专题02 有理数的计算（期末复习讲义，必备知识+16大题型+过关检测）七年级数学上学期新教材浙教版

该初中数学有理数计算期末复习讲义通过表格与知识框架系统梳理知识体系，涵盖加减、乘除、乘方、科学记数法等核心考点，用表格归纳复习目标与考情规律，分点细化法则与运算律，清晰呈现重难点分布及内在联系。 讲义亮点在于分层练习与方法创新，如“温度变化”“收支累计”等应用题型培养应用意识，“定义新运算”发展创新思维，简便计算专题提升运算能力。基础与重难练习满足分层需求，助力教师精准教学，学生高效复习。

专题2 有理数的计算（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 有理数加减法的计算 1. 熟练掌握有理数加法法则（同号、异号、与0相加）和减法法则（减去一个数等于加它的相反数）；2. 能准确计算两个或多个有理数的加减运算；3. 会将减法转化为加法统一计算 基础必考题，选择、填空、计算题均涉及，重点考查同号、异号两数加减法则，偶尔涉及多个有理数连加，难度较低 有理数加减法的应用 1. 能从实际问题中提炼有理数加减关系；2. 会根据题意确定每个数的符号；3. 能通过加减运算解决实际中的累计、差值问题 中档题，填空、解答题为主，常结合实际场景考查（如温度变化、收支累计、路程移动），核心是将实际问题转化为有理数加减运算 加法运算律 1. 牢记加法交换律（a + b = b + a）和结合律（(a + b) + c = a + (b + c)）；2. 能准确识别可利用运算律简化的算式；3. 会运用运算律快速计算有理数加法 基础高频题，选择、填空、简便计算题均涉及常考查加法交换律、结合律的应用，核心是利用运算律简化有理数加法计算 有理数乘除法的计算 1. 熟练掌握乘法法则（同号得正、异号得负，绝对值相乘）和除法法则（同号得正、异号得负，绝对值相除；除以一个数等于乘它的倒数）；2. 能准确计算有理数乘除法；3. 会将除法转化为乘法计算 基础必考题，选择、填空、计算题核心考点，重点考查乘除法的符号法则和绝对值运算，偶尔涉及小数、分数乘除转化 倒数 1. 牢记倒数定义：乘积为1的两个数互为倒数（0没有倒数）；2. 掌握求整数、分数、小数倒数的方法；3. 理解倒数与除法的关联 基础必考题，选择、填空为主，常考查倒数的定义辨析、求一个数的倒数，偶尔结合除法运算考查，核心是理解“乘积为1的两个数互为倒数” 有理数乘除法的应用 1. 能从实际问题中提炼有理数乘除关系；2. 会根据题意确定运算符号和运算量；3. 能通过乘除法解决实际中的倍数、比例问题 中档题，填空、解答题为主，常结合实际场景考查（如产量倍数、浓度问题、路程速度时间关系），核心是将实际问题转化为有理数乘除法运算 有理数的四则混合运算 1. 熟练掌握四则混合运算的顺序规则；2. 能准确完成含分数、小数的四则混合运算；3. 会合理运用运算律简化计算 必考重点题，解答题为主考查顺序为“先乘除后加减，有括号先算括号内”，常结合分数、小数运算，核心是运算顺序和符号控制 含乘方的混合运算 1. 掌握含乘方的混合运算顺序；2. 熟练计算有理数的乘方；3. 能准确完成含乘方、绝对值、乘除加减的综合运算 高频难点题，解答题为主，是期末核心考点，运算顺序为“先乘方，再乘除，最后加减”，常结合绝对值、相反数，核心是乘方的符号规则和运算顺序 利用倒数的性质计算除法 1. 熟练掌握“除法转乘法”的核心性质（基于倒数）；2. 能利用倒数性质简化分数除法计算；3. 理解倒数性质的适用前提（除数不为0） 基础中档题，选择、填空、计算题为主，常考查“除以一个数等于乘它的倒数”的应用，尤其是分数除法和含字母的简单除法，核心是倒数性质的灵活运用 有理数的简便计算 1. 熟练掌握有理数的所有运算律；2. 能快速观察算式特征，选择合适的运算律简化计算；3. 能灵活运用凑整、凑零、约分等简便技巧 高频中档题，选择、填空、解答题为主，常考查运算律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律）的综合应用，核心是观察算式特征选择简便方法 幂的定义 1. 牢记幂的定义：n个相同因数a相乘，记为aⁿ，其中a是底数，n是指数，aⁿ读作a的n次幂；2. 能准确识别乘方表达式中的底数和指数；3. 理解乘方与乘法的关系 基础必考题，选择、填空为主，常考查幂、底数、指数的定义辨析，或判断给定乘方表达式的底数、指数，核心是理解“乘方是多个相同因数的积” 乘方的计算 1. 熟练掌握乘方的计算规则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0；2. 能准确计算整数、分数的乘方；3. 掌握1和-1的乘方特征 基础必考题，选择、填空、计算题均涉及重点考查有理数乘方的计算，尤其是负数的乘方（符号规律），难度中等 乘方的应用 1. 能识别实际问题中需要用乘方解决的场景（如每次增长/减少相同倍数）；2. 会根据题意列出乘方算式；3. 能通过乘方计算解决实际中的倍数增长问题 中档题，填空、解答题为主，常结合实际场景考查（如细胞分裂、增长率问题、正方体体积计算），核心是将“倍数增长”问题转化为乘方运算 科学记数法 1. 牢记科学记数法定义：把一个数表示成a×10ⁿ的形式（1≤|a|<10，n为整数）；2. 能准确确定a和n的值；3. 会用科学记数法表示数和还原数 基础必考题，选择、填空为主，常考查用科学记数法表示较大或较小的数，或还原科学记数法表示的数，核心是“a×10ⁿ”中a和n的确定 近似数 1. 理解近似数的精确度（精确到个位、十分位、百分位等，或精确到10ⁿ位）；2. 掌握有效数字的定义（从左边第一个非0数字起，到末位数字止的所有数字）；3. 能根据要求取近似数 基础题，选择、填空为主常考查近似数的精确度判断（如精确到哪一位、有几个有效数字），或根据精确度取近似数，核心是理解精确度和有效数字的定义 有理数的定义新运算 1. 能快速提炼新运算的规则（明确运算符号、参与量、运算步骤）；2. 能将新运算转化为熟悉的有理数运算；3. 会结合新运算规则求解代数式的值或字母参数 创新题型，选择、填空、解答题均可能出现，考查核心是提炼新运算规则并转化为有理数常规运算，难度中等，需仔细审题 知识点01加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 ⑶一个数同0相加，仍得这个数。 知识点02加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a （2） 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c） 知识点03减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b 知识点04乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 知识点05乘法运算定律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 知识点06除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 知识点07乘方法则运算 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 知识点08混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 知识点09科学记数法 把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中1≤|a|＜10，n是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=2×105 知识点10近似数 接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数. 要点：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. 知识点11精确度 一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 要点： （1）精确度是指近似数与准确数的接近程度. （2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到0.1米，说明结果与实际数相差不超过0.05米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些. 题型一 有理数加减法的计算 【典例1】（25-26七年级上·山西运城·月考）计算的结果是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据异号两数相加的法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 【变式1】（25-26七年级上·河南郑州·月考）比大且比小的所有整数的和为（    ） A．4 B．0 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的大小比较，有理数的加法． 找出所有大于且小于的整数，然后计算它们的和． 【详解】解：∵，， ∴满足条件的整数有， ∴它们的和为． 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·广西崇左·月考）下列算式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，绝对值的非负性，根据有理数的减法计算法则可判断A、B、C、根据绝对值的非负性可判断D． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 【变式3】（25-26六年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，正确运算是解题的关键．先把原式写成省略加号和括号的和的形式，再根据加法交换律、结合律进行运算即可． 【详解】解：原式， ． 题型二 有理数加减法的应用 【典例1】（25-26七年级上·广西崇左·月考）一天早晨某草原的气温是，中午上升了，则这天中午的气温是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数加法运算的应用，根据温度变化直接计算即可． 【详解】解：∵早晨气温为，中午上升了， ∴中午气温． 故选：B． 【变式1】（25-26七年级上·吉林松原·期中）手机移动支付给生活带来便捷，如图是小陈某天微信账单的全部收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小陈当天微信收支的最终结果是（    ） A．支出18元 B．支出32元 C．收入32元 D．收入50元 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数减法的应用，熟练掌握正负数的应用是解题关键．将与相加，得出结果即可得． 【详解】解： （元）， 所以小陈当天微信收支的最终结果是收入32元， 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·宁夏固原·月考）某一天固原市早晨的温度是，中午上升了，那么中午的温度是 ． 【答案】 3 【分析】此题考查有理数加法的实际应用，根据题意，中午温度是早晨温度与上升温度之和，进行有理数加法运算 【详解】解：早晨温度为，中午上升了， 故中午温度为 故答案为 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）珠穆朗玛峰的海拔为，吐鲁番盆地最低点的海拔为．那么，珠穆朗玛峰最高点比吐鲁番盆地最低点高多少米？ 【答案】米 【分析】本题考查了有理数的减法的实际应用，用珠峰的高度减去吐鲁番的高度，然后根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解． 【详解】解：， 答：珠穆朗玛峰最高点比吐鲁番盆地最低点高米． 题型三 加法运算率 【典例1】（2025七年级上·吉林长春·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，能利用有理数加法的交换律和结合律简化运算是解题的关键． （1）利用有理数加法运算法则及加法运算律求解即可； （2）利用有理数加法运算法则及加法运算律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握有理数的加法法则和交换律\结合律是解题的关键． （1）根据有理数加法的交换律和结合律等计算即可； （2）根据有理数加法的交换律和结合律等计算即可． 【详解】（1）解∶原式 ； （2）解∶原式 ． 【变式2】（2025七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的加法，掌握运算律是解题的关键． （1）根据有理数加法的运算律将同号两数先相加，再计算即可； （2）根据有理数加法的运算律将同分母的先相加，再计算即可求解． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 . 题型四 有理数乘除法的计算 【典例1】（25-26七年级上·吉林长春·期中）已知四个数：3，，，4．任取其中的两个数相乘，所得的积的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘法法则，有理数大小比较，解题的关键是确定两个因数． 根据有理数乘法法则可知，要使两个数相乘的积最大，应选择同号的两个数，即两个正数或两个负数，计算所有同号组合的积，并比较大小即可． 【详解】解：∵ 积最大需同号相乘， ∴ 正数组合：， 负数组合：， ∵， ∴ 最大积为． 故选：B． 【变式1】（25-26七年级上·安徽淮北·月考）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘法运算． 根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：A． 【变式2】（25-26七年级上·陕西咸阳·月考）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的除法运算．有理数除法运算法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．直接计算负数与正数的除法，结果为负． 【详解】是负数，是正数， 的商是负数， ， 故选. 【变式3】（25-26七年级上·广西崇左·月考）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，掌握有理数乘除混合运算的运算法则是解题关键． （1）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可； （2）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可； （3）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）． 题型五 倒数 【典例1】（25-26七年级上·陕西西安·月考）的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查倒数的定义，掌握定义是解题的关键． 根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，据此求解即可． 【详解】∵乘积为1的两个数互为倒数， ∴的倒数为． 故选：C． 【变式1】（25-26七年级上·江苏泰州·期中）的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了倒数的定义，掌握求一个数的倒数的方法是解题的关键． 根据倒数的定义，一个数的倒数是与之相乘等于1的数，即可求解． 【详解】解：根据倒数的定义，可知的倒数为． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·河南平顶山·期中）的倒数是 【答案】/ 【分析】本题考查了求一个数的倒数．根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数．将化为分数形式，再求其倒数． 【详解】，因此的倒数为 ． 故答案为：． 题型六 有理数乘除法的应用 【典例1】（25-26七年级上·山西临汾·期中）一根长的铜丝，先剪去铜丝的，再剪去剩下铜丝的，则两次剪完后剩下铜丝的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数减法，乘法的实际应用，先计算第一次剪去后剩余的长度，再计算第二次剪去的长度，最后求第二次剪后剩余的长度即可． 【详解】解：∵铜丝的初始长度为，第一次剪去铜丝的， ∴剩余长度为， 第二次剪去剩余铜丝的，即剪去， ∴最终剩余长度为． 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·安徽宿州·期中）根据试验测定：高度每增加，气温大约降低．某登山队从地面（温度为）出发攀登一座山峰，当队员甲到达某一高度时，测得气温为；队员乙在另一位置测得气温为．则队员甲比队员乙所在位置的高度高 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了有理数减法的应用，有理数除法的应用，根据高度每增加气温降低的规律，分别计算队员甲和队员乙相对于地面的高度，再求高度差即可． 【详解】解：地面温度为，队员甲测得气温为， 气温降低值为，故甲的高度为． 队员乙测得气温为，气温降低值为， 故乙的高度为． 因此，队员甲比队员乙高． 故答案为：1． 【变式2】（25-26七年级上·吉林·期中）吉林市某出租车一天下午以江北公园为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程（单位：）依先后次序记录如下： (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车离江北公园出发点多远？在江北公园的什么方向？ (2)若每千米的价格为元，司机一个下午的营业额是多少元？ 【答案】(1)将最后一名乘客送到目的地，出租车离江北公园出发点，在江北公园的东方 (2)司机一个下午的营业额是元 【分析】本题主要考查了正负数在实际中的应用和有理数的加法和乘法，属于基础题型，理解题意、正确列出算式是关键． （1）将题中的数据相加，根据计算结果结合规定的正、负的意义即可解答； （2）将题中数据的绝对值相加，所得的和乘以即得结果． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴将最后一名乘客送到目的地，出租车江北公园出发点，在江北公园的东方； （2）解∶ ， 元， 答：司机一个下午的营业额是元． 【变式3】（25-26七年级上·湖北十堰·期中）某公司将特色农副产品运往襄阳市场进行销售，设汽车的行驶时间为t小时，平均速度为v千米/时（汽车行驶速度不超过110千米/时）．根据经验，v，t的部分对应值如表： v（千米/时） 80 90 100 t（时） 4 (1)汽车行驶的时间随着平均速度v的增大而 （填“增大”或“减小”），该公司到襄阳市场的距离为 千米； (2)根据表中的数据，用式子表示v与t的关系，并说明，v与t成什么比例关系 (3)若汽车出发，能否在之前到达襄阳市场请说明理由． 【答案】(1)减小；360 (2)，v与t成反比例关系 (3)不能在之前到达襄阳市场，理由见解析 【分析】本题考查了有理数运算的应用，解题的关键是根据路程、速度、时间的关系分析变量之间的关系． （1）分析速度与时间的变化关系，根据路程速度时间，计算距离即可； （2）根据数据推导v与t的关系式，判断比例关系即可； （3）计算给定时间内的平均速度，与原平均速度比较即可． 【详解】（1）解：从表格数据可知，平均速度v增大时，行驶时间t减小， ∵总路程不变， ∴公司到襄阳市场的距离为千米， 故答案为：减小，； （2）解：由距离为定值360千米，得， ∴， ∵v与t的乘积为定值， ∴v与t成反比例关系； （3）解：由题意得，到的时间为3小时， ∴速度为千米/时， ∵规定汽车速度不超过110千米/时，且， ∴不能在之前到达襄阳市场． 题型七 有理数的四则混合运算 【典例1】（24-25七年级上·天津北辰·开学考试）计算： 【答案】 【分析】本题考查了分数的四则混合运算，熟练掌握运算规律是解题的关键． 先计算小括号内的减法，然后计算中括号内的乘法，最后除法运算，即可完成计算． 【详解】解：原式 ． 【变式1】（24-25七年级上·天津北辰·开学考试）计算： 【答案】2 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先计算乘除，再计算减法． 【详解】解： ． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理清运算顺序是解决问题的关键；先算乘除后算加减，按顺序计算即可． 【详解】解： 题型八 含乘方的混合运算 【典例1】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）计算题： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）先化简绝对值，再计算乘除法； （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减； （3）逆用乘法分配律计算，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式1】（25-26七年级上·四川·月考）计算： (1)； (2)； 【答案】(1)4 (2)8 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先计算乘方，绝对值，再计算乘除，最后计算加减运算即可； （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 题型九 利用倒数的性质计算 解｜题｜技｜巧 1. 核心步骤：将除法算式转化为乘法算式（除数变为它的倒数） ；2. 先定符号，再将分子分母分别相乘，最后约分； 3. 含字母的除法：确保字母取值不为0，再应用倒数性质。 易｜错｜点｜拨 1. 转化时漏变除数为倒数； 2. 忽略除数不为0的前提（尤其是含字母时）； 3. 分数乘法约分不彻底或错误 【典例1】（25-26七年级上·广东肇庆·期中）阅读下面材料，然后回答问题． 计算． 解法一：原式 ． 解法二：原式 ． 解法三：原式的倒数为 ， 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪种解法是错误的？并说明错误原因． (2)请选择适当的方法计算：． 【答案】(1)解法一和解法二都错误，原因见解析 (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，弄清题意是解本题的关键． （1）根据有理数运算法则和运算律分析判断即可； （2）利用乘法分配律求出原式倒数的值，即可求出原式的值． 【详解】（1）解：解法一和解法二错误， 原因：解法一错误地运用了除法分配律，除法不具有分配律； 解法二在运用加法交换律时，没有连同数字前面的符号一起移动； （2）解：∵ ， ∴． 【变式1】（25-26七年级上·湖南湘西·月考）阅读下列材料，计算：． 解法一：原式                ．                           解法二：原式的倒数为 ． 所以，原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法_____错误． (2)请你根据对上述材料的理解，使用上述正确的方法计算：． 【答案】(1)一 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算及倒数的性质． （1）根据除法没有分配律来判断解法的正误； （2）先求出原式的倒数，再根据倒数的性质求出原式的结果． 【详解】（1）解：解法一：根据除法的运算法则，除法没有分配律，即， 在解法一中，将错误地运用了分配律，得到，所以解法一错误； 解法二：先求出原式的倒数，再根据倒数的性质求出原式的结果，计算过程正确． 故答案为：一． （2）解：原式的倒数为 ． 所以，原式． 【变式2】（25-26七年级上·云南曲靖·期中）我们知道对于非零有理数与互为倒数，所以求的值，就是求的值的倒数．现有一个计算题：． (1)若将看成，将看成，请写出的倒数，并利用上述方法将该题解答完整； (2)运用上述方法，计算：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查除法运算及倒数关系的应用，有理数的乘法运算．对于非零有理数 和 ，有 ． （1）先求出原式的倒数，再计算，取倒数即得到原式的值； （2）先求出原式的倒数，再计算，取倒数即得到原式的值，计算过程中需注意分数的通分和运算顺序． 【详解】（1）解：的倒数是：， ． ∴； （2）解：的倒数是：， ， 所以 ． 题型十 有理数简便计算 【典例1】（25-26七年级上·福建宁德·期中）阅读理解： ，，，…… (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了规律型：数字的变化类、有理数的混合运算． （1）观察题干中各式规律，利用裂项相消法计算即可； （2）结合（1）和阅读材料，利用裂项相消法计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26七年级上·湖南永州·期中）观察下列等式： ，，，将以上三个等式相加得： ，计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了裂项相消法． （1）仿照题干计算即可； （2）仿照题干计算即可； （3）仿照题干计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 题型十一 幂的定义 【典例1】（25-26七年级上·广西南宁·期中）的底数是（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查幂的底数的概念，直接根据幂的定义判断，在幂运算 中，a是底数，n是指数． 【详解】解：∵ 在中，幂的形式为 中，a是底数，n是指数， ∴ 底数为， 故选：A． 【变式1】（22-23七年级上·河北秦皇岛·期末）式子表示的意义是（　　） A．2个3相乘 B．2个3相加 C．3个2相加 D．3个2相乘 【答案】D 【分析】本题主要考查了乘方的意义．根据乘方表示几个相同的数的积即可解答． 【详解】解：，即表示的意义是个相乘． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·安徽阜阳·月考）计算（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的概念，乘法的定义，列代数式，熟练掌握乘方的定义是解题的关键．利用乘法的定义得，利用乘方的定义得，进而得解． 【详解】解：由题意得，原式． 故选：C． 题型十二 乘方的计算 【典例1】（25-26七年级上·全国·期末）下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方、相反数和绝对值，将四个选项中的各数计算出来是解题的关键． 将四个选项中的各数都计算出来，再进行比较即可得出结论． 【详解】解：A、，，，故不符合题意； B、，，，故不符合题意； C、，，，故不符合题意； D、，，，故符合题意． 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）下列计算结果相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方，绝对值等知识， 通过直接计算每个选项的两个表达式的值，判断是否相等即可． 【详解】解：A．∵ ，， ，∴和不相等； B．∵ ，， ，∴和不相等； C．∵ ，， ，∴和不相等； D．∵ ，，∴和相等； 故选：D． 【变式2】（2025七年级上·吉林长春·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方和加法运算，需先计算乘方，再计算加法． 【详解】解： 故答案为：． 题型十三 乘方的应用 【典例1】（23-24七年级上·河南郑州·期末）《孙子算经》中载有“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢……”大意为：今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树上有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢……文中的鸟巢共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查有理数乘方的应用，通过连乘计算总鸟巢数即可． 【详解】解：∵堤坝有9座，每座堤坝有9棵树，每棵树有9根树枝，每根树枝有9个鸟巢， ∴ 总鸟巢数个 因此，文中的鸟巢共有个， 故选：C． 【变式1】（25-26七年级上·浙江衢州·期中）某种细菌在适宜条件下每隔分钟分裂一次，假设培养皿中开始时有1个细菌，则经过3小时，细菌数量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 细菌每隔分钟分裂一次，每次分裂数量翻倍．3小时共分钟，计算分裂次数，再求2的幂次． 【详解】解：∵3小时分钟， 分裂间隔为分钟， ∴分裂次数次． ∵开始时细菌数量为1，每次分裂数量翻倍， ∴经过9次分裂后，细菌数量为． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·湖南邵阳·期中）如图，下列图案都是由同样大小的按一定的规律组成的，其中图案①中有2个，图案②中有4个，图案③中有8个，……．按此规律，图案⑧中的个数是（   ） A．10 B．64 C．128 D．256 【答案】D 【分析】本题考查规律型：图形的变化类，找到图形的排列规律是解决本题的关键． 根据图形得出第个图形中圆的个数是进行解答即可． 【详解】解：第1个图案中有2个圆，； 第2个图案中有4个圆，； 第3个图案中有8个圆，； ……， 第8个图案中圆的个数为． 故选：D． 题型十四 科学记数法 【典例1】（25-26七年级上·甘肃金昌·期末）地球距离月球表面约为384000千米，那么这个距离用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，科学记数法表示为，其中，n为整数，将384000 转换为科学记数法，需确定a和n． 【详解】解：∵， ∴ 384000用科学记数法表示为， 故选：B． 【变式1】（25-26七年级上·辽宁营口·月考）今年春晚，身穿东北大花袄的机器人“扭秧歌”吸引了众多观众的眼球，据媒体报道，这种人形机器人单个售价65万元，春晚16个人形机器人需花费1040万元，1040万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：1040万． 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·河南新乡·期中）太阳到地球的平均距离约为千米，用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法为整数，进行表示即可． 【详解】解：； 故选A． 题型十五 近似数 【典例1】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（　　） A．（精确到） B．（精确到百分位） C．（精确到） D．（精确到千分位） 【答案】D 【分析】本题考查四舍五入法取近似值，根据精确度判断下一位数字是否进位，逐项判断求解即可 【详解】解：精确到千分位时，需看万分位数字，的万分位是1，， 应舍去，得，选项D为，错误； 其他选项正确：A 精确到得；B精确到百分位得；C 精确到得， 故选：D 【变式1】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）我们知道地球半径大约为千米，下列对近似数描述正确的是（    ） A．精确到十分位 B．精确到个位 C．精确到百位 D．精确到千位 【答案】C 【分析】本题考查了近似数精确度，由 ，数字在百位上即可求解，掌握科学记数法的精确度由的最后一位数字所在数位乘以决定． 【详解】解：∵，数字在百位上， ∴精确到百位， 故选：． 【变式2】（25-26七年级上·云南玉溪·期中）定义一种新运算：，则的结果为（   ） A．6 B．-6 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查新定义运算．根据新运算的定义，直接代入数值计算即可． 【详解】∵ ， ∴ 故选：． 【变式3】（25-26七年级上·上海·月考）按四舍五入精确到万位是 （用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的近似数，科学记数法． 将精确到万位，需看千位数字，千位为，小于，故舍去，得到． 【详解】解：，精确到万位，要看千位上的数字， 千位上的数字是，， 所以将千位及以后的数字舍去， 得到近似数． 故答案为：． 【变式4】（25-26七年级上·广西崇左·月考）地球与太阳的平均距离约为 149600000 千米，用四舍五入法精确到千万位，并用科学记数法表示为 千米． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法表示数，近似数， 精确到千万位，需看百万位数字进行四舍五入，再转化为科学记数法形式． 【详解】解：149600000精确到千万位，百万位是9，大于等于5，向千万位进1，千万位4变为5，后面各位变为0，得到150000000， 150000000用科学记数法表示为． 故答案为：． 题型十六 有理数的定义新运算 易｜错｜点｜拨 1. 误解新运算规则（如混淆运算顺序、漏看运算条件）； 2. 代入数值时符号错误； 3. 多步新运算时跳步导致错误； 4. 未注意新运算中字母的取值范围 【典例1】（25-26七年级上·福建龙岩·期中）新定义，我们规定，求的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义运算、有理数的混合运算等知识点，理解新定义运算是解题的关键． 根据新定义运算规则，从左到右依次计算，先比较前两个数的大小关系确定运算结果，再将该结果与第三个数进行比较和运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级上·广西南宁·月考）定义新运算：，，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对” (1)若，，则______；______； (2)有理数，是“隔一数对”吗？请说明理由； (3)计算：； (4)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算：． 【答案】(1)， (2)是 (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解“隔一数对”的定义并掌握有理数混合运算法则是解题关键． （1）根据新定义运算法则计算即可． （2）根据“隔一数对”的新定义进行计算判断即可； （3）先根据新定义列式再计算即可． （4）根据新定义把原式化为，再进一步计算即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴；． （2）解：由题意可得：，， ∴， ∴，是“隔一数对”． （3）解： ． （4）解：由题意可得: ． 【变式2】（25-26七年级上·贵州贵阳·月考）已知a，b均为有理数，现定义一种新的运算，规定：， 例：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)25 【分析】本题考查了新定义运算,有理数的混合运算． （1）根据新定义计算即可； （2）分别计算、，相减即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（21-22七年级上·浙江台州·期末）年月日，中国神舟十三号载人飞船成功发射升空，将在距地面高度为米的空间站展开为期六个月的驻留任务，再一次实现浩瀚星空，飞天逐梦．数字用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法，掌握方法是解决问题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．据此解答即可． 【详解】解：． 故选：C． 2．（24-25七年级上·浙江温州·期末）星海学校占地面积78615平方米，总建筑面积104101平方米，其中数104101用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法，熟练掌握其表示方法是解题的关键． 根据科学记数法的表示方法解题即可． 【详解】解：． 故选：A ． 3．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （2）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（24-25七年级下·浙江金华·期末）为了学生的卫生安全，学校准备给每班学生每人配一只水杯，每只水杯原价3元，几个超市搞促销： 苏果超市 天正超市 华联超市 一律八折 买八送一 每满50元送10元，不满不送 四（2）班想买40只水杯，到哪家超市购买较合算，请写出你的理由． 【答案】到苏果超市购买最合算，理由见解析 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，求出每个超市的费用，然后比较即可． 【详解】解：到苏果超市购买最合算．理由如下： 苏果超市：（元）； 天正超市：买（个），送4个，共40个， 则（元）； 华联超市：（元）， （元）， （元）， 答：到苏果超市购买最合算． 5．（21-22七年级上·浙江台州·期末）现定义一种“*”运算，观察下列算式，完成以下探究． ； ； ； ； ； ； ； … (1)计算：_________，_________； (2)类比有理数运算法则，从符号和绝对值两方面，归纳“*”运算的运算法则：两数进行“*”运算时，_________（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行“*”运算，或任何数和0进行“*”运算，等于_________； (3)我们知道加法有交换律和结合律，交换律在有理数的“*”运算中显然适用，那么结合律呢？请你通过以下两个算式进行验证并写出结论（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）． ①；②． 【答案】(1)； (2)同号得正，异号得负，并把它们的平方相加；这个数的平方 (3)①；②，结合律在有理数的“*”运算中不适用 【分析】本题考查了含有乘方运算的有理数混合运算，解题关键是掌握含有乘方运算的有理数混合运算． （1）根据新定义计算； （2）根据新定义，从中找出规律，再总结成文字； （3）①根据新定义，化为一般算式计算； ②根据新定义，化为一般算式计算． 【详解】（1）解： ； ； （2）类比有理数运算法则，从符号和绝对值两方面，归纳“*”运算的运算法则：两数进行“*”运算时，同号得正，异号得负，并把它们的平方相加，特别地，0和任何数进行“*”运算，或任何数和0进行“*”运算，等于这个数的平方， 故答案为：同号得正，异号得负，并把它们的平方相加；这个数的平方； （3）① ； ② ， ， 结合律在有理数的“*”运算中不适用． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级上·浙江·期末）下列各组实数的值，使得成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键．根据绝对值的性质解答即可． 【详解】解：当时，，，，故A不符合题意； 当时，，，，故B不符合题意； 当时，，，，故C不符合题意； 当时，，，，故D符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·浙江丽水·期末）规定：对任意有理数对，都有．例如：有理数对．若有理数对，则有理数对 ． 【答案】62 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解题中新定义，正确列出算式是解答的关键．先根据新定义运算法则求得n值，进而可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：62． 3．（24-25七年级上·浙江金华·期末）某商家向农户订购了20箱苹果，以每箱25千克为标准质量装箱，超过的千克数用正数表示，不足的千克数用负数表示，结果记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 0 1 1.2 2 箱数 1 2 4 5 3 4 1 (1)在这20箱苹果中最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？ (2)与标准质量比较，20箱苹果总计超过或不足多少千克？ 【答案】(1)4.1千克 (2)不足2.3千克 【分析】本题主要考查正负数，有理数的加减乘混合运算，读懂题意是解题的关键． （1）分别找出与标准质量的差值最大的数和最小的数，作差即可； （2）求出20箱苹果与标准质量的差值的总和，即可得出答案． 【详解】（1）解：（千克）， 答：在这20箱苹果中最重的一箱比最轻的一箱重4.1千克． （2）解： （千克）， 答：与标准质量比较，20箱苹果总计不足2.3千克． 4．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）规定关于任意正整数x，y的一种新运算：． 例如：若，则． 请根据这种新运算解决以下问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)若，化简：．（用含a的代数式表示） 【答案】(1)4，8 (2) (3) 【分析】本题考查列代数式、有理数的混合运算，根据新运算的定义进行有关计算是解题的关键． （1）分别根据新运算的定义计算即可． （2）分别根据新运算的定义计算即可． （3）分别根据新运算的定义计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解： ． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2023·浙江·中考真题）的运算结果是（　　） A．6 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据有理数乘法法则计算可求解． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查有理数的乘法运算，掌握有理数乘法运算法则是解题的关键． 2．（2025·浙江·中考真题）国家税务总局发布的数据显示，2024年，现行支持科技创新和制造业发展的主要政策减税降费及退税达26293亿元，助力我国新质生产力加速培育、制造业高质量发展．将数2629300000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法，将大数用科学记数法表示时，需将其写成的形式，其中，为整数，据此进行作答即可． 【详解】解：， 故选 ：B． 3．（2023·浙江湖州·中考真题）国家互联网信息办公室2023年5月23日发布的《数字中国发展报告（2022年）》显示，2022年我国数字经济规模达502000亿元．用科学记数法表示502000，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：用科学记数法表示502000为． 故选：C． 【点睛】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键． 4．（2023·浙江绍兴·中考真题）计算的结果是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】根据有理数的减法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数的减法，解题的关键是掌握有理数的减法计算法则．减去一个数等于加上它的相反数． 5．（2022·浙江杭州·中考真题）计算：．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了． (1)如果被污染的数字是，请计算． (2)如果计算结果等于6，求被污染的数字． 【答案】(1)-9 (2)3 【分析】（1）根据有理数混合运算法则计算即可； （2）设被污染的数字为x，由题意，得，解方程即可； 【详解】（1）解： ； （2）设被污染的数字为x， 由题意，得，解得， 所以被污染的数字是3． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算、一元一次方程的应用，掌握相关运算法则和步骤是接替的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2 有理数的计算（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 有理数加减法的计算 1. 熟练掌握有理数加法法则（同号、异号、与0相加）和减法法则（减去一个数等于加它的相反数）；2. 能准确计算两个或多个有理数的加减运算；3. 会将减法转化为加法统一计算 基础必考题，选择、填空、计算题均涉及，重点考查同号、异号两数加减法则，偶尔涉及多个有理数连加，难度较低 有理数加减法的应用 1. 能从实际问题中提炼有理数加减关系；2. 会根据题意确定每个数的符号；3. 能通过加减运算解决实际中的累计、差值问题 中档题，填空、解答题为主，常结合实际场景考查（如温度变化、收支累计、路程移动），核心是将实际问题转化为有理数加减运算 加法运算律 1. 牢记加法交换律（a + b = b + a）和结合律（(a + b) + c = a + (b + c)）；2. 能准确识别可利用运算律简化的算式；3. 会运用运算律快速计算有理数加法 基础高频题，选择、填空、简便计算题均涉及常考查加法交换律、结合律的应用，核心是利用运算律简化有理数加法计算 有理数乘除法的计算 1. 熟练掌握乘法法则（同号得正、异号得负，绝对值相乘）和除法法则（同号得正、异号得负，绝对值相除；除以一个数等于乘它的倒数）；2. 能准确计算有理数乘除法；3. 会将除法转化为乘法计算 基础必考题，选择、填空、计算题核心考点，重点考查乘除法的符号法则和绝对值运算，偶尔涉及小数、分数乘除转化 倒数 1. 牢记倒数定义：乘积为1的两个数互为倒数（0没有倒数）；2. 掌握求整数、分数、小数倒数的方法；3. 理解倒数与除法的关联 基础必考题，选择、填空为主，常考查倒数的定义辨析、求一个数的倒数，偶尔结合除法运算考查，核心是理解“乘积为1的两个数互为倒数” 有理数乘除法的应用 1. 能从实际问题中提炼有理数乘除关系；2. 会根据题意确定运算符号和运算量；3. 能通过乘除法解决实际中的倍数、比例问题 中档题，填空、解答题为主，常结合实际场景考查（如产量倍数、浓度问题、路程速度时间关系），核心是将实际问题转化为有理数乘除法运算 有理数的四则混合运算 1. 熟练掌握四则混合运算的顺序规则；2. 能准确完成含分数、小数的四则混合运算；3. 会合理运用运算律简化计算 必考重点题，解答题为主考查顺序为“先乘除后加减，有括号先算括号内”，常结合分数、小数运算，核心是运算顺序和符号控制 含乘方的混合运算 1. 掌握含乘方的混合运算顺序；2. 熟练计算有理数的乘方；3. 能准确完成含乘方、绝对值、乘除加减的综合运算 高频难点题，解答题为主，是期末核心考点，运算顺序为“先乘方，再乘除，最后加减”，常结合绝对值、相反数，核心是乘方的符号规则和运算顺序 利用倒数的性质计算除法 1. 熟练掌握“除法转乘法”的核心性质（基于倒数）；2. 能利用倒数性质简化分数除法计算；3. 理解倒数性质的适用前提（除数不为0） 基础中档题，选择、填空、计算题为主，常考查“除以一个数等于乘它的倒数”的应用，尤其是分数除法和含字母的简单除法，核心是倒数性质的灵活运用 有理数的简便计算 1. 熟练掌握有理数的所有运算律；2. 能快速观察算式特征，选择合适的运算律简化计算；3. 能灵活运用凑整、凑零、约分等简便技巧 高频中档题，选择、填空、解答题为主，常考查运算律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律）的综合应用，核心是观察算式特征选择简便方法 幂的定义 1. 牢记幂的定义：n个相同因数a相乘，记为aⁿ，其中a是底数，n是指数，aⁿ读作a的n次幂；2. 能准确识别乘方表达式中的底数和指数；3. 理解乘方与乘法的关系 基础必考题，选择、填空为主，常考查幂、底数、指数的定义辨析，或判断给定乘方表达式的底数、指数，核心是理解“乘方是多个相同因数的积” 乘方的计算 1. 熟练掌握乘方的计算规则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0；2. 能准确计算整数、分数的乘方；3. 掌握1和-1的乘方特征 基础必考题，选择、填空、计算题均涉及重点考查有理数乘方的计算，尤其是负数的乘方（符号规律），难度中等 乘方的应用 1. 能识别实际问题中需要用乘方解决的场景（如每次增长/减少相同倍数）；2. 会根据题意列出乘方算式；3. 能通过乘方计算解决实际中的倍数增长问题 中档题，填空、解答题为主，常结合实际场景考查（如细胞分裂、增长率问题、正方体体积计算），核心是将“倍数增长”问题转化为乘方运算 科学记数法 1. 牢记科学记数法定义：把一个数表示成a×10ⁿ的形式（1≤|a|<10，n为整数）；2. 能准确确定a和n的值；3. 会用科学记数法表示数和还原数 基础必考题，选择、填空为主，常考查用科学记数法表示较大或较小的数，或还原科学记数法表示的数，核心是“a×10ⁿ”中a和n的确定 近似数 1. 理解近似数的精确度（精确到个位、十分位、百分位等，或精确到10ⁿ位）；2. 掌握有效数字的定义（从左边第一个非0数字起，到末位数字止的所有数字）；3. 能根据要求取近似数 基础题，选择、填空为主常考查近似数的精确度判断（如精确到哪一位、有几个有效数字），或根据精确度取近似数，核心是理解精确度和有效数字的定义 有理数的定义新运算 1. 能快速提炼新运算的规则（明确运算符号、参与量、运算步骤）；2. 能将新运算转化为熟悉的有理数运算；3. 会结合新运算规则求解代数式的值或字母参数 创新题型，选择、填空、解答题均可能出现，考查核心是提炼新运算规则并转化为有理数常规运算，难度中等，需仔细审题 知识点01加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 ⑶一个数同0相加，仍得这个数。 知识点02加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a （2） 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c） 知识点03减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b 知识点04乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 知识点05乘法运算定律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 知识点06除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 知识点07乘方法则运算 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 知识点08混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 知识点09科学记数法 把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中1≤|a|＜10，n是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=2×105 知识点10近似数 接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数. 要点：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. 知识点11精确度 一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 要点： （1）精确度是指近似数与准确数的接近程度. （2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到0.1米，说明结果与实际数相差不超过0.05米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些. 题型一 有理数加减法的计算 【典例1】（25-26七年级上·山西运城·月考）计算的结果是（   ） A． B． C．1 D． 【变式1】（25-26七年级上·河南郑州·月考）比大且比小的所有整数的和为（    ） A．4 B．0 C．3 D． 【变式2】（25-26七年级上·广西崇左·月考）下列算式正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（25-26六年级上·上海·期中）计算：． 题型二 有理数加减法的应用 【典例1】（25-26七年级上·广西崇左·月考）一天早晨某草原的气温是，中午上升了，则这天中午的气温是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·吉林松原·期中）手机移动支付给生活带来便捷，如图是小陈某天微信账单的全部收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小陈当天微信收支的最终结果是（    ） A．支出18元 B．支出32元 C．收入32元 D．收入50元 【变式2】（25-26七年级上·宁夏固原·月考）某一天固原市早晨的温度是，中午上升了，那么中午的温度是 ． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）珠穆朗玛峰的海拔为，吐鲁番盆地最低点的海拔为．那么，珠穆朗玛峰最高点比吐鲁番盆地最低点高多少米？ 题型三 加法运算率 【典例1】（2025七年级上·吉林长春·专题练习）计算： (1)； (2)． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【变式2】（2025七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 题型四 有理数乘除法的计算 【典例1】（25-26七年级上·吉林长春·期中）已知四个数：3，，，4．任取其中的两个数相乘，所得的积的最大值是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·安徽淮北·月考）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·陕西咸阳·月考）计算：（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级上·广西崇左·月考）计算： (1)； (2)； (3)． 题型五 倒数 【典例1】（25-26七年级上·陕西西安·月考）的倒数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·江苏泰州·期中）的倒数是 ． 【变式2】（24-25七年级上·河南平顶山·期中）的倒数是 题型六 有理数乘除法的应用 【典例1】（25-26七年级上·山西临汾·期中）一根长的铜丝，先剪去铜丝的，再剪去剩下铜丝的，则两次剪完后剩下铜丝的长度是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·安徽宿州·期中）根据试验测定：高度每增加，气温大约降低．某登山队从地面（温度为）出发攀登一座山峰，当队员甲到达某一高度时，测得气温为；队员乙在另一位置测得气温为．则队员甲比队员乙所在位置的高度高 ． 【变式2】（25-26七年级上·吉林·期中）吉林市某出租车一天下午以江北公园为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程（单位：）依先后次序记录如下： (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车离江北公园出发点多远？在江北公园的什么方向？ (2)若每千米的价格为元，司机一个下午的营业额是多少元？ 【变式3】（25-26七年级上·湖北十堰·期中）某公司将特色农副产品运往襄阳市场进行销售，设汽车的行驶时间为t小时，平均速度为v千米/时（汽车行驶速度不超过110千米/时）．根据经验，v，t的部分对应值如表： v（千米/时） 80 90 100 t（时） 4 (1)汽车行驶的时间随着平均速度v的增大而 （填“增大”或“减小”），该公司到襄阳市场的距离为 千米； (2)根据表中的数据，用式子表示v与t的关系，并说明，v与t成什么比例关系 (3)若汽车出发，能否在之前到达襄阳市场请说明理由． 题型七 有理数的四则混合运算 【典例1】（24-25七年级上·天津北辰·开学考试）计算： 【变式1】（24-25七年级上·天津北辰·开学考试）计算： 【变式2】（25-26七年级上·全国·期中）计算： 题型八 含乘方的混合运算 【典例1】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）计算题： (1)； (2)； (3)． 【变式1】（25-26七年级上·四川·月考）计算： (1)； (2)； 题型九 利用倒数的性质计算 解｜题｜技｜巧 1. 核心步骤：将除法算式转化为乘法算式（除数变为它的倒数） ；2. 先定符号，再将分子分母分别相乘，最后约分； 3. 含字母的除法：确保字母取值不为0，再应用倒数性质。 易｜错｜点｜拨 1. 转化时漏变除数为倒数； 2. 忽略除数不为0的前提（尤其是含字母时）； 3. 分数乘法约分不彻底或错误 【典例1】（25-26七年级上·广东肇庆·期中）阅读下面材料，然后回答问题． 计算． 解法一：原式 ． 解法二：原式 ． 解法三：原式的倒数为 ， 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪种解法是错误的？并说明错误原因． (2)请选择适当的方法计算：． 【变式1】（25-26七年级上·湖南湘西·月考）阅读下列材料，计算：． 解法一：原式                ．                           解法二：原式的倒数为 ． 所以，原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法_____错误． (2)请你根据对上述材料的理解，使用上述正确的方法计算：． 【变式2】（25-26七年级上·云南曲靖·期中）我们知道对于非零有理数与互为倒数，所以求的值，就是求的值的倒数．现有一个计算题：． (1)若将看成，将看成，请写出的倒数，并利用上述方法将该题解答完整； (2)运用上述方法，计算：． 题型十 有理数简便计算 【典例1】（25-26七年级上·福建宁德·期中）阅读理解： ，，，…… (1)计算：； (2)计算：． 【变式1】（25-26七年级上·湖南永州·期中）观察下列等式： ，，，将以上三个等式相加得： ，计算： (1)； (2)； (3)； 题型十一 幂的定义 【典例1】（25-26七年级上·广西南宁·期中）的底数是（   ） A． B．3 C． D．6 【变式1】（22-23七年级上·河北秦皇岛·期末）式子表示的意义是（　　） A．2个3相乘 B．2个3相加 C．3个2相加 D．3个2相乘 【变式2】（24-25七年级上·安徽阜阳·月考）计算（   ） A． B． C． D． 题型十二 乘方的计算 【典例1】（25-26七年级上·全国·期末）下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1】（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）下列计算结果相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2】（2025七年级上·吉林长春·专题练习）计算： ． 题型十三 乘方的应用 【典例1】（23-24七年级上·河南郑州·期末）《孙子算经》中载有“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢……”大意为：今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树上有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢……文中的鸟巢共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1】（25-26七年级上·浙江衢州·期中）某种细菌在适宜条件下每隔分钟分裂一次，假设培养皿中开始时有1个细菌，则经过3小时，细菌数量为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·湖南邵阳·期中）如图，下列图案都是由同样大小的按一定的规律组成的，其中图案①中有2个，图案②中有4个，图案③中有8个，……．按此规律，图案⑧中的个数是（   ） A．10 B．64 C．128 D．256 题型十四 科学记数法 【典例1】（25-26七年级上·甘肃金昌·期末）地球距离月球表面约为384000千米，那么这个距离用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·辽宁营口·月考）今年春晚，身穿东北大花袄的机器人“扭秧歌”吸引了众多观众的眼球，据媒体报道，这种人形机器人单个售价65万元，春晚16个人形机器人需花费1040万元，1040万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·河南新乡·期中）太阳到地球的平均距离约为千米，用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 题型十五 近似数 【典例1】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（　　） A．（精确到） B．（精确到百分位） C．（精确到） D．（精确到千分位） 【变式1】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）我们知道地球半径大约为千米，下列对近似数描述正确的是（    ） A．精确到十分位 B．精确到个位 C．精确到百位 D．精确到千位 【变式2】（25-26七年级上·云南玉溪·期中）定义一种新运算：，则的结果为（   ） A．6 B．-6 C． D． 【变式3】（25-26七年级上·上海·月考）按四舍五入精确到万位是 （用科学记数法表示）． 【变式4】（25-26七年级上·广西崇左·月考）地球与太阳的平均距离约为 149600000 千米，用四舍五入法精确到千万位，并用科学记数法表示为 千米． 题型十六 有理数的定义新运算 易｜错｜点｜拨 1. 误解新运算规则（如混淆运算顺序、漏看运算条件）； 2. 代入数值时符号错误； 3. 多步新运算时跳步导致错误； 4. 未注意新运算中字母的取值范围 【典例1】（25-26七年级上·福建龙岩·期中）新定义，我们规定，求的值是 ． 【变式1】（25-26七年级上·广西南宁·月考）定义新运算：，，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对” (1)若，，则______；______； (2)有理数，是“隔一数对”吗？请说明理由； (3)计算：； (4)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算：． 【变式2】（25-26七年级上·贵州贵阳·月考）已知a，b均为有理数，现定义一种新的运算，规定：， 例：． (1)求的值； (2)求的值． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（21-22七年级上·浙江台州·期末）年月日，中国神舟十三号载人飞船成功发射升空，将在距地面高度为米的空间站展开为期六个月的驻留任务，再一次实现浩瀚星空，飞天逐梦．数字用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江温州·期末）星海学校占地面积78615平方米，总建筑面积104101平方米，其中数104101用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）计算： (1)； (2)． 4．（24-25七年级下·浙江金华·期末）为了学生的卫生安全，学校准备给每班学生每人配一只水杯，每只水杯原价3元，几个超市搞促销： 苏果超市 天正超市 华联超市 一律八折 买八送一 每满50元送10元，不满不送 四（2）班想买40只水杯，到哪家超市购买较合算，请写出你的理由． 5．（21-22七年级上·浙江台州·期末）现定义一种“*”运算，观察下列算式，完成以下探究． ； ； ； ； ； ； ； … (1)计算：_________，_________； (2)类比有理数运算法则，从符号和绝对值两方面，归纳“*”运算的运算法则：两数进行“*”运算时，_________（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行“*”运算，或任何数和0进行“*”运算，等于_________； (3)我们知道加法有交换律和结合律，交换律在有理数的“*”运算中显然适用，那么结合律呢？请你通过以下两个算式进行验证并写出结论（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）． ①；②． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级上·浙江·期末）下列各组实数的值，使得成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江丽水·期末）规定：对任意有理数对，都有．例如：有理数对．若有理数对，则有理数对 ． 3．（24-25七年级上·浙江金华·期末）某商家向农户订购了20箱苹果，以每箱25千克为标准质量装箱，超过的千克数用正数表示，不足的千克数用负数表示，结果记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 0 1 1.2 2 箱数 1 2 4 5 3 4 1 (1)在这20箱苹果中最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？ (2)与标准质量比较，20箱苹果总计超过或不足多少千克？ 4．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）规定关于任意正整数x，y的一种新运算：． 例如：若，则． 请根据这种新运算解决以下问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)若，化简：．（用含a的代数式表示） 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2023·浙江·中考真题）的运算结果是（　　） A．6 B． C．1 D． 2．（2025·浙江·中考真题）国家税务总局发布的数据显示，2024年，现行支持科技创新和制造业发展的主要政策减税降费及退税达26293亿元，助力我国新质生产力加速培育、制造业高质量发展．将数2629300000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．（2023·浙江湖州·中考真题）国家互联网信息办公室2023年5月23日发布的《数字中国发展报告（2022年）》显示，2022年我国数字经济规模达502000亿元．用科学记数法表示502000，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·浙江绍兴·中考真题）计算的结果是（    ） A． B． C．1 D．3 5．（2022·浙江杭州·中考真题）计算：．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了． (1)如果被污染的数字是，请计算． (2)如果计算结果等于6，求被污染的数字． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $