间不计入通话时间）： 计费方法A是每月收月租费48元，通话时间不超过50分钟的部分免费，超过50分钟的按每分钟0.25元加收通话费；计费方法B是每月收取月租费88元，通话时间不超过200分钟的部分免费，超过200分钟的按每分钟0.19元加收通话费． (1)某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用多少元？ (2)用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是多少分钟？ (3)用计费方法B的用户某个月累计费用126元，若改用计费方法A的方式，费用是增加还是减少？相差多少？ 【答案】(1)某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用60.5元 (2)用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是300分钟 (3)若改用计费方法A的方式，费用增加了，相差9.5元 【分析】本题考查有理数的混合运算、一元一次方程的应用，理解两种“计费方法”的意义是正确解答的关键． （1）根据计费方法A的计费标准进行计算即可； （2）先估算通话时间，再利用计费方法B的解法标准进行计算即可； （3）求出用计费方法B的用户某个月累计费用126元的通话时间，再根据通话时间与计费方法A计算费用，比较得出答案． 【详解】（1）解：当通话时间为100分钟时，应付费（元）， 答：某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用60.5元； （2）解：由于用计费方法B的用户某个月累计费用107元大于88元，因此通话时间大于200分钟，设通话时间是分钟， 则， 解得， 答：用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是300分钟； （3）解：设通话时间是分钟，由题意可得 ， 解得， 当通话时间为400分钟时，（元）， （元）， 答：若改用计费方法A的方式，费用增加了，相差9.5元． 题型十二 数字问题 【典例1】（21-22七年级上·浙江台州·期末）在如图所示的阶梯图中，从下往上的第1个台阶上标着，第9个台阶上标着，第13个台阶上标着，已知任意三个相邻的台阶上的数之和都是30，则第2021个台阶上的数是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数字规律，根据任意三个相邻的台阶上的数之和都是30，从下往上的第1个台阶上标着，则第4个台阶为，第5个台阶为，第6个台阶为，…，如此循环．得第9个台阶上标着，第13个台阶上标着，再根据第9个台阶上标着，第13个台阶上标着，进行列式计算，得出，．则，故第2021个台阶是7，即可作答． 【详解】解：依题意，设第2个台阶为，第3个台阶为， ∵任意三个相邻的台阶上的数之和都是30，从下往上的第1个台阶上标着， ∴第4个台阶为，第5个台阶为，第6个台阶为，…，如此循环． 即第9个台阶上标着，第13个台阶上标着， ∵第9个台阶上标着，第13个台阶上标着， ∴， 得， 故， ，． 则， ∴第2021个台阶是7． 故答案为：7 【变式1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”，如图1，计算，将乘数53计入上行，乘数43计入右行，然后以乘数53的每位数字乘以乘数43的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后沿斜行相加，得2279，图2用“格子乘法”表示两个两位数相乘，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查对“格子乘法”的理解，以及一元一次方程的实际运用，解题的关键在于正确理解“格子乘法”法则．根据“格子乘法”法则分两种情况若为一位数，若为两位数，结合方程思想讨论求解，即可解题． 【详解】解：根据“格子乘法”法则可知， 若为一位数，则，解得（不合题意，舍去）， 若为两位数，则 则有， 解得， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·浙江温州·期末）将正整数，，，，，排列成如下的数表： (1)将表格中的个阴影格子看成一座“塔”，设“塔尖”的值为，用式子表示“塔”中个数的和； (2)将“塔”平移，所覆盖的个数之和能否等于？若能，请写出这五个数中的最大数；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及规律型：数字的变化类，根据题意列方程是解题的关键； （1）设“塔尖”的值为，则另外四个数分别为，，，，将个数相加，即可用含的代数式表示出“塔”中个数的和； （2）假设所覆盖的个数之和能等于，设“塔尖”的值为，则另外个数分别为，，，，根据个数之和为，可列出关于y的一元一次方程，解之可得出的值，再结合需为整数，可得出不符合题意，舍去，进而可得出假设不成立，即所覆盖的个数之和不能等于． 【详解】（1）解：设“塔尖”的值为，则另外个数分别为，，，， ∴“塔”中个数的和为； （2）解：所覆盖的个数之和不能等于，理由如下： 假设所覆盖的个数之和能等于， 设“塔尖”的值为，则另外个数分别为，，，， 根据题意得：， 解得：， 又需为整数， ∴不符合题意，舍去， ∴假设不成立，即所覆盖的个数之和不能等于． 题型十三 分段收费问题 易｜错｜点｜拨 1. 找错分段节点或各段收费标准； 2. 超过节点时，漏算第一段费用或多算超过部分； 3. 已知费用求x时，未先判断区间，直接列方程导致错误； 4. 单位不统一（如费用是元，用量是吨，未统一） 【典例1】（25-26七年级上·山东日照·月考）下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 0.50 超过17吨但不超过30吨的部分 b 0.50 超过30吨的部分 3.00 0.50 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用量；②水费＝自来水费用＋污水处理费） 已知小王家2024年7月用水16吨，交水费32元；8月份用水28吨，交水费67元． (1)求a，b的值． (2)如果小王家9月份上交水费115元，则小王家这个月用水多少吨？ (3)小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过30吨），一共交水费132.59元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的），求小王家11月份用水多少吨．（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 【答案】(1)， (2)42吨 (3)13吨 【分析】本题考查一元一次方程的应用——水费问题，正确列出方程是解题的关键． （1）根据7月用水16吨，交水费32元，可得，根据8月费用水28吨，交水费67元，可得，解方程即可； （2）先判断9月份用水量超过了30吨，设为x吨，根据计费规则列方程，解方程即可； （3）设小王家11月份用水y吨，则10月份用水吨，分和两种情况，分别列方程即可求解． 【详解】（1）解：7月用水16吨，交水费32元， ， 解得； 8月份用水28吨，交水费67元， ， 解得； （2）解：当用水量为30吨时，水费为：（元）， 9月份上交水费115元，， 9月份用水量超过30吨，设为x吨， 则， 解得， 即小王家9月用水42吨； （3）解：设小王家11月份用水y吨，则10月份用水吨， 当时，， 解得， 当时， ， 解得 (不符合题意 舍去)． 综上可得，小王家11月份用水13吨． 【变式1】（23-24七年级上·浙江绍兴·开学考试）某市为了更好地利用水资源，制定了居民用水收费标准，如果一户每月用水量不超过立方米（含立方米）．每立方米按元收费；如果超过立方米，超过部分，则按每立方米元收费． (1)子豪家四月份用水立方米，应缴水费多少元？ (2)子豪家五月份共支付水费元，他家五月份用水量是多少立方米？ 【答案】(1)元 (2)立方米 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用． （1）根据每月用水量不超过立方米（含立方米），每立方米按元收费；如果超过立方米，超过部分，则按每立方米元收费，进行计算即可； （2）由题意得，设子豪家五月份用水量为立方米，根据等量关系列出一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解：四月份支付水费（元）， 答: 四月份支付水费为元． （2）∵用水量为立方米，则需支付水费（元）， ∵， ∴子豪家五月份超过15立方米．设子豪家五月份用水量为x立方米， 得 ∴． 答：子豪家五月份用水量是立方米． 【变式2】（25-26七年级上·江苏南通·月考）目前南通市民用天然气价格分为三个档次，费用跟每年每户用气量有关，具体如下： 收费标准 级别 每年每户用气量(单位：立方米) 气价(单位：元/立方米) 第一档 400及以下 第二档 超过400但不超过800的部分 第三档 超过800的部分 (1)若小王家全年用气量为立方米，则需要缴纳的费用是多少元？ (2)若小王家全年缴纳的费用为元，则全年用气量是多少立方米？ (3)最新政策：如果家庭人口超过4人，则可以申请“多人口家庭”，审核通过后，每户每增加1人，每年各档用气量基数分别增加50立方米(如某户有5口人，即该户第一档年用气量为及以下，第二档年用气量为超过但不超过的部分，第三档年用气量为超过的部分)，小李家有6口人，若全年用气量为立方米，则审核通过后，小李家全年缴纳的费用比政策出台之前能节省多少元？ 【答案】(1)元 (2)立方米 (3)元 【分析】本题考查的是分段计费的问题，同时考查有理数的混合运算，一元一次方程的应用，理解分段计费的区间，理解超过部分的含义是解本题的关键． （1）分两部分计费，400立方米的部分的单价为每立方米元，超过部分立方米的单价为每立方米元，再利用单价乘以数量即可； （2）先判断小王家全年用气量大于400立方米，小于800立方米，设全年用气量为立方米，列出相应方程再求解即可； （3）先按老政策计算小李一家应缴费为2812元，再按新政策，小李一家应缴费为2724元，从而可得答案． 【详解】（1）解：用气量立方米立方米， 前立方米按第一档气价元立方米计费，超过部分立方米按第二档气价元立方米计费． 费用元 答：需要缴纳的费用是元 （2）解：当用气量为立方米时，费用元 当用气量为立方米时，费用元 而， 用气量在立方米到立方米之间． 设全年用气量为立方米，则 ． 答：全年用气量是立方米． （3）解：政策出台前：用气量立方米立方米， 费用元 政策后：家庭人口人，超过人，增加人数为人，每增加人，各档基数增加立方米， 第一档基数变为立方米，第二档基数变为立方米， ∵全年用气量立方米，， 费用元 节省费用元 答：审核通过后，小李家全年缴纳的费用比政策出之前能节省元． 【变式3】（25-26七年级上·四川成都·月考）某市居民的燃气收费，按户为基础、年为周期进行阶梯收费，具体如表所示．请根据表中信息解答下列问题： 阶梯 年用气量x（） 收费单价 第一阶梯 的部分 元/ 第二阶梯 的部分 3.15元/ 第三阶梯 以上的部分 3.63元/ 备注：若家庭人口不超过四人，按照上表进行收费；若超过四人，每增加一人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加、． (1)一户3人家庭，若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为_________元；若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为_________元； (2)一户不超过4人的家庭，年用气量x超过了，设该年此户需缴纳燃气费用为y元，请用含x的代数式表示y； (3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，2025年甲乙两户缴纳的燃气费用均为3951元．请判断甲乙两户年用气量分别达到哪个阶梯？并求出2025年甲乙两户年用气量分别是多少立方米（结果精确到 ）？ 【答案】(1) 267，1698 (2) (3) 甲户该年的用气量达到了第三阶梯，用气量为，乙户该年的用气量达到第二阶梯，用气量为 【分析】本题主要考查代数式的运用，理解数量关系正确列式计算即可求解． （1）根据题意，结合表格分别按照不同阶梯的计费方式，列式求解即可； （2）根据阶梯收费方式列出数量关系即可； （3）根据题意，当甲户用气量为时，得到，结合（2）的计算即可求出甲户的情况；根据乙户的人口得到阶梯收费的计算方法，当乙用户用气量达到时，得到，由此得到乙户在第二阶梯，根据其收费方式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴按第一阶梯收费，需缴纳燃气费用为（元）， ∵， ∴按第二阶梯收费，需缴纳燃气费用为（元）， 故答案为： （2）解：一户不超过4人的家庭，年用气量x超过了，设该年此户需缴纳燃气费用为y元， ∴按照第三阶梯收费， ∴ ， ∴该年此户需缴纳燃气费用为元； （3）解：甲户家庭人口为3人， ∴收费方式将按照表格提供的阶段收费方法计算， 当甲户用气量为时，， ∴甲户用气量达到第三阶梯， ∴结合（2）得，， 解得，， ∴甲户该年的用气量达到了第三阶梯，用气量为， 乙户家庭人口为5人， ∴收费方式为：超过四人，每增加一人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加、， ∴该户第一阶梯为：，元， 第二阶梯为：，元， 第三阶梯为：以上的部分，元， ∴当乙户用气量达到时，， ∴乙户用气量达到第二阶梯， ∴设乙户用气量为， ∴， 解得，， ∴乙户该年的用气量达到第二阶梯，用气量为． 题型十四 数轴上动点问题 解｜题｜技｜巧 1. 动点位置表示：①向右运动：起始位置+速度×t；②向左运动：起始位置-速度×t； 2. 等量关系：根据“两点距离=已知距离”“相遇时位置相同”“追击时距离为0”列方程（含绝对值）； 3. 分类讨论：考虑t的不同取值范围，对应动点的不同位置，避免漏解； 4. 辅助：画数轴标注动点初始位置和运动方向 易｜错｜点｜拨 1. 表示动点位置时方向错误（向左运动误用加法）； 2. 列距离方程时漏加绝对值，导致符号错误； 3. 未分类讨论t的范围，导致漏解； 4. 单位不统一（速度单位与时间单位不一致）； 5. 计算绝对值方程时漏解 【典例1】（25-26七年级上·辽宁鞍山·月考）已知数轴上从左向右依次有A，B，C三点，且A，B两点表示的数x满足，点C与B点的距离是2． (1)请写出A，B，C三点所表示的数，A：______；B：______；C：______； (2)动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度向右动，设点P移动的时间为t． ①当点P运动到点B时，点Q从点C出发以每秒1个单位的速度向右运动，求点P出发几秒钟与点Q相遇？ ②定义：已知点M，N，E为数轴上任意三点，若点M到点N的距离（用表示）是它到点E的距离（用表示）的3倍，即，则称点M是的3倍点，若点M到点E的距离是它到点N的距离的3倍，即，则称点M是的3倍点．求运动多久时．点P是A和C的3倍点． 【答案】(1)、3、5 (2)①点P出发5秒钟与点Q相遇；②运动1秒或3秒或6秒时，点P是A和C的3倍点 【分析】本题主要考查了绝对值、数轴上的点、数轴上两点间的距离、动点问题等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由题意可得：点A、B、C分别表示、3、5； （2）①由题意可知：点P表示的数为，点P到达点B所用时间为秒，点Q表示的数为，再列方程求解即可；②当点P是的3倍点时，即；当点P是的3倍点时，即，据此分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵数轴上从左向右依次有A，B，C三点，且A，B两点表示的数x满足，点C与B点的距离是2， ∴点A、B、C分别表示、3、5； （2）解：①由题意可知：点P表示的数为，点P到达点B所用时间为秒， ∴点Q表示的数为， 则， 解得：， ∴点P出发5秒钟与点Q相遇； ②当点P是的3倍点时，即， ， 解得：或； 当点P是的3倍点时，即， ， 解得：（不合题意舍去）或； 综上所述， 或或， 答：运动1秒或3秒或6秒时，点P是A和C的3倍点． 【变式1】（25-26七年级上·陕西咸阳·月考）某校开展丰富多彩的航天科技月活动，小航设计了一套电子设备，有两个电子蚂蚁P，Q在直线赛道上运动，电子蚂蚁P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度匀速运动，电子蚂蚁Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度匀速运动，且电子蚂蚁P，Q同时出发．小航在学习《有理数及其运算》之后，发现运用数形结合思想建立数轴可以较快地解决问题，如图，小航在数轴上设计A，B两点对应的数分别是，b，且点B在原点O的右侧，． (1) ____； (2)若电子蚂蚁P，Q同时出发，相向运动，经过几秒，电子蚂蚁P，Q间的距离为4个单位长度？ (3)若电子蚂蚁P，Q同时向右运动，同时又有一个电子蚂蚁C从原点O出发，以每秒5个单位长度的速度匀速向右运动，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得？若存在，请求出t的值，并求出电子蚂蚁C所表示的数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)12 (2)4秒或秒 (3)的值为2或14，电子蚂蚁所表示的数为10或70． 【分析】（1）根据，可得，即可求解； （2）设经过秒，电子蚂蚁P，Q间的距离为4个单位长度，分两种情况：当电子蚂蚁P，Q未相遇时；当电子蚂蚁P，Q相遇后，列出方程，即可求解； （3）根据题意可得电子蚂蚁P，Q，C在数轴上表示的数分别是，分两种情况：当未追上时，当追上后，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵A点对应的数是， ∴， ∵， ∴， ∵点B在原点O的右侧， ∴点B对应的数是12，即； 故答案为：12 （2）解：设经过秒，电子蚂蚁P，Q间的距离为4个单位长度． 当电子蚂蚁P，Q未相遇时，， 解得； 当电子蚂蚁P，Q相遇后，， 解得． 所以经过4秒或秒，电子蚂蚁P，Q间的距离为4个单位长度． （3）解：存在 根据题意，得电子蚂蚁P，Q，C在数轴上表示的数分别是． 当未追上时，， 解得． 此时电子蚂蚁所表示的数为； 当追上后，， 解得． 此时电子蚂蚁所表示的数为． 综上所述，的值为2或14，电子蚂蚁所表示的数为10或70． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上的动点问题，两点间的距离，熟练掌握数轴上两点间的距离以及分类讨论的思想是解题的关键． 【变式2】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在数轴上，表示原点，、表示的数是方程的解，其中点在点右侧． (1)若点与、的距离相等，则点表示的数是_______； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，设点、点运动时间为秒，求为何值时，、间的距离为个单位长度； (3)在（2）的条件下，在、开始运动时，同时动点从原点出发以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，求当为何值时，点与点、的距离相等，并直接写出此时点所表示的数． 【答案】(1) (2) (3)，表示的数为或，表示的数为 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先算出、表示的数，再利用数轴上两点的中点公式即可得出答案； （2）根据数轴上两点之间的距离公式，结合题意列方程即可； （3）根据数轴上两点之间的距离公式，结合题意分两种情况列方程即可． 【详解】（1）解： ， 或． 又 、表示的数是方程的解，其中点在点右侧， 点表示的数为，点表示的数为． 点与、的距离相等， 点表示的数为：． 故答案为：． （2）解：由题意得， 运动后点表示的数为：，运动后点表示的数为：， ， 即， 解得，或（不符合题意，舍去）， 即当时，、间的距离为个单位长度． （3）解：由题意得，运动后点表示的数为：． 点与点、的距离相等， ， 即， 分两种情况： 当时， 解得，， 此时，点表示的数为：； 当时， 解得，， 此时，点表示的数为：． 综上，，表示的数为或，表示的数为． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（21-22七年级上·浙江台州·期末）一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了，从乙码头返回甲码头逆流而行，用了．已知船在静水中的平均速度为，求水流的速度．设水流的速度是，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握路程、速度和时间的关系，船顺水速度等于船在静水中的速度加水流的速度，船逆水速度等于船在静水中的速度减水流的速度，是解决问题的关键．根据题意可知船顺水速度为，逆水速度为，再根据甲乙码头距离不变即可列出方程． 【详解】解：根据题意，得， 故选∶A． 2．（24-25七年级上·浙江台州·期末）下面是小宇和小祥的对话： 小宇：小祥，你之前提到的运动手环买了没？ 小祥：没，它的售价比我的预算多呢！ 小宇：这种运动手环现在打6折呢！ 小祥：太好了，这样比我的预算还要少16元！ 设小祥买运动手环的预算为元，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及含百分数的一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键， 根据打折后的价格比小祥的预算还要少16元，即可列出关于必的一元一次方程． 【详解】解：根据题意得：小祥买运动手环的预算为元， 则 故选∶D． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）若同时点燃两支一样长的蜡烛，一支可燃小时，另一支可燃小时，当一支正好为另一支的一半时，已经点燃了 小时． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设已经点燃了小时，设蜡烛的长度为“”，根据“一支正好为另一支的一半”列出关于的一元一次方程，求解即可．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设已经点燃了小时，且设蜡烛的长度为“”， 依题意，得：， 解得：， ∴当一支正好为另一支的一半时，已经点燃了小时． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·浙江金华·期末）“九宫图”又称“龟背图”．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行三个数、每一列三个数、斜对角三个数之和都相等，也称为三阶幻方．如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则x的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设第二行第二个方格中的数字为a，则第一行第二个方格中的数为，第二行第一个方格中的数为，第三行第三个方格中的数为，根据第一列及第三行上的三个数之和相等，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设第二行第二个方格中的数字为a，则第一行第二个方格中的数为，第二行第一个方格中的数为，第三行第三个方格中的数为， 根据题意得：， 即， 解得：， ∴x的值为2． 故答案为：2． 5．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）期末测试之前，李老师打算到文具商店给七（1）班每个学生购买一套绘图工具，共42套，已知绘图工具有两种套装，A套装每套8元，B套装每套6元． (1)设李老师购买x套A套装绘图工具，用含x的代数式填写如表： 型号 单价（元/套） 数量（套） 总价（元） A套装 8 x ______ B套装 6 ______ ______ (2)若总费用为296元，请问李老师打算购买两种套装各多少套？ 【答案】(1)，， (2)李老师打算购买22套A套装绘图工具，20套B套装绘图工具 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用购买B套装绘图工具的套数=购买总套数−购买A套装绘图工具，可用含x的代数式表示出购买B套装绘图工具的套数，再利用总价=单价数量，即可用含x的代数式表示出购买A，B两种套装绘图工具的总价； （2）根据总费用为296元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：李老师打算到文具商店给七（1）班每个学生购买一套绘图工具，共42套，且购买x套A套装绘图工具， 购买套B套装绘图工具， 又套装每套8元，B套装每套6元， 购买A套装绘图工具共花费元，购买B套装绘图工具共花费元． 故答案为：，，； （2）根据题意得：， 解得：， 套 答：李老师打算购买22套A套装绘图工具，20套B套装绘图工具． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级上·浙江金华·期末）现有一张宽为的长方形纸条，纸条两面的颜色分别为灰色和白色（图1是白色面，图2是灰色面），折叠该纸条得到如图3所示的图形．已知图中四个灰色的梯形是完全相同的，则原来的长方形纸条的长度为 ． 【答案】47 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．根据“如图摆放时的长度为”列方程求解． 【详解】解：设灰色梯形的上底为， 则， 解得：， ∴， 故答案为：47． 2．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）如图，点A、B分别位于原点的两侧，，且，动点从点出发以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时动点从点出发以每秒1个单位长度的速度向左运动． (1)求数轴上点A，B对应的数； (2)当相遇时，求运动的时间． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由可知，将12平均分成三份，占两份为8，占一份为4，由图可知，A在原点的左边，B在原点的右边，从而得出结论； （2）设运动时间为t秒，根据点P、Q的运动速度分别为每秒3个单位长度和每秒1个单位长度可分别表示出点P、Q运动t秒后所对应的点所表示的数，再根据当相遇时，两个点表示的数相同，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵点A、B分别位于原点O的两侧，，且， ∴，， 又∵点A在原点的左侧，点B在原点的右侧， ∴点A对应的数为，点B对应的数为4； （2）解：设运动时间为t秒， 根据题意得：点P对应的数为，点Q对应的数为，当相遇时， ∴， 解得：， ∴当相遇时，运动的时间为3秒． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离、数轴上点的表示、一元一次方程的应用，解决本题的关键是理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，两点的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值． 3．（24-25七年级上·浙江·期末）某市电力部门对一般照明用电实行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下： 第一档：月用电量不超过200度的部分的电价为每度元． 第二档：月用电量超过200度但不超过400度部分的电价为每度元． 第三档：月用电量超过400度的部分的电价为每度0.8元． 【浙江电力】【电费通知】 尊敬的客户，户号* 户名：*，地址：*。 （2022.09.01—2022.09.30） 电量227度（其中谷85度）， 电费105.14元，当前用电 处于第一档，剩余58.1度 (1)已知小明家去年5月份的用电量为215度，则小明家5月份应交电费________元． (2)若去年6月份小明家用电的平均电价为0.52元，求小明家去年6月份的用电量． (3)已知小明家去年7、8月份的用电量共700度（7月份的用电量少于8月份的用电量），两个月的总电价是384元，求小明家7、8月的用电量分别是多少？ 【答案】(1)109 (2)250度 (3)7月份的用电量为280度，8月份的用电量为420度． 【分析】（1）根据收费标准，根据第二档计算即可求出小明家5月份应交电费； （2）先判断小明家用电量处于第二档，根据第二档收费标准列方程求解； （3）设小明家去年7月份的用电量为x度，则8月份的用电量为度，分、和三种情况，列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：（元）． 故答案为109． （2）解：， 所以小明家用电超过200度但不超过400度． 设小明家去年6月份的用电量为a度．根据题意得： ， 解得：． 答：小明家去年6月份的用电量为250度． （3）解：设小明家去年7月份的用电量为x度，则8月份的用电量为度． 由题意得, ∴ 分三种情况讨论： ①当时， ， 解得：， 故不符合题意； ②当时， 有， 解得：， ； ③当时， 有， 方程无解． 答：小明家去年7月份的用电量为280度，8月份的用电量为420度． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）充分运用分类讨论思想． 4．（24-25七年级上·浙江·期末）根据以下素材，回答问题： 问题背景：2025年元旦期间，A，B两个大型商场举行糖果优惠促销活动．某班数学小组对A，B两个大型商场进行调研后了解到如下信息： 信息1 A商场从厂家直接购进甲种糖果800千克，乙种糖果950千克，共支付77600元．已知每千克乙种糖果比每千克甲种糖果进价贵8元． 信息2 B商场从厂家直接购进甲，乙两种糖果售卖，进价与A商场相同，并将乙种糖果按进价提高后标价，实际销售时再打折售卖，此时乙种糖果每千克仍可获利9.6元． 问题解决： (1)设甲种糖果每千克进价x元，求甲，乙两种糖果的进价． (2)求出B商场中乙种糖果是打几折售卖的．如果甲种糖果也按照这个折扣售卖，每千克可获利8元，求甲种糖果的标价． 【答案】(1)甲种糖果每千克的进价为40元，乙种糖果每千克的进价为48元 (2)B商场中乙种糖果是打八折售卖的，甲种糖果的标价为60元/千克 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据A商场从厂家直接购进甲种糖果800千克，乙种糖果950千克，共支付77600元，列出方程进行求解即可； （2）设B商场中乙种糖果是打y折售卖的，根据乙种糖果按进价提高后标价，实际销售时再打折售卖，此时乙种糖果每千克仍可获利9.6元，可列出关于y的一元一次方程，解之可得出y的值，再根据甲种糖果也按照这个折扣售卖，每千克可获利8元，列出算式，求出甲种糖果的标价即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， ∴（元）． 答：甲种糖果每千克的进价为40元，乙种糖果每千克的进价为48元； （2）设B商场中乙种糖果是打y折售卖的， 根据题意得：， 解得：， ∴（元/千克）． 答：B商场中乙种糖果是打八折售卖的，甲种糖果的标价为60元/千克． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·山东淄博·中考真题）李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之缘．后人有《李白醉酒》的数学诗（见下图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（❶处的大意为：先遇店后见花，如此三次）．则诗中李白的壶中原来有酒（   ） A．1斗 B．斗 C．斗 D．斗 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设李白的壶中原来有酒斗，根据题意列方程解应用题即可． 【详解】解：设李白的壶中原来有酒斗， ， 解得：， 故答案为：B． 2．（2023·浙江·中考真题）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝斤，干燥后耗损斤两（古代中国斤等于两）．今有干丝斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为 斤． 【答案】 【分析】设原有生丝斤，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设原有生丝斤，依题意， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程解题的关键． 3．（2025·山东东营·中考真题）六年级全体数学教师参加“包粽子·迎端午”活动，若每人包6个，则比计划多包9个；若每人包4个，则比计划少包7个，求计划包多少个粽子．设计划包x个粽子，可列方程为 ． 【答案】＝ 【分析】本题考查了列一元一次方程． 根据题意列方程即可． 【详解】解：根据题意列方程得，． 故答案为：． 4．（2022·浙江绍兴·中考真题）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．” 其题意为：“良马每天行里，劣马每天行里，劣马先行天，良马要几天追上劣马？”答：良马追上劣马需要的天数是 ． 【答案】20 【分析】设良马x天追上劣马，根据良马追上劣马所走路程相同可得：240x＝150（x＋12），即可解得良马20天追上劣马． 【详解】解：设良马x天追上劣马， 根据题意得：240x＝150（x＋12）， 解得x＝20， 答：良马20天追上劣马； 故答案为：20． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5-2 一元一次方程的应用（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 和差倍分问题 1. 能准确识别“和、差、倍、分”关键词；2. 会根据数量关系设未知数（通常设较小量或“是”后面的量为x）；3. 能列出一元一次方程并求解验证 高频必考考点，选择，填空，解答中都会考察，一般期末压轴题也会有方程的应用问题。 古典问题 1. 能理解古典问题的题意，提炼隐藏的数量关系；2. 会根据“总数量”“总价值”等核心条件列方程；3. 能结合实际意义验证解的合理性 普通行程问题 1. 熟练掌握行程问题核心公式及变形（速度=路程÷时间，时间=路程÷速度）；2. 能区分相遇、追击问题的等量关系；3. 会根据题意设元并列出方程 顺逆流问题 1. 牢记顺逆流速度的核心关系式；2. 能根据“路程相等”（如往返路程相同）或“时间关系”列方程；3. 会区分静水速度、水流速度、实际速度的概念 过桥/隧道问题 1. 理解过桥问题的总路程构成（桥长+车长）；2. 能结合行程公式列出方程；3. 会区分“完全过桥”“完全在桥上”的路程差异 日历问题 1. 掌握日历中数字的排列规律；2. 能根据规律设元表示未知日期；3. 会根据“日期和”“日期差”列方程并验证 工程问题 1. 熟练掌握工程问题核心公式及变形；2. 理解“工作效率”的含义（单位时间完成的工作量）；3. 能根据“工作总量为1”（通常设总工作量为1）或“部分工作量和为总工作量”列方程 配套问题 1. 能从题意中找出配套的比例关系；2. 会设元表示两种配套产品的数量；3. 能根据配套比例列方程 销售问题 1. 熟练掌握销售问题核心公式及变形；2. 理解“折扣”的含义（如8折=原价×0.8）；3. 能根据“盈利/亏损金额”“利润率”列方程 比赛积分问题 1. 能从题意中提炼比赛积分规则（如胜一场得3分，负一场得0分，平一场得1分）；2. 会设元表示胜、负、平的场数；3. 能根据总积分列方程并验证 方案选择问题 1. 能根据题意列出不同方案的费用（或收益）表达式；2. 会通过方程求两种方案费用相等时的临界值；3. 能根据临界值选择不同范围内的最优方案 数字问题 1. 掌握多位数的表示方法；2. 能根据“数字位置变化后的新数与原数的关系”列方程；3. 会验证解的合理性（数字为0-9的整数） 分段收费问题 1. 能从题意中找出分段节点和各段收费标准；2. 会根据“总费用”或“已知费用求用量”列方程；3. 能区分不同用量对应的收费区间 数轴上的动点问题 1. 能根据动点的起始位置、速度、方向，用含t的代数式表示动点位置；2. 会利用数轴上两点距离公式（|a-b|）列方程；3. 能分类讨论动点运动的不同情况（相遇、追击、距离最值） 知识点01列方程解应用题的步骤: ①审:审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设:设未知数(一般求什么，就设什么为x ③找:找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列:根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解:解所列出的方程，求出未知数的值固答:检验所求解是否符合题意，写出答案(包括单位名称) 知识点02一元一次方程应用问题常见题型数量关系 （1）和、差、倍、分问题：和、差、倍、分对应两个量之间的加、减、乘、除，解题时要注意弄清倍、分关系和多少关系等； （2）增长（减少）率问题：增长后的量=原有量×（1+增长率）；降低后的量=原有量×（1-降低率）； （3）等积变形问题：长方形体积=长×宽×高；圆柱体积=； （4）行程问题：路程=速度×时间；快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离（相向而行）；快车行驶路程-慢车行驶路程=原距离（同向而行）。 （5）航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度； （6）调配问题：从调配后的数量关系中找等量关系； （7）比例分配问题：全部数量=各种成分的数量之和； （8）年龄问题：大小两个年龄的差不会变； （9）工程问题：工作量=工作效率×工作时间；两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量；一般情况下，把总工作量设为1. （10）销售问题：商品的售价=商品的标价×折扣；商品的利润=商品售价-商品进价；商品的利润率=； （11）数字问题：设分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为； （12）储蓄问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×（1+利率×期数）； （13）浓度问题：溶液质量=溶质质量+溶剂质量；百分比浓度=；溶质质量=溶液质量×百分比浓度。 题型一 和差倍分问题 【典例1】（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）“我与好书为伴，千里江山万里海”，某校七年级开展阅读好书活动．小明5天里阅读的总页数比小亮7天里阅读的总页数少12页，小明平均每天阅读的页数比小亮平均每天阅读的页数的2倍少12页，若设小亮平均每天阅读页，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·浙江·期末）某校组织七年级全体师生参加社会实践活动．如果单独租用30座客车若干辆，会有15人没有座位；如果单独租用45座客车，可少租3辆，且还余15个座位．由此可知，七年级全体师生的人数为 ． 【变式2】（24-25七年级上·浙江金华·期末）某班同学外出研学，途中班长在队伍中数了一下他前后的人数，发现前面人数是后面的三倍，他往前超了11位同学，发现前面的人数和后面的人数一样，则这个班级共有学生 人． 【变式3】（22-23七年级上·浙江杭州·期末）有两所图书馆，自建馆以来每年各进图书0.5万册．若今年甲馆共有藏书27万册，乙馆共有藏书11万册，从今年起，n年后甲馆的藏书是乙馆的2倍，则 ． 题型二 古典问题 【典例1】（23-24七年级上·浙江宁波·月考）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一、书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六、问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：共有几个人？”设共有个人共同出钱买鸡，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四；问人数、物价各几何？题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱；合伙人数、物品的价格分别是多少？解：设人数为x人，则下面列出的方程正确的是(　　) A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）在《算法统宗》中有这样一个问题：牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童？题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个，则多2个杏．有多少个牧童？设有个牧童，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 题型三 普通行程问题 【典例1】（25-26七年级上·江苏连云港·月考）甲乙两车在南北方向的笔直公路上相距190千米，相向而行，甲出发30分钟后，乙再出发，甲的速度为60千米/时，乙的速度为40千米/时，则乙出发（  ）小时后甲乙相距10千米． A．2或2.5 B．2.5 C．1.5或1.7 D．1.5 【变式1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）甲乙两人在400米的环形跑道上赛跑，若两人同时同地反向出发，则分钟相遇，且乙的速度是甲的速度的．现两人利用课间10分钟在环形跑道上赛跑，若他们在同一地点出发，同向而行，乙先跑15秒，再经过 分钟，两人相距80米． 【变式2】（25-26七年级上·江苏常州·月考）周末小明和小亮约定，两人沿恐龙园和青枫公园之间的同一条路线骑行，这条路线的总路程为．小明骑自行车从青枫公园出发，平均速度为；小亮骑自行车从恐龙园出发，平均速度是小明的倍．两人同时出发，相向而行，经过多少时间相遇？ 题型四 顺逆流问题 解｜题｜技｜巧 1. 先明确已知量：区分静水速度（船本身速度）、水流速度、顺/逆流实际速度； 2. 找等量关系：多为“往返路程相等”（顺流路程=逆流路程），即顺流速度×顺流时间=逆流速度×逆流时间； 3. 设元：通常设静水速度或水流速度为x 易｜错｜点｜拨 1. 混淆顺逆流速度公式（如逆流速度误算为静水速度+水流速度）； 2. 未统一路程或时间单位； 3. 忽略“往返路程相同”的隐含条件； 4. 计算时符号错误 【典例1】（25-26七年级上·山东济宁·月考）港口之间的水流速度为，某轮船在静水中的速度为，已知该轮船在两港口之间往返一次的时间为，设两港口之间的距离为，则有（） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·浙江·月考）沿着水流速为每小时2千米的河边，有两个城镇、，在静水中速度为每小时10千米的船，往返、之间需要5小时．求、之间的距离． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）一艘轮船在两码头之间匀速航行．已知水流的速度是，轮船顺水航行所需的时间是，逆水航行所需的时间是．求这两个码头之间的路程． 题型五 过桥/隧道问题 解｜题｜技｜巧 1. 核心公式：①完全过桥（车头进桥到车尾离桥）：总路程=桥长+车长；②完全在桥上（车尾进桥到车头离桥）：总路程=桥长-车长； 2. 设元：通常设车速或车长为x； 3. 结合行程公式：总路程=速度×时间列方程 易｜错｜点｜拨 1. 遗漏车长，将总路程误视为桥长； 2. 混淆“完全过桥”和“完全在桥上”的路程公式； 3. 单位不统一； 4. 计算总时间时漏算启动或停止的时间（题目未说明则忽略） 【典例1】（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）一列匀速行驶的火车，从车头进入米长的隧道到车尾离开隧道经历了秒，隧道顶部一盏固定的小灯的灯光在列车上照了秒，则这列火车的长度为 米． 【变式1】（25-26七年级上·安徽六安·月考）一列普通列车匀速行驶，经过一条长的隧道，从车头进入隧道，到车尾离开隧道，共需要的时间．隧道口的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在列车上的时间是 设该列车的长度为． (1)用含的式子表示：从车头进入隧道到车尾离开隧道，列车所走的路程为__________，这段时间内列车的平均速度为___________； (2)求这列普通列车的长度； (3)相邻车道有一列长度为，匀速相向行驶的高铁列车经过．普通列车与高铁列车完成会车即从车头相遇开始到车尾相离时结束的时间是 求高铁列车的平均速度为多少？ 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）坐在匀速行驶的动车上的小宇在经过一座大桥时发现，车头刚上桥到车头离桥共需要150s；而从动车车尾上桥开始到车头离桥结束，整列动车完全在桥上的时间是148s．已知该列动车长为120m，求动车经过的这座大桥的长度． (1)小宇的思路是设这座大桥的长度为xm，则坐在动车上的小宇从刚上桥到离桥的路程为xm，所以动车的平均速度可表示为________m/s；从动车车尾上桥开始到车头离桥结束的路程为，所以动车的平均速度还可以表示为________m/s．再根据火车的平均速度不变，可列方程为________． (2)小恒认为，也可以设动车的平均速度为．按照小恒的思路可列方程为________． 题型六 日历问题 【典例1】（24-25七年级上·北京·期中）如图，图中给出的是某月的月历，任意选取“H”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，则这7个数的和不可能是（   ） A．63 B．70 C．96 D．105 【变式1】（25-26七年级上·湖北武汉·月考）如图所示的是某年2月份的月历，2月1日恰逢春节，也是农历壬寅虎年的开始．月历中，“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“U型”覆盖的五个数字之和为，“十字型”覆盖的五个数字之和为．若，则的最大值为（   ） A． B．69 C．59 D． 【变式3】（25-26七年级上·陕西延安·月考）如图是2025年10月份的日历表，用形如的框架框住日历表中的五个数（例如图中框住的五个数分别为5、7、13、19、21），对于框架框住的五个数字之和，计算结果不可能是（   ） A．75 B．100 C．115 D．120 题型七 工程问题 【典例1】（23-24七年级上·浙江温州·期末）综合与实践：设计完成工程的最短工期方案（最短工期是指完成某项工程所需的最短时间）． 【背景素材】某公司要生产某大型产品60件，已知甲，乙，丙三家子工厂完成一件产品的时间分别为4天，6天，5天．现计划：①三家子工厂同时开始生产；②分配给甲工厂的数量是丙的2倍． 【问题解决】为设计方案，可以通过特殊情况或满足部分条件逐步进行探究． 思考1（特值分析）：若该公司将20件产品分配给甲工厂，则最短工期为多少天？ 思考2（减少要素）：若不考虑素材②，仅由甲、乙两工厂完成，则当两家工厂同时完成生产时工期最短，求如何分配产品件数与最短工期． 思考3（方案探究）：如何分配三家工厂的生产任务使得工期最短，并求出最短工期． 【变式1】（2025七年级上·浙江宁波·专题练习）完成一项工程，原计划甲、乙、丙三人合作13天完成．开工前，丙说：我需要完成另一项工程，中途要请假2天．乙说：那样的话我多做4天就可以了．甲说：那我和乙一起多做1天就行了．照这样计算，如果这项工程由甲单独做需要多少天？ 【变式2】（24-25七年级下·重庆渝北·期中）某工厂需要生产一批设备，每套设备由一个部件和3个部件组装而成；若工厂每人每天只能生产同一种部件，每人每天平均生产部件的个数比部件的个数少6个，且每天6个工人生产部件的数量与5个工人生产部件的数量相同． (1)工厂每人每天平均生产部件和部件各多少个？ (2)现共有21名工人，应如何分配工人才能使每天的生产的部件和部件配套？ 题型八 配套问题 【典例1】（24-25七年级上·浙江温州·期末）综合与实践：如何设计柜子的制作方案？ 【素材】学校制作一批横式柜和竖式柜用于开辟图书角．现有28张规格的长方形木板按照图1中A或两种方法裁剪，得到小长方形木板和小正方形木板．如图2所示，2块小长方形木板和2块小正方形木板可做成一个横式柜，2块小长方形木板和3块小正方形木板可做成一个竖式柜． 设张长方形木板用于A方法裁剪． 【项目解决】 任务1：填写表格（用含的代数式表示裁剪出的小长方形木板和小正方形木板的数量）． 裁剪方法 小长方形木板（块） 小正方形木板（块） A方法 ________ 0 方法 ________ 任务2：将裁剪出的木板全部用于制作竖式柜且恰好全部用完，求出制作竖式柜的数量． 任务3：将裁剪出的木板用于制作两种柜子且恰好全部用完，给出裁剪方案使得做出的柜子数量最多，并求出两种柜子的总数． 【变式1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）七（1）班共有44名学生，其中男生人数比女生人数的2倍少4人．劳动课上，董老师组织七（1）班学生制作手工花朵，每名学生一节课可以制作4个花心或20个花瓣． (1)七（1）班各有多少名女生和男生？ (2)原计划女生负责制作花心，男生负责制作花瓣，如果1个花心匹配6个花瓣，那么这节课制作的花心和花瓣不能完全配套．最后决定男生去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的花心和花瓣刚好配套？ 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）列方程解应用题：有一批生产桌椅的木料，每块木料均相同．已知一块该木料可以生产桌子2张或椅子5把，如何分配78块这样的木料，可使生产的桌子和椅子恰好配套（一张桌子配4把椅子）？ 【变式3】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，将某种规格的长方形纸板按照图①、图②所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板或3块小正方形纸板．4块相同的小长方形纸板和1块小正方形纸板可做成图③所示的无盖长方体纸盒．而有盖长方体纸盒则需要4块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板．现有这种规格的长方形纸板21张． (1)怎样裁剪这21张纸板可制成的无盖纸盒数最多？最多能做多少个？ (2)根据需要，要求加工方再制成有盖长方体纸盒30个，则加工方还需要购进同样规格的长方形纸板多少张？ 题型九 销售问题 【典例1】（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）某店用10000元的资金购进A，B两种商品共400件，并在“双十二”期间销售，两种商品的进价和售价如表所示： 进价（元） 售价（元） 40 60 20 30 (1)求商品购进的数量． (2)商品售出商品售出后，由于销售情况不理想，该店推出“买一件商品送一件商品，单独购买商品优惠元”的促销活动．一段时间后，A，B两种商品全部售完．已知剩余的商品都参加了促销活动，销售A，B两种商品共获利2125元，求的值． 【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）西湖龙井是中国十大名茶之一，因产于浙江省杭州市西湖龙井村周围群山而得名．在其三十多个品牌中，“狮峰龙井”和“梅坞龙井”尤为有名． 茶农李明种植了5亩“狮峰龙井”和10亩“梅坞龙井”，其中平均每亩“狮峰龙井”制成的茶叶重量是“梅坞龙井”的40%，今年共制成两种茶叶240千克． 两种茶叶的销售规格如下表： 狮峰龙井 梅坞龙井 装盒（克/盒） 125 250 售价（元/盒） 200 600 根据以上信息，回答下列问题： (1)求制成的“狮峰龙井”和“梅坞龙井”茶叶各多少千克？ (2)若销售这两种茶叶共盒．销售额为40000元，求销售“狮峰龙井”的数量．（用含的代数式表示） (3)若李明第一次销售两个品种茶叶共600盒，第二次销售时搞促销活动，对所有剩下的“狮峰龙井”打八折．两次销售完所有的茶叶后，他发现第二次的销售额比第一次的销售额多12800元．求第一次销售“狮峰龙井”多少盒？ 【变式2】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）2024年天猫平台“双十一”促销活动如火如荼地进行．小明发现天猫平台甲、乙两家店铺在销售同一款标价均为元的杯子．假设小明均一次性购买，但两家的促销方式不同，具体优惠信息如下： 店铺 优惠信息 是否包邮 甲 任买一件商品先享受九折优惠，同时参加平台每满元减元活动 是 乙 若购买数量不超过个，则不打折；若购买数量超过个但不超过个，则超过个部分打九折；若购买数量超过个但不超过个，则超过个部分打八折；若购买数量超过个，则超过个部分打七折．注：不参加平台满减活动． 是 (1)若小明想买个该款杯子，请你帮小明分别计算一下甲、乙两家店铺优惠后的实际价格，再挑选哪家店铺购买更优惠？ (2)若小明想从乙店铺购买个该款杯子，请用含的代数式表示优惠后购买的总价； (3)若小明想花费元在乙店铺来购买该款杯子且钱恰好用完，则他能买多少个该款杯子？ 题型十 比赛积分问题 【典例1】（23-24七年级上·浙江台州·期末）为了大力弘扬亚运精神，某校特意举行了“扬帆起航，逐梦浙江”的知识竞赛，此次竞赛共20道选择题，且每题必答．评分标准如下：答对1题得5分，答错1题扣1分．已知小明的总分为82分，则他答对的题数是 ． 【变式1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）12月30日光明中学组织了“迎元旦知识竞赛”，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了三位参赛学生的得分情况，根据表中信息回答下列问题： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 (1)这次竞赛中答对一题得________分； (2)参赛学生小红得分为70分，求她答对了几道题? (3)参赛学生小明说他的得分为60分，你认为可能吗?请说明理由． 【变式2】（21-22七年级上·浙江杭州·期末）在一次知识竞赛中，甲、乙两班各有50位同学参加比赛，每位同学都需要完成三道题的答题，竞赛规则为：“答对一题得10分，不答或者答错扣10分”． (1)请直接写出每位同学所有可能的得分情况； (2)甲班的答题情况为：有2位同学全部答错，全对的人数是答对1题人数的3倍少6人，答对两题的人数是答对1题人数的2倍；乙班的答题情况为：没有同学全部答错，答对一题人数的3倍和答对2题的人数之和等于全部答对的人数． ①求甲班全部答对的人数； ②请判断甲乙两班哪个班的得分更高，并说明理由． 题型十一 方案选择问题 【典例1】（21-22七年级上·浙江台州·期末）元旦期间，某火锅店开业大酬宾，推出以下两种优惠方案： 方案一 在美团上可购买100元代金券，每张79元，每次消费时最多使用3张，未满100元的部分不得使用代金券． 方案二 消费满300元按总价的九折优惠，不得同时使用代金券． 例：某次消费120元，使用代金券后，实际花费元． (1)若某次消费210元，使用代金券后，实际花费_________元； (2)小明一家元旦期间去该火锅店消费了元， ①若使用代金券，实际花费_________元（用含的代数式表示）； ②选择哪种方案更省钱？ 【变式1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）牛肉火锅店元旦促销，推出以下两种优惠方式（不能同时使用）： 方案A 在某团上可购买“50代100元代金券”（实付50元就能获得100元的代金券），消费每满100元才能使用1张代金券，最多使用3张． 方案B 除每桌50元的锅底外，其余菜品均打6折． (1)若小明一家去该火锅店吃火锅，消费总额原价为220元，并使用方案A买单，实际付款______元； (2)若小芳一家去该火锅店吃火锅，并使用方案B方式买单，结账时实际付款308元，请问优惠前消费总额是多少元？ (3)若小红一家在该火锅店点了一份锅底和其它菜品（消费总额原价超过100元），小红对比两种优惠方式后，发现方案A比方案B贵了30元，请问小红一家消费总额原价是多少？从实惠的角度，实际付款多少钱？ 【变式2】（23-24七年级上·浙江金华·期末）中国移动全球通有两种通话计费方法（接听全免，接听时间不计入通话时间）： 计费方法A是每月收月租费48元，通话时间不超过50分钟的部分免费，超过50分钟的按每分钟0.25元加收通话费；计费方法B是每月收取月租费88元，通话时间不超过200分钟的部分免费，超过200分钟的按每分钟0.19元加收通话费． (1)某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用多少元？ (2)用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是多少分钟？ (3)用计费方法B的用户某个月累计费用126元，若改用计费方法A的方式，费用是增加还是减少？相差多少？ 题型十二 数字问题 【典例1】（21-22七年级上·浙江台州·期末）在如图所示的阶梯图中，从下往上的第1个台阶上标着，第9个台阶上标着，第13个台阶上标着，已知任意三个相邻的台阶上的数之和都是30，则第2021个台阶上的数是 ． 【变式1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”，如图1，计算，将乘数53计入上行，乘数43计入右行，然后以乘数53的每位数字乘以乘数43的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后沿斜行相加，得2279，图2用“格子乘法”表示两个两位数相乘，则的值为 ． 【变式2】（24-25七年级上·浙江温州·期末）将正整数，，，，，排列成如下的数表： (1)将表格中的个阴影格子看成一座“塔”，设“塔尖”的值为，用式子表示“塔”中个数的和； (2)将“塔”平移，所覆盖的个数之和能否等于？若能，请写出这五个数中的最大数；若不能，请说明理由． 题型十三 分段收费问题 易｜错｜点｜拨 1. 找错分段节点或各段收费标准； 2. 超过节点时，漏算第一段费用或多算超过部分； 3. 已知费用求x时，未先判断区间，直接列方程导致错误； 4. 单位不统一（如费用是元，用量是吨，未统一） 【典例1】（25-26七年级上·山东日照·月考）下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 0.50 超过17吨但不超过30吨的部分 b 0.50 超过30吨的部分 3.00 0.50 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用量；②水费＝自来水费用＋污水处理费） 已知小王家2024年7月用水16吨，交水费32元；8月份用水28吨，交水费67元． (1)求a，b的值． (2)如果小王家9月份上交水费115元，则小王家这个月用水多少吨？ (3)小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过30吨），一共交水费132.59元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的），求小王家11月份用水多少吨．（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 【变式1】（23-24七年级上·浙江绍兴·开学考试）某市为了更好地利用水资源，制定了居民用水收费标准，如果一户每月用水量不超过立方米（含立方米）．每立方米按元收费；如果超过立方米，超过部分，则按每立方米元收费． (1)子豪家四月份用水立方米，应缴水费多少元？ (2)子豪家五月份共支付水费元，他家五月份用水量是多少立方米？ 【变式2】（25-26七年级上·江苏南通·月考）目前南通市民用天然气价格分为三个档次，费用跟每年每户用气量有关，具体如下： 收费标准 级别 每年每户用气量(单位：立方米) 气价(单位：元/立方米) 第一档 400及以下 第二档 超过400但不超过800的部分 第三档 超过800的部分 (1)若小王家全年用气量为立方米，则需要缴纳的费用是多少元？ (2)若小王家全年缴纳的费用为元，则全年用气量是多少立方米？ (3)最新政策：如果家庭人口超过4人，则可以申请“多人口家庭”，审核通过后，每户每增加1人，每年各档用气量基数分别增加50立方米(如某户有5口人，即该户第一档年用气量为及以下，第二档年用气量为超过但不超过的部分，第三档年用气量为超过的部分)，小李家有6口人，若全年用气量为立方米，则审核通过后，小李家全年缴纳的费用比政策出台之前能节省多少元？ 【变式3】（25-26七年级上·四川成都·月考）某市居民的燃气收费，按户为基础、年为周期进行阶梯收费，具体如表所示．请根据表中信息解答下列问题： 阶梯 年用气量x（） 收费单价 第一阶梯 的部分 元/ 第二阶梯 的部分 3.15元/ 第三阶梯 以上的部分 3.63元/ 备注：若家庭人口不超过四人，按照上表进行收费；若超过四人，每增加一人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加、． (1)一户3人家庭，若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为_________元；若年用气量为，则该年此户需缴纳燃气费用为_________元； (2)一户不超过4人的家庭，年用气量x超过了，设该年此户需缴纳燃气费用为y元，请用含x的代数式表示y； (3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，2025年甲乙两户缴纳的燃气费用均为3951元．请判断甲乙两户年用气量分别达到哪个阶梯？并求出2025年甲乙两户年用气量分别是多少立方米（结果精确到 ）？ 题型十四 数轴上动点问题 解｜题｜技｜巧 1. 动点位置表示：①向右运动：起始位置+速度×t；②向左运动：起始位置-速度×t； 2. 等量关系：根据“两点距离=已知距离”“相遇时位置相同”“追击时距离为0”列方程（含绝对值）； 3. 分类讨论：考虑t的不同取值范围，对应动点的不同位置，避免漏解； 4. 辅助：画数轴标注动点初始位置和运动方向 易｜错｜点｜拨 1. 表示动点位置时方向错误（向左运动误用加法）； 2. 列距离方程时漏加绝对值，导致符号错误； 3. 未分类讨论t的范围，导致漏解； 4. 单位不统一（速度单位与时间单位不一致）； 5. 计算绝对值方程时漏解 【典例1】（25-26七年级上·辽宁鞍山·月考）已知数轴上从左向右依次有A，B，C三点，且A，B两点表示的数x满足，点C与B点的距离是2． (1)请写出A，B，C三点所表示的数，A：______；B：______；C：______； (2)动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度向右动，设点P移动的时间为t． ①当点P运动到点B时，点Q从点C出发以每秒1个单位的速度向右运动，求点P出发几秒钟与点Q相遇？ ②定义：已知点M，N，E为数轴上任意三点，若点M到点N的距离（用表示）是它到点E的距离（用表示）的3倍，即，则称点M是的3倍点，若点M到点E的距离是它到点N的距离的3倍，即，则称点M是的3倍点．求运动多久时．点P是A和C的3倍点． 【变式1】（25-26七年级上·陕西咸阳·月考）某校开展丰富多彩的航天科技月活动，小航设计了一套电子设备，有两个电子蚂蚁P，Q在直线赛道上运动，电子蚂蚁P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度匀速运动，电子蚂蚁Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度匀速运动，且电子蚂蚁P，Q同时出发．小航在学习《有理数及其运算》之后，发现运用数形结合思想建立数轴可以较快地解决问题，如图，小航在数轴上设计A，B两点对应的数分别是，b，且点B在原点O的右侧，． (1) ____； (2)若电子蚂蚁P，Q同时出发，相向运动，经过几秒，电子蚂蚁P，Q间的距离为4个单位长度？ (3)若电子蚂蚁P，Q同时向右运动，同时又有一个电子蚂蚁C从原点O出发，以每秒5个单位长度的速度匀速向右运动，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得？若存在，请求出t的值，并求出电子蚂蚁C所表示的数；若不存在，请说明理由． 【变式2】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在数轴上，表示原点，、表示的数是方程的解，其中点在点右侧． (1)若点与、的距离相等，则点表示的数是_______； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，设点、点运动时间为秒，求为何值时，、间的距离为个单位长度； (3)在（2）的条件下，在、开始运动时，同时动点从原点出发以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，求当为何值时，点与点、的距离相等，并直接写出此时点所表示的数． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（21-22七年级上·浙江台州·期末）一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了，从乙码头返回甲码头逆流而行，用了．已知船在静水中的平均速度为，求水流的速度．设水流的速度是，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江台州·期末）下面是小宇和小祥的对话： 小宇：小祥，你之前提到的运动手环买了没？ 小祥：没，它的售价比我的预算多呢！ 小宇：这种运动手环现在打6折呢！ 小祥：太好了，这样比我的预算还要少16元！ 设小祥买运动手环的预算为元，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）若同时点燃两支一样长的蜡烛，一支可燃小时，另一支可燃小时，当一支正好为另一支的一半时，已经点燃了 小时． 4．（24-25七年级下·浙江金华·期末）“九宫图”又称“龟背图”．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行三个数、每一列三个数、斜对角三个数之和都相等，也称为三阶幻方．如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则x的值为 ． 5．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）期末测试之前，李老师打算到文具商店给七（1）班每个学生购买一套绘图工具，共42套，已知绘图工具有两种套装，A套装每套8元，B套装每套6元． (1)设李老师购买x套A套装绘图工具，用含x的代数式填写如表： 型号 单价（元/套） 数量（套） 总价（元） A套装 8 x ______ B套装 6 ______ ______ (2)若总费用为296元，请问李老师打算购买两种套装各多少套？ 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级上·浙江金华·期末）现有一张宽为的长方形纸条，纸条两面的颜色分别为灰色和白色（图1是白色面，图2是灰色面），折叠该纸条得到如图3所示的图形．已知图中四个灰色的梯形是完全相同的，则原来的长方形纸条的长度为 ． 2．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）如图，点A、B分别位于原点的两侧，，且，动点从点出发以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时动点从点出发以每秒1个单位长度的速度向左运动． (1)求数轴上点A，B对应的数； (2)当相遇时，求运动的时间． 3．（24-25七年级上·浙江·期末）某市电力部门对一般照明用电实行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下： 第一档：月用电量不超过200度的部分的电价为每度元． 第二档：月用电量超过200度但不超过400度部分的电价为每度元． 第三档：月用电量超过400度的部分的电价为每度0.8元． 【浙江电力】【电费通知】 尊敬的客户，户号* 户名：*，地址：*。 （2022.09.01—2022.09.30） 电量227度（其中谷85度）， 电费105.14元，当前用电 处于第一档，剩余58.1度 (1)已知小明家去年5月份的用电量为215度，则小明家5月份应交电费________元． (2)若去年6月份小明家用电的平均电价为0.52元，求小明家去年6月份的用电量． (3)已知小明家去年7、8月份的用电量共700度（7月份的用电量少于8月份的用电量），两个月的总电价是384元，求小明家7、8月的用电量分别是多少？ 4．（24-25七年级上·浙江·期末）根据以下素材，回答问题： 问题背景：2025年元旦期间，A，B两个大型商场举行糖果优惠促销活动．某班数学小组对A，B两个大型商场进行调研后了解到如下信息： 信息1 A商场从厂家直接购进甲种糖果800千克，乙种糖果950千克，共支付77600元．已知每千克乙种糖果比每千克甲种糖果进价贵8元． 信息2 B商场从厂家直接购进甲，乙两种糖果售卖，进价与A商场相同，并将乙种糖果按进价提高后标价，实际销售时再打折售卖，此时乙种糖果每千克仍可获利9.6元． 问题解决： (1)设甲种糖果每千克进价x元，求甲，乙两种糖果的进价． (2)求出B商场中乙种糖果是打几折售卖的．如果甲种糖果也按照这个折扣售卖，每千克可获利8元，求甲种糖果的标价． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·山东淄博·中考真题）李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之缘．后人有《李白醉酒》的数学诗（见下图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（❶处的大意为：先遇店后见花，如此三次）．则诗中李白的壶中原来有酒（   ） A．1斗 B．斗 C．斗 D．斗 2．（2023·浙江·中考真题）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝斤，干燥后耗损斤两（古代中国斤等于两）．今有干丝斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为 斤． 3．（2025·山东东营·中考真题）六年级全体数学教师参加“包粽子·迎端午”活动，若每人包6个，则比计划多包9个；若每人包4个，则比计划少包7个，求计划包多少个粽子．设计划包x个粽子，可列方程为 ． 4．（2022·浙江绍兴·中考真题）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．” 其题意为：“良马每天行里，劣马每天行里，劣马先行天，良马要几天追上劣马？”答：良马追上劣马需要的天数是 ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $